1.4全等三角形(浙教版)

专题1.4 全等三角形的性质【八大题型】【浙教版】【题型1 全等图形的概念】 (1)【题型2 全等三角形的对应元素判断】 (2)【题型3 全等三角形的性质（求长度）】 (3)【题型4 全等三角形的性质（求角度）】 (4)【题型5 全等三角形的性质（判断结论）】 (5)【题型6 全等三角形的性质（探究角度之间的关系）】 (6)【题型7 全等三角形的性质（动点问题）】 (7)【题型8 全等三角形的性质（证明题）】 (8)【题型1 全等图形的概念】【例1】（2022春•偃师市期末）下列说法不正确的是（）A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同B．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关C．全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形D．全等三角形的对应边相等，对应角相等【变式1-1】（2021秋•思南县期中）有下列说法，其中正确的有（）①两个等边三角形一定能完全重合；②如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同；③两个等腰三角形一定是全等图形；④面积相等的两个图形一定是全等图形．A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-2】（2021秋•蔡甸区期中）如图，有①～⑤5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，则②～⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形全等的有（）A．②③④B．③④⑤C．②④⑤D．②③⑤【变式1-3】（2021春•宁德期末）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于．【题型2 全等三角形的对应元素判断】【例2】（2021秋•南沙区期末）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（）A．115°B．65°C．40°D．25°【变式2-1】（2021秋•大连期中）如图，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB和AC是对应边，其它对应边及对应角正确的是（）A．∠ANB和∠AMC是对应角B．∠BAN和∠CAB是对应角C．AM和BM是对应边D．BN和CN是对应边【变式2-2】（2021春•泰兴市期末）边长都为整数的△ABC和△DEF全等，AB与DE是对应边，AB＝2，BC＝4，若△DEF的周长为奇数，则DF的值为（）A．3B．4C．3或5D．3或4或5【变式2-3】（2021秋•鲁甸县期末）如果△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x ﹣2，2y﹣1，若这两个三角形全等，则x+y＝．【题型3 全等三角形的性质（求长度）】【例3】（2021秋•青田县期末）如图，已知△ABC≌△DEF，B，E，C，F在同一条直线上．若BF＝8cm，BE＝2cm，则CE的长度（）cm．A．5B．4C．3D．2【变式3-1】（2022秋•巴南区期末）如图，△ABC≌△BDE，AB⊥BD，AB＝BD，AC＝4，DE＝3，CE的长为（）A．1B．2C．3D．4【变式3-2】（2020秋•永嘉县校级期末）如图，已知△ABC≌△DBE，点A，C分别对应点D，E，BC交DE于点F，∠ABD＝∠E，若BE＝10，CF＝4，则EF的长为（）A．4B．5C．6D．7【变式3-3】（2021春•沙坪坝区期末）如图，△ABC中，点D、点E分别在边AB、BC上，连结AE、DE，若△ADE≌△BDE，AC：AB：BC＝2：3：4，且△ABC的周长比△AEC的周长大6．则△AEC的周长为．【题型4 全等三角形的性质（求角度）】【例4】（2022春•鼓楼区校级期末）如图，△ABC≌△A′B′C′，边B′C′过点A且平分∠BAC交BC 于点D，∠B＝27°，∠CDB′＝98°，则∠C′的度数为（）A．60°B．45°C．43°D．34°【变式4-1】（2021秋•民权县期末）如图，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝94°，则∠BAC的度数的值为（）A．84°B．60°C．48°D．43°【变式4-2】（2021秋•招远市期中）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝56°，则∠CAF的度数为（）A．36°B．24°C．56°D．34°【变式4-3】（2022春•武侯区期末）如图，在△ABC中，在边BC上取一点D，连接AD，在边AD上取一点E，连接CE．若△ADB≌△CDE，∠BAD＝α，则∠ACE的度数为（）A．αB．α﹣45°C．45°﹣αD．90°﹣α【题型5 全等三角形的性质（判断结论）】【例5】（2022•龙岗区模拟）如图，△ABC≌△A′B′C，且点B′在AB边上，点A′恰好在BC的延长线上，下列结论错误的是（）A．∠BCB′＝∠ACA′B．∠ACB＝2∠BC．∠B′CA＝∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′【变式5-1】（2021春•海口期末）如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF，②∠F AB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠F AC，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式5-2】（2021秋•新乐市期末）如图，△ABD≌△EBC，AB＝12，BC＝5，A，B，C三点共线，则下列结论中：①CD⊥AE；②AD⊥CE；③∠EAD＝∠ECD；正确的是【变式5-3】（2021秋•五常市期末）如图，点E是CD上的一点，Rt△ACD≌Rt△EBC，则下结论：①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB＝90°，④AD+DE＝BE，成立的有个．【题型6 全等三角形的性质（探究角度之间的关系）】【例6】（2022•长春二模）如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD ＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（）A．α＝βB．α＝2βC．α+β＝90°D．α+2β＝180°【变式6-1】（2021秋•林州市期末）如图，点D，E，F分别在△ABC的边AB，BC，CA上（不与顶点重合），设∠BAC＝α，∠FED＝θ．若△BED≌△CFE，则α，θ满足的关系是（）A．α+θ＝90°B．α+2θ＝180°C．α﹣θ＝90°D．2α+θ＝180°【变式6-2】（2022春•徐汇区校级期末）如图，N，C，A三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（）A．1：2B．1：3C．2：3D．1：4【变式6-3】（2022•定远县模拟）如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F，若∠BAC＝α，∠BFC＝β，则（）A．2α+β＝180°B．2β﹣α＝145°C．α+β＝135°D．β﹣α＝60°【题型7 全等三角形的性质（动点问题）】【例7】（2021秋•柘城县期中）如图，∠C＝∠CAM＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，点P在线段AC上，以2cm/s速度从点A出发向点C运动，到点C停止运动．点Q在射线AM上运动，且PQ＝AB．若△ABC 与△PQA全等，则点P运动的时间为（）A．4s B．2s C．2s或3s或4s D．2s或4s【变式7-1】（2021春•浦东新区校级期末）△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝9厘米，点D 为AB的中点．如果点P在线段BC上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为（）A．2.5B．3C．2.25或3D．1或5【变式7-2】（2021春•和平区期末）如图，CA⊥AB于点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒沿射线AB运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，若点E经过t秒（t＞0），△DEB与△BCA全等，则t的值为秒．【变式7-3】（2021春•高新区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E、作QF⊥l于F，当点P运动秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等．【题型8 全等三角形的性质（证明题）】【例8】（2021秋•大化县期中）如图所示，已知△ABD≌△CFD，AD⊥BC于D．（1）求证：CE⊥AB；（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的长．【变式8-1】（2021秋•海淀区校级期中）如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．（1）线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由．（2）请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明．【变式8-2】（2021秋•灌云县月考）如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．（1）求证：BC＝DE+CE；（2）当△ABC满足什么条件时，BC∥DE？【变式8-3】（2021秋•定远县校级期中）如图所示，△ACD≌△ECD，△CEF≌△BEF，∠ACB＝90°．（1）求证：CD⊥AB；（2）求∠B的度数；（3）求证：EF∥AC．。

全等三角形教学目标：1、通过操作活动理解全等三角形的概念。

2、掌握全等三角形的记法、符号的意义，读法及全等三角形的性质。

3、通过操作活动，使学生能较好掌握全等三角形的对应顶点，对应角和对应边。

并培养学生的动手能力，发散思维能力及小组合作精神。

4、学会找全等三角形，设计全等三角形，培养观察能力和创造能力。

教学重点：全等三角形的性质教学难点：运用全等三角形的性质进行有关边、角的计算教学过程：一、温故，引入新课：看一看：（考考你的眼力）：下图中的两副图片全等吗？（1）两X照片（2）飞机模型（3）两个略有不同的商标。

（4）两个三角形（位置不同）二、概念教学：1、让学生猜想，剪纸验证。

让学生探究后，教师讲授：能完全重合的三角形叫全等三角形，(黑板上另外画出全等三角形)。

记做：ΔABC≌ΔDEF，“≌”表示形状相同，大小相等，读作：三角形ABC全等于三角形DEF。

（5分）说一说：2、（课件中的两个三角形都标上字母）AB=7，BC=5，∠ABC=45°，∠BCA=70°，你能求出DE、EF的长及∠DEF、∠EDF的度数吗？为什么？由此，你能总结出什么规律来吗？获得了什么经验？学生回答后，教师板书：全等三角形对应边相等，对应角相等。

学生回答为什么后，教师讲授：（1）、能完全重合的顶点叫对应顶点，对应顶点有：点Ａ与点Ｅ，点Ｂ与点Ｆ，点Ｃ与点F。

（2）、能完全重合的边叫对应边：对应边有AB与DE，BC与EF，AC与DF，注意：相对应的字母应写在相对应的位置上。

（3）、能完全重合的角叫对应角，对应角有：∠ABC与∠DEF，∠BCA与∠EFD，∠CAB与∠FDE（板书）。

注意：在平时的书写过程中，通常把表示对应顶点的字母写在相对应的位置上。

反过来，这种标记相等的方法，可以帮助我们分析图形。

（5分）三、巩固练习：3、请大家一起来看一些我们平时喜欢的一些玩具：找一找：A 风车，用七巧板拼成的船。

请你在图中找出两对全等的三角形，并指出其中的对应角和对应边。

浙教版数学八年级上册《1.4 全等三角形》教案4一. 教材分析《1.4 全等三角形》是浙教版数学八年级上册的教学内容，本节内容主要让学生了解全等三角形的概念，掌握全等三角形的性质和判定方法，并能够运用全等三角形的性质解决实际问题。

全等三角形是初中数学中的重要概念，也是后续学习几何知识的基础。

通过本节内容的学习，学生能够进一步理解数学的逻辑性和严谨性。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了三角形的基本知识，如三角形的性质、分类等。

但全等三角形的概念和性质较为抽象，学生可能难以理解和掌握。

因此，在教学过程中，需要结合学生的实际情况，采用生动形象的实例和丰富的教学手段，帮助学生理解和掌握全等三角形的知识。

三. 教学目标1.了解全等三角形的概念，掌握全等三角形的性质和判定方法。

2.能够运用全等三角形的性质解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.全等三角形的概念和性质的理解。

2.全等三角形的判定方法的掌握。

3.运用全等三角形的性质解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究全等三角形的性质和判定方法。

2.利用多媒体辅助教学，展示生动形象的实例，帮助学生理解和掌握全等三角形的知识。

3.采用小组合作学习，让学生在讨论和交流中巩固全等三角形的知识。

4.运用例题讲解和练习，提高学生运用全等三角形解决实际问题的能力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.全等三角形的PPT课件。

3.练习题和测试题。

4.三角板和剪刀等教具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的三角形图片，引导学生思考：这些三角形有什么共同的特点？你能从中找出全等的三角形吗？从而引出全等三角形的概念。

2.呈现（10分钟）讲解全等三角形的定义和性质，让学生通过观察和操作，理解全等三角形的概念。

同时，引导学生发现全等三角形的判定方法。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组找出一些全等的三角形，并说明判定方法。

1.4 全等三角形-浙教版八年级数学上册教案一、教学目标1.了解全等三角形的概念和性质；2.掌握全等三角形的证明方法；3.能够运用全等三角形作证明。

二、教学重点1.全等三角形的概念和性质；2.全等三角形的证明方法。

三、教学难点1.全等三角形的证明方法；2.能够应用全等三角形进行证明。

四、教学方法1.讲授法；2.示例法；3.案例分析法。

五、教学过程1. 概念和性质1.引入全等三角形的概念；2.介绍全等三角形的性质（边角对应相等、角对应相等、边对应相等可以推出全等）；3.展示全等三角形的几何意义，描绘全等三角形的图形。

2. 全等三角形的证明方法1.在ABCDE五个点中，给出三条边分别为AB、BC、AC的三角形ABC和ADE，让学生求证当AE=AB，DE=BC时，∠DAE=∠ABC，并写出证明过程；2.在右边的图形中，给出两条边分别为AB、AC的三角形ABC和ADE，让学生分析余下的两条边DE和BC是否相等，并作证明；3.在三点共线情况下，给定等边三角形ABC和DEF，即AB=AC, DE=DF，且∠FDE=∠CAB，让学生证明EC=FB，并写出证明过程。

3. 全等三角形的应用1.提出一个具体问题，例如：在图形中，∠E=∠H，AD ⊥ EF，DE ⊥ AC，垂足分别为B、G，证明BE=GH；2.让学生分析该问题的条件，根据条件找出相应的几何关系，运用全等三角形作出正确证明。

六、教学评价1.能够正确引导学生掌握全等三角形的概念和性质；2.能够指导学生学会全等三角形的证明方法；3.能够指导学生运用全等三角形作证明；4.评价学生的课堂表现和课后作业完成情况。

1.4全等三角形【教学目标】1.知识与技能：了解全等图形的概念；会用全等图形的定义判断两个图形是否全等，了解全等三角形的概念，理解全等三角形的性质。

2.过程与方法：借助具体情境，通过观察、实际操作等学习方法，发展学生的识图、推理和有条理地表述问题的能力。

3.情感、态度和价值观：从生活中具体情境抽象出全等图形的概念，从而培养学生用数学的观点考察周围事物的习惯，激发学生学习数学的兴趣。

【重点和难点】1.重点：全等三角形的概念和全等三角形的性质。

2.难点：用全等三角形的定义判断两个三角形全等：应用全等三角形的性质进行简单的推理，解决实际问题。

【教学设计】【创设情景】观察下列图形，你发现了什么？如果把每一对中的两个图形叠在一起，它们能重合吗？【探究新知】能够的两个图形称为图形。

【练一练】下列各对图形是不是全等图形？为什么？(1)边长为5cm的两个正方形。

(2)三个角都为30°，60°，90°的两个三角形。

(2)半径相等的两个圆。

【创设情境】如图△ABC和△DEF是全等图形吗？你是怎么知道的？A EFBD图（1）C图形2D C B A 图形3F E D C B A 图形421DC B AC B 【探究新知】能够重合的两个三角形叫做 。

两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫做全等三角形的 ，互相重合的边叫做全等三角形的 ，互相重合的角叫做全等三角形的 。

如上图，△ABC 和△DEF 全等，点A 和 ， 和点E ，点C 和 分别是对应顶点；AB 和 ， 和EF ， 和DF 分别是对应边；∠A 和∠D ， 和 ，∠C 和 分别是对应角。

“全等”可用符号“≌”来表示，如△ABC 和△DEF 全等，记做“△ABC △DEF ”，读做 “三角形ABC 全等于三角形DEF ”。

【注】表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上。

【练一练】如图2中的两个三角形全等，AB 和DC ，AC 和DB 是对应边， 用符号表示这两个三角形全等：△ABC ≌△ ，还有一组对应边是 和 ，对应角是∠BAC 和 ，∠ABC 和 ，∠ACB 和 。

1.4 全等三角形的判定知识点梳理1、全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．2、线段垂直平分线的性质（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．题型梳理题型一找条件证全等1．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD2．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD3．如图，在△ABC和△DEF中，∠B＝∠DEF，AB＝DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（）A．∠A＝∠D B．BC＝EF C．∠ACB＝∠F D．AC＝DF4．如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（）A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBA C．∠C＝∠D D．BC＝AD5．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCBC．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB6．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC一定全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙7．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD8．如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是（）A．B．C．D．9．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．BF＝EC10．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC11．如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（）A．∠B＝∠E，BC＝EF B．BC＝EF，AC＝DFC．∠A＝∠D，∠B＝∠E D．∠A＝∠D，BC＝EF12．如图，EB交AC于点M，交FC于点D，AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：其中正确的结论有（）①∠1＝∠2；②BE＝CF；③△ACN≌△ABM；④CD＝DN；⑤△AFN≌△AEM．A．2个B．3个C．4个D．5个13．如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD＝AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是．（只填一个即可）14．如图，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个，不添加辅助线）15．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC （不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是．16．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB，③AB ＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是（只填序号）．17．如图，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是（添加一个条件即可）．题型二直接证明全等1．如图，已知AB＝DE，∠B＝∠E，添加下列哪个条件可以利用SAS判断△ABC≌△DEC．正确的是：．①∠A＝∠D；②BC＝EC；③AC＝DC；④∠BCE＝∠ACD．2．如图，已知∠ABC＝∠DCB，增加下列条件：①AB＝CD；②AC＝DB；③∠A＝∠D；④∠ACB＝∠DBC；能判定△ABC≌△DCB的是．（填序号）3．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，求证：△ABC ≌△DEF．4．如图，∠C＝∠E，AC＝AE，点D在BC边上，∠1＝∠2，AC和DE相交于点O．求证：△ABC≌△ADE．5．已知，如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD．6．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌△CFE．7．已知：如图，点A、E、F、C在同一条直线上，AD∥CB，∠1＝∠2，AE＝CF．求证：△ADF≌△CBE．8．如图，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：△ABC≌△DEF．9．如图，已知AB∥CF，D是AB上一点，DF交AC于点E，若AB＝BD+CF，求证：△ADE ≌△CFE．题型三动点与全等（分类讨论，找到对应定点）1．已知△ABC中，AB＝BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出个．2．△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P 在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A 点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为．3．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝24，AC＝12，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E 从A点出发以3厘米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过秒时，△DEB与△BCA全等．4．如图，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当AP＝时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等．5．已知：如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6．延长BC 到点E ，使CE ＝2，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC ﹣CD ﹣DA 向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为 秒时，△ABP 和△DCE 全等．6．（多选）如图，AB ＝4cm ，AC ＝BD ＝3cm ，∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以1cm /s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．设运动时间为t （s ），则当△ACP 与△BPQ 全等时，点Q 的运动速度为 cm /s ．A .13；B .1；C .1.5；D .2．7．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，直线l 经过点C 且与边AB 相交．动点P 从点A 出发沿A →C →B 路径向终点B 运动；动点Q 从点B 出发沿B →C →A 路径向终点A 运动．点P 和点Q 的速度分别为2cm /s 和3cm /s ，两点同时出发并开始计时，当点P 到达终点B 时计时结束．在某时刻分别过点P 和点Q 作PE ⊥l 于点E ，QF ⊥l 于点F ，设运动时间为t 秒，则当t ＝ 秒时，△PEC 与△QFC 全等．8．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝CD ＝6cm ，BC ＝10cm ，点P 从点B 出发，以2cm /秒的速度沿BC 向点C 运动，设点P 的运动时间为t 秒：（1）PC ＝ cm ．（用t 的代数式表示）（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D 运动，是否存在这样v的值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．9．如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB 上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．题型四全等判定的实际应用1．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去2．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去3．如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS4．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（）A．第1块B．第2块C．第3块D．第4块5．如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快就画了一个与书本上完全一样的三角形，那么聪聪画图的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS6．如图，一块三角形玻璃碎成了4块，现在要到玻璃店去配一块与原来的三角形玻璃完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（）去．A．①B．②C．③D．④7．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（）A．PO B．PQ C．MO D．MQ8．如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（）A．SAS B．HL C．SSS D．ASA9．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形．他的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS10．如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M处立了标杆，使∠CBM＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA11．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第块．12．如图所示，某同学将一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带第块去．（填序号）13．如图所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带去玻璃店．14．如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上．若想知道两点A，B的距离，只需要测量出线段即可．15．如图所示，一块三角形玻璃碎成了4块，现在要到玻璃店去配一块与原来的三角形玻璃完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带．16．淇淇同学沿一段笔直的人行道行走，在由A处步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足为D，已知AB＝20米，请根据上述信息求标语CD的长度．17．公路上，A，B两站相距25千米，C、D为两所学校，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，如图，已知DA＝15千米，现在要在公路AB上建一报亭H，使得C、D两所学校到H的距离相等，且∠DHC＝90°，问：H应建在距离A站多远处？学校C到公路的距离是多少千米？题型五垂直平分线的性质与应用1．如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm2．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为（）A．48°B．36°C．30°D．24°3．如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A＝50°，则∠BDC＝（）A．50°B．100°C．120°D．130°4．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD为（）A．50°B．70°C．75°D．80°5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm6．如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（）A．12B．13C．14D．157．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，CD平分∠ACB，若∠A＝50°，则∠B的度数为（）A．25°B．30°C．35°D．40°8．如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为．9．如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB＝6，AC＝9，则△ABD的周长是．10．如图，在▱ABCD中，AB＝3，BC＝5，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，则△CDE的周长为．答案与解析题型一找条件证全等1．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BD＝CE D．BE＝CD【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加条件，逐一证明即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠A为公共角，A、如添加∠B＝∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；B、如添AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；C、如添BD＝CE，等量关系可得AD＝AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；D、如添BE＝CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．故选：D．2．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD【分析】本题要判定△ABC≌△DCB，已知∠ABC＝∠DCB，BC是公共边，具备了一组边对应相等，一组角对应相等，故添加AB＝CD、∠ACB＝∠DBC、∠A＝∠D后可分别根据SAS、ASA、AAS能判定△ABC≌△DCB，而添加AC＝BD后则不能．【解答】解：A、可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B、可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C、利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意；D、SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；故选：D ．3．如图，在△ABC 和△DEF 中，∠B ＝∠DEF ，AB ＝DE ，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC ≌△DEF ，这个条件是（ ）A ．∠A ＝∠DB ．BC ＝EF C ．∠ACB ＝∠FD ．AC ＝DF【分析】根据全等三角形的判定，利用ASA 、SAS 、AAS 即可得答案．【解答】解：∵∠B ＝∠DEF ，AB ＝DE ，∴添加∠A ＝∠D ，利用ASA 可得△ABC ≌△DEF ；∴添加BC ＝EF ，利用SAS 可得△ABC ≌△DEF ；∴添加∠ACB ＝∠F ，利用AAS 可得△ABC ≌△DEF ；故选：D ．4．如图，已知∠ABC ＝∠BAD ，添加下列条件还不能判定△ABC ≌△BAD 的是（ ）A ．AC ＝BDB ．∠CAB ＝∠DBAC ．∠C ＝∠D D ．BC ＝AD【分析】根据全等三角形的判定：SAS ，AAS ，ASA ，可得答案．【解答】解：由题意，得∠ABC ＝∠BAD ，AB ＝BA ，A 、∠ABC ＝∠BAD ，AB ＝BA ，AC ＝BD ，（SSA ）三角形不全等，故A 错误；B 、在△ABC 与△BAD 中，{∠ABC =∠BADAB =BA ∠CAB =∠DBA，△ABC ≌△BAD （ASA ），故B 正确；C 、在△ABC 与△BAD 中，{∠C =∠D∠ABC =∠BAD AB =BA，△ABC ≌△BAD （AAS ），故C 正确；D 、在△ABC 与△BAD 中，{BC =AD∠ABC =∠BAD AB =BA，△ABC ≌△BAD （SAS ），故D 正确；故选：A ．5．如图，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．AB＝DC，AC＝DB B．AB＝DC，∠ABC＝∠DCBC．BO＝CO，∠A＝∠D D．AB＝DC，∠DBC＝∠ACB【分析】本题要判定△ABC≌△DCB，已知BC是公共边，具备了一组边对应相等．所以由全等三角形的判定定理作出正确的判断即可．【解答】解：根据题意知，BC边为公共边．A、由“SSS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；B、由“SAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；C、由BO＝CO可以推知∠ACB＝∠DBC，则由“AAS”可以判定△ABC≌△DCB，故本选项错误；D、由“SSA”不能判定△ABC≌△DCB，故本选项正确．故选：D．6．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC一定全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙【分析】根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC全等，甲与△ABC不全等．【解答】解：乙和△ABC全等；理由如下：在△ABC和图乙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：SAS，所以乙和△ABC全等；在△ABC和图丙的三角形中，满足三角形全等的判定方法：AAS，所以丙和△ABC全等；不能判定甲与△ABC全等；故选：B．7．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD【分析】根据题目所给条件∠ABC＝∠DCB，再加上公共边BC＝BC，然后再结合判定定理分别进行分析即可．【解答】解：A、添加∠A＝∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；B、添加AB＝DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C、添加∠ACB＝∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；D、添加AC＝BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意；故选：D．8．如图，有一张三角形纸片ABC，已知∠B＝∠C＝x°，按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，可能得不到全等三角形纸片的是（）A．B．C．D．【分析】根据全等三角形的判定定理进行判断．【解答】解：A、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，故本选项不符合题意；B、由全等三角形的判定定理SAS证得图中两个小三角形全等，故本选项不符合题意；C、如图1，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，所以其对应边应该是BE和CF，而已知给的是BD＝FC＝3，所以不能判定两个小三角形全等，故本选项符合题意；D、如图2，∵∠DEC＝∠B+∠BDE，∴x°+∠FEC＝x°+∠BDE，∴∠FEC＝∠BDE，∵BD＝EC＝2，∠B＝∠C，∴△BDE≌△CEF，所以能判定两个小三角形全等，故本选项不符合题意；由于本题选择可能得不到全等三角形纸片的图形，故选：C．9．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）A．AB＝DE B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．BF＝EC【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判断即可．【解答】解：选项A、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项错误；选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项错误；选项C、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项正确；选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项错误．故选：C．10．如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（）A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC【分析】分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：SSS、SAS、AAS进行判断即可．【解答】解：选项A、添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；选项B、添加AC＝DF可用AAS进行判定，故本选项不符合题意；选项C、添加AB＝DE可用AAS进行判定，故本选项不符合题意；选项D、添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用ASA进行判定，故本选项不符合题意．故选：A．11．如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（）A．∠B＝∠E，BC＝EF B．BC＝EF，AC＝DFC．∠A＝∠D，∠B＝∠E D．∠A＝∠D，BC＝EF【分析】分别对各选项中给出条件证明△ABC≌△DEF，进行一一验证即可解题．【解答】解：（1）在△ABC 和△DEF 中，{AB =DE ∠B =∠E BC =EF，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）；故A 正确；（2）在△ABC 和△DEF 中，{AB =DE BC =EF AC =DF，∴△ABC ≌△DEF （SSS ）；故B 正确；（3）在△ABC 和△DEF 中，{∠A =∠D AB =DE ∠B =∠E，∴△ABC ≌△DEF （ASA ）；故C 正确；（4）无法证明△ABC ≌△DEF ，故D 错误；故选：D ．12．如图，EB 交AC 于点M ，交FC 于点D ，AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C ，AE ＝AF ，给出下列结论：其中正确的结论有（ ）①∠1＝∠2；②BE ＝CF ；③△ACN ≌△ABM ；④CD ＝DN ；⑤△AFN ≌△AEM ．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【分析】①正确．可以证明△ABE ≌△ACF 可得结论．②正确，利用全等三角形的性质可得结论．③正确，根据ASA 证明三角形全等即可．④错误，本结论无法证明．⑤正确．根据ASA证明三角形全等即可．【解答】解：∵∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴BE＝CF，AF＝AE，故②正确，∠BAE＝∠CAF，∠BAE﹣∠BAC＝∠CAF﹣∠BAC，∴∠1＝∠2，故①正确，∵△ABE≌△ACF，∴AB＝AC，又∠BAC＝∠CAB，∠B＝∠C△ACN≌△ABM（ASA），故③正确，CD＝DN不能证明成立，故④错误∵∠1＝∠2，∠F＝∠E，AF＝AE，∴△AFN≌△AEM（ASA），故⑤正确，故选：C．13．如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD＝AE，BC∥EF，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是BC＝EF或∠BAC＝∠EDF．（只填一个即可）【分析】BC＝EF或∠BAC＝∠EDF，若BC＝EF，根据条件利用SAS即可得证；若∠BAC ＝∠EDF，根据条件利用ASA即可得证．【解答】解：若添加BC＝EF，∵BC∥EF，∴∠B＝∠E，∵BD＝AE，∴BD﹣AD＝AE﹣AD，即BA＝ED，在△ABC和△DEF中，{∠B =∠E BA =ED，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）；若添加∠BAC ＝∠EDF ，∵BC ∥EF ，∴∠B ＝∠E ，∵BD ＝AE ，∴BD ﹣AD ＝AE ﹣AD ，即BA ＝ED ，在△ABC 和△DEF 中，{∠B =∠E BA =ED ∠BAC =∠EDF，∴△ABC ≌△DEF （ASA ），故答案为：BC ＝EF 或∠BAC ＝∠EDF14．如图，已知AB ＝BC ，要使△ABD ≌△CBD ，还需添加一个条件，你添加的条件是 ∠ABD ＝∠CBD 或AD ＝CD ． ．（只需写一个，不添加辅助线）【分析】由已知AB ＝BC ，及公共边BD ＝BD ，可知要使△ABD ≌△CBD ，已经具备了两个S 了，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS ，②SSS ．所以可添∠ABD ＝∠CBD 或AD ＝CD ．【解答】解：答案不唯一．①∠ABD ＝∠CBD ．在△ABD 和△CBD 中，∵{AB =BC∠ABD =∠CBD BD =BD，∴△ABD ≌△CBD （SAS ）；②AD ＝CD ．在△ABD 和△CBD 中，∵{BD=BDAD=CD，∴△ABD≌△CBD（SSS）．故答案为：∠ABD＝∠CBD或AD＝CD．15．如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC （不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是AC＝BC（答案不唯一）．【分析】添加AC＝BC，根据三角形高的定义可得∠ADC＝∠BEC＝90°，再添加AC＝BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC．【解答】解：添加AC＝BC（答案不唯一），∵△ABC的两条高AD，BE，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，在△ADC和△BEC中{∠ADC=∠BEC ∠C=∠CAC=BC，∴△ADC≌△BEC（AAS），故答案为：AC＝BC（答案不唯一）．16．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB，③AB ＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是②（只填序号）．【分析】一般三角形全等的判定方法有SSS，SAS，AAS，ASA，据此可逐个对比求解．【解答】解：∵已知∠ABC＝∠DCB，且BC＝CB∴若添加①∠A＝∠D，则可由AAS判定△ABC≌△DCB；若添加②AC＝DB，则属于边边角的顺序，不能判定△ABC≌△DCB；若添加③AB＝DC，则属于边角边的顺序，可以判定△ABC≌△DCB．故答案为：②．17．如图，AB＝AC，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是∠B＝∠C或AE＝AD（添加一个条件即可）．【分析】要使△ABE≌△ACD，已知AB＝AC，∠A＝∠A，则可以添加一个边从而利用SAS来判定其全等，或添加一个角从而利用AAS来判定其全等．【解答】解：添加∠B＝∠C或AE＝AD后可分别根据ASA、SAS判定△ABE≌△ACD．故答案为：∠B＝∠C或AE＝AD．题型二直接证明全等1．如图，已知AB＝DE，∠B＝∠E，添加下列哪个条件可以利用SAS判断△ABC≌△DEC．正确的是：②．①∠A＝∠D；②BC＝EC；③AC＝DC；④∠BCE＝∠ACD．【分析】已知两个三角形的一组对应角相等和一组对应边相等，根据全等三角形的判定定理添加条件即可．【解答】解：∵AB＝DE，∠B＝∠E，∴添加①∠A＝∠D，利用ASA得出△ABC≌△DEC；∴添加②BC＝EC，利用SAS得出△ABC≌△DEC；∴添加④∠BCE＝∠ACD，得出∠ACB＝∠DCE，利用AAS得出△ABC≌△DEC；故答案为：②．2．如图，已知∠ABC＝∠DCB，增加下列条件：①AB＝CD；②AC＝DB；③∠A＝∠D；④∠ACB＝∠DBC；能判定△ABC≌△DCB的是①③④．（填序号）【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可．【解答】解：因为∠ABC ＝∠DCB ，BC ＝CB ，①AB ＝CD ，根据SAS 可以判定△ABC ≌△DCB ．②AC ＝DB ，无法判断△ABC ≌△DCB ．③∠A ＝∠D ，根据AAS 可以判定△ABC ≌△DCB ．④∠ACB ＝∠DBC ，根据ASA 可以判定△ABC ≌△DCB ．故答案为：①③④．3．已知：如图，A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF ＝DC ，AB ＝DE ，BC ＝EF ，求证：△ABC ≌△DEF ．【分析】先根据AF ＝DC ，可推得AF ﹣CF ＝DC ﹣CF ，即AC ＝DF ；再根据已知AB ＝DE ，BC ＝EF ，根据全等三角形全等的判定定理SSS ，即可证明△ABC ≌△DEF ．【解答】证明：∵AF ＝DC ，∴AF ﹣CF ＝DC ﹣CF ，即AC ＝DF ，在△ABC 和△DEF 中，{AC =DF AB =DE BC =EF，∴△ABC ≌△DEF （SSS ）．4．如图，∠C ＝∠E ，AC ＝AE ，点D 在BC 边上，∠1＝∠2，AC 和DE 相交于点O ．求证：△ABC ≌△ADE ．【分析】先利用三角形外角性质证明∠ADE ＝∠B ，然后根据“AAS ”判断△ABC ≌△ADE ．【解答】证明：∵∠ADC ＝∠1+∠B ，即∠ADE +∠2＝∠1+∠B ，而∠1＝∠2，∴∠ADE ＝∠B ，在△ABC 和△ADE 中，{∠C =∠E ∠B =∠ADE AC =AE∴△ABC ≌△ADE （AAS ）．5．已知，如图，AB ＝AE ，AB ∥DE ，∠ECB ＝70°，∠D ＝110°，求证：△ABC ≌△EAD ．【分析】由∠ECB ＝70°得∠ACB ＝110°，再由AB ∥DE ，证得∠CAB ＝∠E ，再结合已知条件AB ＝AE ，可利用AAS 证得△ABC ≌△EAD ．【解答】证明：由∠ECB ＝70°得∠ACB ＝110°又∵∠D ＝110°∴∠ACB ＝∠D∵AB ∥DE∴∠CAB ＝∠E在△ABC 和△EAD 中，{∠CAB=∠EAB=AE，∴△ABC≌△EAD（AAS）．6．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌△CFE．【分析】利用AAS证明：△ADE≌CFE．【解答】证明：∵FC∥AB，∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，在△ADE与△CFE中：∵{∠A=∠FCE ∠ADE=∠F DE=EF，∴△ADE≌△CFE（AAS）．7．已知：如图，点A、E、F、C在同一条直线上，AD∥CB，∠1＝∠2，AE＝CF．求证：△ADF≌△CBE．【分析】先利用平行线的性质得到∠A＝∠C，再证明AF＝CE，然后根据“ASA”可判断△ADF≌△CBE．【解答】证明：∵AD∥CB，∴∠A＝∠C，∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，在△ADF和△CBE中{AF =CE ∠1=∠2，∴△ADF ≌△CBE （ASA ）．8．如图，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BE ＝CF ，求证：△ABC ≌△DEF ．【分析】由BE ＝CF 知BC ＝EF ，结合AB ＝DE 、AC ＝DF ，利用“SSS ”即可得证．【解答】解：∵BE ＝CF ，∴BE +EC ＝CF +EC ，即BC ＝EF ，在△ABC 和△DEF 中，∵{AB =DE(已知)AC =DF(已知)BC =EF (已证)， ∴△ABC ≌△DEF （SSS ）．9．如图，已知AB ∥CF ，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，若AB ＝BD +CF ，求证：△ADE ≌△CFE ．【分析】根据全等三角形的判定解答即可．【解答】证明：∵AB ＝BD +CF ，又∵AB ＝BD +AD ，∴CF ＝AD∵AB ∥CF ，∴∠A ＝∠ACF ，∠ADF ＝∠F在△ADE 与△CFE 中{∠A =∠ACF CF =AD ∠ADF =∠F，∴△ADE≌△CFE（ASA）题型三动点与全等（分类讨论，找到对应定点）1．已知△ABC中，AB＝BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出7个．【分析】只要满足三边对应相等就能保证作出的三角形与原三角形全等，以腰为公共边时有6个，以底为公共边时有一个，答案可得．【解答】解：以AB为公共边有三个，以CB为公共边有三个，以AC为公共边有一个，所以一共能作出7个．故答案为：7．2．△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P 在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为2或3．【分析】此题要分两种情况：①当BD＝PC时，△BPD与△CQP全等，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求v；②当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，计算出BP的长，进而可得运动时间，然后再求v．【解答】解：当BD＝PC时，△BPD与△CQP全等，∵点D为AB的中点，∴BD=12AB＝6cm，∵BD＝PC，∴BP＝8﹣6＝2（cm），∵点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，∴运动时间时1s，∵△DBP≌△PCQ，∴BP＝CQ＝2cm，∴v＝2÷1＝2；当BD＝CQ时，△BDP≌△CQP，∵BD＝6cm，PB＝PC，∴QC＝6cm，∵BC＝8cm，∴BP＝4cm，∴运动时间为4÷2＝2（s），∴v＝6÷2＝3（m/s），故答案为：2或3．3．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝24，AC＝12，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E 从A点出发以3厘米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过0，4，12，16秒时，△DEB与△BCA全等．【分析】设点E经过t秒时，△DEB与△BCA全等；由斜边ED＝CB，分类讨论BE＝AC 或BE＝AB或AE＝0时的情况，求出t的值即可．【解答】解：设点E经过t秒时，△DEB与△BCA全等；此时AE＝3t，分情况讨论：（1）当点E在点B的左侧时，△DEB≌△BCA，则BE＝AC，∴24﹣3t＝12，∴t＝4；（2）当点E在点B的右侧时，①△DEB≌△BCA，BE＝AC时，3t＝24+12，∴t＝12；②△EDB≌△BCA，BE＝AB时，3t＝24+24，∴t＝16．（3）当点E与A重合时，AE＝0，t＝0；综上所述，点E经过0秒，4秒，12秒，16秒时，△DEB与△BCA全等．故答案为：0，4，12，16．4．如图，∠C＝90°，AC＝20，BC＝10，AX⊥AC，点P和点Q同时从点A出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当AP＝10或20时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABC全等．【分析】分两种情况：①当AP＝BC＝10时；②当AP＝CA＝20时；由HL证明Rt△ABC ≌Rt△PQA（HL）；即可得出结果．【解答】解：∵AX⊥AC，∴∠P AQ＝90°，∴∠C＝∠P AQ＝90°，分两种情况：①当AP＝BC＝10时，在Rt△ABC和Rt△QP A中，{AB=PQBC=AP，∴Rt△ABC≌Rt△QP A（HL）；②当AP＝CA＝20时，在△ABC和△PQA中，{AB=PQAP=AC，∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；综上所述：当点P运动到AP＝10或20时，△ABC与△APQ全等；故答案为：10或20．5．已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6．延长BC到点E，使CE＝2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为1或7秒时，△ABP和△DCE全等．【分析】由条件可知BP＝2t，当点P在线段BC上时可知BP＝CE，当点P在线段DA 上时，则有AD＝CE，分别可得到关于t的方程，可求得t的值．【解答】解：设点P的运动时间为t秒，则BP＝2t，当点P在线段BC上时，∵四边形ABCD为长方形，∴AB＝CD，∠B＝∠DCE＝90°，此时有△ABP≌△DCE，∴BP＝CE，即2t＝2，解得t＝1；当点P在线段AD上时，∵AB＝4，AD＝6，∴BC＝6，CD＝4，∴AP＝BC+CD+DA＝6+4+6＝16，∴AP＝16﹣2t，此时有△ABP≌△CDE，∴AP＝CE，即16﹣2t＝2，解得t＝7；综上可知当t为1秒或7秒时，△ABP和△CDE全等．故答案为：1或7．6．（多选）如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以1cm/s。

浙教版数学八年级上册《1.4 全等三角形》教学设计4一. 教材分析《1.4 全等三角形》是浙教版数学八年级上册的重要内容，主要介绍了全等三角形的概念、性质和判定方法。

全等三角形是几何学习中的基础概念，对于学生理解和掌握几何学的其他内容具有重要意义。

本节课的教学内容主要包括全等三角形的定义、性质、判定方法以及全等三角形的应用。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似三角形的知识，并具备了一定的观察、分析和解决问题的能力。

但全等三角形与相似三角形既有联系又有区别，学生需要在学习过程中进一步理解和掌握。

此外，学生对于实际生活中的几何问题还缺乏一定的联系和应用能力，需要通过本节课的学习来进行提升。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握全等三角形的概念、性质和判定方法，能运用全等三角形解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生几何思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探究的精神。

四. 教学重难点1.教学重点：全等三角形的概念、性质和判定方法。

2.教学难点：全等三角形的判定方法以及在实际问题中的运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入全等三角形的概念，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生通过观察、思考、讨论，自主探索全等三角形的性质和判定方法。

3.小组合作学习：培养学生团队合作意识，提高学生解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作全等三角形的相关课件，包括图片、动画、实例等，以便于直观展示全等三角形的概念和性质。

2.学习素材：准备一些关于全等三角形的练习题，以便于学生在课堂上进行操练和巩固。

3.教学工具：准备黑板、粉笔、直尺、剪刀等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入全等三角形的概念，例如：在制作衣服时，需要测量身体的尺寸，这里的尺寸就是一个全等三角形。