人教版高中数学必修一学案：《对数函数及其性质》(含答案)

4.4 对数函数学习目标1.通过对数函数的概念及对数函数图象和性质的学习，培养数学抽象、直观想象素养.2.通过对数函数图象和性质的应用，培养逻辑推理、数学运算素养.第1课时对数函数的概念、图象及性质1.对数函数的概念一般地，函数y=log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，+∞).2.对数函数的图象与性质我们可以借助指数函数的图象和性质得到对数函数的图象和性质:对数函数的概念[例1] (1)下列函数是对数函数的是( )A.y=lg 10xB.y=log3x2C.y=ln xD.y=lo g13(x-1)(2)若函数f(x)=log a x+(a2-4a-5)是对数函数，则实数a= . 解析:(1)由对数函数的定义，得y=log a x(a>0，a≠1)是对数函数，由此得到y=ln x是对数函数.故选C.(2)由对数函数的定义可知，{a2-4a-5=0,a>0,a≠1,解得a=5.答案:(1)C (2)5判断一个函数是否为对数函数的方法判断一个函数是对数函数必须是形如y=log a x(a>0，且a ≠1)的形式，即必须满足以下条件: (1)系数为1.(2)底数为大于0，且不等于1的常数. (3)对数的真数仅有自变量x.针对训练1:(1)若函数y=log a x+a 2-3a+2为对数函数，则a 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4(2)已知对数函数的图象过点M(9，2)，则此对数函数的解析式为 .解析:(1)因为函数y=log a x+a 2-3a+2为对数函数，所以{a 2-3a +2=0,a >0,a ≠1,解得a=2.故选B. (2)设函数f(x)=log a x(x>0，a>0，且a ≠1)，因为对数函数的图象过点M(9，2)，所以2=log a 9，所以a 2=9，又a>0， 解得a=3.所以此对数函数的解析式为y=log 3x. 答案:(1)B (2)y=log 3x对数型函数的定义域[例2] 求下列函数的定义域.(1)y=log a (3-x)+log a (3+x)(a>0，且a ≠1); (2)f(x)=1log 12(2x+1).解:(1)由{3-x >0,3+x >0,得-3<x<3，所以函数的定义域是{x|-3<x<3}.(2)由题意有{2x +1>0,2x +1≠1,解得x>-12，且x ≠0，则函数的定义域为(-12，0)∪(0，+∞).(1)求解含对数式的函数定义域，若自变量在底数和真数上，要保证真数大于0，底数大于0，且不等于1. (2)对数函数y=log a x 的定义域为(0，+∞).(3)形如y=log g(x)f(x)的函数，定义域由{f (x )>0,g (x )>0,g (x )≠1来确定.(4)形如y=f(log a x)的复合函数在求定义域时，必须保证每一部分都要有意义.针对训练2:函数f(x)=√lgx +lg(5-3x)的定义域是( ) A.[0，53) B.[0，53]C.[1，53) D.[1，53]解析:函数f(x)=√lgx +lg(5-3x)的定义域是{x|{x >0,lgx ≥0,5-3x >0}，即{x|1≤x<53}.故选C.对数函数的图象类型一 对数型函数图象过定点问题[例3] (1)函数y=log a (x-3)+1(a>0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是()A.(4，1)B.(3，1)C.(4，0)D.(3，0)(2)若函数y=log a (x-1)+8(a>0，且a ≠1)的图象过定点P ，且点P 在幂函数f(x)=x α(α∈R)的图象上，则f(12) = .解析:(1)令x-3=1，求得x=4，y=1， 可得它的图象恒过定点P(4，1).故选A. (2)令x-1=1，解得x=2，此时y=8，此函数图象过定点P(2，8). 由点P 在幂函数f(x)=x α(α∈R)的图象上知， 2α=8，解得α=3，所以f(x)=x 3， 所以f(12)=( 12) 3=18.答案:(1)A (2)18涉及与对数函数有关的函数图象过定点问题的一般规律:若f(x)=klog a g(x)+b(a>0，且a ≠1)，且g(m)=1，则f(x)图象过定点P(m ，b).针对训练3:(1)(多选题)下列四个函数中过相同定点的函数有( ) A.y=ax+2-a B.y=x a-2+1C.y=a x-3+1(a>0，a ≠1)D.y=log a (2-x)+1(a>0，a ≠1)(2)已知函数f(x)=log a(x-m)+n的图象恒过定点(3，5)，则lg m+lg n 的值是.(3)函数y=log a(2x-1)+3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是.解析:(1)由于函数y=ax+2-a=a(x-1)+2，令x=1，可得y=2，故该函数经过定点(1，2)，由于函数y=x a-2+1，令x=1，可得y=2，故该函数经过定点(1，2)，由于y=a x-3+1(a>0，a≠1)，令x-3=0，求得x=3，y=2，故该函数经过定点(3，2)，由于y=log a(2-x)+1(a>0，a≠1)，令2-x=1，求得x=1，y=1，故该函数经过定点(1，1).故选AB.(2)函数f(x)=log a(x-m)+n的图象恒过定点(1+m，n)，又函数f(x)的图象恒过定点(3，5)，故1+m=3，n=5，即m=2，n=5，所以lg m+lg n=lg 2+lg 5=lg 10=1.(3)令2x-1=1，得x=1，y=3，所以函数的图象恒过定点P(1，3). 答案:(1)AB (2)1 (3)(1，3)类型二对数型函数图象的识别[例4] 函数y=-lg |x+1|的大致图象为( )解析:法一函数y=-lg |x+1|的定义域为{x|x≠-1}，可排除A，C;当x=1时，y=-lg 2<0，显然只有D符合题意.故选D.法二y=-lg |x+1|={-lg(x+1),x>-1, -lg(-x-1),x<-1,又x∈(-1，+∞)时，y=-lg(x+1)是减函数.故选D.对数型函数图象的识别一定要注意利用对数式的真数大于0确定函数的定义域，注意利用对数型函数图象所过定点，同时结合单调性进行判断，也可以利用函数图象的变换进行判断.针对训练4:(1)(2021·河南开封期末)函数y=|lg(x+1)|的图象是( )(2)如图，①②③④中不属于函数y=log2x，y=log0.5x，y=-log3x的一个是( )A.①B.②C.③D.④解析:(1)函数的定义域为(-1，+∞)，图象与x轴的交点是(0，0).故选A.(2)根据函数的图象，函数y=log a x(a>0，且a≠1)的底数决定函数的单调性，当底数a>1时，函数单调递增，当0<a<1时，函数单调递减，当底数a>1，x>1时，满足底数越大函数的图象越靠近x轴，故①对应函数y=log2x的图象，根据对称性，④对应函数y=log0.5x的图象，③对应函数y=-log3x的图象，②与函数的图象相矛盾，故②不符合题意.故选B.类型三根据图象求解析式中的参数的范围[例5] 已知函数y=log a(x+c)(a，c为常数.其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a>1，c>1B.a>1，0<c<1C.0<a<1，c>1D.0<a<1，0<c<1解析:因为函数单调递减，所以0<a<1.当x=1时，log a(x+c)=log a(1+c)<0，即1+c>1，所以c>0，当x=0时，log a(x+c)=log a c>0，所以0<c<1.故选D.根据图象求解析式中的参数的范围和图象识别的方法是一致的，也是主要利用函数的单调性和图象上特殊点的坐标的大小建立有关参数的不等式.针对训练5:(1)如图，若C1，C2分别为函数y=log a x和y=log b x的图象，则( )A.0<a<b<1B.0<b<a<1C.a>b>1D.b>a>1(2)已知定义在R上的函数f(x)=log2(a x-b+1)(a>0，a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是( )A.0<1a <1b<1 B.0<1b<a<1C.0<b<1a <1 D.0<1a<b<1解析:(1)由对数的性质log a a=1(a>0，且a≠1)，画一条直线y=1，如图所示，由图可知0<b<a<1.故选B.(2)由函数单调性可知，a>1，f(0)=log2(1-b+1)，故0<log2(1-b+1)<1，解得0<b<1，由log2(a-1-b+1)<0可得a-1<b，所以0<1a<b<1.故选D.典例探究:如图，直线x=t与函数f(x)=log3x和g(x)=log3x-1的图象分别交于点A，B，若函数y=f(x)的图象上存在一点C，使得△ABC为等边三角形，则t的值为( )A.√3+22B.3√3+32C.3√3+34D.3√3+3解析:由题意A(t ，log 3t)，B(t ，log 3t-1)，|AB|=1， 设C(x ，log 3x)，因为△ABC 是等边三角形，所以点C 到直线AB 的距离为√32，所以t-x=√32，x=t-√32，所以C(t-√32，log 3(t-√32))， 根据中点坐标公式可得log 3(t-√32) =log 3t+log 3t -12=log 3t-12=log 3√3，所以t-√32=√3，解得t=3√3+34.故选C.应用探究:已知正方形ABCD 的面积为36，BC 平行于x 轴，顶点A ，B 和C 分别在函数y=3log a x ，y=2log a x 和y=log a x(其中a>1)的图象上，则实数a 的值为( ) A.√3 B.√6 C.√36D.√63解析:设B(x ，2log a x)，因为BC 平行于x 轴，所以C(x ′，2log a x)，即log a x ′=2log a x ，所以x ′=x 2，所以正方形ABCD 的边长|BC|=x 2-x=6，解得x=3.由已知，AB 垂直于x 轴，所以A(x ，3log a x)，正方形ABCD 的边长|AB|=3log a x-2log a x=log a x=6，即log a 3=6，a 6=3，a=√36.故选C.1.函数f(x)=log 2(3+2x-x 2)的定义域为( C ) A.[-1，3] B.(-∞，-1)∪(3，+∞) C.(-1，3) D.(-∞，-1)∪[3，+∞)解析:由3+2x-x 2>0，得-1<x<3，所以f(x)的定义域为(-1，3).故选C.2.已知对数函数f(x)的图象过点(4，12)，则f(x)等于( A )A.log 16xB.log 8xC.log 2xD.lo g 116x解析:由题意设f(x)=log a x(a>0，且a ≠1)，由函数图象过点(4，12)可得f(4)=12，即log a 4=12，所以4=a 12，解得a=16，故f(x)=log 16x.故选A.3.如图所示的曲线是对数函数y=log a x ，y=log b x ，y=log c x ，y=log d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系为 .解析:由题图可知函数y=log a x ，y=log b x 的底数a>1，b>1，函数y=log c x ，y=log d x 的底数0<c<1，0<d<1.过点(0，1)作平行于x 轴的直线l(图略)，则直线l 与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c ，d ，a ，b ，显然b>a>1>d>c>0. 答案:b>a>1>d>c4.已知函数y=log a (x+3)+89(a>0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f(x)=3x -b 的图象上，则b= . 解析:对于y=log a (x+3)+89，令x+3=1，得x=-2，则y=89，所以函数y=log a (x+3)+89(a>0，a ≠1)的图象恒过定点A(-2，89)，又点A 也在函数f(x)=3x -b 的图象上， 则89=3-2-b ，求得b=-79.答案:-79[例1] 已知函数y=f(x)的定义域是[0，2]，那么g(x)=f (x 2)1+lg (x+1)的定义域是( )A.(-1，-910)∪(-910，√2]B.(-1，√2]C.(-1，-910)D.(-910，√2)解析:依题意，{0≤x 2≤2,x +1>0,1+lg (x +1)≠0,解得-1<x<-910或-910<x ≤√2.故选A.[例2] 已知函数y=log 3x 的图象上有两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，且线段AB 的中点在x 轴上，则x 1·x 2= .解析:因为函数y=log 3x 的图象上有两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 所以y 1=log 3x 1，y 2=log 3x 2.根据中点坐标公式得y1+y2=0，即log3x1+log3x2=0，所以log3(x1x2)=0，x1·x2=1.答案:1[例3] (1)求函数f(x)=log a(a x-1)(a>0，且a≠1)的定义域;(2)求函数f(x)=log a[(a-1)x-1]的定义域.解:(1)由a x-1>0，即a x>1，当a>1时，f(x)的定义域为(0，+∞)，当0<a<1时，f(x)的定义域为(-∞，0).(2)由题意(a-1)x-1>0，且a>0，a≠1，当a>1时，x>1;a-1.当0<a<1时，x<1a-1所以当a>1时，f(x)的定义域为(1，+∞);a-1当0<a<1时，f(x)的定义域为(-∞，1).a-1[例4] 已知函数f(x)=lg(a x-b x)(a>1>b>0).(1)求y=f(x)的定义域;(2)证明f(x)是增函数;(3)当a，b满足什么条件时，f(x)在(1，+∞)上恒取正值?(1)解:要使函数有意义，必有a x-b x>0，a>1>b>0，可得(a) x>1，解得x>0，b函数的定义域为(0，+∞).(2)证明:设g(x)=a x-b x，再设x1，x2是(0，+∞)上的任意两个数，且x1<x2，则g(x1)-g(x2)=a x1-b x1-a x2+b x2=(a x1-a x2)+(b x2-b x1)，对于函数y=a x为增函数，y=b x为减函数，所以a x1-a x2<0，b x2-b x1<0，所以g(x1)-g(x2)<0，所以g(x)在(0，+∞)上为增函数，因为y=lg x在(0，+∞)上为增函数，所以f(x)在(0，+∞)上为增函数.(3)解:因为f(x)在(1，+∞)上单调递增，所以命题f(x)恰在(1，+∞)取正值等价于f(1)≥0，所以a-b≥1.选题明细表基础巩固1.函数f(x)=ln(x+2)+的定义域为( B )√2-xA.(2，+∞)B.(-2，2)C.(-∞，-2)D.(-∞，2)解析:由题意可知{x +2>0,2-x >0,解得-2<x<2.故选B.2.已知f(x)=a -x ，g(x)=log a x ，且f(2)·g(2)>0，则函数f(x)与g(x)的图象是( D )解析:因为f(2)·g(2)>0，所以a>1，所以f(x)=a -x 与g(x)=log a x 在其定义域上分别是减函数与增函数.故选D.3.已知函数f(x)=a x-1+log b x-1(a>0，且a ≠1，b>0，且b ≠1)，则f(x)的图象过定点( C ) A.(0，1) B.(1，1) C.(1，0) D.(0，0)解析:当x=1时，f(1)=a 0+log b 1-1=1+0-1=0，所以f(x)的图象过定点(1，0).故选C.4.(多选题)函数f(x)=log a (x+2)(0<a<1)的图象过( BCD ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析:作出函数f(x)=log a (x+2)(0<a<1)的大致图象如图所示，则函数f(x)的图象过第二、第三、第四象限.故选BCD.5.已知f(x)为对数函数，f(12)=-2，则f(√43)= .解析:设f(x)=log a x(a>0，且a ≠1)， 则log a 12=-2，所以1a2=12，即a=√2，所以f(x)=lo g √2x ，所以f(√43)=lo g √2 √43=log 2(√43)2=log 2243=43.答案:436.(2021·江苏启东期末)已知函数f(x)=log a (x+b)(a>0，a ≠1，b ∈R)的图象如图所示，则a= ，b= .解析:由图象得{log a (0+b )=2,log a (-2+b )=0,解得{a =√3,b =3.答案:√3 3能力提升7.已知函数y=lg(x 2-3x+2)的定义域为A ，y=lg(x-1)+lg(x-2)的定义域为B ，则( D ) A.A ∩B= B.A=BC.A ⫋BD.B ⫋A解析:由x 2-3x+2>0，解得x<1或x>2， 所以A=(-∞，1)∪(2，+∞);由{x -1>0,x -2>0,解得x>2，所以B=(2，+∞).故B ⫋A.故选D.8.已知等式log 2m=log 3n ，m ，n ∈(0，+∞)成立，那么下列结论:①m=n;②n<m<1;③m<n<1;④1<n<m;⑤1<m<n.其中可能成立的是( B ) A.①② B.①②⑤ C.③④ D.④⑤解析:当m=n=1时，有log 2m=log 3n ，故①可能成立;当m=14，n=19时，有log 2m=log 3n=-2，故②可能成立;当m=4，n=9时，有log 2m=log 3n=2，此时1<m<n ，故⑤可能成立.可能成立的是①②⑤.故选B. 9.如图，四边形OABC 是面积为8的平行四边形，OC ⊥AC ，AC 与BO 交于点E.某对数函数y=log a x(a>0，且a ≠1)的图象经过点E 和点B ，则a= .解析:设点E(b ，c)，则C(b ，0)，A(b ，2c)，B(2b ，2c)， 则{2bc =8,log a b =c ,log a (2b )=2c ,解得b=c=2，a=√2.答案:√210.已知f(x)=|log 3x|. (1)画出函数f(x)的图象;(2)讨论关于x 的方程|log 3x|=a(a ∈R)的解的个数. 解:(1)f(x)={log 3x ,x ≥1,-log 3x ,0<x <1,函数f(x)的图象如图所示.(2)设函数y=|log 3x|和y=a ，当a<0时，两图象无交点，原方程解的个数为0个. 当a=0时，两图象只有1个交点，即原方程只有1个解. 当a>0时，两图象有2个交点，即原方程有2个解. 11.已知函数f(x)=log 2[ax 2+(a-1)x+14].(1)若定义域为R ，求实数a 的取值范围; (2)若值域为R ，求实数a 的取值范围.解:(1)要使f(x)的定义域为R ，则对任意实数x 都有t=ax 2+(a-1)x+14>0恒成立.当a=0时，不合题意;当a ≠0时，由二次函数图象(图略)可知{a >0,Δ=(a -1)2-a <0,解得3-√52<a<3+√52.故所求实数a 的取值范围为(3-√52，3+√52).(2)要使f(x)的值域为R ，则有t=ax 2+(a-1)x+14的值域必须包含(0，+∞).当a=0时，显然成立;当a ≠0时，由二次函数图象(图略)可知，其图象必须与x 轴相交，且开口向上， 所以{a >0,Δ=(a -1)2-a ≥0, 解得0<a ≤3-√52或a ≥3+√52.故所求a 的取值范围为[0，3-√52]∪[3+√52，+∞).应用创新12.已知函数f(x)=|log 2x|，正实数m ，n 满足m<n ，且f(m)=f(n)，若f(x)在区间[m 2，n]上的最大值为2，则n+m= . 解析:根据题意并结合函数f(x)=|log 2x|的图象知，0<m<1<n ，所以0<m 2<m<1.根据函数图象易知，当x=m 2时函数f(x)取得最大值，所以f(m 2)=|log 2m 2|=2.又0<m<1，解得m=12.再结合f(m)=f(n)求得n=2，所以n+m=52.答案:52。

，的图象可以看作是将函数y ＝log 2|2x |的图象向右平移[2，＋∞)上恒有|f (x )|>1，则实数a 的取值范围是<12或a >2解：(1)要使函数f (x )有意义，则⎩⎨⎧2＋x >02－x >0，解得－2<x <2.∴函数y ＝f (x )的定义域为{x |－2<x <2}．(2)由(1)，可知函数y ＝f (x )的定义域为{x |－2<x <2}，关于原点对称，对任意x ∈(－2,2)，有－x ∈(－2,2)． ∵f (－x )＝lg (2－x )＋lg (2＋x )＝lg (2＋x )＋lg (2－x )＝f (x )， ∴函数y ＝f (x )为偶函数．11．(13分)已知y ＝log a (2－a x )在[0,1]上是x 的减函数，求a 的取值范围． 解：因为a >0且a ≠1.(1)当a >1时，函数t ＝2－a x >0是减函数，由y ＝log a (2－a x )在[0,1]上是关于x 的减函数，知y ＝log a t 是增函数，∴a >1. 由x ∈[0,1]时，2－a x ≥2－a >0，得a <2. ∴1<a <2.(2)当0<a <1时，函数t ＝2－a x >0是增函数，由y ＝log a (2－a x )在[0,1]上是关于x 的减函数，知y ＝log a t 是减函数，∴0<a <1， 由x ∈[0,1]时，2－a x ≥2－1>0. ∴0<a <1.综上，0<a <1或1<a <2.能力提升12．(5分)设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1·x 2·…·x 2013)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22013)的值等于( )A ．4B ．8C ．16D ．2log a 8 答案：C解析：∵f (x )＝log a x ，f (x 1·x 2·…·x 2013)＝8，∴由对数的运算性质，得f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22013)＝f (x 21·x 22·…·x 22013)＝f [(x 1·x 2·…·x 2013)2]＝log a (x 1·x 2·…·x 2013)2＝2log a (x 1·x 2·…·x 2013)＝2×8＝16.13．(15分)如图所示，在函数f (x )＝log a x (0＜a ＜1，x ≥1)的图象上有A ，B ，C 三点，它们的横坐标分别是t ，t ＋2，t ＋4.(1)若△ABC 的面积为S ，求S ＝f (t )； (2)判断S ＝f (t )的单调性； (3)求S ＝f (t )的最大值．(t ，log a t )，B (t ＋2，log ＋2)|－(|log a t |＋|log a 2log a (t ＋2)＋log a t ＋log a (log a t t ＋t ＋2.log a t t ＋t ＋2＝log －t ＋2]．当t ≥1时，(t 单调递增，4t ＋2单调递减，t ＋2单调递增．∵0＜a ＜1，∴t )＝log a [1－4t ＋2]为递减函数．(3)∵t ≥1，∴≥9,1－t ＋2≥5，∵S ＝f (t )是减函数，∴函数有最大值5。

2.2.2 对数函数及其性质（二）（一）教学目标1．知识技能（1）掌握对数函数的单调性.（2）会进行同底数对数和不同底数的对数的大小比较.2．过程与方法（1）通过师生双边活动使学生掌握比较同底对数大小的方法.（2）培养学生的数学应用的意识.3．情感、态度与价值观（1）用联系的观点分析、解决问题.（2）认识事物之间的相互转化.（二）教学重点、难点1、重点：利用对数函数单调性比较同底对数大小.2、难点：不同底数的对数比较大小.（三）教学方法启发式教学a>和利用对数函数单调性比较同底对数的大小，而对数函数的单调性对底数分1<<两种情况，学生应能根据题目的具体形式确定所要考查的对数函数；如果题目中a01含有字母，即对数底数不确定，则应该分两种情形讨论.对于不同底数的对数大小的比较，应插入中间数，转化为两组同底数的对数大小的比较，从而使问题得以解决.（四）教学过程.；堂评价，师生共同讨论完成第四题）判断函数）上是增函数；）上是减函数还是增函数？≠1.；.备选例题例1 比较下列各组数的大小：（1）log0.7 1.3和log0.71.8；（2）log35和log64.（3）(lg n)1.7和(lg n)2 (n＞1)；【解析】（1）对数函数y= log0.7x在(0, +∞)内是减函数. 因为1.3＜1.8，所以log0.71.3＞log0.71.8.（2）log35和log64的底数和真数都不相同，需找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解.因为log35＞log33 = 1 = log66＞log64，所以log35＞log64.（3）把lg n看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lg n讨论.若1＞ln n＞0，即1＜n＜10时，y = (lg n)x在R上是减函数，所以(lg n)1.7＞(lg n)2；若lg n＞1，即n＞10时，y = (lg n)2在R上是增函数，所以(lg n)1.7＜(lg n)2.若ln n = 1，即n = 10时，(ln n)1.7 = (ln n)2.【小结】两个值比较大小，如果是同一函数的函数值，则可以利用函数的单调性来比较. 在比较时，一定要注意底数所在范围对单调性的影响，即a＞1时是增函数，0＜a＜1时是减函数，如果不是同一个函数的函数值，就可以对所涉及的值进行变换，尽量化为可比较的形式，必要时还可以“搭桥”——找一个与二者有关联的第三量，以二者与第三量（一般是–1、0、1）的关系，来判断二者的关系，另外，还可利用函数图象直观判断，比较大小方法灵活多样，是对数学能力的极好训练.例2 求证：函数f (x ) =xx-1log 2在(0, 1)上是增函数. 【分析】根据函数单调性定义来证明. 【解析】设0＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 2) – f (x 1) = 212221log log 11x xx x --- 21221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 21122x x x x --⋅ ∵0＜x 1＜x 2＜1， ∴12x x ＞1，2111x x --＞1.则2112211log x x x x --⋅＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数.。

课题：2.2.2 对数函数及其性质（3）一、三维目标： 知识与技能：能够解决对数函数形式的复合函数单调性及最值问题，并可以利用图像来解决相关问题。

过程与方法：① 通过师生之间，学生与学生之间的合作交流，使学生学会与别人共同学习。

② 通过探究对数函数形式的复合函数单调性，感受复合思想，培养学生数学的分析问题的意识。

情感态度与价值观：通过学生的相互交流来加深理解对数函数形式的复合函数的理解，增强学生数学交流能力，培养学生倾听，接受别人建议的优良品质。

二、学习重、难点：重点：准确描绘出对数函数形式的复合函数单调性。

难点：依据图像来进行对相关问题的处理。

三、学法指导：对比指数函数相关性质。

四、知识链接：B1.函数y =的定义域为B2.若log 2log 20m n >>时，则m ，n 的大小关系是五、学习过程：B 例1、讨论函数2()log (321)a f x x x =--的单调性。

思路分析:本题为复合函数,要注意求解定义域和对a 进行讨论。

解:由23210x x -->得函数的定义域为113x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭或x<- 则当a>1时，若x>1,∵u=2321x x --为增函数， ∴2()log (321)a f x x x =--为增函数。

若x<13-,∵u=2321x x --为减函数， ∴2()log (321)a f x x x =--为减函数。

当1>a>0时，若x>1,∵u=2321x x --为增函数， ∴2()log (321)a f x x x =--为减函数。

若x<13-,∵u=2321x x --为减函数， ∴2()log (321)a f x x x =--为增函数。

B 变式训练1:求以下函数的单调区间：（1）)32x x (log y 22+-= （2）23x log y = （3）212y log (x x)=-C 总结 )x (f log y a = 单调区间的求法：C 例2、已知[]3()2log ,1,9,f x x x =+∈求()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的最大值，及此时x 的值 思路分析：要求()()22y f x f x=+⎡⎤⎣⎦的最大值，要做两件事，一是求表达式，二是求定义域。

4．4.2 对数函数的图象和性质第1课时对数函数的图象和性质(一)学习目标 1.初步掌握对数函数的图象和性质.2.会类比指数函数研究对数函数的性质.3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用.4.了解反函数的概念及它们的图象特点．知识点一对数函数的图象和性质对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表y＝log a x (a>0，且a≠1)底数a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数共点性图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值特点x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；x∈『1，＋∞)时，y∈『0，＋∞)x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；x∈『1，＋∞)时，y∈(－∞，0』对称性函数y＝log a x与y＝1logax的图象关于x轴对称思考对数函数图象的“上升”或“下降”与谁有关？『答案』底数a与1的关系决定了对数函数图象的升降．当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．知识点二反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数．它们的定义域与值域正好互换．1．若函数y ＝f (x )是函数y ＝3x 的反函数，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为________． 『答 案』 －log 32『解 析』 y ＝f (x )＝log 3x ，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝log 312＝－log 32. 2．函数y ＝lg(x ＋1)的图象大致是________．(填序号)『答 案』 ③『解 析』 由底数大于1可排除①，②，y ＝lg(x ＋1)可看作是y ＝lg x 的图象向左平移1个单位长度(或令x ＝0得y ＝0，而且函数为增函数)．3．已知函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)在R 上是增函数，则函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是________函数．(填“增”或“减”) 『答 案』 增『解 析』 因为函数y ＝a x 在R 上是增函数， 所以a >1，所以y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数．4．函数y ＝log a x ＋1(a >0，且a ≠1)的图象过定点________． 『答 案』 (1,1)『解 析』 因为对数函数y ＝log a x 的图象过定点(1,0)， 所以函数y ＝log a x ＋1的图象过定点(1,1)．一、对数函数的图象及应用例1 (1)如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则( )A ．0<a <b <1B ．0<b <a <1C ．a >b >1D ．b >a >1 『答 案』 B『解 析』 作直线y ＝1，则直线与C 1，C 2的交点的横坐标分别为a ，b ，易知0<b <a <1. (2)若函数y ＝log a (x ＋b )＋c (a >0，且a ≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b ＝________，c ＝________.『答 案』 －2 2『解 析』 ∵函数的图象恒过定点(3,2)， ∴将(3,2)代入y ＝log a (x ＋b )＋c ， 得2＝log a (3＋b )＋c .又当a >0，且a ≠1时，log a 1＝0恒成立， ∴c ＝2,3＋b ＝1，∴b ＝－2，c ＝2.(3)已知f (x )＝log a |x |(a >0，且a ≠1)满足f (－5)＝1，试画出函数f (x )的图象． 解 因为f (－5)＝1，所以log a 5＝1，即a ＝5，故f (x )＝log 5|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 5x ，x >0，log 5(－x )，x <0.所以函数y ＝log 5|x |的图象如图所示．(教师) 延伸探究1．在本例中，若条件不变，试画出函数g (x )＝log a |x －1|的图象． 解 因为f (x )＝log 5|x |，所以g (x )＝log 5|x －1|，如图，g (x )的图象是由f (x )的图象向右平移1个单位长度得到的．2．在本例中，若条件不变，试画出函数h (x )＝|log a x |的图象． 解 因为a ＝5，所以h (x )＝|log 5x |.h (x )的图象如图所示．反思感悟对数函数图象的变换方法(1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称．(2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可．(3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律．(4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称．跟踪训练1(1)函数f(x)＝log a|x|＋1(a>1)的图象大致为()『答案』 C『解析』∵函数f(x)＝log a|x|＋1(a>1)是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称，当x>0时，f(x)＝log a x＋1是增函数；当x<0时，f(x)＝log a(－x)＋1是减函数，又∵图象过(1,1)，(－1,1)两点，结合选项可知选C.(2)画出函数y＝|log2(x＋1)|的图象，并写出函数的值域及单调区间．解函数y＝|log2(x＋1)|的图象如图所示．由图象知，其值域为『0，＋∞)，单调减区间是(－1,0』，单调增区间是(0，＋∞)．二、比较大小例2(1)若a＝log23，b＝log32，c＝log46，则下列结论正确的是()A．b<a<c B．a<b<cC．c<b<a D．b<c<a『答案』 D『解析』因为函数y＝log4x在(0，＋∞)上是增函数，a＝log23＝log49>log46>1，log32<1，所以b<c<a.(2)比较下列各组中两个值的大小：①log31.9，log32；②log23，log0.32；③log aπ，log a3.14(a>0，a≠1)；④log50.4，log60.4.解①因为y＝log3x在(0，＋∞)上是增函数，所以log31.9<log32.②因为log23>log21＝0，log0.32<log0.31＝0，所以log23>log0.32.③当a>1时，函数y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，则有log aπ>log a3.14；当0<a<1时，函数y＝log a x在(0，＋∞)上是减函数，则有log aπ<log a3.14.综上所得，当a>1时，log aπ>log a3.14；当0<a<1时，log aπ<log a3.14.④在同一直角坐标系中，作出y＝log5x，y＝log6x的图象，再作出直线x＝0.4(图略)，观察图象可得log50.4<log60.4.反思感悟比较对数值大小时常用的四种方法(1)同底数的利用对数函数的单调性．(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．(3)底数和真数都不同，找中间量．(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．跟踪训练2 比较大小：(1)log a 5.1，log a 5.9(a >0，且a ≠1)； (2)log 3π，log 23，log 3 2.解 (1)当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数， 又5.1<5.9，所以log a 5.1<log a 5.9；当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数， 又5.1<5.9，所以log a 5.1>log a 5.9. 综上，当a >1时，log a 5.1<log a 5.9； 当0<a <1时，log a 5.1>log a 5.9. (2)∵log 23＝12log 23，又1<log 23<2，∴12<log 23<1.又log 32＝12log 32<12，log 3π>1，∴log 3π>log 23>log 3 2.1．函数y ＝log a (x －1)(0<a <1)的图象大致是( )『答 案』 A『解 析』 ∵0<a <1，∴y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，故排除C ，D ；又函数y ＝log a (x －1)的图象是由y ＝log a x 的图象向右平移一个单位长度得到的，故A 正确． 2．若a ＝20.2，b ＝log 43.2，c ＝log 20.5，则( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．b >c >a『答 案』 A『解 析』 ∵a ＝20.2>1>b ＝log 43.2>0>c ＝－1，∴a >b >c .3．下列式子中成立的是( ) A ．log 0.44<log 0.46 B ．1.013.4>1.013.5 C ．3.50.3<3.40.3 D ．log 76<log 67『答 案』 D『解 析』 因为y ＝log 0.4x 为减函数，故log 0.44>log 0.46，故A 错；因为y ＝1.01x 为增函数，所以1.013.4<1.013.5，故B 错；由幂函数的性质知，3.50.3>3.40.3，故C 错，log 76<1<log 67，D 正确．4．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫32，23，则a ＝________.『答 案』2『解 析』 因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，23在y ＝f (x )的图象上，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，32在y ＝a x 的图象上，则有32＝23a ，所以a 2＝2，又因为a >0，a ＝ 2.5．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间『a,2a 』上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.『答 案』 4『解 析』 ∵a >1，∴f (x )＝log a x 在『a,2a 』上递增， ∴log a (2a )－log a a ＝12，即log a 2＝12，∴12a ＝2，∴a ＝4.1．知识清单：(1)对数函数的图象及性质．(2)利用对数函数的图象及性质比较大小． 2．方法归纳：图象变换、数形结合法． 3．常见误区：作对数函数图象易忽视底数a >1与0<a <1两种情况．。

2.2 对数函数解读对数概念及运算对数是中学数学中重要的内容之一，理解对数的定义，掌握对数的运算性质是学习对数的重点内容．现梳理这部分知识，供同学们参考．一、对数的概念对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)a log a N ＝N .例1 计算：log 22＋log 51＋log 3127＋9log 32. 分析 根据定义，再结合对数两个恒等式即可求值．解 原式＝1＋0＋log 33－3＋(3log 32)2＝1－3＋4＝2.点评 解决此类问题关键在于根据幂的运算法则将指数式和对数式化为同底数．二、对数的运算法则常用的对数运算法则有：对于M >0，N >0.(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a M N＝log a M －log a N ； (3)log a M n ＝n log a M .例2 计算：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18. 分析 运用对数的运算法则求解．解 由已知，得原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.点评 对数运算法则是进行对数运算的根本保证，同学们必须能从正反两方面熟练应用．三、对数换底公式根据对数的定义和运算法则 可以得到对数换底公式：log a b ＝log c b log c a(a >0且a ≠1，c >0且c ≠1，b >0)． 由对数换底公式又可得到两个重要结论：(1)log a b ·log b a ＝1；(2)log an b m ＝m nlog a b . 例3 计算：(log 25＋log 4125)×log 32log 35. 分析 在利用换底公式进行化简求值时，一般是根据题中对数式的特点选择适当的底数进行换底，也可选择以10为底进行换底． 解 原式＝(log 25＋32log 25)×log 322log 35＝52log 25×12log 52＝54. 点评 对数的换底公式是“同底化”的有力工具，同学们要牢记．通过上面讲解，同学们可以知道对数的定义是对数式和指数式互化的依据，正确进行它们之间的相互转换是解题的有效途径．对数的运算性质，同学们要熟练掌握，在应用过程中避免错误，将公式由“正用”“逆用”逐步达到“活用”的境界．数换底公式的证明及应用设a >0，c >0且a ≠1，c ≠1，N >0，则有log a N ＝log c N log c a，这个公式称为对数的换底公式，它在对数的运算中有着重要的应用，课本中没有给出证明，现证明如下：证明 记p ＝log a N ，则a p ＝N .**式两边同时取以c 为底的对数(c >0且c ≠1)得log c a p ＝log c N ，即p log c a ＝log c N .所以p ＝log c N log c a ，即log a N ＝log c N log c a. 推论1：log a b ·log b a ＝1.推论2：log an b m ＝m nlog a b (a >0且a ≠1，b >0)． 例4 (1)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645的值；(2)求log 23·log 34·log 45·…·log 6364的值．解 (1)因为log 189＝a,18b ＝5，所以lg 9lg 18＝a . 所以lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18.所以log 3645＝lg (5×9)lg 1829＝lg 5＋lg 92lg 18－lg 9 ＝b lg 18＋a lg 182lg 18－a lg 18＝b ＋a 2－a. (2)log 23·log 34·log 45·…·log 6364＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·lg 5lg 4·…·lg 64lg 63＝lg 64lg 2＝6lg 2lg 2＝6. 点评 对数运算法则中，对数式都是同底的，凡不同底的对数运算，都需要用换底公式将底统一，一般统一成常用对数．例5 已知12log 8a ＋log 4b ＝52，log 8b ＋log 4a 2＝7，求ab 的值． 解 由已知可得⎩⎨⎧16log 2a ＋12log 2b ＝52，13log 2b ＋log 2a ＝7， 即⎩⎪⎨⎪⎧ log 2a ＋3log 2b ＝15，3log 2a ＋log 2b ＝21.解得⎩⎪⎨⎪⎧log 2a ＝6，log 2b ＝3. 所以a ＝26，b ＝23.故ab ＝26·23＝512.点评 发现底数“4”，“8”与“2”的关系，将底数统一成“2”，解决问题比较简单．此外还有下面的关系式：log N M ＝log a M log a N ＝log b M log b N； log a M ·log b N ＝log a N ·log b M ；log a M log b M ＝log a N log b N＝log a b ；N log a M ＝M log a N .数函数图象及性质的简单应用对数函数图象是对数函数的一种表达形式，形象显示了函数的性质，为研究它的数量关系提供了“形”的直观性．它是探求解题思路、获得问题结果的重要途径．能准确地作出对数函数的图象是利用平移、对称的变换来研究复杂函数的性质的前提，而数形结合是研究与对数函数的有关问题的常用思想．一、求函数的单调区间例6 画出函数y ＝log 2x 2的图象，并根据图象指出它的单调区间．解 当x ≠0时，函数y ＝log 2x 2满足f (－x )＝log 2(－x )2＝log 2x 2＝f (x )，所以y ＝log 2x 2是偶函数，它的图象关于y 轴对称．当x >0时，y ＝log 2x 2＝2log 2x ，因此先画出y ＝2log 2x (x >0)的图象为C 1，再作出C 1关于y 轴对称的图象C 2，C 1与C 2构成函数y ＝log 2x 2的图象，如图所示．由图象可以知道函数y ＝log 2x 2的单调减区间是(－∞，0)，单调增区间是(0，＋∞)． 点评 作图象时一定要考虑定义域，否则会导致求出错误的单调区间，同时在确定单调区间时，要注意增减区间的分界点，特别要注意区间的开与闭问题．二、利用图象求参数的值例7 若函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 等于( ) A.13 B. 2 C.22 D ．2 解析 当a >1时，f (x )＝log a (x ＋1)的图象如图所示．f (x )在[0,1]上是单调增函数，且值域为[0,1]，所以f (1)＝1，即log a (1＋1)＝1，所以a ＝2，当0<a <1时，其图象与题意不符，故a 的值为2，故选D.答案 D点评 (1)当对数的底数不确定时要注意讨论；(2)注意应用函数的单调性确定函数的最值(值域)．三、利用图象比较实数的大小例8 已知log m 2<log n 2，m ，n >1，试确定实数m 和n 的大小关系．解 在同一直角坐标系中作出函数y ＝log m x 与y ＝log n x 的图象如图所示，再作x ＝2的直线，可得m >n .点评 不同底的对数函数图象的规律是：(1)底都大于1时，底大图低(即在x >1的部分底越大图象就越接近x 轴)；(2)底都小于1时，底大图高(即在0<x <1的部分底越大图象就越远离x 轴)．四、利用图象判断方程根的个数例9 已知关于x 的方程|log 3x |＝a ，讨论a 的值来确定方程根的个数．解 因为y ＝|log 3x |＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ， x >1，－log 3x ， 0<x <1， 在同一直角坐标系中作出函数与y ＝a 的图象，如图可知：(1)当a <0时，两个函数图象无公共点，所以原方程根的个数为0；(2)当a ＝0时，两个函数图象有一个公共点，所以原方程根有1个；(3)当a >0时，两个函数图象有两个公共点，所以原方程根有2个．点评 利用图象判断方程根的个数一般都是针对不能将根求出的题型，与利用图象解不等式一样，需要先将方程等价转化为两端对应的函数为基本函数(最好一端为一次函数)，再作图象．若含有参数，要注意对参数的讨论，参数的取值不同，函数图象的位置也就不同，也就会引起根的个数不同． 三类对数大小的比较 一、底相同，真数不同 例10 比较log a 2与log a 33的大小．分析 底数相同，都是a ，可借助于函数y ＝log a x 的单调性比较大小．解 由(2)6＝8<(33)6＝9，得2<33.当a >1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，故log a 2<log a 33；当0<a <1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上是减函数，故log a 2>log a 33.点评 本题需对底数a 的范围进行分类讨论，以确定以a 为底的对数函数的单调性，从而应用函数y ＝log a x 的单调性比较出两者的大小．二、底不同，真数相同例11 比较log 0.13与log 0.53的大小．分析 底数不同但真数相同，可在同一坐标系中画出函数y ＝log 0.1x 与y ＝log 0.5x 的图象，借助于图象来比较大小；或应用换底公式将其转化为同底的对数大小问题．解 方法一 在同一坐标系中作出函数y ＝log 0.1x 与y ＝log 0.5x 的图象，如右图．在区间(1，＋∞)上函数y ＝log 0.1x 的图象在函数y ＝log 0.5x 图象的上方，故有log 0.13>log 0.53.方法二 log 0.13＝1log 30.1，log 0.53＝1log 30.5. 因为3>1，故y ＝log 3x 是增函数，所以log 30.1<log 30.5<0.所以1log 30.1>1log 30.5. 即log 0.13>log 0.53.方法三 因为函数y ＝log 0.1x 与y ＝log 0.5x 在区间(0，＋∞)上都是减函数，故log 0.13>log 0.110＝－1，log 0.53<log 0.52＝－1，所以log 0.13>log 0.53.点评 方法一借助于对数函数的图象；方法二应用换底公式将问题转化为比较两个同底数的对数大小；方法三借助于中间值来传递大小关系．三、底数、真数均不同例12 比较log 323与log 565的大小． 分析 底数、真数均不相同，可通过考察两者的范围来确定中间值，进而比较大小． 解 因为函数y ＝log 3x 与函数y ＝log 5x 在(0，＋∞)上都是增函数，故log 323<log 31＝0，log 565>log 51＝0， 所以log 323<log 565. 点评 当底数、真数均不相同时，可找中间量(如1或0等)传递大小关系，从而比较出大小．综上所述，比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，对数函数的单调性由“底”的范围决定，若“底”的范围不明确，则需分“底数大于1”和“底数大于0且小于1”两种情况讨论，如例10；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小，如例11；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较，如例12.学对数给你提个醒对数函数是函数的重要内容之一，由于同学们对概念、定义域、值域、图象等知识点掌握得不够好，经常出现解题错误，现将这些错误进行归纳并举例说明．一、忽视0没有对数例13 求函数y ＝log 3(1＋x )2的定义域．错解 对于任意的实数x ，都有(1＋x )2≥0，所以原函数的定义域为R .剖析 只考虑到负数没有对数．事实上，由对数的定义可知，零和负数都没有对数． 正解 {x |x ≠－1}二、忽视1的对数为0例14 求函数y ＝1log 2(2x ＋3)的定义域． 错解 由2x ＋3>0，得x >－32， 所以定义域为{x |x >－32}． 剖析 当2x ＋3＝1时，log 21＝0，分母为0没有意义，上述解法忽视了这一点．正解 {x |x >－32且x ≠－1}三、忽视底数的取值范围例15 已知log (2x ＋5)(x 2＋x －1)＝1，则x 的值是( )A ．－4B ．－2或3C ．3D ．－4或5错解 由2x ＋5＝x 2＋x －1，化简得x 2－x －6＝0，解得x ＝－2或x ＝3.故选B.剖析 忽视了底数有意义的条件：2x ＋5>0且2x ＋5≠1.当x ＝－2时，2x ＋5＝1，应舍去，只能取x ＝3.正解 C四、忽视真数大于零例16 已知lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，求log 2x y的值． 错解 因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，所以xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，所以x ＝y 或x ＝4y ，即x y ＝1或x y ＝4， 所以log 2x y ＝0，或log 2x y＝4. 剖析 错误的原因在于忽视了原式中的三个对数式隐含的条件，x >0，y >0，x －2y >0，所以x >2y >0，所以x ＝y 不成立．正解 因为lg x ＋lg y ＝2lg(x －2y )，所以xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0，所以x ＝y 或x ＝4y ，因为x >0，y >0，x －2y >0，所以x ＝y 应舍去，所以x ＝4y ，即x y＝4， 所以log 2x y＝4. 五、对数运算性质混淆例17 下列运算：(1)log 28log 24＝log 284； (2)log 28＝3log 22；(3)log 2(8－4)＝log 28－log 24；(4)log 243·log 23＝log 2(43×3)．其中正确的有( ) A ．4个 B ．3个C ．2个D ．1个错解 A剖析 (1)log 28log 24真数8与4不能相除；(3)中log 2(8－4)不能把log 乘进去运算，没有这种运算的，运算log 284＝log 28－log 24才是对的；(4)错把log 提出来运算了，也没有这种运算，正确的只有(2)．正解 D六、忽视对含参底数的讨论例18 已知函数y ＝log a x (2≤x ≤4)的最大值比最小值大1，求a 的值．错解 由题意得log a 4－log a 2＝log a 2＝1，所以a ＝2.剖析 对数函数的底数含有参数a ，错在没有讨论a 与1的大小关系而直接按a >1解题． 正解 (1)若a >1，函数y ＝log a x (2≤x ≤4)为增函数，由题意得log a 4－log a 2＝log a 2＝1，所以a ＝2，又2>1，符合题意．(2)若0<a <1，函数y ＝log a x (2≤x ≤4)为减函数，由题意得log a 2－log a 4＝log a 12＝1， 所以a ＝12，又0<12<1，符合题意， 综上可知a ＝2或a ＝12.巧借对数函数图象解题数形结合思想，就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合．通过对图形的认识、数形转化，来提高思维的灵活性、形象性、直观性，使问题化难为易、化抽象为具体．它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面．一、利用数形结合判断方程解的范围方程解的问题可以转化为曲线的交点问题，从而把代数与几何有机地结合起来，使问题的解决得到简化．例1 方程lg x＋x＝3的解所在区间为()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3，＋∞)答案 C解在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝lg x与y＝－x＋3的图象(如图所示)．它们的交点横坐标x0显然在区间(1,3)内，由此可排除选项A、D.实际上这是要比较x0与2的大小．当x0＝2时，lg x0＝lg 2，3－x0＝1.由于lg 2<1，因此x0>2，从而判定x0∈(2,3)．点评本题是通过构造函数用数形结合法求方程lg x＋x＝3的解所在的区间．数形结合，要在结合方面下功夫．不仅要通过图象直观估计，而且还要计算x0的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断．二、利用数形结合求解的个数例2 已知函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[－1,1)时，f(x)＝x，则方程f(x)＝lg x的根的个数是________．解析构造函数g(x)＝lg x，在同一坐标系中画出f(x)与g(x)的图象，如图所示，易知有4个根．答案 4点评本题学生极易填3，其原因是学生作图不标准，尤其是在作对数函数的图象时没有考虑到当x＝10时，y＝1.因此，在利用数形结合法解决问题时，要注意作图的准确性．三、利用数形结合解不等式例3 使log2x<1－x成立的x的取值范围是______________________________________．解析构造函数f(x)＝log2x，g(x)＝1－x，在同一坐标系中作出两者的图象，如图所示，直接从图象中观察得到x∈(0,1)．答案(0,1)点评用数形结合的方法去分析解决问题，除了会读图外，还要会画图，绘制图形既是利用数形结合方法的需要，也是培养我们动手能力的需要．数函数常见题型归纳一、考查对数函数的定义例4 已知函数f (x )为对数函数，且满足f (3＋1)＋f (3－1)＝1，求f (5＋1)＋f (5－1)的值．解 设对数函数f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)，由已知得log a (3＋1)＋log a (3－1)＝1，即log a [(3＋1)×(3－1)]＝1⇒a ＝2.所以f (x )＝log 2x (x >0)．从而得f (5＋1)＋f (5－1)＝log 2[(5＋1)×(5－1)]＝2.二、考查对数的运算性质例5 log 89log 23的值是( ) A.23 B ．1 C.32D ．2 解析 原式＝log 29log 28·1log 23＝23·log 23log 22·1log 23＝23. 答案 A三、考查指数式与对数式的互化例6 已知log a x ＝2，log b x ＝3，log c x ＝6，求log abc x 的值．解 由已知，得a 2＝x ，b 3＝x ，c 6＝x ，所以a ＝x 12，b ＝x 13，c ＝x 16. 于是，有abc ＝x 12＋13＋16＝x 1， 所以x ＝abc ，则log abc x ＝1.四、考查对数函数定义域和值域(最值)例7 (江西高考)若f (x )＝1log 12(2x ＋1)，则f (x )的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，0 B.⎝⎛⎦⎤－12，0 C.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞) 答案 A解析 要使f (x )有意义，需log 12(2x ＋1)>0＝log 121， ∴0<2x ＋1<1，∴－12<x <0. 例8 已知函数f (x )＝2＋log 3x (1≤x ≤9)，则函数g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)的最大值为________，最小值为________．解析 由已知，得函数g (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9⇒1≤x ≤3.且g (x )＝f 2(x )＋f (x 2) ＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝log 23x ＋6log 3x ＋6.则当log 3x ＝0，即x ＝1时，g (x )有最小值g (1)＝6；当log 3x ＝1，即x ＝3时，g (x )有最大值g (3)＝13.答案 13 6五、考查单调性例9 若函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a 为( )A.24B.22C.14D.12解析 由于0<a <1，所以f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a,2a ]上递减，在区间[a,2a ]上的最大值为f (a )，最小值为f (2a )，则f (a )＝3f (2a )，即log a a ＝3log a (2a )⇒a ＝24. 答案 A 六、考查对数函数的图象例10 若不等式x 2－log a x <0在(0，12)内恒成立，则a 的取值范围是________． 解析 由已知，不等式可化为x 2<log a x .所以不等式x 2<log a x 在(0，12)内恒成立，可转化为当x ∈(0，12)时， 函数y ＝x 2的图象在函数y ＝log a x 图象的下方，如图所示．答案 [116，1) 点评 不等式x 2<log a x 左边是一个二次函数，右边是一个对数函数，不可能直接求解，充分发挥图象的作用，则可迅速达到求解目的．巧比对数大小一、中间值法若两对数底数不相同且真数也不相同时，比较其大小通常运用中间值作媒介进行过渡． 理论依据：若A >C ，C >B ，则A >B .例11 比较大小：log 932，log 8 3. 解 由于log 932<log 93＝14＝log 822<log 83， 所以log 932<log 8 3. 点评 以14为纽带，建立起放缩的桥梁，解题时常通过观察确定中间值的选取． 二、比较法比较法是比较对数大小的常用方法，通常有作差和作商两种策略．理论依据：(1)作差比较：若A －B >0，则A >B ；(2)作商比较：若A ，B >0，且A B>1，则A >B . 例12 比较大小：(1)log 47，log 1221；(2)log 1.10.9，log 0.91.1.解 (1)log 47－log 1221＝(log 47－1)－(log 1221－1)＝log 474－log 1274＝1log 744－1log 7412， 由于0<log 744<log 7412，所以1log 744>1log 7412，即log 47>log 1221. (2)由于log 1.10.9，log 0.91.1都小于零，所以|log 1.10.9||log 0.91.1|＝(log 1.10.9)2＝(－log 1.10.9)2 ＝(log 1.1109)2>(log 1.11110)2＝1， 故|log 1.10.9|>|log 0.91.1|，所以log 1.10.9<log 0.91.1.点评 将本例(1)推广延伸为：若1<A <B ，C >0，则log A B >log AC (BC )，进而可比较形如此类对数的大小．三、减数法将对数值的大概范围确定后，两边同减去一个数，通过局部比较大小．理论依据：若A －C >B －C ，则A >B .例13 比较大小：log n ＋2(n ＋1)，log n ＋1n (n >1)．解 因为log n ＋2(n ＋1)－1＝log n ＋2n ＋1n ＋2>log n ＋2n n ＋1>log n ＋1n n ＋1＝log n ＋1n －1.所以log n ＋2(n ＋1)>log n ＋1n .点评 将本例推广延伸为：若1<A <B ，C >0，则log A ＋C (B ＋C )>log A B ，进而可比较形如此类对数的大小．四、析整取微法将对数的整数部分分别析取出来，通过比较相应小数部分的大小使得问题获解． 理论依据：若A ＝log a M ＝k ＋x ，B ＝log b N ＝k ＋y ，且x >y ，则A >B .例14 比较大小：log 123，log 138. 解 令log 123＝－2＋x ，log 138＝－2＋y ， 于是2－(－2＋x )＝3,3－(－2＋y )＝8，则2－x －3－y ＝34－89<0，故2－x <3－y . 两边同时取对数，化简得x lg 2>y lg 3，则x y >lg 3lg 2>1，即x >y ，故log 123>log 138. 点评 这种方法便于操作，容易掌握，并且所涉及的知识又都是通性通法，有利于“回归课本，夯实基础”，此法值得深思．例15 对于函数y ＝f (x )，x ∈D ，若存在一常数c ，对任意x 1∈D ，存在惟一的x 2∈D ，使f (x 1)＋f (x 2)2＝c ，则称函数f (x )在D 上的均值为c .已知f (x )＝lg x ，x ∈[10,100]，则函数f (x )＝lg x 在[10,100]上的均值为( )A.32B.34C.110D ．10 分析 该题通过定义均值的方式命题，以定义给出题目信息，是当前的一种命题趋势．其本质是考查关于对数和指数的运算性质和对定义的理解与转化．解析 首先从均值公式可得lg (x 1x 2)＝2c ，所以x 1x 2＝102c ＝100c .因为x 1，x 2∈[10,100]，所以x 1x 2∈[100,10 000]．所以100≤100c ≤ 10 000.所以1≤c ≤2.从选项看可知成为均值的常数可为32.故选A.答案 A例16 函数y ＝|log 2x |的定义域为[a ，b ]，值域为[0,2]，则区间[a ，b ]的长度b －a 的最小值为( )A ．3 B.34 C ．2 D.23分析 对函数的性质的分析研究一直是高中数学的重点，尤其是二次函数、指数函数和对数函数等重点函数的形态研究．本题正是以函数y ＝log 2x 为基础而编制，从定性分析和定量的计算中刻划a ，b 的关系．结合函数的图象(图象是函数性质的立体显示)数形结合易于寻找、确定二者的关系．解析 画出函数图象如图所示．由log 2a ＝－2得a ＝14.由log 2b ＝2得b ＝4.数形结合知a ∈[14，1]，b ∈[1,4]．考虑函数定义域，满足值域[0,2]的取值情况可知，当b ＝1，a ＝14时，b －a 的最小值为1－14＝34.故选B.答案 B解题要学会反思解题中的反思是完善解题思路的有效方法，面对一道较为综合的题，寻找解题思路时，想一步到位，往往不太现实；边解边反思，逐步产生完善、正确的解题思路，却是可行的，请看：题目：已知函数f (x )＝log m x －3x ＋3，试问：是否存在正数α，β，使f (x )在[α，β]上的值域为[log m (β－4)，log m (α－4)]？若存在，求出α，β的值；若不存在，说明理由．甲：在[α，β]上的值域为[log m (β－4)，log m (α－4)]，也就是⎩⎪⎨⎪⎧log mα－3α＋3＝log m (β－4)，log mβ－3β＋3＝log m(α－4)⇒⎩⎪⎨⎪⎧αβ－5α＋3β＝9，αβ－5β＋3α＝9⇒α＝β，与α<β矛盾，故不存在．乙：你的解答不全面，你的求解建立在一个条件的基础上，就是函数f (x )是增函数，而题目并没有说明这个函数是增函数呀！丙：没错，应该对m 进行讨论． 设0<α≤x 1<x 2≤β，由于x 1－3x 1＋3－x 2－3x 2＋3＝6(x 1－x 2)(x 1＋3)(x 2＋3)<0，那么0<x 1－3x 1＋3<x 2－3x 2＋3.讨论：(1)若0<m <1，则log m x 1－3x 1＋3>log m x 2－3x 2＋3，即f (x 1)>f (x 2)，得f (x )为减函数．(2)若m >1，则log m x 1－3x 1＋3<log m x 2－3x 2＋3，即f (x 1)<f (x 2)，得f (x )为增函数． 若m 存在，当0<m <1时，则 ⎩⎪⎨⎪⎧log mβ－3β＋3＝log m(β－4)，log mα－3α＋3＝log m(α－4)⇒⎩⎪⎨⎪⎧β2－2β－9＝0，α2－2α－9＝0. 显然α，β是方程x 2－2x －9＝0的两根，由于此方程的两根中一根为正，另一根为负，与0<α<β不符，因此m 不存在；当m >1时，就是甲的解题过程，同样满足条件的α，β不存在．老师：乙和丙实质上是对甲的解法做了个反思．通过你们的讨论可以看出，反思的作用相当大，它可以使思路逐步完善，最终形成完美的解题过程．对数函数高考考点例析对数函数是高中数学函数知识的重要组成部分，关于对数函数的考查在高考中一直占有重要的地位．下面我们针对近几年高考中考查对数函数知识的几个着眼点作一一剖析，希望对大家的学习有所帮助．考点一 判断图象交点个数1．(湖南高考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4， x ≤1，x 2－4x ＋3， x ＞1的图象和函数g (x )＝log 2x 的图象的交点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析 作出函数f (x )与g (x )的图象，如图所示，由图象可知：两函数图象的交点有3个． 答案 C考点二 函数单调性的考查2．(江苏高考)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．解析 函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，令t ＝2x ＋1(t >0)．因为y ＝log 5t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝2x ＋1在⎝⎛⎭⎫－12，＋∞上为增函数，所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 答案 ⎝⎛⎭⎫－12，＋∞考点三 求变量范围3．(辽宁高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ， x ≤1，1－log 2x ， x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)解析 当x ≤1时，由21－x ≤2，知x ≥0，即0≤x ≤1.当x >1时，由1－log 2x ≤2，知x ≥12，即x >1，所以满足f (x )≤2的x 的取值范围是[0，＋∞)．答案 D考点四 比较大小(一)图象法4．(天津高考)设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，⎝⎛⎭⎫12b ＝log 12b ，⎝⎛⎭⎫12c＝log 2c ，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c 解析由2a>0，∴log 12a >0，∴0<a <1.同理0<b <1，c >1， ∴c 最大在同一坐标系中作出y ＝2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ，y ＝log 12x 的图象如图所示， 观察得a <b .∴a <b <c . 答案 A (二)排除法当我们面临的问题不易从正面入手直接挑选出正确的答案或解题过程繁琐时，可以从反面入手，因为选择题的正确答案已在选项中列出，从而逐一考虑所有选项，排除其中不正确的，则剩下的就是正确的答案．5．(全国高考)若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c 解析 首先比较a ，b ， 即比较3ln 2,2ln 3的大小， ∵3ln 2＝ln 8＜ln 9＝2ln 3， ∴a ＜b .故排除B 、D. 同理可得c ＜a . 答案 C (三)媒介法对于直接比较困难时，常插入媒介，以此为桥梁进行比较，常插入0或1.6．(山东高考)下列大小关系正确的是( ) A ．0.43>30.4<log 40.3 B ．0.43<log 40.3<30.4 C ．log 40.3<0.43<30.4 D ．log 40.3<30.4<0.43 解析 分析知0<0.43<1,30.4>30＝1， log 40.3<log 41＝0，故log 40.3<0.43<30.4.故选C. 答案 C (四)特值法对于有些有关对数不等式的选择题，通过取一些符合条件的特殊值验证，往往也能简便求解．7．(青岛模拟)已知0<x <y <a <1，则有( ) A ．log a (xy )<0 B ．0<log a (xy )<1 C ．1<log a (xy )<2 D ．log a (xy )>2解析 取x ＝18，y ＝14，a ＝12，代入log a (xy )检验即可得D.答案 D。

对数的运算性质（学案）一、学习目标1．理解对数的运算性质．(重点)2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明(易混点)．二、自主学习教材整理1对数的运算性质阅读教材P 64至P 65“例3”以上部分，完成下列问题．对数的运算性质：如果a >0，且a ≠1，M>0，N >0，那么：(1)log a (M·N )＝log a M ＋log a N ；(2)log a M N＝log a M －log a N ； (3)log a M n ＝nlog a M__(n ∈R )．教材整理2 换底公式阅读教材P 65至P 66“例5”以上部分，完成下列问题．对数换底公式：log a b ＝log c b log c a(a >0，且a ≠1，b >0，c>0，且c≠1)； 特别地：log a b ·log b a ＝1(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1)．三、合作探究例1.求下列各式的值：(1)lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18; (2)2lg 2＋lg 32＋lg 0.36＋2lg 2； (3)log 34273＋lg 25＋lg 4＋7log 72；(4)2log 32－log 3329＋log 38－52log 53. 【自主解答】(1)法一； 原式＝lg (2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg (32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.法二； 原式＝lg 14－lg ⎝⎛⎭⎫732＋lg 7－lg 18＝lg 14×7⎝⎛⎭⎫732×18＝lg 1＝0. (2)原式＝2lg 2＋lg 32＋lg 36－2＋2lg 2＝2lg 2＋lg 32lg 2＋lg 3＋2lg 2＝2lg 2＋lg 34lg 2＋2lg 3＝12. (3)原式＝log 33343＋lg (25×4)＋2＝log 33－14＋lg 102＋2＝－14＋2＋2＝154. (4)原式＝2log 32－(log 325－log 39)＋3log 32－5log 532＝2log 32－5log 32＋2log 33＋3log 32－9＝2－9＝－7.归纳总结：1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．2．对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．例2.一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13(结果保留1个有效数字)？(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) 【自主解答】 设物质的原有量为a ，经过t 年，该物质的剩余量是原来的13，由题意可得a ·0.75t ＝13a ， ∴⎝⎛⎭⎫34t ＝13，两边取以10为底的对数得lg ⎝⎛⎭⎫34t ＝lg 13，∴t(lg 3－2lg 2)＝－lg 3， ∴t ＝－lg 3lg 3－2lg 2≈0.477 12×0.301 0－0.477 1≈4(年)． 归纳总结：解对数应用题的步骤例3. (1)已知log 1227＝a ，求log 616的值； (2)计算(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258)的值.【自主解答】(1)由log 1227＝a ，得3lg 32lg 2＋lg 3＝a ，∴lg 2＝3－a 2a lg 3. ∴log 616＝lg 16lg 6＝4lg 2lg 2＋lg 3＝4×3－a 2a 1＋3－a 2a＝43－a 3＋a . (2)法一； 原式＝⎝⎛⎭⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28·log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125＝⎝⎛⎭⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55＝⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·(3log 52) ＝13log 25·log 22log 25＝13. 法二； 原式＝⎝⎛⎭⎫lg 125lg 2＋lg 25lg 4＋lg 5lg 8lg 2lg 5＋lg 4lg 25＋lg 8lg 125 ＝⎝⎛⎭⎫3lg 5lg 2＋2lg 52lg 2＋lg 53lg 2⎝⎛⎭⎫lg 2lg 5＋2lg 22lg 5＋3lg 23lg 5＝⎝⎛⎭⎫13lg 53lg 2⎝⎛⎭⎫3lg 2lg 5＝13.法三 原式＝(log 2153＋log 2252＋log 2351)·(log 512＋log 5222＋log 5323)＝⎝⎛⎭⎫3log 25＋log 25＋13log 25(log 52＋log 52＋log 52)＝3×⎝⎛⎭⎫3＋1＋13log 25·log 52＝3×133＝13. 归纳总结：1．在利用换底公式进行化简求值时，一般情况下是根据题中所给对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底．2．在运用换底公式时，还可结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如log a b ·log b a ＝1，log a b ·log b c·log c d ＝log a d ，log a m b n ＝n mlog a b ，log a a n ＝n ，等，将会达到事半功倍的效果． 四、学以致用1．求下列各式的值：(1)lg 25＋lg 2·lg 50；(2)23lg 8＋lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 25. 【解】(1)原式＝lg 25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg 25＋1－lg 25＝1.(2)23lg 8＋lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＋lg 2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2＋lg 5＋lg 2＝3.2．地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23(lg E －11.4)．根据英国天空电视台报道，英格兰南部2007年4月28日发生地震，欧洲地震监测站称，地震的震级为5.0级，而2011年3月11日，日本本州岛发生9.0级地震，那么此次地震释放的能量是5.0级地震释放能量的________倍．【解】 设9.0级地震所释放的能量为E 1,5.0级地震所释放的能量为E 2.由9.0＝23(lg E 1－11.4)， 得lg E 1＝32×9.0＋11.4＝24.9.同理可得lg E 2＝32×5.0＋11.4＝18.9， 从而lg E 1－lg E 2＝24.9－18.9＝6.故lg E 1－lg E 2＝lg E 1E 2＝6，则E 1E 2＝106＝1 000 000， 即9.0级地震释放的能量是5.0级地震释放能量的1 000 000倍．3.求值：log 225·log 3116·log 519＝________. 【解析】 原式＝log 252·log 32－4·log 53－2＝2lg 5lg 2·－4lg 2lg 3·－2lg 3lg 5＝16. 【答案】16五、自主小测1．若a >0，且a ≠1，x ∈R ，y ∈R ，且xy >0，则下列各式不恒成立的是()①log a x 2＝2log a x ；②log a x 2＝2log a |x |；③log a (xy )＝log a x ＋log a y ；④log a (xy )＝log a |x |＋log a |y |.A ．②④B ．①③C ．①④D ．②③ 2．lg 2516－2lg 59＋lg 3281等于() A ．lg 2 B ．lg 3C ．lg 4D ．lg 5 3．已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则log a 18＝________.(用m ，n 表示)4．计算(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25＝________.5．已知log 189＝a ,18b ＝5，求log 3645.参考答案1.【解析】 ∵xy >0，∴①中，若x <0，则不成立；③中，若x <0，y <0也不成立，故选B .【答案】 B2.【解析】 lg 2516－2lg 59＋lg 3281＝lg ⎝⎛⎭⎫2516÷2581×3281＝lg 2.故选A .【答案】 A3.【解析】 log a 18＝log a (2×32)＝log a 2＋log a 32＝log a 2＋2log a 3＝m ＋2n .【答案】 m ＋2n4.【解析】 原式＝(lg 2)2＋lg 2·(1＋lg 5)＋2lg 5＝lg 2(1＋lg 5＋lg 2)＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5＝2.【答案】 25.【解】 法一 ∵log 189＝a ,18b ＝5，即log 185＝b ，于是log 3645＝log 1845log 1836＝log 189×5log 1818×2＝log 189＋log 1851＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－a . 法二 ∵log 189＝a ,18b ＝5，即log 185＝b .于是log 3645＝log 189×5log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b 2－a . 法三 ∵log 189＝a ,18b ＝5，∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18.∴log 3645＝lg 45lg 36＝lg 9×5lg 1829＝lg 9＋lg 52lg 18－lg 9＝alg 18＋b lg 182lg 18－alg 18＝a ＋b 2－a .。

222对数函数及其性质(一)自主学习(8学习目标1. 掌握对数函数的概念、图象和性质.2 •能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数 函数关系的实质.®自学导引1.对数函数的定义：一般地，我们把函数y = log a x(a>0,且1)叫做 ________________________ 其中x 是自变量，函数的定义域是 (0,+^ ).2.对数函数的图象与性质定义 y = log a x (a>0，且1)底数a>10<a<1图象ynrjy=log3(d>l)r| ［厂 1《期一-定义域 (0,+m ) 值域 R单调性 在(0,+^ )上是增函数在(0,+^ )上是减函数 共点性 图象过定点，即x = 1时，y = 0 函数值 特点x € (0,1)时，y € ； x € [1 ,+s )时， y €x € (0,1)时，y €；x € [1 ,+s )时，y €对称性1函数y =log a x 与y =lo ga x 的图象关于对称3•反函数对数函数y = log a x (a>0且a 丰1)和指数函数 ____________________________ 互为反函数.对点讲练规律方法 (1)y = log a x(a>0，且a 丰1)图象无限地靠近于 y 轴，但永远不会与 y 轴相交. (2)设 y 1= log a x , y 2= log b x ,其中 a>1, b>1(或 0<a<1 , 0<b<1)，则当 x>1 时，"底大图 低”，即若a>b ，则丫1今2•当0<x<1时，“底大图高”，即若a>b ，则y 1>y 2.1知识点一【例1】 下图是对数函数y = log a x 的图象，已知a 值取.3, 4, £,盘，则图象6,_4 3 A •电、3、3 10 B • . 3、彳、 1 310、5c 4、晶 3 c.3 ' 5 10D.3 ,3>1 3 10、5对数函数的图象C 2, C 3, C 4相应的1(3)在同一坐标系内，y= log a x(a>0,且1)的图象与y= log x(a>0，且a丰1)的图象关a于x轴(即y= 0)对称.变式迁移1借助图象求使函数y= log a(3x+ 4)的函数值恒为负值的x的取值范围.对数函数的单调性的应用【例2】比较下列各组中两个值的大小：(1)log0.52.7, log o.52.8; (2)log34, log65; (3)log a n ge (a>0 且a丰 1).变式迁移 2 若a= log3 n b= log76, c= log20.8，则()A . a>b>c B. b>a>c C. c>a>b D. b>c>a冊監样求函数的定义域【例求下列函数的定义域：3 _ __ ____________________(1) y= ,log2X; (2)y= . Iog o.5 4x—3 ; (3)y= log(x+1)(2-x).规律方法求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性的解不等式.变式迁移3求下列函数的定义域.1 _______________________(1) y= lg x+ 1 —3；(2)y= Iog a4x—3 (a>0,且a z 1).1. 对数函数单调性等重要性质要借助图象来理解与掌握. 2•比较对数值的大小要用函数单调性及中间 “桥梁”过渡•另外还要注意底数是否相 同.3•掌握对数函数不但要清楚对数函数自身的图象和性质，还要结合指数函数的图象和 性质来对比掌握.4•对数函数的单调性与指数函数的单调性大同小异.课时作业一、选择题11.已知函数f(x)=——的定义域为 M ,g(x) = ln(1 + x)的定义域为N,则M n N 等于()V 1 — xA . {x|x> — 1}B . {x|x<1}C . {x|— 1<x<1}D . ?2.若 log a 2<log b 2<0，则()A . 0<a<b<1B . 0<b<a<1C . a>b>1D . b>a>13.以下四个数中的最大者是 ()2A . (In 2)B . ln(ln 2)C . ln 2D .In 2二、填空题5. 函数 f(x) = '住—*的定义域为 __________________x — 3 6. 若指数函数f(x)= a x 则不等式log a (x —1)<07. __________________________________________ 函数y = log a (x + 2) + 3的图象过定点 _____________________________________________________三、解答题&求下列函数的定义域： (1) y 「32x -1-27；(2) y = . — ig 1 — x ；1x —2 0 2f(x) 0.694 11.44(3) y= (a>0, a 丰 1).X/1 —loga(x+ a )1 + x9•已知f(x)= log a^—x(a>0, a 丰 1),⑴求f(x)的定义域；⑵求使f(x)>0的x的取值范围；⑶判断f(x)的奇偶性.0<3x + 4<1，4即—3<x< — 1.当0<a<1时，由题意有 3x + 4>1，即x>— 1.4综上，当 a>1 时，—3<x< — 1 ； 当 0<a<1 时，x> — 1. 【例 2】解(1) •/ 0<0.5<1 ,•••对数函数y = log °.5x 在(0, + 3)上是减函数. 又••• 2.7<2.8,.・. Iog 0.52.7>log 0.52.8. (2) •/ y = log 3X 在(0,+ )上是增函数，--log 34>log 33= 1.••• y = Iog 6x 在(0, + 3)上是增函数，• log 65<log 66= 1. • Iog 34>log 65.(3) 当a>1时，y = log a x 在(0, + 8)上是增函数. T n >e •- log a n >loge.当0<a<1时，y = log a x 在(0, + 8)上是减函数. T n >e •log a n <loge.综上可知，当a>1时，log a n >loge ； 当 0<a<1 时，log a n <loge. 变式迁移 2 A[利用界值法可得a = log 3 n >log3log 20.8<log 21 = 0,故 a>b>c.'【例3】解(1) T 该函数是奇次根式， 要使函数有意义, •••定义域是{x|x>0}.⑵要使函数y = , log 0.5 4x — 3有意义， 必须 log °.5(4x — 3) > 0 = log 0.51,3• 0<4x — 3< 1.解得：<x w 1.4广 r•定义域是1 :222对数函数及其性质(一)答案自学导引1 •对数函数2. (1,0) ( — 3 0) [0,+^ ) (0,+^ ) ( — 8, 0] x 轴3. y = a x (a>0 且 a 丰 1) 对点讲练 C 3 , C 4的交点的坐标为 @1,1), 显然 a 1 >a 2>a 3> a 4,所以C 1, 变式迁移 1,0<b = log 76<log 77 = 1 , c =只要对数的真数是正数即可，【例1】A［过(0,1)作平行于x 轴的直线，与 C i ，C 2,(a 2,1)，(a 3,1)，(a 4,1)，其中 a 1，a ?，a 3，分别为各对数的底,C 2，C ,1解x+ 1>0⑶由f x + 1丰1 ，得彳X M 0,[2 - x>0 X2即 0<x<2 或一1<x<0, 所求定义域为(—1,0) U (0,2).|lg x + 1 — 3 工 0变式迁移3解(1)由k+ 1>o3x + 1M 10 得，x>— 1x> — 1 且 x M 999,•••函数的定义域为{x|x>— 1且x M 999}. ⑵log a (4x — 3) > 0.(*) 当 a>1 时，(*)可化为 log a (4x — 3) > log a 1, • 4x — 3> 1, x > 1. 当0<a<1时，(*)可化为 log a (4x — 3) > log a 1,3• 0<4x — 3< 1，一 <x w 1.综上所述，当a>1时，函数定义域为[1 ,+^), 当0<a<1时，函数定义域为 4，1 . 课时作业1. C [由题意知 M = {x|x<1}, N = {x|x> — 1}.故 M n N = {x|— 1<x<1}.] 2.B [由底数与对数函数的图象关系 (如图)可知y =log a x , y = log b x 图象的大致走向.再由对数函数的图象规律：从第一象限看，自左向右底数依次增大.•••选 B.]3. D 0<ln 2<1 , • ln(ln 2)<0 , (ln 2)2<ln 2，而 ln 2=》n 2<ln 2. •最大的数是ln 2.]4. A5. {x|x<4，且 x M 3}x — 3 M 0 所以定义域为{x|x<4，且x M 3}. 6. {x|1<x<2}解析 由题可知 a = 1.2,「. Iog 1.2(x —1)<0 ,•lo g 1.2(x — 1)<log 1.21，解得 x<2, 又• x — 1>0，即 x>1 , • 1<x<2. 故原不等式的解集为{x|1<x<2}. 7. (— 1,3)x> — 1解析4— x>0解得x<4，且x M 3,& 解(1)由 32x -1 -27> 0 得，x >- 1. •所求定义域为［—1 , + a ).1 - x < 1⑵由一lg(1 -x)>0 得，二 °，1- x>0 即 x € ［0,1) •所求定义域为［0,1).(3)1 - log a (x + a)>0时，函数有意义, 即 log a (x + a)<1 ① 当 a>1 时，一a<- 1 x + a<a解得—a<x<0.二定乂域为(—a,0). 当 0<a<1 时，一1<-a<0. 由①得，x + a>a.「. x>0. •••定义域为(0,+ a ).故所求定义域是：当 0<a<1时，x € (0, + a )； 当 a>1 时，x € (- a,0).1 + x9.解(1)由 >0,得一1<x<1.1 — x 故所求的定义域为(—1,1).1 + x⑵①当 a>1 时，由 log a >0 = log a 11 — x1 + x 得 >1 , • 0<x<1. 1 — x1 + x②当 0<a<1 时，由 log a >0 = log a 11 — x1 + x 得 0< <1，•— 1<x<0. 1 - x故当a>1时，所求范围为 0<x<1 ; 当0<a<1时，所求范围为一1<x<0.1 — x(3)f( - x) = lOg a 弟1 + x - 1 =lo g a (1—) =- f (x)• f(x)为奇函数.由①得，x + a>0。

第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2 对数函数2.2.2 对数函数及其性质(第二课时)学习目标①进一步理解对数函数的图象和性质;②熟练应用对数函数的图象和性质解决一些综合问题;③通过例题和练习的讲解与演练,培养学生分析问题和解决问题的能力.合作学习一、复习回顾,承上启下完成下表(对数函数y=log a x(a>0,且a≠0)的图象和性质)二、典例分析,性质应用1.函数单调性【例1】比较下列各组中两个值的大小:(1)log67,log76;(2)log3π,log20.8.变式1.已知x=时,不等式log a(x2-x-2)>log a(-x2+2x+3)成立,求使此不等式成立的x的取值范围.变式2.若函数f(x)=log a x(0<a<1)在区间上的最大值是最小值的3倍,求a的值.【例2】求下列函数的单调性.(1)y=log2(x2+2x-3);(2)y=lo(-x2+4x+5).2.过定点问题【例3】函数y=log a(x+3)(a>0,且a≠1)的图象恒过定点.变式3.(1)函数y=kx-2k+3的图象恒过定点.(2)函数y=a x-2+3(a>0,且a≠1)的图象恒过定点.3.函数图象的应用探究1:函数y=log2x,y=log5x,y=lg x的图象如图所示,回答下列问题.说明哪个函数对应于哪个图象,并解释为什么?探究2:分别画出函数④y=lo x,⑤y=lo x,⑥y=lo x的图象,并找出规律.探究3:y=log a x,y=log b x,y=log c x的图象如图所示,那么a,b,c的大小关系怎样?【例4】已知函数y=lo x,y=lo x,y=lo x,y=lo x的图象,则底数及1之间的关系: .变式4.已知y=log m(π-3)<log n(π-3)<0,m,n为不等于1的正数,则下列关系中正确的是( )A.1<n<mB.m<n<1C.1<m<nD.n<m<1三、变式演练,深化提高1.比较大小.(1)log0.30.7,log0.40.3;(2)log3.40.7,log0.60.8,(;(3)log0.30.1,log0.20.1.2.若定义在区间(-1,0)内的函数f(x)=log2a(x+1)满足f(x)>0,则a的取值范围是( )A.(0,)B.(0,]C.(,+∞)D.(0,+∞)3.已知log a(3a-1)恒为正数,求a的取值范围.4.函数y=log a x在上的最大值比最小值大1,求a的值.5.若a>0且a≠1,且log a<1,则实数a的取值范围是( )A.0<a<1B.0<a<C.a>或0<a<D.0<a<或a>16.函数y=x+a与y=log a x的图象可能是( )7.求函数y=lo(3-2x-x2)的单调区间.四、反思小结,观点提炼请同学们想一想,本节课我们学习了哪些知识?1.;2.;3..五、作业精选,巩固提高1.如果log a2>log b2>0,那么下面不等关系式中正确的是( )A.0<a<b<1B.0<b<a<1C.a>b>1D.b>a>12.当a>1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=log a x的图象是( )3.函数f(x)=log4(x2-1),若f(a)>2,则实数a的取值范围是.4.课本P75习题2.2B组第1,3,4题.参考答案一、复习回顾,承上启下(0,+∞)R(1,0) (0,+∞) (0,+∞)二、典例分析,性质应用【例1】解:(1)∵log67>log66=1,log76<log77=1,故log67>log76;(2)∵log3π>log31=0,log20.8<log21=0,故log3π>log20.8.变式1.解:∵x=使原不等式成立,∴log a>log a,即log a>log a,而,所以y=log a x为减函数,故0<a<1.原不等式可化为解得故使不等式成立的x的取值范围是(2,).变式2.a=【例2】解:(1)定义域为(-∞,-3)∪(1,+∞).原函数可看做函数y=log2u与函数u=x2+2x-3,x∈(-∞,-3)∪(1,+∞)的复合函数,因为函数y=log2u为增函数,函数u=x2+2x-3,x∈(-∞,-3)∪(1,+∞)在(-∞,-3)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,所以,y=log2(x2+2x-3)在(-∞,-3)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数.(2)在(-1,2)上为减函数,在(2,5)上为增函数.【例3】(-2,0)变式3.(1)(2,3) (2)(2,4)探究1:y=log2x对应①,y=log5x对应②,y=lg x对应③.规律:a>1时,x轴上方的图象,越靠右的底a越大,且在直线x=1的右侧.探究2:画图略.规律:0<a<1时,x轴上方的图象,越靠右的底a越大,且在直线x=1的左侧.探究3:a>c>b【例4】 a2>a1>1>a4>a3变式4.C三、变式演练,深化提高1.(1)log0.30.7<log0.40.3;(2)log3.40.7<log0.60.8<(;(3)log0.30.1>log0.20.1.2.A3.()∪(1,+∞)4.或25.D6.C7.减区间为(-3,-1),增区间为(-1,1)四、反思小结,观点提炼1.对数函数单调性及其应用2.对数函数的图象及其应用3.借对数函数过定点探究函数过定点问题五、作业精选,巩固提高1.D2.B3.(-∞,-)。

第2课时对数函数及其性质的应用[学习目标] 1.掌握对数函数的单调性，会进行同底对数和不同底对数大小的比较．(重点)2.了解反函数的概念，知道互为反函数的两个函数之间的联系及两个图象的特征．(难点)3.通过指数函数、对数函数的学习，加深理解分类讨论、数形结合这两种重要数学思想的意义和作用．(重点)(1)(2014·辽宁高考)已知a＝2－13，b＝log213，c＝log1213，则()A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a(2)比较下列各组中两个值的大小：①ln0.3，ln2；②log a3.1，log a5.2(a>0，且a≠1)；③log30.2，log40.2；④log3π，logπ3.【解析】(1)0＜a＝2－13＜20＝1，b＝log213＜log2 1＝0，c＝log1213＞log1212＝1，即0＜a＜1，b＜0，c＞1，所以c＞a＞b.【答案】 C(2)①因为函数y＝ln x是增函数，且0.3<2，所以ln0.3<ln2.②当a>1时，函数y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，又3.1<5.2，所以log a3.1<log a5.2；当0<a<1时，函数y＝log a x在(0，＋∞)上是减函数，又3.1<5.2，所以log a3.1>log a5.2.③方法一 因为0>log 0.23>log 0.24，所以1log 0.23<1log 0.24，即log 30.2<log 40.2.方法二 如图所示由图可知log 40.2>log 30.2.④因为函数y ＝log 3x 是增函数，且π>3，所以log 3π>log 33＝1. 同理，1＝log ππ>log π3，所以log 3π>log π3.对数值比较大小的常用方法．(1)如果同底， 则可直接利用单调性求解．如果底数为字母，则要分类讨论． (2)如果不同底，一种方法是化为同底，另一种方法是寻找中间量．(3)如果不同底但同真，可利用图象的高低与底数的大小解决或利用换底公式化为同底后再进行比较．(4)若底数和真数都不相同，则常借助中间量1，0，－1等进行比较．(1)已知log a 12＞1，求a 的取值范围；(2)已知log 0.72x ＜log 0.7(x －1)，求x 的取值范围．【思路探究】 (1)变量字母在底数位置，需对a 进行分类讨论，利用对数的单调性列出不等式求解．(2)利用函数的单调性和真数大于零列出不等式组求解． 【解】 (1)由log a 12＞1，得log a 12＞log a a .①当a ＞1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上为增函数，有a ＜12，此时无解．②当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上为减函数，有12＜a ，从而12＜a ＜1.∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(2)∵函数y ＝log 0.7x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴由log 0.72x ＜log 0.7(x －1) 得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＞0，x －1＞0，2x ＞x －1，解得x ＞1.常见的对数不等式有三种类型：(1)形如log a x ＞log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a ＞1与0＜a ＜1两种情况讨论．(2)形如log a x ＞b 的不等式，应将b 化为以a 为底的对数式的形式，再借助y ＝log a x 的单调性求解．(3)形如log a x ＞log b x 的不等式，可利用图象求解．将(1)中“log a 12＞1”改为“log a 12＜1”，求a 的取值范围．【解】 由log a 12＜1，得log a 12＜log a a .(1)当a ＞1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上为增函数，有12＜a ，从而a ＞1；(2)当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上为减函数，有12＞a ，从而0＜a ＜12.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(1，＋∞)．小值为________．(2)函数y ＝log 12(1－x )＋log 12(x ＋3)的值域为________．【思路探究】 (1)利用对数的运算法则及性质对函数解析式进行化简，通过换元化归为二次函数求最值．(2)利用对数的运算法则对函数解析式进行化简，运用换元法结合对数函数的单调性求值域．【解析】 (1)f (x )＝log 2x ·log 2(2x )＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (1＋log 2x )．设t ＝log 2x (t ∈R)，则原函数可以化为y ＝t (t ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－14(t ∈R)，故该函数的最小值为－14.故f (x )的最小值为－14.(2)要使函数有意义应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0x ＋3＞0所以－3＜x ＜1，又y ＝log 12[(1－x )(x ＋3)]＝log 12[4－(x ＋1)2]，x ∈(－3，1)．令u ＝4－(x ＋1)2(－3＜x ＜1)，则当x ＝－1时，u max ＝4，得u ∈(0，4]，又因为y ＝log 12u 是减函数，所以y min ＝－2，即函数的值域为[－2，＋∞)．【答案】 (1)－14 (2)[－2，＋∞)求函数值域或最大(小)值的常用方法：(1)直接法：根据函数的解析式，结合函数的定义域利用函数的性质直接求解；(2)配方法：二次函数或化为二次函数形式的(形如y＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c)可用配方法求解；(3)单调性法：利用函数的单调性求解；(4)换元法：形如y＝log a f(x)的函数可用换元法求解，但应注意元的范围以及函数的单调性．若函数f(x)＝a x＋log a(x＋1)在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为________．【解析】当a＞1时，函数f(x)为增函数，f(x)max＝f(1)＝a＋log a2，f(x)min ＝f(0)＝1，故a＋log a2＋1＝a，即log a2＝－1，解得a＝12，与a＞1矛盾；当0＜a＜1时，函数f(x)为减函数，f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(1)＝a＋log a2，故a＋log a2＋1＝a，即log a2＝－1，解得a＝12.【答案】1 21．比较两个对数值的大小及解对数不等式问题，其依据是对数函数的单调性．若对数的底数是字母且范围不明确，一般要分a >1和0<a <1两类分别求解．2．解决与对数函数相关的问题时要树立“定义域优先”的原则，同时注意数形结合思想和分类讨论思想在解决问题中的应用．换元法在求函数值域中的应用(12分)(2014·济宁高一检测)设函数f (x )＝log 2(4x )·log 2(2x )，14≤x≤4.若t ＝log 2x .(1)求t 的取值范围． (2)求f (x )的值域．【思路探究】 (1)利用函数的单调性求解；(2)利用t ＝log 2x ，14≤x ≤4，将所求函数的值域问题转化为二次函数的值域问题求解．【满分样板】 (1)因为t ＝log 2x ，14≤x ≤4，所以log 214≤t ≤log 24，即－2≤t ≤2.5分(2)函数f (x )＝log 2(4x )·log 2(2x )，即f (x )＝(log 2x )2＋3log 2x ＋2，又t ＝log 2x ，则 y ＝t 2＋3t ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋322－14(－2≤t ≤2).7分当t ＝－32时，即log 2x ＝－32，x ＝2－32时，f (x )min ＝－14；当t ＝2时，即log 2x ＝2，x ＝4时，f (x )max ＝12.11分 综上可得，函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12.12分在解与对数函数有关的最值或值域问题，常用换元法来解决，但必须注意元的范围既不能扩大，又不能缩小，以确保换元后的等价性．——[类题尝试]————————————————— 求函数y ＝(log 14x )2－log 14x 2＋5，2≤x ≤4的值域．【解】 函数y ＝(log 14x )2－log 14x 2＋5＝(log 14x )2－2log 14x ＋5＝(log 14x －1)2＋4，令t ＝log 14x ，所以y ＝(t －1)2＋4.因为2≤x ≤4，所以－1≤t ≤－12，当t ＝－1时，y 取最大值为8， 当t ＝－12时，y 取最小值254.故所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤254，8.。

学习目标1.巩固和深化对于对数及其运算的理解和运用.2.掌握简单的对数函数的图象变换及其应用.3.会综合应用对数函数性质与其他有关知识解决问题．知识点一 对数概念及其运算1．当a >0，且a ≠1时，由指数式对数式互化可得恒等式：⎭⎪⎬⎪⎫a b ＝Nlog a N ＝b ⇒a log a N ＝____. 2．对数log a N (a >0，且a ≠1)具有下列性质(1)0和负数没有对数，即N ____0；(2)log a 1＝____；(3)log a a ＝____.3．运算公式已知a >0，且a ≠1，M 、N >0.(1)log a M ＋log a N ＝____________；(2)log a M －log a N ＝____________；(3)log n a M m ＝____log a M ；(4)log a M ＝log c M log c a ＝1log Ma(c >0，且c ≠1)． 知识点二 对数函数及其图象、性质函数________________________叫做对数函数．(1)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的定义域为______；值域为____；(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过点______；(3)当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递________；当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递________；(4)直线y ＝1与函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象交点为________．(5)y ＝log a x 与y ＝a x 的图象关于____对称．y ＝log a x 与y ＝log 1ax 的图象关于______对称．类型一 对数式的化简与求值例1(1)计算：log (2＋3)(2－3)；(2)已知2lg x －y 2＝lg x ＋lg y ，求log (3－22)x y.反思与感悟 在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底，指数与对数互化．跟踪训练1(1) (lg 3)2－lg 9＋1(lg 27＋lg 8－lg 1 000)lg 0.3·lg 1.2＝________. (2)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________.类型二 对数函数图象的应用例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，0<x ≤e ，2－ln x ，x >e ，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，求abc 的取值范围．反思与感悟 函数的图象直观形象地显示了函数的性质，因此涉及方程解的个数及不等式的解集等问题都可以通过函数的图象解决，即利用数形结合思想，使问题简单化．跟踪训练2 已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，如果对于任意的x ∈[13，2]都有|f (x )|≤1成立，试求a 的取值范围．类型三 对数函数的综合应用例3 已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a ＞1)，若函数y ＝g (x )图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 在函数f (x )的图象上．(1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围．跟踪训练3 已知函数f (x )的定义域是(－1,1)，对于任意的x ，y ∈(－1,1)，有f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ，且当x ＜0时，f (x )＞0.(1)验证函数g (x )＝ln 1－x 1＋x，x ∈(－1,1)是否满足上述这些条件； (2)你发现这样的函数f (x )还具有其他什么样的性质？试将函数的奇偶性、单调性方面的结论写出来，并加以证明．1．若log x 7y ＝z ，则()A ．y 7＝x zB ．y ＝x 7zC ．y ＝7x zD ．y ＝z 7x2．当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是() A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1 C ．(1，2) D ．(2，2)3．已知函数y ＝f (2x )的定义域为[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为()A ．[－1,1]B ．[12，2] C ．[1,2] D ．[2，4] 4．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为()A.14B.12C ．2D ．4 5．已知a 23＝49(a >0)，则log 23a ＝________.1．指数式a b ＝N 与对数式log a N ＝b 的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键．2．指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积．3．注意对数恒等式、对数换底公式及等式log am b n ＝n m ·log a b ，log a b ＝1log b a在解题中的灵活应用．4．在运用性质log a M n ＝n log a M 时，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M n ＝n log a |M |(n ∈N ＋，且n 为偶数)．5．指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别．6．明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象．因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象．答案精析知识梳理知识点一1．N2．(1)>(2)0(3)13．(1)log a (MN )(2)log a M N (3)m n知识点二y ＝log a x (a >0，且a ≠1)(1)(0，＋∞)R (2)(1,0)(3)增 减 (4)(a,1)(5)y ＝xx 轴题型探究例1解 (1)利用对数定义求值：设log (2＋3)(2－3)＝x ，则(2＋3)x ＝2－3＝12＋3＝(2＋3)－1， ∴x ＝－1. (2)由已知得lg(x －y 2)2＝lg xy ， ∴(x －y 2)2＝xy ，即x 2－6xy ＋y 2＝0. ∴(x y )2－6(x y)＋1＝0. ∴x y＝3±2 2. ∵⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＞0，x ＞0，y ＞0，∴x y ＞1，∴x y＝3＋22， ∴log (3－22)x y ＝log (3－22)(3＋22) ＝log (3－22)13－22 ＝－1.跟踪训练1(1)－32(2)2 例2解 f (x )的图象如图：设f (a )＝f (b )＝f (c )＝m ，不妨设a <b <c ，则直线y ＝m 与f (x )交点横坐标从左到右依次为a ，b ，c ， 由图象易知0<a <1<b <e<c <e 2，∴f (a )＝|ln a |＝－ln a ，f (b )＝|ln b |＝ln b .∴－ln a ＝ln b ，ln a ＋ln b ＝0，ln ab ＝ln 1，∴ab ＝1. ∴abc ＝c ∈(e ，e 2)．跟踪训练2 解 ∵f (x )＝log a x ，则y ＝|f (x )|的图象如图．由图示，要使x ∈[13，2]时恒有|f (x )|≤1， 只需|f (13)|≤1，即－1≤log a 13≤1， 即log a a －1≤log a 13≤log a a ， 所以当a ＞1时，得a －1≤13≤a ， 即a ≥3；当0＜a ＜1时，a ≤13≤a －1， 得0＜a ≤13. 综上所述，a 的取值范围是(0，13]∪[3，＋∞)． 例3解 (1)设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点，则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点，∵Q (－x ，－y )在f (x )的图象上，∴－y ＝log a (－x ＋1)，即y ＝g (x )＝－log a (1－x )．(2)f (x )＋g (x )≥m ，即log a x ＋11－x≥m .设F (x )＝log a 1＋x 1－x ＝log a (－1＋21－x)，x ∈[0,1)， 由题意知，只要F (x )min ≥m 即可．∵F (x )在[0,1)上是增函数，∴F (x )min ＝F (0)＝0.故m ≤0即为所求．跟踪训练3 解(1)因为g (x )＋g (y )＝ln 1－x 1＋x ＋ln 1－y 1＋y＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ·1－y 1＋y ＝ln 1－x －y ＋xy 1＋x ＋y ＋xy ， g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ＝ln 1－x ＋y 1＋xy 1＋x ＋y 1＋xy＝ln 1－x －y ＋xy 1＋x ＋y ＋xy， 所以g (x )＋g (y )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy 成立． 又当x ＜0时，1－x ＞1＋x ＞0，所以1－x 1＋x＞1， 所以g (x )＝ln 1－x 1＋x＞0成立． 综上g (x )＝ln 1－x 1＋x满足这些条件． (2)发现这样的函数f (x )在(－1,1)上是奇函数．因为x ＝y ＝0代入条件，得f (0)＋f (0)＝f (0)，所以f (0)＝0.将y ＝－x 代入条件得f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0⇒f (－x )＝－f (x )， 所以函数f (x )在(－1,1)上是奇函数．又发现这样的函数f (x )在(－1,1)上是减函数．因为f (x )－f (y )＝f (x )＋f (－y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy ， 当－1＜x ＜y ＜1时，x －y 1－xy ＜0，由条件知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 1－xy ＞0， 即f (x )－f (y )＞0⇒f (x )＞f (y )，所以函数f (x )在(－1,1)上是减函数．当堂训练1．B2.B3.D4.B5.3。

2.2.2(1)对数函数及其性质（教学设计） （内容：定义，图象与性质（单调性））教学目的：（1）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；（2）画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；（3）通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养学生数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法．教学重点：掌握对数函数的图象和性质．教学难点：对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用． 教学过程：一、复习回顾，新课引入1．复习指数函数的图象与性质○1 学习指数函数时，对其性质研究了哪些内容，采取怎样的方法？ （结合指数函数，让学生熟知对于函数性质的研究内容，熟练研究函数性质的方法——借助图象研究性质．）○2 对数的定义及其对底数的限制． （为讲解对数函数时对底数的限制做准备．）2．（引例）课本P70然后引导学生观察上表，体会“对每一个碳14的含量P 的取值，通过对应关系P t 215730log=，生物死亡年数t 都有唯一的值与之对应，从而t 是P 的函数”．（进而引入对数函数的概念）二、师生互动，新课讲解 （一）对数函数的概念1．定义：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数（logarithmic function ） 其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）（对数的真数大于0）．注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：x y 2log 2=，5log 5xy = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 例1：在同一坐标系作出函数y=log 2x 与y=12log x 的图象。

解：（1） 列表：（2）建系，描点，成图。

变式训练1：在同一坐标系作出函数y=log 3x 与y=13log x 的图象，并说说它们之间有何对称性。

第2课时 对数函数的图象和性质的应用(习题课)对数函数的单调性类型一 利用单调性比较大小 [例1] 比较下列各组数的大小. (1)lo g 1245与lo g 1267;(2)lo g 123与lo g 153;(3)log a 2与log a 3(a>0，且a ≠1). 解:(1)y=lo g 12x 在(0，+∞)上单调递减，又因为45<67，所以lo g 1245>lo g 1267.(2)因为在x ∈(1，+∞)上，y=lo g 15x 的图象在y=lo g 12x 图象的上方，所以lo g 123<lo g 153.(3)当a>1时，y=log a x 为增函数， 所以log a 2<log a 3;当0<a<1时，y=log a x 为减函数， 所以log a 2>log a 3.比较两个对数值大小的方法 (1)log a b 与log a c 型(同底数) ①构造函数y=log a x; ②判断b 与c 的大小关系; ③利用y=log a x 的单调性比较大小.(2)log a c与log b c型(同真数)①在同一平面直角坐标系中作y=log a x与y=log b x的图象;②作直线x=c与两图象分别交于A，B两点;③根据点A，B高低判断对数值的大小.(3)log a b与log c d型(底数不同，真数不同)①取中间值，通常为1，0，log a d或log c b;②把两个对数值与中间值进行比较;③利用不等关系的传递性，间接得到对数值的大小关系.针对训练1:比较下列各组数的大小.(1)log a2.7，log a2.8(a>0，且a≠1);(2)log34，log65;(3)log0.37，log97.解:(1)当a>1时，由函数y=log a x的单调性可知log a2.7<log a2.8;当0<a<1时，同理可得log a2.7>log a2.8.(2)log34>log33=1，log65<log66=1，所以log34>log65.(3)log0.37<log0.31=0，log97>log91=0，所以log0.37<log97.类型二对数不等式解法[例2] (1)解不等式log2(x+1)>log2(1-x);(2)若log a 23<1，求实数a 的取值范围.解:(1)原不等式等价于{x +1>0,1-x >0,x +1>1-x ,解得0<x<1.所以原不等式的解集为(0，1).(2)若a>1，则log a 23<1=log a a ，所以a>1.若0<a<1，则log a 23<1=log a a ，所以0<a<23，综上所述，实数a 的取值范围是(0，23)∪(1，+∞).(1)log a f(x)<log a g(x)，a>1与不等式组{f (x )>0,g (x )>0,f (x )<g (x )同解.(2)log a f(x)<log a g(x)，0<a<1与不等式组{f (x )>0,g (x )>0,f (x )>g (x )同解.(3)特别地，当底数的取值范围不确定时，通常需要对底数按a>1及0<a<1进行分类讨论.针对训练2:解关于x 的不等式. (1)log 0.1(x+2)>log 0.1x 2; (2)log a (x+1-a)>1.解:(1)原不等式等价于{x +2>0,x 2>x +2,x 2>0解得-2<x<-1或x>2，故原不等式的解集为{x|-2<x<-1或x>2}. (2)①当a>1时，原不等式等价于{x +1-a >0,x +1-a >a ,解得x>2a-1.②当0<a<1时，原不等式等价于{x +1-a >0,x +1-a <a ,解得a-1<x<2a-1.综上，当a>1时，不等式的解集为{x|x>2a-1}; 当0<a<1时，不等式的解集为{x|a-1<x<2a-1}. 类型三 对数型复合函数的单调性[例3] 求函数f(x)=log a (2x 2-3x-2)的单调区间.解:由2x 2-3x-2>0得函数f(x)的定义域为{x|x>2或x<-12}.当a>1时，y=log a t 为增函数，t=2x 2-3x-2在(2，+∞)上单调递增，在(-∞，-12)上单调递减，所以f(x)在(2，+∞)上单调递增，在(-∞，-12)上单调递减.当0<a<1时，y=log a t 为减函数，t=2x 2-3x-2在(2，+∞)上单调递增，在(-∞，-12)上单调递减，所以f(x)在(2，+∞)上单调递减，在(-∞，-12)上单调递增.综上可知，当a>1时，f(x)的单调递增区间为(2，+∞)，单调递减区间为(-∞，-12);当0<a<1时，f(x)的单调递增区间为(-∞，-12)，单调递减区间为(2，+∞).解决对数型复合函数单调性问题的思路(1)对数型复合函数一般可以分为两类:一类是外层函数为对数函数，即y=log a f(x)型;另一类是内层函数为对数函数，即y=f(log a x)型.①对于y=log a f(x)型复合函数的单调性，有以下结论:在a>1时，函数y=log a f(x)的单调性与函数u=f(x)(f(x)>0)的单调性相同，在0<a<1时相反.②研究y=f(log a x)型复合函数的单调性，一般用换元法，即令t=log a x，则只需研究t=log a x及y=f(t)的单调性即可.(2)研究对数型复合函数的单调性，一定要注意先研究函数的定义域，也就是要坚持“定义域优先”的原则.针对训练3:(1)函数f(x)=log3(x2-2x-8)的单调递减区间为( ) A.(-∞，1) B.(-∞，-2)C.(4，+∞)D.(-∞，1](2)函数y=log0.5(5+4x-x2)的单调递减区间是( )A.(-∞，2)B.(2，+∞)C.(-1，2)D.(2，5)解析:(1)由x2-2x-8>0，得x>4或x<-2.由y=log3u在(0，+∞)上为增函数，u=x2-2x-8在(-∞，-2)上为减函数，在(4，+∞)上为增函数，可得函数f(x)=log3(x2-2x-8)的单调递减区间为(-∞，-2).故选B. (2)令t=5+4x-x2>0得-1<x<5，由t=-x2+4x+5知，其对称轴为直线x=2，在(-1，2)上是增函数，在(2，5)上是减函数.又函数y=log 0.5t 在(0，+∞)上是减函数，故函数y=log 0.5(-x 2+4x+5)在(-1，2)上是减函数.故选C.对数型函数的值域与最值[例4] 设f(x)=log a (1+x)+log a (3-x)(a>0，a ≠1)，且f(1)=2. (1)求a 的值;(2)求f(x)在区间[0，32]上的最大值.解:(1)因为f(1)=2，所以f(1)=log a 2+log a 2=log a 4=2，所以a=2. (2)由{1+x >0,3-x >0得x ∈(-1，3)，所以函数f(x)的定义域为(-1，3)，f(x)=log 2(1+x)+log 2(3-x)=log 2[(1+x)·(3-x)]=log 2(-x 2+2x+3)=lo g 2[-(x-1)2+4]， 记t=-(x-1)2+4， 因为x ∈[0，32].所以x=1时，t 有最大值4，当x=0时，t 有最小值3. 所以3≤t ≤4. 所以log 2t ≤log 24=2.所以f(x)在区间[0，32]上的最大值为2.(1)对数函数的值域为(-∞，+∞).(2)求形如y=log a f(x)(a>0，且a ≠1)的复合函数值域的步骤:①求函数的定义域;②将原函数拆分成y=log a u(a>0，且a ≠1)，u=f(x)两个函数;③由定义域求u 的取值范围;④利用函数y=log a u(a>0，且a ≠1)的单调性求值域.同理可求y=f(log a x)(a>0，且a≠1)型复合函数的值域.针对训练4:(1)已知函数f(x)=log a(1-x)+log a(x+3)(0<a<1).①求函数f(x)的定义域;②若函数f(x)的最小值为-2，求a的值.(2)已知函数f(x)=(lo g14x)2-lo g14x+5，x∈[2，4]，求f(x)的最大值及最小值.解:(1)①要使函数有意义，则有{1-x>0,x+3>0,解得-3<x<1，所以定义域为(-3，1).②函数可化为f(x)=log a[(1-x)(x+3)]=log a(-x2-2x+3)=log a[-(x+1)2+4]. 因为-3<x<1，所以0<-(x+1)2+4≤4.又0<a<1，所以log a[-(x+1)2+4]≥log a4，即f(x)的最小值为log a4.由log a4=-2，得a-2=4，所以a=4-12=12.(2)设t=lo g14x，因为x∈[2，4]，所以t∈[-1，-12]，令g(t)=t2-t+5，t∈[-1，-12]，g(t)的图象开口向上，对称轴为直线t=12，在t∈[-1，-12]上是减函数，所以g(t)min=g(-12)=234，g(t)max=g(-1)=7.所以函数f(x)的最大值为7，最小值为234.指数函数与对数函数的关系[例5] (1)函数y=log 3x 的反函数为y=f(x)，则f(2)等于( ) A.9 B.18 C.32 D.36(2)若函数y=f(x)是函数y=a x (a>0，且a ≠1)的反函数，且f(x)的图象经过点(√23，23)，则a 等于( )A.2B.√2C.√493D.√43解析:(1)因为函数y=log 3x 的反函数为y=f(x)，所以f(x)=3x ，所以f(2)=32=9.故选A.(2)依题意，点(√23，23)在函数y=a x 的反函数的图象上，则点(23，√23)在函数y=a x的图象上，得√23=a 23，解得a=√2.故选B.(1)指数函数与对数函数的关系同底数的指数函数与对数函数互为反函数. (2)应用反函数的性质时涉及的知识点①互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x 对称;②函数y=f(x)的图象过点(a ，b)是y=f(x)的反函数的图象过点(b ，a)的充要条件;③互为反函数的两函数的单调性相同;④反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域.针对训练5:(1)函数f(x)与g(x)=a x 互为反函数，且g(x)过点(-2，4)，则f(1)+f(2)等于( ) A.-1 B.0 C.1 D.14(2)已知函数f(x)=log 2x ，若函数g(x)是f(x)的反函数，则f(g(2))等于( )A.1B.2C.3D.4解析:(1)由题意，指数函数g(x)=a x 的图象过点(-2，4)， 可得4=a -2，解得a=12，故函数g(x)=(12)x ，故其反函数f(x)=lo g 12x ，故f(1)+f(2)=lo g 121+lo g 122=0-1=-1.故选A.(2)由题意，g(x)=2x ，所以g(2)=22=4， 则f(g(2))=f(4)=log 24=2.故选B.对数函数的综合应用[例6] 已知函数f(x)=log a 1-mx x+1(a>0，a ≠1，m ≠-1)是定义在(-1，1)上的奇函数.(1)求f(0)的值和实数m 的值;(2)判断函数f(x)在其定义域上的单调性，并给出证明; (3)若f(12) >0，且f(b-2)+f(2b-2)>0，求实数b 的取值范围.解:(1)f(0)=log a 1=0.因为f(x)是定义在(-1，1)上的奇函数，定义域关于原点对称，结合1-mx x+1>0可知，x=1是1-mx=0的根，1-m=0，m=1，此时f(x)=log a1-x1+x，且f(x)+f(-x)=log a 1-x 1+x+log a1+x 1-x=log a 1=0，故f(-x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数，所以m=1. (2)由(1)知f(x)=log a1-x 1+x，定义域为(-1，1)，∀x 1，x 2∈(-1，1)，且x 1<x 2， 设t=1-x x+1=-(x+1)+2x+1=-1+2x+1，则t 1-t 2=2x 1+1-2x 2+1=2(x 2-x 1)(x 1+1)(x 2+1)，因为-1<x 1<x 2<1，所以x 2-x 1>0，(x 1+1)(x 2+1)>0， 所以t 1>t 2.当a>1时，log a t 1>log a t 2，即f(x 1)>f(x 2)， 所以当a>1时，f(x)在(-1，1)上是减函数. 当0<a<1时，log a t 1<log a t 2，即f(x 1)<f(x 2)， 所以当0<a<1时，f(x)在(-1，1)上是增函数.综上所述，当a>1时，f(x)在(-1，1)上是减函数;当0<a<1时，f(x)在(-1，1)上是增函数. (3)由f(b-2)+f(2b-2)>0， 得f(b-2)>-f(2b-2)， 因为函数f(x)是奇函数， 所以f(b-2)>f(2-2b)， 由f(12) =log a 13>0得0<a<1，由(2)得f(x)在(-1，1)上是增函数，所以{b -2>2-2b ,-1<b -2<1,-1<2-2b <1,所以43<b<32，所以b 的取值范围是(43，32).(1)形如f(x)=log a g(x)的函数为奇函数时，利用f(-x)+f(x)=log a 1=0运算比较方便，巧妙利用定义域关于原点对称也可以简化运算，但是要注意检验.(2)讨论形如f(x)=log a g(x)的函数单调性，转化为讨论函数g(x)的单调性，注意对数的底数对单调性的影响，本题把1-x 1+x转化为-1+21+x可以简化运算.针对训练6:设函数f(x)=lg(x+√x 2+1). (1)确定函数f(x)的定义域; (2)判断函数f(x)的奇偶性;(3)判断f(x)在其定义域上的单调性，说明理由.解:(1)要使函数有意义，则x+√x 2+1>0，因为√x 2+1>√x 2=|x|，所以x+√x 2+1>0恒成立，所以定义域为R. (2)∀x ∈R ，-x ∈R ，又因为f(-x)+f(x)=lg(-x+√x 2+1)+lg(x+√x 2+1)=lg 1=0， 所以f(-x)=-f(x)， 所以函数f(x)是奇函数.(3)f(x)在其定义域R 上是增函数.证明:当0≤x1<x2时，有x12<x22，所以√x12+1<√x22+1，所以x1+√x12+1<x2+√x22+1，即f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在[0，+∞)上是增函数，又f(0)=0，且f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在其定义域R上是增函数.典例探究:已知a>2，求证:log(a-1)a>log a(a+1).证明:法一因为log(a-1)a-log a(a+1)=1log a(a-1)-log a(a+1)=1-[log a(a-1)]·[log a(a+1)]log a(a-1).因为a>2，所以log a(a-1)>0，log a(a+1)>0，所以log a(a-1)·log a(a+1)≤[log a(a-1)+log a(a+1)2]2=[log a(a2-1)]24<(log a a2)24=1，所以log(a-1)a-log a(a+1)>0，即log(a-1)a>log a(a+1).法二因为a>2，所以log a(a-1)>0，log a(a+1)>0，所以log(a-1)alog a(a+1)=1log a(a-1)log a(a+1)=1[log a(a-1)]·[log a(a+1)]，因为log a(a-1)·log a(a+1)≤[log a(a-1)+log a(a+1)2]2=[log a(a2-1)]24<(log a a2)24=1，所以1log a(a-1)·log a(a+1)>1，即log(a-1)alog a(a+1)>1，所以log(a-1)a>log a(a+1).应用探究:已知0<t<1，a=log3t，b=log4t，c=log5t，则( )A.4b<5c<3aB.5c<3a<4bC.5c<4b<3aD.4b<3a<5c 解析:由已知可得a=1log t 3，b=1log t 4，c=1log t 5，所以3a-4b=3log t 3-4log t 4=3log t 4-4log t 3log t 3·log t 4=log t 43-log t 34log t 3·log t 4，因为0<t<1，43<34，所以log t 43-log t 34>0，log t 3<0，log t 4<0， 所以3a-4b>0，即3a>4b ， 同理可得4b-5c>0，即4b>5c. 综上，3a>4b>5c.故选C.1.不等式log 2x<12的解集是( B )A.{x|0<x<√22} B.{x|0<x<√2} C.{x|x>√2} D.{x|x>√22}解析:依题意log 2x<log 2212，由于y=log 2x 是定义域上的增函数，故0<x<212.故选B.2.(多选题)下列各组大小的比较，正确的是( AC ) A.log 0.33>log 0.35 B.log 70.5>0 C.ln 3<ln3.001 D.log 23<log 43 解析:由于log 70.5<log 71，故B 不正确. 又log 23>log 22=1，log 43<log 44=1. 故log 23>log 43，故D 不正确.故选AC.3.函数y=log21-x1+x的图象( B )A.关于y轴对称B.关于原点对称C.关于x轴对称D.关于直线y=x对称解析:令f(x)=log21-x1+x ，则1-x1+x>0，所以f(x)的定义域为(-1，1)，且f(-x)+f(x)=log21+x1-x +log21-x1+x=log21=0，即函数y=log21-x1+x为奇函数，故其图象关于原点对称.故选B.4.函数y=lo g12(2x+1)的值域为.解析:因为2x+1>1，函数y=lo g12x是(0，+∞)上的减函数，所以lo g12(2x+1)< lo g121=0，即所求函数的值域为(-∞，0).答案:(-∞，0)[例1] (多选题)对于0<a<1，下列四个不等式中成立的是( ) A.log a(1+a)<log a(1+1a)B.log a(1+a)>log a(1+1a)C.a1+a<a1+1aD.a1+a>a1+1a解析:因为0<a<1，所以a<1a，从而1+a<1+1a，所以log a(1+a)>log a(1+1a)，a1+a>a1+1a.故选BD.[例2] (多选题)下列条件能使log a3<log b3成立的有( ) A.b>a>0 B.1>a>b>0C.b>1a>1 D.1>1a >1b>0解析:要使log a 3<log b 3成立，只要lg3lga <lg3lgb，所以1lga <1lgb，所以0>lg a>lgb 或lg a>lg b>0或lg a<0，lg b>0，解得1>a>b>0或a>b>1或b>1>a>0.故选BC.[例3] 函数f(x)=lg(10x +1)+ax 是偶函数，则实数a= . 解析:法一 因为f(x)为偶函数， 所以f(-1)=f(1)，得lg(10-1+1)-a=lg(10+1)+a ，所以a=-12，验证知符合题意，所以a=-12.法二 因为f(x)为偶函数，所以对任意的实数x 都有f(-x)=f(x)， 即lg(10-x +1)-ax=lg(10x +1)+ax ，整理得 lg(10-x +1)-lg(10x +1)=2ax ⇔lg 10-x =2ax ，所以2ax=-x ，所以2a=-1，即a=-12.答案:-12[例4] 已知函数f(x)=kx+log 2(4x +1)(k ∈R)是偶函数. (1)求k 的值;(2)设函数g(x)=log 2(a ·2x -4a)，其中a>0.若函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个交点，求a 的取值范围.解:(1)函数f(x)的定义域为R ，因为函数f(x)=kx+log 2(4x +1)是R 上的偶函数，所以f(-1)=f(1)，即-k+log2(4-1+1)=k+log2(4+1)，所以-2k=log25-log254=2，解得k=-1，验证知符合题意，所以k=-1.(2)当a>0时，函数g(x)=log2(a·2x-4a)的定义域是(2，+∞)，由题意知，-x+log2(4x+1)=log2(a·2x-4a)在(2，+∞)上有且只有一解，即方程4x+12x=a·2x-4a在(2，+∞)内只有一解;令2x=t，则t>4，因而等价于关于t的方程(a-1)t2-4at-1=0在(4，+∞)上只有一解;设h(t)=(a-1)t2-4at-1，当a=1时，解得t=-14∉(4，+∞)，不合题意;当0<a<1时，h(t)的对称轴t=2aa-1<0，故h(t)在(0，+∞)上单调递减，而h(0)=-1，所以方程(a-1)t2-4at-1=0在(4，+∞)上无解;当a>1时，h(t)的对称轴t=2aa-1>0，故只需h(4)<0，即16(a-1)-16a-1<0，此不等式恒成立.综上，a的取值范围是(1，+∞).[例5] 设函数f(x)=ln x+1x-1.(1)判断函数f(x)在区间(1，+∞)上的单调性，并证明;(2)对于区间[2，4]上的任意一个x，不等式f(x)≥e x+m恒成立，求实数m的取值范围.解:(1)判断结论:函数f(x)=lnx+1x -1在区间(1，+∞)上为减函数.证明:在区间(1，+∞)上任取x 1，x 2，且x 1<x 2， 则1<x 1<x 2， 所以x 2-1>x 1-1>0， 所以0<1x 2-1<1x 1-1，所以1<1+2x 2-1<1+2x 1-1，即x 1+1x 1-1>x 2+1x 2-1>1， 所以lnx 1+1x 1-1>lnx 2+1x 2-1，所以f(x 1)>f(x 2)， 所以函数f(x)=lnx+1x -1在区间(1，+∞)上为减函数.(2)因为f(x)≥e x +m ，所以m ≤f(x)-e x ，记g(x)=f(x)-e x ， 所以g(x)=lnx+1x -1-e x ，x ∈[2，4]，由(1)知，f(x)=ln x+1x -1在(1，+∞)上单调递减，又因为-e x 在(1，+∞)上单调递减， 所以g(x)=ln x+1x -1-e x 在(1，+∞)上单调递减， 所以g(x)=lnx+1x -1-e x 在[2，4]上单调递减，所以g(x)≥g(4)=ln 53-e 4， 所以m ≤ln 53-e 4，所以实数m 的取值范围是(-∞，ln 53-e 4].选题明细表基础巩固1.函数y=ln x，x∈(1，e3]的值域是( B )A.(0，+∞)B.(0，3]C.(-∞，3]D.[3，+∞)解析:由于对数函数y=ln x在其定义域上是增函数，当x∈(1，e3]时，ln 1<ln x≤ln e3，即0<ln x≤3，因此，函数y=ln x(x∈(1，e3])的值域是(0，3].故选B.2.设函数f(x)=log2x，若f(a+1)<2，则a的取值范围为( A )A.(-1，3)B. (-∞，3)C. (-∞，1)D. (-1，1)解析:由题意知，log2(a+1)<2，即log2(a+1)<log24，所以0<a+1<4，解得-1<a<3.即a的取值范围是(-1，3).故选A.3.a=lo g1π，b=log3π，c=log4π，则( A )3A.a<c<bB.c<b<aC.a<b<cD.b<c<a解析:由已知a=lo g 13π<lo g 131=0，又b=log 3π=1log π3>0，c=log 4π=1log π4>0，因为log π3<log π4，所以1log π3>1log π4，即b>c.综合得a<c<b. 故选A.4.(2021·四川成都期中)已知函数f(x)=log a x+2(a>0，且a ≠1)在区间[12，4]上的最大值为4，则a 的值为( D )A.12B.2C.√22D.2或√22解析:当a>1时，f(x)在[12，4]上单调递增，f(x)max =f(4)=log a 4+2=4，所以a=2.当0<a<1时，f(x)在[12，4]上单调递减，f(x)max =f(12)=log a 12+2=4，所以a=√22.综上，a 的值为2或√22.故选D.5.已知函数f(x)=log (2a-1)(x 2-1)在区间(2，+∞)上是减函数，则a 的取值范围是( B ) A.0<a<12B.12<a<1C.0<a<1D.a>1解析:y=x 2-1在区间(2，+∞)上是增函数，所以2a-1∈(0，1)时，函数f(x)=log (2a-1)(x 2-1)在区间(2，+∞)上是减函数， 所以12<a<1.故选B.6.(2021·云南玉溪高一期中改编)已知函数f(x)=log 2(2x-1)，函数f(x)的单调递增区间是 ;若x ∈[1，92]，则函数f(x)的值域是 .解析:因为函数f(x)=log2(2x-1)的定义域为(12，+∞).令t=2x-1，易知t=2x-1在(12，+∞)上单调递增，而y=log2t在(0，+∞)上单调递增，故函数f(x)的单调递增区间是(12，+∞).因为函数f(x)=log2(2x-1)在[1，92]上是增函数，所以f(1)≤f(x)≤f(92)，所以0≤f(x)≤3，故所求函数的值域为[0，3].答案:(12，+∞) [0，3]能力提升7.已知函数f(x)=log2(1+4x)-x，则下列说法正确的是( D )A.函数f(x)在(-∞，0]上为增函数B.函数f(x)的值域为RC.函数f(x)是奇函数D.函数f(x)是偶函数解析:根据题意，函数f(x)=log2(1+4x)-x，其定义域为R，有f(-x)=log2(1+14x)+x=log2(1+4x)-x=f(x)，所以函数f(x)是偶函数，则D正确，C错误;对于A，f(-1)=log252>1=f(0)，f(x)不是增函数，A错误;对于B，f(x)=log2(1+4x)-x=log2(12x +2x)，设t=12x+2x≥2，当且仅当x=0时，等号成立，则t的最小值为2，故f(x)≥log22=1，即函数的值域为[1，+∞)，B错误.故选D.8.(多选题)已知a=log32，b=ln 2，c=lo g132，d=12，则( AD )A.a<bB.b<cC.a<dD.b>d解析:对于A，因为log3e<log33=1，所以a=log32<log32log3e=ln 2=b，故A正确;对于B，因为b=ln 2>ln 1=0，c=lo g132<lo g131=0，所以b>c，故B错误;对于C，因为2>√3，所以a=log32>log3√3=12=d，故C错误;对于D，因为2>√e，所以b=ln 2>ln √e=12=d，故D正确.故选AD.9.已知f(x)在(0，+∞)上是减函数，且f(x)+f(y)=f(xy)+1对任意的x∈(0，+∞)都成立，写出一个满足以上特征的函数f(x)= . 解析:不妨设f(x)=-log3x+b，因为f(x)+f(y)=f(xy)+1，所以-log3x+b-log3y+b=-log3(xy)+b+1，所以b=1，所以f(x)=-log3x+1.答案:-log3x+1(答案不唯一)10.已知函数f(x)=lo g12(x2-2ax+3).(1)若f(-1)=-3，求f(x)单调区间;(2)是否存在实数a，使f(x)在(-∞，2)上为增函数?若存在，求出a 的范围;若不存在，说明理由.解:(1)因为f(-1)=-3，所以a=2.因为f(x)=lo g12(x2-4x+3)，x2-4x+3>0，x<1或x>3.设m(x)=x 2-4x+3，对称轴为直线x=2，所以m(x)在(-∞，1)上为减函数，在(3，+∞)上为增函数， 所以f(x)在(-∞，1)上为增函数，在(3，+∞)上为减函数.(2)设t(x)=x 2-2ax+3，则y=lo g 12t 在(0，+∞)上是减函数，t(x)在(-∞，a)上为减函数，在(a ，+∞)上为增函数，因为f(x)在(-∞，2)上为增函数，则需t(x)在(-∞，a)上为减函数，且t(2)≥0，所以{a ≥2,4-4a +3≥0,所以a ≥2，且a ≤74，不可能同时成立.所以不存在实数a ，使f(x)在(-∞，2)上为增函数.11.设函数f(x)=log 3(9x)·log 3(3x)，且19≤x ≤9; (1)求f(3)的值.(2)令t=log 3x ，将f(x)表示成以t 为自变量的函数;并由此，求函数f(x)的最大值与最小值及与之对应的x 的值.解:(1)因为函数f(x)=log 3(9x)·log 3(3x)，且19≤x ≤9，故f(3)= log 327·log 39=3×2=6.(2)令t=log 3x ，19≤x ≤9，则-2≤t ≤2， 且f(x)=(log 3x+2)(1+log 3x)=t 2+3t+2，令g(t)=t 2+3t+2=(t+32) 2-14，t ∈[-2，2]， 故当t=-32时，函数g(t)取得最小值为-14，即函数f(x)的最小值为-14，此时求得x=3-32=√39;当t=2时，函数g(t)取得最大值为12，即函数f(x)的最大值为12，此时求得x=9.应用创新12.已知f(x)=ln(e x+a)是定义域为R的奇函数，g(x)=λf(x).(1)求实数a的值;(2)若g(x)≤xlog2x在x∈[2，3]上恒成立，求λ的取值范围.解:(1)函数f(x)=ln(e x+a)是定义域为R的奇函数，则f(0)=0，即ln(1+a)=0，解得a=0，故函数f(x)=ln e x=x.显然有f(-x)=-f(x)，函数f(x)=x是奇函数，满足条件，所以a=0.(2)由(1)知f(x)=x，g(x)=λx，则λx≤xlog2x在x∈[2，3]上恒成立，即λ≤log2x在x∈[2，3]上恒成立，因为函数y=log2x在x∈[2，3]上单调递增，最小值为log22=1，所以λ≤1，即λ的取值范围为(-∞，1].。

2．2．2（3）对数函数及其性质（教学设计）（内容：指数函数与对数函数的关系）教学目的：⒈了解底数相同的指数函数与对数函数互为反函数；⒉通过对互为反函数的指数函数和对数函数图象间的关系的认识，了解互为反函数的两个函数图象间的关系；⒊通过指数函数与对数函数的比较，了解互为反函数的两个函数定义域和值域之间的关系． 教学重点：底数相同的指数函数与对数函数互为反函数． 教学难点：互为反函数的两个函数图象间的关系． 教学过程：一、复习回顾，新课引入： 指数函数对数函数一般形式x y a =(0a >，且1)a ≠ log a y x =(0a >，且1)a ≠图象定义域 (,)-∞+∞ (0,)+∞值域(0,)+∞(,)-∞+∞函 数 值 变 化 情 况当1a >时，1,0,1,0,1,0.x xx a x a x a x ⎧>>⎪==⎨⎪<<⎩当01a <<时，1,0,1,0,1,0.x xx a x a x a x ⎧<>⎪==⎨⎪><⎩当1a >时，log 0,1,log 0,1,log 0, 1.a a ax x x x x x >>⎧⎪==⎨⎪<<⎩ 当01a <<时，log 0,1,log 0,1,log 0, 1.a a ax x x x x x <>⎧⎪==⎨⎪><⎩ 单调性1a >时，x y a =是增函数；01a <<时，x y a =是减函数1a >时，log a y x =是增函数； 01a <<时，log a y x =是减函数图象函数xy a =的图象与函数log a y x =的图象关于直线y x =对称．它们之间的关系来做一番研究．二、师生互动，新课讲解：例1：在同一坐标系中，作出函数2xy =与2log y x =的图象,并观察两图象之间有何关系。

4．3.2 对数的运算学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．知识点一 对数运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 知识点二 换底公式1．log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．2．对数换底公式的重要推论：(1)log a N ＝1log N a (N >0，且N ≠1；a >0，且a ≠1)；(2)log n m a b ＝mnlog a b (a >0，且a ≠1，b >0)；(3)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a >0，b >0，c >0，d >0，且a ≠1，b ≠1，c ≠1)． 预习小测 自我检验1．计算log 84＋log 82＝________. 『答 案』 12．计算log 510－log 52________. 『答 案』 13．(1)lg 10＝________；(2)已知ln a ＝0.2，则ln ea ＝________.『答 案』 (1)12 (2)0.84.log 29log 23＝________. 『答 案』 2一、对数运算性质的应用 例1 计算下列各式： (1)log 53625；(2)log 2(32×42)； (3)log 535－2log 573＋log 57－log 595.解 (1)原式＝13log 5625＝13log 554＝43.(2)原式＝log 232＋log 242＝5＋4＝9.(3)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2. 反思感悟 对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 跟踪训练1 计算下列各式的值： (1)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2； (2)lg3＋25lg9－35lg 27lg81－lg27.解 (1)原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2 ＝lg10(lg5－lg2)＋2lg2 ＝lg5－lg2＋2lg2 ＝lg5＋lg2＝1.(2)原式＝lg3＋45lg3－910lg34lg3－3lg3＝⎝⎛⎭⎫1＋45－910lg3(4－3)lg3＝910. 二、对数换底公式的应用例2 (1)计算：(log 43＋log 83)log 32＝________. 『答 案』 56『解 析』 原式＝⎝⎛⎭⎫1log 34＋1log 38log 32 ＝⎝⎛⎭⎫12log 32＋13log 32log 32 ＝12＋13＝56. (2)已知log 189＝a ,18b ＝5，求log 3645.(用a ，b 表示) 解 因为18b ＝5，所以b ＝log 185. 所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(2×18)＝log 185＋log 189log 182＋log 1818＝a ＋b 1＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－log 189＝a ＋b 2－a .延伸探究若本例(2)条件不变，求log 915.(用a ，b 表示) 解 因为18b ＝5，所以log 185＝b . 所以log 915＝log 1815log 189＝log 18(3×5)log 189＝log 183＋log 185a ＝log 189＋ba＝1218log9ba＝12log189＋ba＝12a＋ba＝a＋2b2a.反思感悟 利用换底公式化简与求值的思路跟踪训练2 (1)log 89log 23的值是( )A.23B.32C ．1D ．2 『答 案』 A『解 析』 方法一 将分子、分母利用换底公式转化为常用对数， 即log 89log 23＝lg9lg8lg3lg2＝2lg33lg2·lg2lg3＝23. 方法二 将分子利用换底公式转化为以2为底的对数， 即log 89log 23＝log 29log 28log 23＝2log 233log 23＝23. (2)计算：log 52·log 79log 513·log 734.解 原式＝log 52log 513·log 79log 73423122114233log 2log log 23log 3==⋅＝－12·log 32·3log 23＝－32.三、对数的综合应用例3 2018年我国国民生产总值为a 亿元，如果平均每年增长8%，估计约经过多少年后国民生产总值是2018年的2倍？(lg2≈0.3010，lg1.08≈0.0334，精确到1年) 解 设经过x 年后国民生产总值为2018年的2倍． 经过1年，国民生产总值为a (1＋8%)， 经过2年，国民生产总值为a (1＋8%)2， …，经过x 年，国民生产总值为a (1＋8%)x ＝2a ， 所以1.08x ＝2，所以x ＝log 1.082＝lg2lg1.08＝0.30100.0334≈9，故约经过9年后国民生产总值是2018年的2倍． 反思感悟 解决对数应用题的一般步骤跟踪训练3 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v (单位：m/s)和燃料的质量M (单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m (单位：kg)满足e v ＝⎝⎛⎭⎫1＋Mm 2000(e 为自然对数的底数，ln3≈1.099)．当燃料质量M 为火箭(除燃料外)质量m 的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．解 因为v ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm 2000 ＝2000·ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ， 所以v ＝2000·ln3≈2000×1.099＝2198(m/s)．故当燃料质量M 为火箭质量m 的两倍时，火箭的最大速度为2198m/s.1．计算：log 123＋log 124等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 『答 案』 A2．若lg2＝m ，则lg5等于( ) A ．m B.1m C ．1－m D.10m『答 案』 C 『解 析』 lg 5＝lg102＝lg 10－lg 2＝1－m . 3．化简12log 612－2log 62的结果为( )A ．62B ．122C ．log 63D.12『答 案』 C『解 析』 原式＝log 612－log 62＝log 6122＝log 6 3. 4．下列各等式正确的为( ) A ．log 23·log 25＝log 2(3×5) B ．lg3＋lg4＝lg(3＋4) C ．log 2xy＝log 2x －log 2yD ．lg nm ＝1n lg m (m >0，n >1，n ∈N *)『答 案』 D『解 析』 A ，B 显然错误，C 中，当x ，y 均为负数时，等式右边无意义． 5．计算：log 513·log 36·log 6125＝________.『答 案』 2『解 析』 原式＝lg 13lg5·lg6lg3·lg 125lg6＝－lg3lg5·lg6lg3·－2lg5lg6＝2.1．知识清单： (1)对数的运算性质． (2)换底公式． (3)对数的实际应用． 2．方法归纳：(1)利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方运算转化为加、减、乘的运算，加快计算速度． (2)利用结论log a b ·log b a ＝1，log n m a b ＝m n log a b 化简求值更方便．3．常见误区：要注意对数的运算性质(1)(2)的结构形式，易混淆．。

§2.2.2 对数函数及其性质（1）1. 通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；2. 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3. 通过比较、对照的方法，引导学生结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法.7072复习1：画出2x y =、1()2x y =的图象，并以这两个函数为例，说说指数函数的性质.复习2：生物机体内碳14的“半衰期”为5730年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时，碳14的残余量约占原始含量的76.7%，试推算马王堆古墓的年代.（列式）二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：对数函数的概念讨论：t 与P 的关系？（对每一个碳14的含量P 的取值，通过对应关系logt P =，生物死亡年数t 都有唯一的值与之对应，从而t 是P 的函数）新知：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数log a y x =叫做对数函数(logarithmic function)，自变量是x ； 函数的定义域是（0，+∞）. 反思：对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：22log y x =，5log (5)y x = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制 (0a >，且1)a ≠．探究任务二：对数函数的图象和性质问题：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性．试试：同一坐标系中画出下列对数函数的图象.2log y x =；0.5log y x =.反思：（（2）图象具有怎样的分布规律？※ 典型例题例1求下列函数的定义域： （1）2log a y x =；（2）log (3)a y x =-；变式：求函数y =的定义域.例2比较大小：（1）ln 3.4,ln8.5； （2）0.30.3log 2.8,log 2.7； （3）log 5.1,log 5.9a a .小结：利用单调性比大小；注意格式规范.※ 动手试试练1. 求下列函数的定义域.（1）0.2log (6)y x =--； （2）y =练2. 比较下列各题中两个数值的大小.（1）22log 3log 3.5和； （2）0.30.2log 4log 0.7和； （3）0.70.7log 1.6log 1.8和； （4）23log 3log 2和．三、总结提升 ※ 学习小结1. 对数函数的概念、图象和性质；2. 求定义域；3. 利用单调性比大小.※ 知识拓展对数函数凹凸性：函数()log ,(0,1)a f x x a a =>≠，12,x x 是任意两个正实数.当1a >时，1212()()()22f x f x x x f ++≤；当01a <<时，1212()()()22f x f x x x f ++≥.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 当a >1时，在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =的图象是（ ）.2. 函数22log (1)y x x =+≥的值域为（ ）. A. (2,)+∞ B. (,2)-∞ C. [)2,+∞ D. [)3,+∞3. 不等式的41log 2x >解集是（ ）. A. (2,)+∞ B. (0,2)B. 1(,)2+∞ D. 1(0,)24. 比大小：（1）log 67 log 7 6 ； （2）log 31.5 log 2 0.8.5. 函数(-1)log (3-)x y x =的定义域是 .1. 已知下列不等式，比较正数m 、n 的大小：（1）3log m ＜3log n ； （2）0.3log m ＞0.3log n ； （3）log a m ＞log a n (a ＞1)2. 求下列函数的定义域：（1）y =（2）y =.。

2.2.1 对数与对数运算(二)自主学习1．掌握对数的运算性质及其推导．2．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．1．对数的运算性质：如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么，(1)log a (MN )＝______________；(2)log a M N＝____________；(3)log a M n ＝__________(n ∈R )．2．对数换底公式：________________________.对点讲练正确理解对数运算性质【例1】 若a >0，a ≠1，x >0，y >0，x >y ，下列式子中正确的个数有( )①log a x ＋ log a y ＝log a (x ＋y )； ②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a x y＝log a x ÷log a y ； ④log a (xy )＝log a x ·log a y . A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个规律方法 正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件．使用运算性质时，应牢记公式的形式及公式成立的条件．变式迁移1 (1)若a >0且a ≠1，x >0，n ∈N *，则下列各式正确的是( )A ．log a x ＝－log a 1xB ．(log a x )n ＝n log a xC ．(log a x )n ＝log a x nD ．log a x ＝log a 1x(2)对于a >0且a ≠1，下列说法中正确的是( )①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ；②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ；③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ；④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2.A ．①③B ．②④C ．②D ．①②③④对数运算性质的应用【例2】 计算：(1)log 535－2log 573＋log 57－log 51.8； (2)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1.变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514； (2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50.换底公式的应用【例3】 设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值．规律方法 换底公式的本质是化同底，这是解决对数问题的基本方法．解题过程中换什么样的底应结合题目条件，并非一定用常用对数、自然对数．变式迁移3 (1)设log 34·log 48·log 8m ＝log 416，求m ； (2)已知log 142＝a ，用a 表示log 27.1．对于同底的对数的化简要用的方法是：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．2．对于常用对数的化简要创设情境充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．4．要充分运用“1”的对数等于0，底的对数等于“1”等对数的运算性质．5．两个常用的推论：(1)log a b ·log b a ＝1；(2)log am b n ＝n mlog a b (a 、b >0且均不为1)．课时作业一、选择题1．lg 8＋3lg 5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．32．已知lg 2＝a ，lg 3＝b ，则log 36等于( )A.a ＋b aB.a ＋b bC.a a ＋bD.b a ＋b3．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则⎝⎛⎭⎫lg a b 2的值等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.144．若2.5x ＝1 000,0.25y ＝1 000，则1x －1y等于( ) A.13 B ．3 C ．－13D ．－3 5．计算2log 525＋3log 264－8log 71的值为( )A ．14B ．8C ．22D ．27二、填空题6．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，那么lg 1.8＝______________.7．已知log 63＝0.613 1，log 6x ＝0.386 9，则x ＝____________.三、解答题8．求下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2.9．已知log 189＝a,18b ＝5，试用a ，b 表示log 365.2.2.1 对数与对数运算(二) 答案自学导引1．(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N(3)n log a M2．log a b ＝log c b log c a对点讲练【例1】 A [对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算．在运算中要注意不能把对数的符号当作表示数的字母参与运算，如log a x ≠log a ·x ，log a x 是不可分开的一个整体．四个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的．] 变式迁移1 (1)A(2)C [在①中，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M ＝log a N 不成立． 在②中，当log a M ＝log a N 时，必有M >0，N >0，且M ＝N ，因此M ＝N 成立． 在③中，当log a M 2＝log a N 2时，有M ≠0，N ≠0，且M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但未必有 M ＝N .例如，M ＝2，N ＝－2时，也有log a M 2＝log a N 2，但M ≠N .在④中，若M ＝N ＝0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2＝log a N 2不成立． 所以，只有②成立．]【例2】 解 (1)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2.(2)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2－1)2＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋1－lg 2＝lg 2＋1－lg 2＝1.变式迁移2 求下列各式的值：(1)log 535＋2log 122－log 5150－log 514； (2)(lg 5)2＋lg 2·lg 50.解 (1)原式＝log 5(5×7)－2log 2212＋log 5(52×2)－log 5(2×7) ＝1＋log 57－1＋2＋log 52－log 52－log 57＝2.(2)原式＝(lg 5)2＋lg 2·(lg 2＋2lg 5)＝(lg 5)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 2)2＝(lg 5＋lg 2)2＝1.【例3】 解 由已知分别求出x 和y .∵3x ＝36,4y ＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得：x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364， ∴1x ＝log 363，1y＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364 ＝log 36(32×4)＝log 3636＝1.变式迁移3 解 (1)利用换底公式，得lg 4lg 3·lg 8lg 4·lg m lg 8＝2， ∴lg m ＝2lg 3，于是m ＝9.(2)由对数换底公式，得log 27＝log 27log 22＝log 2712＝2log 27＝2(log 214－log 22) ＝2(1a －1)＝2(1－a )a. 课时作业1．D [lg 8＋3lg 5＝lg 8＋lg 53＝lg 1 000＝3.]2．B [log 36＝lg 6lg 3＝lg 2＋lg 3lg 3＝a ＋b b.] 3．A [由根与系数的关系，得lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12， ∴⎝⎛⎭⎫lg a b 2＝(lg a －lg b )2 ＝(lg a ＋lg b )2－4lg a ·lg b＝22－4×12＝2.] 4．A [由指数式转化为对数式：x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，则1x －1y ＝log 1 0002.5－log 1 0000.25＝log 1 00010＝13.] 5．C6.a ＋2b －12解析 lg 1.8＝12lg 1.8 ＝12lg 1810＝12lg 2×910＝12(lg 2＋lg 9－1)＝12(a ＋2b －1)． 7．2解析 由log 63＋log 6x＝0.613 1＋0.386 9＝1.得log 6(3x )＝1.故3x ＝6，x ＝2.8．解 (1)方法一 原式＝12(5 lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10＝12. 方法二 原式＝lg 427－lg 4＋lg 7 5 ＝lg 42×757×4＝lg(2·5)＝lg 10＝12. (2)方法一 原式＝(lg 5＋lg 2)(lg 5－lg 2)＋2lg 2＝lg 10·lg 52＋lg 4＝lg ⎝⎛⎭⎫52×4＝lg 10＝1. 方法二 原式＝(lg 10－lg 2)2＋2lg 2－lg 22＝1－2lg 2＋lg 22＋2lg 2－lg 22＝1.9．解 ∵18b ＝5，∴log 185＝b,又∵log 189＝a ，∴log 365＝log 185lg 1836＝b log 18(18×2) ＝b 1＋log 182＝b 1＋log 18189 ＝b 1＋(1－log 189)＝b 2－a.。