九年级下1.5三角函数的应用

1.5 三角函数的应用1．通过生活中的实际问题体会锐角三角函数在解决问题过程中的作用；(重点) 2．能够建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．(难点) 一、情境导入 为倡导“低碳生活”，人们常选择自行车作为代步工具，图①所示的是一辆自行车的实物图．图②是这辆自行车的部分几何示意图，其中车架档AC 与CD 的长分别为45cm 和60cm ，且它们互相垂直，座杆CE 的长为20cm.点A 、C 、E 在同一条直线上，且∠CAB ＝75°.你能求出车架档AD 的长吗？ 二、合作探究探究点：三角函数的应用【类型一】 利用方向角解决问题某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A 测得某岛C 在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B ，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁． (1)试说明点B 是否在暗礁区域外； (2)若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由．解析：(1)求点B 是否在暗礁区域内，其实就是求CB 的距离是否大于16，如果大于则不在暗礁区域内，反之则在．可通过构造直角三角形来求CB 的长，作CD ⊥AB 于D 点，CD 是Rt △ACD 和Rt △CBD 的公共直角边，可先求出CD 的长，再求出CB 的长；(2)本题实际上是问C 到AB 的距离即CD 是否大于16，如果大于则无触礁危险，反之则有，CD 的值在第(1)问已经求出，只要进行比较即可．解：(1)作CD ⊥AB 于D 点，设BC ＝x ，在Rt △BCD 中，∠CBD ＝60°，∴BD ＝12x ，CD ＝32x .在Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°，tan ∠CAD ＝CD AD ＝33，∴32x 18＋12x＝33.∴x ＝18.∵18>16，∴点B 是在暗礁区域外；(2)∵CD ＝32x ＝93，93＜16，∴若继续向东航行船有触礁的危险．方法总结：解决本题的关键是将实际问题转化为直角三角形的问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题【类型二】利用仰角和俯角解决问题某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”时，组织开展测量物体高度的实践活动．在活动中，某小组为了测量校园内①号楼AB 的高度(如图)，站在②号楼的C 处，测得①号楼顶部A 处的仰角α＝30°，底部B 处的俯角β＝45°.已知两幢楼的水平距离BD为18米，求①号楼AB的高度(结果保留根号)．解析：根据在Rt△BCE中，tan∠BCE＝BECE，求出BE的值，再根据在Rt△ACE中，tan∠ACE＝AECE，求出AE的值，最后根据AB＝AE＋BE，即可求出答案．解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，CE⊥AB，∴四边形CDBE是矩形，∴CE＝BD＝18米．在Rt△BEC中，∵∠ECB＝45°，∴EB＝CE＝18米．在Rt△AEC中，∵tan∠ACE＝AECE，∴AE＝CE·tan∠ACE＝18×tan30°＝63(米)，∴AB＝AE＋EB＝18＋63(米)．所以，①号楼AB的高为(18＋63)米．方法总结：解决本题的关键是结合仰角、俯角构造直角三角形，然后再解直角三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题【类型三】求河的宽度根据网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A、B两点，小张为了测量A、B之间的河宽，在垂直于新大桥AB的直线型道路l上测得如下数据：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝82米．求AB的长(精确到0.1米，参考数据：sin76.1°≈0.97，cos76.1°≈0.24，tan76.1°≈4.0，sin68.2°≈0.93，cos68.2°≈0.37，tan68.2°≈2.5)．解析：设AD＝x m，则AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，根据三角函数得到AB＝2.5(x＋82)m，在Rt△ABD中，根据三角函数得到AB＝4x，依此得到关于x的方程，进一步即可求解．解：设AD＝x m，则AC＝(x＋82)m.在Rt△ABC中，tan∠BCA＝ABAC，∴AB＝AC·tan∠BCA＝2.5(x＋82)．在Rt△ABD中，tan∠BDA＝ABAD，∴AB＝AD·tan∠BDA＝4x，∴2.5(x＋82)＝4x，解得x＝4103.∴AB＝4x＝4×4103≈546.7m.所以，AB的长约为546.7m.方法总结：解题的关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或宽度．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题【类型四】仰角、俯角和坡度的综合应用如图，小丽假期在娱乐场游玩时，想要利用所学的数学知识测量某个娱乐场地所在山坡AE的长度．她先在山脚下点E处测得山顶A的仰角是30°，然后，她沿着坡度是i＝1∶1(即tan∠CED＝1)的斜坡步行15分钟抵达C处，此时，测得A点的俯角是15°.已知小丽的步行速度是18米/分，图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上．求出娱乐场地所在山坡AE的长度(参考数据：2≈1.41，结果精确到0.1米)．解析：作辅助线EF⊥AC于点F，根据速度乘以时间得出CE的长度，通过坡度得到∠ECF＝30°，通过平角减去其他角从而得到∠AEF＝45°，即可求出AE的长度．解：作EF⊥AC于点F，根据题意，得CE＝18×15＝270(米)．∵tan∠CED＝1，∴∠CED＝∠DCE＝45°.∵∠ECF ＝90°－45°－15°＝30°，∴EF ＝12CE ＝135米．∵∠CEF ＝60°，∠AEB ＝30°，∴∠AEF ＝180°－45°－60°－30°＝45°，∴AE ＝2EF ＝1352≈190.4(米)．所以，娱乐场地所在山坡AE 的长度约为190.4米．方法总结：解决本题的关键是能借助仰角、俯角和坡度构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．三、板书设计三角函数的应用1．方向角的概念2．三角函数的实际应用本节课尽可能站在学生的角度上思考问题，设计好教学的每一个细节，上课前多揣摩．让学生更多地参与到课堂的教学过程中，让学生体验思考的过程，体验成功的喜悦和失败的挫折，把课堂让给学生，让学生做课堂这个小小舞台的主角．教师尽最大可能在课堂上投入更多的情感因素，丰富课堂语言，使课堂更加鲜活，充满人性魅力，下课后多反思，做好反馈工作，不断总结得失，不断进步．只有这样，才能真正提高课堂教学效率.。

北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第1.5节《三角函数的应用》主要介绍了正弦、余弦函数在实际问题中的应用。

通过本节课的学习，使学生了解三角函数在实际生活中的重要性，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本知识，对正弦、余弦函数有一定的了解。

但学生在应用三角函数解决实际问题方面还比较薄弱，需要通过本节课的学习，提高学生运用三角函数解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.使学生掌握正弦、余弦函数在实际问题中的应用。

2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3.提高学生对三角函数的兴趣，培养学生的创新意识。

四. 教学重难点1.重点：正弦、余弦函数在实际问题中的应用。

2.难点：如何运用三角函数解决实际问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究三角函数在实际问题中的应用。

2.利用案例分析法，分析实际问题中三角函数的运用。

3.采用小组合作讨论法，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例。

2.准备三角函数的图像和公式。

3.准备投影仪和教学课件。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用投影仪展示一些实际问题，如测量高度、角度等，引导学生思考如何利用三角函数解决这些问题。

2.呈现（10分钟）呈现三角函数的图像和公式，让学生了解三角函数的基本性质。

同时，结合实际问题案例，讲解如何运用三角函数解决实际问题。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用三角函数进行解决。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）选取几组实际问题，让学生独立解决。

教师及时给予反馈，巩固学生对三角函数应用的掌握。

5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将三角函数应用于其他领域，如工程、物理等。

让学生举例说明，培养学生的创新意识。

6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调三角函数在实际问题中的应用。

第5节三角函数的应用1.经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用.2.能够把实际问题转化为数学问题,能够借助计算器进行有关三角函数的计算,并能对结果的意义进行说明.3.发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.1.从实际问题中提炼出用三角函数解决问题的数学思想.2.进一步感受数形结合思想(方程方法与画图法),力图引导学生从三个例题解答中归纳并建构数学模型思想,即抽象成平面图形(直角三角形)后,再利用三角函数解决问题.1.发展学生的数学应用意识和解决实际问题的能力.2.能将实际问题抽象成数学问题(数学符号或图形).3.让学生在探索活动中相互合作与交流,进一步发展学生的合作交流能力和数学表达能力.【重点】1.经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的作用.2.发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.【难点】灵活将实际问题转化为数学问题,建立数学模型,并选择适当三角函数来解决.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习解直角三角形的相关知识.导入一:课件出示:《盘点1833年以来重大海难》2015年6月1日约21时28分,一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”号在长江中游沉没.出事船舶载客458人,其中内宾406人、旅行社随行工作人员5人、船员47人.仅14人生还.历史上的海难事件非常多,最著名的海难事件应属1912年的泰坦尼克号沉没,但实际上,遇难人数远超泰坦尼克号的遇难船只并不罕见.在这一统计所含的75起海难中,遇难人数超过1000人的共有18起.随着时间的推移,因袭击所致的海难逐渐减少.但21世纪以来,海难仍时有发生,如:2014年韩国“岁月号”客轮,2008年菲律宾“群星公主号”客轮,2006年埃及客轮“萨拉姆98号”,2002年的塞内加尔“乔拉号”等船只遇难都造成了巨大的人员伤亡.【引入】今天我们就探究与轮船航行有关的知识.[设计意图]通过对历史上海难事件的了解,使学生对本节课所要探究的知识有一个初步了解,在揭示本课主题的同时,也对学生进行了安全教育,一举两得.导入二:课件出示:多媒体播放:《泰坦尼克号》3D版预告片视频.音频介绍:泰坦尼克号(RMS Titanic)是一艘奥林匹克级游轮,由位于北爱尔兰贝尔法斯特的哈兰·沃尔夫船厂兴建,是当时最大、最豪华的客运轮船.在泰坦尼克号的处女航中,因为船长的大意、舵手没有能够分清方向、没有准确计算距离等人为错误,于1912年4月14日船上时间夜里11点40分撞上冰山,2小时40分钟后,船分裂成两半后沉入大西洋.泰坦尼克号海难为和平时期死伤人数(船上2208名船员和旅客中,只有705人生还)最惨重的海难之一,同时也是最广为人知的海上事故之一.【引入】如果你是船长,怎样才能利用我们所学的知识躲开冰山,进而避免像泰坦尼克号这样的灾难发生呢?[设计意图]通过一段视频,进行音乐与3D影片的欣赏,让学生有一些听觉与视觉的冲击,感受现代科技手段为影片带来的美感,感受生活是美的,我们的身边处处都是美,树立对美的追求.课件出示:如图所示,海中有一个小岛A,该岛四周10n mile内有暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A 岛南偏西55°的B处,往东行驶20n mile后到达该岛的南偏西25°的C处.之后,货轮继续往东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗你是怎样想的?与同伴进行交流.师引导学生思考:问题1货轮要向正东方向继续行驶,有没有触礁的危险是由什么决定的?【学生活动】学生分组讨论,统一答案:根据题意知小岛四周10n mile内有暗礁,那么货轮继续向东航行,如果到A的最短距离大于10n mile,则无触礁的危险,如果小于10n mile,则有触礁的危险.过A作AD⊥BC,D为垂足,A到BC所在直线的距离为即为AD的长度.我们需根据题意计算出AD 的长度,然后与10n mile比较.问题2如何利用已知条件求出AD的长度呢?【学生活动】先独立思考,然后小组交流,统一想法,代表发言:在Rt△ADB和Rt△ADC中,AD是它们的公共直角边,而且BC是这两个直角三角形中直角边BD与CD的差,即BC=BD-CD,BD与CD的对角是已知的,可以利用两个直角三角形的三角函数分别表示出BD 和CD,即在Rt△ADB中,tan55°=,BD=AD tan55°.在Rt△ADC中,tan25°=,CD=AD tan25°.这样可以列出关于AD的一元一次方程,即AD tan55°-AD tan25°=20.【教师点评】在我们解决数学问题时,很多地方都会用到方程,因此方程思想是我们初中数学中最重要的数学思想之一.【师生活动】学生独立解答,师巡视,对有困难的学生给予及时帮助,代表板演展示,师生共同订正,规范学生的解题过程.解:过A作BC的垂线,交BC于点D.在Rt△ABD中,易知tan55°=,∴BD=AD tan55°.在Rt△ACD中,易知tan25°=,∴CD=AD tan25°.设AD=x,则BD=tan55°x,CD=tan25°x.∵BC=BD-CD,∴tan55°x-tan25°x=20,解得x=≈20.79,即AD≈20.79n mile.∵20.79>10,∴货轮没有触礁的危险.【讨论】此题的其他解法.【学生活动】分组相互讨论、交流,各组组长展示本组的解题方法,师生共同探讨其方法的可行性,统一做法,代表板演:解:设CD=x,则BD=x+20.在Rt△ACD中,tan25°=,∴AD=.在Rt△ABD中,tan55°=,∴BD=AD tan55°=·tan55°.∴x+20=·tan55°,∴x=≈9.70,∴AD=≈20.79(n mile).∵20.79>10,∴货轮没有触礁的危险.[设计意图]在“货轮有触礁的危险吗?”的探讨过程中,学生入手感到困难,所以精心设计了一系列问题,将难点分解,逐步引导学生总结出应用数学知识解决实际问题的一般步骤,进一步培养了学生的探究、归纳能力和解决实际问题的能力.[知识拓展]应用三角函数知识解决实际问题的步骤:(1)根据题意,画出示意图,将实际问题转化为数学问题;(2)用三角函数和方程的思想解决关于直角三角形的问题;(3)解释结果的合理性.二、利用仰角和俯角解决实际问题课件展示:【想一想】如图所示,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1m)教师引导学生思考并回答:1.在这个图中,仰角为30°、仰角为60°分别指哪两个角?2.此题的示意图和“船触礁”问题的示意图一样吗?它们有什么共同点?【学生活动】1.学生分析题目中的两个仰角的对应情况,并相互订正.得出结论:∠DAC=30°,∠DBC=60°.2.两题的示意图都含有两个直角三角形,所以解答方法类似.【教师活动】要求学生类比“船触礁”问题的解答方法,对本题进行解答.【师生活动】学生思考后,独立完成,然后与同伴交流,代表展示,师生共同订正.解:在Rt△ACD中,tan30°=,即AC=.在Rt△BCD中,tan60°=,即BC=.由AB=AC-BC=50,得-=50,解得CD≈43,即塔CD的高度约为43m.[知识拓展]在“测量塔高”的问题中,小明的身高忽略不计,而在实际测量时,应该考虑小明的身高,更准确一点应考虑小明在测量时,眼睛离地面的距离.如果小明测量时,眼睛离地面的距离为1.6m,其他数据不变,此时塔的高度为多少?你能画出示意图吗?【师生活动】引导学生画出示意图后,由学生自己解答.【学生活动】口述解答过程:如图所示,由前面的解答过程可知CD≈43m,则C'D≈43+1.6=44.6(m),即如果考虑小明的高度,塔的高度约为44.6m.[设计意图]直角三角形的边角关系在航海、工程测量等问题中有着广泛应用,通过“测量塔高”的问题进一步让学生巩固如何用直角三角形的边角关系解决实际问题,提高学生的建模、转化能力,通过问题的变式训练让学生了解更贴近实际生活的数学问题,也为第6节“利用三角函数测高”打下了铺垫.三、利用倾斜角解决实际问题课件展示:【做一做】某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾斜角由40°减至35°,已知原楼梯长为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m)【教师活动】要求学生根据题意,画出示意图,将这个实际问题转化成数学问题,并进行解答.【学生活动】先独立完成,然后相互交流,讨论各自的想法.【师生活动】师生共同画出示意图:代表展示解题过程:解:如图所示,在Rt△ABC中,sin40°=,∵AC=4m,∴AB=4sin40°m,原楼梯占地长BC=4cos40°m.调整后,在Rt△ADB中,sin35°=,则AD==(m),楼梯占地长DB=m,∴调整后楼梯加长:AD-AC=-4≈0.48(m).楼梯比原来多占地面:DC=DB-BC=-4cos40°≈0.61(m).【教师点评】本节课所探究的内容是从实际问题中抽象出的数学模型——双直角三角形.[设计意图]本环节的难点在于是否能利用掌握的“双直角三角形”模型,借助方程思想解决问题.处理这个环节时,要给学生充分思考的时间和空间,发挥学生潜在的能力,通过小组合作交流,完善自己的想法,并在教师的指导下,规范地表述思考过程.[知识拓展]形如“双直角三角形”的图形的解题规律:设∠C=α,∠ADB=β,CD=a.1.非特殊角的组合(α和β组合):AB=a.2.特殊角的组合(α和β组合):(1)30°与60°组合:AB=a.(2)30°与45°组合:AB=a.(3)45°与60°组合:AB=a.1.三角函数的应用2.两个转化:(1)是把实际问题的图形转化为数学图形;(2)是把已知条件转化为数学图形中的边角关系.1.渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上,渔船向正东方向航行了12n mile到达B处,在B处看到灯塔C在正北方向上,这时渔船与灯塔C的距离是()A.6n mileB.8n mileC.2n mileD.4n mile解析:由已知得∠BAC=90°-60°=30°,在直角三角形ABC中,BC=AB·tan30°=12×=4(n mile).故选D.2.如图所示,为测量某物体AB的高度,在D点测得A点的仰角为30°,朝物体AB方向前进20m,到达点C,再次测得点A的仰角为60°,则物体AB的高度为()A.10mB.10mC.20mD.m解析:∵在直角三角形ADB中,∠D=30°,∴BD==AB.∵在直角三角形ABC中,∠ACB=60°,∴BC==AB.∵CD=20,∴CD=BD-BC=AB-AB=20,解得AB=10.故选A.3.长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角,作业时调整为60°角(如图所示),则梯子的顶端沿墙面升高了m.解析:由题意知调整前梯高为4·sin45°=4×=2(m),调整后梯高为4·sin60°=4×=2(m),∴梯子升高了2(-)m.故填2(-).4.如图所示,在小山的东侧A点有一个热气球,由于受西风的影响,以30m/min的速度沿与地面成75°角的方向飞行,25min后到达C处,此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°,则小山东西两侧A,B两点间的距离为m.解析:过点A作AD⊥BC,垂足为D,在Rt△ACD中,∠ACD=75°-30°=45°,AC=30×25=750(m),∴AD=AC·sin45°=375(m).在Rt△ABD中,易知∠B=30°,∴AB=2AD=750(m).故填750.5.小亮一家在一湖泊中游玩,湖泊中有一孤岛,妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船(如下左图所示).小船从P处出发,沿北偏东60°方向划行200m到A处,接着向正南方向划行一段时间到B处.在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37°的方向上,这时小亮与妈妈相距多远(精确到1m)?(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,≈1.41,≈1.73)解:过点P作PC⊥AB于C,如上右图所示,在Rt△APC中,AP=200m,∠ACP=90°,∠PAC=60°,∴PC=200×sin60°=200×=100.∵在Rt△PBC中,sin37°=,∴PB=≈≈288(m).答:小亮与妈妈相距约288m.5三角函数的应用1.三角函数的应用2.两个转化:(1)是把实际问题的图形转化为数学图形;(2)是把已知条件转化为数学图形中的边角关系.3.一个构造:若原图形不是直角三角形,可添加辅助线构造直角三角形.一、教材作业【必做题】1.教材第20页随堂练习第1,2题.2.教材第21页习题1.6第1,2题.【选做题】教材第21页习题1.6第3,4题.二、课后作业【基础巩固】1.(2015·哈尔滨中考)如图所示,某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C,此时飞行高度AC=1200m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角α=30°,则飞机A与指挥台B的距离为()A.1200mB.1200mC.1200mD.2400m2.(2014·苏州中考)如图所示,港口A在观测站O的正东方向,OA=4km,某船从港口A出发,沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船航行的距离(即AB的长)为()A.4kmB.2kmC.2kmD.(+1)km3.如图所示,小明为了测量河宽AB,先在BA延长线上取一点D,再在同岸取一点C,测得∠CAD=60°,∠BCA=30°,AC=15m,那么河AB宽为m.4.如图所示,在东西方向的海岸线上有A,B两个港口,甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4nmile/h的速度匀速航行,同时乙货船从B港沿西北方向匀速航行,2h后两货船相遇在点P处,则乙货船每小时航行n mile(用根号表示).【能力提升】5.(2015·泰安中考)如图所示,轮船从B处以每小时60n mile的速度沿南偏东20°方向匀速航行,在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上,轮船航行40分钟到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上,则C处与灯塔A的距离是()A.20n mileB.40n mileC.n mileD.n mile6.如图所示,路边路灯的灯柱BC垂直于地面,灯杆BA的长为2m,灯杆与灯柱BC成120度角,锥形灯罩轴线AD与灯杆AB垂直,且灯罩轴线AD正过道路路面的中心线(D在中心线上),已知点C与D点之间的距离为12m,则BC的高是m.7.如图所示的是某滑板爱好者训练时的斜坡示意图,出于安全因素考虑,决定将训练的斜坡的倾角由45°降为30°,已知原斜坡坡面AB的长为5m,点D,B,C在同一水平地面上.(1)改善后斜坡坡面AD比原斜坡坡面AB加长多少米?(精确到0.01m)(2)若斜坡的正前方能有3m长的空地就能保证安全,已知原斜坡AB的前方有6m长的空地,进行这样的改造是否可行?说明理由.8.(2014·南充中考)马航MH370失联后,我国政府积极参与搜救.某日,我国两艘专业救助船A,B同时收到有关可疑漂浮物的讯息,可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.50°方向上,在救助船B的西北方向上,船B在船A正东方向140n mile处.(参考数据:sin36.5°≈0.6,cos36.5°≈0.8,tan 36.5°≈0.75)(1)求可疑漂浮物P到A,B两船所在直线的距离;(2)若救助船A和救助船B分别以40n mile/h,30n mile/h的速度同时出发,匀速直线前往搜救,试通过计算判断哪艘船先到达P处.【拓展探究】9.如图所示,某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为60°,再沿山坡向上走到P处测得该建筑物顶点A的仰角为45°.已知BC=90m,且B,C,D在同一条直线上,山坡坡度为(即tan∠PCD=).(1)求该建筑物的高度(即AB的长);(2)求此人所在位置点P的铅直高度.(测量角度的仪器的高度忽略不计,结果保留根号形式)【答案与解析】1.D(解析:易知∠ABC=∠α=30°,∴AB===2400(m),即飞机A与指挥台B的距离为2400m.故选D.)2.C(解析:过点A作AD⊥OB于D.在Rt△AOD中,易知∠ADO=90°,∠AOD=90°-60°=30°,OA=4,∴AD=OA=2.在Rt△ABD中,易知∠ADB=90°,∠B=∠CAB-∠AOB=(90°-15°)-30°=75°-30°=45°,∴BD=AD=2,∴AB=AD=2.即该船航行的距离(即AB的长)为2km.故选C.)3.15(解析:过C作CE⊥AB,在Rt△ACE中,∵∠CAD=60°,AC=15m,∴∠ACE=30°,AE=AC=×15=7.5(m),CE=AC·cos30°=15×=(m).∵∠BCA=30°,∠ACE=30°,∴∠BCE=60°,∴BE=CE·tan60°=×=22.5(m),∴AB=BE-AE=22.5-7.5=15(m).故填15.)4.2(解析:如图所示,过点P作PC⊥AB于点C,∵甲货船从A港沿北偏东60°的方向以4n mile/h的速度航行,∴∠PAC=90°-60°=30°,AP=4×2=8,∴PC=AP×sin30°=8×=4.∵乙货船从B港沿西北方向匀速航行,∴∠PBC=45°,∴PB=PC÷sin45°=4÷=4,∴乙货船每小时航行4÷2=2(n mile).故填2.)5.D(解析:如图所示,作AM⊥BC于M.由题意得∠DBC=20°,∠DBA=50°,BC=60×=40(n mile),∠NCA=10°,则∠ABC=∠ABD-∠CBD=50°-20°=30°.∵BD∥CN,∴∠BCN=∠DBC=20°,∴∠ACB=∠ACN+∠BCN=10°+20°=30°,∴∠ACB=∠ABC=30°,∴AB=AC,∵AM⊥BC,∴CM=BC=20(n mile).在直角三角形ACM中,∵∠AMC=90°,∠ACM=30°,∴AC===(n mile).故选D.)6.12-4(解析:设灯柱BC的长为h m,作AH⊥CD于点H,作BE⊥AH于点E.∴四边形BCHE为矩形.∵∠ABC=120°,∴∠ABE=30°.又∵∠BAD=∠BCD=90°,∴∠ADC=60°.在Rt△AEB中,AE=AB sin30°=1,BE=AB cos30°=,∴CH=.又∵CD=12,∴DH=12-.在Rt△AHD中,tan∠ADH===,解得h=12-4.故填12-4.)7.解:(1)在Rt△ABC中,BC=AC=AB·sin45°=(m),在Rt△ADC中,AD==5(m),CD==(m),∴AD-AB=5-5≈2.07(m).答:改善后的斜坡约加长2.07m.(2)这样改造能行.由(1)可知CD-BC=-≈2.59(m),而6-3>2.59,∴这样改造能行.8.解:(1)过点P作PE⊥AB于点E,如图所示,由题意得∠PAE=90°-53.5°=36.5°,∠PBA=45°,设PE 为x n mile,则BE=PE=x n mile.∵AB=140n mile,∴AE=(140-x)n mile.在Rt△PAE中,=tan∠PAE,即=0.75,解得x=60,∴可疑漂浮物P到A,B两船所在直线的距离为60n mile.(2)由(1)知在Rt△PBE中,PE=60n mile,∠PBE=45°,则BP=PE=60(n mile),B船需要的时间为≈2.83(h).在Rt△PAE中,=sin∠PAE,∴AP=PE÷sin∠PAE≈60÷0.6=100(n mile),∴A船需要的时间为100÷40=2.5(h).∵2.83>2.5,∴A船先到达P处.9.解:(1)由题意可知AB⊥BC,在Rt△ABC中,BC=90m,∠ACB=60°,∴AB=BC·tan60°=90(m),故建筑物的高度为90m.(2)如图所示,过点P作PE⊥BD于E,PF⊥AB于F.∵AB⊥BC于B,∴四边形BEPF是矩形,∴PE=BF,PF=BE.设PE=x m,则BF=PE=x m.∵在Rt△PCE中,tan∠PCD==,∴CE=2x.∵在Rt△PAF中,∠APF=45°,∴AF=AB-BF=90-x,PF=BE=BC+CE=90+2x.又∵AF=PF,∴90-x=90+2x,解得x=30-30.答:此人所在位置点P的铅直高度为(30-30)m.本节课选用的教学素材来源于现实生活,船是否有触礁的危险、小明测塔高、怎样改造楼梯都是学生关注和感兴趣的实例,使学生感受到了数学知识就在身边,与现实世界有着非常密切的联系.这些内容对一部分学生来说会显得轻松自如,但对另外一部分学生来说,他们基础较差,对数学的应用不是那么得心应手,关键是不会合理构造直角三角形,所以在学习时会有些困难.在教学时,注重引导学生在审清题意的基础上,自己(或在老师的引导下)画出示意图,将实际问题转化为数学问题,通过亲身经历数学活动的过程,初步掌握数学建模的方法,然后留时间给学生自主解决问题,并充分发挥小组的合作作用,以合作互助、优势互补的方式突破难点.本节课的知识比较抽象,为了满足学生的认知规律和逻辑思维习惯,在内容设计上有一定的层次性和弹性.此外,在教学过程中,把一个知识对象尽量用多样化的载体予以呈现,体现了知识发展的阶梯.1.学生间差异较大,部分学生跟不上教学节奏,学习较吃力,需要课下加强辅导.2.本节课设计的练习题的题量比较大,有部分学生没有当堂完成.学生对数学建模思想理解得不透彻,再教时应该时刻提醒学生首先要建立数学模型,把实际问题转化为数学问题.随堂练习(教材第20页)1.约7.96m.2.(1)17°8'21″.(2)10182.34m3.习题1.6(教材第21页)1.解:∵sin A===,∴∠A=30°,即斜坡的倾斜角为30°.2.解:如图所示,由题意得∠A=30°,AB=50m,∠CBD=45°.∵CD⊥AD,∴CD=BD.设CD=x m,则BD=x m.在Rt△ADC中,tan A===,∴3x=50+x,∴x=≈68.3(m).3.解:过点A作AE⊥BC于E,∵tan B=,∴BE=≈≈49(mm),由题意知四边形ABCD是等腰梯形,∴BC=AD+2BE≈180+2×49=278(mm).4.33.94n mile.[提示:(解法不唯一)方法1:过点B作AN的垂线,可得BC sin75°-BC cos75°=36×.方法2:过点C作AB的垂线,得出两个特殊直角三角形,再利用∠A=45°,∠B=30°求得BC.]1.运用直角三角形的边角关系解决实际问题的关键是掌握两个转化:实际问题数学问题,已知条件数学图形中的边角关系.2.本节课的图形比较特别,为“双直角三角形”,准确把握此图形的特征是总结其规律的前提条件,熟记“双直角三角形”的规律方法会让学生节省大量的时间,提高解题效率.某船以每小时36n mile的速度向正东方向航行,在点A测得某岛C在北偏东60°方向上,匀速航行半小时后到达点B,测得该岛在北偏东30°方向上,已知该岛周围16n mile内有暗礁.(1)试说明点B是否在暗礁区域外;(2)若继续向东航行有无触礁危险?请说明理由.〔解析〕(1)求点B是否在暗礁区域内,其实就是求CB的距离是否大于16,如果大于则不在暗礁区域内,反之,则在.可通过构造直角三角形来求CB的长,作CD⊥AB于D点,CD是直角三角形ACD和直角三角形CBD的公共直角边,可先求出CD的长,再求出CB的长.(2)本题实际上是求C到AB的距离是否大于16,如果大于则无触礁危险,反之,则有,C到AB的距离在(1)中已经求出,只要进行比较即可.解:(1)如图所示,作CD⊥AB于D点,设BC为x,在Rt△BCD中,∠CBD=90°-30°=60°,∴BD=x,CD=x.在Rt△ACD中,∠CAD=90°-60°=30°,∴tan∠CAD==,由题意可知AB=36×=18(n mile),∴=,解得x=18,∵18>16,∴点B在暗礁区域外.(2)有.理由如下:由(1)可知CD=x=×18=9≈15.6(n mile).∵15.6<16,∴若继续向东航行,船有触礁的危险.。

北师大版九年级数学下册《1.5三角函数的应用》单元检测卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【基础达标】1.如图,下列说法:①B在A的东北方向上,A在B的西南方向;②C在A的东偏北15°方向上;③C 在B的东偏南60°方向上;④B在C的北偏西30°方向上.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.42.如图,从热气球C上测定建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°,如果这时气球的高度CD 为150米,且点A、D、B在同一直线上,那么建筑物A、B间的距离为()A.150√3米B.180√3米C.200√3米D.220√3米的山坡上植树,要想保证水平株距为5 m,则相邻两株树植树地点的高度差应3.小明要在坡度为35为m.4.有一拦水坝的横断面是等腰梯形,它的上底长为6米,下底长为10米,高为2√3米,那么此拦水坝斜坡的坡度为√3,坡角为.【能力巩固】5.在一次夏令营活动中,小霞同学从营地A点出发,要到距离A点1000 m的C地去,先沿北偏东70°方向到达B地,然后再沿北偏西20°方向走了500 m到达目的地C,此时小霞在营地A的()A.北偏东20°方向上B.北偏东30°方向上C.北偏东40°方向上D.北偏西30°方向上6.如图,自建筑物AB的顶部A测量铁塔CD的高度,若测得塔顶C的仰角为α,塔底D的俯角为β,建筑物与铁塔的距离BD=m(测量仪器的高度忽略不计),则铁塔的高度可表示为()A.mtan(α+β)B.m(tan α+tan β)C.mtanα+tanβD.m·tan(α+β)7.如图,AB是一垂直于水平面的建筑物,某同学从建筑物底端B出发,先沿水平方向向右行走20米到达点C,再经过一段坡度(或坡比)为i=1∶0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D,然后再沿水平方向向右行走40米到达点E(A,B,C,D,E均在同一平面内).在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°,则建筑物AB的高度约为(参考数据:sin 24°≈0.41,cos 24°≈0.91,tan 24°≈0.45)()A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米8.小亮在某桥附近试飞无人机,如图,为了测量无人机飞行的高度AD,小亮通过操控器指令无人机测得桥头B,C的俯角分别为∠EAB=60°,∠EAC=30°,且D,B,C在同一水平线上.已知桥BC=30米,求无人机飞行的高度AD.(精确到0.01米.参考数据:√2≈1.414,√3≈1.732)【素养拓展】9.如图,小山顶上有一电视塔,在山脚C处测得塔顶A、塔底B的仰角分别为45°和30°,若塔高AB=40 m,则山高BD≈m.(精确到1 m)10.我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡,坡面上是一块平地,如图,BC∥AD,斜坡AB=40米,坡角∠BAD=60°.为防夏季因暴雨引发山体滑坡,保障安全,学校决定对山坡进行改造,经地质人员勘测,当坡角不超过45°时,可确保山体不滑坡,改造时保持坡脚A不动,从坡顶B沿BC削进到E处,问BE至少是多少米?(结果保留根号)参考答案【基础达标】1.D2.C3.34.√360°【能力巩固】5.C6.B7.A8.解:∵∠EAB=60°,∠EAC=30°,∴∠CAD=60°,∠BAD=30°∴CD=AD·tan∠CAD=√3AD,BD=AD·tan∠BAD=√3AD3∴BC=CD-BD=2√3AD=30米3∴AD=15√3≈25.98米.∴无人机飞行的高度AD为25.98米.【素养拓展】9.5510.解:如图,作BG⊥AD于点G,作EF⊥AD于点F,连接AE,则在Rt△ABG中,∠BAD=60°,AB=40 所以就有BG=AB·sin 60°=20√3,AG=AB·cos 60°=20同理,在Rt△AEF中,∠EAD=45°则AF=EF=BG=20√3所以BE=FG=AF-AG=20(√3-1)米.。

北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教学设计一. 教材分析《三角函数的应用》是北师大版九年级数学下册的重要内容。

这部分内容主要介绍了三角函数的概念、性质及应用。

通过学习，学生可以了解三角函数的基本概念，掌握三角函数的性质，并能运用三角函数解决实际问题。

本节课的内容为后续学习三角函数的其他部分打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，对函数的概念和性质有一定的了解。

但是，对于三角函数这一部分内容，由于其抽象性和复杂性，学生可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，引导学生逐步理解和掌握三角函数的知识。

三. 教学目标1.了解三角函数的基本概念，掌握三角函数的性质。

2.能够运用三角函数解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.三角函数的基本概念。

2.三角函数的性质。

3.运用三角函数解决实际问题。

五. 教学方法1.讲授法：通过讲解，使学生了解三角函数的基本概念和性质。

2.案例分析法：通过分析实际问题，使学生掌握运用三角函数解决问题的方法。

3.讨论法：引导学生分组讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作三角函数的课件，帮助学生直观地理解三角函数的概念和性质。

2.实际问题：准备一些与生活相关的实际问题，用于引导学生运用三角函数解决实际问题。

3.练习题：准备一些有关三角函数的练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些与三角函数相关的实际问题，引导学生思考并引入新课。

2.呈现（10分钟）讲解三角函数的基本概念和性质，让学生了解三角函数的定义和特点。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析实际问题，并运用三角函数解决问题。

教师巡回指导，帮助学生解决讨论中的问题。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

教师及时批改，给予学生反馈。

5.拓展（10分钟）讲解一些与三角函数相关的拓展知识，引导学生思考和探索。

北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册1.5《三角函数的应用》这一节主要介绍了三角函数在实际问题中的应用。

通过本节课的学习，学生能够掌握正弦函数、余弦函数和正切函数在实际问题中的应用，理解三角函数的实际意义，提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本概念和性质，对正弦函数、余弦函数和正切函数有一定的了解。

但学生在应用三角函数解决实际问题方面可能存在一定的困难，需要通过本节课的学习，提高学生运用三角函数解决实际问题的能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解三角函数在实际问题中的应用，掌握正弦函数、余弦函数和正切函数在实际问题中的运用方法。

2.过程与方法目标：通过解决实际问题，学生能够提高运用三角函数解决问题的能力，培养学生的数学思维。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习三角函数的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生感受到数学在实际生活中的重要性。

四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解三角函数在实际问题中的应用，掌握正弦函数、余弦函数和正切函数在实际问题中的运用方法。

2.教学难点：学生如何将实际问题转化为三角函数问题，如何灵活运用三角函数解决实际问题。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用案例分析法、问题驱动法、小组合作法等，引导学生主动探究，提高学生解决实际问题的能力。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等辅助教学，帮助学生形象直观地理解三角函数在实际问题中的应用。

六. 说教学过程1.导入：以一个实际问题引入，激发学生学习兴趣，引导学生思考如何运用三角函数解决实际问题。

2.新课讲解：通过案例分析，讲解正弦函数、余弦函数和正切函数在实际问题中的应用，引导学生理解三角函数的实际意义。

3.实践操作：学生分组讨论，选取一个实际问题，运用三角函数进行解决，培养学生的实际操作能力。

4.总结提升：教师引导学生总结本节课所学内容，巩固学生对三角函数在实际问题中的应用的理解。