第三章 信号分析基础

第三章，平稳随机过程的n 维概率密度不随时间平移而变化的特性，反映在统计特征上就是其均值不随时间的变化而变化，mx 不是t 的函数。

同样均方值也应是常数。

（2）二维概率密度只与t1,t2的时间间隔有关，而与时间起点t1无关。

因此平稳过程的自相关函数仅是单变量tao 的函数。

则称他们是联合宽平稳的。

第三章Chapter 3 ==========================================3.2 随机过程()t X 为()()ΦωX +=t cos A t 0式中，A 具有瑞利分布，其概率密度为()02222>=-a eaa P a A ，σσ，()πΦ20，在上均匀分布，A Φ与是两个相互独立的随机变量，0ω为常数，试问X(t)是否为平稳过程。

解：由题意可得:()[]()()002121020222220002222=⇒+=*+=⎰⎰⎰⎰∞--∞φφωπσφπσφωX E πσσπd t cos da e a a dad eat cos a t a a ()()()[]()()()()()()[]()()()()()120212021202021202022212020220210120220222020100222222002010212121221122102122121212212122222222222222t t cos t t cos t t cos det t cos da e e a t t cos dea d t t cos t t cos a d ea d t cos t cos da eaadad e at cos a t cos a t t t t R a a a a a a a -=-⨯=-⨯-=-⨯⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-∞+-=-⨯-=⎩⎨⎧⎭⎬⎫+++---=++=++==-∞∞---∞∞-∞--∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ωσωσωσωωφφωωπσφπφωφωσφσπφωφωX X E σσσσπσπσσπXX ）（，可见()[]t X E 与t 无关，()21t t R ，XX 与t 无关，只与()12t t -有关。

信号分析基础理论知识之频谱分析1. 从时域到频域实际的波形可视为由若干正弦波所合成，每一正弦分量各有其一定的频率和幅值。

(a) 波形；(b) 由三个正弦波组成；(c) 频谱2. 傅里叶变换(1) FT （连续傅里叶变换）正变换：逆变换：其中，ω=2πf，f(t)为时域数据序列，F(ω)为频域的谱函数序列。

(2) DFT（离散傅里叶变换）对N个样点的数字化的时域波形进行数值积分计算，计算某一频率点的幅值。

可在计算机上进行，但计算量巨大。

(3) FFT（快速傅里叶变换）离散变换的一种快速算法，计算速度快，适合工程应用，但具有如下限制：参与计算的数据点数（FFT分析点数）必须为2的幂次方，即2n。

频率分辨率问题，频率间隔Δf。

3. 频谱泄露误差泄漏产生：当实际信号的频率处于f(i)和f(i+1)之间时，则会产生频率泄漏现象，导致误差。

频率误差：FFT频率反映的频率为(i-1)Δf Hz或者iΔf Hz，最大频率误差为Δf/2。

幅值误差：谱峰的幅值减小，泄漏到附近的谱峰上，最大幅值误差为36.3%。

整周期采样：信号的频率正好处于f(i)的位置上，即信号频率等于Δf 的整数倍，则不会产生泄漏。

产生机理（边缘截断）：常用校正方法：加窗处理：如hanning、平顶窗等，仅能校正幅值，不能校正频率；频率计校正：可以对若干个单个谱峰进行校正，特点为快速实时，既能校正幅值，又能校正频率；平滑处理：能有效校正最大谱峰处的幅值，不能校正频率。

4. 加窗和平滑加窗可消除或减轻信号截断和周期化带来的不连续问题。

平滑是将频谱任何一点的附近若干点进行相加，将泄露到两边的能量加回来。

(a) 整周期；(b) 严重泄露；(c) 加汉宁窗；(d) 平滑5. 窗函数基本特性相当于滤波器。

6. 常用窗(a) 指数窗形式；(b) hanning窗形式；(c)hamming窗形式(d) 平顶窗形式；(e) Kaiser窗形式；(f) 余弦矩形窗形式7. 平均和重叠平均：对较长的信号进行平均计算，用以消除随机噪声带来的误差。

工程测试技术信号分析基础掌握信号时域波形分析方法信号分析是工程测试技术中非常重要的一部分，它可以帮助我们详细了解信号的特征和性质，进而为问题的解决提供有力的依据。

信号的时域波形分析方法是信号分析的基础，下面我将为大家介绍几种常用的时域波形分析方法。

首先，最基本的时域波形分析方法是观察和分析信号的波形图。

通过观察信号的波形图，我们可以直观地了解信号的振幅、周期和频率等特征。

比如，正弦信号的波形图是一个周期性的正弦曲线，通过观察波形图我们可以测量信号的振幅和频率。

此外，对于非周期性信号，我们也可以通过观察波形图得到一些重要的信息，比如信号的上升时间、下降时间和持续时间等。

其次，快速傅里叶变换（FFT）是一种用于信号频谱分析的重要方法。

通过对信号进行FFT计算，我们可以将信号从时域转换为频域，在频谱图上观察和分析信号的频谱结构。

频谱图可以清晰地展示信号中不同频率分量的大小和分布情况。

通过对频谱图的分析，我们可以确定信号是否存在特定频率的谐波成分，进而准确地定位和判断信号中的故障。

此外，自相关分析是一种广泛应用于信号分析的方法。

自相关函数描述了信号与其自身在不同时间点上的相似程度，通过计算自相关函数，我们可以得到信号的自相关曲线。

自相关曲线可以帮助我们判断信号中的周期性分量和重复出现的模式。

比如，当自相关曲线具有明显的周期性时，说明信号中存在周期性变化的分量。

最后，平均处理是信号分析中常用的一种方法。

平均处理可以帮助我们消除信号中的噪声，从而提高信号的可靠性和准确性。

平均处理的基本思想是对多次观测到的信号进行平均，以减小随机噪声的影响。

通过对多次观测信号的平均，我们可以得到一个更加平滑和精确的信号波形图。

综上所述，信号分析的时域波形分析方法对于工程测试技术至关重要。

很多问题的解决都需要先对信号进行详细的分析和了解，时域波形分析方法可以帮助我们直观地观察和分析信号的特征，为问题的解决提供有效的依据。

通过掌握这些方法，我们可以更好地理解和利用信号，提高工程测试的准确性和效率。

第三章 信号分析基础3.1 信号空间3.1.1 信号范数与赋范线性空间信号)(t x （或)(n x ）的范数定义为：})(max{)(∞<<∞-=∞t t x t x ， （或 })(max{)(∞<<∞-=∞n n x n x ，） (3-1)dt t x t x ⎰∞∞-=)()(1（或 ∑∞-∞==n n x n x )()(1） (3-2)2122)()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰∞∞-dt t x t x （或 2122)()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑∞-∞=n n x n x ） (3-3) 以下简写为：px。

信号范数具有如下性质（其中，p=1,2,∞）：1）0≥px；0=px，当且仅当x 恒为零； (3-4)2）p px x⋅=⋅λλ，λ为实数； (3-5)3）p ppy xy x +≤+ (3-6)【 证明 ：略】在时间域（+∞∞-,）范围，最大幅度有界的全体信号所构成的信号空间记为}:{∞<=∞∞xx L (3-7)绝对可积（或绝对可和）的全体信号所构成的信号空间记为}:{11∞<=x x L (3-8)平方可积（或平方可和）的全体信号所构成的信号空间记为}:{22∞<=x x L (3-9)根据泛函理论可知，L ∞、L 2和L 1都是赋范线性空间。

3.1.2 信号内积与内积空间在赋范线性空间2L （或2l ）中，定义二信号的内积⎰∞∞-=dt t y t x t y t x )()()(),(（2L 空间） (3-10)或∑∞-∞==n n y n x n y n x )()()(),(（2l空间） (3-11)以下简写为：y x ,。

通过简单验证，可知内积y x ,满足：1）y x y x ,,αα= (3-12)2）z y z x z y x ,,,+=+ (3-13) 3）x y y x ,,= (3-14)4）0,≥x x ，并且0,=x x 的充要条件是θ=x 。

《信号与线性系统》课程教学大纲课程编号：28121008课程类别：学科基础课程授课对象：信息工程、电子信息工程、通信工程等专业开课学期：第4学期学 分：3学分主讲教师：王加俊、孙兵、胡丹峰指定教材：管致中，《信号与线性系统》（第4版），高等教育出版社，2004年教学目的：《信号与线性系统》课程讨论确定信号经过线性时不变系统传输与处理的基本理论和基本分析方法。

掌握连续时间信号分析，连续时间系统的时域、频域、复频域的分析方法，通过连续时间系统的系统函数，描述系统的频率特性及对系统稳定性的判定；连续时间信号转换到离散时间信号的采样理论及转换不失真的条件。

第一章 绪论课时：1周，共4课时第一节 引言一、信号的概念二、系统的概念思考题：1、什么是信号？举例说明。

2、什么是系统？举例说明。

第二节 信号的概念一、信号的分类周期信号与非周期信号、连续时间信号与离散时间信号、能量信号与功率信号。

二、典型信号指数信号、复指数信号、三角信号、抽样信号。

思考题：1、复合信号的周期是如何判定的？若复合信号是周期信号，其周期如何计算？2、如何判定一个信号是能量信号还是功率信号，或者两者都不是？第三节 信号的简单处理一、信号的运算信号的相加、相乘、时移、尺度变换等。

二、信号的分解一个信号可以分解成奇分量与偶分量之和。

思考题：1、 若信号由)(t f 转换至)(0t at f ±，说明转换的分步次序。

2、 若信号由)(0t at f ±转换至)(t f ，说明转换的分步次序。

3、说明信号的奇偶分解的方法。

第四节 系统的概念一、系统的分类线性系统和非线性系统、时不变系统和时变系统、连续时间系统和离散时间系统、因果系统和非因果系统。

二、系统的性质1． 线性：满足齐次性与叠加性2． 时不变：系统的性质不随时间而改变思考题：1、举例说明时不变系统和时变系统。

2、若一个系统是线性的，系统的零输入响应与零状态响应具有什么特性？第五节 线性非时变系统的分析一、线性时不变系统的重要特性微分特性、积分特性、频率保持特性。

随机信号分析基础课后练习题含答案第一部分随机变量和概率分布练习题1设离散随机变量X的概率分布函数为：X0 1 2 3 4P X0.05 0.15 0.35 0.30 0.15求E(X)和D(X)。

答案1根据概率分布函数的公式有：$$E(X)=\\sum_{i=1}^n x_i P_X(x_i) = 0 \\times 0.05 + 1\\times 0.15 + 2 \\times 0.35 + 3 \\times 0.30 + 4 \\times 0.15 = 2.25$$$$D(X)=\\sum_{i=1}^n (x_i-E(X))^2P_X(x_i) = 0.710625$$ 练习题2已知随机变量X的概率密度函数为：$$f_X(x) = \\begin{cases} \\frac{1}{3}e^{-\\frac{x}{3}} & x \\geq 0 \\\\ 0 & x < 0 \\end{cases}$$求E(X)和D(X)。

答案2根据概率分布函数的公式有：$$E(X)=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}xf_X(x)dx =\\int_{0}^{+\\infty}x\\frac{1}{3}e^{-\\frac{x}{3}}dx=3$$ $$D(X)=E(X^2)-(E(X))^2=\\int_{-\\infty}^{+\\infty}x^2f_X(x)dx-(E(X))^2=\\int_{0}^{+\\infty}x^2\\frac{1}{3}e^{-\\frac{x}{3}}dx-9=\\frac{27}{4}$$第二部分随机过程练习题3设二阶矩有限的离散时间随机过程X n的均值序列为m n，自相关函数为R n(i,j)=E(X i−m i)(X j−m j)，其中 $0 \\leq i,j \\leq N$。

若m n=n2,R n(i,j)=ij(i+j)，求 $E(\\sum_{n=0}^N X_n)$。