角的平分线的性质(2)

11.3角平分线的性质（2）课型：新授课 执笔：李芳芳 审核：八年数学组 讲学时间：【教学目标】1、会叙述角平分线的性质及“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”。

2、能应用这两个结论解决一些简单的实际问题。

【教学重点】掌握角的平分线的性质和判定【教学难点】【学习过程】 一：知识链接1、角的平分线的性质： 结合图形用数学语言叙述：2、如图，在△ABC 中，∠C ＝900，BC ＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC ∶DB ＝3∶5，则点D 到AB 的距离是 。

二、自主学习·获取新知 1、阅读课本思考并完成下列问题：角的内部______________________的点在角的平分线上．根据问题画出图形，并写出：已知：求证：证明：例题：如图，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P ， (1)求证：点P 到三边AB 、BC 、CA的距离相等。

(2)求证：点P 在∠BAC 的平分线上吗？先认真阅读课本．师友如有疑问处做出标记以备质疑．教师巡视．时间10分钟．3题图D C B A 图1 F O B BC三、师生探究·合作交流变式1 如图, 点P 是△ABC 的两个外角平分线BM 、CN 的交点，求证：点P 在∠BAC 的平分线上。

变式2 如图, △ABC 的一个外角的平分线BM 与∠BAC 的平分线AN 相交于点P ，求证：点P 在△ABC 另一个外角的平分线上。

四、分层演练·巩固提高A组：2、判断： ①如图，若PE=PF ，则OP 是∠AOB 的平分线( )②如图，若PE ⊥OA 于E ，PF ⊥OB 于F ，则OP 是∠AOB 的平分线( )③已知Q 到OA 的距离等于3cm, 且Q 到OB 距离等于3cm ，则Q 在∠AOB 的平分线上（ ）小组合作．组长带领本组学生讲解各题，并做好展示准备，负责展示的成员要讲清题目，师生点拨、质疑、点评．时间18分钟． 先独立完成，后师友互助，补充完善学案，抽取代表讲清题目，师生点拨、质疑、互评．时间12分钟．图5 F O B图4 F O B1、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC，求证∠BAO ＝∠CAOB组：2、OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E，F 是OC上的另一点，连接DF，EF，求证DF＝EF3、如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，求证：D到PE的距离与D到PF的距离相等五、总结归纳·分享收获六、中考链接如图；已知AD 为等腰三角形ABC 的底角的平分线，∠C ＝90°，求证：AB ＝AC ＋CD 。

角的平分线的性质【学习目标】：1、进一步熟练角平分线的画法，证明几何命题的步骤 2、理解角平分线的判定及运用 【学习重点】：角平分线的判定及运用【学习难点】：角平分线的性质、判定的灵活运用 〖学习过程〗：〖一、创设情境，明确目标〗如图-①：要在S 区建一个集贸市场，使它到公路a 与铁路b的距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺1：20 000），〖二、自主学习 指向目标〗 ⑴、自学导读阅读创设情境与例题中的一段话并思考回答下列问题： ①、角平分线上的点有什么性质？②、角平分线的性质定理的逆命题是什么？ ⑵、自我评价①、完成自学导读中的问题；②、如图-②：O 为码头，A 、B 两个灯塔与码头的距离相等，OA 、OB 与海岸线，一轮船离开码头计划沿∠AOB 的平分线航行，在航行途中，测得轮船与灯塔A 、B 的距离相等，轮船在 ；（填“在”或“不在”）∠AOB 的平分线上 ③、如图-③：P 是∠AOB 内的一点，PA ⊥OA 于A 点，PB ⊥OB 于B 点，且PA=PB ，连结OP 、AB 交于点E ，若∠APO=700，则∠AOB= ；若OB=10，则OA= ；〖三、合作探究 达成目标〗探究主题一： 角平分线判定定理：①、学生回顾角平分线性质定理并说出其逆命题，逆命题是： ②、小组讨论：画图、写出已知、求证并加以证明已知如图-④：PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ，PD=PE 求证：点P 在∠AOB 的平分线上；结论：角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上推理形式：∵ PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，PD=PE∴ 点P 在∠AOB 的平分线上[点拨升华] 运用此定理的关键是要抓住关键词“角的内部”、“距离相等”探究主题二：定理的应用例1、如图-⑤，△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，连接AP ，求证：点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等变式练习：①、如图-⑥点P 是△ABC 内的一点，P D ⊥BC 于点D ，P E ⊥AC 于点E ，P F ⊥AB 于点F ，PD=PE ，则点P 在 的平分线上；②、如图-⑦所示：△ABC 的∠ABC 的外角的平分线BD 与∠ACB 的外角的平分线CE 相交于点P ，求证：点P 到三边AB 、AC 、BC 所在的直线的距离相等；[点拨升华] 如果要证明角的内部一点到角的两边的距离相等，应证这个点在此角的平分线上是常用的方法之一；〖四、总结梳理 内化目标〗①、角的平分线的性质定理： ； ②、角的平分线的判定定理： ；〖五、达标检测 反思目标〗⑴、到三角形三边距离相等的是（ ）A B C 图-⑤ M NP B CD E P 图-⑦ a b图-① 图-③ B PA EO BE O DP A图-④A B C E F D 图-⑥PBO AP 图-②A ：三条中线的交点；B ：三条角的平分线的交点C ：三条高所在的直线的交点；D ：不能确定；⑵、如图-⑧为了促进当地的旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村P ，要使这个度假村P 到三条公路的距离相等，则P 点有 处可供选择，请你作出点P 可能的位置；⑶、如图-⑨已知PA ⊥ON 于点A ，PB ⊥OM 于点B ，且PA=PB ，∠MON=500，∠OPC=300，则∠PCA= ；⑷、如图-⑩，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，BE ，CD 相交于点O ，OB ＝OC ，求证∠BAO ＝∠CAO⑸、如图-（11），AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，连接EF ，EF 与AD交于点G ，AD 与EF 垂直？证明你的结论。

13．角的平分线的性质（二)判定基础题训练1．如图，PC⊥OC于C，PD⊥OD于D，若PC＝PD，则（)A．∠1＞∠2B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2D．不能确定【解答】B2．到三角形三边距离相等的点是（)A．三边垂直平分线的交点B．三条高线的交点C．三条中线的交点D．三条角平分线的交点【解答】D3．如图，AB∥CD，点P到AB、BC、CD距离都相等，则∠P＝．【解答】90°4．如图，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，且AE＝AF，求证：点P在∠BAC的平分线上．【解答】证：连AP，证PE＝PF即可．5．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE＝CF，求证：AD是△ABC的平分线．【解答】证：△BED≌△CFD，DE＝DF6．如图，BD＝CD，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，求证：点D在∠BAC的平分线上．【解答】证：△BDE≌△CDF，DE＝DF．7．如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，且OA平分∠BA C．⑴求证：OC平分∠ACD；⑵求证：OA⊥OC；⑶求证：AB＋CD＝A C．【解答】证：⑴作OE⊥AC于E，证OB＝OE＝OD⑵略⑶证AB＝AE，CD＝CE．中档题训练8．如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于D，则下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上，其中正确的是（)A．只有①B．只有②C．只有①和②D．①②③【解答】D9．如图，D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE＝BF，且S△DCE＝S△DBF，求证：AD 平分∠BA C．【解答】证：作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，证DM＝DN，∴AD平分∠BA C．10．如图，若S△ABD∶S△ACD＝AB∶AC，求证：AD平分∠BA C．【解答】证：过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，∴DM＝DN，∴AD平分∠BA C．11．如图，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，它们相交于点P，求证：点P在∠A的平分线上．【解答】证：作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，PE⊥AB于E，证PM＝PN，PN＝PE，∴PM＝PE，∴点P在∠A的平分线上．综合题训练12．如图，AE、BD是△ABM的高，AE、BD交于点C，且AE＝BE，BD平分∠ABM．⑴求证：BC＝2AD；⑵求证：AB＝AE＋CE；⑶求证：DE平分∠MD B．【解答】证：⑴证△ABD≌△MBD，AD＝DM＝12AM．再证△AME≌△BCE，AM＝BC；⑵证AB＝BM＝BE＋EM＝AE＋CE；⑶证法一：作EF⊥BC于F，EN⊥AD于N，证△AEN≌△BEF，EN＝EF，∴DE平分∠MD B．证法二：要证DE平分∠MDB，只证∠BDE＝45°，故在BC上截取BN＝AD，证△BNE ≌△ADE（SAS)，∴△DEN为等腰直角三角形．。

11.3 角的平分线的性质（第2课时）【课题】：角的平分线的性质（2）(平行班)【设计与执教者】：增城市新塘一中，刘宝芝，liu_baozhi@【教学时间】：45分钟【学情分析】：注重联系实际，通过确定集贸市场的位置的问题引出“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的结论，使学生看到理论来自实际的需要。

同时注意学生应用结论进行证明时的严格性与规范性。

【教学目标】：（1）知识与技能目标：掌握角的平分线的两个性质；能应用角的平分线的性质解决一些简单的实际问题。

（2）过程与方法目标：通过探索集贸市场的位置加深学生对角的平分线的性质的理解。

引导学生从数学的视角观察客观世界，用数学的思维思考客观世界，以数学的语言描述客观世界。

（3）情感与态度目标：利用角的平分线的性质探索集贸市场的位置，使学生的求知欲望得到激发，使学生通过应用已学知识解决身边的问题，提高学生学习数学的兴趣。

【教学重点】：角的平分线的性质的运用及运用【教学难点】：角的平分线的性质的探究【教学突破点】：通过实际生活中的例子对比角的平分线的两个性质。

【教法、学法设计】：合作探究式分层次教学，讲授、练习相结合。

【课前准备】：课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入问题1.一个S区有一个集贸市场，在公路与铁路所成的角平分线上的P点，要从P点建两条路，一条到公路上，另一条到铁路上，怎样修建距离最短？这两条路有什么关系？画出来看一看？问题2.以上我们运用了什么知识点？角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题3.那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表：已知事项符合直角三角形全等的条件，所以Rt△PEO≌△PDO（HL）．于是可得∠POE=∠POD．由已知推出的事项：点P在∠AOB的平分线上．利用所学的数学知识解决生活中的问题，加强数学与生活的联系，体验数学是描述现实世界的重要手段。