小学奥数之包含与排除(二)

和倍问题基本公式和÷（倍数和）=1倍数1倍数⨯倍数=几倍数例1 某校四年级选出48人到区里参加珠算竞赛，其中女同学是男同学的2倍，问：这个学校参加珠算竞赛的男、女生各多少人？练1 五年级学生参加文艺小组和科技小组的共有108人，参加文艺小组的人数是参加科技小组人数的2倍，参加两个小组的各有多少人？练2 师徒二人共加工零件42件，师傅加工数是徒弟的5倍，师徒各加工多少件？例2 小明买了14张画片，小刚买了10张画片，小明送给小刚几张后，小刚的画片张数是小明的3倍？练1 甲、乙两个数之和为72，甲数除乙数商是2，甲、乙两个数各是多少？练2 父子年龄的和是50岁，再过5年父亲的年龄是儿子的4倍，父子现在的年龄各是多少岁？例3 甲、乙二人共有钱810元，甲比乙的3倍还多10元，甲、乙二人各有钱多少元？练1 两个数的和是29，大数除以小数商是4，余数也是4，两个数各是多少？练2 一个除法算式，商是18，余数是4，被除数与除数的和是270，问：除数、被除数各是多少？例4 两个整数相除得商数是12，余数是26，被除数、除数、商数及余数的和等于454。

除数是多少？被除数是多少？练1 被除数比除数的3倍多1，并且被除数、除数、商、余数的和是81，求被除数、除数各是多少？练2 某公社有两个仓库共存粮84吨，已知甲仓库存粮比乙仓库的4倍少1吨，甲、乙两仓库各存粮多少吨？练3 甲站有车192辆，乙站有车48辆，每日从甲站开往乙站的有21辆，从乙站开往甲站的有24辆。

问：如此经过几天后，甲站车辆是乙站车辆的7倍？例5 白、红、黄三种棋子共56颗，白棋子是红棋子的2倍，红棋子是黄棋子的2倍，三种棋子各是多少颗？练1 红、黄、白三种棋子共48颗，红的是黄的3倍，白的是黄的2倍，三种棋子各是多少颗？练2 三个生产队合挖一条长1902米的水渠，第一队挖的是第二队的2倍，第三队挖的是第二队的3倍，三个队各挖了多少米？例6 甲、乙、丙三个数，甲数是乙数的2倍多100，乙数是丙数的2倍多50，已知三个数的和是950，三个数各是多少？练1 胜利化肥厂3天共生产2540袋，第二天生产的比第一天生产的2倍少60袋，第三天生产的比第一天生产的3倍少100袋，三天各生产了多少袋？练2 甲、乙、丙三人，甲的年龄比乙的年龄的2倍还大3岁，乙的年龄比丙的2倍小2岁，三个人年龄之和是109岁，分别求出三个人的年龄。

在小学五年级的奥数中，速算与技巧是很重要的一部分。

通过掌握一些速算技巧，孩子们能够更加高效地解决数学问题，提高计算速度。

首先，我要介绍的是加法的速算技巧。

当我们进行两个两位数相加的时候，可以通过分解其中一个数来简化计算。

例如，73+57，我们可以将57分解成50和7，然后将50加到73上得到123，最后再加7，结果是130。

这样的速算技巧可以节省计算的步骤，提高计算的效率。

接下来是减法的速算技巧。

当我们进行两个两位数相减的时候，也可以通过借位来简化计算。

例如，68-27，我们可以先将27变成30然后减去68，得到2、这样比一步一步借位计算要快。

此外，还有一种减法口诀，借十退一，借百退十，可以帮助孩子们更快地进行减法运算。

除了加法和减法的速算技巧，还有一些其他的技巧也很有用。

例如，乘法的速算技巧。

当我们进行两个两位数相乘的时候，可以通过交叉相乘再相加的方法来简化计算。

例如，36乘以48，我们可以先将6和48相乘得到288，然后将3和48再相乘得到144，最后将这两个结果相加得到432、这个方法虽然需要一些计算，但是相比于一位一位相乘的方法要快速一些。

另外，对于除法，我们也可以通过一些技巧来简化计算。

例如，除以5的倍数的时候，我们可以将被除数的末尾一位数去掉，然后再除以5、例如，45除以5，我们可以先去掉5的倍数的末尾一位得到4，然后再将4除以5，结果是0.8、这样的计算方法可以减少计算的步骤。

除了速算技巧外，包含与排除也是很重要的思维方法。

在解决一些问题的时候，我们可以通过包含与排除的思维来缩小范围，找到正确的答案。

例如，解决一个数的问题的时候，我们可以从最小的可能性开始尝试，逐渐增加，不断排除不符合条件的数，最终找到符合条件的数。

这样的思维方法可以帮助孩子们更加有条理地解决问题。

总之，在小学五年级的奥数中，速算与技巧以及包含与排除是很重要的内容。

通过掌握一些速算技巧，孩子们可以更加高效地计算，提高解决问题的能力。

四年级思维拓展之包含与排除1.把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条。

已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？2.某小学三年级四班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加。

这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？3.在前100个自然数中，能被2或3整除的数有多少个？4.某科室有12人，其中6人会英语，5人会俄语，5人会日语，有3人既会英语又会俄语，有2人既会俄语又会日语，有2人既会英语又会日语，有1人英、日、俄这三种语言全会，只会一种外语的人比一种外语也不会的人多多少人？5.全班有46名同学，仅会打乒乓球的有18人，既会打乒乓球又会打羽毛球的有7人，既不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人。

问：仅会打羽毛球的有多少人？6.某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了。

这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？7.有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语。

问既懂英语又懂俄语的有多少人？8.三年级科技活动组共有63人。

在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人。

每个同学都至少完成了一项活动。

问：同时完成这两项活动的同学有多少人？9.在春光小学“创造杯”展览会上，展品中有26件不是六年级的，有25件不是五年级的.已知五、六年级展品共35件，那么五年级的展品有____件.10.四1班有48名学生，在一节自习课上，写完语文作业的有30人，写完数学作业的有20人，语文数学都没写完的有6人。

（1）问语文数学都写完的有多少人？（2）只写完语文作业的有多少人？参考答案1.【解答】分析：焊接部分为两根铁条的重合部分，由包含排除法知，焊接后这根铁条长：38＋53-4＝87(厘米)。

2.【解答】分析：如图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部分C(阴影部分)表示同时参加两个小组的人。

包含与排除同学们对这个题目可能很陌生，为了搞清楚什么是“包含与排除”，大家先一起回答两个问题：(1) 两个面积都是4厘米2的正方形摆在桌面上(见左下图)，它们遮盖住桌面的面积是8厘米2吗？(2)一个正方形每条边上有6个点(见右上图)，四条边上一共有24个点吗？聪明的同学马上就会发现：(1)两个正方形的面积和是8厘米2，现在它们有一部分重叠了。

因此盖住桌面的面积应当从两个正方形的面积和中减去重叠的这部分面积，所以盖住桌面的面积应少于8厘米2。

(2)四个角上的点每个点都在两条边上，因此被重复计算了，在求四条边上共有多少点时，应当减去重复计算的点，所以共有 6×4-4＝ 20(个)点。

这两个问题，在计算时，都采用了“去掉”重复的数值(面积或个数)的方法。

一般地，若已知A，B，C三部分的数量(见右图)，其中C为A，B的重复部分，则图中的数量就等于A＋ B- C。

因为A，B有互相包含(重复)的部分C，所以，在求A和B合在一起的数量时，就要在A＋B中减去A和B互相包含的部分C。

这种方法称为包含排除法。

实际上，我们前面已经遇到过包含与排除的问题。

如，第10讲“植树问题”的例3和例4，只不过那时我们没有明确提出“包含排除法”。

例1 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条。

已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？解：因为焊接部分为两根铁条的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长38＋ 53- 4＝ 87(厘米)。

例2某小学三年级四班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加。

这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？分析与解：如上页左下图所示，A圆表示参加语文兴趣小组的人，B圆表示参加数学兴趣小组的人，A与B重合的部分(阴影部分)表示同时参加两个小组的人。

图中A圆不含阴影的部分表示只参加语文兴趣小组未参加数学兴趣小组的人，有28-12＝16(人)；图中B圆不含阴影的部分表示只参加数学兴趣小组未参加语文兴趣小组的人，有29-12＝17(人)(见上页右下图)。

五年级奥数：包含与排除五年级奥数：包含与排除1、某班有40名学生，其中有15人参加数学小组，18人参加航模小组，有10人两个小组都参加。

那么有多少人两个小组都不参加？解：两个小组共有（15+18）-10=23（人），都不参加的有40-23=17（人）答：有17人两个小组都不参加。

解：45-29-10+3=9（人）答：语文成绩得满分的有9人。

解：4的倍数有50/4商12个，6的倍数有50/6商8个，既是4又是6的倍数有50/12商4个。

4的倍数向后转人数=12，6的倍数向后转共8人，其中4人向后，4人从后转回。

面向老师的人数=50-12=38（人）答：现在面向老师的同学还有38名。

解：2的倍数有100/2商50个，3的倍数有100/3商33个，2和3人倍数有100/6商16个。

领2支的共准备（50-16）*2=68，领3支的共准备（33-16）*3=51，重复领的共准备16*（2+3）=80，其余准备100-（50+33-16）*1=33共需要68+51+80+33=232（支）答：游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有232支。

5、有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断。

问绳子共被剪成了多少段？解：3厘米的记号：180/3=60，最后到头了不划，60-1=59个4厘米记号：180/4=45，45-1=44个，重复的记号：180/12=15，15-1=14个，所以绳子中间实际有记号59+44-14=89个。

剪89次，变成89+1=90段答：绳子共被剪成了90段。

解：1，2，3，4，5年级共有16，1，2，3，4，6年级共有15，5，6年级共有25所以总共有（16+15+25）/2=28（幅），1，2，3，4年级共有28-25=3（幅）答：其他年级的画共有3幅。

7、有若干卡片，每张卡片上写着一个数，它是3的倍数或4的倍数，其中标有3的倍数的卡片占2/3，标有4的倍数的卡片占3/4，标有12的倍数的卡片有15张。

奥数的问题之包含与排除
小学生想要学好数学，做题是最好的办法，但想要奏效，还得靠自己的积累。

多做些典型题，并记住一些题的解题方法。

以下是小学频道为大家提供的二年级奥数合集的问题之包含与排除，供大家复习时使用！
二年级甲班有48人，无弟弟的有38人，有弟弟无妹妹的有8人，无弟弟有妹妹的人数是有弟弟的人数的2倍，既无弟弟又无妹妹的有( )人.
解答：
34人
【分析】有弟弟的`有48-38=10(人)，既有弟弟又有妹妹的有10-8=2(人)，单有妹妹的有2×2=4(人)，单有弟弟的有8人，既无弟弟又无妹妹的有48-2-4-8=34(人)
科学的学习方法和合理的复习资料能帮助大家更好的学好数学这门课程。

希望为大家准备的二年级奥数合集的问题之包含与排除，对大家有所帮助！
【奥数合集的问题之包含与排除】。

包含与排除（二）在日常生活中，我们需要把具有相同性质的对象放在一起考虑，并且给它一个总称。

如钢笔、铅笔、本、橡皮……总称为文具；西红柿、黄瓜、土豆、白菜……总称为蔬菜；苹果、香蕉、梨……总称为水果等等。

在数学里，我们把具有某种相同性质的对象放在一起考虑，这些相同性质的对象便组成了一个“集合”，每个集合总是由一些成员组成的，集合中的这些成员叫做这个集合的元素。

名词解释：（1）由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 、B 的并集（又叫A 与B 的和）。

记作B A ⋃，记号“⋃”读作“并”，B A ⋃读作“A 并B ”。

（2）A 、B 两个集合公共的元素，也就是那些既属于A ，又属于B 的元素，它们所组成的集合叫做A 和B 的交集，记作“B A ⋂”，记号“⋂”读作“交”，B A ⋂读作“A 交B ”。

下面我们就利用“集合”的知识来解决有关“包含与排除”问题。

（一）典型例题例1. 六一班同学参加数学小组和作文小组，其中参加数学小组的有16人，参加作文小组的有20人，两组都参加的有5人，六一班参加数学小组或作文小组的一共有多少人？ 分析与解：参加数学小组的可以看成集合|A|，参加作文小组的可以看成是集合|B|，两组都参加的可以看成||B A ⋂，问题是求参加数学小组或作文小组的一共有多少人，也就是把集合|A|和集合|B|合并在一起，即||B A ⋃3152016=-+（人）根据上面列式，我们可以得出：||||||||B A B A B A ⋃=⋂-+答：参加数学小组或作文小组的一共有31人。

例2. 求1～20的自然数中2的倍数或3的倍数的个数。

分析与解：（1）1～20的自然数中2的倍数用集合A 表示A={2，4，6，8，10，12，14，16，18，20}|A|=10（2）1～20的自然数中3的倍数用集合B 表示B={3，6，9，12，15，18}|B|=6（3）既是2的倍数又是3的倍数，也就是B A ⋂}18,12,6{=⋂B A3||=⋂B A（4）||||||||B A B A B A ⋂-+=⋃133610=-+= 答：1～20的自然数中2的倍数或3的倍数一共有13个。

“包含与排除” 学生姓名授课日期 教师姓名授课时长包含与排除是小学奥数中一个非常重要的知识点，很多杯赛和小升初选拔考试中都会有相关考察内容，是考察学生逻辑思维能力，以及理解利用新知识的一个非常重要的方面，其中容斥原理更是最关键的点，而且与数论和几何的综合性题目是历年考察的重点。

一、容斥原理公式1、若已知A 、B 、C 三部分的数量（如图），其中C 为重复部分，则图中的数量等于A+B-C. 即：A ∪B=A+B- A ∩B ，其中A ∩B=C.2、若已知A 、B 、C 三部分的数量（如图）， 则图中的数量等于A+B+C-（A 与B 重叠部分+ B 与C 重叠部分+ C 与A 重叠部分）+A 、B 、C 三者重叠的部分.即：A ∪B ∪C=A+B+C-（A ∩B+B ∩C+C ∩A ）+ A ∩B ∩C.以上概念中符号解释：“∪”表示并集，“A ∪B ”表示A 并B ，通俗的讲表示所有或属于A 、或属于B 的元素的数量（集合），“A ∪B ∪C ” 通俗的讲表示所有或属于A 、或属于B 、或属于C 的元素数量.“∩”表示交集，“A ∪B ”表示A 交B ，通俗的讲表示所有即属于A 、又属于B 的元素的数量（集合），“A ∩B ∩C ”通俗的讲表示所有即属于A ，又属于B ，还属于C 的元素数量C B A C B A【试题来源】【题目】某小学三年级四班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加。

这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？【试题来源】【题目】在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片（如图，三个圆等大），它们的面积都是100cm2，并知A、B两圆重叠的面积是20cm2，A、C两圆重叠的面积为45cm2，B、C两圆重叠的面积为31cm2,三个圆共同重叠的面积为15cm2，求盖住桌子的总面积。

【试题来源】【题目】东方大学有外语老师120名，其中教英语的有50名，教日语的45名，教法语的有40名，有15名教师既教英语又教日语，有10名教师既教英语又教法语，有8名教师既教日语又教法语，有4名教师会教英语、日语和法语三门课，求不教这三门课的外教有多少名？【试题来源】【题目】五年级三班有46名学生参加三项课外活动，其中24人参加了绘画小组，20人参加了合唱小组，参加朗诵小组的人数是既参加绘画小组又参加朗诵小组人数的3.5倍，又是三项活动都参加人数的7倍，既参加朗诵小组又参加合唱小组的人数相当于三项都参加人数的2倍，既参加绘画小组又参加合唱小组的有10人，求参加朗诵小组的人数。