角平分线的性质2

三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。

（1）一个角有且只有一条角平分线。

（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。

二、中线性质1.定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。

（1）一个三角形有且只有三条中线。

（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。

（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。

三、角平分线与中线的交点性质1.定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。

（1）三角形的心是三角形内部的一个点。

（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。

（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。

四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状：（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。

（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。

2.求解三角形的问题：（1）利用角平分线求解三角形的角度。

（2）利用中线求解三角形的边长。

三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。

掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。

习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。

答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。

又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。

2.习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。

答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。

根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。

又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。

3.习题：在三角形APQ中，若角APQ的角平分线与中线交于点M，且AM=4，PM=6，求AB的长度。

学年度（上）武汉市第一初级中学课时计划教 学设计︵内容、方法、过程、反馈、 反思︶一、 复习、回顾1. 角平分线的作法（尺规作图） ①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 、OB 于C 、D 两点；②分别以C 、D 为圆心，大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P ；③过点P 作射线OP ，射线OP 即为所求．2.①角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． ②几何表达: ∵OP 平分∠MON （∠1＝∠2），PA ⊥OM ，PB ⊥ON ， ∴PA ＝PB 二、合作探究 角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． ①推导 已知：点P 是∠MON 内一点，PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，且PA ＝PB ．求证：点P 在∠MON 的平分线上． 证明：连结OP在Rt △PAO 和Rt △PBO 中， ∴Rt △PAO ≌Rt △PBO （HL ） ∴∠1＝∠2 ∴OP 平分∠MON 即点P 在∠MON 的平分线上．②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）如图所示，∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，PA ＝PB∴∠1＝∠2（OP 平分∠MON ）三、典型例题例1. 已知：如图所示，∠C ＝∠C ′＝90°，AC ＝AC ′． 求证：（1）∠ABC ＝∠ABC ′；（2）BC ＝BC ′（要求：不用三角形全等判定）．例2.如图，在⊿ABC 中，D 是BC 中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，BE =CF ，求证：AD 是∠BAC 的角平分线例3.已知：如图，AB ⊥AD ，AC ⊥AE ，AB =AC ，AD =AE . 求证：(1)BD =CE ；（2）AF 平分∠BFE .例4.如图所示，已知△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，那么AP 能否平分∠BAC ？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？A EB D FC。

角平分线定理2证明角平分线定理2是指在一个三角形中，如果一个角的平分线上某个点到另外两边的距离比另外一个点到两边的距离大，则该角的平分线所对应的两个小角的角平分线也相应地实现这个条件。

下面我们来证明这个定理。

设在三角形ABC中，点D和E分别是角BAC的平分线上的两个点，且满足AD > AE；点F和G分别是角BAC的平分线所对应的两个小角的角平分线上的两个点。

首先，连接BD、BE、CD、CE、AF和AG。

要证明FG是角BAC的平分线所对应的两个小角的角平分线，我们需要证明FG与AB和AC平分的两个小角分别相等。

根据角平分线的定义，我们可以得到以下等式：∠BDA = ∠ADE∠CDA = ∠AED∠CGA = ∠AGE∠CFA = ∠AFE接下来，我们要使用一些三角形的性质，来推导出角BFG和角BAG的等式，以及角CGF和角CAF的等式。

由于∠BDA = ∠ADE，且∠DEA是角DAE的平分线，根据角BDA和角ADE平分线定理，我们可以得到：∠BDA = ∠EDA由于∠CGA = ∠AGE，且∠AGE是角AEG的平分线，根据角CGA和角AGE平分线定理，我们可以得到：∠CGA = ∠EGA同样地，由于∠CFA = ∠AFE，且∠AFE是角AEF的平分线，根据角CFA和角AFE平分线定理，我们可以得到：∠CFA = ∠EFA再由于∠BFD = ∠DFA，且∠BFD是角BDF的平分线，根据角BFD和角DFA平分线定理，我们可以得到：∠BFD = ∠AFD类似地，由于∠CGE = ∠EGA，且∠CGE是角CTE的平分线，根据角CGE和角EGA平分线定理，我们可以得到：∠CGE = ∠AGE最后，由于∠CFE = ∠EFA，且∠CFE是角CEF的平分线，根据角CFE和角EFA平分线定理，我们可以得到：∠CFE = ∠AFE综上所述，我们可以得出以下结论：∠BDA = ∠EDA∠CGA = ∠EGA∠CFA = ∠EFA∠BFD = ∠AFD∠CGE = ∠AGE∠CFE = ∠AFE因此，根据角等于其对应的平分线所对应的两个小角之和的性质，我们可以得到：∠BDF + ∠BFD = ∠ADF∠CGE + ∠EGA = ∠CGA∠CFE + ∠EFA = ∠CFA进一步地，我们可以得到：∠BDF + ∠AFD = ∠ADF∠CGE + ∠AGE = ∠CGA∠CFE + ∠AFE = ∠CFA由于∠BDF = ∠AGE，∠AFD = ∠CGA，以及∠EFA =∠CFA，我们可以得到：∠ADF = ∠CGA∠CGA = ∠CFA从而可以得出结论：FG是角BAC的平分线所对应的两个小角的角平分线。

三角形的角平分线与垂直平分线的性质解析三角形是几何学中的基本图形之一，由三条边和三个角组成。

在研究三角形的性质时，角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。

本文将详细解析三角形的角平分线与垂直平分线的性质，并通过几何证明来加深理解。

一、角平分线的性质角平分线是指将一个角分成两个相等角的线段。

在三角形中，每个角都可以有三条角平分线，它们分别连接角的顶点和对边上的点。

下面将分别探讨三角形内、角平分线与三角形外、角平分线的性质。

1. 三角形内的角平分线性质对于任意三角形ABC，以顶点A为例，AC为角A的对边，BD为角A的一条角平分线（B点在AC上）。

则有以下结论：（1）角平分线BD将角A分成两个相等的角。

这是角平分线的定义性质，也即∠BAD = ∠DAC。

（2）角平分线所在的边（线段BD）与对边（线段AC）成等角。

这一性质可以通过角平分线定义的推论得到，即∠ABD = ∠CBD。

（3）角平分线所在的边（线段BD）与三角形的另一边（线段AB 或BC）成外角。

外角是指角的补角，也即∠ABC = ∠CBD + ∠ABD。

2. 三角形外的角平分线性质接上述讨论，若角平分线BD延长到线段BC上的点E，则有以下结论：（1）角平分线BD将角A分成两个相等的角。

这一性质是角平分线的定义性质，同前述。

（2）角平分线所在的射线（射线BD）与对边（线段AC）夹角的平分线是角平分线BD所在的边（线段BD）。

这一性质也即∠ABD是∠ACD的平分线，通过几何证明可得。

（3）角平分线所在的射线（射线BD）与三角形的另一边（线段AB或BC）成内角。

内角是指角的补角，也即∠DBE = ∠ABC + ∠CBD。

这一性质可通过几何证明来得到。

二、垂直平分线的性质垂直平分线是指将一个线段分成两个相等线段，并且与该线段垂直的线段。

在三角形中，每条边都可以有一条垂直平分线，它们分别与对边相交于一个点，并且将对边分成两个相等线段。

下面将讨论垂直平分线的性质。

角平分线的定义及性质应用角平分线是指从一个角的顶点到其两边上任意一点的线段，将这个角分成两个大小相等的角。

角平分线具有一些重要的性质和应用。

首先，角平分线的定义是从一个角的顶点出发，将这个角分成两个相等的角。

这意味着角平分线与角的两边所夹的角度大小是相等的。

这是角平分线最基本的性质之一。

其次，角平分线具有对称性。

如果一个角的平分线通过其顶点并交于角的另一边上的一个点，那么这个交点将把角分成两个大小相等的角。

同样地，这个交点也可以看作是这个角的另一个平分线通过其顶点并交于另一边上的一个点。

这个交点将角分成两部分，而这两部分的大小是相等的。

此外，角平分线还具有一些其他的重要性质和应用。

以下是其中的一些：1. 角平分线相交于角的内部：角平分线必定在角的内部相交。

这是因为在平面几何中，两点之间的直线是最短的路径，所以角平分线将角分成两部分时必须通过角的内部。

2. 角平分线垂直于角的边：如果一个角的平分线与角的一条边相交，那么它与这条边所夹的角是垂直的。

也就是说，平分线和边的交点处的两个相邻角度是垂直的。

这是一个很有用的性质，可以用来构造垂直角、垂直平分线和垂直双准线等几何图形。

3. 角平分线的长度相等：如果一个角的两条平分线相交，那么它们的长度是相等的。

换句话说，一个角的两条平分线与该角两条边的交点之间的距离是相等的。

这可以通过解析几何或使用三角函数来证明。

4. 角平分线被分成一定比例的线段：如果两个角的平分线相交于一个点，并且它们分别与这两个角的另外一条边相交于不同的点，那么这个交点将把角平分线分成一定比例的线段。

这个性质可以用于求解角平分线上的长度比例，从而解决几何问题。

5. 角平分线和三角形内心：在一个三角形中，三条角的平分线交于一点，这个点称为三角形的内心。

内心是三角形内接圆的圆心，角平分线与三角形内接圆的切点均相交于角的顶点。

内心的存在和性质可以用角平分线来证明。

综上所述，角平分线具有分割角度、对称性、相交于角的内部、垂直于角的边、长度相等、被分成一定比例的线段等性质。

平行四边形的角平分线平行四边形是初中数学中常见的图形，在平行四边形中，角平分线也是一个十分重要的概念。

本文将从什么是角平分线、角平分线的性质以及角平分线的应用三个方面展开讨论。

一、什么是角平分线在平行四边形中，如果一条直线同时平分两个相邻角，则这条直线就被称为该平行四边形的角平分线。

如下图所示，直线DE即为平行四边形ABCD的角平分线。

二、角平分线的性质1. 角平分线将相邻两个角分成的两个小角相等。

如下图所示，直线DE将角BAD分成了两个小角BAD和DAC，这两个小角相等。

2. 角平分线与平行四边形两边交点所在的线段相等。

如下图所示，DE与平行四边形的两边AB和DC的交点分别为E和F，且EF=DE。

3. 角平分线将平行四边形分成的两个三角形面积相等。

如下图所示，平行四边形ABCD被角平分线DE分成了两个三角形ADE和BCE，这两个三角形的面积相等。

三、角平分线的应用1. 求角平分线长度。

假设在平行四边形ABCD中，角BAD和角ABC的度数分别为α和β，直线DE为角BAD的角平分线。

则根据角平分线的性质1，有α/2=β/2，即α=β。

又根据角平分线的性质2，有DE/AB=DE/CD，即DE=AB×CD/AB+CD。

因此，可以通过已知角度和平行四边形两边长度，求出角平分线的长度。

2. 求平行四边形的面积。

在已知平行四边形ABCD的两个对角线长度和角平分线长度的情况下，可以利用角平分线的性质3求出平行四边形的面积。

3. 求平行四边形两条对角线的交点坐标。

在已知平行四边形ABCD的两个对角线长度和角平分线长度的情况下，可以利用角平分线的性质2求出对角线的交点坐标。

在初中数学中，平行四边形和角平分线都是非常基础和重要的概念。

掌握了这些概念的性质和应用，能够帮助我们更好地理解和运用平行四边形及其相关的数学知识。

11.3角平分线的性质（2）课型：新授课 执笔：李芳芳 审核：八年数学组 讲学时间：【教学目标】1、会叙述角平分线的性质及“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”。

2、能应用这两个结论解决一些简单的实际问题。

【教学重点】掌握角的平分线的性质和判定【教学难点】【学习过程】 一：知识链接1、角的平分线的性质： 结合图形用数学语言叙述：2、如图，在△ABC 中，∠C ＝900，BC ＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC ∶DB ＝3∶5，则点D 到AB 的距离是 。

二、自主学习·获取新知 1、阅读课本思考并完成下列问题：角的内部______________________的点在角的平分线上．根据问题画出图形，并写出：已知：求证：证明：例题：如图，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P ， (1)求证：点P 到三边AB 、BC 、CA的距离相等。

(2)求证：点P 在∠BAC 的平分线上吗？先认真阅读课本．师友如有疑问处做出标记以备质疑．教师巡视．时间10分钟．3题图D C B A 图1 F O B BC三、师生探究·合作交流变式1 如图, 点P 是△ABC 的两个外角平分线BM 、CN 的交点，求证：点P 在∠BAC 的平分线上。

变式2 如图, △ABC 的一个外角的平分线BM 与∠BAC 的平分线AN 相交于点P ，求证：点P 在△ABC 另一个外角的平分线上。

四、分层演练·巩固提高A组：2、判断： ①如图，若PE=PF ，则OP 是∠AOB 的平分线( )②如图，若PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，则OP 是∠AOB 的平分线( )③已知Q 到OA 的距离等于3cm, 且Q 到OB 距离等于3cm ，则Q 在∠AOB 的平分线上（ ）小组合作．组长带领本组学生讲解各题，并做好展示准备，负责展示的成员要讲清题目，师生点拨、质疑、点评．时间18分钟． 先独立完成，后师友互助，补充完善学案，抽取代表讲清题目，师生点拨、质疑、互评．时间12分钟．图5 F O B图4 F O B1、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求证∠BAO ＝∠CAOB组：2、OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F 是OC上的另一点，连接DF，EF，求证DF＝EF3、如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等五、总结归纳·分享收获六、中考链接如图；已知AD 为等腰三角形ABC 的底角的平分线，∠C ＝90°，求证：AB ＝AC ＋CD 。

第九讲：角平分线的性质（二）知识点：角平分线的性质：角平分线的判定：例题讲解：例1、（1）如图1，PC⊥OC于C，PD⊥OD于D，若PC=PD，则∠1_____∠2；（2）如图2，AB⊥BC于B，AD⊥DC于D，若CB=CD，且∠1=30°，则∠BCD=______；（3）在R⊿tABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若DC=7，则D到AB 的距离是_______；（4）如图3，在⊿ABC中，∠A=90°，AB=AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC=15cm，则⊿DEB的周长为________（5）如图4，到三条直线a、b、c的距离相等的点共有______个。

例2、如图5，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F是OC上另一点，连接DF、EF。

求证：DF=EF例3、如图6，BD平分∠ABC，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N。

求证：PM=PN例4、如图7，已知AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。

求证：DE=DF例5、如图8，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE、CD相交于O点，∠1=∠2。

（1）图中共有______对全等三角形；（2）选择其中一对给予证明。

巩固：1、如图，⊿ABC 中，AD 是它的角平分线，若23=AC AB ，求ACDABD S S ∆∆的值。

2、PA 、PB 分别是⊿ABC 外角∠MAC 、∠NCA 的平分线，它们交于P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BC 于F ，则BP 是∠MBN 的平分线吗？说明理由。

3、如图，在三角形ABC 中，BP 、CP 分别是∠ABC 、∠ACB 的外角平分线．求证：点P 必在∠A 的平分线上．4、如图，在数学活动课上，小林提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，∠CDM=35°，请你求出∠MAB 的度数。

角平分线的性质：
1.角平分线可以得到两个相等的角。

2.角平分线上的点到角两边的距离相等。

3.三角形的三条角平分线交于一点，称作三角形内心。

三角形的内心到三角形三边的距离相等。

4.三角形一个角的平分线，这个平分线其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。

中线定义
任何三角形都有三条中线，而且这三条中线都在三角形的内部，并交于一点
由定义可知，三角形的中线是一条线段。

由于三角形有三条边，所以一个三角形有三条中线。

且三条中线交于一点。

这点称为三角形的重心。

每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。

三角形的高：从三角形的定点所对的边作垂直线段.锐角三角形的高相交于三角形的形内一点,直角三角形三条高相交于形上一点,钝角三角形三条高相交于三角形形外
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