高中数学函数的极值与最值

高中数学中的函数的极值与最值分析在高中数学中，函数的极值与最值是一个重要的概念。

理解和分析函数的极值与最值对于解决数学问题、优化模型以及应用实例都是至关重要的。

首先，我们需要了解什么是函数的极值与最值。

函数的极值指的是函数在某一区间内的最大值和最小值，可以分为极大值和极小值。

而最值则是指函数在整个定义域内的最大值和最小值。

接下来，让我们看一下如何分析函数的极值与最值。

第一步是寻找函数的驻点。

驻点是函数图像上的拐点，对应于导数为零或不存在的点。

通过求解函数的导数等于零的方程，我们可以找到驻点的横坐标。

第二步是寻找函数的不可导点。

不可导点通常出现在函数图像的尖点、长尾等特殊点上。

对于这些点，我们需要进一步研究函数在该点的极值情况。

第三步是分析函数的极值。

通过求解导数的二阶导数等于零的方程，我们可以确定函数在驻点和不可导点处的极值情况。

通过计算得出的极值可以判断函数的相对最值。

第四步是研究函数的端点。

函数的端点是定义域的边界，可能包含函数的最值。

通过计算函数的极限，我们可以确定函数在端点处的值，进而确定函数的最大值和最小值。

最后，进行整体分析。

将以上步骤得出的极值和最值进行比较，找出函数在整个定义域上的最大值和最小值。

在这一过程中，需要注意函数的定义域和导数的存在性等前提条件。

除了以上方法，还可以利用数学软件进行函数的图像绘制和分析。

数学软件可以快速计算导数和二阶导数，帮助我们找到函数的极值点，并进一步分析最值。

函数的极值与最值分析在数学问题和实际应用中扮演着重要的角色。

例如，在优化问题中，我们可以通过分析函数的极值来确定最优解。

在经济学、物理学等领域，函数的极值和最值也都有着广泛的应用。

总结而言，函数的极值与最值分析是高中数学中的重要内容。

通过寻找驻点、不可导点以及端点，我们可以确定函数的极值和最值。

这对于解决问题、优化模型以及应用实例都有着重要的意义。

通过合理的方法和工具，我们能够更好地理解和应用函数的极值与最值。

专题4 利用导数研究函数的极值和最值 专题知识梳理1.函数的极值（1）函数极值定义:一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作y 极大值=,是极大值点。

如果对附近的所有的点，都有.就说是函数的一个极小值，记作y极小值=，是极小值点。

极大值与极小值统称为极值.(2)判别f (x 0)是极大、极小值的方法: 若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值.(3)求可导函数f (x )的极值的步骤:①确定函数的定义区间，求导数 ;①求出方程的定义域内的所有实数根；①用函数的导数为的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.标出在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值。

①根据表格下结论并求出需要的极值。

2. 函数的最值（1）定义：若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最大值，记作;若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最小值，记作;（2）在闭区间上图像连续不断的函数在上必有最大值与最小值．（3）求函数在上的最大值与最小值的步骤：①求在内的极值；①将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值, 从而得出函数在上的最值。

考点探究)(x f x 0x 0f (x )<f (x 0)f (x 0))(x f f (x 0)x 0x 0f (x )>f (x 0)f (x 0))(x f f (x 0)x 00x 0)(0='x f 0x )(x f 0x )(x f )(0x f )(x f '0x 0x )(x f )(0x f )(x f '0x 0x )(x f )(0x f )(x f '¢f (x )=00)(x f ')(x f I x 0x ÎI f (x )£f (x 0))(0x f y max =f (x 0))(x f I x 0x ÎI f (x )³f (x 0))(0x f y min =f (x 0)[]b a ,)(x f []b a ,)(x f []b a ,)(x f (,)a b )(x f f (a ),f (b ))(x f []b a ,考向1 利用导数研究函数的极值 【例】已知函数x x x f ln 1)(+=，求函数()f x 的极值.题组训练1.函数的极大值是________，极小值是________．2.已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，求f (2)的值。

高中数学备课教案函数与导数的求极值与最值高中数学备课教案：函数与导数的求极值与最值导读：本教案将介绍高中数学中函数与导数的求解方法，特别是在求取函数的极值与最值时的应用。

通过明确的步骤和实例演算，帮助学生掌握解题的技巧与方法。

一、函数的极值与最值概述函数的极值与最值是函数中的关键概念之一，它们对于函数的特性和性质的研究具有重要意义。

在数学中，极大值和极小值统称为极值。

极大值是指函数在某一区间内取得的最大值，而极小值则是函数在某一区间内取得的最小值。

二、求解函数极值与最值的基本方法1. 导数法求极值使用导数法求解函数极值的基本步骤如下：（1）求取函数的导数；（2）将导数置为零，得到关于自变量的方程；（3）解方程得到关键点；（4）利用关键点和区间端点进行函数值的比较，确定极值。

2. 导数法求最值求解函数最值的方法与求解极值类似，但在步骤（4）时需要根据函数的单调性进行判断，进而确定函数的最值。

三、实例演算现通过实例来演算函数的极值与最值的求解过程。

例1：已知函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，在闭区间[-1, 3]上求函数的极值和最值。

解：（1）求导数：f'(x) = 3x^2 - 6x + 2；（2）令导数等于零：3x^2 - 6x + 2 = 0；（3）解方程得到关键点：x = 1 ± √3；（4）利用关键点和区间端点进行比较：将x = -1, 1 ± √3, 3代入函数f(x)，得到函数值：f(-1) = 7，f(1 - √3) ≈ -2.732，f(1 + √3) ≈ 0.732，f(3) = 31；因此，函数在x = -1和x = 3处取得极大值，极大值为7和31；函数在x = 1 - √3处取得极小值，极小值为-2.732；函数在x = 1 + √3处取得极大值，极大值为0.732。

通过以上实例演算，我们可以看出，通过求导数、解方程和比较函数值的方式，可以得到函数的极值和最值。

函数极值与最值的区别摘要：1.极值与最值的概念区分2.极值的局部性质3.最值的全局性质4.极值与最值的联系5.实际应用举例正文：在数学领域，函数的极值和最值是两个密切相关但又有所区别的概念。

许多人常常会将它们混淆，但实际上它们有着明确的定义和性质。

本文将详细探讨函数极值与最值的区别，并通过实例帮助大家更好地理解这两个概念。

首先，我们来区分一下极值和最值。

极值是指函数在某个局部区域内的最大值或最小值，它是一个局部性质。

最值则是指函数在整个定义域内的最大值或最小值，它是一个全局性质。

简而言之，极值关注的是局部表现，而最值关注的是全局表现。

接下来，我们来了解极值的局部性质。

在数学中，极值点通常是指函数在该点处可导且导数为零的点，或者是不可导的点。

在极值点附近，函数的值会在某个方向上单调递增或递减。

也就是说，极值点是函数在局部区域内最大或最小的点。

需要注意的是，极值并不一定是最值，因为最值还包括端点值和不可导点的值。

然后，我们来了解最值的全局性质。

最值通常出现在极值点、不可导点和端点（如果可取到）处。

在这些点上，函数的值要么是最大值，要么是最小值。

最值是函数在整个定义域内的最大值或最小值，具有唯一性。

也就是说，一个函数只有一个最大值和一个最小值。

此外，我们还需要注意到极值与最值之间的联系。

在许多情况下，极值点处的值会等于或接近最值。

然而，这并不是绝对的，因为极值仅仅是在局部区域内的最大或最小值，而最值则是全局范围内的最大或最小值。

因此，在寻找函数的极值时，我们需要关注局部性质，而在寻找最值时，我们需要关注全局性质。

最后，我们通过一个实际应用举例来进一步说明极值与最值的区别。

假设我们有一个函数f(x) = x^2 - 2x + 1。

我们可以求出该函数的导数f"(x) = 2x - 2，并令其等于零，得到极值点x = 1。

在这个例子中，极值点处的值f(1) = 0确实是全局最值之一（另一个全局最值是f(x) = 1，对应于x = 0或x = 2）。

高中数学知识点总结及公式大全导数与函数的极值与最值高中数学知识点总结及公式大全：导数与函数的极值与最值数学作为一门基础学科，是中学阶段学习中的重要科目之一。

其中，数学的知识点及公式涵盖了广泛的内容，为学生的数学学习和应用提供了基础。

导数与函数的极值与最值是高中数学中的一个重要知识点，本文将对该知识点进行总结，并提供相应的公式大全，以帮助学生更好地理解和掌握。

一、导数导数是函数求取变化率的数学工具，它描述了函数在某一点上的斜率或变化速率。

导数的概念和运算规则对理解函数的性质及相关应用都具有重要意义。

1. 导数的定义导数的定义是函数在某一点处的极限，表示为：f'(x) = lim┬(Δx→0)⁡((f(x+Δx)-f(x))/Δx)其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。

根据上述定义，导数可解释为函数在该点上的切线与x轴正方向之间的夹角的正切值，即斜率。

2. 常见函数的导数公式为了更方便地计算函数的导数，在高中数学中，有一些常见函数的导数公式需要记忆。

这些公式如下：常数函数：(C)' = 0幂函数：(x^n)' = n*x^(n-1)指数函数：(a^x)' = a^x*ln(a)，其中a为常数对数函数：(log┬a⁡(x))' = 1/(x*ln(a))，其中a为常数三角函数：(sin(x))' = cos(x)，(cos(x))' = -sin(x)，(tan(x))' = sec^2(x)反三角函数：(arcsin(x))' = 1/√(1-x^2)，(arccos(x))' = -1/√(1-x^2)，(arctan(x))' = 1/(1+x^2)和、差、积、商的导数公式：(u±v)' = u'±v'，(u*v)' = u'*v+v'*u，(u/v)' = (u'*v-v'*u)/v^2复合函数的导数公式：(f(g(x)))' = f'(g(x))*g'(x)二、函数的极值与最值函数的极值与最值是指函数在定义域内的局部最大值和最小值。

高中数学教案认识函数的极值和最值高中数学教案：认识函数的极值和最值函数的极值和最值是数学中重要的概念，它们在解决实际问题和推导数学定理中起着重要的作用。

本教案将引导学生深入理解函数的极值和最值，并通过具体例子和实际应用展示相关概念的应用。

一、引入在学习函数的极值和最值之前，我们需要先了解函数的基本定义。

函数是一种建立变量之间关系的规则，它可以用来描述实际问题中的变化规律。

函数的极值和最值描述了函数在某一区间内的最大值和最小值。

二、函数的极值1. 局部极值函数在某一区间内的取值达到了局部的最大或最小值，我们称之为局部极值。

局部极大值和极小值统称为局部极值。

例如，函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]内有一个局部极小值0。

2. 极值点在某一函数中，函数取得极值的点称为极值点。

极值点可以通过求导数或观察图像得到。

例如，函数f(x) = x^3的导函数f'(x) = 3x^2。

当f'(x) = 0时，即3x^2 = 0，解得x = 0。

所以函数f(x) = x^3在x = 0处取得极小值。

3. 极值的判断要确定一个函数的极值，我们可以通过求导数和求导数的零点进行判断。

当函数的导数变号时，极值点就出现了。

例如，函数f(x) = x^2在x < 0和x > 0时，导数f'(x) = 2x的符号分别为负和正。

所以在x < 0时，函数f(x) = x^2取得极大值；在x > 0时，函数f(x) = x^2取得极小值。

三、函数的最值1. 最值定义函数在定义域内能够取得的最大值和最小值，称为函数的最大值和最小值。

最大值和最小值统称为最值。

例如，函数f(x) = x^2在整个实数域内没有最大值，但在闭区间[0,+∞)内取得最小值0。

2. 最值点函数取得最值的点称为最值点。

例如，函数f(x) = -x^2 + 4x - 3在x = 2处取得最大值。

3. 最值的判断要确定一个函数的最值，我们可以通过求导数和求导数的零点进行判断。

高中数学教案函数的极值和最值高中数学教案：函数的极值和最值一、引言在高中数学中，函数的极值和最值是一个重要的概念和应用。

本教案将以清晰的例子和详细的解释来介绍函数的极值和最值的概念、求解方法和相关练习题。

二、函数的极值和最值的概念1. 极值的定义函数在某个定义域内有极值，是指在该定义域内存在一个或多个函数值最大或最小的点。

2. 最值的定义函数在某个定义域内有最值，是指在该定义域内函数的取值范围的最大值或最小值。

三、求解函数的极值和最值的方法1. 寻找极值点和最值点通过对函数取导数，并找到导数等于零或不存在的点，可以确定函数的极值点和最值点。

2. 判断极值和最值通过二阶导数的正负来判断极值点和最值点的类型。

四、例题讲解1. 求解函数 f(x) = x^3 - 3x^2 的极值和最值通过求解函数的导数 f'(x) 和二阶导数 f''(x)，找到函数的极值点和最值点，并通过判断二阶导数的正负确定其类型。

五、练习题1. 练习题一：求解函数 f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 7 的极值和最值。

2. 练习题二：求解函数 f(x) = e^x - 2x + 3 的极值和最值。

六、总结函数的极值和最值是数学中的重要概念，可以通过求解函数的导数和二阶导数来确定函数的极值点和最值点，并通过判断二阶导数的正负来确定其类型。

通过学习和练习，我们可以掌握函数的极值和最值的求解方法和技巧。

七、延伸阅读1. 函数的极值和最值在实际生活中的应用。

2. 更复杂的函数极值和最值问题的解法探究。

以上是本教案关于高中数学中函数的极值和最值的简要介绍和讲解，希望能够对学生们理解和掌握相关概念有所帮助。

希望同学们能够通过大量的练习和实践，深入理解函数的极值和最值的概念，提高解决问题的能力。

高中数学备课教案函数的极值与最值高中数学备课教案：函数的极值与最值一、引言函数是数学中的重要概念之一，而函数的极值与最值是函数的重要特性之一。

本备课教案将介绍函数的极值与最值的概念及求解方法，以帮助高中数学教师有效备课和教学。

二、函数的极值1. 极值的定义在数学中，函数在某一点上取得的最大值或最小值称为函数的极值。

极值分为最大值和最小值两种。

2. 极值的求解方法（1）求导法：对于函数y=f(x)，首先求出其导函数f'(x)，然后令f'(x)=0，求出使f'(x)=0的所有x的值，将这些值带入原函数f(x)中，求出相应的y值，即为函数的极值点。

（2）二次函数法：对于二次函数y=ax^2+bx+c，若a>0，则函数的最小值为顶点的纵坐标；若a<0，则函数的最大值为顶点的纵坐标。

（3）边界法：若函数的定义域为闭区间[a,b]，则只需计算在端点处的函数值，最大值为这些函数值中的最大值，最小值为这些函数值中的最小值。

三、函数的最值1. 最大值与最小值的定义函数的最大值指的是函数在定义域内取得的最大的函数值；最小值则是函数在定义域内取得的最小的函数值。

2. 最值的求解方法（1）求导法：对于函数y=f(x)，求出其导函数f'(x)，然后找出导函数的零点，这些点即为函数的驻点。

并将定义域内的驻点与端点的函数值进行比较，即可得到函数的最大值和最小值。

（2）闭区间法：若函数的定义域为闭区间[a,b]，则只需计算在端点处的函数值，最大值为这些函数值中的最大值，最小值为这些函数值中的最小值。

四、综合例题考虑一道综合例题来练习函数的极值和最值的求解：已知函数y=2x^3-3x^2-12x+2，请求其极值与最值。

解：首先求导得到导函数y'=6x^2-6x-12，令y'=0，解得x=2和x=-1。

将x=2和x=-1代入原函数y=2x^3-3x^2-12x+2中，得到y=2和y=-16，因此函数的极小值为（2，-16），极大值为（-1，2）。

高一数学求最值的知识点在高一数学中，求解最值问题是一个重要的内容，它涵盖了函数的极值、二次函数的最值、等差数列的最值等多个知识点。

本文将就这些知识点进行详细阐述，帮助同学们更好地理解和应用。

1. 函数的极值函数的极值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。

要求函数的极值，一般需要找出函数的驻点和端点，并进行比较。

1）驻点：对于函数f(x)，如果f'(x)=0，那么点(x, f(x))就是函数的一个驻点。

通过求导数来得到驻点，并根据二阶导数的符号来判断驻点的类型。

当f''(x)>0时，该驻点为极小值点；当f''(x)<0时，该驻点为极大值点。

2）端点：对于函数f(x)，若定义域存在边界a和b，那么点(a,f(a))和点(b, f(b))就是函数的端点。

通过将端点代入函数，求出函数值，并与驻点的值进行比较，得出函数的最值。

综合考虑驻点和端点的情况，就可以求得函数的最值。

二次函数是高中数学中较为常见的函数类型，其最值的求解方法也有一定规律。

对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c（其中a ≠ 0），要求最值，可以通过以下步骤进行：1）求导数f'(x) = 2ax + b。

2）令f'(x) = 0，解得x = -b / (2a)。

将x代入原函数f(x)，求得对应的y值。

通过求解一次函数f'(x) = 0的根，可以得到二次函数的对称轴x = -b / (2a)。

将对称轴的x值代入原函数，就可以求得对称轴上的最值点。

3）比较端点。

若二次函数存在定义域的两个端点，则将这两个端点代入原函数，求得对应的函数值。

将对称轴上的最值点与端点的函数值进行比较，即可确定二次函数的最值。

等差数列是数学中经常遇到的数列类型，求解等差数列的最大值和最小值的方法较为简单。

对于等差数列：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，an为第n项。

高中数学教案学习函数的极值与最值高中数学教案：学习函数的极值与最值前言：函数是数学中非常重要的概念，它在实际问题中有着广泛的应用。

学习函数的极值与最值是高中数学中的重要内容。

通过本教案的学习，学生将会掌握如何求函数的极值与最值，培养分析和解决实际问题的能力。

一、极值的概念在学习函数的极值之前，我们先来了解什么是极值。

极值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。

它分为两种类型：极大值和极小值。

1.1 极大值函数在某个区间内的函数值，如果在其邻近的点上有较小的函数值，则该函数值被称为极大值。

换句话说，如果函数在某点左右两侧的函数值都比该点的函数值小，则该点处的函数值是极大值。

1.2 极小值函数在某个区间内的函数值，如果在其邻近的点上有较大的函数值，则该函数值被称为极小值。

换句话说，如果函数在某点左右两侧的函数值都比该点的函数值大，则该点处的函数值是极小值。

二、求极值的方法接下来，我们学习如何求函数的极值。

常用的方法有以下几种：2.1 导数法通过求函数的导数，可以得到函数的增减性和极值点的位置。

对于凸函数，导数大于0的区间为函数增加的区间，导数小于0的区间为函数减少的区间。

而对于凹函数，导数大于0的区间为函数减少的区间，导数小于0的区间为函数增加的区间。

2.2 零点法当我们求出函数的导数为零的解时，我们可以通过进一步的分析判断该点是否为极值点。

如果导数为零的点处于增减性变化的位置，那么该点就是函数的极值点。

2.3 边界法在求解函数的极值时，我们还需要考虑到函数定义域的边界。

如果函数的定义域是一个有限区间，那么我们需要判断区间端点处的函数值是否为极值。

三、最值的概念在了解了极值的求解方法之后，我们来学习最值的概念。

最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。

3.1 最大值最大值是函数在定义域内取得的最大函数值。

在图像上来看，最大值对应着函数图像的最高点。

3.2 最小值最小值是函数在定义域内取得的最小函数值。