2018学年高中数学选修1-1课件:3.3.2 函数的极值与导数 精品
- 格式:ppt
- 大小:2.02 MB
- 文档页数:39
极大值与极小值[ 学习目标 ] 1.认识函数极值的观点,会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系,并会灵巧应用 .2.掌握函数极值的判断及求法 .3.掌握函数在某一点获得极值的条件.活动一知识梳理引入新课知识点一极值点与极值的观点(1)极小值点与极小值如图,函数 y= f(x)在点 x= a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 邻近其余点的函数值都小, f ′(a)=0;并且在点 x= a 邻近的左边 ________.,右边________.,则把点 a 叫做函数y= f(x)的极小值点,f(a)叫做函数 y= f(x)的极小值.(2)极大值点与极大值如(1) 中图,函数 y=f(x)在点 x= b 的函数值 f(b)比它在点 x= b 邻近其余点的函数值都大, f′(b)=0;并且在点 x= b 的左边 ________.,右边 ________.,则把点 b 叫做函数 y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数 y= f(x) 的极大值.________.、________.统称为极值点, ________.和 ________.统称为极值.思虑极大值必定大于极小值吗?答案不必定.知识点二求函数 y=f(x)的极值的方法解方程 f′ (x)= 0,当 f′ (x0)= 0 时:(1)假如在 x0邻近的左边 f′ (x)> 0,右边 f′( x)< 0,那么 f(x0)是 ________.(2)(2)假如在 x0邻近的左边 f ′(x)< 0,右边 f′ (x)> 0,那么 f(x0)是 ________活动二数学应用例 1求函数f(x)=x22x+1-2的极值.例 2已知函数f(x) =ax3+ bx2+ cx(a≠ 0)在 x=±1 处获得极值,且 f(1)=- 1.(1)求常数 a, b, c 的值;(2)判断 x=±1 是函数的极大值点仍是极小值点,试说明原因,并求出极值.例 3 设函数 f(x)= x3- 6x+5, x∈R.(1) 求函数 f(x)的单一区间和极值;(2) 若对于 x 的方程 f(x)= a 有三个不一样的实根,务实数 a 的取值范围.活动三讲堂反应单1.函数 f(x)的定义域为R ,导函数f′ (x)的图象以下图,则函数f(x)有 ________个极大值点, ________个极小值点.2.已知函数f(x)= x3- px2- qx 的图象与 x 轴切于点 (1,0),则 f(x)的极大值为 ________,极小值为 ________.3.已知 f(x)=x3+ax2+ (a+ 6)x+1有极大值和极小值,则 a 的取值范围为 ____________.4.设函数 f(x)= 6x3+ 3(a+ 2)x2+ 2ax.若 f(x)的两个极值点为x1,x2,且 x1x2=1,则实数 a 的值为 ________.5.已知对于 x 的函数 f(x)=-1x3+bx2+cx+ bc,若函数 f(x)在 x= 1 处获得极值-4,则 b=33________,c= ________.活动四讲堂小结1.在极值的定义中,获得极值的点称为极值点,极值点指的是自变量的值,极值指的是函数值.2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点 x= x0处获得极值的充要条件是f′ (x0)=0 且在 x= x0双侧 f′ (x)符号相反.3.利用函数的极值能够确立参数的值,解决一些方程的解和图象的交点问题.答案题型一求函数的极值2x例 1求函数 f(x)=x2+1-2的极值.解函数的定义域为R .2 x2+ 1 - 4x2 2 x- 1 x+ 1f′ (x)=x2+1 2=-x2+ 1 2.令 f′( x)= 0,得 x=- 1,或 x= 1.当 x 变化时, f′ (x), f(x)的变化状况以下表:x(-∞,- 1)-1(- 1,1)1(1,+∞ )f′ (x)-0+0-f(x)↘-3↗- 1↘由上表能够看出:当 x=- 1 时,函数有极小值,且极小值为f(- 1) =- 3;当 x= 1 时,函数有极大值,且极大值为f(1)=- 1.反省与感悟求可导函数f(x) 的极值的步骤:(1)确立函数的定义域,求导数f′ (x);(2)求方程 f ′(x)= 0 的根;(3)用函数的导数为 0 的点,按序将函数的定义域分红若干个小开区间,并列成表格.检测f′ (x)在方程根左右双侧的值的符号,假如左正右负,那么f(x)在这个根处获得极大值;假如左负右正,那么f(x)在这个根处获得极小值;假如左右不改变符号,那么f( x)在这个根处无极值.追踪训练1求函数f(x)=3x+3ln x的极值.3解函数 f(x)=+ 3ln x 的定义域为 (0,+∞ ),3 3 3 x- 1f′ (x)=-x2+x=x2.令 f′( x)= 0,得 x= 1.当 x 变化时, f′ (x)与 f(x)的变化状况以下表:x(0,1)1(1,+∞)f′ (x)-0+f(x)3所以当 x= 1 时, f(x)有极小值f(1) =3.题型二利用函数极值确立参数的值例 2已知函数f(x) =ax3+ bx2+ cx(a≠ 0)在 x=±1 处获得极值,且 f(1)=- 1.(1)求常数 a, b, c 的值;(2)判断 x=±1 是函数的极大值点仍是极小值点,试说明原因,并求出极值.解 (1)f′ (x)= 3ax2+ 2bx+ c.∵x=±1 是函数 f(x)的极值点,∴x=±1 是方程 f′ (x)= 3ax2+ 2bx+c= 0 的两根,-2b= 0,①由根与系数的关系,得3ac=- 1,②3a又 f(1)=- 1,∴ a+ b+ c=- 1.③由①②③ 解得 a=1, b= 0, c=-3. 22133x,(2) f(x)= x -223233∴f ′ (x)=x-=(x- 1)( x+1),222当 x<- 1 或 x>1 时, f′ (x)>0 ,当- 1<x<1 时, f′ (x)<0,∴函数 f(x) 在(-∞,- 1)和 (1,+∞ )上是增函数,在( -1,1)上是减函数,∴当 x=- 1 时,函数获得极大值f( -1) =1,当 x= 1 时,函数获得极小值f(1)=- 1.反省与感悟(1) 利用函数的极值确立参数的值,常依据极值点处导数为0 和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解.(2)由于“导数值等于零”不是“ 此点为极值点” 的充要条件,所以利用待定系数法求解后,一定考证根的合理性.追踪训练2已知函数f(x)= ax3+ bx2+ cx 在 x= x0处获得极大值5,其导函数y= f′ (x)的图象经过点(1,0), (2,0),以下图,求:(1) x0的值;(2) a, b,c 的值.解 (1) 由图象可知,在 (-∞, 1)上 f′ (x) >0,在 (1,2)上 f′ (x)< 0,在 (2,+∞ )上 f′ (x)>0.故 f(x)在 (-∞,1),(2,+∞ )上单一递加,在 (1,2)上单一递减,所以 f(x)在 x= 1 处获得极大值,所以 x0= 1.(2) f′ (x)=3ax2+ 2bx+ c,由 f′(1) = 0, f ′(2) =0, f(1) = 5,3a+ 2b+c= 0,得 12a+ 4b+c= 0,解得a=2,b=-9,c=12.a+ b+ c= 5,题型三函数极值的综合应用例 3 设函数 f(x)= x3- 6x+5, x∈R.(1)求函数 f(x)的单一区间和极值;(2) 若对于 x 的方程 f(x)= a 有三个不一样的实根,务实数 a 的取值范围.解 (1)f′ (x)= 3x2- 6,令 f′ (x)=0,解得 x1=-2, x2= 2.由于当 x> 2或 x<-2时, f′ (x)> 0;当-2< x<2时, f′ (x)< 0.所以 f( x)的单一递加区间为(-∞,-2) 和 (2,+∞ );单一递减区间为(-2,2).当 x=- 2时, f(x)有极大值 5+ 4 2;当 x= 2时, f(x)有极小值 5- 4 2.(2)由 (1)的剖析知 y= f(x)的图象的大概形状及走向以下图.所以,当 5- 4 2< a< 5+4 2时,直线 y= a 与 y= f(x)的图象有三个不一样的交点,即方程f(x)= a 有三个不一样的实根.反省与感悟用求导的方法确立方程根的个数,是一种很有效的方法.它经过函数的变化情况,运用数形联合思想来确立函数图象与x 轴的交点个数,进而判断方程根的个数.追踪训练3设a为实数,函数f(x)=- x3+ 3x+ a.(1)求 f(x)的极值;(2) 能否存在实数a,使得方程f(x)= 0 恰巧有两个实数根?若存在,求出实数 a 的值;若不存在,请说明原因.解 (1)f′ (x)=- 3x2+ 3,令 f′ (x)= 0,得 x=- 1 或 x= 1.由于当 x∈ (-∞,- 1)时, f′( x)<0,当 x∈( -1,1)时, f′ (x)> 0,当 x∈ (1,+∞ )时, f′ (x)< 0,所以 f( x)的极小值为f(- 1)= a-2,极大值为f(1)= a+ 2.(2)由于 f(x)在 (-∞,- 1)内单一递减,且当 x→ -∞时, f(x)→+∞,f(x)在 (1,+∞ )内单一递减,且当 x→+∞时, f(x)→ -∞,而 a+2> a- 2,即函数的极大值大于极小值,所以当极大值等于0 时,极小值小于0,此时曲线f(x)与 x 轴恰有两个交点,即方程f(x)= 0 恰巧有两个实数根,所以a+ 2= 0,a=- 2,如图 1 所示.当极小值等于0 时,极大值大于0,此时曲线 f(x) 与 x 轴恰有两个交点,即方程f(x)= 0 恰巧有两个实数根,所以 a- 2= 0, a= 2,如图 2 所示.综上所述,当a= 2 或 a=- 2 时,方程f(x)= 0 恰有两个实数根.例 4132+ (2-b) x+1在 x= x1处获得极大值,在 x= x2处获得极小值,已知函数 f( x)= ax - bx3且 0< x1< 1< x2< 2.(1)证明: a> 0;(2)求 z= a+ 2b 的取值范围.剖析 (1)对原函数求导,将导函数问题转变为由二次函数的根的散布探究张口方向的问题,进而证得 a> 0;(2)利用 x1,x2为导函数的两个根,将 0< x1< 1< x2< 2 等价转变为不等式组,利用线性规划求 a+ 2b 的最大值与最小值.(1) 证明由函数f(x)在x=x1处获得极大值,在x=x2处获得极小值,知x1, x2是 f′ (x)= 0的两个根.由题意,得 f ′(x)= ax2- 2bx+ 2- b,所以 f′ ( x)=a( x-x1)(x- x2).由题意,知在x= x1的左边有f′ (x)> 0.由 x- x1< 0, x- x2<0,得 a>0.(2) 解由题意,得0< x1< 1<x2<2 等价于f′ 0 > 0,f′ 1 < 0,即f′ 2 > 0,2- b> 0,a- 2b+ 2-b< 0,4a- 4b+ 2- b> 0,2- b> 0,整理,得a- 3b+ 2<0,4a- 5b+ 2> 0.此不等式组表示的地区为平面aOb 上三条直线2- b= 0,a- 3b+ 2=0,4a- 5b+ 2= 0 所围成的△ ABC 的内部,以下图.△ABC 的三个极点分别为4,6,B(2,2),C(4,2).由 (1) 知 a A 774,616>0,则 z=a+ 2b 分别在 A 77,C(4,2)处获得最小值7和最大值8.即 z= a+ 2b 的取值范16围为7,8 .活动三讲堂反应单1.函数 f(x)的定义域为 R ,导函数 f ′ (x)的图象以下图,则函数f(x)有 ________个极大值点, ________个极小值点.答案2 2分析f ′ (x)的符号由正变负,则f(x 0)是极大值, f ′ (x)的符号由负变正,则f(x 0)是极小值,由图象易知有两个极大值点,两个极小值点.2.已知函数 f(x)= x 3- px 2- qx 的图象与 x 轴切于点 (1,0),则 f(x)的极大值为 ________,极小值为 ________.答案427分析f ′ (x)= 3x 2- 2px - q ,依据题意,知 x = 1 是函数的一个极值点,则f ′ 1 = 3- 2p - q =0, p = 2, f 1 = 1-p - q = 0, 解得q =- 1,所以 f ′ ( x)=3x 2-4x + 1.令 f ′( x)= 0,得 x =1或 x = 1,易判断当 x = 1时, f(x)有极大值为 4,当 x = 1 时, f(x)有极小3 3 27值为 0.3.已知 f(x)=x 3+ax 2+ (a + 6)x + 1 有极大值和极小值,则a 的取值范围为 ____________.答案a>6 或 a<- 3分析f ′ (x)= 3x 2+ 2ax + (a + 6),由于 f( x)既有极大值又有极小值,那么 = (2a)2-4× 3× (a +6)>0 ,解得 a>6 或 a<- 3.4.设函数 f(x)= 6x3+ 3(a+ 2)x2+ 2ax.若 f(x)的两个极值点为 x1,x2,且 x1x2=1,则实数 a 的值为 ________.答案9分析f′ (x)= 18x2+ 6(a+ 2)x+ 2a.2a由已知 f′ (x1)= f′ (x2)= 0,进而 x1x2==1,所以 a= 9.5.已知对于x 的函数 f(x)=-1x3+bx2+cx+ bc,若函数 f(x)在 x= 1 处获得极值-4,则 b=33________,c= ________.答案- 13f′ (x)=- x2+ 2bx+ c,由 f(x) 在 x= 1 处获得极值-4,得f′ 1 =- 1+ 2b+c= 0,分析f 1 =-1433+ b+ c+bc=- .3b=1,b=- 1,解得或c=- 1c= 3.若 b= 1, c=- 1,则 f′ (x)=- x2+2x- 1=- (x- 1)2≤ 0,此时 f(x) 没有极值;若 b=- 1, c= 3,则 f′ (x)=- x2-2x+ 3=- (x+ 3)(x- 1),当- 3< x<1 时, f′ (x) >0,当 x> 1 时, f′ (x)< 0.4所以当 x= 1 时, f(x)有极大值-3.故 b=- 1, c= 3.活动四讲堂小结1.在极值的定义中,获得极值的点称为极值点,极值点指的是自变量的值,极值指的是函数值.2.函数的极值是函数的局部性质.可导函数f(x)在点 x= x0处获得极值的充要条件是f′ (x0)=0 且在 x= x0双侧 f′ (x)符号相反.3.利用函数的极值能够确立参数的值,解决一些方程的解和图象的交点问题.你曾落的泪,最都会成阳光,照亮脚下的路。