高中数学专题：函数的极值与最值

高中数学中的函数的极值与最值分析在高中数学中，函数的极值与最值是一个重要的概念。

理解和分析函数的极值与最值对于解决数学问题、优化模型以及应用实例都是至关重要的。

首先，我们需要了解什么是函数的极值与最值。

函数的极值指的是函数在某一区间内的最大值和最小值，可以分为极大值和极小值。

而最值则是指函数在整个定义域内的最大值和最小值。

接下来，让我们看一下如何分析函数的极值与最值。

第一步是寻找函数的驻点。

驻点是函数图像上的拐点，对应于导数为零或不存在的点。

通过求解函数的导数等于零的方程，我们可以找到驻点的横坐标。

第二步是寻找函数的不可导点。

不可导点通常出现在函数图像的尖点、长尾等特殊点上。

对于这些点，我们需要进一步研究函数在该点的极值情况。

第三步是分析函数的极值。

通过求解导数的二阶导数等于零的方程，我们可以确定函数在驻点和不可导点处的极值情况。

通过计算得出的极值可以判断函数的相对最值。

第四步是研究函数的端点。

函数的端点是定义域的边界，可能包含函数的最值。

通过计算函数的极限，我们可以确定函数在端点处的值，进而确定函数的最大值和最小值。

最后，进行整体分析。

将以上步骤得出的极值和最值进行比较，找出函数在整个定义域上的最大值和最小值。

在这一过程中，需要注意函数的定义域和导数的存在性等前提条件。

除了以上方法，还可以利用数学软件进行函数的图像绘制和分析。

数学软件可以快速计算导数和二阶导数，帮助我们找到函数的极值点，并进一步分析最值。

函数的极值与最值分析在数学问题和实际应用中扮演着重要的角色。

例如，在优化问题中，我们可以通过分析函数的极值来确定最优解。

在经济学、物理学等领域，函数的极值和最值也都有着广泛的应用。

总结而言，函数的极值与最值分析是高中数学中的重要内容。

通过寻找驻点、不可导点以及端点，我们可以确定函数的极值和最值。

这对于解决问题、优化模型以及应用实例都有着重要的意义。

通过合理的方法和工具，我们能够更好地理解和应用函数的极值与最值。

高中数学《函数的最值》基础知识与讲义专题一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≤，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≥，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值 （3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。

例如：()[)ln ,1,4f x x x =∈，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln 4,但就是达不到。

()f x 没有最大值。

（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z ππ=+∈，有无穷多个。

2．“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点 （2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点 8、最值点的作用 （1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =−+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ≥=，即不等式ln 1x x ≤− 二、典型例题： 例1：求函数()xf x xe−=的最值思路：首先判定定义域为R ,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值 解：()()'1x fx x e −=−，令()'0f x >,解得：1x <()f x ∴的单调区间为：()()max 1f x f e∴==，无最小值 小炼有话说：函数()xf x xe−=先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。

高中数学如何求解三角函数的极值和最值一、引言三角函数是高中数学中的重要内容，求解三角函数的极值和最值是数学分析的基本技能之一。

本文将介绍如何通过分析和计算来求解三角函数的极值和最值，以及一些常见的解题技巧。

二、求解三角函数的极值1. 极值的定义在数学中，极值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。

对于三角函数而言，极值点就是函数图像上的顶点或谷底。

2. 求解极值的方法（1）利用导数法求解对于一元函数，可以通过求导数来确定其极值点。

对于三角函数而言，可以先求出函数的导数，然后令导数等于零，解方程得到极值点。

例如，考虑函数f(x) = sin(x)，其导数f'(x) = cos(x)。

令f'(x) = 0，解得x = π/2 + kπ，其中k为整数。

因此，函数sin(x)在x = π/2 + kπ处取得极值。

（2）利用周期性求解由于三角函数具有周期性，可以利用周期性来求解极值。

例如，考虑函数f(x)= sin(2x)，它的周期为π。

因此，只需求解f(x)在一个周期内的极值即可。

在区间[0, π]上，函数f(x)在x = π/4处取得最大值1，而在x = 3π/4处取得最小值-1。

三、求解三角函数的最值1. 最值的定义在数学中，最值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。

对于三角函数而言，最值点就是函数图像上的最高点或最低点。

2. 求解最值的方法（1）利用周期性求解与求解极值类似，由于三角函数具有周期性，可以利用周期性来求解最值。

例如，考虑函数f(x) = sin(x)，它的周期为2π。

因此，只需求解f(x)在一个周期内的最值即可。

在区间[0, 2π]上，函数f(x)在x = π/2处取得最大值1，而在x = 3π/2处取得最小值-1。

（2）利用函数图像求解通过观察函数的图像，可以直观地确定函数的最值点。

例如，考虑函数f(x) = cos(x)，它的图像是一条波浪线。

从图像上可以看出，函数f(x)在x = 0处取得最大值1，而在x = π处取得最小值-1。

高中数学教案认识函数的极值和最值高中数学教案：认识函数的极值和最值函数的极值和最值是数学中重要的概念，它们在解决实际问题和推导数学定理中起着重要的作用。

本教案将引导学生深入理解函数的极值和最值，并通过具体例子和实际应用展示相关概念的应用。

一、引入在学习函数的极值和最值之前，我们需要先了解函数的基本定义。

函数是一种建立变量之间关系的规则，它可以用来描述实际问题中的变化规律。

函数的极值和最值描述了函数在某一区间内的最大值和最小值。

二、函数的极值1. 局部极值函数在某一区间内的取值达到了局部的最大或最小值，我们称之为局部极值。

局部极大值和极小值统称为局部极值。

例如，函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]内有一个局部极小值0。

2. 极值点在某一函数中，函数取得极值的点称为极值点。

极值点可以通过求导数或观察图像得到。

例如，函数f(x) = x^3的导函数f'(x) = 3x^2。

当f'(x) = 0时，即3x^2 = 0，解得x = 0。

所以函数f(x) = x^3在x = 0处取得极小值。

3. 极值的判断要确定一个函数的极值，我们可以通过求导数和求导数的零点进行判断。

当函数的导数变号时，极值点就出现了。

例如，函数f(x) = x^2在x < 0和x > 0时，导数f'(x) = 2x的符号分别为负和正。

所以在x < 0时，函数f(x) = x^2取得极大值；在x > 0时，函数f(x) = x^2取得极小值。

三、函数的最值1. 最值定义函数在定义域内能够取得的最大值和最小值，称为函数的最大值和最小值。

最大值和最小值统称为最值。

例如，函数f(x) = x^2在整个实数域内没有最大值，但在闭区间[0,+∞)内取得最小值0。

2. 最值点函数取得最值的点称为最值点。

例如，函数f(x) = -x^2 + 4x - 3在x = 2处取得最大值。

3. 最值的判断要确定一个函数的最值，我们可以通过求导数和求导数的零点进行判断。

高中数学教案函数的极值和最值高中数学教案：函数的极值和最值一、引言在高中数学中，函数的极值和最值是一个重要的概念和应用。

本教案将以清晰的例子和详细的解释来介绍函数的极值和最值的概念、求解方法和相关练习题。

二、函数的极值和最值的概念1. 极值的定义函数在某个定义域内有极值，是指在该定义域内存在一个或多个函数值最大或最小的点。

2. 最值的定义函数在某个定义域内有最值，是指在该定义域内函数的取值范围的最大值或最小值。

三、求解函数的极值和最值的方法1. 寻找极值点和最值点通过对函数取导数，并找到导数等于零或不存在的点，可以确定函数的极值点和最值点。

2. 判断极值和最值通过二阶导数的正负来判断极值点和最值点的类型。

四、例题讲解1. 求解函数 f(x) = x^3 - 3x^2 的极值和最值通过求解函数的导数 f'(x) 和二阶导数 f''(x)，找到函数的极值点和最值点，并通过判断二阶导数的正负确定其类型。

五、练习题1. 练习题一：求解函数 f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x + 7 的极值和最值。

2. 练习题二：求解函数 f(x) = e^x - 2x + 3 的极值和最值。

六、总结函数的极值和最值是数学中的重要概念，可以通过求解函数的导数和二阶导数来确定函数的极值点和最值点，并通过判断二阶导数的正负来确定其类型。

通过学习和练习，我们可以掌握函数的极值和最值的求解方法和技巧。

七、延伸阅读1. 函数的极值和最值在实际生活中的应用。

2. 更复杂的函数极值和最值问题的解法探究。

以上是本教案关于高中数学中函数的极值和最值的简要介绍和讲解，希望能够对学生们理解和掌握相关概念有所帮助。

希望同学们能够通过大量的练习和实践，深入理解函数的极值和最值的概念，提高解决问题的能力。

第4讲函数的极值、最值（3大考点+强化训练）【知识导图】【考点分析】考点一利用导数研究函数的极值判断函数的极值点，主要有两点(1)导函数f ′(x )的变号零点，即为函数f (x )的极值点．(2)利用函数f (x )的单调性可得函数的极值点．一、单选题1．（2023下·上海青浦高级中学校考期中）对于以下结论：①若公比[)()1,00,1q ∈-⋃，那么等比数列前n 项和存在极限；②k a 为数列{}n a 最大的项，那么k n a a >对任意的n （n ∈N ，0n >，n k ≠）都成立；③函数()f x 的导数为()f x '，若()00f x '=，那么0x x =为函数的极值点；④函数()f x 的导数为()f x '，若()0f x '≥恒成立，那么()f x 是严格增函数.正确的有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题三、解答题考点二利用导数研究函数的最值1．求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a ，b )内的极值．(2)求函数在区间端点处的函数值f (a )，f (b )．(3)将函数f (x )的各极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．2．若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．一、单选题1．设函数()ln f x x ax =+，若存在()00x ∈+∞,，使()00f x >，则a 的取值范围是（）二、填空题三、解答题考点三极值、最值的简单应用一、单选题C．()23，D．[]34，二、多选题三、填空题四、解答题【强化训练】一、单选题1．设函数()cos f x x x =的一个极值点为m ，则tan 4m π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．11m m -+B ．11m m +-C ．11m m -+D ．11m m+-2．（2023单元测试）已知函数()ln f x ax x x =-与函数()e 1xg x =-的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围为（）A ．(],1e -∞-B ．1e ,2-⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(),1e -∞-D ．1e ,2-⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭3．若函数32()34()f x x ax a R =-+∈在区间(0,)+∞内有且仅有一个零点，则()f x 在区间[1,4]-上的最大值为（）A ．4B ．10C ．16D ．204．已知函数()()21ln 2k f x k x x x =-++，有以下命题：①当12k =-时，函数()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；②当0k ≥时，函数()f x 在()0,+∞上有极大值；③当102k -<<时，函数()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；④当12k <-时，函数()f x 在()0,+∞上有极大值12f ⎛⎫⎪⎝⎭，有极小值()f k -．其中不正确命题的序号是A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④5．已知函数()x f x a x xe =-+，若存在01x >-，使得()0 0f x ≤，则实数a 的取值范围为：（）A ．[0,)+∞B ．(,0]-∞C ．[1,)+∞D ．(,1]-∞6．函数()2x x f x e=的极小值为（）A ．0B ．1eC ．2D ．24e 二、多选题三、填空题四、解答题13．函数()()ln 1f x x a x a R =-+∈．（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）若3a =，证明：()()1f x ef x -≥(e 为自然对数的底数)．(1)防护服的生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品防护服的生产且互不影响，第四道是检测工序，包括红外线自动检测与人工抽检，红外线自动检测为次品的会被自动淘汰，合格的进入流水线并由工人进行抽查检验．已知在批次I 的成品防护服的生产中，前三道工序的次品率分别为第四道红外线自动检测显示为合格率为92%抽检也为合格品的概率（百分号前保留两位小数）(2)①已知某批次成品防护服的次品率为p 概率为0p ，在多次改善生产线后批次J 的防护服的次品率批次I 与批次J 防护服的质量；②某医院获得批次I ，J 的防护服捐赠并分发给该院医务人员使用．经统计，正常使用这两个批次的防护服期间，该院医务人员核酸检测情况的等高堆积条形图如图所示，0.001α=的独立性检验，分析能否认为防护服的质量与感染新冠肺炎病毒有关联？核酸检测结果防护服批次合计IJ呈阳性呈阴性合计附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．()2P x ααχ=≥0.0500.0100.005。

高中数学备课教案函数的极值与最值高中数学备课教案：函数的极值与最值一、引言函数是数学中的重要概念之一，而函数的极值与最值是函数的重要特性之一。

本备课教案将介绍函数的极值与最值的概念及求解方法，以帮助高中数学教师有效备课和教学。

二、函数的极值1. 极值的定义在数学中，函数在某一点上取得的最大值或最小值称为函数的极值。

极值分为最大值和最小值两种。

2. 极值的求解方法（1）求导法：对于函数y=f(x)，首先求出其导函数f'(x)，然后令f'(x)=0，求出使f'(x)=0的所有x的值，将这些值带入原函数f(x)中，求出相应的y值，即为函数的极值点。

（2）二次函数法：对于二次函数y=ax^2+bx+c，若a>0，则函数的最小值为顶点的纵坐标；若a<0，则函数的最大值为顶点的纵坐标。

（3）边界法：若函数的定义域为闭区间[a,b]，则只需计算在端点处的函数值，最大值为这些函数值中的最大值，最小值为这些函数值中的最小值。

三、函数的最值1. 最大值与最小值的定义函数的最大值指的是函数在定义域内取得的最大的函数值；最小值则是函数在定义域内取得的最小的函数值。

2. 最值的求解方法（1）求导法：对于函数y=f(x)，求出其导函数f'(x)，然后找出导函数的零点，这些点即为函数的驻点。

并将定义域内的驻点与端点的函数值进行比较，即可得到函数的最大值和最小值。

（2）闭区间法：若函数的定义域为闭区间[a,b]，则只需计算在端点处的函数值，最大值为这些函数值中的最大值，最小值为这些函数值中的最小值。

四、综合例题考虑一道综合例题来练习函数的极值和最值的求解：已知函数y=2x^3-3x^2-12x+2，请求其极值与最值。

解：首先求导得到导函数y'=6x^2-6x-12，令y'=0，解得x=2和x=-1。

将x=2和x=-1代入原函数y=2x^3-3x^2-12x+2中，得到y=2和y=-16，因此函数的极小值为（2，-16），极大值为（-1，2）。

高一数学求最值的知识点在高一数学中，求解最值问题是一个重要的内容，它涵盖了函数的极值、二次函数的最值、等差数列的最值等多个知识点。

本文将就这些知识点进行详细阐述，帮助同学们更好地理解和应用。

1. 函数的极值函数的极值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。

要求函数的极值，一般需要找出函数的驻点和端点，并进行比较。

1）驻点：对于函数f(x)，如果f'(x)=0，那么点(x, f(x))就是函数的一个驻点。

通过求导数来得到驻点，并根据二阶导数的符号来判断驻点的类型。

当f''(x)>0时，该驻点为极小值点；当f''(x)<0时，该驻点为极大值点。

2）端点：对于函数f(x)，若定义域存在边界a和b，那么点(a,f(a))和点(b, f(b))就是函数的端点。

通过将端点代入函数，求出函数值，并与驻点的值进行比较，得出函数的最值。

综合考虑驻点和端点的情况，就可以求得函数的最值。

二次函数是高中数学中较为常见的函数类型，其最值的求解方法也有一定规律。

对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c（其中a ≠ 0），要求最值，可以通过以下步骤进行：1）求导数f'(x) = 2ax + b。

2）令f'(x) = 0，解得x = -b / (2a)。

将x代入原函数f(x)，求得对应的y值。

通过求解一次函数f'(x) = 0的根，可以得到二次函数的对称轴x = -b / (2a)。

将对称轴的x值代入原函数，就可以求得对称轴上的最值点。

3）比较端点。

若二次函数存在定义域的两个端点，则将这两个端点代入原函数，求得对应的函数值。

将对称轴上的最值点与端点的函数值进行比较，即可确定二次函数的最值。

等差数列是数学中经常遇到的数列类型，求解等差数列的最大值和最小值的方法较为简单。

对于等差数列：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，an为第n项。

高中数学教案学习函数的极值与最值高中数学教案：学习函数的极值与最值前言：函数是数学中非常重要的概念，它在实际问题中有着广泛的应用。

学习函数的极值与最值是高中数学中的重要内容。

通过本教案的学习，学生将会掌握如何求函数的极值与最值，培养分析和解决实际问题的能力。

一、极值的概念在学习函数的极值之前，我们先来了解什么是极值。

极值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。

它分为两种类型：极大值和极小值。

1.1 极大值函数在某个区间内的函数值，如果在其邻近的点上有较小的函数值，则该函数值被称为极大值。

换句话说，如果函数在某点左右两侧的函数值都比该点的函数值小，则该点处的函数值是极大值。

1.2 极小值函数在某个区间内的函数值，如果在其邻近的点上有较大的函数值，则该函数值被称为极小值。

换句话说，如果函数在某点左右两侧的函数值都比该点的函数值大，则该点处的函数值是极小值。

二、求极值的方法接下来，我们学习如何求函数的极值。

常用的方法有以下几种：2.1 导数法通过求函数的导数，可以得到函数的增减性和极值点的位置。

对于凸函数，导数大于0的区间为函数增加的区间，导数小于0的区间为函数减少的区间。

而对于凹函数，导数大于0的区间为函数减少的区间，导数小于0的区间为函数增加的区间。

2.2 零点法当我们求出函数的导数为零的解时，我们可以通过进一步的分析判断该点是否为极值点。

如果导数为零的点处于增减性变化的位置，那么该点就是函数的极值点。

2.3 边界法在求解函数的极值时，我们还需要考虑到函数定义域的边界。

如果函数的定义域是一个有限区间，那么我们需要判断区间端点处的函数值是否为极值。

三、最值的概念在了解了极值的求解方法之后，我们来学习最值的概念。

最值是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。

3.1 最大值最大值是函数在定义域内取得的最大函数值。

在图像上来看，最大值对应着函数图像的最高点。

3.2 最小值最小值是函数在定义域内取得的最小函数值。

高考数学中的函数极值及最值问题及解题方法在高中数学学习中，函数极值及最值问题是一个重要的考点，也是一个有难度的知识点。

在高考数学中，这个知识点被广泛地应用于各种数学题型中，涉及到的知识点和方法需要大家掌握好。

本文将就函数极值及最值问题及解题方法做一些简单的介绍和详解。

第一部分：什么是函数的最值和极值函数的最大值和最小值是这个函数在定义域内的函数值中的最大值和最小值，也就是说，最大值和最小值都是函数的取值，而不是函数本身。

函数的最大值就是这个函数在定义域内取到的最大值，而函数的最小值就是这个函数在定义域内取到的最小值。

函数的极值也是类似的，极大值指的是某个函数在一个特定的区间内取到的最大值，而极小值就是函数在这个特定的区间内取到的最小值。

第二部分：函数的最值和极值问题的解法1. 求函数的最值对于求函数的最值，一般有两种方法：一种方法是借助函数图像，根据函数图像的形态来看出函数的最值所在的位置。

另一种方法是通过求导数，然后借助导数定理来求解函数的最值。

求函数的最值需要用到极限、导数、函数的性质等多个数学知识点，需要考生们细心地掌握。

2. 求函数的极值对于求函数的极值，可以通过以下几种方法来实现：一种方法是通过求导数，然后求得导函数的零点，从而求出函数的极值点。

另一种方法是对函数求导数，然后再对导数进行求导数，直到得到导函数的函数表达式，从而得到函数的极值点。

还有一种方法是使用极限和数列的性质来求解函数的极值。

总的来说，求函数的极值需要使用到导数、函数的性质、函数图像的图形等多个数学知识点，需要考生们认真学习和练习。

第三部分：函数极值及最值问题的解题实例在高考数学中，函数极值及最值问题的解题实例非常丰富，接下来就给大家介绍一些常见的解题思路。

1. 求函数的最值比如，一道求函数最大值的题目：求函数f(x)=x2+2x+3的最小值。

解题思路：首先可以画出函数的图像，在图像上寻找最小值所在的位置。

另一方面，我们也可以通过求导数来求解函数的最值。