高中数学函数的极值和最值专题讲义

8、已知二次函数 y=f （ x）经过点（ 0， 10），导函数 f ' (x ) =2x－ 5，当 x∈（ n， n+1）（n
∈ N*）时， f （ x）是整数的个数，记为 an 求数列 { an} 的通项公式．
9、设函数 f （ x）=x3－ 1 ax2+3x+5（ a>0），求 f （ x）的单调区间． 2
f （ x ）＜ f （ x0），就说 f （ x0）是函数 f （ x ）的一个极大值，记作 值点．
x 0 附近的所有的点，都有 y 极大值 =f （ x0）， x 0 是极大
2、极小值：一般地，设函数 f （ x）在 x0 附近有定义，如果对 （ x ）＞ f （x 0） 就说 f （ x0）是函数 f （ x ）的一个极小值，记作 点．
1 时, f ( x)取极小值
a
当a 1时, x 2时, f (x )取极小值 ． 2
1 a
0 极小值
0 无极值
2 0 极小值
1 ( ,)
a
+ ↗
(2, )
+ ↗
例 4、设函数 f （ x）= x 2 1 －ax，其中 a＞0，求 a 的围，使函数 f （ x）在区间 [0， )
上是单调函数
分析： 要使 f （ x）在 [0， ) 上是单调函数，只需 f ′（ x）在 [0， ) 上恒正或恒负即
高三数学函数的极值、最值及应用教版
【 本讲教育信息 】
一 . 教学容： 函数的极值、最值及应用
二、本周教学目标：
1、理解可导函数的单调性与其导数的关系；
2、了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）
；

高中数学中的函数的极值与最值分析在高中数学中，函数的极值与最值是一个重要的概念。

理解和分析函数的极值与最值对于解决数学问题、优化模型以及应用实例都是至关重要的。

首先，我们需要了解什么是函数的极值与最值。

函数的极值指的是函数在某一区间内的最大值和最小值，可以分为极大值和极小值。

而最值则是指函数在整个定义域内的最大值和最小值。

接下来，让我们看一下如何分析函数的极值与最值。

第一步是寻找函数的驻点。

驻点是函数图像上的拐点，对应于导数为零或不存在的点。

通过求解函数的导数等于零的方程，我们可以找到驻点的横坐标。

第二步是寻找函数的不可导点。

不可导点通常出现在函数图像的尖点、长尾等特殊点上。

对于这些点，我们需要进一步研究函数在该点的极值情况。

第三步是分析函数的极值。

通过求解导数的二阶导数等于零的方程，我们可以确定函数在驻点和不可导点处的极值情况。

通过计算得出的极值可以判断函数的相对最值。

第四步是研究函数的端点。

函数的端点是定义域的边界，可能包含函数的最值。

通过计算函数的极限，我们可以确定函数在端点处的值，进而确定函数的最大值和最小值。

最后，进行整体分析。

将以上步骤得出的极值和最值进行比较，找出函数在整个定义域上的最大值和最小值。

在这一过程中，需要注意函数的定义域和导数的存在性等前提条件。

除了以上方法，还可以利用数学软件进行函数的图像绘制和分析。

数学软件可以快速计算导数和二阶导数，帮助我们找到函数的极值点，并进一步分析最值。

函数的极值与最值分析在数学问题和实际应用中扮演着重要的角色。

例如，在优化问题中，我们可以通过分析函数的极值来确定最优解。

在经济学、物理学等领域，函数的极值和最值也都有着广泛的应用。

总结而言，函数的极值与最值分析是高中数学中的重要内容。

通过寻找驻点、不可导点以及端点，我们可以确定函数的极值和最值。

这对于解决问题、优化模型以及应用实例都有着重要的意义。

通过合理的方法和工具，我们能够更好地理解和应用函数的极值与最值。

2) 对常见函数, 极值可能出现在导数为 0 或
y
不存在的点.
x1 , x4 为极大点
x 2 , x5 为极小点
x3 不是极值点
o a x1 x2 x3 x4 x5 b x
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定理 1 (极值第一判别法)
设函数 f (x)在 x0 的某邻域内连续, 且在空心邻域 内有导数, 当x由小到大通过 x0 时,
x2
2
x1
)2
[
f
(1)
f (2 )]
当 f (x) 0时,
f
( x1
) 2
f
(
x2
)
f (x1 x2 ),
2
说明 (1) 成立; (2) 证毕
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推论
如果在区间(a,b)内恒有f ''(x) 0(或f ''(x) 0). 且使得f ''(x) 0的点只是一些离散的点，则函 数曲线y f (x)在区间(a,b)内上凹（或下凹）
综上,f (x)在(0,1)内只有一个零点，即方 程f (x)=0,亦即xex 2在(0,1)内仅有一个实根.
例6 设f (x)在[a, b]上连续，且在(a, b)内f ''(x) 0,
证明 f (x) f (a) 在(a, b)内单调增加. xa
证明 设F (x) f (x) f (a) , x (a,b) xa
而F ' (x)
f ' (x)(x a) f ' ( )(x a)
(x a)2
f ' (x) f ' ( ) 0,
xa F (x) f (x) f (a) 在(a,b)内单调递增.

高中数学《函数的最值》基础知识与讲义专题一、基础知识：1、函数的最大值与最小值：（1）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≤，那么称0x x =为函数()f x 的一个最大值点，()0f x 称为函数()f x 的最大值（2）设函数()f x 的定义域为D ，若0x D ∃∈，使得对x D ∀∈，均满足()()0f x f x ≥，那么称0x x =为函数()f x 的一个最小值点，()0f x 称为函数()f x 的最小值 （3）最大值与最小值在图像中体现为函数的最高点和最低点（4）最值为函数值域的元素，即必须是某个自变量的函数值。

例如：()[)ln ,1,4f x x x =∈，由单调性可得()f x 有最小值()10f =，但由于x 取不到4，所以尽管函数值无限接近于ln 4,但就是达不到。

()f x 没有最大值。

（5）一个函数其最大值（或最小值）至多有一个，而最大值点（或最小值点）的个数可以不唯一，例如()sin f x x =，其最大值点为()22x k k Z ππ=+∈，有无穷多个。

2．“最值”与“极值”的区别和联系右图为一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x（1）“最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．（2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；（3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个（4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．3、结论：一般地，在闭区间[]b a ,上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么函数()y f x =在[]b a ,上必有最大值与最小值．4、最值点只可能在极值点或者边界点处产生，其余的点位于单调区间中，意味着在这些点的周围既有比它大的，也有比它小的，故不会成为最值点5、利用导数求函数的最值步骤:一般地，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求)(x f 在(,)a b 内的极值；（2）将)(x f 的各极值与端点处的函数值)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值6、求函数最值的过程中往往要利用函数的单调性，所以说，函数的单调区间是求最值与极值的基础7、在比较的过程中也可简化步骤：（1）利用函数单调性可判断边界点是否能成为最大值点或最小值点 （2）极小值点不会是最大值点，极大值点也不会是最小值点 8、最值点的作用 （1）关系到函数的值域（2）由最值可构造恒成立的不等式：例如：()ln 1f x x x =−+，可通过导数求出()()min 10f x f ==，由此可得到对于任意的0x >，均有()()min 0f x f x ≥=，即不等式ln 1x x ≤− 二、典型例题： 例1：求函数()xf x xe−=的最值思路：首先判定定义域为R ,对函数进行求导，根据单调区间求出函数的最值 解：()()'1x fx x e −=−，令()'0f x >,解得：1x <()f x ∴的单调区间为：()()max 1f x f e∴==，无最小值 小炼有话说：函数()xf x xe−=先增再减，其最大值即为它的极大值点，我们可以将这种先增再减，或者先减再增的函数成为“单峰函数”，在单峰函数中，极值点即为函数的某个最值点。

二、最大值与最小值 1.设f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有最值
求最值的方法： ①求 f(x) ②求出f(x)在[a,b]内的所有驻点和不可导点 xi (i=1,2,…n) ③求f(a),f(b),f( xi),其中最大(小)的即为f(x) 在 [a,b]上的最大(小)值。
例1 求y (2 x 5) x 的极值点和极值
3
2
解:定义域为(-,+) y ' 2 x 5 x
5 3
2 3
1 2 1 10 2 10 10 10( x 1) 3 3 3 3 y ' x x (x x ) 3 3 3 33 x
令y ' 0 得 x=1, 当x=0时 y ' 不存在
2．f(x)在某区间内可导且只有一个驻点，根据实际 问题的性质知f(x)的最大（小）值一定存在，则在驻 点处取得最值。
例4从一块边长为a的正方形铁皮的四角上截去同样 大小的正方形，然后沿虚线把四边折起来做成一个无 盖的盒子，问要截去多大的小方块，可使盒子的容积 最大？ 解：设小正方形的边长为a 盒子的容积 V x(a 2 x) 2
f '( x) f '( x0 ) 所以在x0的某邻域有 0 x x0 f ( x0 ) 0 f '( x) 0 x x0
(x x 0 )
从而,当x x0时f '( x) 0;当x x0时f '( x) 0 由第一充分条件可知,f ( x0 )为f(x)43;2在[-1,3]上的最值 解: y=4x3 16 x 4 x( x 2)( x 2) 令y=0,得x1 0, x2 2, x3 2 f (0) 2, f (2) 14, f (1) 5, f (3) 11 所以函数在[13]上的最大值为f (3) 11最小值为 f (2) 14

第四节函数的极值与最值一 知识链条完善 h ------------------------- 把散落的知识连起来卜阿络构建一、函数的极值与导数 1. 函数极小值的概念(1) 函数y=f(x)在点x=a 处的函数值f(a)比它在点x=a 附近其他点的 函数值都小； (2) f ' (a)=0;⑶在点x=a 附近的左侧f ' (x)<0,右侧f ' (x)>0;则点x=a 叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.*方向比勢力更重要｝-备考方向明确2. 函数极大值的概念(1) 函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大；(2) f ' (b)=0；⑶在点x=b附近的左侧f' (x)>0,右侧f' (x)<0;则点x=b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值;极小值点与极大值点统称为极值点,极小值与极大值统称为极］.二、函数的最值与导数求函数y=f(x)在闭区间［a,b］上的最大值与最小值的步骤：(1)求y=f(x)在(a,b)内的极值;⑵将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b) 比较，其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.1. 概念理解(1)极值是一个局部性概念，反映的是函数在某个点附近的大小情况，并不意味它在函数的整个定义域内最大或最小；最值是一个整体性的概念，函数的最值是比较某个区间内的所有函数值得出的.⑵函数的极值点一定出现在区间内部，区间的端点不能成为极值点；连续函数在某一个闭区间上的最值必在极值点或区间端点处取得.(3) 函数的极值个数不确定，而函数在某一闭区间上，最大值和最小值是唯一的.2. 与极值、最值有关的结论(1) 可导函数极值点处的导数值为0(变号零点),而导数值为0的点不一定是极值点；(2) 若函数f(x)有多个极值点，则极大值点和极小值点是交替出现的；(3) 函数的极大值与极小值无确定大小关系；(4) 极值点是函数单增区间与单减区间的分界点；(5) 若函数f(x)在定义域内只有一个极值点，则极值点是函数的最值占；J \\、J(6) 三次函数有两个极值点的充要条件是其导函数有两个零点，极大(小)值点在某一区间上的充要条件是较小(大)零点在这个区间上；(7) 奇(偶)函数在x=x o处取得极大值或最大值f(x 0),则在x=-x o处取得极小值或最小值-f(x o)(相同的极大值或最大值).温故知新1. 函数y=2x- 1的极大值为(C )x(A) -1 (B)-2 (C)-3 (D)12. 设函数f(x)=xe x,则(D )(A) x=1为f(x)的极大值点(B) x=1为f(x)的极小值点(C) x=-1为f(x)的极大值点(D) x=-1为f(x)的极小值点解析:f ' (x)=e x+xe x=(1+x)e x,令f' (x)=0,解得x=-1,且当x<-1时,f ' (x)<0；当x>-1 时,f ' (x)>0；函数f(x)=xe x在x=-1 处取得极小值，即x=-1是f(x)的极小值点.故选D.3. (2018 •安徽六安月考)已知函数f(x)二-3x 3+bx 2+cx+bc 在x=1处有 极值-4,则b 等于(A )3(A)-1 (B)1 (C)1 或-1 (D)-1 或 3解析:f ' (x)=-x 2+2bx+c,若f(x)在x=1处有极值-3 ,故3f x =_1 2b c =0, 1 4 f 1b c bc ,33解得b=-1且c=3,符合题意;或b=1且c=-1,22此时 f ‘ (x)=-x +2bx+c=-(x-1) < 0,f(x)=- -x +bx +cx+bc 单调递减,f(x)在x=1处不存在极值，故b=1且3c=-1,不合题意，所以b=-1.故选A.4. 如果函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ②函数y=f(x)④ 当x=2时，函数y=f(x)有极小值； ⑤ 当x=- 2时，函数y=f(x)有极大值. 则上述判断中正确的是(D ) (A)①② (B)②③ (C)③④⑤(D)③③函数y=f(x) 在区间(4,5)内单调递增; ①函数y=f(x)在区间(-1,3)内单调递减;解析：对于①，函数y=f(x)在区间(-3,- j)内有增有减，故①不正确；对于②，函数y=f(x)在区间(-2,3)有增有减，故②不正确；对于③,函数y=f(x)当x€ (4,5)时,恒有f ' (x)>0,故③正确;对于④,当x=2时,函数y=f(x)有极大值,故④不正确；对于⑤，当x=-1时,f ' (x)工0,故⑤不正确.故选D.—咼频考点突破°------------------------- 在训练中掌握方法i ------------ 考点一利用导数求函数的极值【例1] 设a>0,函数f(x)= 1x2-(a+1)x+a(1+ln x).(1) 求曲线y=f(x)在(2,f(2))处与直线y=-x+1垂直的切线方程；⑵求函数f(x)的极值.解:(1)由已知,得x>O,f ' (x)=x-(a+1)+ -,xy=f(x)在(2,f(2)) 处切线的斜率为1,所以f' (2)=1,即2-(a+1)+ a =1,所以a=0,此时f(2)=2-2=0,故所求的切线方程为y=x-2.(2) f ' (x)=x-(a+1)+ ax=x2 _ a 亠1 x - ax=(X 7〔X Y )x①当0<a<1时,若x € (0,a),f ' (x)>0,函数f(x)单调递增；若x € (a,1),f ' (x)<0,函数f(x)单调递减；若x € (1,+ 乂),f ' (x)>0,函数f(x)单调递增.此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(a)=- £a2+aIn a, 极小值是f(1)=- 1.22②当a=1 时,f ' (x)二—一>0,X所以函数f(x)在定义域(0,+ 乂)内单调递增，此时f(x)没有极值点，故无极值.③当a>1时，若x€ (0,1),f ' (x)>0,函数f(x)单调递增；若x € (1,a),f ' (x)<0,函数f(x)单调递减；若x € (a,+ 乂),f ' (x)>0,函数f(x)单调递增.此时x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点，函数f(x)的极大值是f(1)=- 2,极小值是f(a)=- -a2+aln a.2综上，当0<a<1时,f(x)的极大值是--a2+aln a,极小值是-2 ；当a=1时,f(x)没有极值；当a>1时,f(x)的极大值是--,极小值是--a2+aIn a.圧8 运用导数求可导函数y=f(x)的极值的步骤(1)先求函数的定义域，再求函数y=f(x)的导数f' (x);⑵求方程f ' (x)=0的根；⑶检查f ' (x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x) 在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.如果左右符号相同，则此根处不是极值点.提醒：若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值，那么y=f(x)在(a,b)内不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.:迂務训练1. 设函数f(x)=(x 3-1) 2,下列结论中正确的是(C )(A) x=1是函数f(x)的极小值点,x=0是极大值点(B) x=1及x=0均是f(x)的极大值点(C) x=1是函数f(x)的极小值点，函数f(x)无极大值(D) 函数f(x)无极值解析:f ' (x)=2(x 3-1) • 3x2=6x2(x-1)(x 2+x+1); x2+x+ 仁(x+ l)2+3>0,2 4令f‘ (x)=0 得X i=0,X2=1;即f‘ (0)=0,f ' (1)=0,x<0 时,f ' (x)<0;0<x<1 时,f ' (x)<0;x>1 时,f ' (x)>0.故x=1是函数f(x)的极小值点，函数f(x)无极大值.故选C.处的切2. 已知函数f(x)=e x(ax+b)-x 2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0)) 线方程为y=4x+4.(1) 求a,b的值；⑵讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值.解:(1)f ' (x)=e x(ax+a+b)-2x-4.由已知得f(0)=4,f ' (0)=4.故b=4,a+b=8.从而a=4,b=4.(2) 由(1)知,f(x)=4e x(x+1)-x 2-4x,f' (x)=4e x(x+2)-2x-4=4(x+2)(e x-1).令f' (x)=0,得x=-ln 2 或x=-2.从而当x€ (- 乂,-2) U (-In 2,+ 乂)时,f ' (x)>0;当x € (-2,-In 2) 时,f ' (x)<0.故f(x)在(-乂,-2),(-In 2,+ 乂)上单调递增，在(-2,-In 2) 上单调递减.当x=-2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(-2)=4(1-e -2).考点二利用导数求函数的最值【例2] (2018 •台州调研)已知函数f(x)=2x 3-3(m+1)x2+6mx,n€ R.(1) 若m=2,写出函数f(x)的单调递增区间；⑵若对于任意的x € [-1,1],都有f(x)<4,求m的取值范围.解:(1)若m=2则f(x)=2x 3-9x2+12x,因为 f ' (x)=6x 2-18x+12=6(x 2-3x+2)=6(x-1)(x-2),令f‘ (x)>0,则x<1 或x>2,所以函数f(x)的单调递增区间为(-s,1),(2,+ s).(2) f(x)=2x 3-3(m+1)x 2+6mx,f' (x)=6x -6(m+1)x+6m=6(x-1)(x-m),①当m> 1时，f(x)在C")上递增,f(x)maF f(1)=3m-1<4,得m<5,所以1< m<5.3②当-1<m<1时，f(x)在(-1,m)上递增，在(m,1)上递减，f(x) max=f(m)=-m 3+3n r K4,即m-3m2+4>0,(m+1)(m-2) 2>0 恒成立,所以-1<m<1.③当me-1时，f(x)在(-1,1)上递减,f(x) ma>=f(-1)=-9m-5<4,得m>-1,舍去，综上,m的取值范围为-1<m<5.3级d 求函数f(x)在闭区间［a,b］上的最值时，可判断函数在［a,b］上的单调性，若函数在［a,b］上单调递增或单调递减，则f(a),f(b) 一个为最大值，一个为最小值.若函数在［a,b］上不单调,一般先求［a,b］上f(x)的极值，再与f(a),f(b) 比较，最大的即为最大值，最小的即为最小值.提醒：求极值、最值时，要求步骤规范，表格齐全;含参数时,要讨论参数的大小.(匚迂移迪箋函数y=2x3-12x在区间［-1,3］上的最大值和最小值分别为(A )(A)18,-8 2 (B)54,-12(C)8 2,-8 2 (D)10,-8 2解析:y ' =6X2-12=6(X-2)(x+ 2),令y' =0,则x= 2,(- 2 舍去)当x=-1 时,y=10,x= 2 时,y=-8 2,当x=3 时,y=18,故选A.考点三由函数的极值或最值求参数(范围)【例3】(1)函数f(x)=ln x- 2 ax2+x有极值且极值大于0,则a的取值范围是()(A)(0,1) (B)(1,2)(C)(0,2) (D)(3,4)⑵已知函数f(x)=e 2x-e-2x-cx(c € R),若f(x)有极值，求c的取值范围.2(1)解析:f ' (x)=丄-ax+ 仁~ax x 1 (x>0),x x当a< 0时,f ' (x)>0,f(x) 在(0,+ 乂)上单调递增，无极值.当a>0 时,对于t=-ax 2+x+1.因为△ =1+4a>0,x i • X2二-丄<0,a所以f‘ (x)=0有且仅有一正根x o=V 1 4a ,且f(x)在X o处取极大值. 2a要使极大值大于0,即f(x o)>o.因为-a x0 +x o+1=O,所以a^=x o+1,f(x o)=ln x o-1 a£ +x o=ln x o+x^--,2 2 2令g(x)=ln x+ | -1 .(x>0)g(x)在(0,+ 乂)上单调递增且g(1)=0,所以x>1.所以x o>1,所以^^4a>1,解得ova<2.选C.2a⑵解:f ' (x)=2e 2x+2e2x-c,而2e2x+2e-2x> 2.2e2x 2/ =4,当x=0 时等号成立.下面分三种情况进行讨论.当c<4 时,对任意x € R,f ' (x)=2e 2x+2e-2x-c>0,此时f(x)无极值；当c=4时,对任意x工0,f ' (x)=2e 2x+2e-2x-4>0,此时f(x)无极值；当c>4时，令e2x=t,注意到方程2t+ ?-c=0有两根11,2二-厂6 >0,即t 4f‘ (x)=0 有两个根x i=!ln t i,X2=[|n t 2.2 2当X i<X<x2 时,f ' (x)<0;又当X>X2时,f ' (x)>0,从而f(x)在X=X2处取得极小值.综上,若f(x)有极值，则c的取值范围为(4,+ 乂).◎心。

(1) 求f (x).
(2) 找出f (x)的所有驻点和f (x)不存在的点
x1,, xk .
(3) 鉴定每个驻点和导数不存在旳点
xi (i 1,2,, k) 两侧(在xi 较小旳邻域内)
f (x)旳符号, 依定理鉴定xi 是否为f(x)旳 极值点.
例1.求y 3x4 8x3 6x2的极值与极值点.
令 0, 得驻点 x 2.4 (0, )
根据问题旳实际意义, 观察者最佳站位存在, 驻点 又唯一, 所以他站在距墙 2.4 m 处看图最清楚 .
特殊情况下旳最大值与最小值: 若 f(x)在一区间(有限或无限 开或闭)内可导且
有且只有一种驻点x0 则： 当f(x0)是极大值时 f(x0)就是f(x)在该区间上旳
可导 且
(2) 令f (x)0 得驻点x1 x1为不可导点 (3) 列表判断
x ( 1) 1 (1 1) 1 (1 )
f (x) 不可导 0
f(x) ↗
0
↘
↗
定理3 (第二充分条件) 设函数f(x)在点x0处 具有二阶导数, 且 f (x0 ) 0, f (x0 ) 0, 则
(1)当f (x0 ) 0时，x0为f (x)的极大值点，
例4. 求 y 2x3 3x2 12x 14 在 [3,4] 上旳最大值与最小值. 解: y 6x2 6x 12 6(x 2)(x 1),
令 y 0, 得驻点 x1 2, x2 1.
因为
f (3) 23, f (2) 34, f (1) 7, f (4) 142,
所以
M max{ f (3), f (2), f (1), f (4)} f (4) 142,
极小值, 称 x0为f(x)旳极小值点；

第三节导数与函数的极值、最值一、基础知识批注——理解深一点1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.①函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点).②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点.2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．二、常用结论汇总——规律多一点(1)若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．(2)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．(3)若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．三、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数在某区间上或定义域内的极大值是唯一的．()(2)在指定区间上极值可能有多个，也可能一个也没有，最大值最多有1个．()(3)函数的极大值不一定比极小值大．()(4)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)√(二)选一选1．已知函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内极小值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选A 导函数f ′(x )的图象与x 轴的交点中，左侧图象在x 轴下方，右侧图象在x 轴上方的只有一个．所以f (x )在区间(a ，b )内有一个极小值点．2．已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A ．－4 B ．－2 C ．4D ．2解析：选D 由题意得f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0得x ＝±2，∴当x ＜－2或x ＞2时，f ′(x )＞0；当－2＜x ＜2时，f ′(x )＜0，∴f (x )在(－∞，－2)上为增函数，在(－2,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f (x )在x ＝2处取得极小值，∴a ＝2.3．函数y ＝xe x 在[0,2]上的最大值是( )A.1eB.2e 2C ．0D.12e解析：选A 易知y ′＝1－xe x，x ∈[0,2]，令y ′≥0，得0≤x ≤1；令y ′<0，得1<x ≤2，所以函数y ＝x e x 在[0,1]上单调递增，在(1,2]上单调递减，所以y ＝xe x 在[0,2]上的最大值是y |x ＝1＝1e.(三)填一填4．函数f (x )＝2x 3－2x 2在区间[－1,2]上的最大值是________． 解析：f ′(x )＝6x 2－4x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝23.∵f (－1)＝－4，f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫23＝－827，f (2)＝8. ∴函数f (x )＝2x 3－2x 2在区间[－1,2]上的最大值是8. 答案：85．函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的极大值点是________．解析：f ′(x )＝1－2sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.令f ′(x )＝0，解得x ＝π6，则当x ∈⎣⎡⎭⎫0，π6时，f ′(x )>0；当x ∈⎝⎛⎦⎤π6，π2时，f ′(x )<0，故函数f (x )＝x ＋2cos x 的极大值点是π6. 答案：π6考点一 利用导数解决函数的极值问题 考法(一) 利用导数求函数的极值或极值点[典例] (2018·天津高考改编)设函数f (x )＝(x －t 1)·(x －t 2)(x －t 3)，其中t 1，t 2，t 3∈R ，且t 1，t 2，t 3是公差为d 的等差数列．(1)若t 2＝0，d ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)若d ＝3，求f (x )的极小值点及极大值．[解] (1)由已知，可得f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＝x 3－x ，故f ′(x )＝3x 2－1.因此f (0)＝0，f ′(0)＝－1.因此曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －f (0)＝f ′(0)(x －0)，故所求切线方程为x ＋y ＝0.(2)由已知可得f (x )＝(x －t 2＋3)(x －t 2)(x －t 2－3) ＝(x －t 2)3－9(x －t 2)＝x 3－3t 2x 2＋(3t 22－9)x －t 32＋9t 2.故f ′(x )＝3x 2－6t 2x ＋3t 22－9.令f ′(x )＝0，解得x ＝t 2－3或x ＝t 2＋ 3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞，t 2－3)t 2－3 (t 2－3，t 2＋3)t 2＋3 (t 2＋3，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值所以函数f (x )的极小值点为x ＝t 2＋3，极大值为f (t 2－3)＝(－3)3－9×(－3)＝6 3. [解题技法] 求函数的极值或极值点的步骤 (1)求导数f ′(x )，不要忘记函数f (x )的定义域； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查在方程的根的左右两侧f ′(x )的符号，确定极值点或函数的极值． 考法(二) 已知函数极值点或极值求参数的值或范围[典例] (2018·北京高考节选)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围．[解] 由f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ， 得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x . 若a >1，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∈(0,1)时，ax －1≤x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)． [解题技法]已知函数极值点或极值求参数的2个要领[题组训练]1．设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：选D ∵f (x )＝2x ＋ln x (x >0)， ∴f ′(x )＝－2x 2＋1x ，令f ′(x )＝0，则x ＝2.当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0. 所以x ＝2为f (x )的极小值点．2．(2019·广州高中综合测试)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处的极值为10，则数对(a ，b )为( )A ．(－3,3)B ．(－11,4)C ．(4，－11)D ．(－3,3)或(4，－11)解析：选C f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10，消去b 可得a 2－a －12＝0，解得a ＝－3或a ＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，这时f (x )无极值，不合题意，舍去，故选C.3．设函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x ＋c (a >0)．(1)当a ＝1，且函数f (x )的图象过点(0,1)时，求函数f (x )的极小值； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1.(1)函数f (x )的图象过点(0,1)时，有f (0)＝c ＝1.当a ＝1时，f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋1，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1， 由f ′(x )>0，解得x <13或x >1；由f ′(x )<0，解得13<x <1.所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，13和(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫13，1上单调递减， 所以函数f (x )的极小值是f (1)＝13－2×12＋1＋1＝1. (2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点， 则f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≥0或f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≤0恒成立． 因为a >0，所以f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 则有Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0，解得a ≥43.故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫43，＋∞. 考点二 利用导数解决函数的最值问题[典例] (2017·北京高考)已知函数f (x )＝e x cos x －x . (1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． [解] (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，h ′(x )＜0， 所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，有h (x )＜h (0)＝0， 即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1， 最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2. [解题技法]导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤(1)求函数f (x )的导数f ′(x )；(2)求f (x )在给定区间上的单调性和极值； (3)求f (x )在给定区间上的端点值；(4)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值； (5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范． [题组训练]1.(2018·珠海摸底)如图，将一张16 cm ×10 cm 的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的最大容积是________ cm 3.解析：设剪下的四个小正方形的边长为x cm ，则经过折叠以后，糊成的长方体纸盒是一个底面是长为(16－2x ) cm ，宽为(10－2x ) cm 的长方形，其面积为(16－2x )(10－2x )cm 2，长方体纸盒的高为x cm ，则体积V ＝(16－2x )(10－2x )×x ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)cm 3，所以V ′＝12(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －203，由V ′>0，得0<x <2，则函数V ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)在(0,2)上单调递增；由V ′<0，得2<x <5，则函数V ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)在(2,5)上单调递减，所以当x ＝2时，V max ＝144(cm 3)．答案：1442．已知函数f (x )＝ln x －a x .(1)若a >0，试判断f (x )在定义域内的单调性； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求实数a 的值．解：(1)由题意得f (x )的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x ＋ax 2，因为a >0，所以f ′(x )>0， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)由(1)可得f ′(x )＝x ＋ax 2， 因为x ∈[1，e]，①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上单调递增， 所以f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，所以a ＝－32(舍去)．②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32，所以a ＝－e2(舍去)．③若－e<a <－1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ， 当1<x <－a 时，f ′(x )<0， 所以f (x )在(1，－a )上单调递减； 当－a <x <e 时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(－a ，e)上单调递增，所以f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32，所以a ＝－ e.综上，a ＝－ e. [课时跟踪检测]A 级——保大分专练1．(2019·辽宁鞍山一中模拟)已知函数f (x )＝x 3－3x －1，在区间[－3,2]上的最大值为M ，最小值为N ，则M －N ＝( )A ．20B ．18C ．3D ．0解析：选A ∵f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，∴f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，又∵f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，∴M ＝1，N ＝－19，M －N ＝1－(－19)＝20.2．(2018·梅州期末)函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )A ．(－1,3)为函数y ＝f (x )的单调递增区间B ．(3,5)为函数y ＝f (x )的单调递减区间C ．函数y ＝f (x )在x ＝0处取得极大值D ．函数y ＝f (x )在x ＝5处取得极小值解析：选C 由函数y ＝f (x )的导函数的图象可知，当x <－1或3<x <5时，f ′(x )<0，y ＝f (x )单调递减；当x >5或－1<x <3时，f ′(x )>0，y ＝f (x )单调递增．所以函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)．函数y ＝f (x )在x ＝－1,5处取得极小值，在x ＝3处取得极大值，故选项C 错误．3．(2019·湖北襄阳四校联考)函数f (x )＝12x 2＋x ln x －3x 的极值点一定在区间( )A ．(0,1)内B ．(1,2)内C ．(2,3)内D ．(3,4)内解析：选B 函数的极值点即导函数的零点，f ′(x )＝x ＋ln x ＋1－3＝x ＋ln x －2，则f ′(1)＝－1<0，f ′(2)＝ln 2>0，由零点存在性定理得f ′(x )的零点在(1,2)内，故选B.4．已知函数f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f (x )在区间[k,2]上的最大值为28，则实数k 的取值范围为( )A ．[－3，＋∞)B ．(－3，＋∞)C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3]解析：选D 由题意知f ′(x )＝3x 2＋6x －9，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－3，所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：x (－∞，－3)－3 (－3,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值又f (－3)＝28，f (1)＝－4，f (2)＝3，f (x )在区间[k,2]上的最大值为28，所以k ≤－3. 5．(2019·皖南八校联考)已知函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc 在x ＝1处有极值－43，则b＝( )A ．－1B ．1C ．1或－1D ．－1或3解析：选A f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，因为f (x )在x ＝1处有极值－43，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝－1＋2b ＋c ＝0，f (1)＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43，Δ＝4b 2＋4c >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝3，故选A.6．设直线x ＝t 与函数h (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |最小时t 的值为( )A ．1 B.12C.52D.22解析：选D 由已知条件可得|MN |＝t 2－ln t ， 设f (t )＝t 2－ln t (t >0)，则f ′(t )＝2t －1t ， 令f ′(t )＝0，得t ＝22， 当0<t <22时，f ′(t )<0；当t ＞22时，f ′(t )＞0. ∴当t ＝22时，f (t )取得最小值，即|MN |取得最小值时t ＝22. 7．(2019·江西阶段性检测)已知函数y ＝ax －1x 2在x ＝－1处取得极值，则a ＝________.解析：因为y ′＝a ＋2x 3，所以当x ＝－1时，a －2＝0，所以a ＝2，经验证，可得函数y ＝2x －1x2在x ＝－1处取得极值，因此a ＝2.答案：2 8．f (x )＝2x ＋1x 2＋2的极小值为________． 解析：f ′(x )＝2(x 2＋2)－2x (2x ＋1)(x 2＋2)2＝－2(x ＋2)(x －1)(x 2＋2)2.令f ′(x )<0，得x <－2或x >1； 令f ′(x )>0，得－2<x <1.∴f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上是减函数，在(－2,1)上是增函数， ∴f (x )极小值＝f (－2)＝－12.答案：－129．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件．解析：y ′＝－3x 2＋27＝－3(x ＋3)(x －3)， 当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0. 故当x ＝3时，该商品的年利润最大． 答案：310．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________．解析：因为f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝3×22＋6a ×2＋3b ＝0，f ′(1)＝3×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.所以y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2. 当x <0或x >2时，y ′>0；当0<x <2时，y ′<0.故当x ＝0时，f (x )取得极大值，当x ＝2时，f (x )取得极小值， 所以f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案：411．设函数f (x )＝a ln xx ＋b (a ，b ∈R )，已知曲线y ＝f (x )在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1.(1)求实数a ，b 的值； (2)求f (x )的最大值．解：(1)因为f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a (1－ln x )x 2. 所以f ′(1)＝a ，又因为切线斜率为1，所以a ＝1. 由曲线y ＝f (x )过点(1,0)，得f (1)＝b ＝0. 故a ＝1，b ＝0. (2)由(1)知f (x )＝ln xx ，f ′(x )＝1－ln x x 2. 令f ′(x )＝0，得x ＝e.当0<x <e 时，有f ′(x )>0，得f (x )在(0，e)上是增函数； 当x >e 时，有f ′(x )<0，得f (x )在(e ，＋∞)上是减函数． 故f (x )在x ＝e 处取得最大值f (e)＝1e .12．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)当a ＝12时，求f (x )的极值； (2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．解：(1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －12＝2－x 2x . 令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )(2)由(1)知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x >0)．当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )在定义域上无极值点；当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a. 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0， 故函数f (x )在x ＝1a处有极大值． 综上所述，当a ≤0时，函数f (x )无极值点；当a >0时，函数f (x )有一个极大值点．B 级——创高分自选1．已知函数f (x )＝x 3－3ax ＋b 的单调递减区间为(－1,1)，其极小值为2，则f (x )的极大值是________．解析：因为f (x )的单调递减区间为(－1,1)，所以a >0.由f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x －a )(x ＋a )，可得a ＝1，由f (x )＝x 3－3x ＋b 在x ＝1处取得极小值2，可得1－3＋b ＝2，故b ＝4.所以f (x )＝x 3－3x ＋4的极大值为f (－1)＝(－1)3－3×(－1)＋4＝6.答案：62．(2019·“超级全能生”高考全国卷26省联考)已知函数f (x )＝t 3x 3－32x 2＋2x ＋t 在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，则t 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝tx 2－3x ＋2，由题意可得f ′(x )＝0在(0，＋∞)上有两个不等实根，即tx 2－3x ＋2＝0在(0，＋∞)有两个不等实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧ t ≠0，3t >0，2t >0，Δ＝9－8t >0，解得0<t <98. 答案：⎝⎛⎭⎫0，98 3．已知函数f (x )＝a ln x ＋1x (a >0)．(1)求函数f (x )的单调区间和极值； (2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：由题意，知函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x －1x 2＝ax －1x 2(a >0)． (1)由f ′(x )>0，解得x >1a， 所以函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞；由f ′(x )<0，解得0<x <1a， 所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1a . 所以当x ＝1a 时，函数f (x )有极小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ln 1a ＋a ＝a －a ln a ，无极大值．(2)不存在实数a 满足条件．由(1)可知，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，函数f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，函数f (x )单调递增．①若0<1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在[1，e]上为增函数，故函数f (x )的最小值为f (1)＝a ln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件a ≥1.②若1<1a <e ，即1e<a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎭⎫1，1a 上为减函数，在⎝⎛⎦⎤1a ，e 上为增函数，故函数f (x )的最小值为f (x )的极小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ln 1a＋a ＝a －a ln a ＝a (1－ln a )＝0，即ln a ＝1，解得a ＝e ，故不满足条件1e<a <1. ③若1a ≥e ，即0<a ≤1e时，函数f (x )在[1，e]上为减函数，故函数f (x )的最小值为f (e)＝a ln e ＋1e ＝a ＋1e＝0， 即a ＝－1e ，故不满足条件0<a ≤1e. 综上所述，不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0.。

在工程设计中的应用
结构设计
在工程结构设计中，结构的稳定 性、强度和刚度等性能指标需要 通过计算和分析来保证。函数极 值与最值的方法可以用于分析结 构的应力分布、变形等关键参数 ，优化结构设计。
控制系统设计
在控制系统的设计中，系统的稳 定性、响应速度和精度等性能指 标需要经过权衡和优化。函数极 值与最值的方法可以用于分析控 制系统的性能指标，找到最优的 控制策略。
光学设计
在光学设计中，透镜的形状和材料需要经过精密的计算和设计，以达到最佳的光学性能。函数极值与最值的方法可以 用于分析透镜的光路，优化光学系统的性能。
电磁场研究
在电磁场的研究中，电场和磁场的变化可以通过函数极值与最值来描述。例如，在研究电磁波的传播和 散射时，可以利用函数极值与最值的方法分析电磁场的分布和变化规律。
连续函数的性质
如果函数在某区间内连续，则该函数在该区间内 必取得最大值和最小值。
极值的性质
极值点一定是驻点或不可导点，但驻点或不可导 点不一定是极值点。
最值的求法
代数法
通过函数的导数或二阶导数，结合函数的单调性、凹 凸性等性质，求得函数的最大值或最小值。
几何法
通过函数图像，直观地观察函数的最大值或最小值。
航空航天设计
在航空航天领域，飞行器的设计 和性能分析需要经过严密的计算 和分析。函数极值与最值的方法 可以用于分析飞行器的气动性能 、推进系统效率等关键参数，提 高飞行器的性能和安全性。
04
函数极值与最值的求解方法
导数法
总结词
通过求导数判断函数单调性，值和最值的一种常用方法。首先求出函数的导数，然后根据导数的符号变化判断函 数的单调性，从而确定极值点。在极值点处，函数的导数由正变负或由负变正，即一阶导数为零的点 。

y
b a
2 2
x y
(X
x).
令Y=0，得切线在x轴上的截距 X
a
2
.
x
令X=0，得切线在y轴上的截距 Y b2 . y
可知切线与两个坐标轴所围成的三角形面积为
S 1 XY a2b2 .
2
2xy
yb a
a2
x2 ,
S
a2b2 2xb a2 b2
a
(0 x a).
但是S最小当且仅当其分母 2bx a2 x2最大. a
令f (x) 0， 得到f (x)的驻点x1 1，x2 4.
f (1) 11，f (1) 41，f (2) 2,
6
6
3
可知f (x)在[1,2]上的最大值点为x 1，
最大值为f (1) 11. 6
最小值点为x 1，最小值为f (1) 41. 6
2
例6 设f (x) 1 2 (x 2)3，求f (x)在[0,3]上的最大值与 3
令y 0得驻点x1 1，x2 0，x3 3. y 12x2 16x 12.
y |x1 12 16 12 16 0
y |x0 12 0 y |x3 48 0
可知x1 1为函数的极小值点,
相应的极小值为y
| x 1
7. 3
x2 0为函数的极大值点，
相应极小大值为y |x0 0.
又因a，b为正常数，x a2 x2 0,
所以S最小当且仅当u x2 (a2 2x2 )最大.由于
u 2a2x 4x3 2x(a2 2x2 ),
令u 0，解出在(0,a)内的唯一驻点x0
2 a. 2
此时y0
2 b. 2
S a2b2 ab.

高中函数的极值与最值问题函数是数学中的重要概念之一，它描述了两个变量之间的关系。

在高中数学学习中，我们经常遇到关于函数的极值与最值问题，这是一类常见且重要的问题。

本文将详细介绍高中函数的极值与最值问题，以帮助读者更好地理解和解决这类题目。

一、函数的极值与最值概念函数的极值包括极大值和极小值，统称为极值。

极大值对应函数的最大值，极小值对应函数的最小值。

最值问题是要求在一定条件下找到函数的最大值或最小值。

1. 极值的定义设函数y=f(x)在点x0处取得极大值，如果对于x0的某个邻域上的任意一点x，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数的极大值。

类似地，如果对于x0的某个邻域上的任意一点x，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数的极小值。

2. 最值的定义给定一个函数，如果在其定义域上存在一个点x1，使得对于定义域上的任意一点x，都有f(x)≤f(x1)，则称f(x1)为函数的最大值。

类似地，如果对于定义域上的任意一点x，都有f(x)≥f(x1)，则称f(x1)为函数的最小值。

二、求解函数的极值与最值的方法在高中数学中，求解函数的极值与最值可以采用以下方法：1. 导数法当函数的导数存在时，可以通过求导数的方法来找到函数的极值。

具体步骤如下：（1）求出函数的导数f'(x)；（2）令f'(x)=0，求出导数为零的临界点；（3）将临界点和函数的端点代入原函数，并比较函数值，找到最大值与最小值。

2. 函数图像法通过绘制函数的图像，可以直观地找到函数的极值与最值。

具体步骤如下：（1）绘制函数的图像；（2）观察图像的极值点和最值点，标出对应的坐标。

3. 区间端点法当函数在特定区间上连续且可导时，可以通过将函数在区间两个端点处的值进行比较来找到函数的最值。

具体步骤如下：（1）计算函数在区间的两个端点处的函数值；（2）比较函数值，找出最大值与最小值。

三、应用举例下面通过两个例子来说明如何求解函数的极值与最值问题。

3 2 3
x( 4 x )

x

( 6 x ) (4 x ) 4 x

3
x 3 (6 x )2
令 f ' ( x ) 0 解得 x 4
x 0, x 6 时, f ' ( x ) 不存在
(3)讨论单调性
f '( x)
4 x
3
x
f '( x)
( ,0) 0 ( 0,4 ) 4
x0
)
x
f ( x0 ) 是极大值
x0
( 2) f ' ( x )
(
-
x0
+
x0
)
x
f ( x0 ) 是极小值
f ( x)
x0
( 3) f ' ( x ) f ( x)
(
+
x0
+
x0
)
x
f ( x0 ) 不是极值
x0
f '( x)
(
-
x0
截去同样的小正方形, 作成一个无盖的方盒, 截去多少才能使得作成的盒子容积最大?
问:
设截去的小正方形的边长
为 x , 则作成盒子的容积
a
x x
V x( a 2 x )
2
V ' (a 2 x )2 x 2(a 2 x )(2)
(a 2 x )(a 6 x )
证 (1) 按定义
f ' ( x ) f ' ( x0 ) f '( x) f '' ( x0 ) lim lim x x0 x x0 x x x x0 0

基础知识诊断
础
【知识梳理】
回顾教材 务实基
考点 1 极值与最值
1．函数的极值 函数 在点 附近有定义，如果对 附近的所有点都有
，则称 是函数的一个极大
值，记作
．如果对 附近的所有点都有
，则称
是函数的一个极小值，记作
．极大值与极小值统称为极值，称 为极值点．
求函数的极值的三个基本步骤 ①求导数 ；②求方程
C． 或 在定义域内可导，
的极值点，则 为（ ）
D． 或
的图象如图所示，则导函数
的
A．
B．
【训练 2】（2021•广东期末）函数
【训练 3】（2021•河东期末）若函数 【训练 4】（2018•新课标Ⅰ）已知函数
C． 的极大值为
D． ．
无极值点，则实数 的取值范围是
．
，则 的最小值是
．
考点 2 恒能分问题
C．
D．
考点 3 同构式的应用 1.同构函数比大小
【例 1】（2014•山东）已知实数 满足 A．
C．
，则下列关系式中恒成立的是（ ） B． D．
【例 2】（2020•新课标 I）若
类型二 （3）
满足
，
能成立，则等价于在区间 上
（4）满足，来自能成立，则等价于在区间 上
类型三 （5）
，
满足
，
恒成立，则在区间 上
（6）
，
满足
，
能成立，则在区间 上
类型四 不同变量的恒成立问题
（7）
满足 ，
，
恒成立，则在区间 上
（8）
，
满足
，
，
恒成立，则在各自区间上
；

函数的极值一、基础知识：1、函数极值的概念：（1）极大值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x <，就说()0f x 是函数()f x 的一个极大值，记作()0y f x =极大值，其中0x 是极大值点（2）极小值：一般地，设函数()f x 在点0x 及其附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有()()0f x f x >，就说()0f x 是函数()f x 的一个极小值，记作()0y f x =极小值，其中0x 是极小值点极大值与极小值统称为极值2、在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。

请注意以下几点：（1）极值是一个局部概念：由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小（2）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点3、极值点的作用：（1）极值点为单调区间的分界点（2）极值点是函数最值点的候选点4、费马引理：()f x 在0x x =处可导，那么0x x =为()f x 的一个极值点Þ()0'0f x =说明：①前提条件：()f x 在0x x =处可导②单向箭头：在可导的前提下，极值点Þ导数0=，但是导数0=不能推出0x x =为()f x 的一个极值点，例如：3y x =在()0,0处导数值为0，但0x =不是极值点③费马引理告诉我们，判断极值点可以通过导数来进行，但是极值点的定义与导数无关（例如：y x =在()0,0处不可导，但是0x =为函数的极小值点）5、求极值点的步骤：（1）筛选：令()'0f x =求出()'f x 的零点（此时求出的点有可能是极值点）（2）精选：判断函数通过()'f x 的零点时，其单调性是否发生变化，若发生变化，则该点为极值点，否则不是极值点（3）定性：通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点：先增后减→极大值点，先减后增→极小值点6、在综合题分析一个函数时，可致力于求出函数的单调区间，当求出单调区间时，极值点作为单调区间的分界点也自然体现出来，并且可根据单调性判断是极大值点还是极小指点，换言之，求极值的过程实质就是求函数单调区间的过程。

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性方程、积分方程等问题时非常有效。
在日常生活中的应用
要点一
建筑设计
在建筑设计中，极值理论用于优化设计方案。通过找到结 构强度、稳定性等性能指标的极值点，可以设计出既美观 又安全的建筑结构。
要点二
资源分配
在日常生活中，我们经常面临资源分配的问题。极值理论 可以帮助我们找到最优的资源分配方案，使得总体效益达 到最大或损失最小。例如，在旅行计划中，我们可以使用 极值理论找到最短的旅行路线或最低的旅行成本。
《极值与最值》ppt 课件
目录
• 极值与最值的定义 • 极值的性质 • 最值的性质 • 极值与最值的计算方法 • 极值与最值的应用
01
极值与最值的定义
极值的定义
极值是函数在某点附近的小邻域内的最大值或最 01 小值。
极值点是函数的一阶导数为零的点，或者一阶导 02 数不存在的点。
极值点可以是局部最大值或局部最小值，取决于 03 一阶导数的符号变化。
05
极值与最值的应用
在经济领域的应用
金融分析
极值与最值理论在金融领域中用于风险 评估和投资决策。通过对历史数据的分 析，确定资产价格的最大值和最小值， 以及达到这些极值的概率，从而评估投 资风险。
VS
供需分析
在经济学中，极值理论用于分析供需关系 ，确定市场价格的可能波动范围。通过对 需求和供给曲线的极值点进行分析，可以 预测市场价格的最高点和最低点。
判别式法
总结词
通过求解一元二次方程的判别式，确定函数的极值点。
详细描述
对于形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的一元二次函数，通过求解判别式$Delta = b^2 4ac$，可以确定函数的极值点。当$Delta > 0$时，函数有两个实根，此时在两根之间