数的开方复习

数的开方知识点及复习知识点一：平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根。

（2）开平方：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方.（3）平方根的表示：a 的平方根记作:a 2±±或a 。

a 叫做被开方 （4）求一个数的平方根的方法：利用平方和开平方互为逆运算（5）平方根的性质①一个正数有两个平方根，它们互为相反数②0有一个平方根，它是0本身③负数没有平方根。

（6）算术平方根的定义：非负数a 的正的平方根。

（7）算术平方根表示：一个非负数a 的平方根用符号表示为：“a ”，读作：“根号a ”，其中a 叫做被开方数 （8）算术平方根的性质:①正数a 的算术平方根是一个正数；②0的算术平方根是0；③负数没有算术平方根。

注1）算术平方根是非负数，具有非负数的性质；(a≥0)是一个非负数, 即≥0;2）若两数的平方根相等或互为相反数时，这两数相等；反之，若两非负数相等时，它们的平方根相等或互为相反数； 3)平方根等于本身的数只有0，算术平方根等于本身的数有0、1; 4).非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：()2=a(a≥0)；5）.某数的平方的算术平方根等于某数的绝对值，即 =|a|=6).平方根有三种表示形式：±a ，a ，－a ，它们的意义分别是：非负数a 的平方根，非负数a 的算术平 方 根，非负数a 的负平方根。

要特别注意： a ≠±a7).平方根与算术平方根的区别与联系：区别：①定义不同 ②个数不同： ③ 表示方法不同：联系:①具有包含关系： ②存在条件相同： ③ 0的平方根和算术平方根都是0。

知识点二、立方根：（1）立方根的定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根（也叫三次方根）。

如果x3=a ，则x 叫做a 的立方根。

记作：3a x = ,读作“三次根号a ” 。

（2）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方（3）求一个数的立方根的方法：利用立方和开立方互为逆运算 （4）立方根的性质①一个正数有一个正的立方根，即若a>0，则03>a ②一个负数有一个负的立方根，即若a<0，则03<a ③0的立方根是0，即若a=0，则03=a 。

第16章 数的开方复习（1）一、知识点1、平方根：如果x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根。

正数a 的平方根是a ±；0的平方根是0；负数没有平方根。

2、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作a ；0的算术平方根是0。

3、立方根：如果x 3=a ，那x 叫做a 的立方根。

（1）a a =33；（2）33a a -=-4、形如a （a>0）的式子叫做二次根式。

5、二次根式a 的性质：（1）a>0； （2）a ≥0；（3）（a ）2=a （a>0）； （4）2a ＝a =⎪⎩⎪⎨⎧<-≥)0()0(a a a a6、二次根式的乘除法:7、最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽的因数或因式。

8、同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。

9、二次根式相加减：先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并。

合并同类二次根式与合并同类项类似，是同类二次根式的不能合并。

10、无限不循环小数叫做无理数。

11、有理数和无理数统称为实数。

12、实数与数轴上的点一一对应。

数轴上的点与实数是 的。

也就是说，数轴上的任一点必定表示一个 数（包括 数和 数）；反过来，每一个实数（ 数和 数）也都可以用数轴上的点来表示。

二、巩固练习1、0.49的平方根是 ；16的平方根是 ；25= 。

2、81的平方根是 ；()32-的立方根是3、若4+x 有意义，x .4、等式3392-∙+=-x x x 成立的条件是 。

5、使112112++=++x x x x 成立的条件是 . 6、当0≥a ，（a ）2= , 2a = 。

7、已知一个正方体的体积是1252cm ，则它的棱长为 cm 。

8、直接写出下列各式的计算结果 （1）=-2)3( ；（2）()=223 ；（3）=∙5213（4）=÷32311 ；（5）=7219、23-的相反数是 ，绝对值是 。

数的开方复习教案教学目标：1. 理解数的开方的概念和性质；2. 掌握数的开方的基本运算法则；3. 能够运用数的开方解决实际问题。

教学内容：一、数的开方的概念和性质1. 引入数的开方概念，解释平方根、立方根等；2. 探讨数的开方的性质，如正数的开方是正数，负数的开方是负数等。

二、数的开方的基本运算法则1. 介绍数的开方的基本运算法则，如同底数幂的除法、乘法等；2. 通过例题讲解和练习，使学生熟练掌握这些法则。

三、数的开方在实际问题中的应用1. 引入实际问题，如计算面积、体积等；2. 演示如何运用数的开方解决这些实际问题；3. 学生练习解决类似问题。

四、数的开方与乘方的关系1. 探讨数的开方与乘方的关系，如平方根与平方的关系等；2. 通过例题和练习，使学生理解并能够运用这种关系。

五、数的开方在各数域中的应用1. 介绍数的开方在实数域中的应用，如物理、化学等；2. 引导学生思考数的开方在复数域中的应用。

1. 采用讲解和练习相结合的方式，让学生掌握数的开方的概念和性质；2. 通过例题和实际问题，引导学生运用数的开方解决实际问题；3. 提供充足的练习机会，帮助学生巩固数的开方的基本运算法则。

教学评估：1. 课堂练习：及时检查学生对数的开方的理解和掌握程度；2. 课后作业：布置相关的习题，巩固学生的学习成果；3. 单元测试：定期进行测试，评估学生对数的开方的掌握情况。

教学资源：1. 教学PPT：展示数的开方的概念、性质和运算法则；2. 练习题库：提供充足的练习题，供学生巩固学习内容；3. 实际问题案例：用于引导学生运用数的开方解决实际问题。

教学时间：1课时（45分钟）教学步骤：1. 引入：通过数轴或实物展示，引导学生回顾数的开方的概念和性质；2. 讲解：讲解数的开方的基本运算法则，并通过例题进行演示；3. 练习：学生练习解决一些数的开方的问题，教师进行指导和解答；4. 应用：引入实际问题，引导学生运用数的开方解决这些问题；扩展活动：1. 组织小组讨论，探讨数的开方在实际问题中的应用；2. 布置研究性学习任务，让学生深入研究数的开方在各数域中的应用。

第12章 数的开方一、知识点1．平方根⑴定义:如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做a 的平方根。

即如果a x =2，则x 叫做a 的平方根,记作a x ±=。

⑵平方根的性质：①任何一个正数．．的平方根有两个．．，它们互为相反数；②零的平方根是零；③负数没有平方根. 2．算术平方根⑴定义：正数．．a 的正的平方根．．．．．叫做a 的算术平方根,记作a ；0的算术平方根是0。

只有非负数．．．．．才有算术平方根．．．．．．．。

⑵算术平方根的性质：①算术平方根为非负数,即)0(0≥≥a a ； ②)0()(2≥=a a a .⑶a 的意义：①0≥a ；②0≥a 。

4．平方根与算术平方根的区别与联系(1)区别：①定义小同；②个数不同：一个正数有两个平方根,它们互为相反数,而一个正数的算术平方根只有一个；③表示方法不同：正数a 的平方根表示为a ±,正数a 的算术平方根表示为a ；④值的范围不同：正数的算术平方根一定是正数,正数的平方根是一正一负.（2）联系：①具有包含关系：平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根中的正的那个；②存在条件相同：平方根和算术平方根都只有非负数才有；③O 的平方根与算术平方根都是0。

5．开平方：求一个非负数的平方根的运算．．叫做开平方。

6．注意分清±a 、a 、－a 7．立方根⑴定义:如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根,记作3a 。

⑵立方根的性质：①正数有一个正的立方根;②负数有一个负的立方根； ③0的立方根是0。

8．熟记以下整数的平方和立方400203611928917256162251519614169131441212111222222222=========，，，，，，，，729951283437216612556442738211625255762433333333322===========，，，，，，，，，，9．无理数⑴定义：无限不循环小数叫做无理数。

第11章、数的开方复习一、复习目标：1. 能说出什么是一个数的平方根、立方根，能用根号表示一个数的平方根、算术平方根和立方根。

2.了解无理数的意义，知道实数分为有理数和无理数，会求一个实数的相反数和绝对值，知道实数与数轴上的点一一对应。

二、知识结构： 平方立方三、知识点再回顾【知识点1】平方根和算术平方根的意义1.如果一个数x 的 等于a ，那么这个数叫做a 的 ,即 .2.正数a 的 ，叫做a 的 平方根；3.一个正数有 个平方根，它们 ；零的平方根是 ；负数 平方根.4.求一个 数的平方根的运算，叫做开平方，它与平方运算互为 ．5.算术平方根a 具有双重非负性：（1）被开方数a 是非负数，即a ≥0. （2).算术平方根a 本身是非负数，即a ≥0。

例1.求下列各数的平方根：⑴ 49 ⑵ 2516 ⑶ 0 ⑷36.0 例2.下列各式中，正确的是 （ ）A. 416±= B .416=±C. 3273-=-D. 2)2(2-=-例3.下列说法正确的是（ ）A .16的算术平方根是4B .1的平方根是1C .2)3(-平方根是3±D .负数没有平方根 例4.若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则_______=a 这个正数是________.例5.若|a －b ＋1|与a ＋2b ＋4互为相反数，则求(a －b )2004 的值？实数无理数 实际问题 立方根 平方根 算术平方根例6.解方程：25x 2－36=0 变式：09)13(2=--x【知识点2】立方根的意义：(1).如果一个数x 的 等于a ，那么这个数就叫做 ，即 ．(2).求一个数的 的运算，叫做 立方，与立方运算 逆运算．(3).任何数都有 根.（4）.两个重要的公式为任何数）为任何数）a a a a a a (()(3333==例1.求下列各数的立方根：⑴ 125.0 ⑵ 64 ⑶ 81-⑷ 0 例2.若29+a 表示9的立方根，则_______=a 例3.立方根是它本身的数是________.例4.3216= ; 3125-= ; 327102-= 【知识点3】实数1.无限不循环小数叫 数； 数和 数统称为实数.2.无理数一般情况下包括：①所有开方开不尽而产生的数都是无理数，如.7,5,35 ②圆周率π及一些含π的数都是无理数 .③无限不循环小数，如： 0001010010001.03.数轴上的任一点必定表示一个实数；反过来，每一个实数也都可以用数轴上的点来表示.即实数与数轴上的点______________.2、分类： ______________________________ 有限小数或________小数_______实数 ________ 正实数_______ 按大小： 0_________ 负实数________ 无限不循环小数_________例1.在实数3.0 ，422 ，8 ，0 ，364 ，2π ， 123456.0 ，∙3.0中无理数的个数为 （ ） A ． 2个 B ． 3个 C ． 4个 D ． 5个例2.已知a 是7的整数部分，b 是7的小数部分，求(b －7)a 的值。

第11章 数的开方复习一、知识要点 1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“a 称为被开方数）。

⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a a 称为被开方数）。

⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。

3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。

二、规律总结：1.（1）平方根是其本身的数是0；（2）算术平方根是其本身的数是0和1； （3）立方根是其本身的数是0和±1。

2.每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根。

3.任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。

4.0；a ≥0。

5.公式：⑴2= （ ）； （2）=2a（3 （ ）； （4）=33a 5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0。

6、平方表三 典型例题1 求下列各数的平方根和算术平方根 （1） 1.44 （2）49151（3）81 （4）492 求下列各数的立方根 ⑴ 343； （2） 10227-； （3）0.125； （4）-0.000064；3判断下列说法正确的个数为（ ） ① -5是-25的算术平方根； ② 6是()26-的算术平方根； ③ 0的算术平方根是0； ④ 0.01是0.1的算术平方根；⑤ 一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根． A ．0 个 B ．1个 C ．2个 D ．3个4 一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ） A ．()1+a B ．()1+±a C ．12+a D ．12+±a5 填空题（1）的算术平方根是 ，平方根是 .（2）的立方根是 .（3）的算术平方根是 .（4）2(11)- 的算术平方根是 ，平方根是 .（5）的平方根是 .（6） 的算术平方根是5； 的算术平方根是（7） 8是 的算术平方根 ； 310-是 的立方根. （8）如果a 的算术平方根是3，则a = .（9） 如果则a = .（10）如果2x +1的算术平方根是2,则x = . （11）某个数的平方根是a+3和2a-6，这个数是 . 7 估算1.（1的值应在两个相邻整数 和 之间.（2）比较大小：（3）满足x <<x 是 .（4的整数是 .2.已知x 是14的整数部分，y 是14的小数部分，求114y --x ）（的平方根。

第11章数的开方复习1__基础知识第11章数的开方复习课一基础知识学习目标1.进一步理解一个数的平方根、算术平方根及立方根的意义；2.理解无理数和实数的意义；3.熟练地求出一个正数的平方根、算术平方根和实数的立方根；4.会对实数分类以及进行实数的近似计算.重点：平方根、算术平方根、实数的概念及其计算.难点：算术平方根、实数的综合运算和代数与几何的综合运用一、知识归纳1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a 的平方根。

a的平方根记作: 或。

求一个数a的平方根的运算叫做开平方.（2）平方根的性质①一个正数有个平方根，它们互为相反数②0有个平方根，它是。

③负数平方根。

（3）平方和开平方互为逆运算；2、算术平方根（1）算术平方根的定义：。

一个非负数a的平方根用符号表示为：“”，读作：“”，其中叫做被开方数（2）算术平方根的性质①正数a的算术平方根是；②0的算术平方根是；③负数算术平方根（3）重要性质：3、立方根（1）立方根的定义如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的（也叫）。

如果x3=a，则叫做的立方根。

记作：,读作“”。

求一个数的立方根的运算叫做。

（2）立方根的性质①一个正数的立方根是；②一个负数的立方根是；③0的立方根是。

（3）重要性质：4、实数基础知识（1）．无理数的定义: 叫做无理数（2）．有理数与无理数的区别：有理数总可以用或表示；反过来，任何或也都是有理数。

而无理数是小数，有理数和无理数区别之根本是有限及无限循环和无限不循环。

（3）.常见的无理数类型○1一般的无限不循环小数，如：1.41421356¨···○2看似循环而实际不循环的小数，如0.1010010001···(相邻两个1之间0的个数逐次加1)。

○3有特定意义的数，如：π=3.14159265···○4.开方开不尽的数。