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5.1.1变化率问题课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.1.1变化率问题课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.8
.
计算运动员在 0 t 48 这段时间里的平均速度，发现了什么？ 49
用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
运动员在 0 t 48 这段时间里的平均速度为 0. 显然，在这段时间内， 49
运动员并不处于静止状态. 因此，用平均速度不能准确反映运动员在这 一时间段里的运动状态.
1.瞬时速度的概念：
1.999999
x 0
x
k Δx 2
0.01
2.01
0.001
2.001
0.0001
2.0001
0.00001
2.00001
0.000001
2.000001
……
……
当 x 无限趋近于 0 时，即无论 x 从小于 1 的一边，还是从大于 1 的一边
无限趋近于 1 时，割线 P0 P 的斜率 k 都无限趋近于 2.
给出 t 更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度 v 的值. 当 t 无限趋近于 0 时，
即无论 t 从小于 1 的一边，还是从大于 1 的一边无限趋近于 1 时，平均速度 v 都无限
趋近于 5 .
由
v
h(1 Δt) h(1) (1 Δt) 1
4.9Δt
5
发现，当
t
无限趋近于
0
时，
4.9Δt
也无限趋近于
0，
所以 v 无限趋近于 5 ，这与前面得到的结论一致.
数学中，我们把
5
叫做“当
t
无限趋近于
0
时，
v
h(1
Δt) Δt
h(1)
的极限”，记为
h(1 Δt) h(1)
lim
5 .

1高二数学(理)《变化率问题》(课件).ppt

1高二数学(理)《变化率问题》(课件).ppt

问题4: 研读教材P2问题1:从数学 的角度,描述“随着气球内空气容量的 增加,气球的半径增加得越来越慢”
研读教材P3-P4
研读教材P3-P4 1.函数的平均变化率如何刻画？
研读教材P3-P4 1.函数的平均变化率如何刻画？
2.图中,函数y f ( x)的平均变化率
y f ( x2 ) f ( x1 ) y
的瞬时变化率。
导数的概念
1.函数y f ( x) 在x x0处的导数：
f '( x0 )
y lim x0 x

lim
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
[或y'|x x0
)

lim
x0
y x
lim f ( x0 x) f ( x0 )]
运 用 2 . 已知自由落体的运动方程为
S 1 gt 2 2
( 1)求落体在t0到t0 t这段时间内的 平均速度v; ( 2)落体在t 10s到t 10.1s这段时间 内的平均速度？
研读教材P4-P5 1)瞬时速度与平均速度在研究过程
中的联系与区别?
2)如何将t=2附近的平均速度的研究 转化成t=2时刻的瞬时速度?
x0f (x)在x x0处的瞬时变化率是
lim y lim f (x0 x) f (x0 ) ，我们称它
x x0
x0
x
为函数y f (x)在x x0处的导数，记作f (x0 )
或y ' | x x0
f
(x0 )

lim
我们把物体在某一时刻的速度称为 瞬时速度。
物体的平均速度不一定能反映他在某一时刻 的瞬时速度，如何求物体的瞬时速度呢？

变化率问题资料课件

变化率问题资料课件
详细描述
三角函数包括正弦函数、余弦函数等。它们的变化率具有周期性，即在每个周期内，变化率呈现单调性。例如， 正弦函数在每个周期内先增后减，余弦函数则先减后增。
04 变化率问题与导数的关系
导数的定义与性质
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化率 的重要工具，具有丰富的性质和定义方 式。
VS
详细描述
详细描述
在物理学中，变化率问题被广泛应用于各种 物理现象的分析，如速度、加速度、角速度 等物理量的变化率分析。通过对这些物理量 的变化率进行建模和分析，物理学家可以揭 示物理现象的内在规律和机制，为科学技术 的发展提供理论支持。
生物种群增长模型
总结词
生物种群增长模型是变化率问题在生物学领 域的应用，通过分析种群数量的变化率，可 以预测种群未来的发展趋势和生态平衡。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
瞬时变化率
总结词
描述某一特定点处函数值随自变量变 化的速度
详细描述
瞬时变化率是在某一特定点处，函数 值随自变量变化的速率。它通过求导 数来获得，用于描述函数在某一点的 切线斜率。
变化率的计算公式
总结词
提供计算变化率的数学公式
详细描述
平均变化率的计算公式为 [(末值 - 初值) / 时间跨度]。瞬时变化率则通过求导数 来获得，常用的导数公式包括链式法则、乘积法则、商的导数公式等。
要点二
详细描述
在经济学中，变化率问题常常被用来分析经济增长、通货 膨胀、就业率等经济指标的变化情况。通过对这些经济指 标的变化率进行建模和分析，经济学家可以预测未来的经 济走势和趋势，为企业和政府提供决策依据。
物理现象分析
总结词
物理现象分析是变化率问题的另一个重要应 用领域，通过分析物理量的变化率，可以揭 示物理现象的内在规律和机制。

高中数学《变化率问题》课件

高中数学《变化率问题》课件
第一章 导数及其应用
§1.1 变化率与导数
1.1.1 变化率问题
知识背景
牛 顿
莱 布 尼
茨
十七世纪，欧洲资本主义发展初期，生产力提高，促 进了科学技术的快速发展，其中突出的成就就是数学 领域研究中取得了丰硕的成果———微积分的产生。
微积分的创立与处理四大类科学问题直接相关
一、已知物体运动的路程作为时间的函数， 求物体在任意时刻的速度与加速度
θ
f(x2)-f(x1)
f(x1) O
A
θ
x1
x2
函数平均变化率的几何意义：
割线AB的斜率
x
课堂小结
函数平均变化率
y
1.定义式
△y △x
=
f(x2)-f(x1) x2-x1
f(x1 +△x) f(x2 )
△y
y=f(x)
变式：
△y △x
=
f(x1 + △x)- f(x1) △x
f(x1 )
△x
2.求法步骤
s s(t0 t) s(t0 ) t (t0 t) t0
[(t0 t)2 3] (t02 3) (t0 t) t0
2t0t t 2 t
2t0 t 2 3 t
6 t
0
x1 x2
x
①△x
②△y
③
△y △x
x1 +△x
3.几何意义
已知A(x1, f (x1))、B(x2, f (x2 ))是函数
y
y f x的图像上两点，则平均变化率 f(x2)
y f (x2 ) f (x1) 表示割线AB的斜率.
x
x2 x1
f(x1) O
y=f(x)

变化率问题 课件

变化率问题 课件

解析：(1)∵Δt＝3，Δs＝s(3)－s(0)＝15， ∴该物体在0≤t≤3这段时间里的平均速度 v 1＝ΔΔst＝5(m/s)． (2)∵Δt＝3－2＝1，Δs＝s(3)－s(2)＝7， ∴该物体在2≤t≤3这段时间里的平均速度 v 2＝ΔΔst＝7(m/s)． (3)∵Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝(2t0＋2)·Δt＋(Δt)2， ∴该物体在t0≤t≤t0＋Δt这段时间里的平均速度 v ＝ΔΔst ＝2t0＋2＋ Δt.
(3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1，则Δy ＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．
(4)在平均变化率中，当x1取定值后，Δx取不同的数值时，函数的 平均变化率不一定相同；当Δx取定值后，x1取不同的数值时，函数的 平均变化率也不一定相同．
点评：求平均变化率的步骤： 通常用“两步”法，一作差，二作商，即： ①先求出Δx＝x2－x1，再计算Δy＝f(x2)－f(x1)； ②对所求得的差作商，即得 ΔΔxy＝fxx22－－xf1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1.
考点二 求平均速度 例2 已知某物体的运动方程为s＝t2＋2t(s的单位：m，t的单位： s)．求： (1)该物体在0≤t≤3这段时间里的平均速度； (2)该物体在2≤t≤3这段时间里的平均速度； (3)该物体在t0≤t≤t0＋Δt这段时间里的平均速度．
π 2
附近的平均变化率．
解析：函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 fxx0＋ 0＋ΔΔxx－ －fxx00＝[3x0＋Δx2＋Δx2]－3x20＋2 ＝6x0·ΔxΔ＋x3Δx2＝6x0＋3Δx. 当x0＝2，Δx＝0.1时， 函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为 6×2＋3×0.1＝12.3.

【数学】《变化率问题》课件

【数学】《变化率问题》课件
微积分主要与四类问题的处理相关:
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等; • 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函 数增减、变化快慢、最大（小）值等问题 最一般、最有效的工具。
请计算
0 ≤ t ≤ 0.5和1 ≤ t ≤ 2时的平均速度v :
请计 0 ≤ t ≤ 0.5和1 ≤ t 里运动状态， 平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述运动状态。 需要用瞬时速度描述运动状态。
平均变化率定义:
1− 0 ≈ 0.62(dm / L)
• 气球的体积V(单位:L)与半径r 4 3 (单位:dm)之间的函数关系是 V ( r ) = π r
• 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r (2) − r (1) ≈ 0.16(dm) 显然 气球的平均膨胀率 r (2) − r (1) 膨胀率为 膨胀率
2 −1 ≈ 0.16(dm / L)0.62>0.16
思考?
• 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平 均膨胀率是多少?
r (V2 ) − r (V1 ) V2 − V1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存 在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地 描述其运动状态?
f(x2 ) − f ( x1 ) x2 − x1
思考?
• 观察函数f(x)的图象
f(x2 ) − f ( x1 ) 平均变化率 y x2 − x1 f(x )

《变化率问题》课件

生物种群动态
研究生物种群数量随时间的变化情况，如繁殖率和死亡率的变化 率。
PART 05
变化率问题的挑战与展望
REPORTING
当前面临的主要挑战
数据获取难度大
变化率问题往往涉及到大量的数据，但由于数据源分散、数据格式不 统一等问题，导致数据获取难度较大。
模型选择与优化困难
变化率问题的建模需要选择合适的模型，并进行优化。然而，由于问 题的复杂性，如何选择和优化模型是一个挑战。
流体动力学
研究流体（如空气和水）在运动状态下的压力、速度和阻力等变化 率问题。
热传导
在能源、化工和建筑等领域，涉及热量传递和温度变化的速率。
自然科学领域的变化率问题
物理定律
如牛顿第二定律、动量守恒定律等，描述物体运动状态随时间的 变化率。
化学反应速率
研究化学反应的快慢，以及反应过程中物质浓度的变化率。
问题。
导数应用
导数是微积分中的基本概念，表 示函数在某一点的变化率。通过 求导，我们可以找到函数的最值
、拐点等关念， 它可以帮助我们计算面积、体积 等。在变化率问题中，积分可以 用来求解累积效应和长期趋势。
数值分析方法
定义与概念
数值分析是研究数值计算的数学分支，通过近似计算来求解数学问 题。
气候敏感性、碳排放量、温室气体浓 度等。
THANKS
感谢观看
REPORTING
变化率问题的历史与发展
早期研究
古希腊数学家阿基米德等人对变 化率问题进行了初步探讨。
近代发展
牛顿、莱布尼茨等科学家在微积分 学中系统地研究了变化率问题，奠 定了现代数学和物理学的基础。
现代应用
随着科学技术的发展，变化率问题 的应用领域不断扩大，如人工智能 、大数据分析、复杂系统模拟等。

变化率问题PPT优秀课件


并思考下面的问题:
49
h(65) h(0) 10 v h 0
49
t
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映 他在这段时间里运动状态.
平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子 f(x2 ) f ( x1) 表示 x2 x1
h(t)4.9t26.5t10 v
如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运 动状态, 那么:
在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, vh(0.5)h(0)4.0(5 m)/;s
0.50
在1≤ t ≤2这段时间里, vh(2)h(1)8.2(m)/;s
21
探 究:
计算运动员在 0 t 65 这段时间里的平均速度,
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2
同样Δf=Δy=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
理解：
1，式子中△x 、△ f 的值可正、可负，但△x
(单位:dm)之间的函数关系是
V (r) 4 r3
3
在改变？变 量的变化情
如果将半径r表示为体积V的函数, 况？
那么 r (V ) 3 3V 4
我们来分析一下:
r (V ) 3 3V 4
当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1 )r(0 )0 .6 2 (d m ) 气球的平均膨胀率为 r(1)r(0)0.62(dm/L)

第五章5.1.1 变化率问题课件(人教版)


√C.18 m/s 是物体在 3 s 这一时刻的瞬时速度
D.18 m/s 是物体从 3 s 到(3＋Δt)s 这段时间内的平均速度
解析 由瞬时速度与平均速度的关系可知选C.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为
解
物
体
在
区
间
0，π4
上
的
平
均
速
度
为
v
1
＝
st2－st1 t2－t1
＝
sπ4－s0 4π－0
＝
22π－0＝2 π 2. 4
物体在区间π4，π2上的平均速度为
v
2＝sπ2π2－－sπ4π4＝1－π4
2 2 ＝4－π2
2 .
(2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义.
解 由(1)可知 v 1－ v 2＝4 2π－4>0，所以 v 2< v 1. 作出函数 s(t)＝sin t 在0，π2上的图象，如图所示，可以发现，
例2 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数 s(t)＝t2＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度.
解 ∵ΔΔst＝s1＋ΔΔtt－s1
＝1＋Δt2＋1＋ΔΔtt＋1－12＋1＋1＝3＋Δt，
∴lim Δt→0
ΔΔst＝Δlit→m0(3＋Δt)＝3.
即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s.
A.－1
√B.－12
C.－2
D.2
解析 v ＝s22－－1s1＝12－1＝－12.
二、瞬时速度
问题2 我们也发现了高速路上区间测速的弊端，因为如果某人发现超 速了，他只需踩下刹车，让车辆低速行驶一段时间即可，你认为，我 们应该如何改进高速路上的区间测速问题？ 提示 由 v ＝ft2t2－－tf1t1可知，我们可以减小路程区间的长度，在最小路 程下，看所用的时间，或者在较少的相同时间内，看汽车所经过的路程， 这样似乎都不可避免违法行为的产生，于是，我们有了一个大胆的想法， 如果我们能测量汽车的瞬时速度就好了. 我们把函数值的增量f(t2)－f(t1)记为Δy，即Δy＝f(t2)－f(t1)，自变量的增 量t2－t1记为Δt，即Δt＝t2－t1，

5-1-1变化率问题 课件【共33张PPT】


解：∵在 t＝2 s 时，瞬时速度为
v＝ lim
Δt→0
s2＋Δt－s2 Δt
＝ lim
Δt→0
a2＋Δt2－3－a×22－3 Δt
＝ lim
Δt→0
4aΔt＋ΔtaΔt2＝Δlit→m0
(4a＋aΔt)＝4a(m/s)
，
∴4a＝16，解得 a＝4.
类型二
抛物线的切线的斜率
[例 2] 求曲线 f(x)＝x2＋3x＋1 在点 P(1，f(1))处的切线的斜率，以及切线方程. [思路分析] 首先计算出切线的斜率，然后根据点斜式列方程，代入运算即可．
Δt→0
st＋Δt－st Δt
＝ lim
Δt→0
2＋34＋Δt－32－2－34－32 Δt
＝ lim
Δt→0
3ΔtΔ2＋t 6Δt＝Δlit→m0
(3Δt＋6)＝6.
∴物体在 t＝2 和 t＝4 时瞬时速度分别为 12 和 6.
[解] 因为 f(1)＝12＋3×1＋1＝5，所以点 P 的坐标为(1,5)．
因为点 P(1,5)在曲线上，所以切线的斜率为
k＝ lim
Δx→0
f1＋Δt－f1 Δt
＝ lim
Δx→0
1＋Δt2＋31＋Δt＋1－12＋3×1＋1 Δt
＝ lim
Δx→0
Δt2＋Δt5Δt＝Δlxi→ m0
(Δt＋5)＝5.
[变式训练 2] 求函数 f(x)＝x2－2x＋1 在 x＝4 处切线的斜率．
解：因为 f(x)＝x2－2x＋1，
故曲线在 x＝4 处切线的斜率为 lim
Δx→0
f4＋Δx－f4 Δx
＝ lim
Δx→0
4＋Δx2－24＋Δx＋1－42－2×4＋1 Δx
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7
T(℃)
C (34, 33.4)
30 20
10 A (1, 3.5)
14.8 (C)
B (32, 18.6)
15.1(C)
2
02
10
20
30 34 t(d)
31(d )
2(d )
问题3：如何用温度差与时间差来表示气温变化快慢程度？
AB段温 差 15.1
BC段 温 差 14.8
： 时间差 31
： 时间差 2
从 x1 到 x2的平均变化率。 令 x x2 x1
称为函数 y f (x)
y f (x2 ) f (x1)
平均变化率表示为： y f (x2 ) f (x1)
x
x2 x1
11
三.意义建构 尝试理解
12
例：某位运动员相对于水面的高度h（单位：m）与起 跳后的时间t（单位：s）存在函数关系：
人教A版高中数学选修1-1
3.1.1变化率问题
班级：大化高中高（12）13班 授课： 都安高中 周 先 莹
1
微积分创立者
Newton Leibniz
微积分的创立是人类精神文明的最高胜利。 ——恩格斯
2
3.1.1变化率问题
目标驱动
（1）理解平均变化率的概念和意义，掌握求函数平均变化率 的基本步骤；
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
求该运动员在以下时间段内的平均速度：
(1) 1 t 2
(2) t1 t t2
解：
(1) t 2 1 1
(2) t t2 t1
h h(2) h(1) 8.2
h h(t2 ) h(t1)
h 8.2 8.2(m / s) t 1
13
解：（1）0 （2）因为 x x0 x x0 x
y f (x0 x) f (x0 ) x(2x0 x)
所以，函数 f (x)在 x0 , x0 x0 x
x)
2x0
x
16
请分享这节课你的学习收获！ 1.学到了哪些知识？ 2.用到了哪些方法？
17
探究1 对于课本中的问题2：
f (t2 ) f (t1) 对应函数值的变化量
t2 t1
自变量的变化量
9
思考讨论
问题5：若函数关系为 y f (,x当)
则它x2的平均变化率如何表示？
从
x增加x到1
时，
f (x2 ) f (x1) x2 x1
函数值的变化量 自变量的变化量
10
平均变化率概念
我们把式子：f (x2) f (x1) x 2 x1
h h(t2 ) h(t1)
t
t2 t1
A题：已知f(x)=3x+1,分别求其在下列区间上的平
均变化率。
(1) 1,2
(2) m, n
B题：已知f(x)=x2,分别求其在下列区间上的平均变
化率。
(1) 1,1 （2） x0, x0 x (x 0)
14
A题：已知函数f(x)=3x+1,分别求其在下列区间上
（2）体验从特殊到一般，从具体到抽象和数形结合的思想方法； （3）感受自主、合作和探究学习的快乐，增强学习信心。
3
问题驱动
全球气候变以化下问是题近：百年来全球平均气温变化趋势图， 如何量化气温在某段时期内变化的快慢程度？
4
问题情境
现有某地某年3月和4月中三天日最高气温记载表.
时间
3月18日 4月18日 4月20日
y
fx2 f x 1
y fx
B
A x2 x1
fx2 fx1
O
x1
x2
x
19
谢谢
欢迎各位评委专家批评与指导！ 祝12（13）班同学们健康快乐！
20
温差 时间差
15.1 0.49(C / d) 31
温差 时间差
14.8 2
7.4(C / d )
8
T(℃)
C f (t)
30
f (t2 )
f (t1)
2
02
f (t2 ) f (t1)
t 10
t1 2t02 t1
34 t(d)
2
问题4：如果把气温C看作时间t的函数，即C=f(t),则t1至t2这 段时间内气温的平均变化率如何表示？
先自主思考，然后小组讨论，最后小组代表汇报成果。
问题1：A到B和B到C这两段时间哪一段的温度差较大？
问题2：能不能说“温度差越大，气温变化越快？”
问题3：如何用温度差与时间差来表示气温变化快慢程度？
6
T(℃)
C (34, 33.4)
30 20
10 A (1, 3.5)
14.8 (C)
B (32, 18.6)
15.1(C)
2
02
10
20
30 34 t(d)
31(d )
2(d )
问问题题21：：能A到不B能和说B“到温C这度两差段越时大间，哪气一温段变的化温越度快差？较”大？
AB段 ：
BC段 ：
温差 =18.6 3.5 =15.1
时间差 = 32 1 = 31
温差 =33.4 18.6=14.8 时间差 = 34 32 = 2
计算运动员在0 t 65 这段时间里的平均速度， 49
思考下面问题： （1）运动员在这段时间里是静止的吗？ （2）你认为用平均速度描述运动员的状态有什么问题吗？
18
探究2
观察函数 y f (x) 的图象，讨论：
当 x1 逼近于 x2 ，即
x逼近于 0 时，其
割线AB的斜率有什么 样的变化趋势？
日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
T(℃) 30
C (34, 33.4)
20
10 A (1, 3.5)
2
02
10
20
5
B (32, 18.6)
30 34 t(d)
T(℃) 30
C (34, 33.4)
20
10 A (1, 3.5)
B (32, 18.6)
2
02
10
20
30 34 t(d)
的平均变化率。
(1) 1,2
(2) m, n
解：（1）3 （2）因为x n m
y f (n) f (m)
3(n m)
所以，函数 f (x)在m, n上的平均变化率为
y 3(n m) 3 x n m
15
B题：已知f(x)=x2,分别求其在下列区间上的平均变
化率。
(1) 1,1 （2） x0, x0 x (x 0)