角的平分线的性质(2)

11.3角平分线的性质（2）课型：新授课 执笔：李芳芳 审核：八年数学组 讲学时间：【教学目标】1、会叙述角平分线的性质及“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”。

2、能应用这两个结论解决一些简单的实际问题。

【教学重点】掌握角的平分线的性质和判定【教学难点】【学习过程】 一：知识链接1、角的平分线的性质： 结合图形用数学语言叙述：2、如图，在△ABC 中，∠C ＝900，BC ＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC ∶DB ＝3∶5，则点D 到AB 的距离是 。

二、自主学习·获取新知 1、阅读课本思考并完成下列问题：角的内部______________________的点在角的平分线上．根据问题画出图形，并写出：已知：求证：证明：例题：如图，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P ， (1)求证：点P 到三边AB 、BC 、CA的距离相等。

(2)求证：点P 在∠BAC 的平分线上吗？先认真阅读课本．师友如有疑问处做出标记以备质疑．教师巡视．时间10分钟．3题图D C B A 图1 F O B BC三、师生探究·合作交流变式1 如图, 点P 是△ABC 的两个外角平分线BM 、CN 的交点，求证：点P 在∠BAC 的平分线上。

变式2 如图, △ABC 的一个外角的平分线BM 与∠BAC 的平分线AN 相交于点P ，求证：点P 在△ABC 另一个外角的平分线上。

四、分层演练·巩固提高A组：2、判断： ①如图，若PE=PF ，则OP 是∠AOB 的平分线( )②如图，若PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，则OP 是∠AOB 的平分线( )③已知Q 到OA 的距离等于3cm, 且Q 到OB 距离等于3cm ，则Q 在∠AOB 的平分线上（ ）小组合作．组长带领本组学生讲解各题，并做好展示准备，负责展示的成员要讲清题目，师生点拨、质疑、点评．时间18分钟． 先独立完成，后师友互助，补充完善学案，抽取代表讲清题目，师生点拨、质疑、互评．时间12分钟．图5 F O B图4 F O B1、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求证∠BAO ＝∠CAOB组：2、OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F 是OC上的另一点，连接DF，EF，求证DF＝EF3、如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等五、总结归纳·分享收获六、中考链接如图；已知AD 为等腰三角形ABC 的底角的平分线，∠C ＝90°，求证：AB ＝AC ＋CD 。

课题：11.3角的平分线的性质（2）使用说明：先预习课本第19页和21页，然后做完学案。

【学习目标】1、会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．2、能应用这两个定理解决一些简单的实际问题．3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功.教学重点：角平分线的判定及其应用.教学难点: 灵活应用两个定理解决问题.【学习过程】一、自主学习1、根据角平分仪的制作原理，如何用尺规作角的平分线？自学课本19页后，思考为什么要用大于21MN 的长为半径画弧？ 2、画出三角形三个内角的平分线你发现了什么特点吗？二、探求新知求证：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

-----角的平分线的判定分析：这个命题的题设是： ，结论是 。

（提示：先画图，并写出已知、求证，再加以证明）已知：求证：证明：三、学以致用1、如图CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，BE ，CD 相交于点O ，OB ＝OC ，求证∠1＝∠2P N M C BA2、如图△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，（1）求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等。

（2）思考：点P 在∠A 的平分线上吗？为什么？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？3、要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５00米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）四、合作探究比较角平分线的性质与判定五、能力提升1、到三角形三条边的距离相等的点是（ ）A 、三条中线的交点B 、三条高线的交点C 、三条边的垂直平分线的交点D 、三条角平分线的交点2、练习本完成：课本22页练习题； 23页第6题； 27页第6题,第11题。

角的平分线的性质【学习目标】：1、进一步熟练角平分线的画法，证明几何命题的步骤 2、理解角平分线的判定及运用 【学习重点】：角平分线的判定及运用【学习难点】：角平分线的性质、判定的灵活运用 〖学习过程〗：〖一、创设情境，明确目标〗如图-①：要在S 区建一个集贸市场，使它到公路a 与铁路b的距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺1：20 000），〖二、自主学习 指向目标〗 ⑴、自学导读阅读创设情境与例题中的一段话并思考回答下列问题： ①、角平分线上的点有什么性质？②、角平分线的性质定理的逆命题是什么？ ⑵、自我评价①、完成自学导读中的问题；②、如图-②：O 为码头，A 、B 两个灯塔与码头的距离相等，OA 、OB 与海岸线，一轮船离开码头计划沿∠AOB 的平分线航行，在航行途中，测得轮船与灯塔A 、B 的距离相等，轮船在 ；（填“在”或“不在”）∠AOB 的平分线上 ③、如图-③：P 是∠AOB 内的一点，PA ⊥OA 于A 点，PB ⊥OB 于B 点，且PA=PB ，连结OP 、AB 交于点E ，若∠APO=700，则∠AOB= ；若OB=10，则OA= ；〖三、合作探究 达成目标〗探究主题一： 角平分线判定定理：①、学生回顾角平分线性质定理并说出其逆命题，逆命题是： ②、小组讨论：画图、写出已知、求证并加以证明已知如图-④：PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ，PD=PE 求证：点P 在∠AOB 的平分线上；结论：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上推理形式：∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，PD=PE∴ 点P 在∠AOB 的平分线上[点拨升华] 运用此定理的关键是要抓住关键词“角的内部”、“距离相等”探究主题二：定理的应用例1、如图-⑤，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，连接AP ，求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等变式练习：①、如图-⑥点P 是△ABC 内的一点，P D ⊥BC 于点D ，P E ⊥AC 于点E ，P F ⊥AB 于点F ，PD=PE ，则点P 在 的平分线上；②、如图-⑦所示：△ABC 的∠ABC 的外角的平分线BD 与∠ACB 的外角的平分线CE 相交于点P ，求证：点P 到三边AB 、AC 、BC 所在的直线的距离相等；[点拨升华] 如果要证明角的内部一点到角的两边的距离相等，应证这个点在此角的平分线上是常用的方法之一；〖四、总结梳理 内化目标〗①、角的平分线的性质定理： ； ②、角的平分线的判定定理： ；〖五、达标检测 反思目标〗⑴、到三角形三边距离相等的是（ ）A B C 图-⑤ M NP B CD E P 图-⑦ a b图-① 图-③ B PA EO BE O DP A图-④A B C E F D 图-⑥PBO AP 图-②A ：三条中线的交点；B ：三条角的平分线的交点C ：三条高所在的直线的交点；D ：不能确定；⑵、如图-⑧为了促进当地的旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村P ，要使这个度假村P 到三条公路的距离相等，则P 点有 处可供选择，请你作出点P 可能的位置；⑶、如图-⑨已知PA ⊥ON 于点A ，PB ⊥OM 于点B ，且PA=PB ，∠MON=500，∠OPC=300，则∠PCA= ；⑷、如图-⑩，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，BE ，CD 相交于点O ，OB ＝OC ，求证∠BAO ＝∠CAO⑸、如图-（11），AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，连接EF ，EF 与AD交于点G ，AD 与EF 垂直？证明你的结论。

11.3 角的平分线的性质（第2课时）【课题】：角的平分线的性质（2）(平行班)【设计与执教者】：增城市新塘一中，刘宝芝，liu_baozhi@【教学时间】：45分钟【学情分析】：注重联系实际，通过确定集贸市场的位置的问题引出“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的结论，使学生看到理论来自实际的需要。

同时注意学生应用结论进行证明时的严格性与规范性。

【教学目标】：（1）知识与技能目标：掌握角的平分线的两个性质；能应用角的平分线的性质解决一些简单的实际问题。

（2）过程与方法目标：通过探索集贸市场的位置加深学生对角的平分线的性质的理解。

引导学生从数学的视角观察客观世界，用数学的思维思考客观世界，以数学的语言描述客观世界。

（3）情感与态度目标：利用角的平分线的性质探索集贸市场的位置，使学生的求知欲望得到激发，使学生通过应用已学知识解决身边的问题，提高学生学习数学的兴趣。

【教学重点】：角的平分线的性质的运用及运用【教学难点】：角的平分线的性质的探究【教学突破点】：通过实际生活中的例子对比角的平分线的两个性质。

【教法、学法设计】：合作探究式分层次教学，讲授、练习相结合。

【课前准备】：课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入问题1.一个S区有一个集贸市场，在公路与铁路所成的角平分线上的P点，要从P点建两条路，一条到公路上，另一条到铁路上，怎样修建距离最短？这两条路有什么关系？画出来看一看？问题2.以上我们运用了什么知识点？角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题3.那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠POE=∠POD．由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．利用所学的数学知识解决生活中的问题，加强数学与生活的联系，体验数学是描述现实世界的重要手段。

角的平分线的性质（二）教学目标1、角的平分线的性质2．会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上”．3．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题．教学重点角平分线的性质及其应用．教学难点灵活应用两个性质解决问题．教学过程Ⅰ．创设情境，引入新课拿出课前准备好的折纸与剪刀，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？分析：第一次对折后的折痕是这个角的平分线；再折一次，又会出现两条折痕，而且这两条折痕是等长的．这种方法可以做无数次，所以这种等长的折痕可以折出无数对．Ⅱ．导入新课角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论．折出如图所示的折痕PD、PE．画一画：按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？投影出下面两个图形，让学生评一评，以达明确概念的目的．结论：同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质吗？[生]角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话．请填下表：已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足．由已知事项推出的事项：PD=PE．于是我们得角的平分线的性质：在角的平分线上的点到角的两边的距离相等．[师]那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？（出示投影）问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：[生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠PDE=∠POD．由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．由此我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上．这两个性质有什么联系吗？分析：这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换．思考：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，•离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？1．集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？2．比例尺为1：20000是什么意思？结论：1．应该是用第二个性质．•这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．2．在纸上画图时，我们经常在厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，•这就涉及一个单位换算问题了．1m=100cm，所以比例尺为1：20000，其实就是图中1cm•表示实际距离200m的意思．作图如下：第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，•使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，•我们可以直接利用性质解决问题．III例题与练习例如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．分析：点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，•也就是说要证：PD=PE=PF．而BM、CN分别是∠B、∠C的平分线，•根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题．证明：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足为D、E、F．因为BM是△ABC的角平分线，点P在BM上．所以PD=PE．同理PE=PF．所以PD=PE=PF．即点P到三边AB、BC、CA的距离相等．练习：1．课本练习．2．课本习题强调：条件充足的时候应该直接利用角平分线的性质，无须再证三角形全等．IV．课时小结今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．Ⅴ．课后作业1、课本习题2、《新课堂》。