中考数学题型专项训练：二次函数与线段问题(含答案)
- 格式：docx
- 大小：38.28 KB
- 文档页数：7
中考数学题型专项训练：二次函数与线段问题(含答案)
已知抛物线经过三点A(－1,0)、B(3,0)、C(0,－3)。
Ⅰ)求抛物线的解析式及其顶点D的坐标。
解：设抛物线解析式为y=ax^2+bx+c，代入三点坐标得到三元一次方程组，解得a=1，b=-2，c=-3，即抛物线解析式为y=x^2-2x-3.将其化简得到顶点D的坐标为(1,-4)。
Ⅱ)直线CD交x轴于点E，过抛物线上在对称轴右边的点P，作y轴的平行线交x轴于点F，交直线CD于点M，使PM=EF，请求出点P的坐标。
解：根据题意，可以列出直线CD的解析式为y=-x-3，交点E的坐标为(-3,0)。过对称轴右边的点P作抛物线的切线，切点为T，则PT垂直于对称轴，即PT与x轴平行，所以P的坐标为(t,t^2-2t-3)，其中t>1.设M的坐标为(t,-t-3)，F的坐标为(t,0)，则根据题意可以列出EF=PM，解得t=2，因此点P的坐标为(2,-3)。
Ⅲ)将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与(Ⅱ)中的线段EM总有交点，那么抛物线向上最多平移多少个单位长度？向下最多平移多少个单位长度？ 解：将抛物线沿对称轴平移m个单位长度后，其解析式为y=x^2-2x-3+m。要使其与直线CD有交点，需要方程x^2-2x-3+m=-x-3有两个相等的实数解，即m=1/4.此时抛物线经过点M(2,-5)。抛物线向上最多平移1/4个单位长度，向下最多平移12个单位长度。
Ⅱ)由已知直线方程可得斜率为k，截距为b，设直线与抛物线的交点为点P(x,y)，则有：
y=-x^2-x+1
y=kx+b
解得x=-(k+1)/(2k)，y=kx+b
代入抛物线方程得：-(k+1)^2/(4k^2)-(k+1)/(2k)+1=k(-(k+1)/(2k))+b
整理得：k^2+2k+1=0，即(k+1)^2=0
因为k≠0，所以k=-1，代入直线方程得b=1
综上，k=-1，b=1
Ⅲ)如解图，由于直线与抛物线没有其他交点，所以直线在抛物线的上方或下方，不妨设直线在抛物线上方，即k<0.
设DH的长度为x，PH的长度为y，则有PH+DH=x-y，要求PH+DH的最小值，就是要求x-y的最小值，即x=y。 设P点坐标为(x,-x^2-x+1)，则DH的方程为x=-1/2，抛物线的对称轴为x=-1/2，所以点D的横坐标为-1/2，纵坐标为-1/4.
由于PH垂直于直线，所以PH的斜率为1/k，即PH的方程为y=-x/k+b/k，将P点代入得PH的方程为y=-x/k+1/k-x^2-x+1/k。
将PH与抛物线相交，得x^2+(1/k-1)x+1/k-1=0，解得x=1/2-1/(2k)或x=-1-1/k。
当x=1/2-1/(2k)时，PH的长度为(1/k-1)/(2k)，DH的长度为1/4+1/(4k)，PH+DH的长度为1/4+1/k。
当x=-1-1/k时，PH的长度为(1/k+1)/(2k)，DH的长度为1/4-1/(4k)，PH+DH的长度为1/4+1/k。
综上所述，当x=1/2-1/(2k)时，PH+DH的最小值为1/4+1/k，此时P的坐标为(1/2-1/(2k),-1/4-1/(2k)-1/2)。
因此MB+MC=2MC，要使MB+MC最小，就要使MC最小。
抛物线的对称轴为x=-1，因此点M的横坐标为-1.
设点M的纵坐标为y，则点M的坐标为(-1,y)。
由于抛物线经过点B(0,3)和C(1,0)，可列出以下两个方程：
3=a*0^2+b*0+c=c 0=a*1^2+b*1+c=a+b+c
代入抛物线的解析式，得到c=3，b=-2，a=-1.
因此，抛物线的解析式为y=-x^2-2x+3.
将点M的坐标代入抛物线的解析式，得到MC的长度为√(y^2+4y+5)。
要使MC最小，就要使y^2+4y+5最小，即y=-2.
因此，点M的坐标为(-1,-2)，MB+MC的最小值为2√5.
Ⅲ)如解图②，连接BC和QP，设点P、Q的横坐标为x，则点P、Q的纵坐标分别为m-(x+1)^2和m+2-(x+1)^2.
由于四边形CBQP周长最小时，可知线段BC与线段PQ平行。
因此，CB的斜率等于PQ的斜率，即-a=-(m-(x+1)^2-(m+2-(x+1)^2))/(x-1)。
化简得到x^2-2x+m-1=0，解得x=1±√(2-m)。
因为点P、Q在对称轴上，所以它们的横坐标的平均值为-1.
因此，-1=(1+√(2-m)+1-√(2-m))/2，解得m=1.
代入得到点P的坐标为(1-√2.-1)或(1+√2.-1)，点Q的坐标为(1-√2.1)或(1+√2.3)。
计算四边形CBQP的周长，得到最小值为2(√5+√2)。 由点B(3,0)和D(0,3)可得
k=－1。
直线BD的解析式为y=－x＋3.
Ⅱ)设点P的坐标为(x,y)。
则点M的坐标为(x,－x2＋2x＋3)。
线段PM的长度为√[(x－x)2＋(－x2＋2x＋3－y)2]=√(x2＋(x－2)2＋(y－3)2)。
当点P在第一象限时,即x>0且y>0。
由均值不等式可得
x2＋(x－2)2＋(y－3)2≥(2√2)2。
即x2＋(x－2)2＋(y－3)2≥8。
所以线段PM的长度的最大值为2√2.
Ⅲ)设点Q的坐标为(x,y)。
则由题意可得
y=－x2＋2x＋3。
BD的斜率为－1。
所以BD的解析式为y=－x＋3。
点Q到直线BD的距离为22。
所以有
x＋3x2－2x＋3|/√2=2。 即|x2－x＋1|=√2。
由于x2－x＋1的最小值为3/4。
所以不存在异于B,D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为22.
剔除格式错误：
无
无
改写每段话：
Ⅰ)通过代入点坐标解出直线BD的解析式为y=－x＋3.
Ⅱ)设点P的横坐标为m(0＜m＜3)，则点P的坐标为(m,－m＋3)，点M的坐标为(m,－m2＋2m＋3)。根据勾股定理，求出PM的长度为|－m2＋3m|/√10.当m=3/2时，PM取最大值，最大值为3√2/2.
Ⅲ)过点Q作QG∥y轴交BD于点G，作QH⊥BD交BD于点H。设点Q的坐标为(x,－x2＋2x＋3)，则点G的坐标为(x,－x＋3)。根据勾股定理，求出QG的长度为|－x2＋3x|。由等腰三角形的性质可得∠3=45°，因此∠2=∠1=45°。根据正弦函数的定义，求出sin∠1=1/√2.综合以上信息，可得QG的长度为4.解方程|－x2＋3x|=4，得到两个解x=－1和x=4.因此，满足条件的点Q的坐标为(－1,0)或(4,－5)。求出QH的长度为3/2和25/2.
