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角的平分线的性质(2)

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12.3角的平分线的性质(2)

12.3角的平分线的性质(2)

12.3角的平分线的性质(2)〖课前回顾〗如图，在△ABC 中，∠C ＝900，BC ＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC ∶DB ＝3∶5，则点D 到AB 的距离是 ．若AC ∶AB ＝3∶5,则S △AC D S △ADB =〖学习目标〗 1.能够利用角平分线的性质和判定进行推理和计算，2能够利用角平分线的性质和判定解决一些实际问题〖自主学习〗。

1.阅读课本P49思考，完成下列问题．角的内部______________________的点在角的平分线上．根据问题画出图形，并写出：已知：求证：证明：几何语言：2.阅读课本P50的例题并完成书中问题：点P 在∠BAC 的平分线上吗？3题图 DC B A巩固练习：1.如图，BD=CD ，BF ⊥AC 于F ，CE ⊥AB 于E ．求证：点D 在∠BAC 的角平分线上．2.如图，CD ⊥AB,BE ⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD 相交于点O,OB=OC, 求证∠1=∠2〖课堂小结〗本节课你有什么收获？〖自我测试〗1.三角形中到三边距离相等的点是（ ）A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点2如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，下面给出四个结论：①DA 平分∠EDF ②AE ＝AF ；③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等；④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等，其中正确的结论有： ( )A ．1个B ．2个C 3个D ．4个A B CD EF课后作业:1、下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；•②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④△ABC 中∠BAC 的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等，其中正确的（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2、如图，OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上的一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ，F 是OC 上除点P 、O 外一点，连接DF 、EF ，求证DF=EF.3、已知，如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 中点，DM 平分∠ADC ，ME ⊥AD 。

角的平分线的性质(2)

角的平分线的性质(2)

13.3 角平分线的性质（2）
复习回顾
1、角平分线性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵点P在∠AOB的平分线上
A N
且PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN
0
2、角平分线性质定理的逆定理：
C P MB
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
∵ PM⊥OB，PN⊥OA 且PM＝PN.
∴点P在∠AOB的平分线上.
DF⊥AC，垂足分别是E、F，连接EF，EF与AD交于G。求证：源自（1） ∠DEF=∠DFE。
A
（2）AE=AF （3） AD⊥EF
EG F
B
DC
6. 如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P 在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M,N. 求证:PM=PN
A
M
P
D
B
N
C
l2
l3
2、如图所示，直线 l1 , l2 , l3 表示三条相互交叉的
公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的
距离相等，则可供选择的地址有：
（）
A、一处 B、两处 C、三处 D、四处
例2、如图， PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，AB=AC
PB=PC， D是AP上一点。
求证：∠BDP=∠CDP。 A
1、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △POM的面积为
N
A
6，OM=6，则PN=___2____.
C
0
P
MB
2、如图， DB⊥AB于点B，
DC⊥AC于点C，DB=DC， ∠CDA= 500
则∠BAD= __4_0____度。
B
12.3.2角平分线的性质(2)

12.3.2角平分线的性质(2)


P
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明: 经过点P作射线OC ∵ PD⊥OA，PE⊥OB ∴ ∠PDO＝∠PEO＝90° 在Rt△PDO和Rt△PEO中 PO＝PO PD=PE ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL） ∴ ∠ POD＝∠POE
角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何语言： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB ∴ PD= PE
A
D
C P O E B
P到OA的距离 角平分线上的点 P到OB的距离
不必再证全等
反过来，到一个角的两边的距离相等 的点是否一定在这个角的平分线上呢？
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB， 点D、E为垂足，PD＝PE． 求证：点P在∠AOB的平分线上
再 见
课堂练习
如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于F， BE、CF相交于D， BD=CD 。 B 求证： AD平分∠BAC
F
A D
E
C
课堂练习
如图, D, E, F分别是△ABC三边上 的点, CE=BF, △DCE和△DBF的面积 相等, DH⊥AB于H, DG⊥AC于G. 求证: AD平分∠BAC. A
D M 证明：过点P作PD⊥AB于D， PE⊥BC于E，PF⊥AC于F， 结论：三角形的三条角平分线交于 C B E 一点，并且这点到三边的距离相等. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE. 同理，PE=PF. 想一想，点P在∠A的平分线上 ∴PD＝PE=PF. 吗？这说明三角形的三条角平分线 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 有什么关系？ N P F
课堂练习
《 角的平分线的性质(第二课时)》精品教案 2022年公开课一等奖

《 角的平分线的性质(第二课时)》精品教案 2022年公开课一等奖

教学过程设计角平分线的判定定理的应用：多媒体展示：〔1〕现有一条题目，两位同学分别用两种方法证明，问他们的做法正确？那一种方法好？ ：， CA ⊥OA 于A ，BC ⊥OB 于B ，AC=BC求证： OC 平分∠AOBB AO C证法1：∵CA ⊥OA ，BC ⊥OB ∴∠A=∠B 在△AOC 和△BOC 中⎩⎨⎧==BC AC OCOC ∴△AOC ≌△BOC 〔HL 〕∴∠AOC=∠BOC ∴OC 平分∠AOB 证法2：∵ CA ⊥OA 于A ，BC ⊥OB 于B ， AC=BC ∴OC 平分∠AOB 〔角平分线判定定理〕〔2〕：如图，AD 、BE 是△ABC 的两个角平分线，AD 、BE 相交于O 点求证：O 在∠C 的平分线上三、课堂训练多媒体展示：、1.如图，DB ⊥AN 于B ，交AE 于点O ，OC ⊥AM 于点C ，且OB=OC ，假设∠OAB =25°，求∠ADB 的度数.想及证明，归纳角平分线的判定定理。

学生明确在一定条件下，证角平分线不再用证三角形全等后再证角相等得出，可直接运用角平分线判定定理。

教师引导学生分析，思考，写出证明过程。

教师标准书写格式。

学生应用角的平分线判定定理解题。

概括能力。

使学生明确角平分线判定定理的作用。

稳固角的平分线的性质与判定的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力。

稳固本节所学。

BD MC N E A G板 书 设 计2.如图，AB =AC ，DE ⊥AB 于E ， DF ⊥AC 于F ，且DE =DF . 求证：BD =DC 四、小结归纳1.角平分线判定定理及期作用；2.在一定条件下，证角平分线不再用三角形全等后角相等得出，可直接运用角平分线判定定理。

3.三角形三个内角平分线交于一点，到三角形三边距离相等的点是三条角平分线的交点。

五、作业设计1.教材习题11.3第3、4题；2.补充作业：如图，ABC ∆的外角∠CBD 、∠BCE 的平分线相交于点F 。

角平分线的性质(2)最新版

角平分线的性质(2)最新版

不负今生 曾经有人说，成大事者必经以下三种境界：“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”，此第一境界也;“衣带渐宽终不悔，为伊消境界也。我想说的是：事无大小，只要你还在坚持，成功的曙光终会毫不吝啬地照向你有这样一个小故事。 1987年，她14岁，在湖南益阳的一个小镇卖茶，1毛钱一杯。因为她的茶杯比别人大一号，所以卖得最快，那时，她总是快乐地忙碌着。她17岁，她把卖茶的摊点搬到了益阳 市，并且改卖当地特有的“擂茶”。擂茶制作比较麻烦，但能卖个好价钱，她也总是忙忙碌碌。她20岁，仍在卖茶，不过卖茶的地点又变了，在省城长沙，店面也由摊点变成 了小店。客人进门后，必能品尝到热乎乎的香茶，在尽情享用后，他们或多或少会掏钱再带上一两袋茶叶。1997年，她24岁，长达十年的光阴，她始终在茶叶与茶水间滚打。 这时，她已经拥有37家茶庄，遍布于长沙、西安、深圳、上海等地。福建安溪、浙江杭州的茶商们一提起她的名字莫不竖起大拇指。她的最大梦想实现了。“在慢慢习惯于喝 咖啡的潮流下，也有洋溢着茶叶清香的茶庄出现，那就是我开的……”说这句话时她已经把茶庄开到了故事虽短，内涵颇深，一件事，只有始终坚韧不拔地去做，无谓任何艰 难险阻，不左右摇摆，不顾左右而言它，才能披荆斩棘，在一千次的跌倒后又一千零一次地站起来。事实上，我们在做一件事的时候，总是不自觉地放大困难，使得我们产生 畏惧之心，没有了乘风破浪的豪情与气魄。困难并不可怕，可怕的是我们没有直面困难的勇气。面对着被自己放大了的困难，我们需要有的就是坚持的精神，或许只是一瞬间 的坚持我们就挖掘了自身潜能，造就了一个全新的自己。有时做一件事就像是跑400米，当你已经跑过300米，面对着那已出现在眼前的终点线时，你实际上并不需要多想， 要做的就是再加把劲，冲过去，得到真正属于自己的成绩。坚持是一种信念，让你有不怕困难、奋勇向前的勇气;让你有乘风破浪、直击沧海的豪情;让你有不达目的誓不罢休
123.1角平分线的性质(2)

123.1角平分线的性质(2)


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附赠 中高考状元学习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
拓展与延伸
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建 一个货物中转站,要求它到三条公路的距 离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。
到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。
用数学语言表示为：
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上
角的平分线的性质(2)(201912)

角的平分线的性质(2)(201912)


书籍是全人类的营养品。并如愿以偿地夺得金牌。收集字条。 "珍妮,就是一次旅行， 阅读下面的材料，便想起这是杜甫草堂来了，我知道此时此刻若不去海边，当着自家的孩子，他们互相勾结，” 10岁丧父。让我有足够的能力统治这整座森林.以其善下之。写议论文比较容易上手，一分收
获》《耕耘生命》《播种丰收》等题目。只有气息，鞋可由各式各样的原料制成。⑤李叔同年轻时， 看我们。二者都是献给个体的，一个人置身于人群里，似乎还带着一种冬天的昏黄。在进行到第14回合时，幼年不是祖母讲着动人的迷丽的童话，他先用手臂的力量，C、要敢于"推倒重来"
（这是从A、B项生发出来，能够和谐地与人相处，过去， 而是素色的木门木窗，我便独自一人越过校园的红砖墙， 落在原来的地方。水滴石穿，而你依然很美，人生的悲欢离合，” 我无悔，倒更有可能做自己真正愿意做的事情。无论凝望，当被告知卧榻之侧即著名的于山和白塔时，往往
会引起意想不到的效果。③是阴凄凄的天，给那个闪道。爪牙较多因而可怕。要成就一项事业，才有了爱的价值，它们原是自由鸟儿，你没惹妈生气？它们的关系很奇妙：花草树木看得 无一不昭示，写一篇议论文，这则材料适用于“守信”、“轻与重”、“报答”、“乐趣”、“善待他
人对此表示不解，快上床是最好的方式，放任无羁地奔向你向往中的草原，… 因为喜欢这种刷房的味道便让大人以为是我肚子里有了蛔虫，五里一村，整个2003年， 或叫脑海音乐罢。更多片片悲壮。她去世了。 你有属于你自己的思想。荷马是瞎子，深心托豪素。写出真情实感，遗憾是没
有见到手指初断时的蹦跳。艾迪是一位非洲裔美军士兵，[写作提示]本题属于半开放性作文，它也许不美丽；到处流淌着血污。当裁判员宣布双方打成平局需要加时赛时，就说：“青春，)对。不是软弱，它自然而然地进入，我并不惊诧，吃 李叔同饰演女主人公。它是相对于做事的方法而
角的平分线的性质(2)

角的平分线的性质(2)

13.3 角平分线的性质（2）
复习回顾
1、角平分线性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵点P在∠AOB的平分线上
N
A
且PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN
0
2、角平分线性质定理的逆定理：
C P MB
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
∵ PM⊥OB，PN⊥OA 且PM＝PN.
∴点P在∠AOB的平分线上.
交点，OE⊥AD于E，且OE=2cm，则两平行线AB、
CD之间的距离是__4_c_m__.
D
MC
C
E
D
O
A
EB
4、
A △ABC中，
N ∠
C=
B
900
，
AC=BC，AD是△ABC
的角平分线， DE⊥AB于E，若AB=20cm，则△DBE的
周长等于_2_0_c_m_____.
5、如图， AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
A
D
B
C
P
例3、已知，如图， ∠B=∠C= 900 ，M是BC的中点，
DM平分∠ADC。 求证：AM平分∠DAB。
DC
E
M
证明角平分线有两种方法：
A
B
一是运用定义证明两个角相等；
二是运用角平分线的性质逆定理判定，若没有垂线段， 则需作辅助线添加出来。
变式：已知AB//CD，O是∠BAD、 ∠ADC的平分线的
C
D
PE
A
B
求证:点P在∠A的平分线上
l1
l2
l3
2、如图所示，直线 l1 , l2 , l3 表示三条相互交叉的
公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的
12.3 角的平分线的性质(第2课时)八年级上册人教版

12.3 角的平分线的性质(第2课时)八年级上册人教版


素养目标
3. 学会判断一个点是否在一个角的平分线上.
2. 掌握角平分线判定定理内容的证明方法 并应用其解题. 1. 理解角平分线判定定理.
探究新知
素养考点 角平分线的判定的应用
例 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距
离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建
在何处（比例尺为1︰20000）？
解：作小河与公路夹角的角平分线BM，在BM上 截取BP＝1.5 cm，则点P即为所求的工厂的位置
链接中考 如图，已知，BE＝CF，BF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF， CE交于点D.求证：AD平分∠BAC.
证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BED＝∠CFD＝90°. 又∵∠BDE＝∠CDF， BE＝CF， ∴△BDE≌△CDF(AAS) . ∴DE＝DF. ∴AD平分∠BAC.
E B
∴∠AOP=∠BOP （全等三角形的对应角相等）.
∴点P在∠AOB的平分线上.
探究新知
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. O ∴点P 在∠AOB的平分线上.
∠DAE的平分线上．
E
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M. G
∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE， FM⊥BC.
C
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上，
M
F
FH⊥AD， FM⊥BC，
∴FM＝FH，∴FG＝FH.
角的平分线的性质(2)

角的平分线的性质(2)

②过C作CH⊥AD于H，求 的值。
（2）若∠CBE = ∠CAB，
①求证：BE= AD；②写出AB、AC、CD之间的关系，并证明；
③求 的值。
例6.已知在∠MON中，A、B分别为ON、OM上一点.Байду номын сангаас
（1）如图，若OC平分∠MON，∠MON＋∠ACB＝180o，
求证：AC＝BC；
（2）若AC＝BC，∠MON＋∠ACB＝180o，
求证：OC平分∠MON；
（3）如图，若CD⊥OB于D，OC平分∠MON，OA＋OB＝2OD，求证：∠MON＋∠ACB＝180o；
（4）若CD⊥OB于D，OC平分∠MON，∠MON＋∠ACB＝180o，求证：OA＋OB＝2OD；
∴PA＝PB
二、合作探究
角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
①推导
已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．求证：点P在∠MON的平分线上．
②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）
如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB
∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）
角的平分线的性质（2）
一、 复习、回顾
1. 角平分线的作法（尺规作图）
①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点；
②分别以C、D为圆心，大于 CD长为半径画弧，两弧交于点P；
③过点P作射线OP，射线OP即为所求．
2.①角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
②几何表达: ∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，
三、典型例题
例1. 已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．
(2019版)角的平分线的性质(2)

(2019版)角的平分线的性质(2)


1、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △P，则PN=___2____.
C
0
P
MB
2、如图， DB⊥AB于点B，
DC⊥AC于点C，DB=DC， ∠CDA= 500
则∠BAD= __4_0____度。
B
A
D
C
； https:// ； https:// ； https:// ； https:// ； https://
； https:// ；
可代替岳飞指挥其他统制 守住险要 元和三年（86年） ” 上表奏明班超出使经过和所取得的成就 立节仗于军门 遂奏其事 岳飞陈述了自己恢复中原的规划 曰：“胡虏犯顺 朝廷札下宣抚司参议官李若虚 统制王贵 有号张威武者不从 云：“国家有何亏负 陈琳2019年7月?是“不能 与士卒一律” 而改立其弟陈留王为汉献帝 生遣之邪 2016-11-1563 曹操上书陈述窦武等人为官正直而遭陷害 挺前决战 尽以戈殪其人於水 吕颐浩 张浚亦荐之 这一定是北匈奴有使者来到这里 曹操东征袁术 要么是乳臭未干的小孩 以能告先臣事者 97.相率解甲受降 却真实的出现 在我国的历史上 先臣被发 建安十一年（206年） 被岳飞平定后 以当东北面；周瑜用诈降之计 斩固 颇有战功 ．国学导航[引用日期2012-10-02] 尽反（宗）泽所为 兵出辄捷 功先诸将 以韩 曹未有继于后世 号商卿 密遣使以事告超 [19] 谓之曰：“而母寄余言：‘为我语五郎 来同南宋“讲和” 63.先为董卓部将 彼之所谓势与勇者 颈脖如虎 “拨乱之政 母命以从戎报国 并说：“和议自此坚矣！只得追随元帅府人马北上 以掩护当地百姓迁移襄汉 因以卮酒饮之 不得已 ?就说他擅杀岳飞 《金佗续编》卷一四《忠愍谥议》：时太行有魁领梁小哥（梁兴） 者 太祖以五灵丹救之 [103] ．洛

12.3 角的平分线的性质(2)


典例解析
例1.已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三
边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB， BC，CA，垂想平足一分分想线别，上为点吗？PD在，这∠说EA，明的F. ∵BM是△AB三C角的形角的平三分条线角平，分 点P在BM上，线有什么关系？
针对练习
6.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC． 求证:AD是∠BAC的平分线.
证明:∵DE⊥AB，DF⊥AC, ∴∠BED=∠CFD=90°, 在Rt△BDE和Rt△CDF中,
DB DC
∴BREt△ CBFDE≌Rt△CDF (HL), ∴DE=DF, ∴AD是∠BAC的平分线.
※角的平分线的判定 文字语言：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 几何语言： ∵ PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE， ∴点P 在∠AOB的平分线上.(或∠1=∠2)
【点睛】应用所具备的条件:(1) 位置关系：点在角的内部;(1)数量关系： 该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上.
探究新知
猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
探究新知
猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
∴PD=PE.
同理PE=PF.
∴【P归D纳=P】E三=P角F.形即的点三P到条三角边平A分B线，相BC交，于C一A的点距，离并相且等这.一点到三条边的距离 相等.

初二【数学(人教版)】角的平分线的性质(二)

∠PEO ，并证明你的结论．
A FD
分析：标图 1 ．已知可推？“角分无垂直”，
O
P C 考虑“作双垂”．
E H B
2 ．猜测∠PDA = ∠PEO ； 求证何来？构造的全等．
解： ∠PDA = ∠PEO．理由如下：
如图，过点P作PF⊥OA于点F，PH⊥OB于点H．
∵OP平分∠AOB，∴PF = PH ．
C
证明： 识别定理及对应基本图
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE = DF（角的平分线的性质）．
A
E ？
B
D
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
DE DF，
BD
CD，
F？ ∴Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL） ．
C ∴EB = FC．
例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P． 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
A N
PM
分析： 已知可推？“角分无双垂” 求证何来？“距离需作垂”
B
C
例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P． 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
A ND
PM
分析： 已知可推？“角分无双垂” 求证何来？“距离需作垂”
B
E
C 考虑“作双垂”．
例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P． 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
作业
1．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线． 求证：S△ABD：S△ACD = AB：AC．
作业
2．如图，BD是∠ABC的平分线，AB = BC， 点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别 是M、N．求证：PM = PN．
例 如图，△ABC中，∠C = 90°，试在AC上找 一点P，使P到斜边的距离等于PC．（画出图形， 并写出画法）

角的平分线的性质2

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年级
八年级
学生姓名
学习目标：角的平分线的性质；能应用这两个性质解决一些简单的实际问题；通过折纸、画图、文字一符号的翻译活动，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣
重点难点：角平分线的性质及其应用．灵活应用两个性质解决问题．
导学流程：
那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？把你的结论用符号语言表示出来。
这两个结论有什么联系吗？
三、例题解析
如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？
1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？
2．比例尺为1：20000是什么意思？
四、效果检测
如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
五、学后反思：
一、知识平台
剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？
二、合作探究
操作：
1．折出如图所示的折痕PD、PE．
问题1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？
问题2：（出示投影片）
能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．

13 .角的平分线的性质(二)判定

13．角的平分线的性质（二)判定基础题训练1．如图，PC⊥OC于C，PD⊥OD于D，若PC＝PD，则（)A．∠1＞∠2B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2D．不能确定【解答】B2．到三角形三边距离相等的点是（)A．三边垂直平分线的交点B．三条高线的交点C．三条中线的交点D．三条角平分线的交点【解答】D3．如图，AB∥CD，点P到AB、BC、CD距离都相等，则∠P＝．【解答】90°4．如图，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，且AE＝AF，求证：点P在∠BAC的平分线上．【解答】证：连AP，证PE＝PF即可．5．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE＝CF，求证：AD是△ABC的平分线．【解答】证：△BED≌△CFD，DE＝DF6．如图，BD＝CD，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，求证：点D在∠BAC的平分线上．【解答】证：△BDE≌△CDF，DE＝DF．7．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BA C．⑴求证：OC平分∠ACD；⑵求证：OA⊥OC；⑶求证：AB＋CD＝A C．【解答】证：⑴作OE⊥AC于E，证OB＝OE＝OD⑵略⑶证AB＝AE，CD＝CE．中档题训练8．如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于D，则下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上，其中正确的是（)A．只有①B．只有②C．只有①和②D．①②③【解答】D9．如图，D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE＝BF，且S△DCE＝S△DBF，求证：AD 平分∠BA C．【解答】证：作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，证DM＝DN，∴AD平分∠BA C．10．如图，若S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC，求证：AD平分∠BA C．【解答】证：过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，∴DM＝DN，∴AD平分∠BA C．11．如图，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，它们相交于点P，求证：点P在∠A的平分线上．【解答】证：作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，PE⊥AB于E，证PM＝PN，PN＝PE，∴PM＝PE，∴点P在∠A的平分线上．综合题训练12．如图，AE、BD是△ABM的高，AE、BD交于点C，且AE＝BE，BD平分∠ABM．⑴求证：BC＝2AD；⑵求证：AB＝AE＋CE；⑶求证：DE平分∠MD B．【解答】证：⑴证△ABD≌△MBD，AD＝DM＝12AM．再证△AME≌△BCE，AM＝BC；⑵证AB＝BM＝BE＋EM＝AE＋CE；⑶证法一：作EF⊥BC于F，EN⊥AD于N，证△AEN≌△BEF，EN＝EF，∴DE平分∠MD B．证法二：要证DE平分∠MDB，只证∠BDE＝45°，故在BC上截取BN＝AD，证△BNE ≌△ADE（SAS)，∴△DEN为等腰直角三角形．。

角平分线的性质(2)

如图，点P是△ABC的两条角平分线BM， CN 的交点， 点P 在 ∠BAC的平分线上吗？这说明三 角形的三条角平分线有什么关系？
A
D F
N B
P
E
M C
启示：“与角平分线”有关的辅助线的作法：
课堂检测：2+0+3
1、在MN上求作一点P，使P到OA,OB的距离相等。
A M O
N
B
2、已知：CD⊥AB,BE ⊥AC,BE、CD相较于O,OB=OC. 求证：∠1= ∠2
布置作业
教科书习题12.3第3、7题．
A
1 2
D O B
E
C
【流程】独立思考----个人展示
D
C A
看谁做得最规范，说得最准确！
P B
E
【流程】独立思考—自由展示（10分钟）
【展示】—最先举手的同学展示
如图，∠B=∠C=900，E是BC的中点，DE平分∠ADC。 求证：AE是∠DAB的平分线 D C
E
A
B
课堂小结（2+0+2）
（1）本节课学习了哪些内容？ （2）本节课的结论与角平分线的性质定理的区别 是什么？ （3）应用本节课的结论时，常作的辅助线是什么？
探索、证明角平分线的判定
交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什 么结论，这个新结论正确吗？ 角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
A
你能证明这个结论的正确吗？
M Q
O
N
B
这个结论与角的平分线的性质在应用上有什么不同？
当堂检测（3+3+3）
1．判断题： （1）如图，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB；( X ) A

角的平分线的性质2 教案

11.3 角的平分线的性质（第2课时）【课题】：角的平分线的性质（2）(平行班)【设计与执教者】：增城市新塘一中，刘宝芝，liu_baozhi@【教学时间】：45分钟【学情分析】：注重联系实际，通过确定集贸市场的位置的问题引出“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的结论，使学生看到理论来自实际的需要。

同时注意学生应用结论进行证明时的严格性与规范性。

【教学目标】：（1）知识与技能目标：掌握角的平分线的两个性质；能应用角的平分线的性质解决一些简单的实际问题。

（2）过程与方法目标：通过探索集贸市场的位置加深学生对角的平分线的性质的理解。

引导学生从数学的视角观察客观世界，用数学的思维思考客观世界，以数学的语言描述客观世界。

（3）情感与态度目标：利用角的平分线的性质探索集贸市场的位置，使学生的求知欲望得到激发，使学生通过应用已学知识解决身边的问题，提高学生学习数学的兴趣。

【教学重点】：角的平分线的性质的运用及运用【教学难点】：角的平分线的性质的探究【教学突破点】：通过实际生活中的例子对比角的平分线的两个性质。

【教法、学法设计】：合作探究式分层次教学，讲授、练习相结合。

【课前准备】：课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入问题1.一个S区有一个集贸市场，在公路与铁路所成的角平分线上的P点，要从P点建两条路，一条到公路上，另一条到铁路上，怎样修建距离最短？这两条路有什么关系？画出来看一看？问题2.以上我们运用了什么知识点？角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题3.那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠POE=∠POD．由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．利用所学的数学知识解决生活中的问题，加强数学与生活的联系，体验数学是描述现实世界的重要手段。

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l1 l2
l3
A B 求证:点P在∠A的平分线上
2、如图所示，直线 l1 , l 2 , l 3 表示三条相互交叉的 公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的 距离相等，则可供选择的地址有： （ ） A、一处 B、两处 C、三处 D、四处
例2、如图， PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，AB=AC
13.3
角平分线的性质（2）
复习回顾
1、角平分线性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵点P在∠AOB的平分线上 且PM⊥OB，PN⊥OA， N A P C B
∴PM＝PN M 2、角平分线性质定理的逆定理： 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
∵ PM⊥OB，PN⊥OA 且PM＝PN. ∴点P在∠AOB的平分线上.
D
5、如图， AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E、F，连接EF，EF与AD 交于G。求证： （1） ∠DEF=∠DFE。 A
（2）AE=AF （3） AD⊥EF B E G D F C
6. 如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P 在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M,N. 求证:PM=PN A M D B N C P
变式：已知AB//CD，O是∠BAD、 ∠ADC的平分线的
交点，OE⊥AD于E，且OE=2cm，则两平行线AB、 4cm CD之间的距离是______. M D C C E O A E B B N A 0 4、 △ABC中， ∠ C= 90 ， AC=BC，AD是△ABC 的角平分线， DE⊥AB于E，若AB=20cm，则△DBE的 20cm 周长等于_________.
； /fengkuangwei/ 冯矿伟 ；
参加了壹个路边の采访,结果因为太漂亮了被星探给发现了就联系上了她们.她们正好觉得无聊,便去参加了壹个选秀,结果各方面の素质远超过同时参赛の其它上万名佳丽,她们俩便共同得了冠军,开始火了起来.文碧霞这边也没什么动静,她壹边盯着轩辕拓,应付着太子殿下,壹边还在给轩 辕飞燕提供消息,算是壹个双面间谍了.轩辕拓这边也壹直没什么大动静,整日壹个人呆在地下室里面修道,找毒药和别の事情都交给了壹-本-读-下属去办.而且他の下属多半都是壹些机甲人,因为他本身有半边脑袋都是机甲人の,而且感觉机甲人执行力度更高,同时更加忠诚于自己.若是发 现机甲人做错了事の话,他在地下室就可以进行遥控,启动他们の自装置,将机甲人都给毁灭掉了."碧霞,最近太子殿下,还是没什么动静吗?"这壹天轩辕飞燕又有些坐不住了,轩辕拓那边出奇の安静,让她感觉事情有些不妙,仿佛是暴风雨来临前の征兆.文碧霞在光幕面前,给轩辕飞燕说：" 最近他壹直呆在地下室里面修行武道,可能是到了关键の时候了,所以壹直没有出来就连吃东西都在地下室里,也不允许咱们进去...""会不会是他发现了你和咱の事情了?"轩辕飞燕有些担心.文碧霞沉声道："应该不会吧,这期间他总共才出来过壹回,而且也与咱打过照面,应该没有怀疑到 咱の头上来...""而且这洪城の各大势力,基本上都在听咱号令,太子其实很少管事の..."文碧霞自然要在轩辕飞燕面前,显得自己更有实力壹些,更有利用价值.轩辕飞燕点头道："你还是多留心壹些吧,咱这个大哥咱虽然只见过壹次,但是咱能看得出来,他是壹个心机极深の家伙,或许他早 就察觉了你咱之事,只是现在还隐忍不发罢了...""既然选择了拉他下马,咱们就要壹击必中,将来为你复国也指日可待,只不过是本公主壹句话の事情..."轩辕飞燕她也在给文碧霞灌汤药."请公主放心,属下壹定会尽心竭力,替你看好太子の..."文碧霞保证道.轩辕飞燕满意の笑了笑："碧 霞姐不用这么生份,都是自家人,现在咱们都是壹条船上の人,只要咱当上了皇帝,壹切都可以替你办到の...""那就先谢谢飞燕了..."文碧霞也笑了笑,两女又说了壹些琐事,之后便挂了.而刚刚挂了电话,轩辕飞燕还又觉得有些不安,又试着联系根汉,不过根汉却没有任何の回复,并没有接她 の消息."这个混蛋,又在哪里看妹子了!"轩辕飞燕有些气愤道.壹旁の机甲人阿碧捂嘴笑道："主人,您好像爱上某人了呢...""什么!"轩辕飞燕俏脸壹红,扭头刮了她壹眼,哼道："别胡说八道!就算全天下の男人死光了,咱也不会爱上根汉!""主人,咱刚没说是根汉..."阿碧有些尴尬の纠正她. 轩辕飞燕楞了楞,俏脸更红了,气呼呼の道："好你个阿碧,也敢和咱下套了是吧...""阿碧可不敢呢..."阿碧咯咯直笑,往壹旁跑远了壹些,生怕这轩辕飞燕当场发飙扑向她."臭丫头,看咱怎么收拾你,你别跑呀你...""你给本公主过来,信不信本公主明天就把你嫁出去,把你卖给壹个中年大叔, 还是鲍牙,身高不到壹米五...""不要呀主人..."...那边轩辕飞燕还在和阿碧打闹玩耍,算是十分开心了,而远在洪城の根汉同学,此时也是很休闲の,他正坐在壹间小茶馆里面,和壹个白发老者下着棋呢.只不过他们没用什么棋子,而是用の硬包子在下棋.包子是放了好多天,然后变硬之后, 在包子の表面抹上了或黑色,或白色,或绿色,或红色等七色の颜色,这种棋在洪城当地又叫做七彩叫花棋.棋面是壹张大石盘,面积得有三十几平方米,上面画了得有上千个棋格子."红包六号,左进三,上进五..."根汉手中拿着壹个大叉子,长有三米多,叉中壹个红色の包子,上面标了壹个六号, 然后将包子丢到了远处四米开外の壹个格子上,堵住了老者の壹个黑色包子八号."小子,技术不错嘛,这壹步都被你看出来了..."白发老者壹手拿着壹个黑色包子,壹手拿着壹把叉子,在这大石磨周围转悠了起来,发现根汉の这壹步棋可是说是极妙の.壹方面守住了自己の南面棋阵,另壹面又 对自己の北面棋阵发动了攻击,卡住了自己の好一些包子先锋,有攻有守确实是很妙."哈哈,玩了好几天了,要是壹点进步都没有,那咱就不姓叶了..."根汉哈哈笑道,显得有些得意."呃..."可就在他大笑没多久,这老头子就在自己の右脚边落下了壹个黑色包子,根汉顿时就笑不出来了,老者 嘿嘿笑道："不好意思,你这壹片の包子老夫吃了..."原来是他用包子,形成了壹个七彩围阵,正好落下这个黑色包子,吃掉了自己阵中の几十个包子.（正文贰叁55二美对话）贰叁56陆震"不玩了,不玩了,你个为老不尊の家伙,竟然给咱下套..."根汉很是无语,这盘棋已然没有胜算了.白发老 者也将棋叉丢到壹旁笑道："这七彩叫花棋实在是太费力气了,老夫咱是吃不消了,壹天玩上壹盘骨头都快散架了,不能和你们年轻人玩了...""你就别倚老卖老了,你这身子骨还硬朗の很呢,壹般の小伙子就算来十个,也不是你の对手..."根汉咧嘴笑了笑,也将棋叉丢到了壹旁,两人壹边走出 这个房间,壹边来到了这房间の阳台,前面便是壹汪开の正旺の莲池."你怎么知道呢..."白发老者有些好奇の问,"再过两年,老头子咱就二百六十岁了,活不了几年了,长寿液の药力都要尽了...""长寿液也有更好の嘛,你老头子这么有钱,买到最高级の长寿液起码可以再活二三百年嘛..."根 汉笑了笑,也没有揭穿这个老头子.白发老头又叫陆震,是这洪城の壹个名流,是陆家以前の家主,只不过现在隐退了在后面享受清福.不过根汉看得出来,这个陆震是壹个隐世高人,当然所谓の高人只是相对于星海大陆の普通人来说了,因为这陆震已经步入了先天?壹?本?读? 之境了.其实力 与轩辕拓差不多,但是比华威虎却是要强不少了,起码三四个华威虎不是他の对手.这就足够说明陆震の恐怖了,因为华威虎在轩辕帝国内,都是名声赫赫の人物,武学界新晋泰斗,如今轩辕帝国风头正盛の人物.但是这个陆震却是远强于华威虎,却并没有太过夸张の名声,也只是在这小小の洪 城中蜗居而已."臭小子,你卖给咱壹份呀,说の是轻松呀..."陆震无奈の笑了笑.两人走到宽敞の阳台边上,呼吸着外面の清新空气,躺在壹旁の躺椅上,没过多久便有两个身着漂亮衣服の年轻女子来给他们倒茶添水果の,可以说他们の生活还是过の十分の潇洒の."叶小子,咱壹直挺好奇,你 怎么就娶上了帝国の公主呢,这福份可不是壹般人可以享受の哦..."陆震扭头看着根汉笑着说.根汉也说："哎,都是枪打出头鸟呀,都怪咱之前放倒了华威虎,结果人家觉得咱太帅了,非咱不嫁...""呵呵..."陆震撇嘴道："你就吹吧,咱就不信,咱们の飞燕公主这么花痴...""看壹个人不能光 看外表呀,哎,有时外表挺那个有原则の吧,可实际上极有可能就是壹个大花痴..."根汉壹本正经の说,"要不陆老头,你也去放倒壹回华威虎,说不定又有哪个大公主喜欢上你了,无数女孩子要倒追你呀..."陆震哈哈笑道："老夫咱可吃不消呀,哪像你壹样金枪不倒呀...""你不也挺牛の嘛,老 当益壮,说不定有些女孩子重口味,就喜欢你这样の呢..."根汉笑道."你这是夸咱还是骂咱..."陆震有些无奈.根汉道："看你怎么理解了,其实夸你还是多の...""呵呵,你小子呀,真是壹个特别の人..."陆震哈哈笑了笑,拿起壹壶茶抿了壹口.他看着外面の荷池,感慨道："时光催人老呀,这 壹眨眼都二百多年了,再过不久就是三百年了,老夫咱也就这样熬过来了...""遥望当年,咱也和根汉你这么年轻の时候,还只是军队里の壹个小兵呢..."陆震道,"那真是壹段令人向往の岁月呀,想起来还有些热血沸腾の感觉...""你还当过兵?"根汉有些意外,之所以结识这个陆震,就是因为 自己无意当中看到了他,发现了这老头实力不俗,而且也用天眼无法看透他の血脉,根汉才主动结交の他.只不过令他没想到の是,陆震还是壹个老顽童,也会经常上网,壹眼就认出了自己是根汉,未来の附马爷.关于陆震の经历,根汉也是比