高等数学等价无穷小替换_极限的计算

浅谈等价无穷小替换在求极限中的应用
于荣娟;陈红红;梁显丽
【期刊名称】《黑龙江科技信息》
【年(卷),期】2012(000)028
【摘要】在高等数学中，极限的计算是一个很重要的问题。

本文主要针对一种求
极限的方法——应用等价无穷小及无穷小替换定理求极限。

在无穷小及等价无穷
小替换定理的基础上，研究了和它有关的几个性质、结论，并以某些类型题为例，对其性质进行了举例和应用；同时本文对等价无穷小替换求极限问题进行了总结归纳，扩大了等价无穷小替换在极限计算中的范围，使一些复杂的求极限问题简单化。

【总页数】1页(P198-198)
【作者】于荣娟;陈红红;梁显丽
【作者单位】内蒙古农业大学职业技术学院,内蒙古包头014109;内蒙古农业大学
职业技术学院,内蒙古包头014109;内蒙古农业大学职业技术学院,内蒙古包头014109
【正文语种】中文
【中图分类】O13
【相关文献】
1.浅谈用等价无穷小替换法求极限 [J], 赵文菊;张秀全
2.泰勒公式在用等价无穷小量替换求极限中的应用 [J], 郑瑞根
3.等价无穷小替换在求极限中的应用及推广 [J], 马艳丽;聂东明
4.浅析"等价无穷小替换"在求函数极限中的应用 [J], 杨录胜
5.等价无穷小替换求极限的推广及应用 [J], 苏燕玲;
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⾼等数学等价⽆穷⼩替换_极限的计算讲义⽆穷⼩极限的简单计算【教学⽬的】1、理解⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念;2、掌握⽆穷⼩的性质与⽐较会⽤等价⽆穷⼩求极限;3、不同类型的未定式的不同解法。

【教学内容】1、⽆穷⼩与⽆穷⼤;2、⽆穷⼩的⽐较;3、⼏个常⽤的等价⽆穷⼩等价⽆穷⼩替换;4、求极限的⽅法。

【重点难点】重点就是掌握⽆穷⼩的性质与⽐较⽤等价⽆穷⼩求极限。

难点就是未定式的极限的求法。

【教学设计】⾸先介绍⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念与性质(30分钟),在理解⽆穷⼩与⽆穷⼤的概念与性质的基础上,让学⽣重点掌握⽤等价⽆穷⼩求极限的⽅法(20分钟)。

最后归纳总结求极限的常⽤⽅法与技巧(25分钟),课堂练习(15分钟)。

【授课内容】⼀、⽆穷⼩与⽆穷⼤1、定义前⾯我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x (+∞→x 、+∞→x )函数()x f 的极限、0x x →(+→0x x 、-→0x x )函数()f x 的极限这七种趋近⽅式。

下⾯我们⽤→x ＊表⽰上述七种的某⼀种趋近⽅式,即＊{}-+→→→-∞→+∞→∞→∞→∈00x x x x x x x x x n定义:当在给定的→x ＊下,()f x 以零为极限,则称()f x 就是→x ＊下的⽆穷⼩,即()0lim =→x f x ＊。

例如, ,0sin lim 0=→x x Θ .0sin 时的⽆穷⼩是当函数→∴x x,01lim=∞→x x Θ .1时的⽆穷⼩是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→nn n Θ .})1({时的⽆穷⼩是当数列∞→-∴n n n【注意】不能把⽆穷⼩与很⼩的数混淆;零就是可以作为⽆穷⼩的唯⼀的数,任何⾮零常量都不就是⽆穷⼩。

定义: 当在给定的→x ＊下,()x f ⽆限增⼤,则称()x f 就是→x ＊下的⽆穷⼤,即()∞=→x f x ＊lim 。

显然,∞→n 时,Λ、、、32n n n 都就是⽆穷⼤量, 【注意】不能把⽆穷⼤与很⼤的数混淆;⽆穷⼤就是极限不存在的情形之⼀。

常用等价无穷小等价替换在高等数学的学习中，等价无穷小的等价替换是一个非常重要的概念和工具。

它能够帮助我们在求极限的过程中简化计算，提高解题的效率和准确性。

接下来，让我们一起深入了解一下常用的等价无穷小等价替换。

首先，我们要明白什么是等价无穷小。

当两个无穷小量的比值在某个极限过程中趋向于 1 时，我们就称这两个无穷小是等价的。

例如，当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 就是等价无穷小。

那么，为什么要进行等价无穷小的替换呢？这是因为在求极限的运算中，如果直接代入可能会导致计算变得复杂甚至无法得出结果。

而通过等价无穷小的替换，可以将复杂的式子转化为更简单、更易于计算的形式。

下面为大家列举一些常见的等价无穷小替换：当 x 趋近于 0 时：1、 sin x ～ x这是因为当 x 很小的时候，正弦函数 sin x 的值非常接近 x 。

我们可以通过单位圆来直观地理解这一关系。

2、 tan x ～ x正切函数 tan x 在 x 趋近于 0 时，其值也与 x 非常接近。

3、 arcsin x ～ x反正弦函数 arcsin x 在 x 趋近于 0 时，与 x 等价。

4、 arctan x ～ x同样，反正切函数 arctan x 在 x 趋近于 0 时，与 x 也是等价的。

5、 ln(1 ＋ x) ～ x自然对数函数 ln(1 ＋ x)在 x 趋近于 0 时，与 x 等价。

这可以通过对数的性质和极限的计算来证明。

6、 e^x 1 ～ x指数函数 e^x 在 x 趋近于 0 时，e^x 1 的值与 x 等价。

7、 1 cos x ～（1/2)x^2余弦函数 1 cos x 在 x 趋近于 0 时，与（1/2)x^2 等价。

这个可以通过三角函数的倍角公式来推导。

在使用等价无穷小进行替换时，需要注意一些条件和规则。

一是只能在乘除法中进行等价无穷小的替换，在加减法中一般不能随意替换，除非替换后的式子与原式子的差是更高阶的无穷小。

常用等价无穷小等价替换在数学分析和高等数学中，等价无穷小的等价替换是一个非常重要的概念和工具，它能够帮助我们在求解极限问题时大大简化计算过程。

接下来，让我们一起深入了解一下常用的等价无穷小等价替换。

首先，我们要明白什么是等价无穷小。

当两个无穷小量在某个变化过程中的比值的极限为 1 时，我们就称这两个无穷小是等价的。

比如说，当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 就是等价无穷小。

这是因为当x 趋近于 0 时，sin x ／ x 的极限为 1 。

那么，为什么等价无穷小的等价替换如此有用呢？这是因为在计算极限时，如果我们能够将复杂的无穷小量替换为与之等价的简单无穷小量，往往可以使计算变得简单明了。

下面列举一些常见的等价无穷小替换：当 x 趋近于 0 时：1、 tan x ～ x （正切函数与自变量在 x 趋近于 0 时等价）2、 arcsin x ～ x （反正弦函数与自变量在 x 趋近于 0 时等价）3、 arctan x ～ x （反正切函数与自变量在 x 趋近于 0 时等价）4、 1 cos x ～ x²/2 （余弦函数在 x 趋近于 0 时的等价关系）5、 ln(1 ＋ x) ～ x （自然对数函数在 x 趋近于 0 时的等价关系）6、 e^x 1 ～ x （指数函数在 x 趋近于 0 时的等价关系）需要注意的是，在使用等价无穷小进行替换时，一定要满足一定的条件。

一般来说，我们只能在乘除法中使用等价无穷小的替换，而在加减法中使用等价无穷小替换时要格外小心，因为可能会导致错误的结果。

举个例子，计算极限lim(x→0) （tan x sin x) ／ x³。

如果直接将 tan x 替换为 x ，将 sin x 替换为 x ，就会得到错误的结果 0 。

实际上，通过一些三角函数的变换和化简，我们可以得到正确的结果 1/2 。

再比如，计算极限lim(x→0) （1 cos x) ／ x²。

考研高数中求极限的几种特殊方法在数学分析中，极限是研究函数的重要工具。

通过极限，我们可以研究函数的性质，进行函数的计算，以及解决与函数相关的问题。

求函数极限的方法有很多种，以下是几种常见的方法。

对于一些简单的初等函数，我们可以直接根据函数的定义代入特定的x值来求得极限。

例如，求lim (x→2) (x-2)，我们可以直接代入x=2，得到极限为0。

当函数在某一点处的极限存在时，如果从该点趋近的数列是无穷小量，则此函数在该点处的极限就等于该数列的极限。

例如，求lim (x→0) (1/x)，我们可以令x=1/t，当t→∞时，x→0，而t=1/x趋近于无穷小量，所以lim (x→0) (1/x) = lim (t→∞) (t) = ∞。

洛必达法则是求未定式极限的重要方法。

如果一个极限的形式是0/0或者∞/∞，那么我们可以通过对函数同时取微分的方式来找到极限的值。

例如，求lim (x→+∞) (x^2+3)/(2x^2+1)，分子分母同时求导，得到lim (x→+∞) (2x/4x) = lim (x→+∞) (1/2) = 1/2。

对于一些复杂的函数，我们可以通过泰勒展开的方式将其表示为无限多项多项式之和的形式。

通过选取适当的x值，我们可以使得多项式的和尽可能接近真实的函数值。

例如，求lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x，我们可以使用泰勒展开得到lim (x→0) ((1+x)^m-1)/x = lim (x→0) m(1+x)^(m-1) = m。

夹逼定理是一种通过构造两个有界序列来找到一个数列的极限的方法。

如果一个数列的项可以划分为三部分，而每一部分都分别被两个有界序列所夹逼，那么这个数列的极限就等于这两个有界序列的极限的平均值。

例如，求lim (n→∞) (n!/(n^n))^(1/n)，令a_n=(n!/(n^n))^(1/n)，则a_n ≤ a_{n+1}且a_n ≥ a_{n-1}，因此由夹逼定理可知lim a_n=lim a_{n+1}=lim a_{n-1}=1。

Science &Technology Vision 科技视界1问题提出在大学高等数学中,对于幂指函数求极限的问题,共有两处提到,包括重要极限和洛必达法则。

但是,关于等价无穷小代换求幂指函数极限的问题大多都没有特别讲解。

一般得,只针对于分式型的函数如何用等价无穷小代换求极限做了讲解。

在教学过程中,有学生在一开始的学习中就遇到较为复杂的幂指函数求极限的问题,就不知道如何计算了。

课本中有一道极限求解题目,具体如下:lim x →0(1+tan x 1+sin x)1x这是一个典型的1∞型的幂指函数求极限问题。

大多数学生在这里第一反应就是用重要极限来求解,但此题用重要极限不太容易看出来。

如果了解等价无穷小的相关定理,那么这道题就迎刃而解了。

鉴于此种情况,本文在前人研究的基础上,总结了幂指函数的求极限的方法,着重提出了等价无穷小求解幂指函数极限的看法。

2幂指函数求极限的其他方法幂指函数的极限类型很多,有确定型和不定式之分。

对于确定型的幂指函数可以直接底数与指数求极限。

而对于不定式型的幂指函数,通常采用重要极限和洛必达法则两种方法。

2.1重要极限对1∞型的幂指函数极限问题,考虑利用重要极限lim x →∞(1+1x )x =e及其变形公式lim x →0(1+x )1x=e 求极限。

例1求极限lim x →0(cos x )csc 2x .解:lim x →0(cos x )csc 2x =lim x →0[1+(cos x -1)]1sin 2x=lim x →0[1+(cos x -1)]1cos x -1·cos x -1sin x=elim-12x x=e-122.2洛必达法则另外,对00型,∞0型,1∞型幂指函数的极限,可以通过将幂指函数化为对数恒等式y=e ln y 的形式,转换为00型或∞∞型不定式,然后再利用洛必达法则进行求解。

例2求极限lim x →∞(1+a x)x .解:lim x →∞(1+a x )x =lim x →∞ex ln(1+a x)=elimln(1+a x )1x因为lim x →∞(1+a x)=0,lim x →∞1x =0由洛必达法则,得:lim x →∞(1+a x)x=e lim[ln(1+a x )]′(1x)′=elim axx+a=ea3用等价无穷小代换求幂指函数的极限幂指函数00型,∞0型,1∞型这三种类型不定式的求极限问题,除了运用前两种方法外,还可以使用等价无穷小的代换。

例析等价无穷小代换求极限的方法微积分是数学中的一个重要的分枝。

就整个数学体系来说,基础数学部分是根,各种名目繁多的数学种类是枝叶,而微积分就是这棵大树的主干部分。

微积分由微分、积分两部分组成,微分是无限细分的思想,积分是无限累积的思想,而极限就体现了无限的思想。

极限是微积分的思想基础,所以是微积分的重要部分。

求极限就成为了学习微积分重要的学习过程。

在求极限的各种方法中,用等价无穷小量的代换来求一些复杂的极限是一种重要的方法。

用无穷小量代换来求极限的方法在许多高职高专教材中介绍的都不全面,学生在学习的过程中总有许多的疑惑,本人从事多年的高等数学教学工作,所以把多年在这一方面的经验做一总结。

对教材中的不足做一些补充,同时也可给学生的学习提供一个参考。

无穷小量是指在变化过程中极限为0的变量,而等价无穷小量是指在变化过程中比值极限为1的两个无穷小量,常用的等价无穷小量有:当时,,,, 恰当利用等价无穷小代换求极限,可大大简化计算。

那么无穷小量代换都可以怎样应用呢？在高职高专教材中,有些只提到等价无穷小量在求极限的过程中可以代换,却没有说明什么情况可以应用,什么情况不可以应用。

或者有的教材就说明只有在积商因子中可以应用,这都是不全面和严密的。

下面就各种情况意义说明。

1 极限式中只有积商因子的等价无穷小之间可以代换定理1:设是同一变化过程中的无穷小量,且,,若存在,则有证明:例如:求解:当时,推论1:设是同一变化过程中的无穷小量,且,若存在,则有例如:求解:当时,推论2:设是同一变化过程中的无穷小量,且,若存在,则有,例如:2 当极限式中不只含有积商因子还含有加减因子时不可以直接代换,但可以这样运用等价无穷小进行代换定理2:设是同一变化过程中的无穷小量,且则∴例如:求解:定理3:设是同一变化过程中的无穷小量,且若则∴例如:求解:当时,3 学生运用等价无穷小代换时的典型错误例如:代换时没有注意到定理3中要求的,本题中因为,所以不能直接应用定理3,应把加减因子化成积商因子代换。

高数求极限的方法小结高等数学中求极限的方法小结2.求极限的常用方法2.1 利用等价无穷小求极限#这种方法的理论基础主要包括：(1)有限个无穷小的和、差、积仍是无穷小.(2)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(3)非零无穷小与无穷大互为倒数.(4)等价无穷小代换(当求两个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替).[3]设αα'~、~ββ'且lim lim ββαα'=；则：β与α是等价无穷小的充分必要条件为：0()βαα=+．常用等价无穷小：当变量0x →时，21sin ~,tan ~,arcsin ~,arctan ~,1~,ln(1)~,1cos ~,2x x x x x x x x x e x x x x x -+-~,(1)1~x x xαα+-．例1 求01cos lim arctan x xx x→-． 解210,1cos ~,arctan ~2x x x x x →-时，故，原式220112lim 2x xx →==例2 求123(1)1lim cos 1x x x →+--． 解 12223110,(1)1~,1cos ~32x x x x x →+--时,因此:原式202123lim 132x xx→==-．例3 求x →．解 0,x →时11~,tan ~3x x x ，故:原式=0113lim 3x xx →=．例4 求()21lim 2ln(1)xx ex x →-+．解 0,1~,ln(1)~xx e x x x→-+时,故:原式2201lim 22x x x →==．例5 试确定常数a 与n ，使得当0x →时，nax 与33ln(1)x x -+为等价无穷小．解330ln(1)lim 1n x x x ax→-+= 而左边225311003331lim limn n x x x x x x nax nax --→→-+--=，故 15n -=即6n = 0331lim 11662x a a a →--∴=∴=∴=-． 2.2 利用洛必达法则求极限#利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为0比0型或者∞∞型等未定式类型. 洛必达法则分为3种情况：（1）0比0，无穷比无穷的时候直接用.（2）0乘以无穷，无穷减去无穷（无穷大与无穷小成倒数关系时）通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后，就能变成（1）中形式了.（3）0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方，对于（指数,幂函数）形式的方法主要是取指数的方法，这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了.洛必达法则中还有一个定理：当x a →时，函数()f x 及()F x 都趋于0；在点a 的某去心邻域内，()f x ﹑()F x 的导数都存在且()F x 的导数不等于0；()lim ()x af x Fx →''存在，那么()()lim lim ()()x a x a f x f x F x F x →→'=' .[1]求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极限的秘诀是：强行代入，先定型后定法. [3]例6 求22201cos lim()sin x x x x→-.分析 秘诀强行代入，先定型后定法.22224431100(00)(00)0000000000-+--+-===（此为强行代入以定型）.()00-可能是比()00+高阶的无穷小，倘若不这样，或422(00)(00)0000000+--+= 或43(00)(00)0000000+-+-=. 解2222222240001cos sin cos (sin cos )(sin cos )lim()lim lim sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→--+-==3300sin cos sin cos sin cos limlim 2lim x x x x x x x x x x x xx x x →→→-+-==，由洛必达法则的22222001cos sin 4sin 42,2lim lim 333x x x x x x x →→-+==有：上式=.例7 求201lim x x e x x→--.解22000(1)1lim lim 1lim 1()21x x x x x x e e e x x x x x→→→'--==-∴=-'--- .例8 求332132lim 1x x x x x x →-+--+.解 原式22113363lim lim 321622x x x x x x x →→-===---.（二次使用洛必达法则）.例9 求02lim sin x x x e e x x x-→---.解 原式0002lim lim lim 21cos sin cos x x x x x xx x x e e e e e e x x x ---→→→----====-.例10 求22143lim 21x x x x x →-+-+.解 原式1112422lim lim lim02211x x x x x x x x x →→→---===∴---原式=∞.例11 求0tan lim sin arcsin x x xx x x→-. 解 原式222222220000111(1cos)tan 1cos 1cos 2lim lim lim lim33cos 3cos 3x x x x x x x x x xxx x x x x x →→→→-+--=====.例12 求0cot lim ln x xx+→. 解 原式22200sin cos 1lim lim sin 2sin cos x x x x x x x x ++→→---===-∞.例13 求22201cos lim()sin x x x x →-.解 原式22222400sin cos (sin cos )(sin cos )lim lim sin x x x x x x x x x x x xx x →→--+==223320000sin cos sin cos sin cos 1cos sin 4lim lim 2lim 2lim 33x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→-+--+====“0⨯∞”型：例14 求lim (arctan )2x x x π→+∞-.解 原式2221arctan 112limlim lim 11111x x x x x xx xπ→+∞→+∞→+∞-+====+.“∞-∞”型：例15 求 ()2lim sec tan x x x π→-.解1sin 1sin sec tan cos cos cos x xx x x x x--=-=，故原式221sin cos lim lim 0cos sin x x x xx xππ→→--===-. “00”型： 例16 求0lim xx x +→.解 原式ln 0lim ln ln 00lim lim 1x xxx e x x xx x eee+→++→→====.“1∞”型：例17 求lim 1xx e x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解 原式lim 1x e eex e e x→∞⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.“0∞”型：例18 求tan 01lim ()xx x+→. 解 原式tan ln tan 01lim ln()tan ln 00lim lim x xxx e x xxx x ee e-+→++-→→===，而tan ~00lim (tan ln )lim (ln )0x xx x x x x x ++→→-−−−→-=，因此：原式=1.2.3 泰勒公式（含有e 的x 次方的时候，尤其是含有正、余弦的加减的时候要特别注意）泰勒中值定理定理：如果函数()f x 在含有n 的某个开区间(,)a b 内具有直到(1)n +阶的导数，则对任一(,)x a b -∈，有()f x =0()f x +0()f x '(x -0x )+0()2!f x ''(x -0x )2+……+()0()!n f x n (x -0x )n+nR (x )其中()()()(1)10()1!n n n f R x x x n ξ++=-+，这里ξ是x 与0x 之间的某个值.[1]例19 利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限3sin cos lim sin x x x xx→-. 解 由于公式的分母33sin~(0)x x x →，我们只需将分子中的3333sin 0(),cos 0()3!2!x x x x x x x x x =-+=-+代入计算，于是3333331sin cos 0()0()0()3!2!3x x x x x x x x x x x -=-+-++=+，对上式做运算时，把两个3x 高阶的无穷小的代数和还是记作30()x .例20323322314334lim lim 3211211x x x x x x x x x x x x →∞→∞++++==++++++，2222111lim lim 121(1)1x x n n n n n→∞→∞++==--+，()121(2)313limlim (2)332233nn nn n n x x ++→∞→∞⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭==-+⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.2.4 无穷小与有界函数的处理方法面对复杂函数，尤其是正、余弦的复杂函数与其它函数相乘的时候，一定要注意这个方法.[3]例21 求 sin lim x x xx→∞+. 解 原式sin 1lim(1)lim(1sin )1x x x x x x→∞→∞=+=+=. 2.5 夹逼定理主要介绍的是如何用之求数列极限，这个主要是看见极限中的通项是方式和的形式，对之放缩或扩大.[1]例22 求2sin sin sin lim ...1112n n n n n n n πππ→∞⎛⎫ ⎪+++ ⎪+ ⎪++⎝⎭.解 111sinsin sin 11nn n i i i i i i n n nn n on iπππ===≤≤+++∑∑∑，1011sin 12lim lim sin n n n n i i i i n n x dx n o n nππππ→∞→∞====⋅=+∑∑⎰，1011sin 112lim lim 1sin 11nn n n i i i i n x dx n n n nππππ→∞→∞==⎫⎛=⋅=⋅⋅= ⎪++⎝⎭∑∑⎰，根据夹逼定理 1sin2lim 1nx i i n n iππ→∞==+∑.2.6 等比等差数列公式（δ的绝对值要小于1） [1]例23 设1||<δ，证等比数列1，δ，2δ1n δ-，…的极限为0.证 任取01δ<<，为使n xa ε-<，而nn xa δ-=，使nδε<，即ln ln ln ,ln n n εδεδ<>，当ln ln N εδ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当n N >时，即ln ln 11ln ln n N εεδδ⎡⎤≥+=+>⎢⎥⎣⎦，ln ln nn δεδε<⇒<即nxa ε-<，由定义知()lim 10nδδ<=()()22......lim ...11n n n δδδδδδδδδ→∞++=++=<-.因此,很显然有:()0.99...lim 0.99 (1)n n→∞==.2.7 各项以拆分相加[3]将待求的和式子的各项拆分相加来消除中间的大多数，主要应用于数列极限,可以使用待定系数来拆分简化函数.例24 求()111lim 1...2*33*41n nn →∞⎛⎫++++ ⎪ ⎪+⎝⎭.解 原式111111lim 1 (23341)n n n →∞⎛⎫=+-+-++- ⎪+⎝⎭11lim 121n n →∞⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭31lim 21n n →∞⎛⎫=- ⎪+⎝⎭=32. 2.8 求左右极限的方式例25 求函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<-=0,10,00,1)(x x x x x x f ，求0x →时，()f x 的极限.解 ()()00lim lim 11x x f x x --→→=-=-，()()00lim lim 11x x f x x ++→→=+=，因为()()00lim lim x x f x f x ++→→≠，所以，当0→x 时，)(x f 的极限不存在.例26 ()0lim 0x x x xαα→>.解 0)(lim )(lim 00=-=---→→ααx x x x x x ，0lim lim 00==++→→ααx xxx x x ，因为0lim )(lim 00==-+-→→xx x x x x x x αα，所以,原式=0.2.9 应用两个重要极限1sin lim 0=→xxx ，1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭例27 求xe x x 1lim 0-→.解 记()ln 1x t =+ 1xe t-=，则 原式=1001lim lim 111ln 1t t ttt t →→==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭()1lim 1x x x e →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为.例28 求1lim 11nn n →∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭.解 原式=()111lim 11n n n +-→∞⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=e .例29 求1lim 1-1nn n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.解 原式=()111lim 1-1n n n -+→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭=e .2.10 根据增长速度)(ln ∞→<<x e x x xn λ例30 求()lim 0nx x x n eλλ→∞>为正整数，.解 原式=1lim n x x nx eλ-→∞=()221!lim lim 0n xn x x x n n x n e e λλλλ-→∞→∞-==.例31 求()ln lim 0nx xn x→∞>. 解01lim lim ln lim 11===∞→-∞→∞→n x n x x n x nxnx x x .同函数趋近于无穷的速度是不一样的，x 的x次方快于!x （x 的阶乘）快于指数函数，快于幂函数，快于对数函数.所以增长速度： )(ln ∞→<<x e xx xnλ.故以后上述结论可直接在极限计算中运用.2.11 换元法例321lim (1)x x x→-∞+.解 令x t =-， 则原式=1lim 1tt t -→+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭1lim tt t t -→+∞-⎛⎫= ⎪⎝⎭111lim 1111t t t t -→+∞⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭=e2.12 利用极限的运算法则[1]利用如下的极限运算法则来求极限： (1) 如果()()lim ,lim ,f x A g x B == 那么B A x g x f x g x f ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[()()()()lim lim lim f x g x f x g x A B⋅=⋅=⋅⎡⎤⎣⎦若又有0≠B ，则BAx g x f x g x f ==)(lim )(lim )()(lim （2）如果)(lim x f 存在，而c 为常数，则)(lim )](lim[x f c x cf =（3）如果)(lim x f 存在，而n 为正整数，则nnx f x f )]([lim )](lim[=（4）如果)()(x x ϕδ≥，而b x a x ==)(lim ,)(lim ϕδ，则b a ≥ （5）设有数列{}nx 和{}ny ，如果()lim ;nnn x y A B →∞+=+那么，()lim ;nn n xy A B →∞+=+lim n n n x y A B→∞=⋅当()01,2,...nyn ≠=且0b ≠时，lim n n nxA yB→∞=2.13 求数列极限的时候可以将其转化为定积分[1]例33 已知()f x =,在区间[]0,1上求()01lim ni ii f x λξ→=∆∑（其中将[]0,1分为n 个小区间[]1,i i x x -,1i i i x x ξ-≤≤，λ为i x ∆中的最大值）.解 由已知得: ()()11lim niii f x f x dxλξ→=∆=∑⎰dx=⎰4π= .（注释：由已知可以清楚的知道，该极限的求解可以转化为定积分,求函数()f x 在区间[]0,1上的面积）.在有的极限的计算中，需要利用到如下的一些结论、概念和方法：（1）定积分中值定理：如果函数()f x 在积分区间[],a b 上连续，则在[],a b 上至少有一个点，使下列公式成立：()()()b af x dx x b a ϕ=-⎰()a b ϕ≤≤；（2）设函数()f x 在区间[],a +∞上连续，取t a >，如果极限 ()lim tat f x dx →+∞⎰存在，则称此极限为函数()f x 在无穷区间[],a +∞上的反常积分，记作⎰∞+0)(dxx f ，即⎰⎰+∞→∞+=tat adxx f dx x f )(lim )(；设()f x 在区间[],a b 上连续且()0f x ≥，求以曲线()y f x =为曲线，底为[],a b 的曲边梯形的面积A ，把这个面积A表示为定积分：()b =aA f x dx ⎰ 的步骤是：首先，用任意一组的点把区间[],a b 分成长度为(1,2,...)ix i n ∆=的n 个小区间，相应地把曲线梯形分成n 个窄曲边梯形，第i 个窄曲边梯形的面积设为iA ∆，于是有1nii A A ==∆∑；其次，计算iA ∆的近似值 ()()1i i i i i i A f x xx ϕϕ-∆≈∆≤≤；然后，求和，得A 的近似值 ()1niii A f x ϕ=≈∆∑；最后，求极限，得⎰∑=∆==→baini idxx f x f A )()(lim 1ϕλ.例34 设函数()f x 连续，且()00f ≠，求极限()()()[]20lim .xx x x t f t dt x f x t dt→--⎰⎰.解 ()()()0lim xx x x t f t dtx f x t dt→--⎰⎰ =()()()0lim ,xxxx xf t dt tf t dtx f u du→-⎰⎰⎰()()()()()0+limx x x f t dt xf x xf x f u du xf x →-+⎰⎰由洛必达得：，()()(),,,f x t dx u x t f u du -=-⎰x其中令得()()()()0lim0x x xf xf xf x ϕφϕ→+再由积分中值定理得:在到之间 ()()()()()()001lim002x f f f f x f f ϕϕ→===++.例35 计算反常积分: 21dxx +∞-∞+⎰.解 21dx x +∞-∞+⎰=[]arctan x +∞-∞=-lim arctan lim arctan x x x x →+∞→∞-=()22πππ--=.2.14 利用函数有界原理证明极限的存在性，利用数列的逆推求极限（1）单调有界数列必有极限；（2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递减且有下界的数列必有极限.[3]例36 数列{}nx :2……．极限存在吗？解 由已知可得{}nx 单调递增且有界，由单调有界原理，知lim nn x →∞存在．又nx=，lim nn n x→∞=记lim =t,nn x t →∞=则即可证2nx<，得到 2=t .2.15 直接使用求导的定义求极限当题目中告诉你0)0(=F 时，)(x F 的导数等于0的时候，就是暗示你一定要用导数定义：（1）设函数()y f x =在点0x 的某个领域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量x ∆（点0x x ∆+仍在该领域内）时，相应的函数取得增量()()0y f x x f x ∆=∆+-；如果y ∆与x ∆之比0x ∆→时的极限存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，并称这个极限为函数()y f x =在点0x 处可导，并称这个极限为函数()y f x =在点0x处的导数，记作()0f x '，即()()()00000limlimx x f x x f x yf x x x∆→∆→∆+-∆'==∆∆；（2）在某点处可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等.例36 ()()()()1f x x x e x π=---，求()'f π.解 ()'fπ ()()()()()()=limlim 11x x f x f x x e x x e x ππππ→→-=--=---.例37 若函数()f x 有连续二阶导数且()0=0f ，()'0=1f ，()''0=-2f ，则 ()()2lim x f x x x→-=. A:不存在 B ：0 C ：-1 D ：-2解()20lim x f x x x →-=()()()'''00101lim lim 220x x f x f x f x x →→--=-()''1012f ==-.所以，答案为D.例38 若()(1)(2).....(2010)f x x x x x =++++，求(0)f '.解 0()(0)(0)lim x f x f f x→-'= 0(1)(2).....(2010)lim x x x x x x →++++=lim (1)(2).....(2010)x x x x x →=++++2010!=. 2.16 利用连续性求极限[1]例39 设()f x 在1x =处有连续的一阶导数，且(1)2f '=，求1lim x ddx+→+.解 原式1lim x f +→'=-11lim 2x f +→'=-11lim 2x f +→'=-11(lim 2x f +→'=-1(1)2f '=-1=-.2.17 数列极限转为函数极限求解数列极限中是n 趋近，而不是x 趋近.面对数列极限时，先要转化成求x 趋近情况下的极限，当然n 趋近是x 趋近的一种情况而已，是必要条件.（还有数列极限的n 当然是趋于正无穷的）.[1]例40 求21lim (1sin )n n n n→∞-.解 令1t n=,则原式232001sin sin 1cos lim(1)lim lim3t t t t t t t t t t t →→→--=-==，所以在0t →时，1cos t -与212t 等价，因此，原式20212lim 13t tt→=16=.。

等价无穷小替换公式加减使用条件1.当常数a为有限值时，有以下等价无穷小替换公式：-a*ε≈0（其中ε为无穷小量）-ε/a≈0（其中ε为无穷小量）2.当函数f(x)为有界函数时，有以下等价无穷小替换公式：-f(x)*ε≈0（其中ε为无穷小量）3.当函数f(x)在其中一点x=a处连续且不为零时，有以下等价无穷小替换公式：-f(x)≈f(a)（当x趋近于a时）-ε/f(x)≈0（当x趋近于a时）在加减运算中使用等价无穷小替换公式的条件如下：1.替换公式的使用要满足数学定义的条件。

例如，进行除法运算时，被除数不能为零。

2.进行替换时，需要将等价无穷小放在有界函数或常数的前面进行替换。

即等价无穷小应该在乘法或除法运算中作为因子，而不是作为被乘数或被除数。

3.在进行替换时，需要注意确保替换后的函数与原函数在极限点处的极限值是相等的。

如果替换后的函数与原函数的极限值不相等，可能导致计算结果的误差。

举例说明，在计算极限的过程中使用等价无穷小替换公式：例题1：计算极限lim(x->0) (3x - sinx) / x由于sin(x)是一个连续函数且lim(x->0) sinx = 0，因此可以使用等价无穷小替换公式将sinx替换为0。

即lim(x->0) (3x - sinx) / x ≈ lim(x->0) (3x - 0) / x =lim(x->0) 3 = 3例题2：计算极限lim(x->0) (sinx - 2x) / (1 - cosx)由于lim(x->0) sinx = 0且lim(x->0) 1 - cosx = 0，所以可以使用等价无穷小替换公式将sinx替换为0，cosx替换为1即lim(x->0) (sinx - 2x) / (1 - cosx) ≈ lim(x->0) (0 - 0) / (1 - 1) = 0在以上例题中，都是通过使用等价无穷小替换公式简化计算过程，但在应用中需要注意使用等价无穷小替换公式的条件，确保计算结果的准确性。

高等数学求极限的方法对于求解极限的方法可以归结为以下几类: (1)常用等价无穷小记住以下常用等价无穷小1+tan1sinxx,，例1 求极限limx,0xx(1cos),(1+tan1sin)(1+tan1sin)xxxx,，，，【解】原式=limx,0xxxx(1cos)(1+tan1sin),，，tanxsinx, ,limx,0xxxx(1cos)(1+tan1sin),，，tan(1cos)xx, ,limx,0x(1cos)(1+tan1sin),，，xxxx1 ,,limx,02x(1010)，，，例求下列极限21cos，x2x4()1,xe,12wIIw(I)lim()lim, ,3,,xx00xln(12)，1cos(1cos),,xx(2)等价无穷小的性质定理:有限个无穷小的代数和仍为无穷小.定理:有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论:常数与无穷小的乘积是无穷小.推论:有限个无穷小的乘积也是无穷小.1【解】为有界量，原式xx,, ？,lim1cos0,limsin0xx,,00x【注】本题也可以利用常用的等价无穷小公式.(3)常用的极限sinsinxxxx,, , 极限不存在limlim1lim0limxxxx,,,,,,00xxxxsinsin 11ln(1)，xxx，,，, ,lim(1)lim(1)lim1xexxx,,,,00xxnnlim1lim1nC, , nn,,,,11xx例4 ，求w=lim(2),,xx(4)极限存在的两个准则夹逼准则(1)如果数列及满足下列条件xyz{},{}{}:nnn,,, ,,,那么数列的极限存在，且yxznyzaxxa(1)(1,2,3,...);(2)limlim,{}lim. nnnnnnn,,,,,,nnn 单调有界准则(2)单调有界数列必有极限.(5)极限的定义(6)洛必达法则【解】(7)变量替换11xAx方法，而 ,，,we2lim(2),,xx01tt，,1(21),xt1/t0xA,，,,,,,,,,，,，lim(21)limlim(12ln2)1ln2,,,,,xtt00xt ，1ln2故wee,,2(8)泰勒公式。

这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。

其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。

1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。

如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。

关键要记住道理lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x)其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。

2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。

f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看：f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。

当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。

比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)，所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。

但是如果碰到ln(1+x)-x，那么ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)，此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。

此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。

碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似：ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)那么ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2)这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。

也就是说用x-x^2/2作为ln(1+x)的等价无穷小量得到的结果更好。

等价无穷小求函数极限1绪论1.1研究背景和意义极限的概念是微积分学重要概念之一，是微积分学的基础。

现有的极限问题的求解方法主要有以下几种: 定义法、利用两个重要极限、利用等价无穷小、函数极限四则运算和洛必达法则。

函数极限是描述函数变化趋势的重要概念，是从近似认识精确、从有限认识无限、从量变认识质变的一种数学方法。

其中，运用等价无穷小来替换函数中的无穷小因子是求函数极限中一种非常普遍、非常快捷的方法，由于这一方法运用起来比较方便，并且能在很大程度上简化计算。

虽说无穷小量分离、约零因子、利用重要极限、罗比达法则等常用求极限的方法都有其自身的价值，但等价无穷小代换求极限以其快捷、简便、适用性强等优点成为一类代表算法,用它可以求解某些用其他方法难以求解的极限问题，使之化繁为简，化难为易。

等价无穷小是高等数学中最基本的概念之一，同时又是高等数学的重要组成部分，因此它的应用的深入发展对于数学的发展具有及其深远的意义。

研究等价无穷小量在求极限中的应用,有助于人们更系统，更全面的认识等价无穷小量在数学计算中的作用。

等价无穷小量做代换是计算极限的一种常用、方便、有效的方法,用它可以求到某些用其它方法难以求到的极限问题,达到化繁为简目的。

生产和实验的很多计算过程中的变量都可以用等价无穷小来替换,从而简化计算。

等价无穷小可以把繁琐的实际问题化为一种简单的形式，从而引导人们用更简便的方法解决实际问题。

用等价无穷小求极限是高等数学中的一个重要工具，它在生活中的应用是理论和实际相联系的强有力的纽带。

因此，等价无穷小在函数求极限的问题中具有十分重要的应用，本文中将对等价无穷小函数求极限的方法进行研究，并通过实例对方法进行介绍。

等价无穷小量代换是指在极限运算过程中，将一些无穷小量用与其等价的无穷小量来替代，从而达到简化计算的目的。

利用等价无穷小量求极限，只对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代替，而对极限式中的相加或相减部分则说明不能随意替代。

关于等价无穷小的代换法求极限探讨作者：杨美香来源：《科技资讯》 2014年第30期杨美香(桂林电子科技大学数学与计算科学学院广西桂林 541004)摘要：利用等价无穷小的代换求极限是一种非常重要的方法，如果运用得当，能起到化繁为简，化难为易的作用。

但在很多高等数学的教材中只给出了等价无穷小在商极限运算中的应用。

虽然教学中强调对于积和商可以用等价去穷小的代换计算极限，但对于和差运算该方法失效。

由于对于积运算没有相应的性质定理，因此对学生而言到底什么时候可以用什么时候不能用还是比较含糊的。

基于此，对等价无穷小的代换法在和差积商中应用进行探讨，明确给出了等价无穷小代换求极限的方法的适用范围，并给出了证明。

关键词：等价无穷小代换法求极限探讨中图分类号：O211.4文献标识码：A文章编号：1672-3791(2014)10(c)-0175-02利用等价无穷小的代换求极限是一种非常重要的方法，如果运用得当，能起到化繁为简，化难为易的作用。

但在很多高等数学的教材中只给出了等价无穷小在商极限运算中的运用。

虽然教学中强调对于积和商可以用等价去穷小的代换计算极限，对于和差运算该方法失效。

由于对于积运算没有相应的性质定理，因此对学生而言到底什么时候可以用什么时候不能用还是比较含糊的。

基于此，对等价无穷小的代换法在和差积商中的运算进行探讨，明确等价无穷小代换求极限的方法的适用范围是很有必要的。

1 无穷小的和、差、积、商运算中等价无穷小的代换法2 结语通过以上分析探讨，在用等价无穷小代换法求极限时，如果是无穷小的商的极限，可直接对分子或分母整体进行等价代换；如果无穷小是分子或分母的乘积因式，也可以对分子、分母中的无穷小乘积因式用等价代换；如果是无穷小的和差运算，在满足定理条件的情况下，也可以用等价无穷小的代换计算极限，如果不满足定理的条件，可以通过适当的化简，化成乘积因式，然后再用等价无穷小的代换或其它方法求出极限。

从而对等价无穷小的代换法求极限问题得到很好的解决，明确了使用该方法求极限的范围。

那个问题很多人都弄不明白，很多自以为明白的人也不负责任地说一句“乘除能够，加减不行”，包括很多高校教师。

其实这种讲法是不对的！关键是要明白其中的道理，而不是记住结论。

1•做乘除法的时候必然能够替换，那个大伙儿都明白。

若是f(x)〜u(x), g(x)〜v(x),那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)o关键要记住道理lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x)苴中两项的极限是1,因此就顺利替换掉了。

2.加减法的时候也能够替换！可是注意保留余项。

f(x)〜u(x)不能推岀f(x)+g(x)〜u(x)+g(x),那个是很多人说不能替换的缘故，可是若是你如此看：f(x)〜u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x)),那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x)),注意那个地址是等号,因此必然是成立的！问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成髙阶的无穷小量，现在余项o(f(x))成为主导，因此不能忽略掉。

当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是能够忽略的。

比如你的例子，ln(1+x)+x是能够替换的，因为ln(1 +x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x),因此ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。

可是若是碰着ln(1+x)-x,那么ln(1 +x)+x=[x+o(x)]-x=o(x),现在发生了相消，余项o(x)成了主导项。

现在那个式子仍然是成立的！只只是用它来作为分子或分母的极限问题可能取得不定型而无法直接求出来罢了。

碰着这种情形也不是说就不能替换，若是你换一个高阶近似：ln(1 +x)=x-x A2/2+o(x A2)那么ln(1 +x)-x=-x A2/2+o(x A2)那个和前而ln(1+x)-x=o(x)是相容的，可是是更成心义的结果，现在余项0(x^2)能够忽略。