角的平分线的性质(2)

12.3角的平分线的性质(2)〖课前回顾〗如图，在△ABC 中，∠C ＝900，BC ＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC ∶DB ＝3∶5，则点D 到AB 的距离是 ．若AC ∶AB ＝3∶5,则S △AC D S △ADB =〖学习目标〗 1.能够利用角平分线的性质和判定进行推理和计算，2能够利用角平分线的性质和判定解决一些实际问题〖自主学习〗。

1.阅读课本P49思考，完成下列问题．角的内部______________________的点在角的平分线上．根据问题画出图形，并写出：已知：求证：证明：几何语言：2.阅读课本P50的例题并完成书中问题：点P 在∠BAC 的平分线上吗？3题图 DC B A巩固练习：1.如图，BD=CD ，BF ⊥AC 于F ，CE ⊥AB 于E ．求证：点D 在∠BAC 的角平分线上．2.如图，CD ⊥AB,BE ⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD 相交于点O,OB=OC, 求证∠1=∠2〖课堂小结〗本节课你有什么收获？〖自我测试〗1.三角形中到三边距离相等的点是（ ）A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点2如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，下面给出四个结论：①DA 平分∠EDF ②AE ＝AF ；③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等；④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等，其中正确的结论有： ( )A ．1个B ．2个C 3个D ．4个A B CD EF课后作业:1、下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；•②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④△ABC 中∠BAC 的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等，其中正确的（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2、如图，OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上的一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ，F 是OC 上除点P 、O 外一点，连接DF 、EF ，求证DF=EF.3、已知，如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 中点，DM 平分∠ADC ，ME ⊥AD 。

教学过程设计角平分线的判定定理的应用：多媒体展示：〔1〕现有一条题目，两位同学分别用两种方法证明，问他们的做法正确？那一种方法好？ ：， CA ⊥OA 于A ，BC ⊥OB 于B ，AC=BC求证： OC 平分∠AOBB AO C证法1：∵CA ⊥OA ，BC ⊥OB ∴∠A=∠B 在△AOC 和△BOC 中⎩⎨⎧==BC AC OCOC ∴△AOC ≌△BOC 〔HL 〕∴∠AOC=∠BOC ∴OC 平分∠AOB 证法2：∵ CA ⊥OA 于A ，BC ⊥OB 于B ， AC=BC ∴OC 平分∠AOB 〔角平分线判定定理〕〔2〕：如图，AD 、BE 是△ABC 的两个角平分线，AD 、BE 相交于O 点求证：O 在∠C 的平分线上三、课堂训练多媒体展示：、1.如图，DB ⊥AN 于B ，交AE 于点O ，OC ⊥AM 于点C ，且OB=OC ，假设∠OAB =25°，求∠ADB 的度数.想及证明，归纳角平分线的判定定理。

学生明确在一定条件下，证角平分线不再用证三角形全等后再证角相等得出，可直接运用角平分线判定定理。

教师引导学生分析，思考，写出证明过程。

教师标准书写格式。

学生应用角的平分线判定定理解题。

概括能力。

使学生明确角平分线判定定理的作用。

稳固角的平分线的性质与判定的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力。

稳固本节所学。

BD MC N E A G板 书 设 计2.如图，AB =AC ，DE ⊥AB 于E ， DF ⊥AC 于F ，且DE =DF . 求证：BD =DC 四、小结归纳1.角平分线判定定理及期作用；2.在一定条件下，证角平分线不再用三角形全等后角相等得出，可直接运用角平分线判定定理。

3.三角形三个内角平分线交于一点，到三角形三边距离相等的点是三条角平分线的交点。

五、作业设计1.教材习题11.3第3、4题；2.补充作业：如图，ABC ∆的外角∠CBD 、∠BCE 的平分线相交于点F 。

13．角的平分线的性质（二)判定基础题训练1．如图，PC⊥OC于C，PD⊥OD于D，若PC＝PD，则（)A．∠1＞∠2B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2D．不能确定【解答】B2．到三角形三边距离相等的点是（)A．三边垂直平分线的交点B．三条高线的交点C．三条中线的交点D．三条角平分线的交点【解答】D3．如图，AB∥CD，点P到AB、BC、CD距离都相等，则∠P＝．【解答】90°4．如图，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，且AE＝AF，求证：点P在∠BAC的平分线上．【解答】证：连AP，证PE＝PF即可．5．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE＝CF，求证：AD是△ABC的平分线．【解答】证：△BED≌△CFD，DE＝DF6．如图，BD＝CD，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，求证：点D在∠BAC的平分线上．【解答】证：△BDE≌△CDF，DE＝DF．7．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BA C．⑴求证：OC平分∠ACD；⑵求证：OA⊥OC；⑶求证：AB＋CD＝A C．【解答】证：⑴作OE⊥AC于E，证OB＝OE＝OD⑵略⑶证AB＝AE，CD＝CE．中档题训练8．如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于D，则下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上，其中正确的是（)A．只有①B．只有②C．只有①和②D．①②③【解答】D9．如图，D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE＝BF，且S△DCE＝S△DBF，求证：AD 平分∠BA C．【解答】证：作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，证DM＝DN，∴AD平分∠BA C．10．如图，若S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC，求证：AD平分∠BA C．【解答】证：过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，∴DM＝DN，∴AD平分∠BA C．11．如图，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，它们相交于点P，求证：点P在∠A的平分线上．【解答】证：作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，PE⊥AB于E，证PM＝PN，PN＝PE，∴PM＝PE，∴点P在∠A的平分线上．综合题训练12．如图，AE、BD是△ABM的高，AE、BD交于点C，且AE＝BE，BD平分∠ABM．⑴求证：BC＝2AD；⑵求证：AB＝AE＋CE；⑶求证：DE平分∠MD B．【解答】证：⑴证△ABD≌△MBD，AD＝DM＝12AM．再证△AME≌△BCE，AM＝BC；⑵证AB＝BM＝BE＋EM＝AE＋CE；⑶证法一：作EF⊥BC于F，EN⊥AD于N，证△AEN≌△BEF，EN＝EF，∴DE平分∠MD B．证法二：要证DE平分∠MDB，只证∠BDE＝45°，故在BC上截取BN＝AD，证△BNE ≌△ADE（SAS)，∴△DEN为等腰直角三角形．。

11.3 角的平分线的性质（第2课时）【课题】：角的平分线的性质（2）(平行班)【设计与执教者】：增城市新塘一中，刘宝芝，liu_baozhi@【教学时间】：45分钟【学情分析】：注重联系实际，通过确定集贸市场的位置的问题引出“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的结论，使学生看到理论来自实际的需要。

同时注意学生应用结论进行证明时的严格性与规范性。

【教学目标】：（1）知识与技能目标：掌握角的平分线的两个性质；能应用角的平分线的性质解决一些简单的实际问题。

（2）过程与方法目标：通过探索集贸市场的位置加深学生对角的平分线的性质的理解。

引导学生从数学的视角观察客观世界，用数学的思维思考客观世界，以数学的语言描述客观世界。

（3）情感与态度目标：利用角的平分线的性质探索集贸市场的位置，使学生的求知欲望得到激发，使学生通过应用已学知识解决身边的问题，提高学生学习数学的兴趣。

【教学重点】：角的平分线的性质的运用及运用【教学难点】：角的平分线的性质的探究【教学突破点】：通过实际生活中的例子对比角的平分线的两个性质。

【教法、学法设计】：合作探究式分层次教学，讲授、练习相结合。

【课前准备】：课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入问题1.一个S区有一个集贸市场，在公路与铁路所成的角平分线上的P点，要从P点建两条路，一条到公路上，另一条到铁路上，怎样修建距离最短？这两条路有什么关系？画出来看一看？问题2.以上我们运用了什么知识点？角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题3.那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠POE=∠POD．由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．利用所学的数学知识解决生活中的问题，加强数学与生活的联系，体验数学是描述现实世界的重要手段。

12.3 角的平分线的性质〔2〕〔杨香胜〕一、教学目的〔一〕学习目的1.理解角的平分线的断定定理；2.理解角平分线性质和断定的区别与联络；3.会利用角的平分线的断定进展证明与计算.〔二〕学习重点角平分线的断定及其应用.〔三〕学习难点灵敏应用角平分线的性质和断定解决问题.二、教学设计〔一〕课前设计1.预习任务〔1〕角平分线的断定定理：角的内部到角两边的间隔相等的点在角平分线上〔2〕角平分线断定定理的符号语言：∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2〔OP平分∠MON〕2.预习自测〔1〕到角的两边间隔相等的点在上.〔2〕到三角形三边的间隔相等的点是三角形〔〕A.三条边上的高线的交点B. 三个内角平分线的交点C.三条边上的中线的交点D.以上结论都不对〔3〕在△ABC中，∠C=90°,AD平分∠BAC，BC=5cm,BD=3cm,那么D到AB的间隔是________，∠B=40°，那么∠CDA= .预习自测答案：〔1〕角平分线〔2〕B 〔3〕2cm，65°(二)课堂设计1.知识回忆〔1〕角的平分线性质定理的内容是什么？其中题设、结论是什么？[生] 角的平分线上的点到角的两边的间隔相等；题设是一个点在角平分线上，结论是这个点到角两边的间隔相等.〔2〕角平分线性质定理的作用是证明什么？[生]证明垂线段相等〔3〕填空如图：∵OC平分∠AOB， OA⊥AC,OB⊥BC .∴AC=BC〔角平分线性质定理〕2. 问题探究探究一角平分线的断定●活动①〔回忆旧知，回忆类活动〕把角平分线性质定理的题设、结论交换后，得出什么命题？猜测：它正确吗？由学生抢答，然后师生归纳：到角两边间隔相等的点在角平分线上；它是正确的.【设计意图】由性质到断定强化二者的关系●活动②证明上面的猜测学生根据猜测写出、求证，并画图，而后独立写出证明过程.展示学生的学习成果：： OM⊥PA于A，ON⊥PB于B，AP=BP求证： OC平分∠MON证明：∵PA⊥OM，BP⊥ON∴∠OAP=∠OBP=90°在Rt△AOP和Rt△BOP中∴Rt△AOP≌Rt△BOP〔HL〕∴∠1=∠2∴OC平分∠MON【设计意图】进一步稳固全等三角形的断定.●活动③归纳角平分线的断定定理：到一角的两边的间隔相等的点，在这个角的平分线上.∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB∴∠1＝∠2〔OP平分∠MON〕【设计意图】培养学生的归纳概括才能.探究二角平分线性质和断定的区别与联络●活动①现有一条题目，两位同学分别用两种方法证明，他们的做法正确吗？哪一种方法好？： CA⊥OA于A，BC⊥OB于B，AC=BC求证： OC平分∠AOB证法1：∵CA⊥OA，BC⊥OB∴∠A=∠B在△AOC和△BOC中∴△AOC≌△BOC〔HL〕∴∠AOC=∠BOC ∴OC平分∠AOB证法2：∵CA⊥OA于A，BC⊥OB于B， AC=BC∴OC平分∠AOB〔角平分线断定定理〕先让学生答复，最后老师归纳：两种方法都正确，“方法2〞好，证角平分线不再用证三角形全等后再证角相等得出，可直接运用角平分线断定定理.【设计意图】让学生体会角平分线断定定理的作用.●活动②学生结合图形完善表中内容，老师对个别学生教学指导.●活动③提问：角平分线的性质和断定之间有什么关系？先让学生答复，最后由师生归纳：角平分线性质的题设是角平分线断定的结论，角平分线性质的结论是角平分线断定的题设；角平分线性质的作用是证明线段相等，角平分线断定的作用是证明平分角；角平分线性质定理和角平分线断定定理是互为逆定理.【设计意图】培养学生的归纳概括才能.探究三利用角平分线的断定进展证明与计算●活动①〔根底性例题〕今天我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的间隔相等；②到角的两边间隔相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，随着学习的深化，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．例1. ：如下图，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．求证：〔1〕∠ABC＝∠A BC′；〔2〕BC＝BC′〔要求：不用三角形全等断定〕．【知识点】角平分线的性质和断定.【思路点拨】由条件∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′，可以把点A看作是∠CBC′平分线上的点，由此可翻开思路．【解题过程】证明：〔1〕∵∠C＝∠C′＝90°〔〕，∴AC⊥BC，AC′⊥BC′〔垂直的定义〕．又∵AC＝AC′〔〕，∴点A在∠CBC′的角平分线上〔到角的两边间隔相等的点在这个角的平分线上〕．∴∠ABC＝∠ABC′．〔2〕∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′，∴180°－〔∠C＋∠ABC〕＝180°－〔∠C′＋∠ABC′〕即∠BAC＝∠BAC′，∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，∴BC＝BC′〔角平分线上的点到这个角两边的间隔相等〕．【设计意图】区别角平分线的性质和断定.练习：如图，AB=AC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE=DF.求证：BD=DC【知识点】角平分线的断定；三角形全等的断定和性质.【思路点拨】由DE=DF，可得∠BAD=∠CAD〔角平分线的断定〕，那么△ADB≌△ADC，所以BD=CD【解题过程】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF∴∠BAD=∠CAD又∵AB=AC，AD=AD∴△ADB≌△ADC∴BD=CD【设计意图】进一步加深对角平分线断定的认识.●活动2 〔提升型例题〕例2．如图，△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的间隔相等；∠A=40°，那么∠BOC=〔〕A．110°B．120°C．130°D．140°【知识点】角的平分线的断定；角平分线的定义；三角形内角和定理.【思路点拨】由，O到三角形三边间隔相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC=的度数.【解题过程】由，O到三角形三边间隔相等，所以O是内心，即三角形角平分线交点，AO、BO、CO都是角平分线，所以有∠CBO=∠ABO=12∠ABC，∠BCO=∠ACO=12∠ACB，∠ABC+∠ACB=180°−40°=140°，∠OBC+∠OCB=70°，∠BOC=180°−70°=110°应选A.【答案】A【设计意图】利用角平分线的断定求有关的角.练习：如图，△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的间隔相等；∠A=52°，那么∠BOC=〔〕A．128°B．116°C．75°D．52°【知识点】角的平分线的断定；角平分线的定义；三角形内角和定理.【思路点拨】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=128°，再根据角平分线上的点到角的两边的间隔相等判断出点O是△ABC角平分线的交点，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的度数，然后在△OBC中，利用三角形内角和定理列式进展计算即可得解．【解答过程】解：如图，∵∠A=52°，∴∠ABC+∠ACB=180°-52°=128°，∵点O到△ABC三边的间隔相等，∴点O是△ABC角平分线的交点，在△OBC中，∠BOC=180°-〔∠OBC+∠OCB〕=180°-64°=116°．故答案为：116°．【答案】B【设计意图】利用角平分线的断定求有关的角.例3. ：如图，AD、BE是△ABC的两个角平分线，AD、BE相交于O点.求证：O在∠C的平分线上.【知识点】角的平分线的性质与断定的综合应用.【思路点拨】由AD、BE是△ABC的两个角平分线，可以得到垂线段OG与ON相等，OG与OM相等，再由垂线段ON与OM相等，得到O在∠C的角平分线上. 【解题过程】证明：过O作OG⊥AB，OM⊥BC，ON⊥AC，∵AO平分∠BAC，∴OG=ON，∵BO平分∠ABC，∴OG=OM，∴ON=OM，∴O在∠C的平分线上.【设计意图】进一步理解角平分线的性质与断定的关系.练习：如图，BP是△ABC的外角平分线，点P在∠BAC的角平分线上．求证：CP 是△ABC的外角平分线．【知识点】角的平分线的性质与断定的综合应用.【思路点拨】根据角平分线的性质可得PD=PF，PD=PE，由此可得PE=PF，根据角平分线的断定可得PC平分∠BCE【解题过程】证明：过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF，∵BP是△ABC的外角平分线，PD⊥AD，PF⊥BC，∴PD=PF〔角平分线上的点到角两边的间隔相等〕，∵点P在∠BAC的角平分线上，PD⊥AD，PE⊥AE，∴PD=PE〔角平分线上的点到角两边的间隔相等〕，∴PF=PE，PF⊥BC，PE⊥AE，∴CP是△ABC的外角平分线〔在角的内部，到角两边间隔相等的点在角的平分线上〕．【设计意图】进一步理解角平分线的性质与断定的关系●活动3 〔探究型例题〕例4. 如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：AD是∠BAC的平分线．【知识点】全等三角形的断定和性质；角平分线的断定定理.【思路点拨】由BE=CF， DB=DC，可得Rt△BDE≌Rt△CDF〔HL〕，所以DE=DF,根据平分线的断定定理可得AD是∠BAC的平分线．【解题过程】证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD，∴△BDE与△CDF是直角三角形，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线．【设计意图】进一步体会用角平分线的断定定理证明角相等.练习：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，BE＝CF. 求证：AD 是△ABC的角平分线.【知识点】角平分线的断定；三角形全等.【思路点拨】由D是BC的中点，BE＝CF，可得Rt△BDE≌Rt△DCF〔HL〕那么DE=DF，所以AD是△ABC的角平分线.【解答过程】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BDE和△CDF是直角三角形．∴Rt△BDE≌Rt△CDF〔HL〕，∴DE=DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是角平分线．【设计意图】进一步体会用角平分线的断定证明角相等.3. 课堂总结知识梳理〔以课堂内容为根据，结合教学目的的几点要求，对涉及到的知识细致梳理〕〔1〕能证明角平分线断定定理；〔2〕理解角平分线的性质和断定的关系；〔3〕能利用角平分线的性质和断定进展证明和计算.重难点归纳〔本节课的中心知识点在此进展回忆，对课堂上的典型方法、特殊例题进展归纳点拨〕〔1〕理解角平分线性质与断定的关系；〔2〕灵敏利用角平分线性质与断定解决线段和角有关的问题.〔三〕课后作业根底型自主打破1．如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，那么∠DOC=_________.【知识点】角平分线的断定【思路点拨】由CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE，可得∠AOC=∠BOC=30°【解答过程】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE，∴∠AOC=∠BOC∵∠AOB=60°，【答案】30°2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°,∠A=40°，DE⊥AC且DB=DE,那么∠BCD=______.【知识点】角平分线的断定；三角形内角和定理。