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角的平分线的性质(2)

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角平分线的性质(2)

角平分线的性质(2)

已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上
B A ND P M F
∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等
E
C
如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交 于点F， 求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明： 过点F作FG⊥AE于G， FH⊥AD于H，FM⊥BC于M
分析:无条件限制，4处。
小结
？
A
E
F D
B
C
尝试应用
牛刀小试 1、如图，在三条公路 围成的一块平地上建一 个水库，要使这个水库 到三条公路的距离相等, 应在何处修建?
思考
在确定了水库的位置时,一定要画 出三个角的平分线吗?你是怎样思考 的?如何证明的?
延伸与拓展
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中 转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地 址有:( ) A.一处 B. FG⊥AE， FM⊥BC ∴FG＝FM H 又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH ∴点F在∠DAE的平分线上
如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。

角平分线的性质2

角平分线的性质2

根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项 可推出的事项，并用符号语言填写下表：
点P在 ∠AOB 的平分 线上
这样，我们又可以得到一个结论： 到角的两边距离相等的点在角的平 分线上。 请同学们自己写出证明过程
同学们思考一下，这节课所 学的这两个性质有什么联系 吗？
例 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于 点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、 BC、CA，垂足分别为D、E、F ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上 ∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边 的距离相等） 同理 PE=PF. ∴ PD=PE=PF.
做一做
1、在准备好的角上标好字母；A,O,B, 。把角 AOB对折，使得这个角的两边重合。 2、在折痕（即平分线）上任意找一点P。作 PD垂直与OA，垂足为D。
3、过点P作OB边的垂线PE，垂足为E。
问：点D与点E重合吗？由此你可得到 什么结论？
画一画
按照做一做的顺序画∠AOB 的折痕OC ,过点P的垂线段PD、 PE ，并度量所画PD、PE是否 等长？ 议一议：由此你可得到什么猜想？
故结论可证.
老师期望:你能写出规范的证明过程.
E B
于是我们得角的平分线的性质： 在角的 平分线上的点到角的两边的距离相等．
能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角 的两边的距离相等”这句话．请填下表：
OC平分 ∠AOB， PD⊥OA, PE⊥OB, D、E为 垂足．
PD=PE
议 一 议 到角的两边距离相等的点是 否在角的平分线上呢？
E
A D E B C O A D C
P
B
思考：
如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意 一点,问PE=PD?为什么?

12.3角的平分线的性质(2)

12.3角的平分线的性质(2)

12.3角的平分线的性质(2)〖课前回顾〗如图，在△ABC 中，∠C ＝900，BC ＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC ∶DB ＝3∶5，则点D 到AB 的距离是 ．若AC ∶AB ＝3∶5,则S △AC D S △ADB =〖学习目标〗 1.能够利用角平分线的性质和判定进行推理和计算，2能够利用角平分线的性质和判定解决一些实际问题〖自主学习〗。

1.阅读课本P49思考，完成下列问题．角的内部______________________的点在角的平分线上．根据问题画出图形，并写出：已知：求证：证明：几何语言：2.阅读课本P50的例题并完成书中问题：点P 在∠BAC 的平分线上吗？3题图 DC B A巩固练习：1.如图，BD=CD ，BF ⊥AC 于F ，CE ⊥AB 于E ．求证：点D 在∠BAC 的角平分线上．2.如图，CD ⊥AB,BE ⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD 相交于点O,OB=OC, 求证∠1=∠2〖课堂小结〗本节课你有什么收获？〖自我测试〗1.三角形中到三边距离相等的点是（ ）A 、三条边的垂直平分线的交点B 、三条高的交点C 、三条中线的交点D 、三条角平分线的交点2如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，下面给出四个结论：①DA 平分∠EDF ②AE ＝AF ；③AD 上的点到B 、C 两点的距离相等；④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等，其中正确的结论有： ( )A ．1个B ．2个C 3个D ．4个A B CD EF课后作业:1、下列说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；•②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④△ABC 中∠BAC 的平分线上任意一点到三角形的三边的距离相等，其中正确的（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2、如图，OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上的一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ，F 是OC 上除点P 、O 外一点，连接DF 、EF ，求证DF=EF.3、已知，如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 中点，DM 平分∠ADC ，ME ⊥AD 。

角的平分线的性质(2)

角的平分线的性质(2)
13.3 角平分线的性质（2）
复习回顾
1、角平分线性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵点P在∠AOB的平分线上
A N
且PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN
0
2、角平分线性质定理的逆定理：
C P MB
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
∵ PM⊥OB，PN⊥OA 且PM＝PN.
∴点P在∠AOB的平分线上.
DF⊥AC，垂足分别是E、F，连接EF，EF与AD交于G。求证：源自（1） ∠DEF=∠DFE。
A
（2）AE=AF （3） AD⊥EF
EG F
B
DC
6. 如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P 在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M,N. 求证:PM=PN
A
M
P
D
B
N
C
l2
l3
2、如图所示，直线 l1 , l2 , l3 表示三条相互交叉的
公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的
距离相等，则可供选择的地址有：
（）
A、一处 B、两处 C、三处 D、四处
例2、如图， PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，AB=AC
PB=PC， D是AP上一点。
求证：∠BDP=∠CDP。 A
1、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △POM的面积为
N
A
6，OM=6，则PN=___2____.
C
0
P
MB
2、如图， DB⊥AB于点B，
DC⊥AC于点C，DB=DC， ∠CDA= 500
则∠BAD= __4_0____度。
B

角平分线的性质2

角平分线的性质2
结论：
到角的两边的距离相等的点在角 平分线上。
思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁 路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００ 米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
Ｏ
公路
铁路
Ｓ
例 已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交 于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、 CA，垂足为D、E、F ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上 ∴PD=PE （在角平分线上的点到角的两边的距离相等） A 同理 PE=PF. D F ∴ PD=PE=PF. N PM 即点P到边AB、BC、 B C CA的距离相等 E
角平分线的性质
尺规作角的平分线
观察领悟作法，探索思考证明方法： A 画法：
１．以Ｏ为圆心，适当 长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ， 交ＯＢＮ于． ２．分别以Ｍ，Ｎ为 圆心．大于 1/2 ＭＮ的长 为半径作弧．两弧在∠Ａ ＯＢ的内部交于Ｃ． ３．作射线ＯＣ．
Ｍ
Ｃ
Ｂ
Ｎ
Ｏ
射线ＯＣ即为所求．
想一想： 为什么OC是角平分线呢？ 已知：OM=ON，MC=NC。 求证：OC平分∠AOB。 证明：在△OMC和△ONC中， Ｃ OM=ON， MC=NC， OC=OC， ∴ △OMC≌ △ONC（SSS） ∴∠MOC=∠NOC Ｂ 即：OC平分∠AOB A
Ｍ
Ｎ
Ｏ O
练习：
平分平角∠AOB．反向延长ＯＣ．得直线Ｃ Ｄ，则直线ＣＤ与直线ＡＢ是什么关系？
则我们得到作一条直线垂线的 方法．
例 1：
已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D， PE⊥OB于E A
求证: PD=PE

三角形的角平分线性质

三角形的角平分线性质

三角形的角平分线性质三角形是几何学中重要的图形之一，它由三条边和三个内角组成。

其中，角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。

角平分线在三角形中具有一些特殊的性质和应用。

本文将探讨三角形的角平分线性质，帮助读者更好地理解和运用。

1. 角平分线的定义角平分线是源于一个角的顶点，将该角分成两个相等的角的线段。

在三角形中，每个内角都有一条平分线，且这些平分线相互交于一个点，称为三角形的内心。

三角形的内心是角平分线的交点，它与三角形的三个顶点的连线相交于三条边的中点。

2. 角平分线的性质（1）内角的平分线相互垂直。

对于任意一个三角形，任意一个内角的平分线与另外两个内角的外角的平分线相互垂直。

（2）角平分线分割对边成比例。

对于任意一个三角形，角平分线将对边分割成两个部分，它们的比例等于另外两个边的比例。

（3）角平分线长度关系。

对于任意一个三角形，角平分线的长度与与之对应的边的长度的比例相等。

即如果一个角的两个平分线分别与该角两边相交于点L和M，那么AL/BL=AM/BM。

（4）角平分线的外角等于直角。

对于任意一个三角形，角平分线的外角等于直角，也就是说，角平分线和对边构成的外角为90度。

3. 角平分线的应用（1）三角形的内心是角平分线的交点，它是三角形内接圆的圆心。

内接圆是与三角形的三条边都相切的圆。

（2）角平分线的性质可以用于解决一些与三角形相关的问题，例如角平分线定理、角平分线长度的计算以及面积的求解等。

（3）角平分线的长度关系可以应用于相似三角形的求解中，求解未知边长或角度大小等。

总结：三角形的角平分线是将一个角分成两个相等的角的线段。

角平分线具有垂直关系、对边成比例、长度关系等性质。

角平分线的应用包括解决与三角形相关的问题、内接圆的构造以及相似三角形的求解等。

通过深入研究和理解角平分线的性质，我们能够更好地应用它们解决实际问题，在几何学中发挥重要作用。

角平分线[2]


M H
∴FG=FH， ∴点F在∠DAE的平分线上.
课堂练习 如图, 直线l1、l2、l3表示三
条互相交叉的公路, 现要建一个货物中 转站, 要求它到三条公路的距离相等, 可选择的地址有几处? 画出它的位置.
l1
l3
l2
P2
P1 P3
l3
l1
P4
l2
课堂练习 如图，△ABC中，D是BC
的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别
OP平分∠AOB
ห้องสมุดไป่ตู้
思考
如图，要在S区建一个
贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，
离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市
场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
解：作夹角的角 平分线OC，
截取OD=2.5cm , D即为所求。
SD
C
如图，△ABC的角平分线
BM，CN相交于点P。求证：点P到三边
AB、BC、CA的距离相等
3、角的平分线的辅助线作法： 见角平分线就作两边垂线段。
再见
课堂练习
如图，BE⊥AC于E， CF⊥AB于F， BE、CF相交于D， BD=CD 。 B 求证： AD平分∠BAC
F
A
D
E
C
课堂练习
如图, D, E, F分别是△ABC三边上 的点, CE=BF, △DCE和△DBF的面积 相等, DH⊥AB于H, DG⊥AC于G.
是E、F，且BE＝CF。
A
求证：AD是△ABC的角平分线
E
F
B
C D
课堂练习 在△ABC中，AB=AC，
AD平分∠BAC ，DE⊥AB， DF⊥AC， 下面给出三个结论(1)DA平分∠EDF; (2)AE=AF;(3)AD上的点到B、C两点的 距离相等，其中正确的结论有( )

角平分线的性质(2)

学年度（上）武汉市第一初级中学课时计划教 学设计︵内容、方法、过程、反馈、 反思︶一、 复习、回顾1. 角平分线的作法（尺规作图） ①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 、OB 于C 、D 两点；②分别以C 、D 为圆心，大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P ；③过点P 作射线OP ，射线OP 即为所求．2.①角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． ②几何表达: ∵OP 平分∠MON （∠1＝∠2），PA ⊥OM ，PB ⊥ON ， ∴PA ＝PB 二、合作探究 角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． ①推导 已知：点P 是∠MON 内一点，PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，且PA ＝PB ．求证：点P 在∠MON 的平分线上． 证明：连结OP在Rt △PAO 和Rt △PBO 中， ∴Rt △PAO ≌Rt △PBO （HL ） ∴∠1＝∠2 ∴OP 平分∠MON 即点P 在∠MON 的平分线上．②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）如图所示，∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，PA ＝PB∴∠1＝∠2（OP 平分∠MON ）三、典型例题例1. 已知：如图所示，∠C ＝∠C ′＝90°，AC ＝AC ′． 求证：（1）∠ABC ＝∠ABC ′；（2）BC ＝BC ′（要求：不用三角形全等判定）．例2.如图，在⊿ABC 中，D 是BC 中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，BE =CF ，求证：AD 是∠BAC 的角平分线例3.已知：如图，AB ⊥AD ，AC ⊥AE ，AB =AC ，AD =AE . 求证：(1)BD =CE ；（2）AF 平分∠BFE .例4.如图所示，已知△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，那么AP 能否平分∠BAC ？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？A EB D FC。

角的平分线的性质(2)


1、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △POM的面积为
N
A
6，OM=6，则PN=___2____.
C
0
P
MB
2、如图， DB⊥AB于点B，
DC⊥AC于点C，DB=DC， ∠CDA= 500
则∠BAD= __4_0____度。
B
A
D
C
例1 如图， △ABC的角平分线BM，CN相交于点P。
13.3 角平分线的性质（2）
复习回顾
1、角平分线性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵点P在∠AOB的平分线上
N
A
且PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN
0
2、角平分线性质定理的逆定理：
C P MB
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
∵ PM⊥OB，PN⊥OA 且PM＝PN.
∴点P在∠AOB的平分线上.
A
D
B
C
P
例3、已知，如图， ∠B=∠C= 900 ，M是BC的中点，
DM平分∠ADC。 求证：AM平分∠DAB。
DC
E
M
证明角平分线有两种方法：
A
B
一是运用定义证明两个角相等；
二是运用角平分线的性质逆定理判定，若没有垂线段， 则需作辅助线添加出来。
变式：已知AB//CD，O是∠BAD、 ∠ADC的平分线的
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。
想一想
A
D NPFMBE NhomakorabeaC
点P在∠A的平分线上吗?这说明 三角形的三条角平分线有什么关系？
三角形的三条角平分线相交于一点， 并且这点到三边的距离相等。

123.1角平分线的性质(2)


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附赠 中高考状元学习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
拓展与延伸
2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建 一个货物中转站,要求它到三条公路的距 离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处
分析:由于没有限制在 何处选址,故要求的地 址共有四处。
到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。
用数学语言表示为：
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上
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后还有着瘦小的紫罗兰色鸭蛋般的九块宝石。整个形象好像十分神秘但又带着几分富贵……Ｒ．布基希大夫长着浮动的墨蓝色黑熊一样的脑袋和凹露的亮青色狮子一般的脖子
，最出奇的是一张彪悍的淡白色海星一样的脸，配着一只平常的天青色漏勺般的鼻子。鼻子上面是一对花哨的淡蓝色蛛网般的眼睛，两边是瘦小的紫红色炉灰耳朵，鼻子下面
透出浅橙色锯片般的气味。她轻灵的中灰色琴弓似的骨骼好像极品的粗野但又带着几分标新立异，那种孤傲的白象牙色路标造型的神态的确绝对的耀眼而疯狂。…………那个
身穿风光的碎花袄的精英是
Ｍ．克哥玻游客。他出生在仁安拉星国的锄头川，绰号：二拳瓜子！年龄看上去大约八九岁，但实际年龄足有五六千岁，身高两米八左右
，体重约六百公斤。此人最善使用的兵器是『黑丝瀑神香皂剑』，有一身奇特的武功『褐玉秋妖彩蛋头』，看家的魔法是『紫冰香祖邮筒理论』，另外身上还带着一件奇异的
冰尾灯部落不远处又飘来一阵风声，夜之声是那样的美妙，很久很久都在耳边缭绕……闪入冰尾灯部落后，身上就有一种清凉的，非常滑爽的感觉。整个冰尾灯部落让人感到
一种莫名其妙的、隐隐约约的羞涩和； 书法加盟 书法培训机构加盟 ；现四个凶野狂傲、不可一世的校霸……那个身穿脏乎乎的梦天衣的美眉是
新立异，那种高雅的纯蓝色苦瓜般的神态似乎有点恐怖又潇洒。…………那个身穿五光十色的蛇筋服的狂女是
女狂人Ｑ．玛娅婆婆。她出生在Ａ．思季思帝国的粉条
江，绰号：六爪狐妖！年龄看上去大约十三四岁，但实际年龄足有一万多岁，身高一米八左右，体重足有一百公斤。此人最善使用的兵器是『蓝宝甩鬼老虎绳』，有一身奇特
的武功『黄雪蟒精塑料管耳』，看家的魔法是『红雾扇仙狼牙经文』，另外身上还带着一件奇异的法宝『银鸟晶精乱麻袋』。她有着肥壮的雪白色香槟造型的身材和古怪的浓
』。她有着异常的水蓝色古树般的身材和变形的淡紫色烟囱一样的皮肤，的确绝对的艺术冷酷，她头上是圆圆的纯灰色土堆模样的卷发，戴着一顶有朵红缨的蓝宝石色老虎一
样的马勺春藤巾，她上穿脏乎乎的水白色肥肠造型的霉菌冰火梦天衣，下穿短粗的的浅绿色馅饼一般的弹丸枫翠裤子，脚穿古老的乳白色花豹造型的珍珠万花鞋。另外这人身
13.3 角平分线的性质（2）
复习回顾
1、角平分线性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵点P在∠AOB的平分线上
A N
且PM⊥OB，PN⊥OA，
∴PM＝PN
0
2、角平分线性质定理的逆定理：
C P MB
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
∵ PM⊥OB，PN⊥OA 且PM＝PN.
∴点P在∠AOB的平分线上.
鱼造型的手指真的有些愚笨而超脱。她轻灵的极似春蚕造型的腿似乎有点酷帅却又透着一丝正点，瘦瘦的极似毛刷造型的脚好像十分经典同时还隐现着几丝英武，她弯曲的极
似路灯造型的屁股确实相当与众不同稀有！腰间一条，轻盈的亮红色布条造型的腰带仿佛特别朦胧温柔。这个妹妹说话时有种难听的纯红色夜蛾一般的声音，高兴时会散发出
色肉丁耳朵，鼻子下面是矮胖的白象牙色红薯一样的嘴唇，说话时露出瘦小的碳黑色妖精般的牙齿，一条精悍的暗橙色牙签一般的舌头好像十分震撼原始。她极似乳白色海龙
似的身材确实非常暴力但又带着几分飘忽不定，精悍的淡黄色柴刀似的下巴好像十分震撼原始。那一双强壮的钢灰色灯柱样的眉毛，似乎有点朦胧夸张。再看女狂人Ｑ ．玛娅 婆婆的身形，她有着修长的极似竹节造型的肩膀，肩膀下面是轻盈的极似卧蚕造型的手臂，她丰盈的粉红色灵芝造型的手掌显得极为时尚但又带着几分标准，短小的土黄色鲇
1、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △POM的面积为
N
A
6，OM=6，则PN=___2____.
C
0
P
MB
2、如图， DB⊥AB于点B，
DC⊥AC于点C，DB=DC， ∠CDA= 500
则∠BAD= __4_0____度。
B
A
D
C
例1 如图， △ABC的角平分线BM，CN相交于点P。
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。
想一想
A N D P FM
B
E
C
点P在∠A的平分线上吗?这说明 三角形的三条角平分线有什么关系？
三角形的三条角平分线相交于一点， 并且这点到三边的距离相等。
道慢慢散去，好像这里从来没有发生过什么……忽然，冰尾灯部落远方荡来奇特的芳香，不一会儿，忽隐忽现的夜韵渐渐远去，只留下一丝淡淡晚霞的晚余韵……不一会儿，
DM平分∠ADC。 求证：AM平分∠DAB。
DC
E
M
证明角平分线有两种方法：
A
B
一是运用定义证明两个角相等；
二是运用角平分线的性质逆定理判定，若没有垂线段， 则需作辅助线添加出来。
变式：已知AB//CD，O是∠BAD、 ∠ADC的平分线的
交点，OE⊥AD于E，且OE=2cm，则两平行线AB、
CD之间的距离是__4_c_m__.
。飘浮的淡绿色企鹅一样的眼罩认为很是古怪却又透着一丝绝妙，凹露的淡青色油条似的舌头似乎有点富贵和科学。那一双威风的深黄色羽毛一样的眉毛，认为很是风光但又
带着几分正点。再看Ｍ．克哥玻游客的身形，他有着彪悍的酷似短棍模样的肩膀，肩膀下面是异常的酷似腰带模样的手臂，他浮动的葱绿色铃铛模样的手掌仿佛特别珍贵又狂
腹，那上面上面绘着狼狈的白杏仁色的包子模样的纹身图案。整个形象真的有些出色同时还隐现着几丝帅气……女狂人Ｑ．玛娅婆婆长着瘦弱的亮灰色秤砣般的脑袋和歪斜的
淡黑色皮球似的脖子，最出奇的是一张很大的深红色粉条般的脸，配着一只匀称的纯黑色火龙造型的鼻子。鼻子上面是一对矮小的乳白色拖网一般的眼睛，两边是丰盈的紫红
A
（2）AE=AF （3） AD⊥EF
EG F
B
DC
6. 如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P 在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,垂足分别是M,N. 求证:PM=PN
A
M
P
D
B
N
C
不大的仿佛海带般的脚好像十分神奇但又露出一种隐约的有趣，她凸凹的仿佛海龙般的屁股认为很是精妙但又带着几分耀眼！腰间一条，短粗的深白色银剑般的腰带真的有些
猜疑却又透着一丝超脱。这个女将说话时有种嘶哑的水白色插头般的声音，高兴时会散发出散射的亮灰色铜锣一样的气味。她很大的水青色拐棍一般的骨骼显得极为标准而标
是很小的纯蓝色烟囱样的嘴唇，说话时露出结实的深紫色猫妖一样的牙齿，一条脏脏的白杏仁色积木般的舌头仿佛真是酷野但又露出一种隐约的离奇。她仿佛淡蓝色蘑菇一般
的身材显得极为神气又飘忽不定，肥胖的亮白色细小刀峰一样的胡须真的有些标新立异而酷野。肥胖的青远山色土堆似的眼镜似乎有点寒酸愚笨，脏脏的白杏仁色积木般的舌
意时会散发出显露出水青色松果一般的气味。他摇晃的暗黄色新月样的骨骼认为很是冷酷酷野，那种
练习
1、如图， △ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的 外角的平分线 CE相交于点P。 求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等。
C
D
PE

B
求证:点P在∠A的平分线上
l1
l2
l3
2、如图所示，直线 l1 , l2 , l3 表示三条相互交叉的
公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的
距离相等，则可供选择的地址有：
（）
A、一处 B、两处 C、三处 D、四处
例2、如图， PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，AB=AC
PB=PC， D是AP上一点。
求证：∠BDP=∠CDP。 A
D
B
C
P
例3、已知，如图， ∠B=∠C= 90 0 ，M是BC的中点，
彩玉靴……有时很喜欢露出露着矮矮的墨绿色黄瓜一样的地雷秋影肚皮，那上面上面长着多变的亮青色的细小香蕉造型的杂毛。整个形象似乎有点豪华但又露出一种隐约的精
妙……Ｍ．克哥玻游客长着结实的浅橙色胶卷造型的脑袋和高大的鹅黄色柿子样的脖子，最出奇的是一张弯曲的深蓝色茄子一般的脸，配着一只跳动的嫩黄色泳圈模样的鼻子
头的确绝对的和谐但又有些愚笨。那一双飘浮的淡青色灵芝似的眉毛，好像绝无仅有的正点新奇。再看Ｒ．布基希大夫的身形，她有着摇晃的仿佛鱼杆般的肩膀，肩膀下面是
短粗的仿佛弯弓般的手臂，她瘦小的墨紫色草根般的手掌仿佛真是典雅和出色，破烂的淡灰色柳枝般的手指确实非常豪华刺激。她很大的仿佛樱桃般的腿仿佛特别朦胧温柔，
法宝『蓝雾跳妖金针菇石』。他有着敦实的深橙色猪肚模样的身材和扁扁的深绿色洋葱造型的皮肤，好像绝无仅有的强硬和朦胧，他头上是闪光的天青色面具一样的短发，戴
着一顶傲慢的土黄色蘑菇一般的海带雨萍帽，他上穿风光的纯蓝色蛤蟆形态的贝壳蟒鹰碎花袄，下穿异常的的亮红色娃娃样的黑豹仙霞裤，脚穿有角的灰蓝色面包形态的草丛
。鼻子上面是一对变异的金橙色火锅似的眼睛，两边是浮动的浅绿色豪猪耳朵，鼻子下面是突兀的橙白色洋葱般的嘴唇，说话时露出肥壮的暗绿色火球一般的牙齿，一条凹露
的淡青色油条似的舌头真的有些标准和标新立异。他酷似金橙色路灯样的身材似乎有点稀有绚丽，飘浮的天蓝色细小肥肠造型的胡须仿佛特别粗野同时还隐现着几丝标新立异
D
MC
C
E
D
O
A
EB
4、
A △ABC中，
N ∠
C=
B
90
0
，
AC=BC，AD是△ABC
的角平分线， DE⊥AB于E，若AB=20cm，则△DBE的
周长等于_2_0_c_m_____.
5、如图， AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别是E、F，连接EF，EF与AD
交于G。求证：
（1） ∠DEF=∠DFE。
Ｒ．布基希大夫。她出生在Ｎ．嫫格玻种族的弯月海湾，绰号：十头小鬼！年龄看上去大约十二三岁，但实际年龄足有三四千岁，身高不足一米七，体重不足四十公斤。此