初中数学最新-七年级数学两个三角形全等的条件 精品

判定两个三角形全等的常用思路【题型1已知两边找另一边，用SSS 】 1【题型2已知两边找夹角，用SAS 】 4【题型3一直角边一斜边用HL 】 7【题型4已知边为角的对边找任一角，用AAS 】 11【题型5已知边为角的邻边找夹角的另一边，用SAS 】 14【题型6已知边为角的邻边找夹边的另一角，用ASA 】 18【题型7已知边为角的邻边找边的对角，用AAS 】 21【题型8已知两角找夹边，用ASA 】 26【题型9已知两角找任一角的对边，用AAS 】29知识点：判定两个三角形全等的常用思路已知两边一直角边一斜边-HL 找夹角-SAS 找另一边-SSS 已知一边一角边为角的对边-找任一角-AAS 边为角的邻边找夹角的另一边-SAS 找夹边的另一角-ASA 找边的对角-AAS已知两角找夹边-ASA 找任一角的对边-AAS 【题型1已知两边找另一边，用SSS 】1.(23-24八年级·浙江宁波·期末)如图所示，已知AB =DC ，AE =DF ，EC =BF ，且B ，F ，E ，C 在同一条直线上．(1)求证：AB ∥CD ；(2)若BC =11，EF =7，求BE 的长度．【(1)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和与差．熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行线的判定，线段的和与差是解题的关键．(1)证明△ABE ≌△DCF SSS ，则∠B =∠C ，进而可证AB ∥CD ；(2)由题意得，EC +BF =BC -EF =4，由EC =BF ，可得EC =BF =2，根据BE =EF +BF ，计算求解即可．【详解】(1)证明：∵EC =BF ，∴EC +EF =BF +EF ，即CF =BE ，∵AB =DC ，AE =DF ，BE =CF ，∴△ABE ≌△DCF SSS ，∴∠B =∠C ，∴AB ∥CD ；(2)解：∵BC =11，EF =7，∴EC +BF =BC -EF =4，∵EC =BF ，∴EC =BF =2，∴BE =EF +BF =7+2=9，∴BE 的长度为9．2.(23-24八年级·湖北武汉·阶段练习)已知BE =CD ，BD =CE ，求证：∠B =∠C．【答案】证明见详解；【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，连接DE ，根据边边边判定证明△BDE ≌△CED 即可得到答案；【详解】证明：连接DE ，在△BDE 与△CED 中，∵BE =CDBD =CE DE =ED，∴△BDE ≌△CED (SSS )，∴∠B =∠C ．3.(23-24·吉林白城·一模)如图，点E 、F 在BD 上，且AB =CD ,BF =DE ,AE =CF ，求证：∠AEO =∠CFO．【答案】见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据BF=DE，得BE=DF，利用SSS证△ABE≌△CDF，再利用全等三角形性质即可证明结论，明解题的关键是学会利用全等三角形解决问题．【详解】证明：∵BF=DE，∴BF-EF=DE-EF，即BE=DF，在△ABE和△DFC中，AB=CD BE=DF AE=CF，∴△ABE≌△CDF SSS，∴∠AEB=∠CFD，∴∠AEO=∠CFO．4.(23-24八年级·湖北武汉·阶段练习)如图，AB=AC，BO=CO，求证：∠ADC=∠AEB．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，连接OA，证明△AOB≌△AOC SSS得出∠B=∠C，再由三角形外角的定义及性质即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】证明：如图，连接OA，在△AOB和△AOC中，AB=ACOB=OCOA=OA，∴△AOB≌△AOC SSS，∴∠B=∠C，∵∠DOB=∠EOC，∴∠B+∠DOB=∠C+∠EOC，∴∠ADC=∠AEB．【题型2已知两边找夹角，用SAS】5.(23-24八年级·陕西榆林·期末)如图，在四边形ADBC中，AC∥BD，AC=BD，E，F分别是对角线AB上两点，且AE=BF，连接DE，CF．试说明：(1)CF∥DE；(2)∠BCF=∠ADE．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．(1)由SAS证明△ACF≌△BDE即可；(2)由SAS证明△BFC≌△AED即可．【详解】(1)解：因为AE=BF，即AE+EF=BF+EF，所以AF=BE，因为AC∥BD．所以∠CAF=∠DBE，在△ACF和△BDE中，AC=BD，∠CAF=∠DBE，AF=BE，所以△ACF≌△BDE SAS，所以∠AFC=∠BED，DE=CF，所以CF∥DE．(2)解：因为∠AFC=∠BED，所以∠BFC=∠AED，在△BFC和△AED中，BF=AE,∠BFC=∠AED, CF=DE,所以△BFC≌△AED SAS，所以∠BCF=∠ADE．M 在BC 的延长线上，CE 平分∠ACM ，且AC =CE ．连接BE 交AC 于F ，G 为边CE 上一点，满足CG =CF ，连接DG 交BE 于H．(1)∠BAC 与∠DEC 相等吗？为什么？(2)求∠DHF 的度数．【答案】(1)相等，理由见解析(2)60°【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理的应用：(1)先求出∠DCE =12∠ACM =60°，再证△BAC ≌△DEC SAS ，可得∠BAC =∠DEC ；(2)先证△CDG ≌△CBF SAS ，推出∠CDG =∠CBF ，结合∠DFH =∠BFC ，可得∠DHF =∠FCB =60°．【详解】(1)解：∠BAC 与∠DEC 相等，理由如下：∵∠ACB =60°，CE 平分∠ACM ，∴∠DCE =12∠ACM =12180°-∠ACB =12=180°-∠60° =60°，在△BAC 与△DEC 中，BC =DC∠BCA =∠DCE =60°AC =EC，∴△BAC ≌△DEC SAS ，∴∠BAC =∠DEC ；(2)解：在△CDG 与△CBF 中，CD =CB∠DCG =∠BCF =60°CG =CF，∴△CDG ≌△CBF SAS ，∴∠CDG =∠CBF ，又∵∠DFH =∠BFC ，∴∠DHF =∠FCB =60°．7.(23-24八年级·吉林·期中)如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =80°，点D 在BC 边上，连接AD ，将AD 绕点A 逆时针旋转80°得到线段AE ，连接CE ．求证：BD =CE ．【答案】证明见解析．【分析】本题考查了图形的旋转全等三角形的判定与性质，由旋转性质可知AD=AE，∠DAE=80°，则∠BAD=∠CAE，证明△BAD≌△CAE SAS即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【详解】证明：由旋转性质可知AD=AE，∠DAE=80°，∴∠BAC=∠DAE=80°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，AB=AC∠BAD=∠CAE AD=AE，∴△BAD≌△CAE SAS，∴BD=CE．8.(23-24八年级·陕西汉中·期末)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,CE⊥AB于点E,AD与CE交于点F，连接BF，延长AD到点G，使得AG=BC，连接BG,CF=AB．【问题解决】(1)试说明：△ABG≌△CFB；【问题探究】(2)BF与BG垂直吗？请说明理由．【答案】(1)见解析；(2)BF与BG垂直，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，三角形的内角和定理．(1)根据AD⊥BC得出∠BAG+∠ABD=90°，根据CE⊥AB得出∠BCF+∠ABD=90°，即可推出∠BAG=∠BCF，最后即可根据SAS得出△ABG≌△CFB；(2)根据垂直的定义得出∠G+∠DBG=90°，根据全等三角形的性质得出∠G=∠CBF，则∠CBF+∠DBG=90°，即可得出结论．【详解】(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，则∠BAG+∠ABD=90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，则∠BCF+∠ABD=90°，在△ABG 和△CFB 中，AG =BC∠BAG =∠BCF CF =AB，∴△ABG ≌△CFB SAS ．(2)解：BF 与BG 垂直，理由如下：∵AD ⊥BC ，∴∠BDG =90°，则∠G +∠DBG =90°，由(1)可得：△ABG ≌△CFB SAS ，∴∠G =∠CBF ，∴∠CBF +∠DBG =90°，即∠GBF =90°，∴BF ⊥BG ．【题型3一直角边一斜边用HL 】9.(23-24八年级·河南平顶山·期末)在△ABC 和△A B C 中，∠B =∠B ，AB =A B =6，AC =A C =4，若边BC 和B C 上的高都是3，∠C =n °，则∠C =．【答案】n °或180°-n °【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．过A 作AD ⊥BC 于点D ，过A 作A D ⊥B C 于点D ，可得AD =A D =3，分四种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．【详解】解：过A 作AD ⊥BC 于点D，过A 作A D ⊥B C 于点D ，∵边BC 和B C 上的高都是3，∴AD =A D =3，当B 、C 在点D 的两侧，B 、C 在点D 的两侧时，如图，∵AD =A D =3，AC =A C =4，∴Rt △ACD ≌Rt △A C D HL ，∴∠C =∠C =n °；当B 、C 在点D 的同侧，B 、C 在点D 的同侧时，如图，同理可得：∠A C D =∠ACD ，∠A C B =∠ACB =n °；∵AD =A D =3，AC =A C =4，∴Rt △ACD ≌Rt △A C D HL ，∴∠A C D =∠C =n °，即∠A C B =180°-∠A C D =180°-n °；当B 、C 在点D 的同侧，B 、C 在点D 的两侧时，如图，同理可得：∠C =∠ACD =180°-∠ACB =180°-n °；综上，∠C 的值为n °或180°-n °．故答案为：n °或180°-n °．10.(23-24八年级·四川甘孜·期末)如图，已知∠C =∠F =90°，∠A =51°，AC =DF ，AE =DB ，BC 与EF 交于点O ．(1)求证：△ABC ≌△DEF ．(2)求∠BOF ．【答案】(1)证明见解析(2)78°【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形外角的性质，(1)根据HL 证明两个三角形全等即可；(2)根据三角形全等的性质和三角形外角的性质可得结论；解题的关键是掌握三角形全等的判定．【详解】(1)证明：∵AE =DB ，∴AE +EB =DB +EB ，即AB =DE ，∵∠C =∠F =90°，在Rt △ACB 和Rt △DFE 中，AC =DF AB =DE ，∴Rt△ABC≌Rt△DEF HL；(2)解：∵∠C=90°，∠A=51°，∴∠ABC=90°-∠A=90°-51°=39°，由(1)知：Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠ABC=∠DEF，∴∠DEF=39°，∴∠BOF=∠ABC+∠BEF=39°+39°=78°，∴∠BOF的度数为78°．11.(23-24八年级·重庆北碚·期末)如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，点F、G分别为AC、AB上的一点，接GF并延长交BD延长线于点E，若EF=AB，DF=DB，∠C+∠2=180°，求证：CB⊥AB．证明：∵BD⊥AC∴∠EDF=∠ADB=90°在Rt△EDF和Rt△ADB中，____①____ DF=DB∴Rt△EDF≌Rt△ADB(②)∴∠E=∠A在△ABD中∵∠A+∠1+∠ADB=180°(③)∴∠A+∠1=90°∴④+∠1=90°∴∠AGE=∠E+∠1=90°∵∠C+∠2=180°∴⑤(⑥)∴∠ABC=∠AGE=90°∴CB⊥AB【答案】EF=AB；HL；三角形的内角和定理，∠E；EG∥BC；同旁内角互补，两直线平行．【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂线的定义，灵活运用平行线的判定和性质得出角的关系式解题的关键．根据全等三角形的判定及性质，平行线的判定及性质以及垂线定义判断求解即可．【详解】解：证明：∵BD⊥AC ∴∠EDF=∠ADB=90°在Rt△EDF和Rt△ADB中，EF=AB DF=DB∴Rt△EDF≌Rt△ADB(HL)∴∠E=∠A在△ABD中∵∠A+∠1+∠ADB=180°(三角形的内角和定理)∴∠A+∠1=90°∴∠E+∠1=90°∴∠AGE=∠E+∠1=90°∵∠C+∠2=180°∴EG∥BC(同旁内角互补，两直线平行)∴∠ABC=∠AGE=90°∴CB⊥AB故答案为：EF=AB；HL；三角形的内角和定理，∠E；EG∥BC；同旁内角互补，两直线平行．12.(23-24八年级·重庆·期中)如图，△ABC中，∠C=90°,AC=16cm,BC=8cm，过点A作AM⊥AC，点P，Q分别在线段AC和射线AM上移动．若PQ=AB，则当AP=时，△ABC和△APQ全等．【答案】8cm或16cm【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论，以免漏解．分情况讨论：①AP=BC=8cm时，Rt△ABC≌Rt△QP A HL；②当P运动到与C点重合时，Rt△ABC≌Rt△PQA HL，此时AP=AC=16cm．【详解】解：①当P运动到AP=BC时，如图所示：在Rt△ABC和Rt△QP A中，BC=P A AB=QP，∴Rt△ABC≌Rt△QP A HL，即AP=BC=8cm；②当P运动到与C点重合时，如图所示：在Rt△ABC和Rt△PQA中，AC=P A AB=QP，∴Rt△ABC≌Rt△PQA HL，即AP=AC=16cm．综上所述，AP的长度是8cm或16cm．故答案为：8cm或16cm．【题型4已知边为角的对边找任一角，用AAS】13.(23-24八年级·河北唐山·期中)如图，在△ABC和△CDE中，点B，C，E在同一条直线上，∠B=∠E=∠ACD，AC=CD，若AB=2，BE=6，则DE的长为()A.8B.6C.4D.2【答案】C【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据三角形内角和定理，证明△ABC≌△CED AAS，由DE =BC=BE-AB即可求出结果．【详解】解：∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，∠B=∠E=∠ACD，∵∠ACD+∠ACB+∠DCE=180°，∴∠BAC=∠DCE，在△ABC和△CED中，∠BAC=∠DCE ∠B=∠EAC=CD，∴△ABC≌△CED AAS，∴BC=DE,AB=CE，∵AB=2，BE=6，∴DE=BC=BE-CE=BE-AB=6-2=4，故选：C．14.(23-24八年级·广东惠州·期中)如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，点E是BC的中点，DE⊥AB于点F，且AB=DE．(1)求证：△ACB≌△EBD；(2)若DB=12．①求AC的长；②求△DCE的面积．【答案】(1)见解析(2)①6；②36【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．(1)由题意知，∠ABC+∠ABD=90°，∠ABD+∠EDB=90°，则∠ABC=∠EDB，证明△ACB≌△EBD AAS；(2)①由题意知，CE=BE=12BC，由△ACB≌△EBD AAS，可得AC=BE=12BC=12BD，计算求解即可；②根据S△DCE=12CE×BD，计算求解即可．【详解】(1)证明：∵∠DBC=90°，∴∠ABC+∠ABD=90°，∵DE⊥AB，∴∠DFB=90°，即∠ABD+∠EDB=90°，∴∠ABC =∠EDB ，∵∠ACB =∠EBD ，∠ABC =∠EDB ，AB =DE ，∴△ACB ≌△EBD AAS ；(2)①解：∵点E 是BC 的中点，∴CE =BE =12BC ，由(1)可知，△ACB ≌△EBD AAS ，∴AC =BE ,BC =BD ，∴AC =BE =12BC =12BD =6，∴AC 的长为6；②解：由题意知，S △DCE =12CE ×BD =12×6×12=36，∴△DCE 的面积为36．15.(23-24·四川达州·模拟预测)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D =90°，BE ⊥AF 于点E ，AD =BE ，求证△BEA ≌△ADF ．【答案】见解析【分析】本题主要考查全等三角形的判定以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据题意证明∠ABE =∠FAD ，根据AAS 即可得到答案．【详解】证明：∵AB ∥CD ，∴∠DAB +∠D =180°，∵∠D =90°，∴∠DAB =90°，∵BE ⊥AF ，∴∠AEB =90°，∴∠ABE =90°-∠BAE =∠FAD ，在△BEA 和△ADF 中，∠ABE =∠FAD∠AEB =∠D =90°BE =AD，∴△BEA ≌△ADF (AAS )．16.(23-24八年级·山西太原·阶段练习)如图，教学楼与操场上的旗杆相距19m ，小林同学从教学楼B 点沿BD=90°，旗杆CD 的高为7m ，小林同学行走的速度为0.5m/s ．(1)请你求出教学楼AB 的高度；(2)小林从P 点到达D 点还需要多长时间？【答案】(1)12m(2)24s【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键；(1)先证明∠CPD =∠P AB ，再结合CP =AP ，即可得到结论；(2)利用路程除以速度即可得到答案．【详解】(1)解：∵CP 和AP 的夹角为90°，∴∠APB +∠CPD =90°．∵∠ABD =90°，∴∠APB +∠P AB =90°，∴∠CPD =∠P AB ．在△CDP 和△PBA 中，∠CPD =∠P AB∠CDP =∠PBA CP =P A，∴△CDP ≌△PBA (AAS )，∴CD =PB ，PD =AB ．∵CD =7m ，∴PB =7m ．∵BD =19m ，∴PD =12m ，∴AB =12m ．答：教学楼AB 的高度为12m ．(2)12÷0.5=24(s )．答：小林从P 点到达D 点还需要24s ．【题型5已知边为角的邻边找夹角的另一边，用SAS 】17.(23-24八年级·广东深圳·期末)如图，△ABC 中，∠B =90°，以AC 为边向右下方作△ACD ，满足CA =AD ，点M 为BC 上一点，连接AM ,DM ，若∠BAM =12∠CAD ，BM =65，CM =135，则DM =．【答案】5【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．延长CB 到E ，使BE =BM ，连接AE ，先证明△ABE ≌△ABM SAS ，得到∠BAE =∠BAM ，AE =AM ，再证明△EAC ≌△MAD SAS ，得到EC =DM ，即可由DM =EB +BM +CM =2BM +CM ，进而即可求解．【详解】解：延长CB 到E ，使BE =BM ，连接AE ，如图，∵BE =BM ，∠ABE =∠ABM =90°，AB =AB ，∴△ABE ≌△ABM SAS ，∴∠BAE =∠BAM ，AE =AM ，∴∠BAM =12∠EAM ，∵∠BAM =12∠CAD ，∴∠EAM =∠CAD ，∴∠EAM +∠CAM =∠CAD +∠CAM ，∴∠EAC =∠MAD ，在△EAC 与△MAD 中，AE =AM∠EAC =∠MAD AC =AD，∴△EAC ≌△MAD SAS ，∴EC =DM ，∴DM =EB +BM +CM =2BM +CM =2×65+135=5．故答案为：5．18.(23-24八年级·江苏苏州·期末)如图，在△ABC 中，D为AC 中点，F 为AB 边上一点，连接FD ，并延长FD 至点E ，使得ED =DF ，连接CE ．(1)求证：△CDE≌△ADF；(2)若EF∥BC，∠A=60°，∠E=50°，求∠BCD的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)∠BCD=70°．【分析】(1)由D为AC中点得AD=CD，然后用“SAS”证明即可；(2)由△CDE≌△ADF，得∠A=∠DCE=60°，三角形的内角和得∠CDE=70°，最后由平行线的性质即可求解；本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的内角和，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】(1)证明：∵D为AC中点，∴AD=CD，在△CDE和△ADF中，AD=CD∠ADF=∠CDE DF=DE，∴△CDE≌△ADF SAS；(2)由(1)得：△CDE≌△ADF，∴∠A=∠DCE=60°，∵∠CDE+∠E+∠DCE=180°，∠E=50°，∴∠CDE=70°，∵EF∥BC，∴∠BCD=∠CDE=70°．19.(23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习)已知，AB=AC，BD=CE．(1)如图1，求证：∠B=∠C；(2)如图2，BE与CD相交于点O，若∠A=36°，∠B=30°，求∠DOB的度数．【答案】(1)证明见解析(2)84°【分析】本题考查三角形全等的判定与性质、三角形外角性质及三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．(1)利用三角形全等判定与性质，证得△ABE≌△ACD SAS，即可得证∠B=∠C；(2)利用全等三角形性质得到∠C=∠B=30°，再由三角形外角性质与三角形内角和定理数形结合即可得到答案．【详解】(1)证明：∵AB=AC，BD=CE，∴AD=AE，在△ABE和△ACD中，AD=AE ∠A=∠A AB=AC∴△ABE≌△ACD SAS，∴∠B=∠C；(2)解：由(1)知，∠C=∠B=30°，在△ACD中，∠BDC是其外角，则∠BDC=∠A+∠C=36°+30°=66°，∴在△BOD中，∠DOB=180°-∠B-∠BDO=180°-30°-66°=84°．20.(23-24八年级·江西吉安·阶段练习)如图，某游乐园有两个滑梯BC与EF，滑梯BC的高AC与滑梯EF水平方向DF的长度相等，且BD的长度等于长方形ADEG周长的一半．(1)两个滑梯BC与EF的长度是否相等？并说明理由．(2)若∠BCD=90°，试说明CD∥EF．【答案】(1)相等，理由见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的应用；确定两角的大小关系，通常可证明这两角所在的三角形全等，根据对应角相等进行判定．(1)根据BD的长度等于长方形ADEG周长的一半，得出AB=DE，证明△ABC≌△DEF，即可证明；(2)根据全等三角形的性质得出∠B=∠DEF，结合∠B+∠BDC=90°，得出∠DEF+∠BDC=90°，证出∠BDC=∠F，即可证明；【详解】(1)解：BC=EF．理由：∵BD的长度等于长方形ADEG周长的一半，BD=AD+AB∴BD=AD+DE，∴AB=DE．在△ABC 和△DEF 中，AB =DE∠BAC =∠EDF =90°AC =DF，∴△ABC ≌△DEF SAS ，∴BC =EF ．(2)∵∠BCD =90°，∴∠B +∠BDC =90°．∵△ABC ≌△DEF ，∴∠B =∠DEF ，∴∠DEF +∠BDC =90°．∵∠DEF +∠F =90°，∴∠BDC =∠F ，∴CD ∥EF ．【题型6已知边为角的邻边找夹边的另一角，用ASA 】21.(23-24·四川达州·模拟预测)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D =90°，BE ⊥AF 于点E ，AD =BE ，求证△BEA ≌△ADF．【答案】见解析【分析】本题主要考查全等三角形的判定以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据题意证明∠ABE =∠FAD ，根据AAS 即可得到答案．【详解】证明：∵AB ∥CD ，∴∠DAB +∠D =180°，∵∠D =90°，∴∠DAB =90°，∵BE ⊥AF ，∴∠AEB =90°，∴∠ABE =90°-∠BAE =∠FAD ，在△BEA 和△ADF 中，∠ABE =∠FAD∠AEB =∠D =90°BE =AD，∴△BEA ≌△ADF (AAS )．22.(23-24·吉林松原·模拟预测)如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，EF ⊥AB 于点F ，AE =CB ．求证：△AEF ≌△CBD．【答案】见解析【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据题意，利用AAS 证明即可．【详解】证明：在Rt △ABC 中，∠B +∠A =90°．∵DC ⊥AB ，∴∠B +∠BCD =90°．∴∠A =∠BCD ．∵EF ⊥AB ，∴∠EFA =∠BDC =90°．在△AEF 和△CBD 中，∠A =∠BCD∠EFA =∠BDC AE =CB，∴△AEF ≌△CBD (AAS )．23.(23-24八年级·浙江宁波·期末)如图，AD ,BE 是△ABC 的高线，AD 与BE 相交于点F ．若AD =BD =6，且△ACD 的面积为12，则AF 的长度为()A.1B.32C.2D.3【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．利用ASA 证明△ACD ≌△BFD ，得DF =DC ，再根据三角形面积可得CD 的长，从而可得答案．【详解】解：∵AD ，BE 是△ABC 的高线，∴∠ADB =∠ADC =∠AEB =90°，∵∠BFD =∠AFE ，∴∠DBF =∠CAD ，在△ACD和△BFD中，∠DBF=∠CAD BD=AD∠BDF=∠ADC，∴△ACD≌△BFD ASA，∴DF=DC，∵△ACD的面积为12，∴12×CD×6=12，∴CD=4，∴DF=4，∴AF=AD-DF=2，故选：C．24.(23-24八年级·重庆大渡口·阶段练习)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点C作CE∥AB，连接AE．(1)基本尺规作图：作∠ABF=∠EAC，交线段AC于点F(保留作图疯迹)；(2)求证：BF=AE．解：∵CE∥AB，∴________∵∠BAC=90°∴∠ACE=180°-∠BAC=90°=∠BAF在△BAF和△ACE中__________BA=AC∠BAF=∠ACE∴△BAF≌△ACE ASA，∴BF=AE(_______)【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】(1)根据运用作相等角的作图方法画图即可；(2)根据平行线的性质可推出①及②，再根据全等三角形的判定定理和性质可得③④．【详解】(1)解：如图：∠BAF即为所求；(2)解：∵CE ∥AB∴∠BAC +∠ACE =180°(两直线平行，同旁内角互补)∵∠BAC =90°∴∠ACE =180°-∠BAC =90°=∠BAF在△BAF 和△ACE 中，∠ABF =∠EACBA =AC∠BAF =∠ACE∴△BAF ≌△ACE ASA∴BF =AE (全等三角形的对应边相等)．【题型7已知边为角的邻边找边的对角，用AAS 】25.(23-24八年级·湖北鄂州·期末)如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D．(1)求证：AE =CD ；(2)若AC =12cm ，求BD 的长．【答案】(1)见解析(2)6cm【分析】(1)证两条线段相等，通常用全等，本题中的AE 和CD 分别在△AEC 和△CDB 中，在这两个三角形中，已经有一组边相等，一组角相等了，因此只需再找一组角即可利用角角边进行解答．(2)由(1)得BD =EC =12BC =12AC ，且AC =12cm ，即可求出BD 的长．【详解】(1)∵DB ⊥BC ，CF ⊥AE ，∴∠DCB +∠D =∠DCB +∠AEC =90°．∴∠D =∠AEC ．∵∠D =∠AEC∠DBC =∠ECABC =AC∴△DBC ≌△ECA AAS ．∴AE =CD ．(2)∵△CDB ≌△AEC ，∴BD =CE ，∵AE 是BC 边上的中线，∴BD =EC =12BC =12AC ，且AC =12cm.∴BD =6cm ．【点睛】三角形全等的判定一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．26.(23-24八年级·江西吉安·阶段练习)将两个三角形纸板△ABC 和△DBE 按如图所示的方式摆放，连接DC ．已知∠DBA =∠CBE ，∠BDE =∠BAC ，AC =DE =DC ．(1)试说明△ABC ≌△DBE ．(2)若∠ACD =72°，求∠BED 的度数．【答案】(1)见解析(2)∠BED =36°【分析】(1)利用AAS 证明三角形全等即可；(2)全等三角形的性质，得到∠BED =∠BCA ，证明△DBC ≌△ABC SSS ，得到∠BCD =∠BCA =12∠ACD =36°，即可得解．【详解】(1)解：因为∠DBA =∠CBE ，所以∠DBA +∠ABE =∠CBE +∠ABE ，即∠DBE =∠ABC ．在△ABC 和△DBE 中，∠ABC=∠DBE∠BAC=∠BDEAC=DE，所以△ABC≌△DBE AAS．(2)因为△ABC≌△DBE，所以BD=BA，∠BCA=∠BED．在△DBC和△ABC中，DC=ACCB=CBBD=BA，所以△DBC≌△ABC SSS，所以∠BCD=∠BCA=12∠ACD=36°，所以∠BED=∠BCA=36°．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形全等．27.(23-24八年级·四川宜宾·期中)已知：如图，在△ABN和△ACM中，AB=AC,AD=AE,∠BAN=∠CAM．求证：(1)BD=CE；(2)△AEM≌△ADN．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了三角形的全等判定和性质，熟练掌握判定定理是解题的关键．(1)根据∠BAN=∠CAM得到∠1+∠MAN=∠2+∠MAN即∠1=∠2，证明△ACE≌△ABD SAS即可．(2)根据△ACE≌△ABD SAS得到∠ADB=∠AEC，结合∠ADB=∠MDO,∠AEC=∠NEO,∠MOD=∠NOE，得到180°-∠MDO-∠MOD=180°-∠NEO-∠NOE即∠M=∠N，证明即可．【详解】(1)∵∠BAN=∠CAM，∴∠1+∠MAN=∠2+∠MAN，∴∠1=∠2，∵AB=AC ∠1=∠2 AD=AE ，∴△ACE ≌△ABD SAS ，∴BD =CE ．(2)∵△ACE ≌△ABD SAS∴∠ADB =∠AEC ，∵∠ADB =∠MDO ,∠AEC =∠NEO ,∠MOD =∠NOE ，∴180°-∠MDO -∠MOD =180°-∠NEO -∠NOE ，∴∠M =∠N ，∵∠M =∠N∠MAE =∠NAD AE =AD，∴△AEM ≌△ADN AAS ．28.(23-24·黑龙江哈尔滨·一模)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =90°,AD ∥BC ,DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE =AC．(1)求证：△ABC ≌△AFE ；(2)如图2，连接AG ，若∠ACB =30°，请直接写出图2中的三角形，使写出的每个三角形的面积是△BEG 面积的2倍．【答案】(1)见详解(2)△AEG ,△ACG ,△ACD ,△ADG ,△CDG【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及共高三角形面积比等于底之比，熟练掌握基本知识是解题的关键；(1)用AAS 即可证明△ABC ≌△AFE ；(2)先证明BA =BE ，则S △AEG =2S △BEG ，再证明△AEG ≌△ACG ，则S △ACG =2S △BEG ，由△ACG 与△CDG 同底等高，得S △GCD =2S △BEG ，再证明△ADC ≌△AGC ，则S △ACD =2S △BEG ，最后△ACG 与△CDG 同底等高，得S △ACG =S △GCD ，所以S △GCD =2S △BEG ．【详解】(1)证明：∵DE ⊥AC∴∠AFE =90°∵∠ABC =90°∴∠AFE =∠ABC∴在△ABC和△AFE中，∠ABC=∠AFE ∠BAC=∠FAE AC=AE，∴△ABC≌△AFE；(2)∵△ABC≌△AFE∴AB=AF，∵AG=AG，∴Rt△ABG≌Rt△AFG HL，∴∠1=∠2∵∠ACB=30°，∴∠1=∠2=12×60°=30°∵△ABC≌△AFE，AE=AC∴∠ACB=30°=∠E，∴∠1=∠E，∴GA=GE，∵∠ABC=90°，∴BA=BE，∴S△AEG=2S△BEG∵AG=AG∠1=∠2，AE=AC,∴△AEG≌△ACG，∴S△ACG=2S△BEG∵AD∥BC∴△ACG与△CDG同底等高，∴S△ACG=S△GCD,∴S△GCD=2S△BEG∵∠1=∠2=30°，∴∠DAC=30°，∴∠2=∠DAC=30°,∴∠ADG=∠AGD=60°，∴AD=AG，∵AC=AC，∴△ADC≌△AGC，∴S△ACD=2S△BEG，∵AD∥BC∴△ACD与△DAG同底等高，∴S=S，∴S△AGD=2S△BEG，∴△AEG,△ACG,△ACD,△ADG,△CDG的面积为△BEG面积的2倍．【题型8已知两角找夹边，用ASA】29.(23-24八年级·陕西西安·期末)如图，AB∥CD，BE平分∠ABC,BE⊥CE，下列结论∶①CE平分∠BCD；②AB+CD=AD；③CE·BE=S四边形ABCD；④AE=DE．其中正确的有()A.①③B.③④C.①③④D.②③④【答案】C【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，理解题意，结合图形求解是解题关键．根据平行线的性质及各角之间的等量代换得出∠DCE+∠ABE=90°，再由角平分线及等量代换可判断①；根据全等三角形的判定和性质可判断②和④；利用三角形面积的关系可判断③，即可得出结果．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD=180°∵BE⊥CE∴∠BEC=90°∴∠BCE+∠CBE=90°∴∠DCE+∠ABE=180°-∠BCE+∠CBE=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE∴∠BCE=∠DCE，∴CE平分∠BCD，故①正确；在BC上截取BF=BA，连接EF，在△FBE和△ABE中，BF=BA∠FBE=∠ABE BE=BE∴△FBE≅△ABE SAS∴FE=AE,∠FEB=∠AEB∵∠FEC+∠FEB=∠BEC=90°∴∠DEC+∠AEB=180°-∠BEC=90°∴∠FEC=∠DEC，在△FEC 和△DEC 中，∠FEC =∠DECCE =CE∠FCE =∠DCE∴△FEC ≅△DEC ASA∴CF =CD ,FE =DE∴AB +CD =FB +FC =BC ≠AD ，AE =DE ，故②不正确，④正确；∵S △FBE =S △ABE ,S △FEC =S △DEC∴S △FBE +S △ABE +S △FEC +S △DEC =S △BEC =S 四边形ABCD∴2S △BEC =2×12CE ×BE =CE ×BE ，∴CE ·BE =S 四边形ABCD ，故③正确；故选：C ．30.(23-24八年级·云南昭通·期末)如图，C ，F 为线段BE 上两点，AB ∥DE ，∠1=∠2，EF =BC ．求证：AF =DC ．【答案】见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，先由AB ∥DE 证明∠B =∠E ，再证EC =BF ，即可证明△AFB ≌△DCE ASA ，由此可得AF =DC ．【详解】证明：∵AB ∥DE ，∴∠B =∠E ，∵EF =BC ，∴EF +FC =BC +FC ，即EC =BF ，在△AFB 和△DCE 中，∠1=∠2BF =EC ∠B =∠E，∴△AFB ≌△DCE ASA ，∴AF =DC ．31.(23-24八年级·辽宁阜新·期末)如图，AC ⊥CF 于点C ，DF ⊥CF 于点F ，AB 与DE 交于点O ，且EC =BF ，∠OEB =∠OBE ．求证：AE =BD ．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先利用ASA证明△ACB≌△DFE ASA得到AC=DF，进而利用SAS证明△ACE≌△DFB，即可证明AE=DB．【详解】证明：∵AC⊥CF，DF⊥CF，∴∠ACB=∠DFE=90°．∵EC=BF，∴EC+EB=BF+EB，即CB=FE，又∵∠OEB=∠OBE，即∠ABC=∠DEF∴△ACB≌△DFE ASA，∴AC=DF，在△ACE与△DFB中，AC=DF∠ACE=∠DFB CE=FB，∴△ACE≌△DFB SAS，∴AE=DB．32.(23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末)在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点F．(1)如图1，连接AF，求证：∠BFC-∠BAF=90°(2)如图2，当∠A=60°时，若BE=4,CD=3，求BC的长．【答案】(1)见解析(2)7【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质：(1)在△BCF中，根据三角形内角和定理可得∠CBF+∠BCF=180°-∠BFC，再由角平分线的定义可得∠ABC+∠ACB=2∠CBF+2∠BCF=360°-2∠BFC，从而得到2∠BAF=2∠BFC-180°，即可解答；(2)连接AF，在BC上截取BG=BE=4，连接FG，由(1)得：∠BFC-∠BAF=90°，从而得到∠BFC=120°，∠DFC=∠BFE=60°，再证明△BEF≌△BGF，可得∠BFE=∠BFG=60°，从而得到∠CFG=∠CFD，可证明△FCG≌△FCD，从而得到CG=CD=3，即可求解．【详解】(1)证明：在△BCF中，∠CBF+∠BCF=180°-∠BFC，∵∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点F．∴∠ABC=2∠CBF,∠ACB=2∠BCF，∠BAC=2∠BAF，∴∠ABC+∠ACB=2∠CBF+2∠BCF=2∠CBF+∠BCF=360°-2∠BFC，∴∠BAC=180°-∠ABC+∠ACB=2∠BFC-180°，=180°-2∠CBF+∠BCF∴2∠BAF=2∠BFC-180°，∴∠BFC-∠BAF=90°；(2)解：如图，连接AF，在BC上截取BG=BE=4，连接FG，由(1)得：∠BFC-∠BAF=90°，∵∠BAC=60°，∠BAC=30°，∴∠BAF=12∴∠BFC=120°，∴∠DFC=∠BFE=60°，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠CBF，∵BF=BF，BG=BE，∴△BEF≌△BGF SAS，∴∠BFE=∠BFG=60°，∴∠CFG=∠BFC-∠BFG=60°，∴∠CFG=∠CFD，∵∠FCG=∠FCD,CF=CF，∴△FCG≌△FCD ASA，∴CG=CD=3，∴BC=BG+CG=7．【题型9已知两角找任一角的对边，用AAS】33.(23-24八年级·福建三明·期中)如图，在△ABC中，∠B=80°，将AB沿射线BC的方向平移至A B ，连接AA ，设A B 与AC的交点为O．(1)若B 为BC的中点，求证：△AOA ≌△COB ；(2)若AC平分∠BAA ，求∠C的度数．【答案】(1)见解析(2)50°【分析】本题主要考查几何变换，平移的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握和理解这些性质进行推理是解题的关键．(1)根据平移性质得到AA ∥BB ，AA =BB ，从而得到∠OAA =∠C，再根据B 为BC的中点，得到AA =B C，从而证明结论；(2)根据AC平分∠BAA ，得到∠BAC=∠OAA ，从而证明∠BAC=∠C．再根据三角形内角和定理以及∠B=80°，即可求解；【详解】(1)解：∵A B 由AB沿射线BC的方向平移所得，∴AA ∥BB ，AA =BB ，∴∠OAA =∠C，∵B 为BC的中点，∴BB =B C，∴AA =B C．在△AOA 和△COB 中，∠OAA =∠C∠AOA =∠COB AA =B C，∴△AOA ≌△COB (AAS)；(2)∵AC平分∠BAA ，∴∠BAC=∠OAA ，又∵∠OAA =∠C，∴∠BAC=∠C．∵∠BAC+∠C+∠B=180°，∠B=80°，∴∠C=180°-80°÷2=50°．34.(23-24·陕西西安·三模)如图，点B，F，C，E在一条直线上，点A，D在这条直线的两侧，已知∠B=∠E，∠BAC=∠EDF，BF=CE．求证：AC∥FD．【答案】见解析【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键：先推出BC=31【详解】证明：∵BF =CE ，∴BF +CF =CE +CF ，∴BC =EF ，在△ABC 和△DEF 中，∠BAC =∠EDF∠B =∠EBC =EF∴△ABC ≌△DEF AAS ，∴∠ACB =∠EFD ，∴AC ∥FD ．35.(23-24八年级·浙江金华·阶段练习)如图，在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，点A 、D 、B 、E 在同一直线上，∠C =∠F =90°，AD =BE ，∠A =∠E．(1)求证：Rt △ABC ≌Rt △EDF ；(2)当∠CBA =65°时，求∠E 的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)∠E =25°．【分析】(1)由AD =BE 可得AB =ED ，利用AAS 即可证明Rt △ABC ≌Rt △EDF ；(2)∠C =90°，∠CBA =65°可得∠A =∠E =25°，即可求解；本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】(1)证明：∵AD =BE ，∴AD +BD =BE +BD ，即AB =ED ，在Rt △ABC 和Rt △EDF 中，∠C =∠F =90°∠A =∠E AB =ED，∴Rt △ABC ≌Rt △EDF AAS ；(2)解：∵∠C =90°，∠CBA =65°，∴∠A =180°-90°-65°=25°，∵Rt △ABC ≌Rt △EDF∴∠E =∠A =25°．36.(23-24八年级·山东青岛·期末)已知，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC >∠BAC ．在∠ABC 内部作∠ABE =∠BAC ，BE 交AC 于点D ．将一个含有45°角的三角板FGH 如图放置，使直角边FH 与BE 重合，三角板FGH 沿EB 平移．32(1)如图1，当三角板FGH 的另一条直角边FG 过点A 时，试证明AF =BC ；(2)将三角板FGH 沿EB 平移至图2的位置，FG 与AB 交于点M ，过点M 作MN ⊥AC ，垂足为点N ，试判断线段MN ，MF ，BC 之间的关系．【答案】(1)见解析(2)MN +MF =BC【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到AD =BD ，根据全等三角形的性质即可得到结论；(2)过A 作AP ⊥FG 于P ，AQ ⊥BE 于Q ，则四边形APFQ 是矩形，根据矩形的性质得到AQ =PF ，AP ∥FQ ，根据平行线的性质得到∠P AM =∠ABF ，得到MN =MP ，由(1)知，AQ =BC ，等量代换得到PF =BC ，于是得到结论．【详解】(1)证明：∵∠ABE =∠BAC ，∴AD =BD ，在△ADF 与△BDC 中，∠AFD =∠C =90°∠ADF =∠BDC AD =BD，∴△ADF ≌△BDC AAS ，∴AF =BC ；(2)MN +MF =BC .理由：过A 作AP ⊥FG 于P ，AQ ⊥BE 于Q ，则四边形APFQ 是长方形AQ =PF ，AP ∥FQ ，∴∠P AM =∠ABF ，∵∠ABE =∠BAC ，∴∠MAN =∠P AM ，∵MN ⊥AC ，∴MN =MP ，由(1)知，AQ =BC ，∴PF =BC ，∵PF =FM +PM ，∴BC =FM +MN ．【点睛】本题考查了作图一平移变换，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．。

初中数学公式之全等三角形的判定最新初中数学公式之全等三角形的判定最新全等三角形的判定公式1边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等2 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等3 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等4 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等5斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等6 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等7 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上8角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合初中数学几何公式大全之全等三角形的判定公式，看过的同学请认真记忆了。

接下来还有更多更全的初中数学知识讯息尽在。

初中数学正方形定理公式关于正方形定理公式的内容精讲知识，希望同学们很好的掌握下面的内容。

正方形定理公式正方形的特征：①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。

希望上面对正方形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会取得很好的成绩的哦。

初中数学平行四边形定理公式同学们认真学习，下面是老师对数学中平行四边形定理公式的内容讲解。

平行四边形平行四边形的性质：①平行四边形的对边相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分；平行四边形的判定：①两组对角分别相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③对角线互相平分的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

上面对数学中平行四边形定理公式知识的讲解学习，同学们都能很好的掌握了吧，相信同学们会从中学习的更好的哦。

初中数学直角三角形定理公式下面是对直角三角形定理公式的内容讲解，希望给同学们的学习很好的帮助。

初中数学教案：三角形全等的判定教案一、教学目标：1. 让学生理解三角形全等的概念，掌握三角形全等的判定条件。

2. 培养学生运用全等三角形的性质解决实际问题的能力。

3. 培养学生的观察能力、动手能力和逻辑思维能力。

二、教学内容：1. 三角形全等的定义：如果两个三角形的所有对应边和对应角都相等，这两个三角形叫做全等三角形。

2. 三角形全等的判定条件：SSS（边-边-边）、SAS（边-角-边）、ASA （角-边-角）、AAS（角-角-边）。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角形全等的判定条件及其应用。

2. 教学难点：三角形全等判定条件的理解和运用。

四、教学方法：1. 采用直观演示法，让学生通过观察和动手操作，加深对三角形全等概念的理解。

2. 采用案例分析法，让学生通过分析实际案例，掌握三角形全等的判定条件。

3. 采用小组合作学习法，培养学生的团队合作精神和沟通能力。

五、教学步骤：1. 导入新课：通过复习已学的几何知识，引导学生进入三角形全等的新课学习。

2. 讲解三角形全等的定义和判定条件：详细讲解三角形全等的概念，以及SSS、SAS、ASA、AAS四种判定条件。

3. 案例分析：给出几个实际案例，让学生运用判定条件判断三角形是否全等。

4. 动手操作：让学生自行取材，进行三角形全等的实际操作，加深对全等三角形性质的理解。

5. 课堂练习：布置一些有关三角形全等的练习题，巩固所学知识。

6. 总结与反思：对本节课的内容进行总结，引导学生思考如何运用三角形全等的知识解决实际问题。

7. 作业布置：布置一些有关三角形全等的家庭作业，巩固所学知识。

8. 课后反思：对课堂教学进行反思，总结教学过程中的优点和不足，为下一步教学做好准备。

六、教学评价：1. 通过课堂提问、练习和作业，评价学生对三角形全等概念和判定条件的掌握程度。

2. 观察学生在动手操作和小组合作学习中的表现，评价其观察能力、动手能力和团队协作能力。

3. 结合学生的课堂表现和作业完成情况，对学生的学习态度和思维能力进行评价。

2021初中数学证明三角形全等方法总结在证明线段或角相等时，解题的关键往往是根据条件找到两个可能全等的三角形，再证明这两个三角形全等，最后得出结论.利用全等三角形的性质可以证明分别属于两个三角形中的线段或角相等．下面介绍证明三角形全等的几种方法，供同学们参考．一、利用公共角证明全等【例题 1】如图 1，已知 AB ＝ AC, AE ＝ AF，BF 交 CE 于点 O.图 1求证:∠ABF ＝∠ACE.分析：要证明∠ABF＝∠ACE，只需证明△BOE≌△COF 或△ABF≌△ACE. 而由图形可知∠A 是公共角，又由已知条件 AB ＝ AC, AE＝ AF, 所以△ABF≌△ACE（SAS），于是问题获证．证明：略.二、利用对顶角证明全等【例题 2】如图 2，点 B、E、F、D 在同一条直线上，AB ＝ CD，BE ＝DF，AE ＝ CF，连接 AC 交 BD 于点 O．图 2求证：AO ＝ CO．分析：要证明 AO＝CO，只需证明△AOE≌△COF 或△AOB≌△COD 即可．根据现有条件都无法直接证明．而由已知条件 AB ＝CD，BE ＝ DF, AE ＝ CF 可直接证明△ABE≌△CDF，则有∠AEB＝∠CFD，进而有∠AEO＝∠CFO，再利用对顶角相等即可证明△AOE≌△COF（AAS）于是问题获证．证明：略.三、利用公共边证明全等【例题 3】如图 3，已知 AB ＝ CD，AC ＝ BD．图 3求证：∠B ＝∠C．分析：设 AC 与 BD 交于点 O，此时∠B 与∠C 分别在△AOB 和△DOC 中，而用现有的已知条件是不可能直接证明这两个三角形全等的，需添加辅助线来构造另一对全等三角形．此时可以连接 AD，那么 AD 是△ABD 和△DCA 的公共边，这样可以证明△ABD≌△DCA（SSS），从而可证明∠B ＝∠C，于是问题获证．证明：略.四、利用相等线段中的公共部分证明全等【例题 4】如图 4，点 E、F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AF ＝ CE.图 4求证：BE∥DF.分析：要证明BE∥DF, 只需证明∠BEC ＝∠DFA，此时可以转换为证明∠AEB ＝∠CFD, 进而证明△AEB≌△CFD（SAS）. 而 AE = AF - EF , CF = CE - EF , 故 AE = CF .证明：∵ 在平行四边形 ABCD 中，∴ AB∥CD，AB = CD，∴∠BAE = ∠DCF，∵ AE = AF - EF , CF = CE - EF , AF ＝ CE，∴AE = CF，∴ △AEB ≌ △CFD（SAS），∴ ∠AEB ＝∠CFD,∴ ∠BEC ＝180° - ∠AEB = 180° - ∠CFD = ∠DFA，∴ BE∥DF.五、利用等角中的公共部分证明全等【例题 5】如图 5，已知∠E ＝30°，AB ＝ AD，AC ＝ AE，∠BAE＝∠DAC．图 5求：∠C 的度数．分析：已知∠E ＝30°，要求∠C，可考虑证明△ABC≌△ADE , 由∠BAE ＝∠DAC , 结合图形可知∠BAC ＝∠DAE，于是问题获解．证明：∵ ∠BAE＝∠DAC，∴ ∠BAE +∠EAC= ∠DAC +∠EAC，∴ ∠BAC ＝∠DAE，∵ AB ＝ AD，AC ＝ AE，∴ △ABC ≌ △ADE（SAS） ,∴ ∠C = ∠E = 30° .六、利用互余或互补角的性质证明全等【例题 6】如图 6，已知∠DCE ＝90°，∠DAC ＝90°，BE⊥AC 于点 B, 且DC ＝ EC, 能否找出与 AB + AD 相等的线段，并说明理由．图 6分析：由于 AC ＝ AB + BC，可以猜想 AC ＝ AB + AD，或 BE ＝AB + AD，此时只需证明 AD ＝ BC 即可．而事实上，用同角的余角相等可得到∠DCA ＝∠E，从而证明△ADC ≌ △BCE，问题获证．注意考点：同角或等角的余角相等.证明：∵ BE⊥AC，∴ ∠EBC = 90°，∵ ∠DCA +∠ACE= ∠DCE = 90°，∠E +∠ACE= 90°，∴ ∠DCA ＝∠E，∵ ∠DAC = ∠EBC = 90°，DC ＝ EC,∴ △ADC ≌ △BCE（AAS），∴ AC = BE , AD = BC，∴AB + AD= AB + BC = AC= BE.七、利用角平分线的性质构造全等三角形证明全等考点：角平分线上的点到角两边的距离相等【例题 7】如图 7，点 P 是∠ABC 的平分线 BN 上一点，PE 垂直 AB 所在的直线与 E , PF 垂直BC 所在的直线于F, ∠PAB + ∠PCB = 180°.图 7求证：PA = PC.证明：∵ BN 是∠EBC 的角平分线，PE⊥BA，PF⊥BC，∴ ∠PEA = ∠PFC = 90°，PE = PF ,∵ ∠PAB + ∠PAE = ∠PAB + ∠PCB = 180°，∴ ∠PAE = ∠PCF，∴ △PAE ≌ △PCF，∴ PA = PC.八、利用截长补短法构造全等三角形证明全等所谓截长法是指在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段，而补短法是指延长较短的线段等于较长的线段，通过截长补短可以把分散的条件相对集中起来，以便构造全等三角形。

初中数学如何判断两个外角平分线所分割的两个三角形是否全等在初中数学中，判断两个外角平分线所分割的两个三角形是否全等，可以使用以下方法：1. 观察两个外角平分线所分割的两个三角形的对应边是否相等。

如果两个外角平分线所分割的两个三角形的对应边分别相等，那么可以推断这两个三角形可能全等。

2. 观察两个外角平分线所分割的两个三角形的对应角是否相等。

如果两个外角平分线所分割的两个三角形的对应角分别相等，那么可以推断这两个三角形可能全等。

3. 使用全等性质进行证明。

如果观察两个外角平分线所分割的两个三角形的对应边和对应角都相等，那么可以使用全等性质来证明这两个三角形全等。

具体步骤如下：步骤一：观察两个外角平分线所分割的两个三角形的对应边是否相等。

检查这两个三角形的对应边是否一一对应相等。

如果两个外角平分线所分割的两个三角形的对应边分别相等，那么可以推断这两个三角形可能全等。

步骤二：观察两个外角平分线所分割的两个三角形的对应角是否相等。

检查这两个三角形的对应角是否一一对应相等。

如果两个外角平分线所分割的两个三角形的对应角分别相等，那么可以推断这两个三角形可能全等。

步骤三：使用全等性质进行证明。

如果观察两个外角平分线所分割的两个三角形的对应边和对应角都相等，那么可以使用全等性质来证明这两个三角形全等。

可以使用全等性质一（SSS：边-边-边）、全等性质二（SAS：边-角-边）或全等性质三（ASA：角-边-角）来进行证明。

需要注意的是，观察对应边和对应角是否相等只能给出可能全等的结论，而不是绝对的全等关系。

为了确保两个外角平分线所分割的两个三角形全等，需要进行证明。

初中数学如何利用等角定理证明两个三角形全等要利用等角定理证明两个三角形全等，我们需要找到两个三角形之间的等角关系，并使用其他全等三角形的性质进行推导。

下面我将详细介绍利用等角定理证明两个三角形全等的步骤和方法。

首先，让我们回顾一下两个三角形全等的条件：1. SSS（边-边-边）全等条件：两个三角形的三条边分别相等。

2. SAS（边-角-边）全等条件：两个三角形的两边和夹角分别相等。

3. ASA（角-边-角）全等条件：两个三角形的两个角和夹边分别相等。

现在，我们将利用等角定理来证明两个三角形全等的过程。

步骤1：观察两个三角形，找出它们之间的等角关系。

可以通过观察图形中的平行线、垂直线、等边等特征来找到等角关系。

步骤2：使用等角关系和其他已知的全等三角形条件，构建证明链。

这可能包括使用已知的全等三角形来证明其他角度或边相等，或者使用等角关系来推导出其余的全等条件。

步骤3：通过证明链，逐步证明两个三角形的所有对应角和对应边相等。

这样就可以根据全等条件（SSS、SAS或ASA）得出两个三角形全等的结论。

示例证明：假设有两个三角形ABC和DEF，我们想要证明它们全等。

以下是一个可能的证明过程：步骤1：观察图形，找到等角关系。

假设我们发现∠A = ∠D、∠B = ∠E和∠C = ∠F。

步骤2：使用等角关系和其他已知的全等三角形条件，构建证明链。

我们可以利用等角定理证明∠A = ∠D、∠B = ∠E和∠C = ∠F。

然后，我们可以使用已知的全等三角形条件来证明边的相等关系，例如AB = DE、BC = EF和AC = DF。

步骤3：通过证明链，逐步证明两个三角形的所有对应角和对应边相等。

根据等角定理和全等三角形条件，我们可以得出∠A = ∠D、∠B = ∠E、∠C = ∠F、AB = DE、BC = EF和AC = DF。

由于两个三角形的所有对应角和对应边都相等，根据SSS全等条件，我们可以得出三角形ABC全等于三角形DEF。

第十二章全等三角形全等三角形【知识与技能】1.了解全等形及全等三角形的概念.2.理解全等三角形的性质.【过程与方法】在图形变换以及操作的过程中开展学生的空间观念,培养学生的几何直觉.【情感态度】使学生在观察、发现生活中的全等形和实际操作中获得全等三角形的体验,在探索和运用全等三角形性质的过程中感受到数学的乐趣.【教学重点】探究全等三角形的性质.【教学难点】掌握两个全等形的对应边\,对应角.一、情境导入,初步认识问题1 观察以下列图形,指出其中形状与大小相同的图形.问题2 从上面的图形中你有什么感受?在实际生活中,你能找到形状、大小相同的图形的应用的例子么?二、思考探究，获取新知让学生交流问题1,问题2的答案,并带着问题“这些图形有什么共同特征？〞自学课本内容.【教学说明】变化的图形易引起学生的注意,使它们很快地投入到学习的情境中,并通过观察发现其中的共同特点,形成猜想.再结合自学课本,从而认识全等形、全等三角形的定义及记法.教师讲课前，先让学生完成“自主预习〞.思考1 把三角形平移、翻折、旋转后,什么发生了变化,什么没有变?思考2 全等三角形的对应边、对应角有什么关系?为什么?、旋转、翻折的不变性,让学生通过具体操作直观感知全等三角形的概念,然后让学生通过操作和观察,猜想并验证全等三角形的性质.利用根本三角形变换出各种图形,然后观察对应边、角的变化,利于提高学生的识图能力.思考1 得到的根本图案如图:【归纳结论】1.能够完全重合的两个图形叫做全等形,能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.“全等〞用“≌〞表示，读作“全等于〞.把两个全等的三角形重合在一起,重合的顶点叫做对应顶点,重合的边叫做对应边,重合的角叫对应角.2.全等三角形的对应边相等,对应角相等.三、运用新知，深化理解【教学说明】出示以下问题,让学生通过交流\,思考寻找问题的答案,并共同讨论:全等三角形的对应顶点\,对应边之间有什么关联.1.以下每对三角形分别全等,看看它们是怎样变化而成的,并指出对应边、对应角.2.两个全等的三角形按如下位置摆放,指出它们的对应顶点,对应角,对应边.3.如图,将△ABC沿直线BC平移,得到△DEF.(1)线段AB,DE是对应线段,有什么关系?线段AC和DF呢?(2)线段BE和CF有什么关系?为什么?(3)假设∠A=70°,∠B=40°,你知道其他各角的度数吗?为什么?4.如图,将△ABC沿直线BC平移,得到△DEF,说出你得到的结论,并说明理由.5.如图,△ABE≌△ACD,AB与AC,AD与AE是对应边,∠A=40°,∠B=30°,求∠ADC的大小.【教学说明】题3题4中要通过观察发现,EC是线段BC与EF的公共局部,从而有BC-EC=EF-EC即BE=CF的结论;可以挖掘更深层次的结论,提升分析问题的能力,如AB∥DE,AC∥DF,BE=CF,S四边形ABEG=S四边形FDGC等.完成上述题目后,引导学生做本课时创优作业“课堂自主演练〞中的题.【答案】1.图〔1〕是△EDC由△ABC绕过C点且垂直于BD的直线翻折而成，AB的对应边ED，AC的对应边EC，BC的对应边DC，∠A的对应角∠E,∠B的对应角∠D,∠ACB的对应角为∠ECD.图〔2〕是△ABC延BC边平移BE长的距离得到△DEB，AC的对应边DB，AB 的对应边为DE，CB的对应边为BE，∠A的对应角为∠D，∠C的对应角为∠DBE，∠ABC的对应角为∠E.图〔3〕是△ABD绕BD的中点旋转180°得△CDB，AB的对应边为CD，BD对应边为DB、AD的对应边为CB，∠A的对应角∠C，∠ABD的对应角为∠CDB，∠ADB的对应角为∠CBD.4.AB=DE AC=DF BC=E F∠A=∠D ∠B=∠DEF ∠ACB=∠F理由：全等三角形对应边相等，对应角相等.5.∠ADC=110°四、师生互动，课堂小结1.引导学生回忆全等三角形定义\,记法与性质.2.归纳寻找对应边\,对应角的规律:(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边;对应边所对的角是对应角,两条对应边的夹角是对应角.(2)公共边一般是对应边;有对顶角的,对顶角一般是对应角;公共角一般是对应角等.1.布置作业：从教材“习题”中选取.2.完成练习册中本课时的练习.本课时通过学生在做模型、画图、动手操作等活动中的体验，完成对三角形全等的认识，重点在对“三角形全等〞“对应〞等含义的理解.对“全等三角形〞的认识，可让学生采用复写纸、手撕、剪纸、扎针眼等方式获取，并鼓励学生间互相交流动手过程中的体验.教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历观察、实验、归纳、类比、直觉、数据处理等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法，同时升华学生的情感、态度和价值观.【知识与技能】了解正多边形和圆的关系，了解正多边形半径和边长，边心距，中心，中心角等概念.会应用正多边形的有关知识解决圆中的计算问题.会用圆规、量角器和直尺来作圆内接正多边形.【过程与方法】结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，然后学会用圆的有关知识，解决正多边形的问题.【情感态度】学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活、又效劳于生活，表达事物之间是相互联系，相互作用的.【教学重点】正多边形与圆的相关概念及其之间的运算.【教学难点】探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、弦心距，边长之间的关系.一、情境导入，初步认识观察这些美丽的图案，都是在日常生活中，我们经常能看到的利用正多边形得到的物体.〔1〕你能从图案中找出多边形吗？〔2〕你知道正多边形和圆有什么关系吗？怎样就能作出一个正多边形来？【教学说明】学生通过观察美丽的图案，欣赏生活中正多边形形状的物体.让学生感受到数学来源于生活，并从中感受到数学美.问题〔2〕的提出是为了创设一个问题情境，激起学生主动将所学圆的知识与正多边形联系起来，激发学生积极探索、研究的热情，并有意将注意力集中在正多边形和圆的关系上.二、思考探究，获取新知问题1将一个圆分成5等份，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是，请你证明这个结论.教师引导学生根据题意画图，并写出和求证.：如图，在⊙O中，A、B、C、D、E是⊙O的五等分点.依次连接ABCDE 形成五边形.问：五边形ABCDE是正五边形吗？如果是，请证明你的结论.答案：五边形ABCDE是正五边形.证明：在⊙O中，∵AB BC CD DE EA====，∴AB=BC=CD=DE=EA，3==，∴∠A=∠B；同理∠B=∠C=∠D=∠E，∴五边形ABCDE BCE CDA AB是正五边形.【教学说明】教师引导学生从正多边形的定义入手证明，即证明多边形各边都相等，各角都相等；引导学生观察、分析，教师带着学生完成证明过程.问题2如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n边形吗？答案：这个n边形一定是正n边形.【教学说明】在这个问题中，教师重点关注学生是否会仿照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接正n边形.从问题1到问题2是将结论由特殊推广到一般，这符合学生的认知规律，并教导学生一种研究问题的方法，由特殊到一般.问题3各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形是正多边形吗？如果是，说明理由；如果不是，举出反例.答案：各边相等的圆内接多边形是正多边形.因为：各边相等的圆内接多边形的各角也相等.各角相等的圆内接多边形不是正多边形.如：矩形.【教学说明】问题3的提出是为了稳固所学知识，使学生明确判定圆内接多边形是正多边形，必须满足各边都相等，各内角也都相等，这两个条件缺一不可.同时教会学生学会举反例.培养学生思维的批判性.综合图形，给出正多边形的中心，半径，中心角，边心距等概念.正n边形：中心角为：360°n；内角的度数为：180°〔n-2〕n例1〔课本106页例题〕有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积〔结果保存小数点后一位〕.分析：根据题意作图，将实际问题转化为数学问题.解：如图.∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=360°/6=60°.∴△BOC是等边三角形.∴R=BC=4m，∴这个亭子地基的周长为:4×6=24〔m〕.过O点作OP⊥△OCP中，OC=R=4，CP=1/2BC=2..例2填空.【教学说明】例1是让学生了解有关正多边形的概念后，掌握正多边形的计算.同时，通过例1引导学生将实际问题转化为数学问题，将多边形化归为三角形来解决.例2通过网格来呈现问题，在解决例2时，教师指导学生用数形结合的方法来解决问题，加深对有关概念的理解.画正多边形，通常是通过等分圆周的方法来画的.等分圆周有两种方式：〔1〕用量角器等分圆周.方法一：由于在同圆或等圆中相等的圆心角所对弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆.方法二：先用量角器画一个等于360°/n的圆心角，这个圆心角所对的弧就是圆的1/n，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的几等分点.【教学说明】这两种方法可以任意等分圆，但不可防止地存在误差.〔2〕用尺规等分圆正方形的作法:如图〔1)在⊙O中，尺规作两条垂直的直径，把⊙O四等分，从而作出正方形ABCD.再逐次平分各边所对弧，那么可作正八边形、正十六边形等边数逐次倍增的正多边形.正六边形的作法：方法一：如图〔2〕任意作一条直径AB，再分别以A、B 为圆心，以⊙O的半径为半径作弧，与⊙O交于C、D和E、F，那么A、C、E、B、F、D为⊙O的六等分点，顺次连接各等分点，得到正六边形ACEBFD.方法二：如图〔3〕由于正六边形的半径等于边长.所以在圆上依次截取等于半径的弦，就将圆六等分，顺次连接各等分点即可得到正六边形.【教学说明】尺规作图法是一种比较准确的等分圆的方法，但有较大的局限性，它不能将圆任意等分.三、运用新知，深化理解1.如图，圆内接正五边形ABCDE，对角线AC与BD相交于点P，那么∠APB的度数为_______./π的正方形的内切圆与外接圆所组成的圆环的面积为_____.3.如果一个正六边形的面积与一个正三角形的面积相等，求正六边形与正三角形的内切圆的半径之比.4.如图，点M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，……正n边形的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON.〔1〕求图1中的∠MON的度数；〔2〕在图2中，∠MON的度数为_____，在图3中，∠MON的度数为_____；〔3〕试探索∠MON的度数与正n边形边数n之间的关系.〔直接写出答案〕【教学说明】题1、2可由学生自主探索完成，题3、4可先让学生思考，然后教师加以提示，最后共同解答.完成教材第106页、108页的练习.°4.解：〔1〕连接OB、OC.∵正三角形ABC内接于⊙O，∴∠OBM=∠OCN=30°，∠BOC=120°.又∵BM=CN，OB=OC，∴△BOM≌△CON，∠BOM=∠CON，∴∠MON=∠BOC=120°.(2)90°72°(解法与〔1〕相同)(3)∠MON=360°/n.四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你知道正多边形和圆有怎样的关系吗？你知道正多边形的半径、边心距、内角、中心角等概念吗？你能画出正多边形吗？【教学说明】教师先提出问题，然后让学生自主思考并回忆，教师再予以补充和点评.1.布置作业：从教材“〞中选取.练习册中本课时练习的“课后作业〞局部.1.本节课首先从复习正多边形的定义入手，通过创设问题情境，将正多边形与圆紧密联系，让学生发现它们之间的密切关系，并将结论由特殊推广到一般，符合学生的认识规律，通过学习正多边形中的一些根本概念，引导学生将实际问题转化为数学问题，表达了化归的思想.其次，在这一根底上，又教给学生用等分圆周的方法作正多边形，这可以开展学生的作图能力.2.等分圆周法是一种作正多边形的常见方法，通过作简单的正三角形、正方形、正六边形，一直推广到作正八边形的情况，可以向学生灌输极限的思想，极限是微积分中最主要、最根本的概念，它从数量上描述变量在变化过程中的变化趋势，在高中数学中，极限思想渗透到函数、数列等章节，又衔接高等数学，起着承上启下的作用.。

初中数学全等知识点总结1. 全等的定义全等是指两个或多个图形在形状和大小上完全一致的情况。

对于三角形而言，如果两个三角形的对应边相等，对应角相等，那么这两个三角形就是全等的。

2. 判定全等的条件全等三角形的判定条件一共有五种，分别是：a) SSS判定条件：如果两个三角形的三边分别相等，那么这两个三角形就是全等的。

b) SAS判定条件：如果两个三角形的两边和夹角分别相等，那么这两个三角形就是全等的。

c) ASA判定条件：如果两个三角形的一个角和两边分别相等，那么这两个三角形就是全等的。

d) AAS判定条件：如果两个三角形的两个角和一边分别相等且夹在这条边中间，那么这两个三角形就是全等的。

e) HL判定条件：如果两个直角三角形的斜边和一个尖角直角分别相等，那么这两个直角三角形就是全等的。

3. 全等的性质全等三角形具有一些性质，包括：a) 对应部分相等：全等三角形的对应角相等，对应边相等。

b) 全等三边则全等：如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。

c) 全等中位线的性质：全等三角形的中位线相等，并且平行。

d) 全等三角形的面积相等：如果两个三角形全等，那么它们的面积也是相等的。

4. 全等的应用在实际生活和数学中，全等三角形有着广泛的应用，例如建筑物的设计、地图的绘制等都会使用全等概念进行测量和计算。

5. 全等的证明证明两个三角形全等的方法有很多，比如SSS, SAS, ASA, AAS等。

在给定一些条件的情况下，通过这些条件进行推导和推理，最终得出两个三角形全等的结论。

数学知识点总结1. 直角三角形直角三角形是指其中一个角是90度的三角形。

在直角三角形中，有一些关键的概念和性质：a) 斜边与直角边：直角三角形的斜边是较长的一条边，直角边是斜边所对的直角的两条边。

b) 勾股定理：在直角三角形中，直角边的平方之和等于斜边的平方。

c) 特殊角度：在直角三角形中，30度角、45度角和60度角是比较特殊的角度，它们的三角函数值具有特殊的关系。