111变化率问题112导数的概念

第一章 导数及其应用1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念基础过关练题组一 平均变化率1.(2019北师大附中高二期中)函数y=2x 在区间[x 0,x 0+Δx]上的平均变化率为( )A.x 0+ΔxB.1+ΔxC.2+ΔxD.22.(2019黑龙江哈尔滨三中高二月考)若函数f(x)=x 2+x,则函数f(x)从x=-1到x=2的平均变化率为( ) A.0 B.2 C.3 D.63.(2019陕西黄陵中学高二期末)如图,函数y=f(x)在A,B 两点间的平均变化率等于( )A.-1B.1C.-2D.2题组二 瞬时变化率与导数 4.若函数f(x)在x 0处可导,则lim ℎ→0f (x 0+h )-f (x 0)ℎ的结果( )A.与x 0,h 均无关B.仅与x 0有关,而与h 无关C.仅与h 有关,而与x 0无关D.与x 0,h 均有关5.(2019贵州铜仁一中高二期中)设函数f(x)的导函数为f'(x),且f'(1)=3,则limΔx →0f (1+Δx )-f (1)Δx =( )A.-1B.-3C.3D.1 6.已知f'(x)=√2x -12(1-12lnx )2x,则limΔx →0f (12)-f (12+Δx )Δx=( )A.-2-ln 2B.-2+ln 2C.2-ln 2D.2+ln 27.(2019吉林延边二中高二期末)设函数f(x)在x=1处存在导数,则lim Δx→0f(1+Δx)-f(1)3Δx=( )A.13f'(1) B.f'(1) C.3f'(1) D.f'(3)题组三平均速度与瞬时速度8.若质点运动满足s(t)=t2+3,则从t=3到t=3.3内,质点运动的平均速度为( )A.6.3B.36.3C.3.3D.9.39.若质点运动满足s=12gt2,则时间(单位:s)在区间(3,3+Δt)内的平均速度等于m/s.(g=10 m/s2)10.一物体的运动方程为s=7t2+8,则该物体在t= 时的瞬时速度为1.11.一辆汽车运动的速度为v(t)=t2-2,则该汽车在t=3时的加速度为.12.一个做直线运动的物体,其位移s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系是s(t)=3t-t2.(1)求此物体的初速度;(2)求此物体在t=2 s时的瞬时速度;(3)求t=0 s到t=2 s时的平均速度.题组四用定义求函数在某点处的导数13.若函数f(x)=2x2+4x在x=x0处的导数是8,则x0= .14.已知函数f(x)=ax+4,若f'(1)=2,则a= .15.函数y=2+1在x=0处的导数为.能力提升练一、选择题1.(2020福建师大附中高二期末,★★☆)设f(x)是可导函数,且limΔx→0f(x0)-f(x0-Δx)Δx=2,则f'(x0)=( )A.2B.-1C.1D.-22.(2019重庆高二月考,★★☆)已知函数y=f(x)是可导函数,且f'(1)=2,则lim Δx→0f(1+Δx)-f(1)2Δx=( )A.12B.2C.1D.-13.(2019黑龙江哈尔滨三中高二月考,★★☆)已知函数f(x)在x=x0处的导数为k,则limℎ→0f(x0-3h)-f(x0)ℎ=( )A.kB.-kC.3kD.-3k二、填空题4.(2019陕西宝鸡高二期末,★★☆)设函数f(x)可导,若limΔx→0f(1+Δx)-f(1)3Δx=1,则f'(1)= .5.(2019广东广州高二期末,★★☆)若f'(1)=a,则limΔx→0f(1+2Δx)-f(1)Δx= .6.(★★☆)如图是函数y=f(x)的图象.(1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为;(2)函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为.三、解答题7.(★★☆)某一运动物体,在x s时离开出发点的距离(单位:m)是f(x)=23x3+x2+2x.(1)求在第1 s内的平均速度;(2)求在1 s末的瞬时速度;(3)经过多长时间该物体的运动速度达到14 m/s?8.(★★☆)求函数y=sin x在区间[0,π6]和[π3,π2]上的平均变化率,并比较它们的大小.9.(★★☆)在某赛车比赛中,赛车位移与比赛时间t存在函数关系s(t)=10t+5t2(s 的单位为m,t的单位为s).求:(1)t=20 s,Δt=0.1 s时的Δs与ΔsΔt;(2)t=20 s时的瞬时速度.10.(★★☆)若一物体运动方程如下: s={3t 2+2(t ≥3),29+3(t -3)2(0≤t <3),其中位移s 的单位:m,时间t 的单位:s.求: (1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度; (2)物体的初速度;(3)物体在t=1时的瞬时速度.答案全解全析 基础过关练1.D 由题意,可得平均变化率为f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=2(x 0+Δx )-2x 0Δx=2,故选D.2.B 函数f(x)=x 2+x 从x=-1到x=2的增量为Δy=f(2)-f(-1)=6,故平均变化率为Δy Δx =62-(-1)=2,故选B.3.A 易知f(1)=3, f(3)=1,因此平均变化率为f (3)-f (1)3-1=-1,故选A.4.B limℎ→0f (x 0+h )-f (x 0)ℎ=f'(x 0),故结果仅与x 0有关,而与h 无关. 5.C lim Δx →0f (1+Δx )-f (1)Δx =f'(1)=3,故选C.6.A lim Δx →0f(12)-f(12+Δx)Δx=-f'(12)=-2+ln22×12=-2-ln 2,故选A.7.A limΔx →0f (1+Δx )-f (1)3Δx=13·limΔx →0f (1+Δx )-f (1)Δx=13f'(1).8.A s(3)=12,s(3.3)=13.89,∴平均速度v =s (3.3)-s (3)3.3-3=1.890.3=6.3,故选A.9.答案 (30+5Δt)解析 Δs=12g ×(3+Δt)2-12g ×32=12×10×[6Δt+(Δt)2]=30Δt+5(Δt)2,则v =ΔsΔt=30+5Δt.10.答案114解析 设该物体在t 0时的瞬时速度为1,由题意可得Δs Δt=7(t 0+Δt )2+8-(7t 02+8)Δt =7Δt+14t 0,故limΔt →0ΔsΔt =lim Δt →0(7Δt+14t 0)=14t 0,令14t 0=1,可得t 0=114,即在t=114时的瞬时速度为1. 11.答案 6 解析Δv Δt=(3+Δt )2-2-(32-2)Δt=6+Δt,故limΔt →0ΔvΔt =lim Δt →0(6+Δt)=6,即该汽车在t=3时的加速度为6.12.解析 (1)s (Δt )-s (0)Δt =3Δt -(Δt )2Δt=3-Δt.当Δt →0时,s (Δt )-s (0)Δt→3,所以此物体的初速度为3 m/s. (2)s (2+Δt )-s (2)Δt=3(2+Δt )-(2+Δt )2-(3×2-22)Δt=-Δt-1. 当Δt →0时,s (2+Δt )-s (2)Δt→-1,所以t=2 s 时的瞬时速度为-1 m/s. (3)v =s (2)-s (0)2=6-4-02=1(m/s).13.答案 1解析 根据导数的定义知, f'(x 0)=lim Δx →0Δy Δx =limΔx →0f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=lim Δx →02(x 0+Δx )2+4(x 0+Δx )-(2x 02+4x 0)Δx=limΔx →04x 0·Δx+2(Δx )2+4ΔxΔx=lim Δx →0(4x 0+2Δx+4) =4x 0+4=8, 解得x 0=1. 14.答案 2解析 Δy=f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)+4-a-4=a Δx,ΔyΔx =a,∴limΔx →0ΔyΔx=a,∴f'(1)=a=2.15.答案 0解析 Δy=√(0+Δx )2+1-√0+1=(Δx)2√(Δx)2+1+1 =(Δx)2√(Δx)+1+1,∴ΔyΔx =√(Δx)2+1+1,∴y'x=0=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0√(Δx)2+1+1=0.能力提升练一、选择题1.A limΔx→0f(x0)-f(x0-Δx)Δx=lim Δx→0f[x0+(-Δx)]-f(x0)-Δx=f'(x0)=2.2.C 由题意可得limΔx→0f(1+Δx)-f(1)2Δx=1 2limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=12f'(1),因为f'(1)=2,所以limΔx→0f(1+Δx)-f(1)2Δx=12×2=1.3.D 由题意,可得limℎ→0f(x0-3h)-f(x0)ℎ=lim ℎ→0[(-3)×f(x0-3h)-f(x0)-3ℎ]=-3×limℎ→0f(x0-3h)-f(x0)-3ℎ=-3f'(x0)=-3k,故选D.二、填空题4.答案 3解析因为limΔx→0f(1+Δx)-f(1)3Δx=1,所以13limΔx→0f(1+Δx)-f(1)Δx=1,即13f'(1)=1,故f'(1)=3.5.答案 2a 解析 lim Δx →0f (1+2Δx )-f (1)Δx=2limΔx →0f (1+2Δx )-f (1)2Δx =2f'(1)=2a.6.答案 (1)12(2)34解析 (1)函数f(x)在区间[-1,1]上的平均变化率为 f (1)-f (-1)1-(-1)=2-12=12.(2)由题中函数f(x)的图象知, f(x)={x+32,-1≤x ≤1,x +1,1<x ≤3,所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为 f (2)-f (0)2-0=3-322=34.三、解答题7.解析 (1)物体在第1 s 内的平均变化率(即平均速度)为 f (1)-f (0)1-0=113m/s.(2)Δy Δx=f (1+Δx )-f (1)Δx=23(1+Δx )3+(1+Δx )2+2(1+Δx )-113Δx=6+3Δx+23(Δx)2. 当Δx →0时,ΔyΔx →6,所以物体在1 s 末的瞬时速度为6 m/s. (3)设物体在x 0 s 时的速度为14 m/s, 则Δy Δx=f (x 0+Δx )-f (x 0)Δx=23(x 0+Δx )3+(x 0+Δx )2+2(x 0+Δx )-(23x 03+x 02+2x 0)Δx=2x 02+2x 0+2+23(Δx)2+2x 0·Δx+Δx.当Δx →0时,ΔyΔx→2x 02+2x 0+2,令2x 02+2x 0+2=14,解得x 0=2(负值舍去),即经过2 s 该物体的运动速度达到14 m/s. 8.解析 y=sin x 在[0,π6]上的平均变化率为sin π6-sin0π6-0=3π,在[π3,π2]上的平均变化率为sin π2-sinπ3π2-π3=3(2-√3)π.因为2-√3<1,所以3π>3(2-√3)π,故函数y=sin x 在[0,π6]上的平均变化率较大. 9.解析 (1)Δs=s(20+Δt)-s(20)=10×(20+0.1)+5×(20+0.1)2-10×20-5×202=21.05(m),Δs Δt=21.050.1=210.5(m/s).(2)Δs Δt=10(20+Δt )+5(20+Δt )2-(10×20+5×202)Δt=5(Δt )2+210ΔtΔt=5Δt+210,当Δt →0时,Δs Δt→210,即在t=20 s 时的瞬时速度为210 m/s.10.解析 (1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt=5-3=2, 物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为 Δs=3×52+2-(3×32+2)=3×(52-32)=48,∴物体在t ∈[3,5]内的平均速度为Δs Δt=482=24(m/s).(2)求物体的初速度,即求物体在t=0时的瞬时速度. ∵物体在t=0附近的平均变化率为Δs Δt=s (0+Δt )-s (0)Δt=29+3[(0+Δt )-3]2-29-3×(0-3)2Δt=3Δt-18,∴物体在t=0时的瞬时变化率为limΔt→0ΔsΔt=limΔt→0(3Δt-18)=-18,即物体的初速度为-18m/s.(3)物体在t=1时的瞬时速度即为函数在t=1处的瞬时变化率. ∵物体在t=1附近的平均变化率为Δs Δt =s(1+Δt)-s(1)Δt=29+3[(1+Δt)-3]2-29-3×(1-3)2Δt=3Δt-12,∴物体在t=1时的瞬时变化率为lim Δt→0ΔsΔt=limΔt→0(3Δt-12)=-12,即物体在t=1时的瞬时速度为-12 m/s.。

1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念学习目标1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.知识点一 函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系.A 是出发点，H 是山顶.爬山路线用函数y ＝f(x)表示.自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f(x)表示此时旅游者所在的高度.设点A 的坐标为(11,y x )，点B 的坐为(22,y x ).思考1 若旅游者从点A 爬到点B ，自变量x 和函数值y 的改变量分别是多少？ 答案 自变量x 的改变量为12x x -，记作Δx ，函数值的改变量为12y y -，记作Δy.思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？答案 对山路AB 来说，用Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可近似地刻画其陡峭程度.梳理 函数y ＝f(x)从1x 到2x 的平均变化率 (1)定义：1212x x y y x y --=∆∆ (2)实质：函数值 的增量与自变量 的增量之比.(3)作用：刻画函数值在区间[21,x x ]上变化的快慢.(4)几何意义：已知))(,(111x f x p ，))(,(222x f x p 是函数y ＝f(x)的图象上两 点，则平均变化率1212x x y y x y --=∆∆ 表示割线21p p 的斜率 知识点二 瞬时速度思考1 物体的路程s 与时间t 的关系是s(t)＝5t 2试求物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度.答案 Δs ＝5(1＋Δt )2－5＝10Δt ＋5(Δt )2，v ＝ΔsΔt ＝10＋5Δt .思考2：当t ∆趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于什么?怎样理解这一速度？答案 当Δt 趋近于0时，ΔsΔt 趋近于10，这时的平均速度即为当t ＝1时的瞬时速度.梳理 瞬时速度(1)物体在某一时刻 的速度称为瞬时速度.(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s(t)，则物体在t 0到0t ＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 趋近于0时，ΔsΔt 的 是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.知识点三 函数在某点处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作 ，即f ′(x 0)＝ lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . [思考辨析 判断正误]1.在平均变化率中，函数值的增量为正值.( )2.瞬时变化率是刻画某函数值在区间2,1x x ]上变化快慢的物理量.( )3.函数y ＝f(x)在x ＝0x 处的导数值与Δx 的正、负无关.( ) 题型探究 类型一 函数的平均变化率命题角度1 求函数的平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，哪一点附近的平均变化率最大？反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f 2x )－f(1x ). (2)再计算自变量的改变量Δx ＝12x x - (3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练1 (1)已知函数y ＝f(x)＝x2＋2x －5的图象上的一点A(－1，－6)及邻近一点B(－1＋Δx ，－6＋Δy)，则xy∆∆＝____.命题角度2 平均变化率的几何意义例2 过曲线y ＝f(x)＝2x －x 上的两点P(1,0)和Q(1＋Δx ，Δy)作曲线的割线，已知割线PQ 的斜率为2，求Δx 的值.反思与感悟 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的实质是函数y ＝f (x )图象上两点P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))连线P 1P 2的斜率，即＝Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练2 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t 的关系如图所示，则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v 甲，v 乙的关系是 A.v 甲>v 乙 B.v 甲<v 乙 C.v 甲＝v 乙 D.大小关系不确定类型二 求瞬时速度例3 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝2t ＋t ＋1表示，求物体在t ＝1 s 时的瞬时速度.引申探究1.若例3中的条件不变，试求物体的初速度.2.若例3中的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.反思与感悟 (1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本类题的常见错误.(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤①求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s(0t ＋Δt)－s(0t )； ②ts v ∆∆=求平均速度 ③求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于的常数v 即为瞬时速度，即v ＝lim Δt →0ΔsΔt .跟踪训练3 一质点M 按运动方程s(t)＝a 2t ＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值.类型三 导数定义的应用例4 (1)若函数f (x )可导，则lim Δx →0f (1－Δx )－f (1)2Δx 等于(2)求函数y ＝x －1x 在x ＝1处的导数.反思与感悟 (1)用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 ①求函数的增量Δy ＝f(0x ＋Δx)－f(0x )；②求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx；③求极限lim Δx →0Δy Δx .(2)瞬时变化率的变形形式lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋n Δx )－f (x 0)n Δx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0－Δx )2Δx ＝f ′(x 0).跟踪训练4 已知f(x)＝32x ，f ′(0x )＝6，求0x理解平均变化率要注意以下几点：(1)平均变化率f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示点(x 1，f (x 1))与点(x 2，f (x 2))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”.(2)为求点x 0附近的平均变化率，上述表达式常写为f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的形式.(3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势.自变量的改变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况.。