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平均变化率问题ppt

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平均变化率与瞬时变化率详解课件

平均变化率与瞬时变化率详解课件
瞬时变化率
定义与计算
瞬时变化率定义
瞬时变化率是指在某一时刻，函数值随自变量变化的快慢程度。通常用导数来 表示函数的瞬时变化率。
瞬时变化率的计算
对于函数$f(x)$，其瞬时变化率可以通过求导数$f'(x)$来计算。即，如果$f(x)$ 在$x=x_0$处的导数为$f'(x_0)$，则$f'(x_0)$即为在$x=x_0$处的瞬时变化率 。
，可以获得股票价格的预测结果，对于投资决策和风险管理具有重要意义。
机械故障预测
总结词
机械故障预测是基于机械设备运行过程中的数据，通 过分析变化率等信息，来预测设备可能出现的故障时 间和类型。
详细描述
机械故障预测是机械工程领域中的一个重要应用案例 。通过对机械设备运行过程中的数据进行分析，可以 提取出设备的运行特征和故障征兆，从而预测设备可 能出现的故障时间和类型。其中，变化率是一个重要 的指标，它可以反映设备的运行状态和磨损程度。通 过对变化率的计算和分析，可以获得机械故障预测结 果，对于提高设备运行效率和安全性具有重要意义。
感谢观看
THANKS
拐点和极值
函数的拐点可能是导函数的零 点，但并非所有导函数的零点
都是函数的拐点。
导数的计算方法
定义法
根据导数的定义计算导 数。
求导公式
利用常见函数的导数公 式进行计算。
复合函数求导
复合函数的导数可以利 用链式法则和乘法法则
进行计算。
高阶导数
高阶导数的计算需要利 用低阶导数的计算方法
，并逐阶求导。
04
瞬时变化率的性质
瞬时变化率非负性
对于单调递增函数，其瞬时变化率大于等于0；对于单调递减函数，其瞬时变化 率小于等于0。

《营销问题及平均变化率问题与一元二次方程》课件 2022年数学北师大版九上PPT

《营销问题及平均变化率问题与一元二次方程》课件 2022年数学北师大版九上PPT

求证:四边形ABEF是菱形.
A
F D
B
EC
3.如图，在△ABC,∠ACB=900，AD是角平分线，点 E、F分别在AB、AD上，且AE=AC，EF∥BC。
求证：四边形CDEF是菱形
A
F ：，四在 边正 形方AE形CFA是BC菱D中形，. 点E、F在BDA上，且BF=DE.D OE
台灯的利润为〔x-30〕元,那么每月总利润为〔x - 30〕(600 - 10 (x -
4解0):设). 台灯的售价因定位x元.根据题意，得
〔x - 30〕(600 - 10 (x - 40) ) =10000.
整理,得： x2 - 130x + 4000 = 0 .
解得:
x1 = 50 , x2= 80.
当x = 50 时 , 应进台灯数：600- 10〔50 - 40〕=500
〔个〕.
2.学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加 到7.5万册.求这两年的年平均增长率.
解：设每年的平均增长率为x,根据题意得：
5 ( 1 + x )2 = 7.5 那么 ( 1 + x )2 =
所以 1 x 6 . 2
解析：销售利润=〔每件售价-每件进价〕×销售件数，假设设每件涨价x元 ，那么售价为〔50+x〕元，销售量为〔500-10x〕件，根据等量关系列方程
即解可：. 设每件商品涨价x元，根据题意，得
〔50+ x - 40〕〔500 - 10x〕= 8000.
即
x2 - 40x + 300 = 0.
解得 x1 = 10，x2 = 30.
∴ OA＝OC
又∵AC⊥BD
图 2 0 .3 .3

《函数的平均变化率》课件

《函数的平均变化率》课件

在投资决策中，平均变化率可以帮助投资 者评估投资标的的潜在收益和风险。
平均变化率在物理学中的应用
速度和加速度的测量
在物理学中，平均速度和平均 加速度是通过计算位移和时间
的平均变化率来定义的。
热传导研究
在研究热传导的过程中，材料 的热容和导热系数可以通过测 量温度随时间的变化率来计算 。
波动现象
在波动现象的研究中，波的传 播速度是通过测量波峰或波谷 随时间的变化率来定义的。
02
平均变化率是函数在区间上的整 体表现，反映了函数值随自变量 变化的平均速度。
平均变化率的意义
平均变化率可以用于分析函数的单调 性、凹凸性以及极值点等性质，是研 究函数的重要工具。
通过比较不同区间的平均变化率，可 以了解函数在不同区间上的表现，从 而对函数的整体性质有更深入的理解 。
平均变化率的计算方法
复杂函数的平均变化率计算
总结词
掌握复杂函数的平均变化率计算技巧。
详细描述
对于复杂的函数，如多项式函数、三角函数等，其平均变化率的计算需要更高级的技巧。通过具体的计算实例， 可以掌握如何处理复杂函数的平均变化率计算，并理解其在实际问题中的应用。
实际问题的平均变化率计算
总结词
将平均变化率应用于实际问题中。
在优化问题中，平均变化率可 以帮助我们找到函数的极值点
，从而找到最优解。
平均变化率在经济学中的应用
经济预测
成本分析
通过分析经济数据的平均变化率，可以预 测未来的经济走势。
在成本分析中，平均变化率可以帮助我们 了解成本随时间的变化趋势，从而制定出 更合理的成本控制策略。
供需关系
投资决策
平均变化率可以用来分析供需关系的变化 ，从而帮助企业做出更合理的生产和销售 决策。

人教版九年级上册第21章 课时2 平均变化率问题1(20页)

人教版九年级上册第21章 课时2 平均变化率问题1(20页)
答：平均每月降价20%.
3. 某新华书店计划第一季度共发行图书122万册，其中一月份发 行图书32万册，二、三月份平均每月的增长率相同.求二、三月 份各应发行图书多少万册？
解：设平均每月的增长率为x. 依题意，32+32(1+x)+32(1+x)2=122. 解得x1=0.25，x2=-3.25(舍去). 二月份发行图书32×(1+0.25)=40(万册) 三月份发行图书32×(1+0.25)2=50(万册)
答：二月份发行图书40万册，三月份发行图书50万册.
4.百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500 个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚 8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？
分析：设每件商品涨价x元，则商品售价为_(_5_0_+_x_)_元， 则每个商品的利润为__[_(_5_0_+_x_)−__4_0_] ___元， 因为每涨价1元，其销售会减少10个，则每个涨价x元， 其销售量会减少_1_0_x__个，故销售量为_(_5_0_0_−_1_0_x_)__个， 根据每件商品的利润×件数=总利润， 可列方程为___(5_0_0_−_1_0_x_)_·_[_(_5_0_+_x_)－__4_0_]_=_8_0_0_0____.
解：设这种药品每次降价的百分率为x. 由题意125(1-x)2=80. 解得：x1=0.2，x2=1.8(舍去)
答：这种药品每次降价的百分率为20%.
2. 商店里某种商品在两个月里降价两次，现 在该商品每件的价格比两个月前下降了36％，问平均每月 降价百分之几？
解：设平均每月降价的百分率为x. 依题意，(1-x)2=1-36% 解得x1=0.2，x2=1.8(舍去)

人教版数学九年级上册2实际问题与一元二次方程(平均变化率问题)课件

人教版数学九年级上册2实际问题与一元二次方程(平均变化率问题)课件

1.某口罩厂八月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量增 加，十月份的产量比八月份增加了44万只，设该厂九、十月 份的口罩产量的月平均增长率为x，可列方程为（ ）A. （1+ x）2 =4400B.10000（1+x）2=4400C.（1+ x）2 =1.44D.10000（1+2x）=14400
2.某经济开发区，今年一月份工业产值达50亿元，第一
季度总产值为175亿元，二月、三月平均每月的增长率
是多少？若设平均每月的增长率为x，根据题意，可列
方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
3.某市积极响应国家的号令“房子是用来住的，不是用来
炒的”，在宏观调控下，商品房成交价由今年1月份的每
平方米10000元降落到3月份的每平方米8100元，且今年房
跟踪练习
1.某市202X年底森林覆盖率为45%.为贯彻落实“绿水青
山就是银山”的发展理念，弘扬“塞罕坝”精神.该市大
力开展植树造林活动，202X年底森林覆盖率到达80%，如
果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，下列符
合题意的方程是（ ）D
A.
B.
C.
D.
跟踪练习
2.受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势. 某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/ 升.设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x， 根据题意列出方程，正确的是（ A ）
5.202X年疫情期间，某地教育局出台《中小学线上教学 工作实施方案》，推出名师公益大课堂，为学生提供线 上直播教学.据统计，第一批次公益课受益的学生为4万 人，第三批次公益课受益的学生为4.84万人，每个批次 受益学生人数的平均增长率相同. (1)求每个批次的平均增长率； (2)按照这个增长率，估计第四批次公益课受益的学生将 到达多少万人？

平均变化率讲解知识分享

平均变化率讲解知识分享

问：在区间
t
，
0
t1
上，哪一个企业
的排污平均变化率大一些？
t1
l1
l2
t
T (℃)
30
20 B 10 A
W
C
甲
标准
ห้องสมุดไป่ตู้
乙
01 4
30 t(d)
越陡峭，平均变化率越大
O t0
t1 t
越陡峭，平均变化率越小
（越大）
陡峭 程度
（越小）
（越大）
平均变化率 的绝对值
（越小）
美国康乃大学曾经做过一个有名的“青蛙试验”。试验人员 把一只健壮的青蛙投入热水锅中，青蛙马上就感到了危险， 拼命一纵便跳出了锅子。试验人员又把该青蛙投入冷水锅 中，然后开始慢慢加热水锅。刚开始，青蛙自然悠哉游哉， 毫无戒备。一段时间以后，锅里水的温度逐渐升高，而青 蛙在缓慢的水温变化中却没有感到危险，最后，一只活蹦 乱跳的健壮的青蛙竟活活地给煮死了。
01容器甲中水在减少国家环保局在规定排污达标日期前对甲乙两企业进行检查其连续检测结果如图所示其中分别表示甲乙两企业的排污量试比较两个企业的治污效果
1.1.1 平均变化率
T (℃)
30 20 10
01 4
30 t(d)
校运动会，短跑比赛：
甲：100米，成绩15秒；
乙：200米，成绩25秒；
甲，乙两人谁快？ 为什么？
" f( x ) 在 [ x 1 ,x 2 ] 上 的 平 均 变 化 率 小 于 0 " 是 " f( x ) 在 [ x 1 ,x 2 ] 递 减 "
的 必要不充分条 件 。
设 A (x1,y1)、 B(x2,y2)

函数的平均变化率课件

10
目求录函| 数添加平标题均内变容 化率
例2． 如图,函数y＝f(x)在[1，3]上的平均变化率为( )
A．1
B．-2
C．2
D. -1
答案：D
y x
f
3 f 31
1
1.
11
目求录函| 数添加平标题均内变容 化率
变式2. 已知函数f(x)＝2x2＋3x－5,当x1＝4,且Δx＝1时,求函数在x1,x1 x 上
18
目平录均| 变添加化标题率内的容 应用
当容器是如下图（1）所示圆台时，函数的图像应该是？
当容器是如下图（1）所示圆台时， 由容器的形状可知，在固定的Δt时间内， 随着t的增加，Δy应该越大，因此函数的 图像如图（2）所示.
19
目平录均| 变添加化标题率内的容 应用
例4. 李华在参加一次同学聚会时，他用如图所示的圆口杯喝饮料，李华认为： 如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同)，那么 杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h(t)，则函数h(t)的图像可能是( )
解析：由题意可知， f x 在R 上单调递增，所以：
2 a 0
a 0
a 2 a
解得 1 a 2.
22
目录 | 添加标题内容
Part 3 课堂小结
课目录堂|小添结加标题内容
一 称_般_y的_2－_，_y_给1__定为平直面线直A角B的坐斜标率系；中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时， x2－x1
函数的平均变化率
目录 | 添加标题内容
Part 1 引入新知
目问录题| 引添加入标题内容
德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢 固程度进行了有关研究．他经过测试，得到了以下一些数据：

北师大版高中数学选择性必修2第1章1.均变化率与瞬时变化率课件

数值的改变量与自变量的改变量之比，即
Δ 2 − 1
=
Δ
2 − 1
用它来刻画函数值在区间[1 ，2 ]上变化的快慢。
对一般的函数y f x来说，怎样表示其平均变化率，有怎样的几何意义
函数的平均变化率的几何意义是函数图象上过
1 ， 1 ， 2 ， 2 两点的直线的斜率(如
求函数 在点 = 0 处的瞬时变化率的步骤：
Δ
Δ
(1)求Δ = 0 + Δ − 0 ；(2)计算 ，并化简，直到当Δ = 0时有意义为止；
(3)将Δ = 0代入化简后的即得瞬时变化率．
函数y＝f(t)，当自变量t由t改变到t+Δt时，y的变化为(
A．f(t+Δt)
对一般的函数 = 来说，当自变量x从1 变为2 时，函数值从 1 变为 2 ，
它在区间[1 ，2 ]的平均变化率=
2 − 1
2 −1
。
通常我们把自变量的变化2 − 1 称作自变量x的改变量，记作Δ，函数值的变化
2 − 1 称作函数值y的改变量，记作Δ．这样，函数的平均变化率就可以表示为函
Δ＝ 1 − 0 ，则该函数的平均变化率为
Δ
Δ
=
1 − 0
1 −0
0 +Δ − 0
Δ
=
，
如果当Δ趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是 在点0 的瞬时变化
率．瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢．
平均变化率与瞬时变化率有什么关系？
( = 2 − 5)/
高度的改变量
平均速度
1
(ℎ = (22 − 52 )/
ℎ

/ /

课件3：1.1.1 函数的平均变化率


C．0.43
D．0.44
解析：Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝2.12＋1－(22＋1)＝0.41.
答案：B
2．物体按照s(t)＝3t2＋t＋4的规律作直线运动，求在 4到4＋Δt之间的平均速度v. 解：Δs＝s(4＋Δt)－s(4) ＝3(4＋Δt)2＋(4＋Δt)＋4－(3×42＋4＋4) ＝25Δt＋3(Δt)2. ∴v＝ΔΔst＝25＋3Δt. 即物体在 4 到 4＋Δt 之间的平均速度为 25＋3Δt.
提示：从20 min到30 min变化快． 问题2：如何刻画体温变化的快慢？ 提示：用平均变化率． 问题3：平均变化率一定为正值吗？ 提示：不一定．可正，可负，可为零．
知识点解读
平均变化率
(1)定义：对一般的函数 y＝f(x)来说，当自变f量(x2x)－从f(xx21)变为 x2 时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)，它的平均变化率为. x2－x1
其中自变量的变化 x2－x1 称作自变量的改变量，记作Δx ，
函数值的变化 f(x2)－f(x1) 称作函数值的改变量，记作Δy .这样，
函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变
f(x2)－f(x1)
量之比，即ΔΔxy＝
x2－x1 .
(2)作用：刻画函数值在 区间[x1，x2] 上变化的快慢.
瞬时变化率
(1)定义：对于一般的函数 y＝f(x)，在自变量 x 从 x0 变到 x1
的过程中，设 Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化
率是ΔΔxy＝
fx1－fx0 ＝ x1－x0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.而当 Δx趋于0
时，平
均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化率．

1.1.1函数的平均变化率

内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0 ＝f(x1)－f(x0)
称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx， x0])的平均变化率．
1．函数的平均变化率：已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域
本 课
内不同的两点，记Δx＝ x1－x0 ，Δy＝y1－y0＝f(x1)－
A. 2Δt＋4 B. －2Δt＋4 C. 2Δt－4 D. －2Δt－4
解析：ΔΔst＝4－21＋ΔtΔ2t－4＋2×12
＝－4Δt－Δt 2Δt2
＝－2Δt－4. 答案：D
例 1 某婴儿从出生到第 12 个月的体重变化如图所示， 试分别计算从出生到第 3 个月与第 6 个月到第 12 个月 该婴儿体重的平均变化率．
本 课 时
y＝f(x)上任意不同的两点，函数 y＝f(x) 的平均变化率ΔΔyx＝fxx22－ －fx1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1
栏 目
为割线 AB 的斜率．
开 关
x1，x2 是定义域内不同的两点，因此 Δx≠0，但 Δx 可正也可
负；Δy＝f(x2)－f(x1)是相应 Δx＝x2－x1 的改变量，Δy 的值可
你能从数学的角度来反映山坡的 平缓和陡峭程度吗？
怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？
假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系.A 是出发点，H是山顶.爬山路线用函数y＝f(x)表示.
自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在 的高度.设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2).
(3)实质： 函数值 的改变量与 自变量 的改变量 之比 .
(4)作用：刻画函数在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])上变化的快慢.
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设这两年兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列
方程为( C
)
A．7 600(1＋x%)2＝8 200
B．7 600(1－x%)2＝8 200
C．7 600(1＋x)2＝8 200
D．7 600(1－x)2＝8 200
5．(4分)某商品的原价为289元，经过连续两次降价后
售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列
2．某糖厂 2012 年食糖产量为 a 吨，如果在以后
两
年a（平1均-x减）产的百分率为 x，那么预a（计1-2x0）123 年的产量将
是_________．2014 年的产量将是__________．
1．分析平均变化率问题的数量关系
问题2 你能归纳上述两个问题中蕴含的共同等量 关系吗？
两年后：
变化后的量 =变化前的量 ×（1±x）2
280 (1 x)2 403 .2 (1 x)2 1.44
1+x=±1.2 x1 2.2 舍去 x2 0.2
答：平均每年的增长20%
平均变化率问题
4．(4分)(2013·兰州)据调查，2011年5月兰州市的房
价均价为7 600元/m2，2013年同期将达到8 200元/m2，假
2．解决实际问题
解：类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，由 方程
6 000（1-x）2 =3 600
解方程，得 x1≈0.225， x2≈1.775．
得乙种药品成本年平均下降率为 0.225.
雪融超市今年的营业额为280万元，计划后年 的营业额为403.2万元，求平均每年增长的百分率？
分析：今年到后年间隔2年， 今年的营业额×（1+平均增长率）2 =后年的营业额。 解：平均每年增长的百分率为x,根据题意得：
B．50＋50(1＋x)2＝196
C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196
D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝196
SUCCESS
THANK YOU
2020/1/13

总结
1、增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定
的模式 a(1 x)n b
其中x为平均增长百分率, a为增长前的量, b为增长n次后的量。
2、降低率的问题在实际生活普遍存在,有一定
的模式 a(1 x)n b
其中x为平均降低百分率, a为降低前的量, b为降低n次后的量。
2．解决实际问题
2020/1/13
2．解决实际问题
解：设甲种药品成本的年平均下降率为 x
一年后甲种药品成本为 5 000（1-x）元， 两年后甲种药品成本为 5 000（1-x）2 元． 列方程得 5 000（1-x）2 =3 000．
解方程，得 x1≈0.225， x2≈1.775．
根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小 于 1 的正数，应选 0.225．所以，甲种药品成本的年平 均下降率约为 22.5%．
方程中正确的是A(
)
A．289(1－x)2＝256 B．256(1－x)2＝289
C．289(1－2x)＝256 D．256(1－2x)＝289
6．(4分)(2013·黔西南)某机械厂七月份生产零件50万
个，第三季度生产零件196万个，设该厂八、九月份平均
每月的增长率为x，那么x满足的方程是C(
)
A．50(1＋x)2＝196
问题3 两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6 000 元，随着生产技 术的进步，现在生产 1 t 甲种药品的成本是 3 000 元， 生产 1 t 乙种药品的成本是 3 600 元，哪种药品成本的 年平均下降率较大？
SUCCESS
THANK YOU
平均变化率问题
1．分析平均变化率问题的数量关系
问题1 思考，并填空：
1．某农户的粮食产量年平均增长率为 x，第一年
的产量为 60 000 kg，第二年的产量为6_0__0_0（_0__1_+_x）___ kg， 第三年的产量为__6_0_0_0_0（__1_+__x）_2__ kg．
1．分析平均变化率问题的数量关系