实用标准文案
文档 A
B
C M1
M2 M3
在几何中，平行四边形的判定方法有如下几条：①两组对边互相平行；②两组对边分别相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分；⑤两组对角相等。在压轴题中，往往与函数（坐标轴）结合在一起，运用到④⑤的情况较少，更多的是从边的平行、相等角度来得到平行四边形。
1、 知识内容：
已知三点后，其实已经固定了一个三角形（平行四边形的一半），如图△ABC．第四个点M则有3种取法，过3个顶点作对边的平行线且取相等长度即可（如图中3个M点）．
2、 解题思路：
（1） 根据题目条件，求出已知3个点的坐标； 平行四边形的存在性问题
知识结构
知识精讲 模块一：已知三点的平行四边形问题 知识概述 平行四边形的存在性问题 已知三点的平行四边形问题
存在动边的平行四边形问题 实用标准文案
文档 （2） 用一点及其对边两点的关系，求出一个可能点；
（3） 更换顶点，求出所有可能的点；
（4） 根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．
【例1】 如图，抛物线y＝x2＋bx－c经过直线y＝x－3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S△APC︰S△ACD＝5︰4的点P的坐标；
（3）点M为平面直角坐标系上一点，写出使点M、A、B、D为平行四边形的点M的坐标．
例题解析 实用标准文案
文档 【例2】 如图，已知抛物线y＝ax2＋3ax＋c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的坐标为(1, 0)，tan∠OBC＝3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形，若存在，写出点P的坐标；
（3）抛物线的对称轴与AC交于点Q，说明以Q为圆心，以OQ为半径的圆与直线BC的关系．
类型一 线段、周长最值问题
1. 如图，抛物线y＝－x2－2x＋3交x轴于A，C两点(点A在C的左边)，抛物线交y轴于点B，点D是抛物线的顶点．
(1)求线段AB的长；
(2)点P是直线AB上方的抛物线上一点(不与A，B重合)，过点P作x轴的垂线，交x轴于点H，交直线AB于点F，作PG⊥AB于点G，求出△PFG周长的最大值；
2. 已知二次函数y＝x2－x－2的图象和x轴相交于点A、B，与y轴交于点C，过直线BC的下方抛物线上一动点P作PQ∥AC交线段BC于点Q，再过P作PE⊥x轴于点E，交BC于点D.
(1)求直线AC的解析式；
(2)求△PQD周长的最大值；
(3)当△PQD的周长最大值时，在y轴上有两个动点M、N(M在N的上方)，若MN＝1，求PN＋MN＋AM的最小值．
第2题图
3. (2017重庆大渡口二模)如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于H.
(1)求A、B两点的坐标；
(2)设点P在x轴下方的抛物线上，当∠ABP＝∠CDB时，求出点P的坐标；
(3)以OB为边在第四象限内作等边△OBM，设点E为x 轴正半轴上一动点(OE>OH)，连接ME，把线段ME绕点M旋转60°得MF，求线段DF的长的最小值．
第3题图
4. (2017遵义改编)如图，抛物线y＝ax2＋bx－a－b(a<0，a、b为常数)与x轴交于A、C
成都市东湖中学九年级数学 北师大版 九年级（上） 导练案
1
成都市东湖中学九上数学《二次函数专题之与圆综合问题》专练
1.如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，已知点A（﹣，0），点C（0，3），点B是x轴上一点（位于点A的右侧），以AB为直径的圆恰好经过点C．
（1）求∠ACB的度数；
（2）已知抛物线y=ax2+bx+3经过A、B两点，求抛物线的解析式；
（3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
成都市东湖中学九年级数学 北师大版 九年级（上） 导练案
2
2.如图，y关于x的二次函数y=﹣（x+m）（x﹣3m）图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点．以AB为直径作圆，圆心为C．定点E的坐标为（﹣3，0），连接ED．（m＞0）
（1）写出A、B、D三点的坐标；
（2）当m为何值时M点在直线ED上？判定此时直线与圆的位置关系；
（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图．
成都市东湖中学九年级数学 北师大版 九年级（上） 导练案
3
3.已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标；
（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．
成都市东湖中学九年级数学 北师大版 九年级（上） 导练案
4
4.如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（﹣3，0），B（﹣1，0），与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．
二次函数的综合应用
二次函数的实际应用
（1）增长率问题
一月
a
增长率为 x 二月
a(1+x) 增长率为 x 三月
a(1+x)2
（2）利润问题
在这个模型中，利润=（售价-成本）×销量
（3）面积问题
矩形面积=长×宽
材料总长
a 矩形长
x 矩形宽
1 a 2 x 2
题型一 二次函数的应用—销售问题
例 7.某公司投资销售一种进价为每件 15 元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量 y（件
) 与销售单价 x （元 ) 之间的关系可近似的看作一次函数： y 20x 800 ，在销售过程中销
售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60% ．
（1）设该公司每月获得利润为 w （元 ) ，求每月获得利润 w （元 ) 与销售单价 x （元 ) 之间
的函数关系式，并确定自变量 x 的取值范围．
（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？
【思路点拨】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利
润＝（定价﹣进价）×销售量，从而列出关系式；
（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；
【答案与解析】解：（1）由题意，得：w＝（x﹣15）•y＝（x﹣15）•（﹣20x+800）＝﹣20x2+1100x
﹣12000，
即 w＝﹣20x2+1100x﹣12000（15≤x≤24）；
（2）对于函数 w＝﹣20x2+1100x﹣12000（15≤x≤24）的图象的对称轴是直线 x＝27.5
又∵a＝﹣20＜0，抛物线开口向下．
∴当 15≤x≤24 时，W 随着 x 的增大而增大， x
∴当 x＝24 时，W＝2880，
答：当销售单价定为 24 元时，每月可获得最大利润，最大利润是 2880 元．
变式训练 1.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20 件，每件盈利 40 元．为了扩大销售，
