2023年中考数学专题复习课件： 二次函数线段问题

二次函数与线段问题

1.已知抛物线经过点A(－1,0)、B(3,0)、C(0,－3).

(Ⅰ)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标;

(Ⅱ)直线CD交x轴于点E,过抛物线上在对称轴右边的点P,作y轴的平行线交x轴于点F,交直线CD于点M,使PM=25EF,请求出点P的坐标;

(Ⅲ)将抛物线沿对称轴平移,要使抛物线与(Ⅱ)中的线段EM总有交点,那么抛物线向上最多平移多少个单位长度?向下最多平移多少个单位长度?

解:(Ⅰ)设抛物线解析式为y=a(x＋1)(x－3),

把点C(0,－3)代入得:a×1×(－3)=－3,

解得a=1,

∴抛物线解析式为y=(x＋1)(x－3),

即y=x2－2x－3,

∵y=x2－2x－3=(x－1)2－4,

∴顶点D的坐标为(1,－4);

(Ⅱ)如解图,设直线CD的解析式为y=kx＋b,

把点C(0,－3),D(1,－4)代入得

34bkb,解得13kb－－,

∴直线CD的解析式为y=－x－3,

当y=0时,－x－3=0,

解得x=－3,

则E(－3,0),

设P(t,t2－2t－3)(t＞1),

则M(t,－t－3),F(t,0),

∴EF=t＋3,PM=t2－2t－3－(－t－3)=t2－t,

而PM=25EF,

∴t2－t=25(t＋3),

整理得5t2－7t－6=0,

解得t1=－35(舍去),t2=2,

当t=2时,t2－2t－3=22－2×2－3=－3,

∴点P坐标为(2,－3);

第1题解图

(Ⅲ)当t=2时,点M的坐标为(2,－5),

设平移后的抛物线解析式为y=x2－2x－3＋m,

当抛物线y=x2－2x－3＋m与直线y=－x－3有唯一公共点时,

令方程x2－2x－3＋m=－x－3,即x2－x＋m=0有两个相等的实数解,

则b2－4ac=1－4m=0,

解得m=14;

若抛物线y=x2－2x－3＋m经过点M(2,－5),

二次函数的综合应用

二次函数的实际应用

（1）增长率问题

一月

a

增长率为 x 二月

a(1+x) 增长率为 x 三月

a(1+x)2

（2）利润问题

在这个模型中，利润=（售价-成本）×销量

（3）面积问题

矩形面积=长×宽

材料总长

a 矩形长

x 矩形宽

1 a  2 x 2

题型一 二次函数的应用—销售问题

例 7.某公司投资销售一种进价为每件 15 元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量 y（件

) 与销售单价 x （元 ) 之间的关系可近似的看作一次函数： y  20x  800 ，在销售过程中销

售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60% ．

（1）设该公司每月获得利润为 w （元 ) ，求每月获得利润 w （元 ) 与销售单价 x （元 ) 之间

的函数关系式，并确定自变量 x 的取值范围．

（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？

【思路点拨】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利

润＝（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；

（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；

【答案与解析】解：（1）由题意，得：w＝（x﹣15）•y＝（x﹣15）•（﹣20x+800）＝﹣20x2+1100x

﹣12000，

即 w＝﹣20x2+1100x﹣12000（15≤x≤24）；

（2）对于函数 w＝﹣20x2+1100x﹣12000（15≤x≤24）的图象的对称轴是直线 x＝27.5

又∵a＝﹣20＜0，抛物线开口向下．

∴当 15≤x≤24 时，W 随着 x 的增大而增大， x

∴当 x＝24 时，W＝2880，

答：当销售单价定为 24 元时，每月可获得最大利润，最大利润是 2880 元．

变式训练 1.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20 件，每件盈利 40 元．为了扩大销售，

试卷第1页，共10页 2023年九年级中考数学专题复习： 二次函数综合题（线段周长问题）

1．如图，已知抛物线的解析式为239344yxx，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交点于点C．

(1)请分别求出点A、B、C的坐标和抛物线的对称轴；

(2)连接AC、BC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°，点A、C的对应点分别为M、N，求点M、N的坐标；

(3)若点P为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出使NPBP最大时点Р的坐标，并请直接写出NPBP的最大值．

2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．

(1)求抛物线的解析式及直线AC的解析式；

(2)P是线段AC上的一个动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值； 试卷第2页，共10页 (3)点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．

3．如图是二次函数2()yxmk的图像，其顶点的坐标为(1,4)M．

(1)求出图像与x轴的交点A，B的坐标；

(2)在二次函数的图像上是否存在点P，使54PABMABSS△△?若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)在y轴上是否存在一点Q，使得QMQB的和最小，若存在，求出Q点坐标，若不存在，请说明理由．

4．如图，抛物线20yaxbxca与直线1yx交于1,0A，4,Bn两点，且抛物线经过点5,0C．

(1)求抛物线的解析式．

(2)点P是直线上方的抛物线上的一个动点，求ABP△的面积最大时的P点坐标． 试卷第3页，共10页 (3)若点P是抛物线上的一个动点（不与点A点B重合），过点P作直线PDx轴于点D，交直线AB于点E．当2PEED时，求点P的坐标．

2020年初三数学下册中考专题复习二次函数面积最值问题

1．如图，关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交

于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．

（1）求二次函数的表达式；

（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；

（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N

从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到

达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．

2．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，将此平行四边形绕点O顺时

针旋转90°得到平行四边形A′B′OC′．抛物线y＝﹣x2+2x+3经过点A、C、A′三点．

（1）求A、A′、C三点的坐标；

（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD的面积；

（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？

最大面积是多少？并写出此时M的坐标．3．如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐

标是2．

（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；

（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，

若不在，请说明理由；

（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．

4．如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相

交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB．

（1）求抛物线C2的解析式；

（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的

坐标，若不存在，说明理由；

（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，