二次根式期末复习含答案

二次根式期末复习知识清单及典型例题知识点1：二次根式的定义：形如()0≥a a 的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，a 才有意义．【例1】下列各式()511，()52-，()232+-x ，()44，()2315⎪⎭⎫ ⎝⎛-，()a -16，()1272+-a a 其中是，二次根式的是_________（填序号）．变式：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A 、a B 、10-C 、1a +D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个【例2】若式子13x -有意义，则x 的取值范围是． 变式：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（） A 、x>3B 、x ≥3C 、x>4D 、x ≥3且x ≠4 2、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限3、使代数式221x x -+-有意义的x 的取值范围是 【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=变式：1、若11x x ---2()x y =+，则x －y 的值为（）A ．－1B ．1C ．2D ．3 2、当a 取什么值时，代数式112++a 取值最小，并求出这个最小值。

【例4】已知a 是5整数部分，b 是5的小数部分，求12a b ++的值。

变式：1、若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3。

2、若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求yx 12+的值. 知识点2：2、双重非负性：a a ()≥0是一个非负数．即①0≥a；②0≥a3、平方的形式（双胞胎公式）：（1）()()a aa 20=≥；（2）a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()．公式a a a a a a 200==≥-<⎧⎨⎩||()()与()()a aa 20=≥的区别与联系：（1）a 2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2）()a 2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3）a 2和()a 2的运算结果都是非负的． 【例5】若()04322=-+-+-c b a 则c b a +-=．变式:若1+-b a 与42++b a 互为相反数，则()2017b a -=。

2021年浙教版八年级数学下册《第1章二次根式》期末综合复习培优提升训练（附答案）一．二次根式的定义1．下列式子中一定是二次根式的是（）A．B．C．D．2．如果是二次根式，那么x应满足的条件是（）A．x≠8B．x＜8C．x≤8D．x＞0且x≠8 3．在下列代数式中，不是二次根式的是（）A．B．C．D．二．二次根式有意义的条件4．使二次根式的有意义的x的取值范围是（）A．x＞0B．x＞1C．x≥1D．x≠15．要使二次根式有意义，则x的取值范围是．6．要使代数式有意义，则x的取值范围是．7．要使代数式有意义，则x的取值范围是．8．若有意义，则x的取值范围是．9．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．三．二次根式的性质与化简10．若abc＜0，则可能化简的结果为（）①②③④．A．①或②B．③或④C．①或③D．②或④11．下列各式：①x2+x3＝x5 ；②a3•a2＝a6 ；③；④；⑤（π﹣1）0＝1，其中正确的是（）A．④⑤B．③④C．②③D．①④12．若＝2，则x的值为（）A．2B．﹣2C．±D．±213．若5＜m＜9，则化简+的结果是（）A．﹣7B．7C．2m﹣13D．13﹣2m14．计算＝．15．先化简再求值：，其中x＝﹣2．四．最简二次根式16．下列式子为最简二次根式的是（）A．B．C．D．17．下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．18．下列根式中，不是最简二次根式的是（）A．B．C．D．19．下列各式中是最简二次根式的是（）A．B．C．D．20．把化为最简二次根式为．五．二次根式的乘除法21．下列运算结果正确的是（）A．＝﹣9B．C．D．22．下列计算正确的是（）A．a2+a2＝2a4B．（2a）2＝4a C．D．23．下列计算正确的是（）A．＝4B．＝3C．＝﹣3D．24．计算：（）2＝．六．化简分母中的二次根式25．当x，y均为正数时，与的关系是（）A．互为相反数B．互为倒数C．相等D．乘积是有理式26．计算：+．27．已知a＝3+，b＝3﹣，分别求下列代数式的值：（1）a2﹣b2 （2）a2﹣2ab+b2．七．能合并的二次根式28．下列各式中，与能合并的是（）A．B．C．D．29．下列根式中，不能与合并的是（）A．B．C．D．30．若a与能合并，则a可能是（）A．﹣3B．C．﹣D．31．若最简二次根式和能合并，则x的值可能为（）A．B．C．2D．532．下列各式中，能与合并的二次根式是（）A．B．C．D．33．已知最简二次根式与能合并，则a＝．八．二次根式的加减法34．下列计算中，正确的是（）A．（a+b）2＝a2+b2B．a6÷a3＝a3C．（﹣2x2y）3＝﹣6x6y3D．+＝35．下列计算不正确的是（）A．+＝2+B．﹣＝C．+＝D．﹣3＝0 36．计算：3﹣2＝．九．二次根式的混合运算37．下列计算正确的是（）A．＝±3B．2C．＝D．＝2 38．下列运算正确的是（）A．B．＝﹣3C．（）2＝3D．+＝39．下列计算正确的是（）A．B．C．D．40．下列计算正确的是（）A．＝﹣3B．（）2＝3C．＝±3D．+＝41．计算：（1）6﹣5+2；（2）（1+）2﹣．42．计算（1）（2）43．计算：44．计算：．45．计算：（1）÷×；（2）（2+）（2﹣）．十．二次根式的化简求值46．已知a＝，b＝，用含a、b的代数式表示，这个代数式是（）A．a+b B．2a C．2b D．ab47．若，，以此类推，则的值为（）A．2018B．2019C．2020D．202148．已知，x＝，y＝，则（x+y）2的值为（）A．2B．4C．5D．749．若a＝+1，则a2﹣2a+1的值为（）A．2B．C．﹣2D．+250．已知x，y均是正整数，且，则|x﹣y|的值为．51．如果实数a，b满足，则＝．52．若a＝3﹣，则a2﹣6a﹣1的值为．53．已知x＝+，y＝﹣，求+的值．54．x＝，y＝，求代数式x2﹣y2的值十一．二次根式的应用55．如图，已知阴影部分是一个正方形，AB＝4，∠B＝45°，此正方形的面积（）A．16B．8C．4D．256．已知矩形的面积为S，相邻两边长分别为a，b，已知S＝2，a＝，则b ＝．57．学校要在操场的一块长方形土地上进行绿化，已知这块长方形土地的长为10米，对角线的长为5米．（1）求该长方形土地的面积；（2）如果绿化该长方形土地每平米的造价为180元，那么绿化该长方形土地所需资金为多少元（结果精确到1元）？58．已知长方形的长a＝，宽b＝．（1）求长方形的周长；（2）求与长方形等面积的正方形的周长，并比较与长方形周长的大小关系．59．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，求（1）Rt△ABC的面积．（2）斜边AB的长．（3）求AB边上的高．60．已知长方形的长是cm，宽是cm，求这个长方形的周长和面积．参考答案一．二次根式的定义1．解：A.，是二次根式；B.中，根指数为3，故不是二次根式；C.中，﹣2＜0，故不是二次根式；D.中，x不一定是非负数，故不是二次根式；故选：A．2．解：∵是二次根式，∴8﹣x≥0，解得：x≤8．故选：C．3．解：A、，是二次根式，故此选项不合题意；B、，是二次根式，故此选项不合题意；C、，是二次根式，故此选项不合题意；D、，不是二次根式，故此选项符合题意；故选：D．二．二次根式有意义的条件4．解：要使有意义，必须x﹣1≥0，解得：x≥1．故选：C．5．解：二次根式有意义，故x﹣3≥0，则x的取值范围是：x≥3．故答案为：x≥3．6．解：由题意可得：2x﹣1≥0，x﹣1≠0，解得：x≥且x≠1．故答案为：x≥且x≠1．7．解：根据题意，得，解得x≥﹣1且x≠0．8．解：根据题意得：﹣2x﹣1≥0，解得：x≤﹣．故答案是：x≤﹣．9．解：∵式子在实数范围内有意义，∴x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．三．二次根式的性质与化简10．解：∵abc＜0，a4b3c2≥0，∴b＞0且a，c一定同号．当a、c是正数时：＝a2b|c|＝﹣a2bc；但a、c是负数时：＝a2b|c|＝a2bc．故选：A．11．解：①x2+x3≠x5 ，故错误；②a3•a2＝a5，故错误；③＝|﹣2|＝2，故错误；④＝3，故正确；⑤（π﹣1）0＝1，故正确．故正确的是：④⑤．故选：A．12．解：∵＝2，∴|x|＝2，∴x＝±2．故选：D．13．解：∵5＜m＜9，∴3﹣m＜0，m﹣10＜0，∴+＝m﹣3+10﹣m＝7，故选：B．14．解：原式＝1，故答案为：115．解：原式＝＝|x+2|，当x＝﹣2时，原式＝|﹣2+2|＝0，四．最简二次根式16．解：∵＝2，＝2，＝，而中被开方数不含能开得尽方的因数，∴属于最简二次根式的是，故选：B．17．解：A、不是最简二次根式，错误；B、是最简二次根式，正确；C、不是最简二次根式，错误；D、不是最简二次根式，错误；故选：B．18．解：因为＝＝2，因此不是最简二次根式．故选：B．19．解：A、原式＝，不符合题意；B、原式＝2，不符合题意；C、原式＝，符合题意；D、原式＝a，不符合题意．故选：C．20．解：＝＝2．故答案为：2．五．二次根式的乘除法21．解：A、＝9，故此选项错误；B、（﹣）2＝2，正确；C、÷＝，故此选项错误；D、＝5，故此选项错误；故选：B．22．解：A、a2+a2＝2a2，故A选项错误；B、（2a）2＝4a2，故B选项错误；C、，此C选项正确；D、÷3＝，故D选项错误．故选：C．23．解：A、＝2，故此选项错误；B、×＝3，故此选项错误；C、＝3，故此选项错误；D、×＝，正确．故选：D．24．解：（）2＝5．故答案为：5．六．化简分母中的二次根式25．解：∵+＝0，∴与的关系是互为相反数．故选：A．26．解：原式＝+＝＝＝6．27．解：（1）∵a＝3+，b＝3﹣，∴a+b＝3++3﹣＝6，a﹣b＝3+﹣3+＝2，则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6×＝12；（2）由（1）知a﹣b＝2，∴a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝（2）2＝8．七．能合并的二次根式28．解：A、与不能合并，错误；B、与不能合并，错误；C、与能合并，正确；D、与不能合并，错误；故选：C．29．解：A、，本选项不合题意；B、，本选项不合题意；C、，本选项合题意；D、，本选项不合题意；故选：C．30．解：首先把上面的四个式子化简后分别是：A、﹣3与不能合并；B、＝，与不能合并；C、﹣3与不能合并；D、＝2，与能合并．所以a可能是D．故选：D．31．解：∵最简二次根式和能合并，∴2x+1＝4x﹣3，解得x＝2．故选：C．32．解：A．＝2与不能合并，此选项不符合题意；B．＝2与不能合并，此选项不符合题意；C．＝2与不能合并，此选项不符合题意；D．＝3与能合并，此选项符合题意；故选：D．33．解：∵最简二次根式与能合并，∴1+a＝4﹣2a，解得，a＝1．故答案是：1．八．二次根式的加减法34．解：A、（a+b）2＝a2+b2+2ab，故原题计算错误；B、a6÷a3＝a3，故原题计算正确；C、（﹣2x2y）3＝﹣8x6y3，故原题计算错误；D、和不是同类二次根式，不能合并，故原题计算错误；故选：B．35．解：+＝2+A，正确，不符合题意；﹣＝2﹣＝，B正确，不符合题意；和不是同类二次根式，不能合并，C不正确，符合题意；﹣3＝3﹣3＝0，D正确，不符合题意；故选：C．36．解：原式＝．故答案为：．九．二次根式的混合运算37．解：A、原式＝3，所以A选项的计算错误；B、2与不能合并，所以B选项的计算错误；C、原式＝，所以C选项的计算错误；D、原式＝＝2，所以D选项的计算正确．故选：D．38．解：A、原式＝＝×＝3×2＝6，所以A选项错误；B、原式＝|﹣3|＝3，所以B选项错误；C、原式＝3，所以C选项正确；D、与不能合并，所以D选项错误．故选：C．39．解：A、与不是同类二次根式，不能合并，所以A选项错误；B、（+1）（1﹣）＝﹣（+1）（﹣1）＝﹣（2﹣1）＝﹣1，所以B选项错误；C、＝＝×＝3，所以C选项正确；D、＝＝，所以D选项错误．故选：C．40．解：A、＝3，此选项错误；B、（）2＝3，此选项正确；C、＝3，此选项错误；D、+＝+，此选项错误．故选：B．41．解：（1）6﹣5+2＝（6﹣5+2）×＝3；（2）（1+）2﹣＝1+2+3﹣2＝4．42．解：（1）原式＝2﹣＝；（2）原式＝（1+）2﹣（）2＝1+2+2﹣3＝2．43．解：原式＝＝．44．解：原式＝+×﹣2+﹣2﹣（4÷4﹣3÷4）＝2+3﹣2+﹣2﹣+＝．45．解：（1）原式＝×2＝6×2＝12；（2）原式＝（2）2﹣（）2＝12﹣2＝10．十．二次根式的化简求值46．解：∵×＝，∴＝×＝ab，故选：D．47．解：原式＝（﹣1+﹣+…+﹣）×（+1）＝（﹣1）×（+1）＝2020﹣1＝2019．故选：B．48．解：把x＝，y＝代入（x+y）2＝，故选：C．49．解：当a＝+1时，原式＝（a﹣1）2＝（+1﹣1）2＝（）2＝2，故选：A．50．解：∵＝＝3，又∵x，y均是正整数，且，3＝+2＝+，∴x＝21，y＝84或x＝84，y＝21，∴|x﹣y|＝63．故答案为：63．51．解：∵+（2a﹣b﹣1）2＝0，∴2a﹣3b＝0，2a﹣b﹣1＝0，即，②﹣①得：2b＝1，b＝，把b＝代入①得：2a﹣＝0，a＝，∴•＝＝＝a＝，故答案为：．52．解：∵a2﹣6a﹣1＝（a﹣3）2﹣10，∴当a＝3﹣，即a﹣3＝﹣时，原式＝（﹣）2﹣10＝1．故答案为1．53．解：∵x＝+，y＝﹣，∴+＝＝＝＝2．54．解：当x＝，y＝时，原式＝（+1）2﹣（﹣1）2＝3+2+1﹣（3﹣2+1）＝4+2﹣4+2＝4．十一．二次根式的应用55．解：∵AB＝4，∠B＝45°，∴AC＝2，∴此正方形的面积为2×2＝8．故选：B．56．解：因为矩形的面积为S，相邻两边长分别为a，b，S＝2，a＝，则b＝＝＝．故答案为．57．解：（1）∵长方形土地的长为10米，对角线的长为5米，∴长方形土地的宽为：＝5（米），∴长方形土地的面积为：10×5＝250（平方米）；（2）∵长方形土地每平方米的造价为180元，∴绿化该长方形土地所需资金为：180×250≈77940元．答：绿化该长方形土地所需资金约为77940元．58．解：a＝＝2，b＝＝．（1）长方形的周长＝（2+）×2＝6；（2）正方形的周长＝4＝8，∵6＝.8＝，∵＞∴6＞8．59．解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，∴Rt△ABC的面积＝＝＝4，即Rt△ABC的面积是4；（2）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，∴AB＝＝＝2，即AB的长是2；（3）∵Rt△ABC的面积是4，AB＝2，∴AB边上的高是：＝，即AB边上的高是．60．解：周长＝2（+），＝2（3+2），＝（6+4）cm；面积＝×，＝3×2，＝6cm2．。

初中数学人教新版八年级期末必刷常考题之二次根式的乘除一．选择题（共6小题）1．（2022秋•南关区期末）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≤﹣3B．x＞﹣3C．x≥﹣3D．x≥32．（2022秋•南安市期末）当a＞0时，＝（）A．±a B．a C．﹣a D．03．（2022秋•香坊区期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．4．（2022秋•海口期末）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≤3B．x≥3C．x＜3D．x≠35．（2022秋•开福区校级期末）下列式子一定是二次根式的是（）A．B．C．D．6．（2022秋•临淄区期末）下列计算正确的是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）7．（2023春•拱墅区期末）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．8．（2022秋•宁德期末）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是2．那么若b是正整数，是大于1的整数，则b的最大值与最小值的差是．9．（2022秋•射洪市期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．10．（2022秋•汉寿县期末）化简二次根式的结果为．11．（2022秋•思明区校级期末）计算下列各题：化简：①50＝；②3﹣2＝；③（﹣2a）2＝；④＝；⑤＝；⑥＝；⑦＝；⑧（x﹣1）（x+2）＝．12．（2022秋•南关区期末）将化为最简二次根式的结果是．三．解答题（共3小题）13．（2022秋•东平县期末）计算与求值：（1）（x﹣1）2＝25；（2）（x+3）3＝﹣27；（3）已知x、y都是实数，且，求y x的值．14．（2022秋•鲤城区校级期末）定义：若两个二次根式a，b满足ab＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式．问题解决：（1）若a与2是关于6的共轭二次根式，则a＝；（2）若4+与8﹣m是关于26的共轭二次根式，求m的值．15．（2022秋•丰城市校级期末）若x，y是实数，且y＝++3，求3的值．2022-2023学年下学期初中数学人教新版八年级期末必刷常考题之二次根式的乘除参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．（2022秋•南关区期末）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≤﹣3B．x＞﹣3C．x≥﹣3D．x≥3【考点】二次根式有意义的条件．【专题】二次根式；运算能力．【答案】C【分析】直接利用二次根式的定义得出x+3≥0，进而得出答案．【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴x+3≥0，解得：x≥﹣3．故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．2．（2022秋•南安市期末）当a＞0时，＝（）A．±a B．a C．﹣a D．0【考点】二次根式的性质与化简．【专题】二次根式；运算能力．【答案】B【分析】根据即可求解．【解答】解：当a＞0时，．故选：B．【点评】本题考查二次根式的性质，掌握是解题的关键3．（2022秋•香坊区期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【考点】最简二次根式．【答案】C【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．【解答】解：A.＝2，被开方数含有开方开得尽的因式，故不符合题意；B.＝4，被开方数是完全平方数，故不符合题意；C.是最简二次根式，故符合题意；D.＝，被开方数是小数，故不符合题意．故选：C．【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．4．（2022秋•海口期末）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≤3B．x≥3C．x＜3D．x≠3【考点】二次根式有意义的条件．【专题】二次根式；运算能力．【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件可得2x﹣6≥0，再解不等式即可．【解答】解：由题意得：2x﹣6≥0，解得：x≥3，故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．5．（2022秋•开福区校级期末）下列式子一定是二次根式的是（）A．B．C．D．【考点】二次根式的定义．【专题】二次根式；运算能力．【答案】C【分析】直接利用二次根式的定义，一般地，形如的代数式叫做二次根式进行判断即可．【解答】解：∵x2≥0，∴x2+2≥2，∴一定是二次根式，而、和中的被开方数均不能保证大于等于0，故不一定是二次根式，故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．6．（2022秋•临淄区期末）下列计算正确的是（）A．B．C．D．【考点】二次根式的性质与化简；立方根．【专题】二次根式；运算能力．【答案】C【分析】根据算术平方根的非负性、二次根式的性质、立方根逐项判断即可．【解答】解：A、，原式计算错误，不符合题意；B、，原式计算错误，不符合题意；C、，原式计算正确，符合题意；D、，原式计算错误，不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了二次根式的性质、算术平方根的非负性、立方根等知识，掌握二次根式的性质、算术平方根的非负性是解本题的关键．二．填空题（共6小题）7．（2023春•拱墅区期末）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x ＜5．【考点】二次根式有意义的条件．【专题】二次根式；运算能力．【答案】x＜5．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：5﹣x＞0，解得：x＜5，故答案为：x＜5．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．8．（2022秋•宁德期末）已知a是正整数，是整数，则a的最小值是2．那么若b是正整数，是大于1的整数，则b的最大值与最小值的差是45．【考点】二次根式的定义．【专题】二次根式；运算能力．【答案】45．【分析】由，结合b是正整数，是大于1的整数，可得b是15的倍数，从而可得答案．【解答】解：∵，又∵b是正整数且是大于1的整数，∴当b＝15时，的整数值最大为4，此时b的值最小，当b＝60时，的整数值最小为2，此时b的值最大，∴b的最大值与最小值的差是60﹣15＝45．故答案为：45．【点评】本题考查的是算术平方根的含义与估算，理解题意是解本题的关键．9．（2022秋•射洪市期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是x≥﹣3且x ≠0．【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．【专题】分式；二次根式；运算能力．【答案】x≥﹣3且x≠0．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式即可．【解答】解：由题意得：x+3≥0且x≠0，解得：x≥﹣3且x≠0，故答案为：x≥﹣3且x≠0．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．10．（2022秋•汉寿县期末）化简二次根式的结果为．【考点】二次根式的性质与化简．【专题】二次根式；运算能力．【答案】．【分析】根据二次根式的分母有理化计算即可．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的化简，熟记分母有理化方法是解题关键．11．（2022秋•思明区校级期末）计算下列各题：化简：①50＝1；②3﹣2＝；③（﹣2a）2＝4a2；④＝﹣1；⑤＝；⑥＝2；⑦＝；⑧（x﹣1）（x+2）＝x2+x﹣2．【考点】二次根式的性质与化简；幂的乘方与积的乘方；多项式乘多项式；分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．【专题】实数；整式；分式；二次根式；运算能力．【答案】①1．②．③4a2.④﹣1．⑤．⑥2．⑦．⑧x2+x﹣2．【分析】①根据零指数幂的意义即可求出答案．②根据负整数指数幂的意义即可求出答案．③根据积的乘方运算即可求出答案．④根据分式的加减运算法则即可求出答案．⑤根据积的乘方运算即可求出答案．⑥根据二次根式的性质即可求出答案．⑦根据二次根式的性质即可求出答案．⑧根据多项式乘多项式法则即可求出答案．【解答】解：①原式＝1．②原式＝．③原式＝4a2．④原式＝＝﹣1．⑤原式＝．⑥原式＝2．⑦原式＝．⑧原式＝x2+2x﹣x﹣2＝x2+x﹣2．故答案为：①1．②．③4a2.④﹣1．⑤．⑥2．⑦．⑧x2+x﹣2．【点评】本题考查零指数幂的意义、负整数指数幂的意义、积的乘方运算、二次根式的性质、多项式乘多项式法则，本题属于基础题型．12．（2022秋•南关区期末）将化为最简二次根式的结果是．【考点】最简二次根式．【专题】二次根式；运算能力．【答案】．【分析】被开方数的分子分母乘以2，然后再开方即可．【解答】解：＝＝，故答案为：．【点评】此题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．三．解答题（共3小题）13．（2022秋•东平县期末）计算与求值：（1）（x﹣1）2＝25；（2）（x+3）3＝﹣27；（3）已知x、y都是实数，且，求y x的值．【考点】二次根式有意义的条件；平方根；立方根；实数的运算．【专题】实数；运算能力．【答案】（1）x＝﹣4或x＝6；（2）x＝﹣6；（3）9．【分析】（1）根据平方根的概念计算；（2）根据立方根的概念计算；（3）根据二次根式有意义的条件求出x，进而求出y，根据有理数的乘方法则计算即可．【解答】解：（1）∵（x﹣1）2＝25，∴x﹣1＝±5，∴x＝﹣4或x＝6；（2）∵（x+3）3＝﹣27，∴x+3＝﹣3，∴x＝﹣6；（3）由题意得：x﹣2≥0，x﹣2≤0，∴x＝2，∴y＝3，∴y x＝32＝9．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件、平方根、立方根的概念，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．14．（2022秋•鲤城区校级期末）定义：若两个二次根式a，b满足ab＝c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式．问题解决：（1）若a与2是关于6的共轭二次根式，则a＝；（2）若4+与8﹣m是关于26的共轭二次根式，求m的值．【考点】二次根式的定义．【专题】二次根式；运算能力．【答案】（1）；（2）2．【分析】（1）根据共轭二次根式的定义列等式可得a的值；（2）根据共轭二次根式的定义列等式可得m的值．【解答】解：（1）∵a与2是关于6的共轭二次根式，∴2a＝6，∴a＝＝，故答案为：；（2）∵4+与8﹣m是关于26的共轭二次根式，∴（4+）（8﹣m）＝26，∴8﹣m＝＝＝8﹣2，∴m＝2．【点评】本题考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会用二次根据的性质进行计算．15．（2022秋•丰城市校级期末）若x，y是实数，且y＝++3，求3的值．【考点】二次根式有意义的条件．【答案】见试题解答内容【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出x、y的值，根据二次根式的性质计算即可．【解答】解：由题意得，4x﹣1≥0，1﹣4x≥0，解得，x＝，则y＝3，则3＝3×＝．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．考点卡片1．平方根（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”．正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零．平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．2．立方根（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．【规律方法】平方根和立方根的性质1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．3．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．4．幂的乘方与积的乘方（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（a m）n＝a mn（m，n是正整数）注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n＝a n b n（n是正整数）注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．5．多项式乘多项式（1）多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）运用法则时应注意以下两点：①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．6．分式有意义的条件（1）分式有意义的条件是分母不等于零．（2）分式无意义的条件是分母等于零．（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．7．分式的混合运算（1）分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．（2）最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．（3）分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．【规律方法】分式的混合运算顺序及注意问题1．注意运算顺序：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．2．注意化简结果：运算的结果要化成最简分式或整式．分子、分母中有公因式的要进行约分化为最简分式或整式．3．注意运算律的应用：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．8．零指数幂零指数幂：a0＝1（a≠0）由a m÷a m＝1，a m÷a m＝a m﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）注意：00≠1．9．负整数指数幂负整数指数幂：a﹣p＝（a≠0，p为正整数）注意：①a≠0；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．10．二次根式的定义二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式．①“”称为二次根号②a（a≥0）是一个非负数；学习要求：理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．11．二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．（3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．学习要求：能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．【规律方法】二次根式有无意义的条件1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．12．二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：①≥0；a≥0（双重非负性）．②（）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③＝|a|＝（算术平方根的意义）（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0）（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法1．常见题型：与分式的化简求值相结合．2．解题方法：（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．13．最简二次根式最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．。

专题01二次根式的运算一．选择题1．（2021秋•福田区校级期末）下列计算正确的是（）A．+＝B．3﹣＝3C．＝﹣＝3﹣1＝1D．＝2．（2021春•龙岩期末）下列计算结果正确的是（）A．B．C．D．3．（2021春•荔湾区校级期中）下列计算中，正确的是（）A．＝5B．＝C．÷＝3D．＝﹣3 4．（2021春•天河区校级月考）下列计算正确的是（）A．B．C．D．5．（2019春•西湖区校级期中）计算（﹣3）2018（+3）2019的值为（）A．1B．+3C．﹣3D．36．（2017秋•南昌期末）在化简时，甲、乙两位同学的解答如下，那么两人的解法（）甲：＝＝＝乙：＝＝＝A．两人解法都对B．甲错乙对C．甲对乙错D．两人都错7．（2017春•高唐县期末）下列各式中，正确的是个数有（）①+2＝2；②+＝a+b；③＝；④3＝A．1个B．2个C．3个D．0个8．（2021春•龙口市期中）下列计算中，正确的是（）A．+＝B．（）2020•（）2021＝+C．＝﹣5D．2﹣2＝二．填空题9．（2021春•綦江区期中）已知：，则ab3+a3b的值为．10．（2021春•九龙坡区期末）计算：（﹣）（+）＝．11．（2020秋•德惠市校级月考）计算÷+×＝．12．（2020春•武川县期中）化简：（）2﹣＝．13．（2021春•永嘉县校级期末）已知a为实数，且与都是整数，则a的值是．14．（2019•盘锦）计算：（2+3）（2﹣3）＝．15．（2019春•交城县期中）计算：＝．16．（2018秋•浦东新区校级月考）计算：6×＝，÷（2﹣）＝．17．（2018•湖北）计算：+|﹣2|﹣（）﹣1＝．三．解答题18．（2020秋•肃州区期末）计算（1）（2﹣1）2+（+2）（﹣2）（2）（﹣2）×﹣6．19．（2021秋•崇川区校级月考）化简：①﹣a﹣1；②（﹣）÷；③；④3（2﹣4+3）．20．（2021秋•温江区校级期中）（1）﹣2+3；（2）×÷；（3）﹣（+1）2+；（4）解方程组．21．（2021秋•南召县期中）我们知道：这一化简变形过程叫分母有理化，类似地：＝，式子也可以这样化简：，这些化简变形也是分母有理化．利用以上信息解答以下问题：（1）直接写出化简结果：＝；＝；（2）用两种不同的方法化简：；（3）化简：．22．（2021春•青川县期末）计算：（1）（1﹣π）0+|﹣|﹣+（）﹣1；（2）（+﹣）2﹣（﹣+）2．23．（2021春•饶平县校级期中）计算：（1）÷+2×﹣（2+）2（2）（﹣）﹣2﹣（﹣1）2012×﹣+24．（2020春•兴县期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得a ＝，b＝；（2）试着把7+4化成一个完全平方式．（3）若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：．25．（2019秋•昌江区校级期末）（+）÷（+﹣）（a≠b）．26．（2019秋•市中区校级期中）探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）2＝（2）3＝验证：2＝×＝＝＝＝＝验证：3＝×＝＝＝＝＝（1）按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：4＝；5＝；（2）通过上述探究你能猜测出：n＝（n＞0），并验证你的结论．27．（2019春•邗江区校级月考）阅读理解题：学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2，我们来进行以下的探索：设a+b＝（m+n）2（其中a，b，m，n都是正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m+2n2，b＝2mn，这样就得出了把类似a+b的式子化为平方式的方法．请仿照上述方法探索并解决下列问题：（1）当a，b，m，n都为正整数时，若a﹣b＝（m﹣n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝，b＝；（2）利用上述方法，找一组正整数a，b，m，n填空：﹣＝（﹣）2（3）a﹣4＝（m﹣n）2且a，m，n都为正整数，求a的值．28．（2018春•常州期末）阅读材料：像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：；＝．解答下列问题：（1）3﹣与互为有理化因式，将分母有理化得；（2）计算：；（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．专题01二次根式的运算一．选择题1．（2021秋•福田区校级期末）下列计算正确的是（）A．+＝B．3﹣＝3C．＝﹣＝3﹣1＝1D．＝【思路引导】根据同类二次根式的概念、合并同类二次根式的法则、二次根式的混合运算顺序和法则及分母有理化逐一判断即可．【完整解答】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；B．3﹣＝2，此选项计算错误；C．＝＝，此选项计算错误；D．＝＝，此选项计算正确；故选：D．【考察注意点】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握同类二次根式的概念、合并同类二次根式的法则、二次根式的混合运算顺序和法则及分母有理化．2．（2021春•龙岩期末）下列计算结果正确的是（）A．B．C．D．【思路引导】根据二次根式的加减法对A、C进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则和二次根式的性质对D进行判断．【完整解答】解：A、原式不能合并，所以A选项错误；B、原式＝4，所以B选项错误；C、原式＝2，所以C选项错误；D、原式＝＝＝3，所以D选项正确．故选：D．【考察注意点】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．3．（2021春•荔湾区校级期中）下列计算中，正确的是（）A．＝5B．＝C．÷＝3D．＝﹣3【思路引导】根据同类二次根式的概念、二次根式的乘法、除法及二次根式的性质逐一求解即可．【完整解答】解：A．2与3不是同类二次根式，不能合并，此选项不符合题意；B．3×2＝18，此选项不符合题意；C．÷＝3÷＝3，此选项符合题意；D．＝|﹣3|＝3，此选项不符合题意；故选：C．【考察注意点】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．4．（2021春•天河区校级月考）下列计算正确的是（）A．B．C．D．【思路引导】根据二次根式的混合运算法则逐一计算即可．【完整解答】解：A．2和不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B．÷＝＝，此选项错误；C．﹣＝2﹣＝，此选项正确；D．（+）2＝5+2，此选项错误；故选：C．【考察注意点】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．5．（2019春•西湖区校级期中）计算（﹣3）2018（+3）2019的值为（）A．1B．+3C．﹣3D．3【思路引导】原式利用积的乘方的运算法则变形为[（﹣3）（+3）]2018×（+3），再根据二次根式的运算法则和平方差公式计算可得．【完整解答】解：原式＝（﹣3）2018（+3）2018×（+3）＝[（﹣3）（+3）]2018×（+3）＝（10﹣9）2018×（+3）＝1×（+3）＝+3，故选：B．【考察注意点】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式和积的乘方的运算法则与平方差公式．6．（2017秋•南昌期末）在化简时，甲、乙两位同学的解答如下，那么两人的解法（）甲：＝＝＝乙：＝＝＝A．两人解法都对B．甲错乙对C．甲对乙错D．两人都错【思路引导】分别对甲和乙的过程进行判断，注意分母有理化时要判断≠．【完整解答】解：甲同学在计算时，将分子和分母都乘以（﹣），而﹣是有可能等于0，此时变形后分式没有意义，所以甲同学的解法错误；乙同学的解法正确；故选：B．【考察注意点】本题考查二次根式的化简，属于基础题，关键在于分母有理化时要确定﹣≠0．7．（2017春•高唐县期末）下列各式中，正确的是个数有（）①+2＝2；②+＝a+b；③＝；④3＝A．1个B．2个C．3个D．0个【思路引导】根据各个小题中的式子可以计算是否正确，从而可以解答本题．【完整解答】解：∵+2不能合并，故①错误，∵若a＝1，b＝2，则≠a+b，故②错误，∵＝，故③正确，∵3＝，故④正确，故选：B．【考察注意点】本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．8．（2021春•龙口市期中）下列计算中，正确的是（）A．+＝B．（）2020•（）2021＝+C．＝﹣5D．2﹣2＝【思路引导】根据同类二次根式的概念、二次根式的运算法则和性质逐一判断即可．【完整解答】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B．（）2020•（）2021＝[（）（）]2020•（+）＝（﹣1）2020•（+）＝+，此选项正确；C．＝|﹣5|＝5，此选项错误；D．2与2不是同类二次根式，此选项错误；故选：B．【考察注意点】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．二．填空题9．（2021春•綦江区期中）已知：，则ab3+a3b的值为．【思路引导】先根据a、b的值计算出a+b、ab的值，再将其代入到原式＝ab（a2+b2）＝ab[（a+b）2﹣2ab]计算即可．【完整解答】解：∵，∴a+b＝+＝，ab＝×＝＝，则原式＝ab（a2+b2）＝ab[（a+b）2﹣2ab]＝×（3﹣2×）＝×＝，故答案为：．【考察注意点】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．10．（2021春•九龙坡区期末）计算：（﹣）（+）＝2．【思路引导】根据平方差公式即可求出答案．【完整解答】解：原式＝5﹣3＝2，故答案为2．【考察注意点】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．11．（2020秋•德惠市校级月考）计算÷+×＝7．【思路引导】先根据二次根式乘除法法则进行运算，然后化简进行加法运算．【完整解答】解：÷+×＝+＝+6＝7．故答案为：7．【考察注意点】本题考查二次根式的运算，解题关键是熟练掌握二次根式混合运算的方法．12．（2020春•武川县期中）化简：（）2﹣＝0．【思路引导】先根据二次根式有意义的条件得到x≤3，然后利用二次根式的性质化简后合并即可．【完整解答】解：根据题意得3﹣x≥0，解得x≤3，所以原式＝3﹣x﹣＝3﹣x﹣（3﹣x）＝0．故答案为0．【考察注意点】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．13．（2021春•永嘉县校级期末）已知a为实数，且与都是整数，则a的值是或．【思路引导】由是正整数可得，a是含有﹣2的代数式；再由是整数，可得化简后为含有﹣2的代数式，据此确定a的值．【完整解答】解：∵是正整数，∴a是含有﹣2的代数式；∵是整数，∴化简后为含有2的代数式，∴a＝或．故答案为：或．【考察注意点】此题主要考查二次根式的混合运算，要熟练掌握合并同类二次根式和分母有理化．14．（2019•盘锦）计算：（2+3）（2﹣3）＝2．【思路引导】利用平方差公式计算．【完整解答】解：原式＝（2）2﹣（3）2＝20﹣18＝2．故答案为2．【考察注意点】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．15．（2019春•交城县期中）计算：＝﹣﹣2．【思路引导】直接利用积的乘方运算法则将原式变形，进而求出答案．【完整解答】解：＝[（﹣2）2015（+2）2015]（+2）＝[（﹣2）×（+2）]2015（+2）＝﹣﹣2．故答案为：﹣﹣2．【考察注意点】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确应用积的乘方运算法则是解题关键．16．（2018秋•浦东新区校级月考）计算：6×＝4，÷（2﹣）＝+1．【思路引导】根据二次根式的乘除运算法则及分母有理化方法计算可得．【完整解答】解：6×＝2＝4，÷（2﹣）＝＝＝＝+1，故答案为：4，+1．【考察注意点】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序与运算法则．17．（2018•湖北）计算：+|﹣2|﹣（）﹣1＝0．【思路引导】根据二次根式的除法法则、绝对值的化简、负整数指数幂的运算法则计算即可．【完整解答】解：原式＝+2﹣﹣2＝0故答案为：0．【考察注意点】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的除法法则、绝对值的化简、负整数指数幂的运算法则是解题的关键．三．解答题18．（2020秋•肃州区期末）计算（1）（2﹣1）2+（+2）（﹣2）（2）（﹣2）×﹣6．【思路引导】（1）利用完全平方公式和平方差公式计算；（2）先利用二次根式的乘法法则运算，然后化简后合并即可．【完整解答】解：（1）原式＝12﹣4+1+3﹣4＝12﹣4（2）原式＝﹣2﹣3＝3﹣6﹣3＝﹣6．【考察注意点】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．19．（2021秋•崇川区校级月考）化简：①﹣a﹣1；②（﹣）÷；③；④3（2﹣4+3）．【思路引导】①把﹣a﹣1提负号看成一个整体，通分后相减可得结论；②先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而计算乘法即可；③先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；④直接化简二次根式，利用二次根式的加减运算法则合并，再利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案；【完整解答】解：①﹣a﹣1＝﹣＝﹣＝；②（﹣）÷＝•＝＝＝；③＝2+4+3﹣2＝9﹣2；④3（2﹣4+3）＝3（4﹣4×+3×）＝3×（16﹣）＝48﹣6．【考察注意点】本题考查了分式的混合运算和二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、因式分解是解决问题的关键．20．（2021秋•温江区校级期中）（1）﹣2+3；（2）×÷；（3）﹣（+1）2+；（4）解方程组．【思路引导】（1）先化成最简二次根式，再根据二次根式的加减法则进行计算即可；（2）项根据二次根式的乘法法则进行计算，再根据二次根式的除法法则进行计算即可；（3）先根据二次根式的性质，完全平方公式和分母有理化进行计算，再根据二次根式的加减进行计算即可；（4）设x+y＝a，x﹣y＝b，原方程组化为，求出a、b的值，再求出x、y的值即可．【完整解答】解：（1）﹣2+3＝4﹣6+6＝﹣2+6；（2）×÷＝÷＝•＝5×2＝10；（3）﹣（+1）2+＝2﹣（3+1+2）+＝2﹣4﹣2﹣（1﹣）＝﹣4﹣1+＝﹣5+；（4），设x+y＝a，x﹣y＝b，则原方程组化为：，解得：，即，解得：．【考察注意点】本题考查了二次根式的混合运算，解二元一次方程组，实数的混合运算等知识点，能正确根据二次根式的性质和实数的运算法则进行计算是解此题的关键．21．（2021秋•南召县期中）我们知道：这一化简变形过程叫分母有理化，类似地：＝，式子也可以这样化简：，这些化简变形也是分母有理化．利用以上信息解答以下问题：（1）直接写出化简结果：＝；＝+；（2）用两种不同的方法化简：；（3）化简：．【思路引导】（1）根据材料所给化简二次根式的方法求解．（2）方法一：分子分母同时乘以（﹣），方法二：将2分解为7﹣5，然后通过平方差公式求解．（3）将原式化为…求解．【完整解答】解（1）＝＝，＝＝+．故答案为：，+．（2）解法1：＝，解法2：．（3）原式＝…＝…＝．【考察注意点】本题考查二次根式的化简与计算，解题关键是掌握分母有理化的方法．22．（2021春•青川县期末）计算：（1）（1﹣π）0+|﹣|﹣+（）﹣1；（2）（+﹣）2﹣（﹣+）2．【思路引导】（1）先计算（1﹣π）0、（）﹣1，再化简绝对值和二次根式，最后加减；（2）利用平方差公式计算比较简便．【完整解答】解：（1）原式＝1+﹣﹣2+＝1﹣；（2）原式＝（+﹣+﹣+）（+﹣﹣+﹣）＝2×（2﹣2）＝4﹣4＝4﹣8．【考察注意点】本题考查了二次根式的混合运算，掌握“a0＝1，a﹣1＝（a≠0）”、二次根式的化简和绝对值的意义及二次根式的运算法则是解决本题的关键．23．（2021春•饶平县校级期中）计算：（1）÷+2×﹣（2+）2（2）（﹣）﹣2﹣（﹣1）2012×﹣+【思路引导】（1）先利用二次根式的乘除法则运算，再利用完全平方公式计算，然后合并即可；（2）根据负整数指数幂、零指数幂和二次根式的性质计算．【完整解答】解：（1）原式＝+2﹣（8+4+3）＝4+2﹣11﹣4＝﹣7﹣2；（2）原式＝4﹣1×1﹣4+5＝4﹣1﹣4+5＝4．【考察注意点】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．24．（2020春•兴县期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得a ＝m2+3n2，b＝2mn；（2）试着把7+4化成一个完全平方式．（3）若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：．【思路引导】（1）根据完全平方公式展开，再得出即可；（2）根据完全平方公式得出即可；（3）先求出a、b的值，再代入求出即可．【完整解答】解：（1）a+b＝（m+n）2，∵a+b＝m2+3n2+2mn，∴a＝m2+3n2，b＝2mn，故答案为：m2+3n2；2mn；（2）7+4＝（2+）2；（3）∵a是216的立方根，b是16的平方根，∴a＝6，b＝±4，∴＝＝＝2±．【考察注意点】本题考查了平方根、立方根、完全平方公式、算术平方根等知识点，能灵活运用完全平方公式进行变形是解此题的关键．25．（2019秋•昌江区校级期末）（+）÷（+﹣）（a≠b）．【思路引导】先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．【完整解答】解：原式＝÷＝÷＝＝﹣．【考察注意点】本题考查了二次根式的混合运算，难度适中，注意细心运算，关键是先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．26．（2019秋•市中区校级期中）探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）2＝（2）3＝验证：2＝×＝＝＝＝＝验证：3＝×＝＝＝＝＝（1）按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：4＝；5＝；（2）通过上述探究你能猜测出：n＝（n＞0），并验证你的结论．【思路引导】（1）利用所给等式的规律求解；（2）先利用题中规律得到n＝（n＞0），然后根据二次根式的性质和乘法法则进行验证．【完整解答】解：（1）4＝；5＝；（2）n＝（n＞0），验证：n＝•＝＝＝＝（n＞0）．故答案为；；．【考察注意点】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．27．（2019春•邗江区校级月考）阅读理解题：学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2，我们来进行以下的探索：设a+b＝（m+n）2（其中a，b，m，n都是正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m+2n2，b＝2mn，这样就得出了把类似a+b的式子化为平方式的方法．请仿照上述方法探索并解决下列问题：（1）当a，b，m，n都为正整数时，若a﹣b＝（m﹣n）2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝m2+5n2，b＝2mn；（2）利用上述方法，找一组正整数a，b，m，n填空：9﹣4＝（2﹣1）2（3）a﹣4＝（m﹣n）2且a，m，n都为正整数，求a的值．【思路引导】（1）利用完全平方公式把（m﹣n）2展开即可得到用含m，n的式子分别表示出a，b；（2）利用（1）中的表达式，令m＝2，n＝1，则可计算出对应的a和b的值；（3）利用（1）的结果得到2mn＝4，则mn＝2，再利用m，n都为正整数得到m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，然后计算对应的a的值即可．【完整解答】解：（1）∵a﹣b＝（m﹣n）2，∴a﹣b＝m2﹣2mn+5n2，∴a＝m2+5n2，b＝2mn；（2）取m＝2，n＝1，则a＝4+5＝9，b＝4；（3）∵2mn＝4，∴mn＝2，而m，n都为正整数，∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，当m＝2，n＝1时，a＝9；当m＝1，n＝2时，a＝21．即a的值为9或21．故答案为m2+5n2，2mn；9，4，2，1．【考察注意点】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．28．（2018春•常州期末）阅读材料：像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：；＝．解答下列问题：（1）3﹣与3+互为有理化因式，将分母有理化得；（2）计算：；（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．【思路引导】（1）根据题意可以得到所求式子的分母有理化因式，并将题目中的二次根式化简；（2）根据分母有理化的方法可以化简题目中的式子；（3）根据题意，对所求式子变形即可求得a、b的值．【完整解答】解：（1）3﹣与3+互为有理化因式，＝，故答案为：3，；（2）＝﹣2＝2﹣；（3）∵，∴（﹣1）a+b＝﹣1+2，∴﹣a+（a+）＝﹣1+2，∴﹣a＝﹣1，a+＝2，解得，a＝1，b＝2．【考察注意点】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法。

一、选择题1．下列计算正确的是( )A =B ．3=C 2= D2．x 的取值范围是（ ）A ．13x ≥B ．13x >C ．13x ≤D ．13x <3．化简 ）AB C D4．有意义，则字母x 的取值范围是( ) A ．x≥1B ．x≠2C ．x≥1且x ＝2D ．.x≥-1且x ≠2 5．若化简1682+-x x -1x -的结果为5-2x ，则x 的取值范围是（ ）A ．为任意实数B ．1≤x≤4C ．x≥1D ．x≤46．设1199++S 的最大整数[S]等于( ) A ．98B ．99C ．100D ．1017．2的结果是（ ）A ．±3B ．﹣3C ．3D ．98．x ≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（ ）A B C D 9．下列各组二次根式中，能合并的一组是（ ）A B 和C D 10．下列运算正确的是（ ）A =B 2=C =D 9=二、填空题 11．为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用”表示算数平方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为：?=则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.12．把1m m-_____________. 13．已知实数m 、n 、p 满足等式33352m n m n m n p m n p -+--+----，则p =__________．14．已知x ，y 为实数，y 22991x x -+-+求5x +6y 的值________. 15．3x -x 的取值范围是______． 161262_____．17．若a 、b 都是有理数，且2222480a ab b a -+++=ab ．18．2121=-+3232=+4343=+20202324320202019+++++……=___________． 19．4x -x 的取值范围是_____20．已知23x =243x x --的值为_______．三、解答题21．已知m ，n 满足m 4mn 2m 4n 4n=3+m 2n m 2n 2018++. 【答案】12015 【解析】【分析】 由42m 443m mn n n +=m n 2﹣2m n ）﹣3＝0，将m n 2m n m n ，代入计算即可．【详解】解：∵4m n +＝3，)22﹣2）﹣3＝0，）2﹣23＝0，+13）＝0，＝﹣13， ∴原式＝3-23+2012＝12015． 【点睛】 本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的运用及二次根式性质．22．解：设x222x =++2334x =+，x 2=10∴x =10．0．【分析】根据题意给出的解法即可求出答案即可．【详解】设x两边平方得：x 2=2+2+即x 2=4+4+6，x 2=14∴x =．0，∴x ．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型．23．已知1,2y =. 【答案】1【解析】【分析】 根据已知和二次根式的性质求出x 、y 的值，把原式根据二次根式的性质进行化简，把x 、y 的值代入化简后的式子计算即可．【详解】1-8x≥0，x≤18 8x-1≥0，x≥18，∴x=18，y=12，∴原式532-==1222. 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，把已知条件求出x 、y ，把要求的代数式进行正确变形是解题的关键，注意因式分解在化简中的应用．24．小明在解决问题：已知2a 2﹣8a+1的值，他是这样分析与解的：∵=2 ∴a﹣2=∴（a ﹣2）2=3，a 2﹣4a+4=3∴a 2﹣4a=﹣1∴2a 2﹣8a+1=2（a 2﹣4a ）+1=2×（﹣1）+1=﹣1请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1+… （2）若，求4a 2﹣8a+1的值． 【答案】（1）9；（2）5．【解析】试题分析：（1）此式必须在把分母有理化后才能实现化简，即各分式分子分母同乘以一个因式，使得1===.(2)先对a 1 ，若就接着代入求解，计算量偏大．模仿小明做法，可先计算2(1)a - 的值，就能较为简单地算出结果；也可对这个二次三项式进行配方，再代入求值．后两种方法都比直接代入计算量小很多.解：（1）原式=1)+++⋯（2）∵1a ===，解法一：∵22(1)11)2a -=-= ，∴2212a a -+= ，即221a a -=∴原式=24(2)14115a a -+=⨯+=解法二∴ 原式=24(211)1a a -+-+24(1)3a =--211)3=--4235=⨯-=点睛：（1得22=-=-a b ，去掉根号，实现分母有理化.（2）当已知量为根式时，求这类二次三项式的值，直接代入求值，计算量偏大，若能巧妙利用完全平方公式或者配方法，计算要简便得多.25．观察下列等式：1==；==== 回答下列问题： （1（2）计算：【答案】（1（2）9【分析】（1）根据已知的31=-n=22代入即可求解；（2）先利用上题的规律将每一个分数化为两个二次根式的差的形式，再计算即可．【详解】解：（1= （2+99+=1100++-=1=10-1=9.26．计算：【答案】【分析】先将括号内的二次根式进行化简并合并，再进行二次根式的乘法运算即可．【详解】解：===【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．27．计算：（1）-（2）【答案】（1）21【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可； （2）先利用二次根式的乘除法则运算，再合并即可．【详解】解：（1）原式==（2）原式3+21==．【点睛】本题考查二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质．28．计算：（1）()202131)()2---+ （2【答案】（1）12；（2）【分析】（1）按照负整数指数幂、0指数幂、乘方的运算法则计算即可；（2）根据二次根式的加减乘除运算法则计算即可．【详解】（1）解：原式＝ 9－1＋4＝12（2）【点睛】本题考查负整数指数幂、0指数幂、乘方以及二次根式的运算法则，熟练掌握二次根式的化简是关键．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据二次根式的运算法则逐项计算即可判断.【详解】解：AB 、C 2÷=2，故错误；D ，故正确.故选D.【点睛】本题考查了二次根式的四则运算.2．C解析：C【分析】根据二次根式的性质：被开方数大于或等于0，列不等式求解．【详解】解：依题意有当130x -≥时，原二次根式有意义； 解得：13x ≤； 故选：C ．【点睛】 本题考查了二次根式的基本性质（被开方数大于或等于0）；解一元一次不等式，在解一元一次不等式的过程中要用到不等式的基本性质（1．不等式两边同时加上或同时减去一个数，不等号的方向不变；2．不等式两边同时乘以或同时除以一个正数，不等号的方向不变；3．不等式两边同时乘以或同时除以一个负数，不等号的方向改变．）熟记并灵活运用不等式的基本性质是解本题的关键．3．C解析：C【解析】 根据二次根式有意义的条件可知﹣1x＞0，求得x ＜0，然后根据二次根式的化简，可得x. 故选C ．4．D解析：D【分析】直接利用二次根式的有意义的条件分析得出答案．【详解】有意义，则x+1≥0且x-2≠0， 解得：x≥-1且x≠2．故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键．5．B解析：B【解析】【分析】先把多项式化简为|x-4|-|1-x|，然后根据x 的取值范围分别讨论，求出符合题意的x 的值即可．【详解】解：原式1x -=|x-4|-|1-x|， 当x≤1时，此时1-x≥0，x-4＜0，∴（4-x ）-（1-x ）=3，不符合题意，当1≤x≤4时，此时1-x≤0，x-4≤0，∴（4-x ）-（x-1）=5-2x ，符合题意，当x≥4时，此时x-4≥0，1-x ＜0，∴（x-4）-（x-1）=-3，不符合题意，∴x 的取值范围为：1≤x≤4故选B ．【点睛】本题主要考查绝对值及二次根式的化简，要注意正负号的变化，分类讨论．6．B解析：B【分析】1111n n =+-+，代入数值，求出=99+1-1100，由此能求出不大于S 的最大整数为99．【详解】∵==()211n n n n ++=+ =111+1n n -+，∴ =1111111+11122399100-++-+++- =199+1100- =100-1100， ∴不大于S 的最大整数为99．故选B.【点睛】1111n n =+-+是解答本题的基础． 7．C解析：C【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．【详解】原式＝3，故选C ．【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．8．D解析：D【分析】根据二次根式有意义的条件逐项求解即可得答案.【详解】A 、x+3≥0，解得：x≥-3，故此选项错误；B 、x-3＞0，解得：x ＞3，故此选项错误；C 、x+3＞0，解得：x ＞-3，故此选项错误；D 、x-3≥0，解得：x≥3，故此选项正确，故选D ．【点睛】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．分式的分母不能等于0．9．B解析：B先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可．【详解】解：A、是最简二次根式，被开方数不同，不是同类二次根式;B是同类二次根式；3CD故选B．【点睛】本题考查的知识点是同类二次根式的定义，解题关键是熟记同类二次根式的定义．10．C解析：C【分析】根据二次根式的减法法则对A进行判断；根据二次根式的加法法则对B进行判断；根据二次根式的乘法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．【详解】解：A=，所以A选项错误；B=B选项错误；C=C选项正确；D3=，所以D选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．二、填空题11．a+3【分析】根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.【详解】解：根据题意可知图中的甲代表a,∴图2所示题目（字母代表正数）翻根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.【详解】解：根据题意可知图中的甲代表a,∴图2∵a＞0+3.a=a+3.【点睛】本题考查阅读理解的能力，正确理解题意是关键.12．-【解析】【分析】根据二次根式的性质，可得答案【详解】由题意可得：，即∴故答案为【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．解答关键在于根据二次根式的性质确定解析：【解析】【分析】根据二次根式的性质，可得答案【详解】由题意可得：1m，即0m∴11mm m mm mm故答案为【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．解答关键在于根据二次根式的性质确定m的取值范围.13．5试题解析：由题可知，∴，∴，∴，①②得，，解方程组得，∴．故答案为：5.解析：5【解析】试题解析：由题可知3030m n m n -+≥⎧⎨--≥⎩， ∴3m n +=，0=， ∴35200m n p m n p +--=⎧⎨--=⎩①②， ①-②得2620m n +-=，31m n +=，解方程组331m n m n +=⎧⎨+=⎩得41m n =⎧⎨=-⎩， ∴4(1)5p m n =-=--=．故答案为：5.14．-16【解析】试题分析：根据分式的有意义和二次根式有意义的条件，可知x2-9=0，且x-3≠0，解得x=-3，然后可代入得y=-，因此可得5x+6y=5×（-3）+6×（-）=-15-1=-16解析：-16【解析】试题分析：根据分式的有意义和二次根式有意义的条件，可知x 2-9=0，且x-3≠0，解得x=-3，然后可代入得y=-16，因此可得5x+6y=5×（-3）+6×（-16）=-15-1=-16. 故答案为：-16.点睛：此题主要考查了分式的有意义和二次根式有意义，解题关键是利用二次根式的被开方数为非负数和分式的分母不为0，可列式求解. 15．且【分析】根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得．【详解】由题意得：，解得且，故答案为：且．【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分解析：3x ≤且2x ≠-【分析】根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得．【详解】由题意得：2030x x +≠⎧⎨-≥⎩， 解得3x ≤且2x ≠-，故答案为：3x ≤且2x ≠-．【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，熟练掌握分式和二次根式的定义是解题关键． 16．6【分析】利用二次根式乘除法法则进行计算即可．【详解】＝＝＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．解析：6【分析】==进行计算即可． 【详解】＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练运用二次根式的乘除法法则是解题的关键．17．【分析】先将原等式两边同时乘2，然后将左侧配方，然后利用平方的非负性即可求出a 和b 的值，然后代入即可．【详解】解：∵∴∴∴∵∴解得：a=-4，b=-2∴=故答案为：．【点睛解析：【分析】先将原等式两边同时乘2，然后将左侧配方，然后利用平方的非负性即可求出a 和b 的值，然后代入即可．【详解】解：∵2222480a ab b a -+++=∴222448160a ab b a -+++=∴()()222448160a ab ba a -+++=+ ∴()()22240ab a +-+=∵()()2220,40a b a +-≥≥∴20,40a b a +-==解得：a=-4，b=-2=故答案为：【点睛】此题考查的是配方法、非负性的应用和化简二次根式，掌握完全平方公式、平方的非负性和二次根式的乘法公式是解决此题的关键．18．2018【分析】先根据已知等式归纳类推出一般规律，再根据二次根式的加减法与乘法运算法则即可得．【详解】第1个等式为：，第2个等式为：，第3个等式为：，归纳类推得：第n 个等式为：（其中，解析：2018【分析】先根据已知等式归纳类推出一般规律，再根据二次根式的加减法与乘法运算法则即可得．【详解】第11=，第2=，第3=归纳类推得：第n 1=-n 为正整数），则2020++，2020=+，=， 20202=-，2018=，故答案为：2018．【点睛】本题考查了二次根式的加减法与乘法运算，依据已知等式，正确归纳出一般规律是解题关键．19．x≥4【解析】试题分析：根据算术平方根的意义，可知其被开方数为非负数，因此可得x-4≥0，解得x≥4.故答案为x≥4.点睛：此题主要考查了平方根的意义，解题时要注意被开方数为非负数的条件，然解析：x≥4【解析】试题分析：根据算术平方根的意义，可知其被开方数为非负数，因此可得x-4≥0，解得x≥4. 故答案为x≥4.点睛：此题主要考查了平方根的意义，解题时要注意被开方数为非负数的条件，然后列不等式求解即可，是一个中考常考的简单题.20．-4【分析】把代入计算即可求解．【详解】解：当时，=-4故答案为：-4【点睛】本题考查了求代数式的值，二次根式混合运算，本题直接代入求值即可，能正确进行二次根式的混合运算是解题解析：-4【分析】把2x =243x x --计算即可求解．【详解】解：当2x =243x x --((22423=---4383=--+=-4故答案为：-4【点睛】本题考查了求代数式的值，二次根式混合运算，本题直接代入求值即可，能正确进行二次根式的混合运算是解题关键．三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。

人教版八下第16章二次根式复习题---解答题一．解答题（共43小题）1．（2018秋•漳州期末）计算：×（﹣）+|﹣2|﹣（）22．（2018秋•永定区期末）观察下列各式：＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1，…请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题①猜想：＝＝；②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式：；③应用：计算．3．（2018秋•邵阳县期末）设a，b，c为△ABC的三边，化简：++﹣．4．（2018秋•雁塔区校级月考）已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a+b|++|b+c|．5．（2018秋•浦东新区校级月考）已知a、b、c分别是△ABC的三边长，化简：6．（2018秋•达川区校级月考）实数a、b所对应的点如图所示，化简7．（2018秋•太仓市期中）已知a、b、c为△ABC的三边长，化简：+．8．（2017秋•桂平市期末）先阅读材料，然后回答问题：（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简经过思考，小张解决这个问题的过程如下：＝…①＝…②＝…③＝﹣…④上述化简过程中，第步出现了错误，化简正确的结果为．（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简9．（2018秋•浦东新区校级月考）计算：（a＞b＞0）10．（2018秋•浦东新区月考）计算：×11．（2018秋•杭州期中）计算（1）（﹣）×21×（保留一位小数，≈1.41）（2）﹣24﹣24×（）12．（2018秋•中原区校级月考）计算：（1）（﹣2）2﹣（）﹣1+20170（2）13．（2018秋•松江区期中）计算：•（﹣）÷（a＞0）14．（2018春•全椒县期末）计算：2×．15．（2018•梧州）计算：﹣25÷23+|﹣1|×5﹣（π﹣3.14）0 16．（2018•柳州）计算：2+3．17．（2018秋•东城区期末）计算：（1）；（2）（x﹣2）2﹣（x+3）（x﹣3）．18．（2018秋•延庆区期末）计算：﹣2﹣3（﹣）．19．（2018秋•大兴区期末）计算：．20．（2018秋•南关区期末）计算：﹣3+2．21．（2018秋•浦东新区校级月考）计算：﹣﹣+22．（2018秋•浦东新区期中）计算：﹣+2﹣．23．（2018春•长白县期中）计算：﹣3a224．（2018•大连）计算：（+2）2﹣+2﹣225．（2018•陕西）计算：（﹣）×（﹣）+|﹣1|+（5﹣2π）026．（2018秋•青岛期末）计算（1）﹣4+（2）（+）2﹣（﹣）（+）27．（2018秋•章丘区期末）（1）计算：﹣5（2）计算：628．（2018秋•南京期末）计算（1）2﹣﹣3+；（2）×÷．29．（2018秋•延庆区期末）阅读材料，然后作答：在化简二次根式时，有时会碰到形如，这一类式子，通常进行这样的化简：＝＝；＝＝﹣1，这种把分母中的根号化去叫做分母有理化．还有一种方法也可以将进行分母有理化：例如：＝＝＝﹣1请仿照上述方法解决下面问题：（1）化简；（2）化简．30．（2018秋•埇桥区期末）计算：（1）﹣+2（2）+（1﹣）031．（2018秋•顺义区期末）已知x＝+2，y＝﹣2，求x2﹣y2的值．32．（2018秋•顺义区期末）先化简，再求值：（+b），其中a+b＝2．33．（2018秋•安岳县期末）已知a＝，求的值．34．（2018秋•温江区期末）在解决问题“已知a＝，求2a2﹣8a+1的值”时，小明是这样分析与解答的：∵a＝＝＝2∴a﹣2＝﹣，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简：（2）若a＝，求3a2﹣6a﹣1的值．35．（2018秋•武冈市期末）已知x＝（+），y＝（﹣），求下列各式的值．（1）x2﹣xy+y2；（2）+．36．（2018秋•东营区校级期中）求值：（1）已知a＝3+2，b＝3﹣2，求a2+ab+b2的值；（2）已知：y＞++2，求+5﹣3x的值．37．（2018秋•郓城县期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响）（1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s；（2）t2是t1的多少倍？（3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？38．（2018春•嘉祥县期中）计算：（1）﹣（）﹣1+（﹣1）﹣20180﹣|﹣2|．（2）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，求图中空白部分的面积．39．（2018春•韩城市期末）已知某三角形的面积等于长、宽分别为、的矩形的面积，若该三角形的一条边长为，求这条边上的高．40．（2018春•南昌期中）已知长方形的长为a，宽为b，且a＝，b＝．（1）求长方形的周长；（2）当S长方形＝S正方形时，求正方形的周长．41．（2018春•上杭县校级期中）已知：m＝1+，n＝﹣1，求的值．42．（2018秋•靖边县期中）在一个边长为（2+3）cm的正方形的内部挖去一个长为（2+）cm，宽为（﹣）cm的矩形，求剩余部分图形的面积．43．（2017秋•农安县校级月考）如图，钓鱼竿AC长6m，露出水面上的鱼线BC长3m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3m，求鱼竿转过的角度？人教版八下第16章二次根式复习题---解答题参考答案与试题解析一．解答题（共43小题）1．（2018秋•漳州期末）计算：×（﹣）+|﹣2|﹣（）2【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝﹣2+2﹣﹣2＝﹣3，2．（2018秋•永定区期末）观察下列各式：＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1；＝1+﹣＝1，…请你根据以上三个等式提供的信息解答下列问题①猜想：＝1+﹣＝1；②归纳：根据你的观察，猜想，请写出一个用n（n为正整数）表示的等式：＝1+﹣＝；③应用：计算．【分析】①直接利用利用已知条件才想得出答案；②直接利用已知条件规律用n（n为正整数）表示的等式即可；③利用发现的规律将原式变形得出答案．【解答】解：①猜想：＝1+﹣＝1；故答案为：1+﹣，1；②归纳：根据你的观察，猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：＝1+﹣＝；③应用：＝＝＝1+﹣＝1．3．（2018秋•邵阳县期末）设a，b，c为△ABC的三边，化简：++﹣．【分析】根据三角形的三边关系判定出a+b﹣c，a+c﹣b，b+c﹣a的符号，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：根据a，b，c为△ABC的三边，得到a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，则原式＝|a+b+c|+|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣b﹣a|＝a+b+c+b+c﹣a+a+c﹣b﹣a﹣b+c＝4c．4．（2018秋•雁塔区校级月考）已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a+b|++|b+c|．【分析】根据数轴判断a、a+b、c﹣a、b+c与0的大小关系即可求出答案．【解答】解：由数轴可知：a＞0，a+b＜0，c﹣a＜0，b﹣c＞0，∴原式＝a+a+b﹣（c﹣a）﹣b﹣c＝a+a+b﹣c+a﹣b﹣c＝3a﹣2c．5．（2018秋•浦东新区校级月考）已知a、b、c分别是△ABC的三边长，化简：【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：∵a、b、c分别是△ABC的三边长，∴a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，∴原式＝a﹣b+c﹣（a﹣b﹣c）＝2c．6．（2018秋•达川区校级月考）实数a、b所对应的点如图所示，化简【分析】根据数轴化简绝对值后即可求出答案．【解答】解：由数轴可知：＜b＜0＜a，∴﹣a＜0，b+＞0，a﹣b＞0，∴原式＝﹣（﹣a）+b+﹣（a﹣b）﹣b＝﹣+a+b+﹣a+b﹣b＝b7．（2018秋•太仓市期中）已知a、b、c为△ABC的三边长，化简：+．【分析】直接利用三角形三边关系得出a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，进而化简得出答案．【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三边长，∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，∴原式＝a+b﹣c﹣（b﹣c﹣a）＝2a．8．（2017秋•桂平市期末）先阅读材料，然后回答问题：（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简经过思考，小张解决这个问题的过程如下：＝…①＝…②＝…③＝﹣…④上述化简过程中，第④步出现了错误，化简正确的结果为﹣．（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简【分析】（1）根据二次根式的性质判断即可；（2）先化成完全平方公式的形式，再根据二次根式的性质得出即可．【解答】解：（1）第④，﹣，故答案为：④，；（2）＝＝＝＝|﹣|＝﹣．9．（2018秋•浦东新区校级月考）计算：（a＞b＞0）【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝＝＝．10．（2018秋•浦东新区月考）计算：×【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．【解答】解：×＝×＝×＝．11．（2018秋•杭州期中）计算（1）（﹣）×21×（保留一位小数，≈1.41）（2）﹣24﹣24×（）【分析】（1）直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案；（2）利用乘法分配律进而计算得出答案．【解答】解：（1）（﹣）×21×（保留一位小数，≈1.41）＝﹣9≈﹣12.7；（2）﹣24﹣24×（）＝﹣16﹣8+20﹣18＝﹣22．12．（2018秋•中原区校级月考）计算：（1）（﹣2）2﹣（）﹣1+20170（2）【分析】（1）先计算乘方，后计算加减即可；（2）除法化为除法，根据二次根式的乘法法则计算即可；【解答】解：（1）原式＝4﹣2+1＝3（2）原式＝﹣×2××2＝﹣．13．（2018秋•松江区期中）计算：•（﹣）÷（a＞0）【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．【解答】解：•（﹣）÷（a＞0）＝﹣•a2b÷＝﹣9a2＝﹣．14．（2018春•全椒县期末）计算：2×．【分析】根据二次根式的乘除法法则，系数相乘除，被开方数相乘除，根指数不变，如：2×÷3，÷，计算后求出即可．【解答】解：原式＝（2××），＝．15．（2018•梧州）计算：﹣25÷23+|﹣1|×5﹣（π﹣3.14）0【分析】依据算术平方根的定义、有理数的乘方法则、绝对值的性质、有理数的乘法法则、零指数幂的性质进行计算，最后，再进行加减计算即可．【解答】解：原式＝3﹣32÷8+5﹣1＝3﹣4+5﹣1＝3．16．（2018•柳州）计算：2+3．【分析】先化简，再计算加法即可求解．【解答】解：2+3＝4+3＝7．17．（2018秋•东城区期末）计算：（1）；（2）（x﹣2）2﹣（x+3）（x﹣3）．【分析】（1）直接利用二次根式的性质分别化简得出答案；（2）直接利用乘法公式化简求出答案．【解答】解：（1）原式＝＝；（2）原式＝x2﹣4x+4﹣x2+9＝﹣4x+13．18．（2018秋•延庆区期末）计算：﹣2﹣3（﹣）．【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝3﹣﹣3+3＝5﹣3．19．（2018秋•大兴区期末）计算：．【分析】根据二次根式的加减法的法则计算即可．【解答】解：原式＝5+3﹣4＝4．20．（2018秋•南关区期末）计算：﹣3+2．【分析】直接化简二次根式，进而合并得出答案．【解答】解：原式＝4﹣3×3+2×2＝﹣．21．（2018秋•浦东新区校级月考）计算：﹣﹣+【分析】直接化简二次根式进而合并得出答案．【解答】解：原式＝2﹣﹣+＝2﹣﹣+＝．22．（2018秋•浦东新区期中）计算：﹣+2﹣．【分析】先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式..【解答】解：原式＝﹣+2×4﹣＝﹣+8﹣＝7+23．（2018春•长白县期中）计算：﹣3a2【分析】先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并．【解答】解：原式＝+6a﹣3a2＝×4+6a×﹣3a2×＝+a﹣3a＝﹣2a24．（2018•大连）计算：（+2）2﹣+2﹣2【分析】根据完全平方公式和零指数幂的意义计算．【解答】解：原式＝3+4+4﹣4+＝．25．（2018•陕西）计算：（﹣）×（﹣）+|﹣1|+（5﹣2π）0【分析】先进行二次根式的乘法运算，再利用绝对值的意义和零指数幂的意义计算，然后合并即可．【解答】解：原式＝+﹣1+1＝3+﹣1+1＝4．26．（2018秋•青岛期末）计算（1）﹣4+（2）（+）2﹣（﹣）（+）【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．【解答】解：（1）原式＝2﹣+＝；（2）原式＝2+4+6﹣（5﹣3）＝4+6．27．（2018秋•章丘区期末）（1）计算：﹣5（2）计算：6【分析】（1）根据二次根式的除法法则运算；（2）先进行二次根式的乘法运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．【解答】解：（1）原式＝﹣﹣5＝2﹣2﹣5＝﹣2﹣3；（2）原式＝2﹣+9﹣＝9．28．（2018秋•南京期末）计算（1）2﹣﹣3+；（2）×÷．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据二次根式化的乘除法则运算．【解答】解：（1）原式＝2﹣2﹣+＝﹣；（2）原式＝＝1．29．（2018秋•延庆区期末）阅读材料，然后作答：在化简二次根式时，有时会碰到形如，这一类式子，通常进行这样的化简：＝＝；＝＝﹣1，这种把分母中的根号化去叫做分母有理化．还有一种方法也可以将进行分母有理化：例如：＝＝＝﹣1请仿照上述方法解决下面问题：（1）化简；（2）化简．【分析】（1）将分子2变形为（）2﹣（）2，再将其因式分解，继而约分即可得；（2）将分子a﹣b变形为（）2﹣（）2，再将其因式分解，继而约分即可得．【解答】解：（1）原式＝＝＝﹣；（2）原式＝＝＝．30．（2018秋•埇桥区期末）计算：（1）﹣+2（2）+（1﹣）0【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；（2）根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：（1）原式＝3﹣+2＝；（2）原式＝+1＝+1＝5+1＝6．31．（2018秋•顺义区期末）已知x＝+2，y＝﹣2，求x2﹣y2的值．【分析】根据平方差公式可得x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），再把x＝+2，y＝﹣2代入，分别求出x+y，x﹣y，然后相乘即可．【解答】解：x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．∵x＝+2，y＝﹣2，∴x+y＝（+2）+（﹣2）＝2，x﹣y＝（+2）﹣（﹣2）＝4，∴x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2×4＝8＝16．32．（2018秋•顺义区期末）先化简，再求值：（+b），其中a+b＝2．【分析】先把原式中括号内的项通分利用同分母分式加法法则计算，再把除法运算化为乘法运算，然后约分得到原式＝（a+b），最后把a+b＝2代入计算即可．【解答】解：原式＝（+）＝•＝（a+b），当a+b＝2时，原式＝×2＝6．33．（2018秋•安岳县期末）已知a＝，求的值．【分析】先将a的值分母有理化，从而判断出a﹣2＜0，再根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，继而将a的值代入计算可得．【解答】解：∵a＝＝＝2﹣，∴a﹣2＝2﹣﹣2＝﹣＜0，则原式＝﹣＝a+3+＝2﹣+3+2+＝7．34．（2018秋•温江区期末）在解决问题“已知a＝，求2a2﹣8a+1的值”时，小明是这样分析与解答的：∵a＝＝＝2∴a﹣2＝﹣，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简：（2）若a＝，求3a2﹣6a﹣1的值．【分析】（1）将原式分母有理化后，得到规律，利用规律求解；（2）将a分母有理化得a＝+1，移项并平方得到a2﹣2a＝1，变形后代入求值．【解答】解：（1）＝＝；（2）∵a＝＝+1，∴a﹣1＝，∴a2﹣2a+1＝2，∴a2﹣2a＝1∴3a2﹣6a＝3∴3a2﹣6a﹣1＝2．35．（2018秋•武冈市期末）已知x＝（+），y＝（﹣），求下列各式的值．（1）x2﹣xy+y2；（2）+．【分析】由x＝（+），y＝（﹣），得出x+y＝，xy＝，由此进一步整理代数式，整体代入求得答案即可．【解答】解：∵x＝（+），y＝（﹣），∴x+y＝，xy＝＝（x+y）2﹣3xy＝7﹣＝；（2）+＝＝＝12．36．（2018秋•东营区校级期中）求值：（1）已知a＝3+2，b＝3﹣2，求a2+ab+b2的值；（2）已知：y＞++2，求+5﹣3x的值．【分析】（1）根据a＝3+2，b＝3﹣2，代入（a+b）2﹣ab进行计算即可；（2）依据被开方数为非负数，即可得到x＝，进而得出y＞2，据此可得+5﹣3x的值．【解答】解：（1）∵a＝3+2，b＝3﹣2，∴a2+ab+b2＝a2+2ab+b2﹣ab＝（a+b）2﹣ab＝36﹣1＝35；（2）∵，∴，∴x＝，∴y＞2，∴+5﹣3x＝+5﹣3x＝+5﹣3x＝﹣1+5﹣3x＝4﹣3x＝4﹣3×＝2．37．（2018秋•郓城县期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t＝（不考虑风速的影响）（1）从50m高空抛物到落地所需时间t1是多少s，从100m高空抛物到落地所需时间t2是多少s；（2）t2是t1的多少倍？（3）经过1.5s，高空抛物下落的高度是多少？【分析】（1）将h＝50代入t1＝进行计算即可；将h＝100代入t2＝进行计算即可；（2）计算t2与t1的比值即可得出结论；（3）将t＝1.5代入公式t＝进行计算即可．【解答】解：（1）当h＝50时，t1＝＝（秒）；当h＝100时，t2＝＝＝2（秒）；（2）∵＝＝，∴t2是t1的倍．（3）当t＝1.5时，1.5＝，解得h＝11.25，∴下落的高度是11.25米．38．（2018春•嘉祥县期中）计算：（1）﹣（）﹣1+（﹣1）﹣20180﹣|﹣2|．（2）如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为16cm2和12cm2的两张正方形纸片，求图中空白部分的面积．【分析】（1）根据实数的混合计算解答即可；（2）根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出AB、BC，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．【解答】解：（1）原式＝（2）∵两张正方形纸片的面积分别为16cm2和12cm2，∴它们的边长分别为，，∴AB＝4cm，BC＝，∴空白部分的面积＝．39．（2018春•韩城市期末）已知某三角形的面积等于长、宽分别为、的矩形的面积，若该三角形的一条边长为，求这条边上的高．【分析】首先利用矩形的面积计算方法求得三角形的面积，根据三角形的面积公式：S＝ah列式计算即可求解．【解答】解：＝＝，答：这条边上的高为．40．（2018春•南昌期中）已知长方形的长为a，宽为b，且a＝，b＝．（1）求长方形的周长；（2）当S长方形＝S正方形时，求正方形的周长．【分析】（1）直接化简二次根式进而计算得出答案；（2）利用二次根式乘法计算得出答案．【解答】解：（1）∵a＝＝2，b＝＝，∴长方形的周长是：2（a+b）＝2（2+）＝6；（2）设正方形的边长为x，则有x2＝ab，∴x＝＝＝＝2，∴正方形的周长是4x＝8．41．（2018春•上杭县校级期中）已知：m＝1+，n＝﹣1，求的值．【分析】先利用完全平方公式将化简，得原式＝mn，再将m＝1+，n＝﹣1代入计算即可．【解答】解：原式＝＝mn，当m＝1+，n＝﹣1时，原式＝（1+）（﹣1）＝﹣1+﹣．42．（2018秋•靖边县期中）在一个边长为（2+3）cm的正方形的内部挖去一个长为（2+）cm，宽为（﹣）cm的矩形，求剩余部分图形的面积．【分析】用大正方形的面积减去长方形的面积即可求出剩余部分的面积．【解答】解：剩余部分的面积为：（2+3）2﹣（2+）（﹣）＝（12+12+45）﹣（6﹣2+2﹣5）＝（57+12﹣）（cm2）．43．（2017秋•农安县校级月考）如图，钓鱼竿AC长6m，露出水面上的鱼线BC长3m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为3m，求鱼竿转过的角度？【分析】因为三角形ABC和三角形AB′C′均为直角三角形，且BC、B′C′都是我们所要求角的对边，所以根据正弦来解题，分别求出∠CAB，∠C′AB′的度数，然后可以求出∠C′AC的度数，即求出了鱼竿转过的角度．【解答】解：在Rt△ABC中，∵sin∠CAB＝＝＝，∴∠CAB＝45°．在Rt△AB′C′中，∵sin∠C′AB′＝＝＝，∴∠C′AB′＝60°．∴∠CAC′＝60°﹣45°＝15°，答：鱼竿转过的角度是15°．。

2021-2022学年湘教版八年级数学上册《第5章二次根式》期末知识点分类复习题（附答案）一．二次根式的定义1．下列各式中，一定是二次根式的是（）A．B．C．D．二．二次根式有意义的条件2．成立的条件是（）A．﹣1≤a≤1B．a≤﹣1C．a≥1D．﹣1＜a＜1三．二次根式的性质与化简3．已知实数a满足，则下列结论正确的是（）A．a≤﹣3B．a＜﹣3C．a≥﹣3D．a＞﹣34．化简二次根式的正确结果是（）A．B．C．D．四．最简二次根式5．下列各式：，，，中，最简二次根式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．下列二次根式中最简二次根式为（）A．B．C．D．7．在二次根式①；②；③；④；⑤；⑥中，最简二次根式有．（填序号）8．计算：（1）＝；（2）＝；（3）＝．9．化为最简二次根式：＝，＝，＝．10．化成最简二次根式为．11．已知：最简二次根式与的被开方数相同，则a+b＝．12．将根号外的因式移入根号内的结果是．13．当x＝时，既是最简二次根式，被开方数又相同．14．若和都是最简二次根式，则m＝，n＝．五．二次根式的乘除法15．．16．如果＝•成立，求x的取值范围．17．计算：（1）（2）．18．计算：（1）•2•（﹣）；（2）•（÷2）．19．（1）÷3×5；（2）（﹣）÷（）．20．已知x为奇数，且＝，求•．21．若等式成立，化简：．六．分母有理化22．已知：a＝2+，b＝2﹣，求：①a2+b2，②的值．23．（1）已知a2+b2＝6，ab＝1，求a﹣b的值；（2）已知a＝，b＝，求a2+b2的值．七．可以合并的二次根式24．下列二次根式中，与能合并的是（）A．B．C．D．25．若与最简二次根式可以合并，则m的值为（）A．7B．11C．2D．1 26．若最简二次根式和可以合并．（1）求x，y的值；（2）求的值．八．二次根式的加减法27．下列计算正确的是（）A．B．2+＝2C．3D．28．计算：（1）（+）﹣（﹣）；（2）+6﹣2x（x＞0）．29．计算：（1）+﹣（﹣）；（2）+8﹣x．九．二次根式的混合运算30．计算：（1）﹣×+2；（2）（﹣3）2+（+3）（﹣3）．31．计算：（1）﹣3﹣+2；（2）（+1）（﹣1）﹣﹣（﹣1）0+．十．二次根式的化简求值32．已知，若，，试求a2+b2+ab的值．33．先化简，再求值：x+y2﹣（x2﹣5x），其中．34．已知x＝，y＝，m＝xy，n＝x2﹣y2．（1）求m，n的值；（2）若﹣＝m+，＝n2，求+的值．十一．二次根式的应用35．如图：已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是BC边上的一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足．DE+DF＝2，三角形ABC面积为3+2，求AB的长．36．如图，有一张边长为6cm的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为cm．求：（1）剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积；（2）长方体盒子的体积．参考答案一．二次根式的定义1．解：A、x＜0时，不是二次根式，故此选项错误；B、x＜﹣2时，不是二次根式，故此选项错误；C、是二次根式，故此选项正确；D、当x＞0时，不是二次根式，故此选项错误；故选：C．二．二次根式有意义的条件2．解：由题意可得：，解得：﹣1≤a≤1．故选：A．三．二次根式的性质与化简3．解：∵实数a满足，∴a+3≤0，∴a≤﹣3，故选：A．4．解：根据代数式有意义得：x≠0，﹣x3≥0，∴x＜0，∴原式＝＝•|x|＝•（﹣x）＝﹣．故选：D．四．最简二次根式5．解：∵，＝，＝2，＝，∴最简二次根式只有一个，故选：A．6．解：A、，是最简二次根式；B、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；C、＝|x|，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式；D、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；故选：A．7．解：①＝a，不是最简二次根式，④＝，不是最简二次根式，⑤＝2，不是最简二次根式，而②③⑥是最简二次根式．故答案为：②③⑥．8．解：（1）＝＝3；（2）＝；（3）＝0.5；故答案为：（1）3；（2）；（3）0.5．9．解：＝＝2，＝＝，＝＝，故答案为：2，，．10．解：＝＝2．故答案为：2．11．解：由题意，得：解得：，∴a+b＝8．12．解：∵要使有意义，必须﹣＞0，即a＜0，所以＝﹣＝．13．解：若既是最简二次根式，则x2+3x＝x+15，解得x＝﹣5或3，当x＝3时，被开方数x+15＝18，两式不是最简二次根式，故x＝﹣5．14．解：∵若和都是最简二次根式，∴，解得：m＝1，n＝2，故答案为：1；2．五．二次根式的乘除法15．解：原式＝＝＝．16．解：∵＝•成立，∴，解得：﹣1≤x≤2．17．解：（1）原式＝﹣12＝﹣12×9＝﹣108；（2）原式＝÷×＝＝1．18．解：（1）•2•（﹣）＝2×（﹣）＝﹣＝﹣4；（2）•（÷2）＝×××＝．19．解：（1）÷3×5＝×5＝；（2）（﹣）÷（）＝﹣××3＝﹣＝﹣9x2y．20．解：∵＝，∴6≤x＜9，∵x为奇数，∴x＝7，则•＝8×＝12．21．解：根据题意得：2x﹣1＝2﹣x，或3x+1＝0解得：x＝1或x＝﹣则原式＝|﹣2|++＝2+4+1＝7．或原式＝|﹣﹣4|+0+（2+）＝+＝7．综上所述，原式＝7．六．分母有理化22．解：当a＝2+，b＝2﹣时，a+b＝2++2﹣＝4，a﹣b＝2+﹣2+＝2，ab＝（2+）（2﹣）＝4﹣3＝1，①a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝42﹣2×1＝14；②＝＝＝＝8．23．解：（1）由a2+b2＝6，ab＝1，得a2+b2﹣2ab＝4，（a﹣b）2＝4，a﹣b＝±2．（2）a＝＝＝，b＝＝＝，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（+）2﹣2××＝3﹣1＝2．七．可以合并的二次根式24．解：A、原式＝2，不符合题意；B、原式＝3，不符合题意；C、原式＝2，符合题意；D、原式不能化简，不符合题意．故选：C．25．解：∵＝5与最简二次根式可以合并∴m+1＝3，解得：m＝2．故选：C．26．解：（1）根据题意知，解得：；（2）当x＝4、y＝3时，＝＝＝5．八．二次根式的加减法27．解：A、与不是同类二次根式，故不能合并，故A不符合题意．B、2与不是同类二次根式，故不能合并，故B不符合题意．C、＝，故C不符合题意．D、＝＝，故D符合题意．故选：D．28．解：（1）原式＝2+﹣+＝3+；（2）原式＝•3+6•﹣2x•＝2+3﹣2＝3．29．解：（1）原式＝3+2﹣+＝2+3；（2）原式＝×3+8×﹣x•＝2+4﹣＝5．九．二次根式的混合运算30．解：（1）原式＝3﹣4×+＝3﹣2+＝﹣2．（2）原式＝5﹣6+9+11﹣9＝16﹣6．31．解：（1）原式＝＝＝8；（2）原式＝（）2﹣12﹣3﹣1+＝3﹣1﹣3﹣1++1＝﹣1．十．二次根式的化简求值32．解：由题可知：4﹣x≥0，x﹣4≥0，∴x＝4，∴y＝3，∵，，∴原式＝（a+b）2﹣ab＝（+﹣）2﹣（+）（﹣）＝4x﹣（x﹣y）＝4x﹣x+y＝3x+y，当x＝4，y＝3时，原式＝12+3＝15．33．解：原式＝2x+﹣x+5＝x+6，当x＝，y＝4时，原式＝+6＝+6＝．34．解：（1）由意得，，．（2）由（1）得，，，∴，∵，∴．十一．二次根式的应用35．解：如图，连接AD，S△ABC＝S△ABD+S△ACD，＝AB•DE+AC•DF，＝AB（DE+DF），∵DE+DF＝2，∴AB×2＝（3+2），∴AB＝＝3+2．36．解：（1）长方体盒子的纸板的面积：（6）2﹣4×（）2＝64cm2；（2）长方体盒子的体积：（6﹣2）（6﹣2）×＝32cm3．。

课题:二次根式单元复习 授课人：慕寿建 备课时间：2016.6.21课型：习题课 授课时间：2016.6.28第1节8.1第4节8.2一、选择题1．9的值等于（）A ．3B ．－3C ．±3D ．32．使13-x 有意义的x 的取值范围是（）A ．31＞x B ．31-＞x C ．31≥x D ．31-≥x 3．化简23）（-的结果是（） A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．94．下列运算错误的是（）A ．532=+B ．632=∙C ．326=÷D ．222=-）（5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A ．14B ．48C ．ba D ．44+a 6．下列二次根式中，x 的取值范围是x ≥2的是（）A ．x -2B ．x +2C ．2-xD ．21-x7．下面的等式总能成立的是（）A ． a a =2B ．22a a a =C ．ab b a =∙D ．b a ab ∙=8．已知最简二次根式52-a 与3是同类二次根式，则a 的值可以是（） A ． 4 B ．6 C ．7 D ．89．28-的结果是（）A ．6B ．22C ．2D ．210．已知251,251+=-=b a ，则b a -的值为（）A ． 0B ．1C ．2D ．－2二、填空题：11．计算：312+= .12．23）（-= . 13．化简：96= ，3625= ，412-= ，800-= ， 均为正数）、、（z y x z y x 2312= .14．要使式子aa 2+有意义，则a 的取值范围为 . 15．若==-+++ab b a a 则,0224 .16．比较大小：53 62.17．若最简二次根式3532+-m m 与是同类二次根式，则m = .18．对于任意两个不相等的数a 、b 定义一种运算※如下：5232323,=-+=-+=※如※b a b a b a .那么12※4= . 三、解答题19.计算：5+－720.计算：++－+21.计算：+6a －3a 2281883120.1256321432a 18a 2a19．先化简，再求值：5,242442=-∙-+-x x x x x 其中）（.20．阅读下面问题：121212)12(1211-=-+-⨯=+））（（； 232323)23(1231-=-+-⨯=+））（（； ）（））（（）（252525251251-=-+-⨯=+. 试求：（1）671+的值； （2）17231+的值；（3）为正整数）（n n n ++11的值.参考答案1. 考点：算术平方根．分析：此题考查的是9的算术平方根，需注意的是算术平方根必为非负数． 解答：解：∵39=， 故选A ．点评：此题主要考查了算术平方根的定义，一个正数只有一个算术平方根，0的算术平方根是0．2. 考点：二次根式有意义的条件．分析：根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，解不等式即可． 解答：解：根据题意得：3x －1≥0，解得x ≥31．故选C ． 点评：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．3. 考点：二次根式的性质与化简．分析：本题可先将根号内的数化简，再开方，根据开方的结果得出答案．解答：解：3932==-）（ ．故选A ．点评：本题考查了二次根式的化简，解此类题目要注意式子为23）（-的算术平方根，结果为非负数．4. 考点：实数的运算．专题：计算题．分析：本题涉及二次根式的乘法、加法以及除法、二次根式的乘方．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 解答：解：A 、532≠+，错误，故本选项符合题意； B 、 632=∙，正确，故本选项不符合题意； C 、 326=÷，正确，故本选项不符合题意；D 、222=-）（，正确，故本选项不符合题意．故选A ． 点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式的加法、乘法以及除法法则等考点的运算．5. 考点：最简二次根式．分析：B 、D 选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C 选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．解答：解：因为：B 、3448=；C 、bab b a =； D 、1244+=+a a ； 所以这三项都不是最简二次根式．故选A ．点评：在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式．6. 考点：二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．分析：根据分式有意义的条件为：分母不等于0；二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0，即可求解．解答：解：根据二次根式有意义的条件可知A 、当2－x ≥0时，二次根式有意义，即x ≤2，不符合题意；B 、当x +2≥0时，二次根式有意义，即x ≥－2，不符合题意；C 、当x －2≥0时，二次根式有意义，即x ≥2，符合题意；D 、当21-x ≥0且x －2≠0时，二次根式有意义，即x ＞2，不符合题意． 故选C ．点评：本题考查的知识点为：分式有意义的条件为：分母不等于0；二次根式有意义的条件为：被开方数大于或等于0．7. 考点：二次根式的性质与化简．分析：考虑a 和b 小于零的情况及隐含条件，逐一判断．解答：解：A 、当a ＜0时不成立，故A 错误B 、当a ＜0式不成立，故B 错误．C 、由等式左边可知，a ≥0，b ≥0，符合二次根式积的乘法法则，正确；D 、当a ＜0，b ＜0时不成立，故D 错误．故选C ．点评：本题考查二次根式的知识，正确理解二次根式乘法是解答问题的关键．8. 考点：同类二次根式．专题：计算题．分析：根据同类二次根式的被开方数相同可得出关于a 的方程，解出即可得出答案．解答：解：∵最简二次根式52-a 与3是同类二次根式， ∴2a －5=3，解得：a =4．故选A ．点评：此题考查了同类二次根式的知识，解答本题需要掌握同类二次根式的被开方数相同这个知识点，难度一般．9. 考点：二次根式的加减法．分析：本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．解答：解：原式=2222=-．故选C ．点评：合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．10. 考点：分母有理化．专题：计算题．分析：先通分求出a －b ，再求b a -即可．解答：解：∵，，251251+=-=b a ∴4)25)(25(2525=+-+-+=-b a ， ∴24==-b a ． 故选C ． 点评：本题考查了分母有理化，解题的关键是通分，合并同类项．11. 考点：二次根式的加减法．分析：本题考查了二次根式的加减运算，应先化为最简二次根式，再合并同类二次根式．解答：解：原式=33332=+．点评：同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．12. 考点：实数的运算．分析：直接根据平方的定义求解即可．解答：解：∵332=）（，∴332-=-）（．点评：本题考查了数的平方运算，是基本的计算能力．13. 考点：二次根式的性质与化简．专题：计算题．分析：把96化为16×6，然后根据二次根式的性质计算；先把412化为假分数，然后根据二次根式的性质计算；把800化为400×2，然后根据二次根式的性质计算；把12x 3y 2z 化为4x 2y 2•3xz ，然后根据二次根式的性质计算．解答：解：6461696=⨯=；653625=；2349412-=-=-； 2202400800-=⨯-=-；xz xy xz y x z y x z y x 3234122223=∙=均为正数），，（．故答案为64；65；23-；220-；xz xy 32． 点评：本题考查了二次根式的性质与化简：2a =a （a ≥0），此题比较简单，掌握二次根式的性质是解答本题的关键．14. 考点：二次根式有意义的条件．专题：计算题．分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x 的范围．解答：解：根据题意得：a +2≥0且a ≠0，解得：a ≥－2且a ≠0．故答案为：a ≥－2且a ≠0．点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．15. 考点：非负数的性质：算术平方根．专题：计算题．分析：根据非负数的性质列出方程求出a 、b 的值，代入所求代数式计算即可． 解答：解：∵若0224=-+++b a a ，∴可得：⎩⎨⎧=-+=+02204b a a ， 解得：⎩⎨⎧=-=34b a ， ∴ab =－12．故填－12．点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．16. 考点：实数大小比较；二次根式的性质与化简． 专题：推理填空题． 分析：把根号外的因式平方后移入根号内，求出结果，再根据结果进行比较即可． 解答：解：24626245535322=⨯==⨯=，， ∵ 2445＞，∴6253＞，故答案为：＞．点评：本题考查了二次根式的性质和实数的大小比较的应用，注意此题还可以有以下方法：45532=）（ 24622=）（，再比较．17. 考点：同类二次根式．分析：根据同类根式及最简二次根式的定义列方程求解．解答：解：∵最简二次根式32-m 与35+m 是同类二次根式，∴m 2－3=5m +3，解得m =6或m =－1，当m =－1时，232-=-m 无意义，故m =6．点评：此题比较简单，解答此类题目时要注意二次根式成立的条件．18. 考点：二次根式的性质与化简．专题：压轴题；新定义．分析：根据新定义的运算法则a ※b =ba b a -+得出． 解答：解：12※4=2184412412==-+． 点评：主要考查了新定义题型，此类题目是近年来的热点，解题关键是严格按照新定义的运算法则进行计算即可．19. 原式==20.原式= =21.原式== 22. 考点：分式的化简求值． 专题：计算题． 分析：先把分式因式分解，约分化简为最简形式，再把数代入求值．解答：解：原式=）（）（）（22222+∙--x x x （3分） =242-x ；（6分） x =5时，212452422=-=-）（x ．（8分） 点评：此题是分式与整式的乘法运算，分子、分母能因式分解的先因式分解；注意应该把x +2看成一个整体．23. 考点：分母有理化．专题：阅读型．分析：观察问题中的三个式子，不难发现规律：用平方差公式完成分母有理化． 解答：解：（1）原式=67676767-=-+-））（（ （2）原式=1723172317231723-=-+-））（（ （3）原式=n n n n n n n n -+=-+++-+1111））（（ 点评：要将b a ±中的根号去掉，要用平方差公式b a b a b a -=-+））（（.教学反思：通过测试，学生提高了运用知识点灵活解决问题的能力。

2022-2023学年湘教版八年级数学上册《第5章二次根式》期末综合复习题（附答案）一．选择题1．若代数式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣1且x≠1B．x≥﹣1C．x≠1D．x≥﹣1且x≠1 2．下列各组二次根式，可以合并的二次根式是（）A．与B．与C．与D．与3．小明在作业本上做了4道题：①＝﹣5；②±＝4；③＝9：④＝﹣6，他做对的题有（）A．1道B．2道C．3道D．4道4．下列代数式能作为二次根式被开方数的是（）A．3﹣πB．a C．a2+1D．2x+45．下列各式计算与变形正确的是（）A．B．若x﹣2y＝3，则x＝﹣2y+3C．若a＜b则a﹣2＜b D．若﹣3a＞b，则6．把根号外的因式移入根号内得（）A．B．C．D．7．已知x+y＝﹣5，xy＝4，则的值是（）A．B．C．D．8．若a＝2﹣，则代数式2a2﹣8a﹣1的值等（）A．1B．﹣1C．4+4D．﹣29．若x2+y2＝1，则++的值为（）A．0B．1C．2D．310．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式；也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该三角形的面积为S＝，已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为（）A．1B．C．D．二．填空题 11．二次根式（x 、y 均为正数）化成最简二次根式，结果为 ．12．若a 、b 为实数，且b ＝+4，则a +b ＝ ．13．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，则＝ ．14．计算：3﹣（﹣1）﹣1+1＝ ．15．已知三角形底边的边长是cm ，面积是cm 2，则此边的高线长 cm ．16．若，b ＝，则a 2﹣a +b 2﹣b ＝ ．三．解答题 17．计算： （1）2（2）﹣（15）（x ＞0）18．最简二次根式与是可以合并的二次根式，求3a ﹣b 的值．19．解答下列各题． （1）已知：y ＝﹣﹣2019，求x +y 的平方根．（2）已知一个正数x 的两个平方根分别是a +2和a +5，求这个数x ． 20．已知x 满足|2021﹣x |+2022 x ＝x ，求x ﹣20212的值． 21．若x ，y 为实数，且y ＝++．求﹣的值．22．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索： 设a +b＝（m +n）2（其中a 、b 、m 、n 均为正整数），则有a +b＝m 2+2n 2+2mn，∴a ＝m 2+2n 2，b ＝2mn ．这样小明就找到了一种把部分a +b 的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若a +b ＝（m +n）2，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得：a ＝ ，b ＝ ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n 填空：+＝（+）2；（3）化简：＝．23．观察下列等式：a1＝＝；a2＝＝；a3＝＝；a4＝＝…按照上述规律，回答以下问题：（1）请写出第6个等式：；（2）请写出第n个等式：；（3）求a1+a2+a3+…+a20的值．24．阅读材料：像（+）（﹣）＝3、•＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：；＝．解答下列问题：（1）3﹣与互为有理化因式，将分母有理化得；（2）计算：；（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．25．观察下面的式子：S1＝1++，S2＝1++，S3＝1++…S n＝1++（1）计算：＝，＝；猜想＝（用n的代数式表示）；（2）计算：S＝+++…+（用n的代数式表示）．参考答案一．选择题1．解：由题意得：x+1≥0，且x﹣1≠0，解得：x≥﹣1，且x≠1，故选：D．2．解：A、∵＝3，∴与不能合并；B、∵＝3，＝2，∴与能合并；C、∵＝＝，＝，∴与不能合并；D、∵＝2，＝6，∴与不能合并；故选：B．3．解：①＝﹣5，正确；②±＝±4，故②错误；③≠9，故③错误：④＝6，故④错误．∴他做对的题有1道．故选：A．4．解：A、3﹣π＜0，则3﹣π不能作为二次根式被开方数，故本选项不符合题意；B、a的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故本选项不符合题意；C、a2+1一定大于0，能作为二次根式被开方数，故本选项符合题意；D、2x+4的符号不能确定，则a不能作为二次根式被开方数，故本选项不符合题意；故选：C．5．解：A.与不是同类二次根式，不能够进行加减运算，故此选项不符合题意；B．若x﹣2y＝3，则x＝2y+3，故此选项不符合题意；C．若a＜b，则a﹣2＜a＜b，故此选项符合题意；D．若﹣3a＞b，则a＜﹣，故此选项不符合题意，故选：C．6．解：∵成立，∴﹣＞0，即m＜0，∴原式＝﹣＝﹣．故选：D．7．解：∵x+y＝﹣5，xy＝4，∴x、y同号，并且x、y都是负数，解得：x＝﹣1，y＝﹣4或x＝﹣4，y＝﹣1，当x＝﹣1，y＝﹣4时，＝+＝2+＝；当x＝﹣4，y＝﹣1时，+＝+＝+2＝，则的值是，故选：B．8．解：∵a＝2﹣，∴2a2﹣8a﹣1＝2（a﹣2）2﹣9＝2（2﹣﹣2）2﹣9＝2×5﹣9＝1．故选：A．9．解：∵x2+y2＝1，∴﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1，∵＝＝，x+1≥0，y﹣2＜0，（x+1）（y﹣2）≥0，∴x+1＝0，∴x＝﹣1，∴y＝0，∴++＝2+1+0＝3．故选：D．10．解：∵如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S＝，∴△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为：＝1．故选：A．二．填空题11．解：∵x＞0，y＞0，∴＝xy，故答案为：xy．12．解：由被开方数是非负数，得，解得a＝1，或a＝﹣1，b＝4，当a＝1时，a+b＝1+4＝5，当a＝﹣1时，a+b＝﹣1+4＝3，故答案为：5或3．13．解：原式＝|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|，∵a、b、c为△ABC的三边长，∴a+c＞b，即a﹣b+c＞0；a＜b+c，即a﹣b﹣c＜0，∴原式＝a﹣b+c﹣（a﹣b﹣c）＝a﹣b+c﹣a+b+c＝2c．故答案为：2c．14．解：原式＝＝，故答案为：215．解：设三角形此边上的高为x厘米，由题意，得×x＝，解得x＝2．故答案为：2．16．解：由题意可知：a＝＝b＝＝∴a+b＝﹣，ab＝∴原式＝a2+2ab+b2﹣（a+b）﹣2ab＝（a+b）2﹣（a+b）﹣2ab＝++＝故答案为：三．解答题17．解：（1）原式＝2+6﹣4＝4；（2）原式＝﹣（15×﹣2x）＝3﹣3+2x＝2x．18．解：由最简二次根式与是可以合并的二次根式，得，解得，所以3a﹣b＝2．19．解：（1）由题意得，x﹣2020≥0，2020﹣x≥0，解得，x＝2020，则y ＝﹣2019，∴x +y ＝2020﹣2019＝1， ∵1的平方根是±1， ∴x +y 的平方根±1；（2）由题意得，a +2+a +5＝0， 解得，a ＝﹣， 则a +2＝﹣+2＝﹣， ∴x ＝（﹣）2＝． 20．解：由题意得，x ﹣2022≥0， 解得，x ≥2022， 则x ﹣2021+2022-x ＝x ，∴2022-x ＝2021， 解得x ＝20212+2022， 则x ﹣20212＝2022．21．解：依题意得：x ＝，则y ＝，所以＝＝，＝＝2，所以﹣＝﹣＝﹣＝．22．解：（1）∵a +b ＝（m +n ）2，∵a +b＝m 2+2mn+3n 2，∴a ＝m 2+3n 2，b ＝2mn ． 故答案为m 2+3n 2，2mn ．（2）取m ＝n ＝1，可得a ＝4，b ＝2； ∴4+2＝（1+）2故答案为：4，2，1，1；（3）∵14+6＝（3+）2，∴＝3+，故答案为3+．23．解：（1）观察，如a2的下标2，与中被开方数：5和3，得出5＝2×2+1，3＝2×2﹣1，即5等于下标的2倍加1，3等于下标的2倍减1；因此第6个等式6×2+1＝13，6×2﹣1＝11，得故答案为：（2）由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为2n+1，2n﹣1，所以第n个等式故答案为：（3）a1+a2+a3+…+a20＝+++...+＝．故答案为：．24．解：（1）3﹣与3+互为有理化因式，＝，故答案为：3，；（2）＝﹣2＝2﹣；（3）∵，∴（﹣1）a+b＝﹣1+2，∴﹣a+（a+）＝﹣1+2，∴﹣a＝﹣1，a+＝2，解得，a＝1，b＝2．25．（1）解：∵S1＝1++＝，∴＝＝；∵S2＝1++＝，∴＝；∵S3＝1++＝，∴＝；∵S n＝1++＝，∴＝＝，故答案为：，，；（2）解：S＝+++…+＝1++1++1++ (1)＝n+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝n+1﹣，＝．。

若代数式V 乔（X-1）。

在实数范用内有意义，则X 的取值范用为.四-解答题（共8小题）10.若禹 b 为实数，a={2b- 14+\/7-bD 抑G-b)2・二次根式练习题 A. 要使式子字有意义，则X 的取值范囤是（ x>l B. x> - 1 C. x>l D. x> - 12. A. 式子/丄圧实数范用内有意义,则S 的取值范用是（ V X - 1 x<l B. xWl C. x>l D. s213. 下列结论正确的是（ A ・ 3a'b - a'b=2B .单项式-x=的系数是-1 C .使式子\忌有意义的X 的取值范用是x> - 2 D . 4. A. 5. 色2-1 若分1 _的值等于 a+1要使式子』应有意义，则a 的取值范囤是（ ）a aHO B. a> • 2 且 aT^O C ・ a> ・ 2 或 aHO D, aM - 2 且 aHO 使返豆有意义，则s 的取值范用是—• X 0,则 a=+l 6.若代数仔有意义，则X 的取值范帥 7. 已知屈二£是正整数，则实数n 的最大值为.9. 若实数a 满足a ・8 +Ja- 10=a ，则a=11.已知也=返垒陌1_3,求伽+ “严的值?n +412.已知小y为等腰三角形的两条边长，且X, y满足y = 二雄二r + 4,求此三角形的周长13.己知a、b、c满足J2d+b - 4小-c+l|=JL^+需丸.求a+b+c的平方根.14・若a、b为实数，且沪\/14 ■ Zb+Jb ■ 7+3・求寸（自• b） 2•15・已知yVJx■旷02・Z化简ly・3l - Jy2 - 8y+16・16. 已知a 、b 满足等式br/2a- 6+的-3d - 9・求出a. b 的值分别是多少？ 试求五亦-傅十需溯值•已知实数a 满足｛(2008- d) 2009"，求" 2008=的值是多少？(1) (2)参考答素与试8解析 J Y — 11・（2016•划门）要使式- —j 恿义，则X 的取值范隔是（2A. x>l B ・ x> - 1 C. xMl D ・ xM - 1J V — 1 【解答】解：要使式子P c 有意义,2 故乳・1MS 解得：xN 】・ 则X 的取值范困是:xMl.故选：C. 2.（缈6•贵港）式勺E 做数范碉内《义，则•，的取值范碉是C A. x<l B ・ xWl C. x>l D. xNl【解答】解：依題总得：X-1>O. 解得x>l ・ 故选：C. 3. （2016-杭州校级自主招生）下列结论正确的是（ A. 3a-b - a-b=2 in 项式-x ：的系数是-1使式-"h+2右恿义的X 的取值范用是x> - 2 B. C, D ・ 界-1若分式 -------- 的值等于0,则沪±1a+1【解答】解：3a=b - a^b=2a=b, A 错熙爪项式的系数是• 1. B 正确：使式fVx+2竹意义的X 的取值范用是xM-2. C 错決界-1若分式 -------- 的值等于0.则沪1,错误,a+1故选：B. 4. <2016•博野县校级自主招生）要使式子』应有恿义・则a 的取值范ra 是（ A ・ aHO B. a> - 2 且 aHO C ・ a> -2 或 aHO D ・ aM ・ 2 且 a 工0 【解答】解：由題意得・計2M0. aHO.解斜• aM ・2且aHO.故选：D. 5."州校级自主招生）沮警有意义，则•，的取值范収亠寻9. 【解答】解：根据题意得，3X-2M0且xHO.9 解斜x>-三且xHO ・ 3 故答案为.xM-gL xHO.yA/ V — 26.（沁•永«模拟）若代数式匕有意义，则•，的取值范册.【解答】解2根据题御X-2MS 且X-3H0. 解得• xN2且x#3：故答案是：xN2且xH3, 7.（2016春•固始县期末）已知（12- n是正整数・则实数n 的报大值为_ H・【解答】解：由题总可知12-n是一个完全平方数，且不为0.嚴小为1-所以n的最大值为12-1=11.8. （2016-大悟县_模）若代数式”x+3牛（x-l）°在实数范困内有意义，则X的取值范隔为xN・3且xH【解答】解：由題总得：寸3MS且x・lH0・解得：xM・3且xHl.故答案为.xM- 3且xHl.9・（2009 -兴化市模拟）若实数a满足la-8 认 -]0% 则沪_Ll【解答】解，根据题意得，a-105^0,解得a^lO.•••原等式可化为S a・8+&- 10%叭/d-10冷Aa- 10=61,解御：a=74.10. <2015 #•绵阳期中〉若 a. b 为实数，叫2b - 14+"7 - 2 求J(a- b) 2.【解答】解：由題总得・2b - 115= 0且7-b>0. 解得bN7且bW7, a=3i 所以• J(a-b)&J(3-7)S・L r _ 2di 7求（mF宀的值?H. <2016-^顺县校级篠拟〉已知n+4【解答】解.由題意得.16・£MO. n=- 16^0.十4H0. 则n'=16. nH - 4.解得■ n=*L则m= - 3,(m+n)浹=】• 12. （2016春•微ft县校级〃考〉已知M.y为等腰三角形的两条边长，且斗y满足尸｛齐左（2« - 6別・求此三允形的周长.【解答】解：由題意得・3-x^O. 2K・6M0・解斜• x=3.则 y=4i半腰为3•底边为4时，-角形的周长为：3+3+4=10, 腰为4•底边为3时，三角形的周长为：3+4+4=11, 答：此三角形的周长为10或H ・13. （2015 春•武昌区期中）已知 a 、b 、c 满足V2d+b -4+ a-crln/b-求屮br 的 平方根.【解答】解：由題总b • cM 0且c - bMO. 所以• bNc 且cNb,所以• b=c.所以.等式可变为"2册 -4Ta ・bT =°，解 <a=tlb=2 所以•c=2.所以.a+b+c 的平方根是±>/^・ 14. （2015 R-宜兴市校级期中）若a 、b 为实数，且知期-2b+{b-7+3,求寸（a - b ） 2.【解答】解：根据题氫得：”4 我Aolb-7>0解斜:b=7 •则 a=3.则原式=a-b| = |3-7|=4.15. （2015 #•荣县校级JJ 考）已知y v#x-卩/2 - Z 化简1厂3| -£2_ 8y+16・【解答】解：根据题意得：, 2^匕 解得：E12-x>0则yV3・则原式=3 - y - y - 4|=3 - y - <4-y ） = -2y-l.16.（2014春•富顺县校级期末）已知a 、b 满足等式b 二y2a • 6十“9 - 33 -9（1）求出a 、b 的值分别是多少?⑵试求A ZT 亦-的忆【解答】解：（1）由题总:得.2a-6^0且9・3aM0, 解得&S 且aW3・所以，a=3> b=・ 9；由非负数的性质斜.2a+b-4=0, a- b+l=O- d(-9)2+ 引3%(-9)・=6-9-3.=-6・17. （2014秋•宝兴县校级期末）已知实数a满足+乜8・2009% 求a・2008’的值是多少？【解答】解:72：次根式有恿义.Aa- 20095=0.即a5= 2009,•••2008・aW-lV0・•"・2008勺0- 2009"・解得寸Q-2009=2°°&等式两边平方，整理a -2008^2009.。