新人教版必修一对数函数3反函数课件
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反函数课件ppt
05
CATALOGUE
反函数与对数函数、指数函数 的关系
反函数与对数函数的关系
对数函数的反函数是指数函数 。
对数函数和指数函数互为反 函数，它们的图像关于直线
y=x对称。
对数函数和指数函数在数学和 工程中有广泛的应用，例如在 计算复利、解决方程和解决优
化问题等方面。
反函数与指数函数的关系
1
指数函数的反函数是指数函数的倒数，即对数函 数。
公式法
总结词
利用反函数的公式求解
详细描述
对于一些常见的函数，如对数函数、 三角函数等，已经有了它们的反函数 的公式。通过使用这些公式，可以快 速找到反函数的值。这种方法适用于 具有标准形式的函数。
04
CATALOGUE
反函数的应用
解方程
求解方程
通过反函数，可以将方程从一种形式转换为另一种形式，从而简 化求解过程。
反函数的几何意义
01
反函数的几何意义是原函数图像 上任意一点关于y=x对称的点的 集合。
02
反函数图像上的任意一点P(a,b)， 在原函数图像上存在一个对称点 P'(b,a)，即点P和点P'关于直线 y=x对称。
反函数与原函数的图像关系
当原函数图像是单调递增时，反函数 图像也是单调递增；当原函数图像是 单调递减时，反函数图像也是单调递 减。
ABCD
非单调函数的反函数可能不存在
对于非单调函数，可能不存在反函数，或者存在 多个反函数。
离散函数的反函数可能不存在
离散函数可能没有连续的反函数。
02
CATALOGUE
反函数的图像与几何意义
反函数的图像
反函数的图像是原函数图像关于y=x对称的图形。
高一数学课件：2.4 对数函数及其性质(新人教版必修1)
2
3
返回
学点三 对数函数的图像 已知a＞ 且 的图像只能是（ 已知 ＞0且a≠1，函数 ，函数y=ax与y=loga(-x)的图像只能是（ ） 的图像只能是 【分析】应先由函数定义域判断图像的位置，再对底 分析】应先由函数定义域判断图像的位置， 进行讨论， 数a进行讨论，最后选出正确选项 进行讨论 最后选出正确选项. 【解析】解法一:首先 曲线 首先,曲线 解析】解法一 首先 曲线y=ax 只可能在上半平面,y=loga(-x)只 只可能在上半平面 只 可能在左半平面上,从而排除 从而排除A,C. 可能在左半平面上 从而排除 其次,从单调性着眼 其次 从单调性着眼,y=ax与 从单调性着眼 y=loga(-x)的增减性正好相反 又 的增减性正好相反,又 的增减性正好相反 可排除D. 可排除 故应选B. 故应选
单调性
当0<x<1时，y∈(0,+∞) 时 ∈ 函数值的 当 x=1 时，y=0; 变化规律 当 x>1 时, y<0.
当x=1时， y=0 ; 时 当x>1时， y>0 . 时
返回
学点一 比较大小 比较大小： 比较大小：
4 6 log 1 ，log 1 ； （1） ） 2 5 2 7
2） （2） 1 3, log 1 5 ; log
） （2） y = log 2 2 ） . - x + 2x + 2 (1)∵x2-4x+6=(x-2)2+2≥2,又∵y=log2x在(0,+∞)上是增 ∵ 又 在 上是增 函数, 函数
(x2-4x+6);
∴log2(x2-4x+6)≥log22=1. ∴函数的值域是［1,+∞). 函数的值域是［ (2) ∵-x2+2x+2=-(x-1)2+3≤3, 1 1 ∴ - x 2 + 2x + 2 <0或 - x 2 + 2x + 2 ≥ 1 . 或 1 3 1 ≥ log 2 ∴ 2 log - x + 2x + 2 1 3 ∴函数的值域是 log 2 ,+∞ ,
3
返回
学点三 对数函数的图像 已知a＞ 且 的图像只能是（ 已知 ＞0且a≠1，函数 ，函数y=ax与y=loga(-x)的图像只能是（ ） 的图像只能是 【分析】应先由函数定义域判断图像的位置，再对底 分析】应先由函数定义域判断图像的位置， 进行讨论， 数a进行讨论，最后选出正确选项 进行讨论 最后选出正确选项. 【解析】解法一:首先 曲线 首先,曲线 解析】解法一 首先 曲线y=ax 只可能在上半平面,y=loga(-x)只 只可能在上半平面 只 可能在左半平面上,从而排除 从而排除A,C. 可能在左半平面上 从而排除 其次,从单调性着眼 其次 从单调性着眼,y=ax与 从单调性着眼 y=loga(-x)的增减性正好相反 又 的增减性正好相反,又 的增减性正好相反 可排除D. 可排除 故应选B. 故应选
单调性
当0<x<1时，y∈(0,+∞) 时 ∈ 函数值的 当 x=1 时，y=0; 变化规律 当 x>1 时, y<0.
当x=1时， y=0 ; 时 当x>1时， y>0 . 时
返回
学点一 比较大小 比较大小： 比较大小：
4 6 log 1 ，log 1 ； （1） ） 2 5 2 7
2） （2） 1 3, log 1 5 ; log
） （2） y = log 2 2 ） . - x + 2x + 2 (1)∵x2-4x+6=(x-2)2+2≥2,又∵y=log2x在(0,+∞)上是增 ∵ 又 在 上是增 函数, 函数
(x2-4x+6);
∴log2(x2-4x+6)≥log22=1. ∴函数的值域是［1,+∞). 函数的值域是［ (2) ∵-x2+2x+2=-(x-1)2+3≤3, 1 1 ∴ - x 2 + 2x + 2 <0或 - x 2 + 2x + 2 ≥ 1 . 或 1 3 1 ≥ log 2 ∴ 2 log - x + 2x + 2 1 3 ∴函数的值域是 log 2 ,+∞ ,
对数函数【新教材】人教A版高中数学必修第一册PPT课件
➢同底对数值比较大小：若底数未确定，需分类讨论
例2 比较下列各组数中两个值的大小。
(4) log2 3, log0.5 4
（4）方法一log2 3 log2 2 1 log0.5 4 log0.5 0.5 1log2 3 log0.5 4
（4）方法二log2 3 log2 1 0 log0.5 4 log0.5 1 0log2 3 log0.5 4
2
象上，反之亦然。
对数函数【新教材】人教A版高中数学 必修第 一册PP T课件
对数函数【新教材】人教A版高中数学 必修第 一册PP T课件
底数互为倒数的两个指数函 数的图象关于y轴对称
由于y log 1 x log a x
a
底数互为倒数的两个对数函数
和
函数图象对于x轴对称
根据对称性，可以由y log2 x 的图象画出y log 1 x的图象
(3)底数不同,真数不同对数比较大小:
借助中间量“0”( loga 1)，或“1”( loga a)
解：（1）根据对数的运算性质
，有PH
lg[H ]
lg[H ]1
lg
1 [H ]
在（0，
）上，随着[
H
]的增大，[H1
]
也减小，相应地lg
[
1 H
]
也减小，即PH值减小
所以，随着[H ]的增大，即PH值减小。即溶液中氢离子的深度越大，溶液的酸性越强
对数函数【新教材】人教A版高中数学 必修第 一册PP T课件
y log 2 x
y log 1 x
2
对比一
0.5 -1 下两个 0.5 1
1
0
表值， 有什么
1
0
新人教A版必修一对数函数的概念对数函数图像和性质课件(22张)
;
(2)下列函数中,是对数函数的是
.(填序号)
①y=log4x;②y=log2(3x);③y=logx2;④y=log3(x-1);⑤y=log2x2;
1
⑥y= 2 log3x.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解析:(1)设 f(x)=logax(a>0,且 a≠1),
1
依题意有 loga4=-1,故 a=4,
探究三
易错辨析
对于含有偶次根式中被开方式为对数式时,要注意被开方的代数
式为非负,还要顾及对数式中本身的真数大于0这一隐含信息,错解
中显然忘记了真数大于0这一隐含条件.
1
2
3
4
5
6
1.下列函数中,是对数函数的是(
A.y=log2x-1
B.y=logx3x
C.y= log 1 x
D.y=3log5x
2
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练2函数f(x)=3x(0<x≤2)的反函数的定义域为(
A.(0,+∞)
B.(1,9]
C.(0,1)
D.[9,+∞)
解析:∵ 0<x≤2,∴1<3x≤9,
即函数f(x)的值域为(1,9].
故函数f(x)的反函数的定义域为(1,9].
答案:B
)
探究一
探究二
探究三
易错辨析
C.
2
D.x2
解析:由题意,知 f(x)=logax.∵f(x)的图像过点(√,a),
1
∴a=loga√.∴a=2.∴f(x)=log 1 x.故选 B.
2
答案:B
函数y=logax(a>0,且a≠1)的反函数是y=ax(a>0,且a≠1);函数
(2)下列函数中,是对数函数的是
.(填序号)
①y=log4x;②y=log2(3x);③y=logx2;④y=log3(x-1);⑤y=log2x2;
1
⑥y= 2 log3x.
探究一
探究二
探究三
易错辨析
解析:(1)设 f(x)=logax(a>0,且 a≠1),
1
依题意有 loga4=-1,故 a=4,
探究三
易错辨析
对于含有偶次根式中被开方式为对数式时,要注意被开方的代数
式为非负,还要顾及对数式中本身的真数大于0这一隐含信息,错解
中显然忘记了真数大于0这一隐含条件.
1
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4
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6
1.下列函数中,是对数函数的是(
A.y=log2x-1
B.y=logx3x
C.y= log 1 x
D.y=3log5x
2
探究一
探究二
探究三
易错辨析
变式训练2函数f(x)=3x(0<x≤2)的反函数的定义域为(
A.(0,+∞)
B.(1,9]
C.(0,1)
D.[9,+∞)
解析:∵ 0<x≤2,∴1<3x≤9,
即函数f(x)的值域为(1,9].
故函数f(x)的反函数的定义域为(1,9].
答案:B
)
探究一
探究二
探究三
易错辨析
C.
2
D.x2
解析:由题意,知 f(x)=logax.∵f(x)的图像过点(√,a),
1
∴a=loga√.∴a=2.∴f(x)=log 1 x.故选 B.
2
答案:B
函数y=logax(a>0,且a≠1)的反函数是y=ax(a>0,且a≠1);函数
高中数学必修一对数函数课件
2 计算对数函数的定义域和值域
通过计算，掌握对数函数的定义域和值域的求解方法，并应用到实际问题中。
3 求对数函数的单调区间及变化情况
通过分析对数函数的图像和性质，确定其单调区间和变化情况，提高问题解决能力。
探讨对数函数在实际问题中的应用，如声音、光线、化学反应等领域。
2
常见的应用案例
介绍实际问题中常见的对数函数应用案例，让学生理解对数函数的实际价值。
小结
总结对数函数的基本概念、性质和应用，强调对数函数在实际问题中的价值和意义。
作业部分
1 恢复对数函数的式子
练习恢复对数函数的表达式，加深对对数函数的理解和记忆。
单调性、极限、连续性
研究对数函数的单调性、极限和连续性，帮助学 生理解函数的变化规律。
对数函数图象及其变换
基本形态与特征
展示对数函数图象的基本形态和特征，使学生对其 变化规律有更直观的Hale Waihona Puke 识。平移、伸缩及翻折等变换
介绍对数函数图象的平移、伸缩和翻折等变换方式， 及其对图象的影响。
对数函数的应用
1
实际问题中的应用
高中数学必修一对数函数课件
本课件介绍了高中数学必修一中对数函数的概念、性质和应用。通过图像和 案例展示对数函数在实际问题中的作用，让学生更好地理解和应用。
引言
了解对数函数的概念、作用及其与指数函数的关系，为学习和应用对数函数 打下基础。
对数函数的性质
定义域、值域、奇偶性
探讨对数函数的定义域、值域，以及奇偶性的特 点和性质。
通过计算，掌握对数函数的定义域和值域的求解方法，并应用到实际问题中。
3 求对数函数的单调区间及变化情况
通过分析对数函数的图像和性质，确定其单调区间和变化情况，提高问题解决能力。
探讨对数函数在实际问题中的应用，如声音、光线、化学反应等领域。
2
常见的应用案例
介绍实际问题中常见的对数函数应用案例，让学生理解对数函数的实际价值。
小结
总结对数函数的基本概念、性质和应用，强调对数函数在实际问题中的价值和意义。
作业部分
1 恢复对数函数的式子
练习恢复对数函数的表达式，加深对对数函数的理解和记忆。
单调性、极限、连续性
研究对数函数的单调性、极限和连续性，帮助学 生理解函数的变化规律。
对数函数图象及其变换
基本形态与特征
展示对数函数图象的基本形态和特征，使学生对其 变化规律有更直观的Hale Waihona Puke 识。平移、伸缩及翻折等变换
介绍对数函数图象的平移、伸缩和翻折等变换方式， 及其对图象的影响。
对数函数的应用
1
实际问题中的应用
高中数学必修一对数函数课件
本课件介绍了高中数学必修一中对数函数的概念、性质和应用。通过图像和 案例展示对数函数在实际问题中的作用，让学生更好地理解和应用。
引言
了解对数函数的概念、作用及其与指数函数的关系，为学习和应用对数函数 打下基础。
对数函数的性质
定义域、值域、奇偶性
探讨对数函数的定义域、值域，以及奇偶性的特 点和性质。
人教版高中数学必修1《对数函数的图像与性质》PPT课件
液的酸性就越强.
新知运用
例 3 溶 液 酸 碱 度 是 通 过 pH 计 量 的 .pH 的 计 算 式
pH=− + ，其中 + 表示溶液中氢离子的浓度，单位是
摩尔/升.
（2）已知纯净水中氢离子的浓度为 + = − 摩尔/升，
计算纯净水的 pH 值；
【解析】 = −− = ，所以纯净水的 pH 值
反思总结
1.思想方法：
（1）数形结合：由解析式到图象（由数到形，以形读数），
由图象到性质（由形到数，以数观形）；
（2）分类整合：底数的两个范围对单调性的影响.
2.知识联系：指、对不分家！指数函数与对数函数不仅在概念、
图象与性质上有联系，在解决问题的类型上也有联系，所以
要将两者作为一个整体学习与应用.
所以. < − + < . ，即−. < + < −. ，
所以−. < + < −. ，
所以−. < + < −. ，
所以这种饮用水中氢离子的浓度范围是−. < + <
−. （单位：摩尔/升）.
x 0.5 1
log2x −
2
（2）描点画图.
3
1.6
4
5
6
7
2.3 2.6 2.8
8
新知探求
2.画函数 = 的图象.
由换底公式得 = Байду номын сангаас =
= − ，所以
函数 = 的图象与 = 的图象关于
新知运用
例 3 溶 液 酸 碱 度 是 通 过 pH 计 量 的 .pH 的 计 算 式
pH=− + ，其中 + 表示溶液中氢离子的浓度，单位是
摩尔/升.
（2）已知纯净水中氢离子的浓度为 + = − 摩尔/升，
计算纯净水的 pH 值；
【解析】 = −− = ，所以纯净水的 pH 值
反思总结
1.思想方法：
（1）数形结合：由解析式到图象（由数到形，以形读数），
由图象到性质（由形到数，以数观形）；
（2）分类整合：底数的两个范围对单调性的影响.
2.知识联系：指、对不分家！指数函数与对数函数不仅在概念、
图象与性质上有联系，在解决问题的类型上也有联系，所以
要将两者作为一个整体学习与应用.
所以. < − + < . ，即−. < + < −. ，
所以−. < + < −. ，
所以−. < + < −. ，
所以这种饮用水中氢离子的浓度范围是−. < + <
−. （单位：摩尔/升）.
x 0.5 1
log2x −
2
（2）描点画图.
3
1.6
4
5
6
7
2.3 2.6 2.8
8
新知探求
2.画函数 = 的图象.
由换底公式得 = Байду номын сангаас =
= − ，所以
函数 = 的图象与 = 的图象关于
反函数ppt
原函数与反函数的关系
Hale Waihona Puke 定义域值域判断下列各组的两个函数是不是互为反函数？ 为什么？
(1)
(2)
(3)
在 中，将x和y互换得到
先求函数的值域
由 解出
①
②
③
求下列函数的反函数：
(1)
(2)
(3)
在 中，将x和y互换得到
先求函数的值域
（2）对称轴的位置
（4）有关的函数值
（3）判别式
课堂练习：
由 解出
①
②
③
注明反函数的定义域，即 的值域
④
①
原函数与反函数图象的关系
结论：原函数与反函数的图象关于直线 y=x 对称
y = x
变式：
(7),(9)韦达定理法失效！！
结论：
一元二次函数图象特征：
x
y
0
m
n
y1
y2
变式：
x
0
1
y
（1）开口方向
小结：一元二次方程根的分布讨论可以依据其相对应的一元 二次函数图象，从以下几个方面考虑列出不等式组
（2）
不能构成
函数中，对于每一个自变量的值，要有唯一确定的函数值与之对应.
反函数的定义：
一般地，对于函数 ，设它的定义域为D，值域为A . 如果对A中任意一个值 y ，在D中总有唯一确定的 x 值与它对应，使 ，这样得到的 x 关于 y 的函数叫做 的反函数，记作 .习惯上，自变量常用 x 表示，而函数常用 y 表示，所以把它改写为：
反函数
问题一：
向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量
V 与水深 h 的函数关系如图所示，那么水瓶的形状（ ）
Hale Waihona Puke 定义域值域判断下列各组的两个函数是不是互为反函数？ 为什么？
(1)
(2)
(3)
在 中，将x和y互换得到
先求函数的值域
由 解出
①
②
③
求下列函数的反函数：
(1)
(2)
(3)
在 中，将x和y互换得到
先求函数的值域
（2）对称轴的位置
（4）有关的函数值
（3）判别式
课堂练习：
由 解出
①
②
③
注明反函数的定义域，即 的值域
④
①
原函数与反函数图象的关系
结论：原函数与反函数的图象关于直线 y=x 对称
y = x
变式：
(7),(9)韦达定理法失效！！
结论：
一元二次函数图象特征：
x
y
0
m
n
y1
y2
变式：
x
0
1
y
（1）开口方向
小结：一元二次方程根的分布讨论可以依据其相对应的一元 二次函数图象，从以下几个方面考虑列出不等式组
（2）
不能构成
函数中，对于每一个自变量的值，要有唯一确定的函数值与之对应.
反函数的定义：
一般地，对于函数 ，设它的定义域为D，值域为A . 如果对A中任意一个值 y ，在D中总有唯一确定的 x 值与它对应，使 ，这样得到的 x 关于 y 的函数叫做 的反函数，记作 .习惯上，自变量常用 x 表示，而函数常用 y 表示，所以把它改写为：
反函数
问题一：
向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量
V 与水深 h 的函数关系如图所示，那么水瓶的形状（ ）
《高中数学《反函数》课件
奇函数的图像关于原点对称， 偶函数的图像关于y轴对称。
奇偶性的变化规律可以通过观 察图像来理解。
04 反函数在解题中的应用
利用反函数解决方程问题
总结词
通过反函数，可以将复杂的方程问题转化为求函数的值域或定义域问题，简化解 题过程。
详细描述
在解决方程问题时，我们可以利用反函数的概念，将原方程转化为求反函数的值 域或定义域的问题。通过确定反函数的值域或定义域，可以找到原方程的解。这 种方法在处理一些复杂的方程问题时非常有效。
总结词
理解反函数的实际应用 和复杂函数的反函数求
法
题目1
已知函数$f(x) = sqrt{x}$，求$f^{-
1}(x)$。
题目2
已知函数$f(x) = log_2(x)$，求$f^{-
1}(x)$。
题目3
已知函数$f(x) = x^4 3x^2 + 2$，求$f^{-
1}(x)$。
综合练习题
总结词
利用反函数解决不等式问题
总结词
反函数可以帮助我们将不等式问题转化为求解函数的值域或定义域问题，从而简化解题过程。
详细描述
在解决不等式问题时，我们可以利用反函数的概念，将原不等式转化为求反函数的值域或定义域的问题。通过确 定反函数的值域或定义域，可以找到满足不等式的解。这种方法在处理一些复杂的不等式问题时非常实用。
综合运用反函数的知识解决复杂问题
题目2
已知函数$f(x) = x^2 - 2x$和$g(x) = frac{1}{x}$，求$(f circ g)^{-1}(x)$。
题目1
已知函数$f(x) = sqrt{x}$和$g(x) = log_2(x)$，求$(f circ g)^{-1}(x)$。
高中数学《反函数》课件
（1） y x 1 （x≥0）
（2）
y
2x 3 x 1
（x≠1）
教师示范，学生归纳解题步骤：
1、互解；2、互换；3、确定定义域。
设计意图：
应用是加深理解概念最有效的途径，两道题均来自课
本，紧扣教材应当成为教与学的立足点，规范解题过程，深化
解题方法，培养基本技能，讲完例题之后，提出两个小问题，
意在加深对所学内容的理解，培养学生分析、思考问题的习惯。
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教学方法和手段
针对本节课概念抽象的特点，整节课将以启 发学生思考、分析、讨论为主。采用“从特殊到 一般”、“从具体到抽象”的方法，体现“对比 和联系”的思想方法，力求做到以创造发展为目 的，以师生共同参与为核心，以反馈调控为手段， 以推理判断为特征。
采用多媒体教学手段，增大教学容量和感观 性。
的区别和联系。
1、以旧引新，揭示课题
乘2
1
2
2
4
3
6
4
8
平方
-1
1
1
-2
2
4
-3
3
9
A
B
A
B
对比举例：函数（1）y=2x x∈R 属于异元异像
函数（2）y=x 2 x∈R 属于异元同像
y 都是 x 的函数
提出问题：若将 y 作为自变量，x 是否是 y 的函数呢？
由函数（1）解得
x y 2
，x 是 y 的函数
讨论归纳、导入定义
由前面的特例可以看到：给定函数 y=f(x)定义域为A，值域为C，从式子y=f(x)解 出得到x=φ(y)，如果对于y在C中的任何一个值， x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式 子x=φ(y)就表示x是变量y的函数，把x=φ(y)叫 函数y=f(x)的反函数，
2.2.2指、对数函数与反函数(3)课件(新人教版A必修一)
y x 1(x 0)的反函数是: y (x 1)2 (x 1).
例1 求下列函数的反函数
(3) y 3x1 2;(4) y log 1 (x 4).
解
:
(3) y
3x1
2
3x1
y
2
2
x 1
log3( y
2)
x log3( y 2) 1.
y 3x1 2的反函数 为 : y log3 (x 2) 1(x 2).
所以,函数f(x)的值域为(-∞,0)
(2) y log2 (1 2x ) 1 2x 2y 2x 1 2y
x log2 (1 2y ) f (x)的反函数y log2 (1 2x ).
因f(x)的反函数与原函数相等,故结论成立.
练习
2. 函数y＝3x的图象与函数y＝log3x的
图象关于 3x
原函数的定义域就是反函数的值域, 原函数的值域是反函数的定义域,它 们的图象关于直线y=x对称,原函数与 反函数具有相同的单调性.
思考3:函数y = 1-x , y 1 的反函数
x
分别是什么？由此推测：如果函数 y=f(x)的图象关于直线y= x对称，则 函数f(x)与其反函数有什么关系？
y=1-x的反函数是y=1-x
(D )
A. y轴对称
B. x轴对称
C. 原点对称
D. 直线y＝x对称
例3 函数f(x)＝loga (x－1)(a＞0且a≠1) 的反函数的图象经过点(1, 4)，求a的值.
解:依题意,得 1 log a (4 1)
即 : log a 3 1,a 3.
小 结：若函数y＝f(x)的图象经过点(a, b)，
思考5:一个函数在其对应形式上有一对一 和多对一两种，那么在哪种对应下的函数 才存在反函数？
例1 求下列函数的反函数
(3) y 3x1 2;(4) y log 1 (x 4).
解
:
(3) y
3x1
2
3x1
y
2
2
x 1
log3( y
2)
x log3( y 2) 1.
y 3x1 2的反函数 为 : y log3 (x 2) 1(x 2).
所以,函数f(x)的值域为(-∞,0)
(2) y log2 (1 2x ) 1 2x 2y 2x 1 2y
x log2 (1 2y ) f (x)的反函数y log2 (1 2x ).
因f(x)的反函数与原函数相等,故结论成立.
练习
2. 函数y＝3x的图象与函数y＝log3x的
图象关于 3x
原函数的定义域就是反函数的值域, 原函数的值域是反函数的定义域,它 们的图象关于直线y=x对称,原函数与 反函数具有相同的单调性.
思考3:函数y = 1-x , y 1 的反函数
x
分别是什么？由此推测：如果函数 y=f(x)的图象关于直线y= x对称，则 函数f(x)与其反函数有什么关系？
y=1-x的反函数是y=1-x
(D )
A. y轴对称
B. x轴对称
C. 原点对称
D. 直线y＝x对称
例3 函数f(x)＝loga (x－1)(a＞0且a≠1) 的反函数的图象经过点(1, 4)，求a的值.
解:依题意,得 1 log a (4 1)
即 : log a 3 1,a 3.
小 结：若函数y＝f(x)的图象经过点(a, b)，
思考5:一个函数在其对应形式上有一对一 和多对一两种，那么在哪种对应下的函数 才存在反函数？
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(0,1) O
P(a,b)
(1y=ax与对数函数x=loga y(a>0,a≠1)有什么关系?
函 数 自变量 因变量 定义域 值
y=ax x=loga y x y y x R (0,+∞) R
域
(0,+∞)
对应法则互逆
称这两个函数互为反函数
指数函数y=ax是对数函数 x =log a y ( a >0, a ≠ 1) 的反函数
指数函数 y = a x ( a >0, a ≠ 1)
反 函 数
对数函数 y =log a x ( a >0, a ≠ 1)
探讨1：函数y=f(x)的图像和它的反函数有什么关系？
（1）定义域、值域互换。 （2）图像关于y=x对称。 （3）单调性相同。
探讨2：什么样的函数具有反函数？
单调函数具有反函数。 （或一对一映射函数具有反 函数）
2 ；(4) y log 1 ( x 4) .
2
归纳反函数的求解步骤：
——反解——x,y互换——写出反函数的定义域
例4、 已知函数 f ( x) log 2 (1 2 ) . （1）求函数f(x)的定义域和值域； （2）求证函数y=f(x)的图象关于直线 y=x对称.
x
课堂小结
例题研究
例1 写出下列对数函数的反函数:
(1)y =lgx;
2y log 1 x.
3
例2 写出下列指数函数的反函数:
(1)y=5x
2 2 y . 3
x
例3、 求下列函数的反函数： （1）y＝3x－1 ； （2）y＝ x ＋1 （x≥0）；
x 1
（3 ）y 3
今天这堂课，同学们有什么收获呢？ 你印象最深的是什么？ （1）、反函数的概念
（2）、原函数与反函数之间的内在联系 （3）、反函数存在的条件 （4）、求函数的反函数
复习
1、指数式与对数式的关系。
x y a 2、设 ，若分别以x,y当自变量，可以
得到哪两个函数？这两个函数相同吗？
3、作出y=2 和y=logax的图像，观察两图像的 关系。
x
2、在同一坐标系内函数y=log2x与函数y=2x的 图像,分析它们之间的关系. y 函数y=log 2x的图像与 函数 y =2 x 的图像关于 直 线 y = x 对 称 Q(b,a) y=2x y=x