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变化率问题导数的概念优秀课件

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1.1.2《变化率与导数-导数的概念》课件4(16张PPT)(人教A版选修2-2)

1.1.2《变化率与导数-导数的概念》课件4(16张PPT)(人教A版选修2-2)

(1)将 Δ t=0.1代入上式，得: __
v 2.05g 20.5m / s.
s
(2)__ 将 Δ t=0.01代入上式，得:
v 2.005g 20.05m / s.
__
( 3)当t 0,2 t 2, 从而平均速度 v 的极限为： __ s v lim v lim 2 g 20m / s. t 0 t 0 t
(1)将 Δ t=0.1代入上式，得: __
v 2.05g 20.5m / s.
s
(2)__ 将 Δ t=0.01代入上式，得:
v 2.005g 20.05m / s.
__
( 3)当t 0,2 t 2, 从而平均速度 v 的极限为： __ s v lim v lim 2 g 20m / s. t 0 t 0 t
1 2 ( E mv ) 2
s 25t 3t 2 v lim lim lim (25 3t ) 25 x 0 t x 0 x 0 t 1 2 1 E mv 10 252 3125( J ) 2 2
小结：
• 1求物体运动的瞬时速度：
x 0
y x
y x
练习：
• (1)求函数y=
• (2)求函数y=
在x=1 x 处的导数.
4 的导数 . 2 x
问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的 高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒 ）存在函数关系 h h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?
（1）求位移增量Δ s=s(t+Δ t)-s(t)

人教版数学选修2变化率问题与.2导数概念课件

人教版数学选修2变化率问题与.2导数概念课件
做原来函数的导函数，记为
y f ( x) lim f ( x x) f ( x)
x 0
x
f
(
x0
)表
示函 导数 函f数 ( xf
)在x0处 的 导 数 值 ( x)在x0处 的 函 数
值
人教版数 学选修2 变化率 问题与 .2导数 概念课 件（精 品课件 ）
人教版数 学选修2 变化率 问题与 .2导数 概念课 件（精 品课件 ）
• 已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度；反之，已知加 速度作为时间的函数，求速度与路程
• 求曲线的切线 • 求函数的最大值与最小值 • 求长度、面积、体积和重心等
17世纪中叶，牛顿和莱布尼兹各自独立地创立了微积分
学习目标
1.了解导数概念的实际背景. 2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
即 f′(x0)＝ lim
Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋ΔΔxx－fx0.
说明：
人教版数 学选修2 变化率 问题与 .2导数 概念课 件（精 品课件 ）
人教版数 学选修2 变化率 问题与 .2导数 概念课 件（精 品课件 ）
导数的定义
如果函数y=f(x)在区间(a,b)内每一点都可导，就说函数y=f(x)在 区间(a,b)内可导。这时，对于(a,b)内每一个x值，都有唯一确定 的导数值与之对应，这就构成了x的一个新函数，这个新函数叫
变化率问题
如右图所示，向高为10cm的容器等速注水，10秒钟注满， 若水深h是关于注水时间t 的函数，则下面两个图象哪一个 可以表示上述函数？
斜率公式
变化率
人教版数 学选修2 变化率 问题与 .2导数 概念课 件（精 品课件 ）

【精品课件】3.1.1-2变化率问题与导数的概念

【精品课件】3.1.1-2变化率问题与导数的概念
§1.1
1 2
变化率 谁创立了导数 与导数
导数是在怎样的背景之下产生的 呢
背景
十七与十八世纪的数学家们常把自己的数学活动跟各种 不同自然领域（物理、化学、力学、技术）中的研究活动联 系起来，并由实际需要提出了许多数学问题。历史上，导数
概念产生于以下两个实际问题的研究。第一：求曲线的切线
问题，这是一个非常古老的问题，可以追溯到希腊著名的科 学家阿基米德（Archimedes，287-212B．C）；第二：求非 均速运动的速度，它最早由开普勒(kepler:1571-1630)，伽 利略（Galileo:1564—1642），牛顿(Newton:1642-1727)等 提出来．
y
f (x2)
f f ( x2 ) f ( x1 ) 表示函数f(x) 的图像上 x x2 x1 的两点( x1 , f ( x1 )), ( x2 , f ( x2 ))连线的斜率.
f (x1)

x2 – x1 x1 x2
y = f (x)
f (x 2) – f (x1)
4）物体从3s到3 ts的平均速度 v s(3 t ) s(3) 30 5t (m / s)
(3 t ) 3
平均速度 v 近似地刻画了在某一时间段内物体运动的快慢. 如何精确地刻画物体在某一时刻的速度呢?
物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
即如何求物体在t=3s的瞬时速度呢？
t 0
10t0
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
f ( x0 Δx) f ( x0 ) y lim lim x 0 x x 0 x 称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f ( x0 )

1.1.1和1.1.2变化率问题、导数的概念课件人教新课标1

1.1.1和1.1.2变化率问题、导数的概念课件人教新课标1
x
【解析】(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)=2x+1的函数值的
增量为Δy=5-3=2，故增量之比是2.
答案：2
(2)函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是 lim f (1 x) f (1)
x0
x
lim (1 x)2 12 lim (2 x) 2.
x0
x
x0
答案：2
(3)函数y=f(x)= 1 在x=-1处的导数可表示为f′(-1)或
【微思考】
(1)函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的大小与曲线 y=f(x)在区间[x1，x2]上的“峻峭”程度有什么关系？ 提示：平均变化率的绝对值越大，曲线y=f(x)在区间[x1，x2]
上越“峻峭”，反之亦然. (2)平均变化率可以是零吗？ 举例说明. 提示：可以是零，如函数f(x)=a(a为常数).
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx-0|可以小于给定的任
意小的正数，且始终Δx≠0.
3.对导数概念的两点说明
(若1)当xy 的Δ极x≠限0不时存，在比，值则xyf的 (x极)在限点存x在0处，不则可f导(x或)在无点导x数0处.可导；
(2)在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lim f (x0 x) f (x0 )
取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的.
特别地，当函数f(x)为常数函数时，Δy=0，则 y =0.
x
2.对平均变化率的三点说明 (1)y=f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在 区间[x1，x2]上峻峭程度的“数量化”，曲线峻峭程度是平 均变化率的“视觉化”． (2)平均变化率的几何意义就是函数y=f(x)图象上两点P1(x1，

第五章§5.1第1课时 变化率问题和导数的概念PPT课件(人教版)

第五章§5.1第1课时 变化率问题和导数的概念PPT课件(人教版)

√A.0
B.1
C.2
D.Δx
解析 ΔΔyx＝1Δ－x1＝0.
12345
2.已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则函数
f(x)从A点到B点的平均变化率为
A.4
B.4x
√C.4.2
D.4.02
解析 ΔΔxf＝fxxBB－－xfAxA＝－1.15.81－－1－2＝4.2.
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度.
解 取一时间段[2,2＋Δt]， ∴Δs＝s(2＋Δt)－s(2) ＝[3(2＋Δt)－(2＋Δt)2]－(3×2－22) ＝－Δt－(Δt)2， ΔΔst＝－Δt－ΔtΔt2＝－1－Δt，Δlit→m0 ΔΔst＝Δlit→m0 (－1－Δt)＝－1， ∴当t＝2时，物体的瞬时速度为－1.
A.－4
B.2
C.－2
√D.±2
解析 因为ΔΔyx＝fm＋ΔΔxx－fm＝m＋2ΔΔxx－m2 ＝mm－＋2Δx，
所以 f′(m)＝lim Δx→0
mm－＋2Δx＝－m22，
所以－m22＝－12，m2＝4，解得 m＝±2.
3 随堂演练
PART THREE
1.函数y＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是
5.(多选)设f(x)＝t2x，若f′(1)＝4，则t的值是
√A.－2
B.－1
C.1
√D.2
解析
因为 f′(1)＝lim Δx→0
t21＋ΔΔxx－t2＝t2＝4，
所以t＝±2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
6.函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝__5__.

《变化率和导数》课件

《变化率和导数》课件

变化率的计算方法
直接代入法
将自变量和因变量的值代入公式 进行计算。
差商法
通过比较函数值的变化量与自变量 的变化量的比值来计算变化率。
极限法
利用极限的概念，将自变量趋近于 某一点时函数值的变化量与自变量 的变化量的比值定义为该点的变化 率。
变化率的实际应用
物理学中的速度和加速度
速度是位置随时间的变化率，加速度 是速度随时间的变化率。
，从而做出更优的决策。
02
供需关系
导数在经济学中还可以用来描述供需关系的变化。例如，需求函数和供
给函数的导数可以用来分析市场价格与需求量或供给量之间的关系，从
而预测市场的变化趋势。
03
最优化问题
在经济学中，最优化问题是一个常见的问题。通过求函数的导数并令其
为零，我们可以找到使函数取得极值的点。这种方法在生产、分配、投
05
总结与展望
总结变化率和导数的知识点
变化率的概念
变化率描述了函数值随 自变量变化的速率，是
导数的基础。
导数的定义
导数表示函数在某一点 的切线斜率，是变化率
的极限形式。
导数的计算方法
包括基本初等函数的导 数、复合函数的导数、
参数方程的导数等。
导数的几何意义
导数等于切线的斜率， 可以用于研究函数的单 调性、极值和拐点等。
THANKS
感谢观看
展望导数在未来的应用和发展
导数的应用
导数在各个领域都有广泛的应用，如经济学 、生物学、物理学等。例如，边际分析、速 度与加速度的研究、最优化的求解等。
导数的未来发展
随着科学技术的发展，导数作为数学的一个 重要分支，将会在理论和应用方面得到更深 入的研究。例如，在人工智能、大数据分析 等领域，导数将发挥更大的作用。同时，随 着数学与其他学科的交叉融合，导数将会在 解决实际问题中发挥更加重要的作用。

《变化率与导数》课件

《变化率与导数》课件

五、总结
• 变化率与导数的联系与区别 • 导数的应用价值 • 学习导数需要注意的问题
六、Q&A
• 提问环节 • 解答环节
七、参考资料
• 经典教材 • 推荐书目 • 相关网站
解析方式的导数是通过公式求 得的导数，几何方式的导数是 通过像图形函数的斜率来求得 的导数。
四、导数的应用
切线和割线
极值点
切线是函数曲线上点的切线，割 线是通过两点间的曲线段值的点，可以通过导数判断。
单调性与凹凸性
函数的单调性描述了函数值的变 化趋势，凹凸性描述了曲线的弯 曲程度。
《变化率与导数》PPT课 件
# 变化率与导数 PPT课件
一、引言
- 变化率的概念：变化率是指某个量在单位时间内的变化量，它反映了事物变 化的快慢和趋势。
- 导数的引入：导数是描述函数变化率的工具，它告诉我们函数在某个点上的 斜率或切线的斜率。
二、函数的变化率
1
平均变化率
平均变化率是函数在某个区间内的平均速度，可以通过两点间的纵坐标差值除以 横坐标差值来计算。
2
瞬时变化率
瞬时变化率是函数在某个点上的瞬时速度，即经过该点的切线的斜率，可以通过 极限的方法计算。
三、导数的定义
函数在一点的导数
导数是函数在某个点上的变化 率，可以通过求斜率的极限来 计算。
左导数和右导数
左导数是函数在某点左侧的变 化率，右导数是函数在某点右 侧的变化率，它们可以不相等。
解析方式的导数与几 何方式的导数

1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件高二下学期数学人教A版选修22

1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件高二下学期数学人教A版选修22

度, 写成
lim
t 0
h(2
+
t) t
-
h(2)
.
即
lim
t 0
h(2
+
t) t
-
h(2)
=
-13.1.
2. 瞬时变化率
对于函数的平均变化率
y = f (x2 ) - f (x1) ,
x
x2 - x1
由△x=x2-x1 得 x2=△x+x1,
y = f (x + x1) - f (x1) .
x
x
当△x 很小很小时, △x+x1 就接近于 x1.
我们用符号
lim
x0
表示△x
趋近于零,
用平均变化
率的极限 lim y = lim f (x + x1) - f (x1)
x x0
x0
x
表示函数在 x1 处的瞬时变化率.
3. 导数
一般地, 函数 y=f(x) 在 x=x0 处的瞬时变化率是
lim f (x0 + x) - f (x0 ) = lim y ,
x0
x
x0 x
我们称它为函数 y=f(x) 在 x=x0 处的导数, 记作 f(x0)
或 y |x=x0, 即
f
(x0) =
lim
x0
f
(x0 + x)x
f
(x0) .
问题 1 中, 运动员在时间 t=2 时的瞬时速度就是 求函数 h(x) 在 t=2 时的导数.
导数可以描述任何物体的瞬时变化.
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
人教A版·高中数学·选修2-2 第一章

5.1 导数的概念及其意义(变化率问题、导数的概念)课件高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册

5.1 导数的概念及其意义(变化率问题、导数的概念)课件高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
Δ
=
( 2 )-( 1 )
.
2 - 1
【变式训练 2】 分别求函数 y=sin x 从 0
比较它们的大小.
π
π
π
到6 和从 3 到 2 的平均变化率,并
解:自变量 x 从 0
自变量 x
π
π
从3 变到 2 ,函数
3
∵2-√3<1,∴
π
>
∴自变量 x 从 0
自变量 x
π
变到 ,函数
6
)
A.Δx-3
C.-3
B.(Δx)2-3Δx
(0+x)2 -3(0+x)-02 +3×0
解析:f'(0)= lim
x
Δ→0
故选C.
答案:C
D.0
=
(Δ)2 -3Δ

Δ
x→0
= lim (Δx-3)=-3.
Δ→0
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
Δ
∴
Δ
=
3(Δ)2 +(6+)Δ
=3Δx+6+a,
Δ
y
∴ lim
Δ→0 x
= (3Δx+6+a)=6+a.
∴f'(1)=6+a.
x→0
【易错辨析】
对导数的概念理解不清而致错
【典例】 已知
A.4
f(x 0 +2x)-f(x 0 )
f'(x0)=4,则 lim
的值为(
x
Δ→0
B.2
C.8
f(x 0 +2x)-f(x 0 )
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比值反映了在某一时间段内房价变化的快慢程度。
问题3：
现有南京市某年3月和4月某天日最高气温记载.
时间
3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度
T 变(℃化) ，用曲线图表示为： C (34, 33.4)
30
[一点通] 求平均变化率可根据定义代入公式直接求 解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy， 求平均变化率的主要步骤是：
1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的
值为
()
A．0.40
B．0.41
C．0.43
D．0.44
解析：Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41.
变化率问题导数的概念
1.1.1 变化率问题
一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现
象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产 生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题 的处理直接相关：
1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体 在任意时刻的速度与加速度等;
2、求曲线的切线; 3、求已知函数的最大值与最小值; 4、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、
x
x2 x1
1.1.2 导数的概念
一、复习回顾：
•
1.函数的平均变化率
y x
f (x2 ) f (x1) x2 x1
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量：Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率： y f (x2 ) f (x1)
x
x2 x1
自主学习能力测评P4－跟踪训练3 3．计算函数f(x)＝x2从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中
变化率
y f x2 f x1
x
x2 x1
表示什么?
图1.11
直线AB的斜率
题型一、求函数的平均变化率
1、自主学习能力测评P3－ 例1 2、自主学习能力测评P4－跟踪训练1、2
[例 1] 求 y＝f(x)＝2x2＋1 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均 变化率，并求当 x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值．
答案：B
2．已知函数 f(x)＝2x2－4 的图像上一点(1，－2)及附近一
点(1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔΔxy等于
()
A．4
B．Байду номын сангаасx
C．4＋2Δx
D．4＋2(Δx)2
解 析 ： ∵ Δy ＝ f(1 ＋ Δx) － f(1) ＝ 2(1 ＋ Δx)2 － 2 ＝ 4Δx ＋
2(Δx)2，∴ΔΔxy＝4＋2Δx. 答案：C
题型一、求函数的平均变化率
1、自主学习能力测评（活页练）P79－－ 1、2、5、6、
小结：
•
1.函数的平均变化率
y x
f (x2 ) f (x1) x2 x1
2.求函数的平均变化率的步骤:
(1)求函数的增量：Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率： y f (x2 ) f (x1)
Δx的值为： (1)2；(2)1；(3)0.1；(4)0.01. 并思考：当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的 平均变化率有怎样的变化趋势？ 解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－12＝Δx2＋2Δx， ∴ΔΔxy＝Δx2＋Δx2Δx＝Δx＋2. (1)当Δx＝2时，ΔΔxy＝Δx＋2＝4；
（注： 3月18日
为第一天）
20
B (32, 18.6)
10 A (1, 3.5)
2
02
10
20
30 34 t(d)
二、平均变化率的定义：
1、平均变化率: 式子 f (x2 ) f (x1)
x2 x1
称为函数 f (x)从x1到 x2的平均变化率. 令△x = x2 – x1 , △ y = f (x2) – f (x1) ,则
(2)当 Δx＝1 时，ΔΔxy＝Δx＋2＝3； (3)当 Δx＝0.1 时，ΔΔxy＝Δx＋2＝2.1； (4)当 Δx＝0.01 时，ΔΔxy＝Δx＋2＝2.01. 当 Δx 越来越小时，函数 f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变 化率逐渐变小，并接近于 2.
二.导数定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
y y元/m2
11000
((1132,,1111000000))
情境2 8000
5500
(112,8000) (1101,,5500)
2400
(1,2400)
11995
(1997)
200151 201026 123007 x年
(2007) (2008)(2009)
问题2 如何从数学角度刻画房价“暴涨”？
变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的 工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相 对于另一个变量变化的快慢程度．
情境1
姚明身高变化曲线图(部分)
身高
2.26 2.12
● ● ●
1.61
●
●
●
0.8 ●
●
●
●
●
●
●
●
4 7 10 13 16 19 22 年龄
某小区近十年来的房价变化如下图所示
[思路点拨] 先求函数值的增量 Δy，再求ΔΔxy，然后代入 已知数据求解．
[精解详析] Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－ (2x02＋1)＝4x0·Δx＋2(Δx)2，
∴函数 f(x)＝2x2＋1 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 ΔΔxy＝4x0·ΔxΔ＋x2Δx2＝4x0＋2Δx. 当 x0＝1，Δx＝12时， 平均变化率为 4×1＋2×12＝5.
f (x2) f (x1) f (x1 x) f (x1)
x2 x1
x
• 2．求函数平均变化率的步骤
• 求函数y＝f(x)在点x0附近的平均变化率： • (1)确定函数自变量的改变量Δx＝x1－x0；
y
fx2 fx1
yfx
B
A
x2 x1
fx2fx1
O
x1
x2
x
思考 观察函数 f x
的图象图1.1.1, 平均
f (x2 ) f (x1) y
x2 x1
x
x是一个整,体 而符 不号 是 与x相乘 .
理解
y f (x2 ) f (x1)
x
x2 x1
1、式子中△x 、△
△ x的值不能为0，
y 的值可正、可负，但 △ y 的值可以为0
y x
2、若函数f (x)为常函数时， △ y =0
3、变式: