2023年中考数学 解答题专项训练——二次函数

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2022-2023学年数学 中考解答题专项训练——二次函数

一、解答题

1． 在同一坐标系内，画出函数y=2x2和y=2（x-1）2+1的图象，并说出它们的相同点和不同点．

2．写出抛物线y＝﹣x2+4x的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值.

3．若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，1）和（1，﹣2）两点，求此二次函数的表达式．

4．求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： 221221yxx .

5．求抛物线y＝12x2﹣x＋1在﹣2≤x≤2的最大值与最小值．

6．如图，二次函数 223yxx 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，求

BCD 的面积．

7．已知关于x的一元二次方程x2+2x+12k=0有实数根，k为正整数．

（1）求k的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y=x2+2x+12k的图象向下平移9个单位，求平移后的图象的表达式；

（3）在（2）的条件下，平移后的二次函数的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），直线y=kx+b（k＞0）过点B，且与抛物线的另一个交点为C，直线BC上方的抛物线与线段BC组成新的图象，当此新图象的最小值大于﹣5时，求k的取值范围．

8．若抛物线的顶点坐标为(12)，，且过点(12)，，求抛物线的解析式．

9．用配方法把二次函数y=﹣2x2+6x+4化为y=a（x+m）2+k的形式，再指出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

10．一玩具厂去年生产某种玩具，成本为10元/件，出厂价为12元/件，年销售量为2万件．今年计划通过适当增加成本来提高产品档次，以拓展市场．若今年这种玩具每件的成本比去年成本增加 2 / 15 0.7x倍，今年这种玩具每件的出厂价比去年出厂价相应提高0.5x倍，则预计今年年销售量将比去年年销售量增加x倍（本题中0＜x≤1）．

（1）用含x的代数式表示，今年生产的这种玩具每件的成本为多少元，今年生产的这种玩具每件的出厂价为多少元．

（2）求今年这种玩具的每件利润y元与x之间的函数关系式．

（3）设今年这种玩具的年销售利润为w万元，求当x为何值时，今年的年销售利润最大？最大年销售利润是多少万元？

注：年销售利润=（每件玩具的出厂价﹣每件玩具的成本）×年销售量．

11．如果二次函数y=x2﹣x+c的图象过点（1，2），求这个二次函数的解析式，并求出该函数图象的顶点坐标．

12．已知二次函数图象的顶点坐标是（1，-4），且与y轴交于点（0，-3），求此二次函数的解析式

13．已知一条抛物线分别过点 (3,2) 和 (0,1) ，且它的对称轴为直线 2x ，试求这条抛物线的解析式.

14．如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于点A，点B的坐标为（2，3）抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点．

（1）求抛物线的解析式，并验证点B是否在抛物线上；

（2）作BD⊥OC，垂足为D，连接AB，E为y轴左侧抛物线点，当⊥EAB与⊥EBD的面积相等时，求点E的坐标；

（3）点P在直线AC上，点Q在抛物线y=﹣x2+bx+c上，是否存在P、Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

15．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣427x2+12的图象与y轴交于点A，与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧），连接AB，AC． 3 / 15

（1）点B的坐标为 ，点C的坐标为 ；

（2）过点C作射线CD⊥AB，点M是线段AB上的动点，点P是线段AC上的动点，且始终满足BM=AP（点M不与点A，点B重合），过点M作MN⊥BC分别交AC于点Q，交射线CD于点N （点 Q不与点P重合），连接PM，PN，设线段AP的长为n．

①如图2，当n＜12AC时，求证：⊥PAM⊥⊥NCP；

②直接用含n的代数式表示线段PQ的长；

③若PM的长为97，当二次函数y=﹣427x2+12的图象经过平移同时过点P和点N时，请直接写出此时的二次函数表达式．

4 / 15 答案解析部分

1．【答案】解：如图，

相同点：开口方向和开口大小相同；

不同点：函数y=2（x-1）2+1的图象是由函数y=2x2的图象向上平移1个单位长度，

再向右平移1个单位长度所得到的，位置不同．

2．【答案】解： 22424yxxx ；

∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x=2，顶点坐标是（2，4），最大值是4.

3．【答案】解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过（0，1）和（1，-2）两点，

∴1,21.cbc

解得 4,1.bc

∴二次函数的表达式为y=x2-4x+1.

4．【答案】解： 221221yxx

2269921xx

2231821x

2233x

∴对称轴为直线 3x ，顶点坐标为(

3 ，3).

5．【答案】解：抛物线 y＝12x2﹣x＋1，

 抛物线的对称轴方程为：111222bxa，

102a， 则函数图象的开口向上， 5 / 15 当1x时，111122y最小值，

当2x时，142152y，

当2x时，142112y，

而1152，

所以抛物线y＝12x2﹣x＋1在﹣2≤x≤2的最大值为5，最小值为1.2

6．【答案】解：延长DC交x轴于E，

依题意，可得y＝−x2＋2x＋3＝−（x−1）2＋4，

∴顶点D（1，4），

令y＝0，可得x＝3或x＝−1，

∴B（3，0），

令x＝0，可得y＝3，

∴C（0，3），

∴OC＝3，

∴直线DC的解析式为y＝x＋3，

令y＝0，可得x＝-3，

∴E（-3，0），

BE＝6，

∴S⊥BCD＝S⊥BED−S⊥BCE＝ 11646322 =12-9=3．

∴⊥BCD的面积为3．

7．【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+12k=0有实数根，

∴⊥=b2﹣4ac=4﹣4×12k≥0，

∴k﹣1≤2，

∴k≤3， 6 / 15 ∵k为正整数，

∴k的值是1，2，3；

（2）∵方程有两个非零的整数根，

当k=1时，x2+2x=0，不合题意，舍去，

当k=2时，x2+2x+12=0，

方程的根不是整数，不合题意，舍去，

当k=3时，x2+2x+1=0，

解得：x1=x2=﹣1，符合题意，

∴k=3，

∴y=x2+2x+1，

∴平移后的图象的表达式y=x2+2x+1﹣9=x2+2x﹣8；

（3）令y=0，x2+2x﹣8=0，

∴x1=﹣4，x2=2，

∵与x轴交于点A，B（点A在点B左侧），

∴A（﹣4，0），B（2，0），

∵直线l：y=kx+b（k＞0）经过点B，

∴函数新图象如图所示，当点C在抛物线对称轴左侧时，新函数的最小值有可能大于﹣5，

令y=﹣5，即x2+2x﹣8=﹣5，

解得：x1=﹣3，x2=1，（不合题意，舍去），

∴抛物线经过点（﹣3，﹣5），

当直线y=kx+b（k＞0）经过点（﹣3，﹣5），（2，0）时，

可求得k=1，

由图象可知，当0＜k＜1时新函数的最小值大于﹣5． 7 / 15

8．【答案】解：设抛物线解析式为2(1)2yax，

(12)，代入得2(11)22a，

44a

解得1a，

即抛物线解析式为2(1)2yx．

9．【答案】解： 2264yxx ,

= 29923442xx ,

= 22317317222222xx

,

开口向下,对称轴为直线 32x ,顶点 317,22 .

10．【答案】解：（1）10+7x；12+6x；

（2）y=（12+6x）﹣（10+7x），

∴y=2﹣x （0＜x≤1）；

（3）∵w=2（1+x）•y

=2（1+x）（2﹣x）

=﹣2x2+2x+4， 8 / 15 ∴w=﹣2（x﹣0.5）2+4.5

∵﹣2＜0，0＜x≤1，

∴w有最大值，

∴当x=0.5时，w最大=4.5（万元）．

答：当x为0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销售利润是4.5万元．

11．【答案】解：将x=1，y=2代入y=x2﹣x+c得：2=1﹣1+c，即c=2，

则二次函数解析式为y=x2﹣x+2；

∵y=x2﹣x+2=（x﹣ 12 ）2+ 74 ，

∴抛物线顶点坐标为（ 12 ， 74 ）

12．【答案】解：设二次函数为y=a(x-1)2-4(a≠0)，

代入（0，-3）得-3= a(0-1)2-4

解得a=1

∴二次函数为y= (x-1)2-4.

13．【答案】解:∵抛物线的对称轴为 2x ,

∴可设抛物线的解析式为 2(2)yaxb

把 (3,2) , (0,1) 代入解析式得 2232=202=1abab ，

解得 1a , 3b ,

∴所求抛物线的解析式为 2(2)3yx

14．【答案】解：（1）在y=﹣x+3中，

令x=0，得y=3；令y=0，得x=3，

∴A（0，3），C（3，0）．

∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，

∴3930cbc，

解得23bc，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，

当x=2时，y=﹣22+2×2+3=3，