江苏省南京市长城中学数学苏科版九年级上册(新)21圆

苏科版九年级上册数学《2.1圆》【知识与能力目标】1．经历圆的有关定义的形成过程，理解圆的描述定义和集合定义；2．理解点与圆的位置关系以及如何确定点与圆的三种位置关系；了解“圆是到定点距离等于定长的点的集合”，并能应用它解决相关的问题；【过程与方法目标】经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系.【情感态度价值观目标】逐步学会用运动的观点及数形结合的思想去解决问题．【教学重点】圆中的基本概念的认识．【教学难点】用集合的观点描述圆的定义．◆教学过程创设情境，引入新课出示套圈游戏的图片，让学生体会到生活中圆的必要性．问题：只有一个小立柱，若全班同学沿着红线站成一横排，请问游戏对所有同学公平吗？如何使得游戏对所有人公平？探求新知实践探索一1．形成定义．教师展示两件物品：一段（两端已打结）的棉线、一段皮筋（两端已打结）．学生两人一小组进行合作，利用它们以及手中的笔，在练习纸上分别作出圆．2．思考：如何确定一个圆？实践探索二1．回归游戏．（1）请学生思考：为什么站成圆形，游戏就公平？（教师）设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有？（2）甲、乙两人分别站在图中A、B两点处，他俩正准备参加游戏，后来丙、丁也赶来参加，并分别站在了图中所示的P、Q两点处．如果你是甲同学，你会有怎样的看法？（3）再后来，小兵同学也来参加游戏，他站的位置是图中所示的M点，但他发现地上的线几乎看不清了，请问小兵同学怎样才能知道自己恰好站在圆上？2．请你总结一下点与圆有哪些关系？如何判断？知识应用例1 已知⊙O的半径为4cm，如果点P到圆心O的距离为4.5cm，那么点P与⊙O有怎样的位置关系？如果点P到圆心O的距离为4cm、3cm呢？2．如图，已知点A，请作出到点A的距离等于2cm的点的集合．（1）这个圆的外部是满足什么条件的点的集合？（2）请用阴影表示出到点A的距离小于或等于2cm的点的集合．3．如图，已知点P、Q，且PQ＝4cm．（1）画出下列图形：到点P的距离等于2cm 的点的集合；到点Q的距离等于3cm的点的集合；（2）在所画图中，到点P的距离等于2cm，且到点Q的距离等于3cm的点有几个？请在图中将它们表示出来；（3）在所画图中，到点P的距离小于或等于2cm，且到点Q的距离大于或等于3cm的点的集合是怎样的图形？把它表示出来．4．如图，已知BD、CE是△ABC的高，M为BC的中点．试说明点B、C、D、E在以点M 为圆心的同一圆上．实践探索三与圆有关的定义弦：连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦，经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．趁热打铁：见课件弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．优弧和劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧；大于半圆的弧叫做优弧.趁热打铁：见课件圆心角，等圆，同心圆、等弧的定义趁热打铁，见课件练习巩固见课件◆教学反思略。

圆周角（1）教学目标【知识与能力】了解圆周角的概念【过程与方法】让学生经历圆周角与圆心角关系的探索过程，培养学生的动手操作、自主探索和合作交流的能力【情感态度价值观】能用圆周角与圆心角的关系进行简单的说理，培养学生合情推理的意识，掌握说理的基本方法，从而提高数学素养.教学重难点【教学重点】探索圆周角与圆心角的关系.【教学难点】通过分类讨论，推理、验证“圆周角与圆心角的关系”.教学过程情境引入足球训练场上教练在球门前画了一个圆圈，进行无人防守的射门训练，如图，甲、乙两名运动员分别在C.D两地，他们争论不休，都说自己所在位置对球门AB的张角大．如果你是教练，请评一评他们两个人，谁的位置对球门AB的张角大．A BOCD实践探索一：圆周角的概念教师：在上面的角有什么特征？如果请你命名，你叫它什么？顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．实践探索二：圆周角的性质1．操作猜想：画弧BC 所对的圆心角，然后再画同弧BC 所对的圆周角．你发现了什么？2．验证猜想：请同学们验证自己的猜想．例题讲解例1 如图，⊙O 的弦A B.DC 的延长线相交于点E ，∠AOD ＝150°，⌒BC 为70°．求∠ABD.∠AED 的度数．例2 如图，P 是△ABC 的外接圆上的一点，∠APC ＝∠CPB ＝60°．求证：△ABC 是等边三角形．练一练如图，点A.B.C.D 在⊙O 上，∠BAC ＝35° ．（1）∠BDC＝ ___________°，理由是 _____________________；（2）∠BOC＝ ____________°，理由是 ___________________________．拓展提升如图，点A.B.C在⊙O上，点D在圆外，CD.BD分别交⊙O于点E.F，比较∠BAC与∠BDC 的大小，并说明理由．变式：移动点D到圆内，其它条件不变，此时∠BAC与∠BDC的大小又如何？并说明理由．总结这节课你有哪些收获和困惑？开始的问题情境，你解决了吗？。

京改版九年级上册数学第二十一章圆（上）含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠BOC=40°，则∠D的度数为（）A.100°B.110°C.120°D.130°2、如图，圆内接四边形ABCD是正方形，点E是上一点，则∠E的大小为（）A.90°B.60°C.45°D.30°3、已知点A在半径为3的⊙O内，OA等于1，点B是⊙O上一点，连接AB，当∠OBA取最大值时，AB长度为（）A. B.2 C.3 D.24、在如图所示的正方形网格中，点A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（）A. 的外心B. 的内心C. 的外心D.的内心5、如图，⊙O的半径OC垂直于弦AB，D是优弧AB上的一点（不与点A、B重合），若∠AOC＝50°，则∠CDB等于（）A.25°B.30°C.40°D.50°6、⊙O半径是6cm，点A到圆心O距离是5.6cm，则点A与⊙O的位置关系是（）A.点A在⊙O上B.点A在⊙O内C.点A在⊙O外D.不能确定7、如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）A.2B.4C.4D.88、中，斜边，则该三角形的重心与外心之间的距离是（）A.3B.4C.6D.89、如图，是的直径，，则的度数为（）A. B. C. D.10、如果两个圆心角相等，那么（）A.这两个圆心角所对的弦相等B.这两个圆心角所对的弧相等C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D.以上说法都不对11、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，将△ABC绕圆心O逆时针方向旋转α°（0<α<90），得到△A′B′C′，若，则∠B的度数为（）A.30°B.45°C.50°D.60°12、如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是( )A.115°B.105°C.100°D.95°13、如图，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，∠APB=40°，则∠ACB=（）．A.70°B.80°C.110°D.140°14、如果两条弦相等，那么（）A.这两条弦所对的弧相等B.这两条弦所对的圆心角相等C.圆心到这两条弦的距离相等D.以上答案都不对15、有下列命题：①若x2=x，则x=1；②若a2=b2，则a=b；③线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；④相等的弧所对的圆周角相等；其中原命题与逆命题都是真命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在平行四边形中，，点在上，点D在优弧上，，则________ ．17、如图，已知OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C在圆周上（与点A、B不重合），则∠ACB的度数为________18、如图，点A，B，C，D都在⊙O上，∠ABC=90°，AD=3，CD=2，则⊙O的直径的长是________19、如图，点A、B、C、D都在⊙O上，∠ABC=90°，AD=3，CD=2，则⊙O的直径的长是________20、如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD.若∠BDC＝40°，则∠BCD的度数为________°.21、如图1，小敏利用课余时间制作了一个脸盆架，图2是它的截面图，垂直放置的脸盆与架子的交点为A，B，AB=40cm，脸盆的最低点C到AB的距离为10cm，则该脸盆的半径为________ cm．22、如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆的三等分点，CE⊥AB于点E，∠ACE 的度数为________．23、《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中卷九中记载了一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意思是：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直径AB的长为多少寸？（注：1尺＝10寸）根据题意，该圆的直径为________寸．24、如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C，当△PAB是等腰三角形时，线段BC的长为________．25、如图，已知为的直径，，则________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，A，D是半圆上的两点，O为圆心，BC是直径，∠D=35°，求∠OAC 的度数．27、如图，等腰三角形ABC中，BA=BC，以AB为直径作圆，交BC于点E，圆心为O．在EB上截取ED=EC，连接AD并延长，交⊙O于点F，连接OE、EF．（1）试判断△ACD的形状，并说明理由；（2）求证：∠ADE=∠OEF．28、如图，点A、B、C在⊙O上，且∠COB＝53°，CD⊥OB，垂足为D，当OD=AB时，求∠OBA的度数。

D CB A初中数学试卷 马鸣风萧萧课题：2.1圆（1）（初三数学上021）课后作业；1．已知⊙O 的半径为5cm ，A 为线段OP 的中点，当OP 满足下列条件时，分别指出点A 和⊙O 的位置关系：（1）OP ＝6cm ；则点A 在⊙O ；（2）OP ＝10cm ；则点A 在⊙O ；（3）OP ＝14cm ；则点A 在⊙O ．2．正方形ABCD 的边长为2cm ，以A 为圆心，2cm 为半径作⊙A ，则点B 在⊙A ；点C 在⊙A ；点D 在⊙A ．3．矩形ABCD 边AB =6cm,AD =8cm.(1)若以A 为圆心，6cm 长为半径作⊙A ，则点B 在⊙A ______，点C 在⊙A _______，点D 在⊙A ________，AC 与BD 的交点O 在⊙A _______．(2)若作⊙A ，使B 、C 、D 三点至少有一个点在⊙A 内，至少在一点在⊙A 外，则⊙A 的半径r 的取值范围是_______．4．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =12，AB =13，CD ⊥AB 于D ，以C 为圆心，以5为半径作⊙C ，试判断A 、D 、B 三点与⊙C 的位置关系．点A 在⊙C ；点D 在⊙C ；点B 在⊙C ．5．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，以O 为圆心，OA 为半径画⊙O ，点B 、C 、D 在⊙O 上吗？说说你的理由．6．如图，已知△ABC 中，BD 、CE 是高，问B 、E 、D 、C 这4个点在同一个圆上吗？为什么？E DC B A A B CD O7．设AB=5cm，点C在边AB上，且AC=2cm，分别画出具有下列性质的点的集合的图形：（1）和点C的距离为2cm的点的集合；（2）和点A的距离为3cm的点的集合；（3）和点B、C的距离都为2cm的点的集合．拓展延伸：1．已知，在矩形ABCD中，AB = 3，AD = 4，以点A为圆心，r为半径画圆，矩形的四个顶点恰好有一个在⊙A外，则半径r的范围是．2、若⊙O的半径是4cm，OP＝2cm，则点P到圆上各点的距离中最短距离为，最长距离为．3、若⊙O的半径是4cm，OP＝6cm，则点P到圆上各点的距离中最短距离为．最长距离为．4、已知P点到圆上各点的距离中最短距离为2cm，最长距离为6cm，则⊙O的半径为．5、如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60度的方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响，问：（1）B处是否会受到台风的影响？请说明理由；（2）为避免货物受到台风影响，该船应在多少小时内卸完货物？（供选用数据：3≈1.7 ，2≈1.4）CB A。

圆一、选择题1.如图，在⊙O 中，直径CD 垂直弦AB 于点E ，连接OB ，CB ，已知⊙O 的半径为2，AB 32，则∠BCD 的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.15°2. 如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，交⊙O 于点E ，则与△ABD 相似的三角形有（ ）A.3个B.2个C.1个D.0个4.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，连接BC 交⊙O 于点D ，连接AD ，若∠ABC ＝45°，则下列结论正确的是（ ） A.ADBC B.AD ＝AC C.AC ＞AB D.AD ＞DC5. (2013·山东聊城中考)把地球看成一个表面光滑的球体，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面16 cm ，那么钢丝大约需要加长（）A.102 cmB.104 cmC.106 cmD.108 cm 6.如图，已知⊙O 的半径为5，点O 到弦AB 的距离为3， 则⊙O 上到弦AB 所在直线的距离为2的点有( )个. A.4 B.3 C.2 D.17. 如右图，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，AB ＝10，CD 是斜边AB 上的中线，以AC 为直径作⊙O ，设线段CD 的中点为P ，则点P 与⊙O 的位置关系是（ ）A.点P 在⊙O 内B.点P 在⊙O 上C.点P 在⊙O 外D.无法确定A B C D E O第1题图ABCO D 第2题图BA ． O 第6题图9. 圆锥的底面圆的周长是4π cm，母线长是6 cm ，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是（ ）A.40°B.80°C.120°D.150°10.如图，长为4 cm ，宽为3 cm 的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向），木板上点A 位置变化为A →A 1→A 2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A 翻滚到A 2位置时共走过的路径长为（ ）A.10 cmB.4π cmC.π cmD.cm二、填空题（每小题3分，共24分）11.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是圆上两点，∠AOC =100°，则∠D = _______. 12.在边长为3，4，5的三角形白铁皮上剪下一个最大的圆，此圆的半径为______.13. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧AB ），点O 是这段弧的圆心，C 是弧AB 上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB =300 m ，CD =50 m 则这段弯路的半径是_________． 15. (2013·山东聊城中考)已知一个扇形的半径为60 cm ，圆心角为150°.用它围成一个圆锥的侧面，那么圆锥的底面半径为______ cm..16.如图，图①中圆与正方形各边都相切，设这个圆的周长为C 1;图②中的四个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这四个圆的周长和为C 2；图③中的九个圆的半径相等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这九个圆的周长和为C 3；…，依此规律，当正方形边长为2时，C 1＋ C 2＋C 3＋…＋C 100＝ _______.17.如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切于点，若大圆半径为10 cm ，AOBD第11题图AOCBD第13题图 APB O第18题图小圆半径为 6 cm，则弦的长为_______cm．18.如图，PA、PB切⊙O于两点，若∠APB=60°，⊙O的半径为3，则阴影部分的面积为_______.三、解答题（共46分）21.(6分)（湖南衡阳中考）如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D.(1)判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若∠ACB=120°，OA=2，求CD的长．22.(7分)如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，且AC=CD，∠ACD=120°（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积.24. (7分)如图，已知圆锥的底面半径为3，母线长为9，C为母线PB的中点，求从A点到C点在圆锥的侧面上的最短距离.。

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探究活动问题：已知点A在⊙O上，⊙A与⊙O相交于B、C两点，点D是⊙A上（不与B、C重合）一点，直线BD与⊙O相交于点E．试问：当点D在⊙A上运动时，能否判定△CED的形状?说明理由．分析：要判定△CED的形状，当运动到BD经过⊙A的圆心A时，此时点E与点A重合，可以发现△CED是等腰三角形,从而猜想对一般情况是否也能成立，进一步观察可发现在运动过程中∠D及∠CED的大小保持不变，△CED的形状保持不变．提示：分两种情况（1)当点D在⊙O外时，证明△CDE∽△CAD´即可；（2）当点D在⊙O内时，利用圆内接四边形外角等于内对角，可证明△CDE∽△CAD´即可.说明：(1）本题应用同弧所对的圆周角相等，及圆内接四边形外角等于内对角，改变圆周角顶点位置，进行角的转换;（2）本题为图形形状判定型的探索题，结论的探索同样运用图形运动思想，证明结论将一般位置转化成特殊位置，同时获得添辅助线的方法，这也是添辅助线的常用的思想方法；（3）一般地，有时对几种不同位置图形探索得到相同结论，但不同位置的证明方法不同时，也要进行分类讨论．本题中，如果将直线BD运动到使点E在BD的反向延长线上时，△CDE 仍然是等腰三角形．。

《圆》一、选择题：（24分）1、在半径为1的⊙O 中，120°的圆心角所对的弧长是 （ ） A ．3πB ．23πC ．πD ．32π2、下列四个命题：①直径所对的圆周角是直角；②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等；④三点确定一个圆．其中正确命题的个数为（ ）A ．1B ． 2C ．3D ． 43、已知⊙O 和三点P 、Q 、R ，⊙O 的半径为3，OP=2，OQ=3，OR=4，经过这三点中的一点任意作直线总是与⊙O 相交，这个点是 ( ) A ．P B ．Q C ．R D ．P 或Q4、如图，A D 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，且AC=5，DC=3，AB=24，则⊙O 的直径AE=（ ）．A ． 25B ． 5C ． 24D ． 235、一个形式如圆锥的冰淇淋纸筒，其底面直径为cm 6，母线长为cm 5，围成这样的冰淇淋纸筒所需纸片的面积是 （ ）A ． 266cm π B ． 230cm π C ． 228cm π D ． 215cm π6、如图, ⊙O 的半径OA=6，以A 为圆心OA 为半径的弧交⊙O 于B 、 C 点， 则BC= ( ) A ． 36B ． 26C ．33D ． 23二、填空题：7、两条边是6和8的直角三角形，内切圆的半径是 ．外接圆半径 8、如图，某传送带的一个转动轮的半径为20cm ，当物体从A 传送20cm 至B 时，这个转动8题OCBA10题OED CB A4题6题轮转了_ 度．9、已知弦AB的长等于⊙O的半径，弦AB所对的圆周角是____ ___ 度．10、如图，A、B、C是⊙O上三点，∠BOC=150º，则∠A=_______．12、已知圆锥底面半径是2，母线长是4，则圆锥的侧面展开的扇形圆心角是．13、如图，在⊙O中，弦AB=1.8cm，圆周角∠ACB=30 ，则⊙O的直径为__________cm.14、同圆中，内接正四边形与正六边形面积之比是．三、解答题：15、（4分）已知平面内两点A、B，请你用直尺和圆规求作一个圆，使·它经过A、B两点.(不写作法，保留作图痕迹)16、（8分）已知，AB为⊙O 的直径，点E 为弧AB 任意一点，如图，AC平分∠BAE,交⊙O于C ,过点C作CD⊥AE于D,与AB的延长线交于P．⑴求证：PC是⊙O的切线．⑵若∠BAE=60°，求线段PB与AB的数量关系．17、（6分）如图，秋千拉绳长AB为3米，静止时踩板离地面0.5米，某小朋友荡该秋千时，秋千在最高处时踩板离地面2米(左右对称)，请计算该秋千所荡过的圆弧长？ABCBA·18、（6分）如图所示，正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，以O 为原点建立平面直角坐标系．圆心为A （3，0）的⊙A 被圆心为A （3，0）的A 被y 轴截得的弦长BC ＝8．解答下列问题：（1）⊙A 的半径为 ；（2）请在图中将⊙A 先向上平移6个单位，再向左平移8个单位得到⊙D ，观察你所画的图形知⊙D 的圆心D 点的坐标是 ；⊙D 与x 轴的位置关系是 ；⊙D 与y 轴的位置关系是 ；19、（8分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是BA 延长线上一点，CD 切⊙O 于D 点，弦DE ∥CB ，Q 是AB 上一动点，CA=1，CD=3R ． (1) 求⊙O 的半径R ．ABC 地面DEF x y E BCO A(2) 当Q 从A 向B 运动的过程中，图中阴影部分的面积是否发生变化，若发生变化，请你说明理由；若不发生变化，请你求出阴影部分的面积． 20、（12分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的面积为15，边OA 比OC 大2，E 为BC 的中点，以OE 为直径的⊙O ′交x 轴于D 点，过点D 作DF ⊥AE 于点F ． （1）求OA 、OC 的长；（2）求证：DF 为⊙O ′的切线；（3）小明在解答本题时，发现△AOE 是等腰三角形．由此，他断定：“直线BC 上一定存在除点E 以外的点P ，使△AOP 也是等腰三角形，且点P 一定在⊙O ′外”．你同意他的看法吗？请充分．．说明理由．图16yＯ′· OCB AEDFQ E D O C A。

2.1圆【基础知识】一、圆的定义1. 圆的描述概念如图，在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径. 以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”．要点： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线.2.圆的集合概念圆心为O ，半径为r 的圆是平面内到定点O 的距离等于定长r 的点的集合.平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点.圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合.要点：①定点为圆心，定长为半径；②圆指的是圆周，而不是圆面；③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.二、点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.若⊙O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，那么：点P 在圆内 ⇔d ＜ r ；点P 在圆上 ⇔d = r ；点P 在圆外 ⇔d ＞r.r r r PP P“⇔”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端.要点：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；三、与圆有关的概念1. 弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.4.同心圆与等圆圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.要点：同圆或等圆的半径相等.【典例剖析】【典例1】．下列说法中，正确的是（）A．弦是直径B．半圆是弧C．过圆心的线段是直径D．圆心相同半径相同的两个圆是同心圆【典例2】．已知O的直径是10，P点到圆心O的距离为4，则P点与O的位置关系是（）A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．无法确定【典例3】．下列条件中，能确定一个圆的是（）A．以点O为圆心B．以10cm长为半径C．以点A为圆心，4cm长为半径D．经过已知点M【典例4】．一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（）A．2.5 cm或6.5 cmB ．2.5 cmC ．6.5 cmD ．5 cm 或13cm【典例5】．已知点M 的坐标是（2，1）点N 的坐标是（0，6），⊙M 的半径为5，则点N 的位置（ ）；A ．在⊙M 外B ．在⊙M 上C ．在⊙M 内D ．不能确定【典例6】．已知点C 在线段AB 上（点C 与点,A B 不重合），过点,A B 的圆记为圆1O ，过点,B C 的圆记为圆2O ，过点,C A 的圆记为圆3O ，则下列说法中正确的是（ ）A ．圆1O 可以经过点CB ．点C 可以在圆1O 的内部 C ．点A 可以在圆2O 的内部D ．点B 可以在圆3O 内部【典例7】．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，在这两条直线上，与点O 的距离为3cm 的点有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【典例8】．如图所示，在⊙O 中，点A ，O ，D 以及点B ，O ，C 分别在一条直线上，则图中的弦有( )A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条【典例9】．⊙O 中，直径AB=a ，弦CD=b ，则a 与b 大小为( )A ．a>bB ．a≥bC ．a<bD ．a≤b【典例10】．在以下所给的命题中，正确的个数为（ ）①直径是弦；②弦是直径；③半圆是弧，但弧不一定是半圆；④半径相等的两个半圆是等弧；⑤长度相等的弧是等弧．A ．1B ．2C ．3D ．4【典例11】．如图，弧BE 是半径为6的圆D 的14圆周，C 点是BE 上的任意一点，△ABD 是等边三角形，则四边形ABCD 的周长P 的取值范围是（ ）A．12＜P≤18B．18＜P≤24 C．18＜P≤18＋62D．12＜P≤12＋62【典例12】．如图，长方形ABCD中，M为CD中点，分别以点B、M为圆心，以BC长、MC长为半径画弧，两弧相交于点P.若∠PMC＝110°，则∠BPC的度数为()A．35°B．45°C．55°D．65°【过关检测】一、单选题1．已知O的直径是10，P点到圆心O的距离为4，则P点与O的位置关系是（）A．在圆外B．在圆内C．在圆上D．无法确定2．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标为(3，4)，点P的坐标是(5，8)，则点P与⊙A的位置关系是（）A．P在⊙A上B．P在⊙A内C．P在⊙A外D．不确定3．下列条件中，能确定一个圆的是（）A．以点O为圆心B．以10cm长为半径C．以点A为圆心，4cm长为半径D．经过已知点M4．下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆．正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，图中的弦共有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6．已知点C 在线段AB 上（点C 与点,A B 不重合），过点,A B 的圆记为圆1O ，过点,B C 的圆记为圆2O ，过点,C A 的圆记为圆3O ，则下列说法中正确的是（ ）A ．圆1O 可以经过点CB ．点C 可以在圆1O 的内部 C ．点A 可以在圆2O 的内部D ．点B 可以在圆3O 内部7．下列说法：①直径是弦；②长度相等的两条弧是等弧；③圆是中心对称图形；④任何一条直径都是圆的对称轴，其中说法正确的有（ ）个A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．已知O 的半径是6cm ，则O 中最长的弦长是（ ） A ．6cm B ．12cm C ．16cm D ．20cm9．下列说法正确的有多少个（ ）（1）过圆上一点可以作无数条弦（2）过圆内一点可以作无数条弦（3）弦一定比直径短（4）弦长相等的两个圆是等圆A ．1B ．2C ．3D ．410．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了（如图），其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的碎片应该是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④11．平面内一点P 离O 上的点最近距离为5cm ，离O 上的点最远距离为13cm ，则O 的半径为（ ）A ． 4cmB ． 4或9cmC ． 8? cmD ． 8或18cm12．⊙O 的半径为10cm, A 是⊙O 上一点, B 是OA 中点, C 点和B 点的距离等于5cm, 则C 点和⊙O 的位置关系是 （ ）A ．C 在⊙O 内B ．C 在⊙O 上 C ．C 在⊙O 外D ．C 在⊙O 上或C 在⊙O 内二、填空题13．如果一个圆的半径是a 米，那么这个圆的周长是_______cm ，面积是______2cm ．14．一个点P 到圆的最大距离为11cm ，最小距离为5cm ，则圆的半径为________15．到点A 的距离等于6cm 的点的轨迹是________________．16．如图，以点A 为端点的优弧是____________，以点A 为端点的劣弧是_____________．17．下列说法①直径是弦；②圆心相同，半径相同的两个圆是同心圆；③两个半圆是等弧；④经过圆内一定点可以作无数条直径．正确的是______填序号．18．判断：（1）直径是弦，弦是直径（_____）（2）半圆是圆弧（_____）（3）长度相等的弧是等弧（_____）（4）能够重合的弧是等弧（_____）（5）圆弧分为优弧和劣弧（_____）（6）优弧一定大于劣弧 （_____）（7）半径相等的圆是等圆 （_____）19．如图,☉O 中,点A,O,D 以及点B,O,C 分别在一直线上,图中弦的条数为_____.20．如图，点A 的坐标是()4,0-，以A 为圆心，5个单位长度为半径画圆交y 轴于点E 、F ．则点F 的坐标是_________．三、解答题21．如下图，在半径为5米的圆形花坛周 围修一条宽1米的小路，求小路的面积．22．若☉O 的半径是12cm,OP=8cm,求点P 到圆上各点的距离中最短距离和最长距离.23．求证：直径是圆中最长的弦．24．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，AB ＝5，以点C 为圆心，以r ＝3为半径作圆，判断A ，B 两点和⊙C 的位置关系．25．已知：如图，在⊙O 中，AB 为弦，C 、D 两点在AB 上，且AC ＝BD ．求证：OAC OBD ≌△△．26．以矩形ABCD 的顶点A 为圆心画⊙A ，使得B 、C 、D 中至少有一点在⊙A 内，且至少有一点在⊙A 外，若BC=12，CD=5.求⊙A 的半径r 的取值范围.27．如图，,BD CE 是ABC 的高，M 为BC 的中点．试说明点,,,B C D E 在以点M 为圆心的同一个圆上．28．如图，在ABC 中，90,4,5ACB AC BC ︒∠===，点M 为AB 的中点．（1）以点C 为圆心，4为半径作C ，则点,,A B M 分别与C 有怎样的位置关系？ （2）若以点C 为圆心作C ，使,,A B M 三点中至少有一点在C 内，且至少有一点在C 外，求C 的半径的取值范围． 29．如图，AB 是⊙O 的直径，把AB 分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB ＝a ，那么⊙O 的周长l ＝πa ．计算：(1)把AB 分成两条相等的线段，每个小圆的周长21122l a l π==； (2)把AB 分成三条相等的线段，每个小圆的周长l 3＝ ；(3)把AB 分成四条相等的线段，每个小圆的周长l 4＝ ；(4)把AB 分成n 条相等的线段，每个小圆的周长l n ＝ ．结论：把大圆的直径分成n 条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的 ．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系．。

第2章 对称图形－圆（2.1圆（2）)一、 选择题（每题3分，共24分）1．P 为⊙O 内一点，3OP =，⊙O 半径为5，则经过P 点的最短弦长为 （ ）A ．5B ．6C ．8D ．10 【解析】解：在过点P 的所有⊙O 的弦中，如图，当弦与OP 垂直时，弦最短，此时4CP ==，得其半弦长为4，则弦长是8，故选：C ．2．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，6AB =，以点C 为圆心，BC 为半径的圆与AB 相交于点D ，则AD 的长为（ ）A ．2B ．C ．3D ．【解析】解：过C 点作CH ⊥AB 于H 点，如下图所示：∵∠ACB =90°，∠A =30°，∴△ABC 、△CBH 均为30°、60°、90°直角三角形，其三边之比为2，Rt△ABC 中，132BC AB ==，Rt△BCH 中，1322BH BC ==， 由垂径定理可知：32DH BH ，∴2633AD AB BH ，故选：C ．3．如图，⊙O 是Rt ABC △的外接圆，OE AB ⊥交⊙O 于点E ，垂足为点D ，AE ，CB 的延长线交于点F ．若3OD =，8AB =，则FC 的长是 （）A ．10B ．8C ．6D ．4【解析】解：,8OE AB AB ⊥=，142AD AB ∴==，3OD =，5OA ∴=，5OE ∴=，OE AB ⊥，90A ADO BC =︒∠∴∠=，//OE FC ∴，又OA OC =，OE ∴是ACF 的中位线，210FC OE ∴==，故选：A ．4．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD AB ⊥于点F ，OE AC ⊥于点E ，若3OE =，5OB =，则CD 的长度是（ ）A ．9.6B ．C ．D ．19 【解析】解：连接OC∵AB ⊥CD , OE ⊥AC∴ AE =EC ，CF =FD∵OE =3，OB =5∴OB =OC =OA =5∴在Rt △OAE 中4AE ===∴AE =EC =4设OF =x ，则有2222AC AF OC OF -=-22228(5)5x x -+=-x =1.4在Rt △OFC 中， 4.8FC =∴29.6CD FC ==故选：A5．如图，矩形ABCD 中，60AB =，45AD =，P ，Q 分别是AB ，AD 边上的动点，52PQ =，以PQ 为直径的⊙O 与BD 交于点M ，N ．则MN 的最大值为 （ ）．A ．48B ．45C ．42D ．40【解析】 解：过A 点作AH ⊥BD 于H ，连接OM ，如图，在Rt △ABD 中，BD 75==， ∵12×AH ×BD =12×AD ×AB ， ∴AH =604575⨯=36， ∵⊙O 的半径为522=26， ∴点O 在AH 上时，OH 最短，∵HM∴此时HM 有最大值，最大值为：HM ====24，∵OH ⊥MN ，∴MN =2MH ，∴MN 的最大值为2×24=48．故选：A ．6．如图，⊙O 的直径CD 为26，弦AB 的长为24，且AB CD ⊥，垂足为M ，则CM 的长为（）A ．25B ．8C ．5D ．13【解析】解：连接OA ．∵直径CD AB ⊥，24AB =，∴1122AM BM AB ===,在Rt AOM 中，13OA =,12AM =,根据勾股定理得：5OM ==．则1358CM OC OM =-=-=．故选：B ．7．如图，已知⊙O 的半径为5，弦8AB =，则⊙O 上到弦AB 所在直线．．．．的距离为2的点有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【解析】 解：作圆的直径CE ⊥AB 于点D ，连接OA ，∵AB =8，∴AD =4．∵OA =5，∴OD ，∴CD =OC -3=5-3=2，即C 到弦AB 所在的直线距离为2，∴在劣弧AB 上，到弦AB 所在的直线距离为2的点只有C 点；∵DE =5+3=8＞2，∴在优弧AEB 上到弦AB 所在的直线距离为2的点有2个，即圆上到弦AB 所在的直线距离为2的点有3个．故选：B ．8．如图，⊙O 的直径AB 交弦CD 相于点P ，且45,APC ∠=︒若PC PD ==OA 的长为 （ ）A ．3B ．C ．D 【解析】 过点O 作OE CD ⊥，连接OC ，设OE x =，∵45APC ∠=︒，∴PE OE x ==，∵PC =∴CE x =-，∵CE DE =，∴x x -=+，∴x =∴====OA OC故选：D ．二、填空题（每题3分，共24分）9．若AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，OD AC ⊥于点D ，若3OD =，则BC =____．∵OD⊥AC于点D，∴AD=CD，即D为AC的中点，∵AB是⊙O的直径，∴点O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD=12BC，∴BC=2OD=2×3=6．故答案为：6．10．半径为5的⊙O内，弦AB长6，则圆心到弦AB距离为________．【解析】解：如图，过点O作OC⊥AB于点C，则OC为圆心到弦AB距离，连结OA，∵OC⊥AB，AB=6，∴AC=12AB=3，在Rt OAC△中，OA=5，AC=3，由勾股定理得：4OC==，即圆心到弦AB距离为4，故答案为：4．11．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，过A，B，C三点作一圆弧，则圆心的坐标是_____．根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB 和BC 的垂直平分线，交点即为圆心．如图所示，则圆心是（2，1）．故答案为：（2，1）．12．一个挂钟分针长5厘米，它的尖端走了一圈是__________厘米。

一、选择题1．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程22x ax b +=的方法，类似地可以用折纸的方法求方程210x x +-=的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片ABCD ，先折出BC 的中点E ，再折出线段AE ，然后通过折叠使EB 落在线段EA 上，折出点B 的新位置F ，因而EF EB =，类似地，在AB 上折出点M 使AMAF =，表示方程210x x +-=的一个正根的线段是（ ）A ．线段BMB ．线段AMC ．线段AED ．线段EM 2．某超市今年1月份的营业额为50万元，已知2月至3月营业额的月增长率是1月至2月营业额的月增长率的2倍，3月份的营业额是66万元，设该超市1月至2月营业额的月增长率为x ，根据题意，可列出方程（ ）A ．()50166x +=B ．()250166x +=C ．()2501266x += D ．()()5011266x x ++= 3．某小区2018年屋顶绿化面积为22000m ，计划2020年屋顶绿化面积要达到22880m ．设该小区2018年至2020年屋顶绿化面积的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）A ．2000(12)2880x +=B ．2000(1)2880x ⨯+=C ．220002000(1)2000(1)2880x x ++++=D ．22000(1)2880x +=4．等腰三角形的底边长为6，腰长是方程28150x x -+=的一个根，则该等腰三角形的周长为（ ）A ．12B ．16C ．l2或16D ．15 5．设m 、n 是一元二次方程2430x x -+=的两个根，则23m m n -+=（ ）A ．1-B ．1C ．17-D ．17 6．新冠肺炎是一种传染性极强的疾病，如果有一人患病，经过两轮传染后有81人患病，设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，下列列式正确是（ ）A ．(1)81x x x ++=B ．2181x x ++=C ．1(1)81x x x +++=D ．(1)81x x +=7．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ ）A ．x 2+65x-350=0B ．x 2+130x-1400=0C ．x 2-130x-1400=0D ．x 2-65x-350=0 8．若方程()200++=≠ax bx c a 中，,,a b c 满足420a b c ++=和420a b c -+=，则方程的根是（ ）A ．1,0B ．1,0-C ．1,1-D ．2,2- 9．用一条长40cm 的绳子怎样围成一个面积为75cm 2的矩形？设矩形的一边为x 米，根据题意，可列方程为（ ）A ．x （40－x ）＝75B ．x （20－x ）＝75C ．x （x ＋40）＝75D ．x （x ＋20）＝7 10．关于x 的一元二次方程（a －1）x²－x ＋a²－1＝0的一个根是0，则a 的值为（ ）A ．1B ．－1C ．1或－1D ．0 11．已知2x 2+x ﹣1＝0的两根为x 1、x 2，则x 1•x 2的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．12D ．12- 12．已知a 、b 、m 、n 为互不相等的实数，且(a +m )( a +n )＝2，(b +m )( b +n )＝2，则ab ﹣mn 的值为（ ）A ．4B ．1C ．﹣2D ．﹣1 13．已知关于x 的二次方程()21210--+=k x kx （k ≠1），则方程根的情况是（ ）A ．没有实数根B ．有两不等实数根C ．有两相等实数根D ．无法确定 14．如图，是一个简单的数值运算程序，则输入x 的值为（ ）A 31B ．31C 31或31D ．无法确定 15．已知一元二次方程x 2﹣6x+c ＝0有一个根为2，则另一根及c 的值分别为（ ）A ．2，8B ．3，4C ．4，3D ．4，8 二、填空题16．方程2(3)30x x -+=的二次项系数为________，一次项系数为________，常数项为________．该方程判别式的值为_________，由此可以判断它的根的情况为___________． 17．填空：（1）214x x ++________2(7)x =+；（2）29x x -+_______=（x-____）2 18．方程230x -=的解为___________．19．某小区2019年的绿化面积为3000m 2，计划2021年的绿化面积为4320m 2，如果每年绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是_________．20．写出有一个根为1的一元二次方程是______．21．若关于x 的一元二次方程()23x c -=有实根，则c 的值可以是_________________．(写出一个即可)22．方程2350x x -=的一次项系数是______．23．对于任意实数a 、b ，定义：a ◆b ＝a 2+ab +b 2．若方程（x ◆2）﹣5＝0的两根记为m 、n ，则（m +2）（n +2）＝_____．24．若a ，b 是方程22430x x +-=的两根，则22a ab b +-=________．25．已知a 、b 是方程2320190x x +-=的两根，则24a a b ++的值为________． 26．若方程()22110a x ax -+-=的一个根为1x =，则a =_______． 三、解答题27．解下列方程：（1）2x 2﹣4x ＋1＝0；（2）（2x ﹣1）2＝（3﹣x ）2．28．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为30000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量达到36300个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？29．解方程：2420x x ++=．30．解方程（1）()221250x --= （2）()22132x x y x x y ⎧-=+⎪⎨--=⎪⎩。