第三章 几种重要的随机过程

m( s t ) m( s ) m( t ),
D( s t ) D( s ) D( t )
命题：若 y( s t ) y( s ) y( t ), 则对任意实数 t, 有 y( t ) ty(1).
可证得1)和2). 证3) C ( s, t ) E{[ X ( t ) m( t )][ X ( s ) m( s )]}
与 W ( t s ) W ( 0) W ( t s )
有相同分布N(0,σ2(t－s)).
3. 维纳过程是正态过程.
设维纳过程{ W( t ),t≥0}的参数是σ2， 证
任取n及t1 t 2 t n ,
X k W ( t k ) W ( t k 1 ), ˆ
则其协方差函数 C ( t1 , t 2 ) 0 （ t 1 t 2 ） 。
证
若 t1 t 2 ， X (t1 ) 与 X (t 2 ) 相 互 独 立 ，
可得
C ( t1 , t 2 ) E [ X ( t1 ) X ( t 2 )] m ( t1 ) m ( t 2 )
EX ( t1 ) EX ( t 2 ) m ( t1 ) m ( t 2 ) 0
E[ X ( t ) X ( s )] m( s )m( t )
E{[ X ( t ) X ( s ) X ( s )] X ( s )} m( s )m( t )
E{[ X ( t ) X ( s )]E[ X ( s )]} E[ X ( s )] m st
2
D [ W (s )] s
2
同理 故
当t s 时
C (s, t ) t
2
C (s, t )
2
m in (s, t )
3． 对 任 意 t 1 , t 2 , t n ， 0 t 1 t 2 t n
维 纳 过 程 X (t ) 有
X ( t i ) X ( t i 1 ) N ( 0 , ( t i t i 1 )) ， i 1, 2 , , n
2
E [ X ( t i ) 2 X ( t i ) X ( t i 1 ) X ( t i 1 )]
x1 x2 xn
m ( t1 ) m (t 2 ) m m (t ) n
C ( t1 , t1 ) C ( t 2 , t1 ) C C (t , t ) n 1
C ( t1 , t 2 ) C (t2 , t 2 ) C (tn , t2 )
当 1 时 ， 称为标准维纳过程。
三、维纳过程的分布 1.一维分布： W( t ) ～N(0,σ2t)； 2. 增量分布： W( t) －W( s)～N(0,σ2|t－s|); 设t＞s ，因W(0)=0, 且W( t )是平稳独立增量 过程，故
W (t ) W ( s) W (t s s) W ( s)
二、定义
如果随机过程{ W ( t ) ， t 0 }满足
（1） W (0 ) 0 ； （2） E[ W ( t )] 0 ；
（3）具有平稳独立增量过程；
2 （4） t 0 ， W ( t ) N ( 0 , t ) ， 0 ） （ 。
则称 随机过程 W ( t ) 为维纳过程， 或布朗运动过程。 特别
X t 1 X t 1 p X t p t
理想模型要求残差序列εt是(高斯)白噪声.
二、独立增量过程 定义3.1.2 称 X ( t ), t T , T=[0,∞)为独立增 量过程, 若对 序列 X(t1) －X(0), X(t2)－X(t1), …, X(tn)－X(tn-1) 相互独立.
注
逆命题也成立。
第三节 维纳过程
一、维纳过程的数学模型及应用 维纳过程是英国植物学家罗伯特.布朗 在观察漂浮在液面的花粉运动—布朗运 动规律时建立的随机游动数学模型.
维纳过程应用广泛：电路理论、通信 和控制、生物、经济管理等.
维纳过程的研究成果应用于计量经济学， 使其方法论产生了一次飞跃，成功地应用 于非平稳的经济过程，如激烈变化的金融 商品价格的研究。
证 若n1<n2<…<nm
Y ( n2 ) Y ( n1 ) X ( k ) X ( k )
k 0 k 0 n2 n1
X (n1 1) X (n2 )
Y ( n3 ) Y ( n2 ) X ( n2 1) X ( n3 )
Y ( nm ) Y ( nm 1 ) X ( nm 1 1) X ( nm )
相互独立
不相关
故高斯白噪声序列是独立时间序列. 若过程X ( t ), t R 是正态过程,且
0, s t E X (t ) 0, R( s , t ) δ( s t ) , s t
2
称其为高斯白噪声过程，它是独立过程. 高斯白噪声是典型的随机干扰数学模型, 普遍存在于电流的波动,通信设备各部分的 波动,电子发射的波动等各种波动现象中. 如金融、电子工程中常用的线性模型— 自回归模型（AR(p)）
C为协方差矩阵，C 1 是 K 的逆矩阵，
( x m ) 表示 ( x m ) 的转置矩阵。
注
由正态过程的n维概率密度表达式知，正态过程 的统计特性，由它的均值函数 m (t ) 及自协方差 函数 C ( t1 , t 2 ) 完全确定。
Ex.3
设 { X (t ) , t R }是 一 个 独 立 的 正 态 过 程 ，
D[( X n )] ,
2
自相关函数为
0, R( m, n) 2 , m n; m n.
两两不相 关序列.
称 X ( n), n N 为离散白噪声(序列).
又若X(n)都服从正态分布,称 X ( n), n N 是
高斯白噪声序列.
对于n维正态随机变量有
相互独立,称随机过程 X ( t ), t T 为独立过程.
注 独立随机过程的有限维分布由一维分布确定
Fn ( t1 , , t n ; x1 , , x n ) Fk ( t k ; x k )
n
Ex.1 高斯白噪声
E{ X ( n)} 0,
k 1
实值时间序列X ( n), n N 的
2 2
X(t) － X(s) 与X(s)相互 独立.
m( t s )ms s m s m st
2 2 2 2
(t s)
一般, C(s, t)=σ2min(s,t). 性质3.1.2 独立增量过程的有限维分布由 一维分布和增量分布确定. 分析 对于独立增量过程{X(t ),t≥0},任取的 t1< t2<…< tn∈T, Y1= X(t1), Y2 =X(t2)－X(t1), …, Yn =X(tn)－X(tn-1) 相互独立性, 利用特征函数法可证明结论.
0
s
t
s+h
t+h
注 增量X (t τ ) X (t ) 的分布仅与τ有关,与起始
点 t 无关,称{X(t),t≥0}的增量具有平稳性(齐性). Ex.2 若{X(n),n∈N+}是独立时间序列,令
Y ( n) X ( k ),
k 0 n
X ( 0) 0
则{Y(n), n∈N+}是独立增量过程. 又若X(n), n=1,2,… 相互独立同分布,则 {Y(n), n∈N+ }是平稳独立增量过程.
{X(n),n∈N+} 相互独立 各增量相互独立.
性质3.1.1 {X(t),t≥0}是平稳独立增量过程, X(0)=0, 则 1）均值函数 m(t)= m t (m 为常数); 2）方差函数 D( t )= σ2t (σ为常数); 3）协方差函数 C(s, t)=σ2min(s,t). 分析 因均值函数和方差函数满足
1
0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 0 1
0 0 0 1
X1 X2 Xn
正态随机 向量的线 性变换服 从正态分 布。
四、维纳过程的数字特征 1. E[W(t)]=0; D[W(t)]=2t 维纳过程是 平稳独立增 量过程
第三章 几种重要的随机过程
第一节 独立过程和独立增量过程 第二节 正态过程 第三节 维纳过程 第四节 泊松过程
第一节 独立过程和独立增量过程
一、独立过程 定义3.1.1 对任意的正整数 n 及任意的 t1 , t 2 ,, t n T , 随机变量
( X ( t1 ), X ( t 2 ), , X ( t n ))
0
, n 2及t0=0<t1<t2<…<tn, 增量
t1
t2
…
tn－1
tn
注 不失一般性,设X(0)=0 或 P{X(0)=0}=1.
有 X(t1) , X(t2)－X(t1), …, X(tn)－X(tn－1) 相互独立. 定义3.1.3 若独立增量过程{X(t),t≥0} 对 s , t T , 及 h>0, X(t+h) － X(s+h) 与 X(t) － X(s) 有相同的分布函数,称{X(t),t≥0}是平稳独立 增量过程.
2
证
由于增量
X ( t i ) X ( t i 1 ) ， i 1, 2 , , n
是相互独立的正态变量。 所以
E [ X ( t i ) X ( t i 1 )]
E [ X ( t i )] E [ X ( t i 1 )] 0