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[数学]数字信号处理第三章

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数字信号处理 第三章

数字信号处理 第三章
j
：相位函数（phase function）或相位谱（phase spectrum）
3/29
与连续时间傅立叶变换的关系
X (W) = xa ( t ) =
ò
+¥ -¥
x (t )e - jWt dt
k =-¥
å x(k )d (t - k )
X ( W) =
+¥
ò
+¥ -¥
X * (e j )
1 X cs (e j ) { X (e j ) X * (e j )} 2 1 X ca (e j ) { X (e j ) X * (e j )} 2
xcs [n] xca [n]
X re (e j ) jX im (e j )
16/29
K
lim
X e X e d 0

j K j 2
例：理想低通滤波器 1 0 c H LP e 0 c j c n j c n 1 c jn 1 e e sin c n hLP n e d 2 c 2 jn n jn
10/29
3.1.2 收敛条件（convergence)
如果x[n]的DTFT在种意义上收敛，则称x[n]的傅立叶变换存在
1、一致收敛（uniform convergence） 令X K e j
xne ，一致收敛的定义为 lim X e X e 0
Table 3.4 实序列的离散时间傅立叶变换的对称关系 序列 离散时间傅立叶变换
x[n]
xev [n]
X (e j ) X re (e j ) jX im (e j )

数字信号处理线性系统的时域分析法

数字信号处理线性系统的时域分析法
(1)稳定必要条件
a0>0
ai(i=0,1,2,…n)>0
(2)劳思稳定判据 1)劳思表
cij=
i---列；j---行
ci+1.j-2 c1.j-2 ci+1.j-1 c1.j-1
c1.j-1
稳定充分必要条件 C1,j >0 (j=0,1…n+1)
Sn
a0
a2
a4
a6
…
Sn-1
a1
a3
a5
a7
…
Sn-2
0
s0
-4
-7
-4
-4
0
-4
0 (dF(s)/d(s)=0 系数)
由于劳思表第一列数值有一次符号变化,故系统不稳定,且 有一个正实部根.其特征根是±2, ±j,(-1±j√3)/2
辅助方程:F(s)=s4-3s2-4=(s2-4)(s2+1)=0
3)劳思稳定判据的应用 例:设比例-积分(PI)控制系统如图所示.其中,K1为与积分器
r k 1
Ck Bkkk k 1 k2
e k k t
sin(
k
1 k2 )t
t0
特征根实部
0
lim
k(t)
t
c或振荡
全负
稳定
1个为正
不稳定
1个为零其余为负 临界稳定
r(t)
0
t
j
s
× ××
×× × 0
× ××
特征根全部位于左半S平面
c(t)
0
t
c(t)
0
t
c(t)
0
t
稳定判据
设: D(s) a0sn a1sn1 an1s an 0

数字信号处理第三章

数字信号处理第三章

FS：~x (t)
X (k0 )e jk0t
k
（周期为T0
，Ω0
2
T0
）
对上式进行抽样，得：
（抽样间隔为T，s
2π ） T
~x(nT )
X~(k0 )e jk0nT
n
反 : x(nT ) 1 s / 2 X (e jT )e jnT d
s s / 2
---
时域抽样间隔为T ,
频域的周期为 s
2
T
注：DTFT反变换原式为 x(n) 1 X (e j )e jnd
2
根据关系
T 将变量换为
，并利用s
2
T
即得
x(nT ) 1 s / 2 X (e jT )e jnT d
jnk0T
s k0
又 0T
2
T0
T
0
2
s
2
N
这里 T Ω0 1 ，因此 T0 Ωs N
j 2 k
N 1
j 2 nk
X (e N ) x(nT)e N
n0
1 N 1
j 2 k
j 2 nk
x(nT)
X (e N )e N
N k0
x(nT ) 视作 n 的函数， x(nT ) x(n)
0 -0.5
-1 0
500
1000
1500
2000
2500
500
1000
1500
2000
2500
500
1000
1500
2000
2500
500
1000
1500
2000
2500
§ 3-3 周期序列的离散傅里叶级数 Discrete Fourier Series （DFS）

第三章Z变换(数字信号处理)

第三章Z变换(数字信号处理)

n2
X (z) x(n)zn
n
第三章 序列的Z变换
当 n2≤0
n2
n2
n2
X (Z ) x(n)Z n x(n)Z n x(n) Rn
n
n
n
当 n2>0
n2
0
n2
x(n)Z n x(n)Z n x(n)Z n
n
n
n 1
第二项为有限长序列， 在整个Z平面收敛（ z=∞点 不收敛）。 第一项根据前式的论述，当
第三章 序列的Z变换
n 0, x(n) Re s[F(z), a] Re s[F(z), a1]
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a)
za
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a1)
z a 1
an (an ) an an
最后将x(n)表示成
x(n)=(a-n-an)u(-n-1)
(1 a2 )zn (z a) (z a)(1 az)
za
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a
1 )
z a 1
an an
最后表示成： x(n)=(an-a-n)u(n)。
(2) 收敛域|z|<|a|
这种情况原序列是左序列， 无须计算n≥0情况， 当n≥0时， 围线积分c内没有极点， 因此x(n)=0。 n<0 时， c内只有一个极点z=0， 且是n阶极点， 改求c外极 点留数之和
Z R 时收敛 因此左序列的收敛域是半径为R+的圆内区域

数字信号处理第三章补

数字信号处理第三章补

在此频谱图中就分辨不出来。
v(n) 6
4
T＝1 / fs
2
0
0 0
2 2T
4 4T
6 6T
8 8T t p ＝1 / F
10 10 T
12 12 T
14 14 T
16 16 T
18
n t
(a) |V(k )| 40 30 20 10 0 0 0 2 2F 4 4F 6 6F F＝1 / tp
8 8F fs ＝1 / T
m 0
M 1
用DFT算法也就是用圆周卷积来代替这一线性卷积时，为了
不产生混叠，其必要条件是使x(n)，h(n)都补零值点，补到至少
N=M+L-1， 即:
x(n) x(n) 0
0≤n≤L-1 L≤n≤N-1
h(n) 0≤n≤M-1 h(n ) 0 M≤n≤N-1
然后计算圆周卷积
y (n) x(n)
N
h( n )
这时，y(n)就能代表线性卷积的结果。 用FFT计算y(n)的步骤如下：
① 求N点X(k)=DFT［x(n)］, N点；
② 求H(k)=DFT［h(n)］， N点；
③ 计算Y(k)=X(k)H(k);
④ 求y(n)=IDFT［Y(k)］，N点。
率(单位： Hz)。
由图可知：
t p NT fs 1 1 F N NT t p
在实际应用中, 要根据信号最高频率fh和频谱分辨率F的要求， 来确定T、tp和N的大小。 （1）首先，由采样定理，为保证采样信号不失真，fs≥2fh(fh为 信号频率的最高频率分量，也就是前置低通滤波器阻带的截止 频率)， 即应使采样周期T满足
n

数字信号处理课后第三章习题答案

数字信号处理课后第三章习题答案

1 e j 0 N
2 j(0 k ) N 1 e
k 0, 1, , N 1
（8） 解法一
直接计算：
1 j 0 n x8 (n) sin(0 n) RN (n) [e e j 0 n ] R N ( n ) 2j
X 8 (n)

n 0
N 1
kn x8 (n)WN
k 0, 1, , N 1
(4)
X (k ) WNkn
n 0
m1
π j ( m1) k 1 WNkm N e 1 WNk
π sin mk N R (k ) N π sin k N
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
所以
DFT[ X (n)] X (n)W
n 0
N 1
N 1
kn N
N 1 mn kn x(m)WN WN n 0 m 0
N 1
n ( m k ) x(m)WN m 0 n 0
N 1
第３章
由于
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
第３章
离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法 (FFT)
（10） 解法一
X (k )

n 0
N 1
kn nWN
k 0, 1, , N 1
上式直接计算较难， 可根据循环移位性质来求解X(k)。 因为x(n)=nRN(n)， 所
以
x(n)－x((n－1))NRN(n)+Nδ(n)=RN(n) 等式两边进行DFT， 得到
1 [e j0 n e j0 n ] e 2 j n 0

数字信号处理第三版西科大课后答案第3和4章

数字信号处理第三版西科大课后答案第3和4章
生物医学信号处理
采用数字信号处理技术对生物医学信号进行分析与处理，如心电图、 脑电图等信号的处理与识别。
04
重点难点总结与复习指导
第三章重点难点总结
离散时间信号与系统的时域分析
掌握离散时间信号的定义、性质及分类，理解离散时间系统的描述方式，掌握卷积和的计 算方法。
离散时间信号的频域分析
理解周期信号的傅里叶级数展开，掌握离散时间信号的傅里叶变换及其性质，了解频域采 样理论。
内部奇点的留数和。这种方法适用于X(z)在复平面上有奇点的情况。
系统函数H(z)求解方法
直接法
根据系统差分方程，直接写出系统函 数H(z)的表达式。这种方法简单直接， 但需要注意差分方程的初始条件和边 界条件。
间接法
先求出系统的单位冲激响应h(n)，然 后根据h(n)求出H(z)。这种方法需要 先确定系统的单位冲激响应，计算量 相对较大。
课后习题解答与技巧
熟练掌握z变换的定义和性质，能够灵活运用这些 性质进行信号处理和系统分析。
理解系统函数H(z)的物理意义，掌握其求解方法 ，并能够根据H(z)分析系统的稳定性和频率响应 特性。
掌握z反变换的计算方法，能够根据具体情况选择 合适的方法进行求解。
在解答课后习题时，注意审题和理解题意，明确 题目要求和已知条件，选择合适的公式和方法进 行求解。同时，注意计算过程和结果的准确性， 避免出现计算错误或遗漏重要步骤的情况。
时不变性质
系统对输入信号的响应不随时间推移而改变，即 输入信号延迟或提前一定时间后，输出信号也相 应延迟或提前相同的时间。
稳定性判定
系统对任意有界输入信号的响应也是有界的，即 输出信号的幅度不会无限制地增长。
课后习题解答与技巧

数字信号处理第三章习题作业答案

数字信号处理第三章习题作业答案

1 e 当 k 2, 4, 6,... 时，X 1 (k ) 0

序列3:
x3 (n) x1 (n) x1 (n 4)
根据序列移位性质可知
X 3 (k ) X1 ( k ) e j k X1 ( k ) (1 e j k )
即 x(n) 是以 n 0 对称轴的奇对称
故这三个序列都不满足这个条件
（3）由于是8点周期序列，其DFS:
nk X (k ) x(n )WN x (n )e n 0 n 0 N 1 7 j 2 nk 8
序列1:
X 1 (k ) e
n 0
3
y 解: 序列 x(n) 的点数为 N1 6 ， (n) 的点数为 N 2 15， 故 x(n) y (n) 的点数应为
N N1 N 2 1 20
是线性卷积以15为周期周期延拓后取主值序列 19( N 1) 0
15 ( L)
又 f (n) 为 x(n) 与 y (n) 的15点的圆周卷积，即L＝15。
第三章习题讲解
n 1, 0 n 4 h(n) R4 (n 2) 3．设 x(n) 其他n 0, h 令 x(n) x((n))6 ， ( n) h((n)) 6 ，
试求 x(n) 与 h (n) 的周期卷积并作图。
解：
y ( n ) x ( m )h ( n m )
4 ( L N 1)
15 ( L)
34 ( L N 1)
混叠点数为N－L＝20－15＝5 n 0 ~ n 4( N L 1) 故 f (n)中只有 n 5到 n 14的点对应于 x(n) y (n)

现代数字信号处理-第三章-3-2016PPT课件

现代数字信号处理-第三章-3-2016PPT课件

.
27
等同于线性预测
p
xˆ n k x n k k 1 p
e n x n xˆ n k x n k , 0 1 k 0
E e2 n min k
.
28
AR模型参数与线性预测器参数相同
等同于最优白化滤波
AR模型参数也可以通过最大化预测误差滤波器Prediction Error Filter (PEF)输出信号的谱平坦度spectral flatness来获得。
.
12
Levision-Durbin算法
❖ Levision算法的推导
利用系数矩阵的Toeplitz性质，将扩大方程的行倒序，同 时列也倒序，得到下列“预备方程”
将待求解的k+1阶Y-W方程的解表示成扩大方程的解和预 备方程的解的线性组合形式
.
13
Levision-Durbin算法
❖ Levision算法的推导
x
exp
1 2 1 2
ln
S xx
f
df
1 2 1 2
S xx
f
df
the geometric mean of Sxx f , the arithmetic mean of Sxx f
0 1
max e
x
Rxx Ree
(0) (0)
PEF
min Ree (0)
.
预测误差谱平坦度
AR模型谱估计方法，既要估计AR模型参数，又要估计模 型的阶。
一种简单而直观的确定AR模型的阶的方法，是不断增 加模型的阶，同时观察预测误差功率，当其下降到最小 时，对应的阶便可选定为模型的阶。
另一种简单方法是观察各阶模型预测误差序列的周期图，

数字信号处理第三章第4节

数字信号处理第三章第4节

jk 0 n

(k 0， 1， 2 ) k代 表 k次 谐 波 分 量

( k 0 ~ N 1) k代 表 k次 谐 波 分 量 x(n) 1 N
N 1
xa (t )

k
A (k )e
jk 0 t
ห้องสมุดไป่ตู้

k 0
X (k )e
jk 0 n
( t + )
如果 y(n) x1 (n) x2 (n) ， 则 Y ( k ) DFS y ( n)
N 1


n 0
y ( n )WN
N 1
nk

1 N

l 0 N 1
X 1 (l ) X 2 ( k l ) X 2 (l ) X 1 ( k l )
1 0 0 0 1 2
0 0 0 1 2 1
1 0 0 0 1 2
2 1 0 0 0 1 1 2 1 0 0 0
5 4 3 2 1 0
2 1 0 0 0 1 1 2 1 0 0 0
0 1 2 10 0
0 5 4 3 2 1
0 0 1 2 1 0
y ( n)
4 4 3 3
1 1
0
n
计算区
3)时域卷积定理： 如果 则：


m =-
x2 ( m) x1 ( n m)


m =-
n 0, 1, 2
线性卷积
周期卷积 同左
N 1
（3）求解方法： 翻折、平移、相乘、相加

（4）求和区间

m
求和区间（一个周期）

数字信号处理(方勇)第三章习题答案

数字信号处理(方勇)第三章习题答案

3－1 画出)5.01)(25.01()264.524.14)(379.02()(211211------+--+--=z zz zzzz H 级联型网络结构。

解：243－2 画出112112(23)(465)()(17)(18)z z zH z z zz--------+=--+级联型网络结构。

解：()x n ()y n 243－3 已知某三阶数字滤波器的系统函数为1211252333()111(1)(1)322zzH z z zz-----++=-++，试画出其并联型网络结构。

解：将系统函数()H z 表达为实系数一阶，二阶子系统之和，即：()H z 11122111111322z zzz----+=+-++由上式可以画出并联型结构如题3-3图所示：)题3-3图3－4 已知一FIR 滤波器的系统函数为121()(10.70.5)(12)H z z z z ---=-++，画出该FIR滤波器的线性相位结构。

解： 因为121123()(10.70.5)(12)1 1.30.9H z z z z z z z ------=-++=+-+，所以由第二类线性相位结构画出该滤波器的线性相位结构，如题3-4图所示：()x n 1-1-1z -题3-4图3－5 已知一个FIR 系统的转移函数为：12345()1 1.25 2.75 2.75 1.23H z zzzzz-----=+--++求用级联形式实现的结构流图并用MATLAB 画出其零点分布及其频率响应曲线。

解： 由转移函数可知，6=N ，且)(n h 偶对称，故为线性相位系统，共有5个零点，为5阶系统，因而必存在一个一阶系统，即1±=z 为系统的零点。

而最高阶5-z 的系数为+1，所以1-=z 为其零点。

)(z H 中包含11-+z 项。

所以：11()()(1)H z H z z -=+。

1()H z 为一四阶子系统，设12341()1H z bz cz bz z ----=++++，代入等式，两边相等求得12341()10.2530.25H z z z z z ----=+-++，得出系统全部零点，如图3-5（b ）所示。

数字信号处理 刘顺兰第三章完整版习题解答

数字信号处理 刘顺兰第三章完整版习题解答

数字信号处理刘顺兰第三章完整版习题解答一、题目解答1. 题目利用时域抽样、频域抽样、零填充、插值法等，实现信号的变换。

1.1 时域抽样时域抽样是指将一个连续时间信号在时间轴上的等间隔位置上进行采样，可以得到一个离散时间信号。

时域抽样的原理是，将时间轴上的信号按照一定的时间间隔进行采样，每个采样点的振幅值就是该点对应的连续时间信号的振幅值。

时域抽样可以通过以下步骤进行实现：1.假设连续时间信号为x(t)，采样频率为Fs（采样频率是指每秒采样的次数），采样间隔为Ts（采样间隔是指相邻两个采样点之间的时间间隔）。

2.根据采样频率和采样间隔，计算出采样点数N：N =Fs * T，其中T为采样时长。

为Ts。

4.在每段的中点位置进行采样，得到N个采样点。

5.将N个采样点按照时域顺序排列，即可得到离散时间信号。

1.2 频域抽样频域抽样是指将一个连续频谱信号在频率轴上的等间隔位置上进行采样，可以得到一个离散频谱信号。

频域抽样的原理是，将频率轴上的信号按照一定的频率间隔进行采样，每个采样频率点上的能量值就是该频率点对应的连续频谱信号的能量值。

频域抽样可以通过以下步骤进行实现：1.假设连续频谱信号为X(f)，采样频率为Fs（采样频率是指每秒采样的次数），采样间隔为Δf（采样间隔是指相邻两个采样频率点之间的频率间隔）。

2.根据采样频率和采样间隔，计算出采样点数N：N =Fs / Δf，其中Δf为采样频率点之间的频率间隔。

为Δf。

4.在每段的中点位置进行采样，得到N个采样频率点。

5.将N个采样频率点按照频域顺序排列，即可得到离散频谱信号。

1.3 零填充零填充是指在信号的末尾添加一些零值样本，使得信号的长度变长。

零填充的原理是，通过增加信号的长度，可以在时域和频域上提高信号的分辨率，从而更精确地观察信号的特征。

零填充可以通过以下步骤进行实现：1.假设原始信号为x(n)，长度为N。

2.计算需要填充的长度L，L > 0。

数字信号处理第三章习题解答

数字信号处理第三章习题解答
（3）最少采样点数 ；
（4）在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的N值。
解：
（1）已知
（2）
（3）
（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变，应该使记录时间扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高一倍（F变为原来的1/2）
18.我们希望利用 长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与 的L点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列 ，m表示第m段计算输出。最后，从 中取出Ｂ个，使每段取出的Ｂ个采样点连接得到滤波输出 。
————第三章————
离散傅里叶变换DFT
3.1 学习要点
3.1.1DFT的定义、DFT与Z变换(ZT)、傅里叶变换(FT)的关系及DFT的物理意义
1.DFT的定义
设序列 为有限长序列，长度为 ,则定义 的 点离散傅立叶变换为
(3.1)
的 点离散傅立叶逆变换为
(3.2)
其中， ， 成为DFT变换区间长度。
学习DFT的性质时，应与傅里叶变换的性质对照学习，要搞清两者的主要区别。我们知道，傅里叶变换将整个时域作为变换区间，所以在其性质中，对称性以原点为对称点，序列的移动范围无任何限制。
然而，DFT是对有限长序列定义的一种变换，也就是说，DFT变换区间为 。这一点与傅立叶变换截然不同，由于 及 区间在DFT变换区间以外，所以讨论对称性时，不能再以原点作为对称点，而是以 点作为对称点。为了区别于无限长共轭对称序列，用 和 分别表示有限长（或圆周）共轭对称序列和共轭反对称序列。其定义为
即 隐含周期性，周期为 。

数字信号处理第三版第三章

数字信号处理第三版第三章

第三章．离散傅里叶变换（DFT ）一 离散傅里叶变换的定义及物理意义1 DFT 定义设x(n)是一个长度为M 的有限长序列10()[()]()0,1,,1N kn N n X k D FT x n x n Wk N -====-∑ 逆变换：101()[()]()N kn N k x n ID FT X k X k W N --===∑2 DFT 与傅里叶变换和z 变换的关系2()()j kN z e X k X z π== 3 DET 的隐含周期性在进行DFT 时，有限长序列都是作为周期序列的一个周期来考虑的。

因此，凡是涉及DFT 关系，都隐含有周期性意义二：离散傅里叶变换的基本性质1. 线性性质1212[()()]()()D FT ax n bx n aX k bX k +=+ a ，b 为常数2. 循环移位性质2,1序列的循环移位长度为N 的有限长序列x (n )的圆周移位定义为N N y(n )x ((n m ))R (n )=+2.2 时域循环移位定理设x (n )是长度为N 的有限长序列，y (n )为x (n )圆周移位则圆周移位后的DFT 为()[()][(())()]()m k N N N Y k D FT y n D FT x n m R n W X k -==+=2.3频域循环移位定理频域有限长序列X (k )，也可看成是分布在一个N 等分的圆周上由于频域与时域的对偶关系，有如下性质若 ()[()]X k DFT x n =则 2[(())()]()()j nl nl N N N N IDFT X k l R k W x n ex n π-+==3 循环卷积定理3.1定义：设x 1(n )和x 2(n )都是点数为N 的有限长序列（0≤n ≤N -1），且有：1122[()]()[()]()DFT x n X k DFT x n X k ==若12()()()Y k X k X k =则11201210()[()]()(())()()(())()N N N m N N N m y n ID FT Y k x m x n m R n xm x n m R n -=-===-=-∑∑上式所表示的运算称为x 1(n )和x 2(n )的N 点圆周卷积3.2 循环卷积定理若12()()()y n x n x n = x 1(n )，x 2(n )皆为N 点有限长序列则 1120121012()[()]1()(())()1()(())()1()()N N N l N N N l Y k D FT y n X l X k l R k NX l X k l R k NX k X k N -=-===-=-=∑∑ 3.3 复共轭序列的DFT设x *(n )为x (n )的共轭复序列，已知X (k )= DFT[x (n )]则DFT ［x *(n )］=X *(N-k ) 0≤k ≤N -1且 X (N )=X (0)3.4 共轭对称性三 频域采样1频域采样定理如果序列x (n )长度为M ，则只有当频域采样点数N>M 时，才有()()()()()()N N N N r x n x n R n x n rN R n x n ∞=-∞==+=∑即由频域采样X (k )恢复原序列x (n )，否则产生时域混叠现象。

数字信号处理--第三章2

数字信号处理--第三章2

复共轭序列的DFT
nk 证：DFT [ x * ( n )] x * ( n )WN RN ( k ) n 0 N 1
)] X * ((k )) N [RN (n)] X **(( N k )) N)) NNRk ) k ) X * (( N k )) N RN (k ) DFT x* k ) X (( k R ( N (
其中： 共轭对称分量：
* xe (n ) xe ( n ) 1/ 2[ x ( n ) x * ( n )] 1/ 2[ x((n)) N x* (( N n)) N ]
共轭反对称分量：
o ( n ) xo ( n ) 1/ 2[ x ( n ) x * ( n )] * x 1/ 2[ x((n)) N x* (( N n)) N ]
（若不等，分别为N1、N 2点，则取N max( N1 , N 2 )， 对序列补零使其为N 点）
DFT [ x1 (n)] X 1 (k ) DFT [ x2 (n)] X 2 (k )
证明：
m
n
循环卷积过程： 1）补零 2）周期延拓 3）翻褶，取主值序列 4）圆周移位 5）相乘相加
实数序列的共轭对称性 （2）
序列
Re[ x ( n )] j Im[ x ( n )] 0 xep ( n ) xop ( n )
DFT
X ep ( k ) X ( k ) X op ( k ) 0 Re[ X ( k )] j Im[ X (k )]
（3）纯虚序列的共轭对称性
序列
Re[ x ( n )] 0 j Im[ x ( n )] xep ( n ) xop ( n )

数字信号处理_第三章

数字信号处理_第三章
x(1) h(0) h(1) x(2) x(3) h(2) x(0) h( L 1)
x( L 1) x( L 2) y (0)c x(0) y (1) x(1) x(0) x( L 1) c y (2)c ＝ x(2) x(1) x(0) x( L 1) x( L 2) x( L 3) y ( L 1)c
DFTx2 (n) X 2 (k )
二、循环移位性质
1、序列的循环移位（圆周移位）定义： 一个有限长序列 x(n) 的圆周移位定义为
y(n) xn mN RN n

(1) 先将x(n)作 周 期 ~ x延 (n) 拓 xnN
~ n mN (2) 延 拓 后 再 进 x (n 行 m移 ) x位
1 e
e
k j 38
sin(k / 2) sin(k / 8)
15 j
0k 7
2kn 16
（2）N 16 时 X (k ) x(n) W
n 0 N 1 nk N
R4 (n)e
n 0
e
n 0
3
kn j2 16

1 e
4k j2 16 k j2 16

~ 周期序列 x (n) 是有限长序列x(n)的周期延拓。
x (n) 0 n N 1 ~ x(n) 其它 0
或
x(n) ~ x (n) RN (n)
x (n) 的主值序列。 有限长序列x(n)是周期序列 ~
二、DFT的隐含周期性
如：
0
x(n)
n N-1

数字信号处理第三章离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)

数字信号处理第三章离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)

周期
2
s、fs N
分辨率
2
N
fs N
返回
回到本节
DFT和DFS之间的关系：
周期延拓
取主值
有限长序列
周期序列
主值区序列
有限长序列 x(n) n 0,1, 2, M 1

周期序列 xN (n) x(n mN ) x((n))N m 0 n0 N 1 n mN n0 ((n))N n0
四种傅立叶变换
离散傅立叶变换（DFT）实现了信号首次在频域 表示的离散化，使得频域也能够用计算机进行处理。 并且这种DFT变换可以有多种实用的快速算法。使信 号处理在时、频域的处理和转换均可离散化和快速 化。因而具有重要的理论意义和应用价值，是本课程 学习的一大重点。
本节主要介绍
3.1.1 DFT定义 3.1.2 DFT与ZT、FT、DFS的关系 3.1.3 DFT的矩阵表示
• X(k)为x(n)的傅立叶变换 X (e j ) 在区间 [0, 2 ]上的N
点等间隔采样。这就是DFT的物理意义。
j ImZ
2பைடு நூலகம்3
4
5 6
1 2
N
k=0 ReZ
7 (N-1)
DFT与z变换
X(ejω)
X(k)
0
o

2
0
N 1 k
DFT与DTFT变换
回到本节
变量

、f k
之间的某种变换关系.
• 所以“时间”或“频率”取连续还是离 散值,就形成各种不同形式的傅里叶变换 对。
3.1 离散傅里叶变换的定义及物理意义
时间域
t:连续
模拟域

数字信号处理第三章习题答案

数字信号处理第三章习题答案
1 最小记录时间 ; 2 最大取样间隔 ； 3 最少采样点数 ； （4）在频带宽度不变的情况下, 将频率分辨率提高一倍的N值。
解 （1） 已知F＝50Hz （2） （3）
（4）频带宽度不变就意味着采样间隔T不变, 应该使记录时间 扩大一倍为0.04s实现频率分辨率提高1倍（F变为原来的1/2）.
解
、
和
(a)、(b)、(c)所示。
分别如题3解图
x1(n) (a)
x2(n) (b)
y (n)
(a)
(b)
(c) (c)
5.如果X(k)=DFT[ x(n)], 证明DFT的初值定 理 证明 由IDFT定义式
可知
14.两个有限长序列x(n)和y(n)的零值区间为 x(n)=0, n<0, 8≤n y(n)=0, n<0, 20 ≤ n
对每个序列作20点DFT, 即
X (k)=DFT [x(n)],
Y(k)=DFT [y(n)],
如果
F(k)=X(k)▪Y(k),
k=0,1,…,19 k=0,1,…,19 k=0,1,…,19
f(n)=IDFT [F(k)], k=0,1,…,19
试问在哪些点上f(n)=x(n)*y(n)?为什么？
解 如前所述, 记
,而
fl(n)长度为27,f(n)长度为20.前面已推出二者的关系为
只有在如上周期延拓序列中无混叠的点上, 才满足f(n)=fl(n)7
21-47
41-67
1-7
21-27
8-20
7-19 当从0开始时候
15.用微处理器对实数序列作谱分析, 要求谱分辨率F≤50Hz, 信号最高频率为1kHz, 试确定以下各参数；
教材第三章习题解答
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n
理想采样序列的z变换：
H(z) h(n)zn
n
z e 对比得：s平面与z平面的映射关系
sT
H ˆa(s)H(z)zesT
h
9
稳定性：
如果模拟滤波器是稳定的，则所有极点 si 都在s左半平 面，即 Re[si]＜0 ,
那么变换后H(z)的极点 esiT ，也都在单位圆以内
即
esiT eRe(si)T 1
这些都比脉冲响应不变法的部分分式分解便捷得多，一般，当着 眼于滤波器的时域瞬态响应时，采用脉冲响应不变法较好，而其他 情况下，对于IIR的设计，大多采用双线性变换。
h
回章首
26
3.2 常用模拟低通滤波器特性
0 一般方法 1 巴特沃思（Butterworth）滤波器 2 切比雪夫（Chebyshev）滤波器 3 椭圆（Elliptic）滤波器
ktgb
2
b. 线性相位模拟滤波器经双线性变换后，得到的数字滤波器
为非线性相位。
c. 要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段恒定的，故双线性 变换只能用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器。
h
23
虽然双线性变换有这样的缺点，但它目前仍是使用得 最普遍、最有成效的一种设计工具。这是因为大多数滤波器 都具有分段常数的频响特性，如低通、高通、带通和带阻等 ，它们在通带内要求逼近一个衰减为零的常数特性，在阻带 部分要求逼近一个衰减为∞的常数特性，这种特性的滤波器 通过双线性变换后，虽然频率发生了非线性变化，但其幅频 特性仍保持分段常数的特性。
h
10
j 3
T
T 0
T
3 T
s平面
j Im(z)
r eT
T
0
z平面
: ~
h
11
频谱混叠：
H e j T 1 m H a j jm s T 1 m H a jT j2 T m
数字滤波器的频响是模拟滤波器频响的周期延拓
如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率ΩS/2 以内，有
h
24
预畸变：
将模拟滤波器的临界频率事先加以畸变，然后通过双线性变换后 正好映射到所需要的频率上。
利用关系式： i
2 tgi
T 2
将所要设计的数字滤波器临
界频率点 i ，变换成对应
的设模计拟模域拟频滤率 波器 i，利再用通此过双i
线性变换，即可得到所需的
数字滤波器，其临界频率正
是 i 。
双线性变换时频率的预畸
① 当 z ej 时，得：
2 1e j s T 1ej
2 T
jtg
2
j
满足第一个要求, 即s平面的虚轴(整个jΩ)对应于z平面 单位圆
双线性变换的频率非线性关系
h
20
② sj
z
1
T
2
j
T 2
1
T
2
j T 2
0 时 | z |1
0时 ,|z|1
| z |
1 T 2 T 2
2 2
h
25
３) 计算H(Z)
双线性变换比脉冲响应法的设计计算更直接和简单。由于s与z之间的 简单代数关系，所以从模拟传递函数可直接通过代数置换得到数字滤波器 的传递函数。
置换过程:
H(z) Ha(s) sT211zz11
Ha
2 T
1 1
z1 z1
频响
H (ej)H a(j ) T 2tg 2H a jT 2tg2
快速卷积（FFT）型等； 选择合适的字长和有效数字的处理方法 等
h
4
设计方法：
1）先设计一个合适的模拟滤波器H(s)，然后变换成满足预定指标的数 字滤波器H(z)。
2）最优化设计方法。
a) 确定一种最优准则，使设计出的实际频率响应的幅度特性| H(ej)|
与所要求的理想频率响应 | Hd(ej)| 的均方误差最小，
H a(j )0
s 2
h
12
数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤波器的频响
H (ej)T 1H a(jT)
但是，任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能是真正带限的，因此不 可避免地存在频谱的交叠，即频谱混叠
Ha(jT )
H (e j )
0
数字滤波器的频响将不同于原模拟滤波器的频响，而带有一定的 失真。模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减越大，失真越小，这时， 采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。
建立S平面与Z平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除
了混淆现象。
h
17
虚轴压缩通过正切变换实现：
Ω c tg(Ω1T) 2
C：待定常数。
Ω 0
Ω1 /T 0 /T
扩展至整个s平面，则得到s平面到s1平面的映射关系：
1 es1T s c1 es1T
再将 s1 平面通过标准变换关系映射到z平面，即令
2 tg
T 2
消除了脉冲响应不变法频 谱混叠的问题。
双线性变换的频率非线性关系
h
22
2） 双线性变换缺点：
Ω与ω成非线性关系，导致：
a. 数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有 畸变。
例如，模拟微分器的幅 度与频率是直线关系，通过双线性变换后，不可 能得到数字微分器
H(j)kb
H(ej)H(j)tg 2
双线性换法的主要优点：s平面与z平面单值对应，s平面的
虚轴(整个jΩ)对应于z平面单位圆，s平面的Ω=0处对应于z平
面的ω=0处，Ω=∞处对应于z平面的ω=Π处，即数字滤波器的
频率响应终止于折叠频率处（ω=Π ），所以双线性变换不存
在混迭效应。
h
19
验证是否符合从 S平面到Z平面映射变换的二个基本要求：
Ha(s)Ha(s)sj 问题：由A(-S2)→Ha(S)
对于给定的A(-S2)，A(-S2)的极点和零
由 S=jΩ，Ω2=-S2
点总是“成对出现”，且对称于S平面的 实轴和虚轴。选用A(-S2)的对称极、零点
∴ A(Ω2)=A(-S2)|S=jΩ
的任一半作为Ha(s)的极、零点，则可得到 Ha(s)。
4) 缺点：存在频谱混叠效应，只能用于带限的频响特性，如衰 减特性很好的低通或带通。
回节首
h
16
2 双线性变换法 1） 原理
脉冲响应不变法的主要缺点：产生频谱混叠。 原因：从s平面到z平面的变换z＝esT是多值对应。
修正： 第一步：将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里； 第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面上去。
M
2
H(eji)Hd(eji)
i1
min
此外还有其他多种误差最小准则。
b) 在此最佳准则下，求滤波的系数 a i 和 b i
通过不断地迭代运算，改变 a i 、b i ，直到 满足要求为止。
h
5
回章首
3.1 根据模拟滤波器设计IIR滤波器
Ha(s) ----> H（z），设计一个由s平面到z平面的变换. 这种变换应遵循两个基本原则： 1）H（z）的频响能模仿Ha(s)的频响，即s平面的虚轴应映 射到z平面的单位圆上。 2）Ha(s) 的因果稳定性映射成 H（z）后保持不变，即s平 面的左半平面 Re{s}＜0 应映射到z平面的单位圆以内|z|<1。
1
2N
1
j j c
N为滤波器阶数
h
30
理想滤波器
过渡带为零， 阻带|H(jΩ)|=0 通带内幅度|H(jΩ)|=常数.， H(jΩ)的相位是线性的。
因此数字滤波器保持稳定。
由
sT
ze
s j
令zrejesTe(j )TeTej T
则 reT, T
s平面上每一条宽为
2 T
的横带部分，都将重叠地映射到Z平面的整个平面上:
每一横带的左半部分映射到Z平面单位圆以内，
每一横带的右半部分映射到Z平面单位圆以外，
j 轴映射到单位圆上， j轴上每一段 2 T 都对应于绕单位圆一周。
z es1T
s
2 T
1 1
z1 z1
通常取C=2/T
h
18
当 z = ejω,
s
2 T
1e 1e
j j
2 T
j sin(/ 2)
cos 2
2 jtg() j
T2
其中 2tg(/2)
T
s平面的虚轴对应于z平面的单位圆
s平面与z平面的单值映射关系：
s
T
z z
z 1(T / 2)s 1(T /2)s
1
T
2
T
2
2 2
即s左半平面映射在单位圆内，s右半平面映射在单 位圆外，因此稳定的模拟滤波器通过双线性变换后，所 得到的数字滤波器也是稳定的。满足第二个要求.
h
21
小结
1) 双线性变换的主要优点：s平面与z平面是单值的一一对应关系 （靠频率的严重非线性关系得到的），即整个jΩ轴单值地对应于 单位圆一周，关系式为：
变换方法主要有两种：脉冲响应不变法和双线性变换法
脉冲响应不变法 双线性变换法
回章首
h
6
1 脉冲响应不变法
使数字滤波器能模仿模拟滤波的时域特性
脉冲响应不变法使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n) 等于模拟滤波器的冲激响应ha(t)的采样值
即
h(n)=ha(nT),
T为采样周期。
ha(t)
Ha(s)
h(n)
h
13
例 将一个具有如下系统函数
H(s) 2 1 1 (s1)s(3) s1 s3
的模拟滤波器数字化。