九年级数学锐角三角函数的简单应用.

苏科版数学九年级下册7.6《锐角三角函数的简单应用》讲教学设计一. 教材分析苏科版数学九年级下册7.6《锐角三角函数的简单应用》这一节主要介绍了锐角三角函数的概念和简单应用。

学生通过学习这一节内容，可以进一步理解锐角三角函数的定义和性质，并能运用到实际问题中。

教材通过例题和练习题的形式，帮助学生掌握锐角三角函数的应用方法。

二. 学情分析学生在学习这一节内容前，已经学习了锐角三角函数的定义和性质，但对函数的应用可能还不够熟悉。

因此，在教学过程中，需要帮助学生理解和掌握锐角三角函数的应用方法，并能够将其运用到实际问题中。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解锐角三角函数的概念，掌握其应用方法，并能够解决实际问题。

2.过程与方法：学生通过观察、分析和实践，培养解决问题的能力。

3.情感态度价值观：学生能够积极参与学习，增强对数学的兴趣和信心。

四. 教学重难点1.重点：学生能够理解锐角三角函数的概念，掌握其应用方法。

2.难点：学生能够将锐角三角函数运用到实际问题中，解决问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题情境，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与学习。

2.案例教学法：通过分析例题和练习题，让学生掌握锐角三角函数的应用方法。

3.小组合作学习：通过小组讨论和合作，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教具准备：准备多媒体教学设备，如投影仪和计算机等。

2.教学资源：准备相关的例题和练习题，以及教学PPT。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如建筑工人测量高度等，引入锐角三角函数的概念，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）通过PPT展示锐角三角函数的定义和性质，引导学生观察和分析。

3.操练（10分钟）让学生独立完成教材中的例题，教师进行个别指导，帮助学生理解和掌握锐角三角函数的应用方法。

4.巩固（10分钟）学生分组讨论，共同完成教材中的练习题，教师巡回指导，巩固学生对锐角三角函数应用的理解和掌握。

中考复习——锐角三角函数的实际应用1、在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A 相距 km 的C 处． （1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸？请说明理由．2、如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米. （1）求新传送带AC 的长度；（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24， ≈2.45)3、如图所示，一幢楼房AB 背后有一台阶CD ，台阶每层高2.0米，且AC =2.17米，设太阳光线与水平地面的夹角为α.当︒=60α时，测得楼房在地面上的影长AE =10米，现有一只小猫睡在台阶的MN 这层上晒太阳.（ 取73.1）（1）求楼房的高度约为多少米？（2）过了一会儿，当︒=45α时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由.第25题图DBAC东l4,图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE 为12°，支架AC长为0.8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）．（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）5.如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′．已知山高BE为56m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE．（参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75）6.如图，小明在大楼30米高（即PH＝30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P、H、B、C、A在同一个平面上．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．(1)山坡坡角（即∠ABC）的度数等于▲度；(2)求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．7.如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.41，≈1.73）8、如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）．求出旗杆MN的高度．（参考数据：≈1.4，≈1.7，结果保留整数．）9、如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．10、如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为m（结果不作近似计算）．11、如图，小明为了测量小山顶的塔高，他在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿AC方向前进73.2米到达山脚B处，测得塔尖D的仰角为60°，塔底E的仰角为30°，求塔高．（精确到0.1米，≈1.73）12．如图，小莉的家在锦江河畔的电梯公寓AD内，她家的河对岸新建了一座大厦BC，为了测量大厦的高度，小莉在她家的楼底A处测得大厦顶部B的仰角为60°，爬上楼顶D处测得大厦顶部B的仰角为30°，已知电梯公寓高82米，请你帮助小莉计算出大厦的高度BC及大厦与电梯公寓间的距离AC．13．如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB的夹角分别为45°与68°，若点C到地面的距离CD 为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，cot68°≈0.40）14．某学校为增加体育馆观众坐席数量，决定对体育馆进行施工改造．如图，为体育馆改造的截面示意图．已知原座位区最高点A到地面的铅直高度AC长度为15米，原坡面AB的倾斜角∠ABC为45°，原坡脚B与场馆中央的运动区边界的安全距离BD为5米．如果按照施工方提供的设计方案施工，新座位区最高点E到地面的铅直高度EG长度保持15米不变，使A、E两点间距离为2米，使改造后坡面EF的倾斜角∠EFG为37°．若学校要求新坡脚F需与场馆中央的运动区边界的安全距离FD至少保持2.5米（即FD≥2.5），请问施工方提供的设计方案是否满足安全要求呢？请说明理由．（参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34）15．如图，贵阳市某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后．选定测量小河对岸一幢建筑物BC 的高度．他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶的仰角为30°．且D离地面的高度DE=5m．坡底EA=10m，然后在A处测得建筑物顶B的仰角是50°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．（结果保留整数）16．小明在数学课中学习了《解直角三角形》的内容后，双休日组织教学兴趣小组的小伙伴进行实地测量．如图，他们在坡度是i=1：2.5的斜坡DE的D处，测得楼顶的移动通讯基站铁塔的顶部A和楼顶B的仰角分别是60°、45°，斜坡高EF=2米，CE=13米，CH=2米．大家根据所学知识很快计算出了铁塔高AM．亲爱的同学们，相信你也能计算出铁塔AM的高度！请你写出解答过程．（数据≈1.41，≈1.73供选用，结果保留整数）17．随着人们经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入到各个家庭．某大型超市为缓解停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入．如图，地面所在的直线ME与楼顶所在的直线AC是平行的，CD的厚度为0.5m，求出汽车通过坡道口的限高DF的长（结果精确到0.1m，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．18．为给人们的生活带来方便，2017年兴化市准备在部分城区实施公共自行车免费服务．图1是公共自行车的实物图，图2是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD＝35cm，DF＝24cm，AF＝30cm，FD⊥AE于点D，座杆CE＝15cm，且∠EAB＝75°．(1)求AD的长；(2)求点E到AB的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）图1 图219．如图2，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，展开小桌板使桌面保持水平时如图1，小桌板的边沿O点与收起时桌面顶端A点的距离OA=75厘米，此时CB⊥AO，∠AOB=∠ACB=37°，且支架长OB与支架长BC的长度之和等于OA的长度．（1）求∠CBO的度数；（2）求小桌板桌面的宽度BC．（参考数据sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）20．如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为31°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC=40米，塔所在的山高OB=240米，OA=300米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内．求：（1）P到OC的距离．（2）山坡的坡度tanα．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin31°≈0.52，tan31°≈0.60）21．（2017湖南常德第24题）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D到地面的距离（精确到0.01米）（参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.414，≈1.732）22．如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90m的顶灯。

主备人用案人授课时间年月日总第课时课题7.6锐角三角函数的简单应用（1）课型新授教学目标1.进一步掌握解直角三角形的方法，比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、2.俯角有关的实际问题，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。

重点进一步掌握解直角三角形的方法难点进一步掌握解直角三角形的方法教法及教具自主学习，合作交流，分组讨论多媒体教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动一．指导先学：如右图所示，斜坡AB和斜坡A1B1哪一个倾斜程度比较大?显然，斜坡A1B l的倾斜程度比较大，说明∠A′＞∠A。

从图形可以看出ACBCCACB''''，即tanA l＞tanA。

在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。

新授：坡度的概念，坡度与坡角的关系。

如下图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝ACBC，坡度通常用l：m的形式，例如上图中的1：2的形式。

坡面与水平面的夹角叫做坡角。

从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡学生回顾相关所学知识学生按照老师要求完成自学内容，有难度的可以组内交流，达成统一意见教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动四．检测巩固:如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角。

和坝底宽AD。

(i＝CE:ED，单位米，结果保留根号)2.如图，单摆的摆长AB为90cm，当它摆动到∠BAB＇的位置时，∠BAB＇=30°。

问这时摆球B＇较最低点B升高了多少？五．小结反思：通过本节课的学习，你有何收获？你还存在什么疑惑？学生独立完成，有难度的可以组内交流，教师巡视，指导学生分组讨论交流，总结归纳，教师补充板书设计7.6锐角三角函数的简单应用（1）坡度的概念，坡度与坡角的关系。

坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，记作i，即i＝ACBC，坡度通常用l：m的形式，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡布置作业补充习题教学札记教学过程教学内容个案调整教师主导活动学生主体活动1、摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次到达10m？2、小明将有多长时间连续保持在离地面20m以上的空中？三．释疑拓展：如图，东西两炮台A、B相距2000米，同时发现入侵敌舰C，炮台A测得敌舰C在它的南偏东40°的方向，炮台B测得敌舰C在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离(精确到l米)。

九年级数学寒假专题—锐角三角函数的应用冀教版【本讲教育信息】一. 教学内容：寒假专题——锐角三角函数的应用1. 理解锐角三角函数的定义，弄清楚直角三角形中的边、角关系．2. 熟练掌握特殊角的锐角三角函数值．3. 运用锐角三角函数解决实际问题．二. 知识要点：1. 直角三角形中除直角外的五个元素之间的关系 （1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2（勾股定理）； （2）两锐角之间的关系：∠A ＋∠B ＝90°；（3）边角之间的关系：sinA ＝a c ，cosA ＝b c ，tanA ＝ab （锐角三角函数）．（4）在锐角三角函数sinA ＝a c ，cosA ＝b c ，tanA ＝ab中，实际上分别给出了三个量的关系：a 、b 、c 是边的长，sinA 、cosA 、tanA 是由∠A 用不同方式来决定的三角函数值，它们都是实数，但它与代数式的不同点在于三角函数的值是有一个锐角的数值参与其中．当这三个实数中有两个是已知数时，它就转化为一个方程，解这个方程，就求出了一个直角三角形的未知的元素．如：已知直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，∠A ＝30°，求BC 边的长．ABCD630°画出图形，可知边AC ，BC 和∠A 三个元素的关系是正切函数的定义给出的，所以有等式tan30°＝BC 6，由于tan30°＝33，它实际上已经转化成了以BC 为未知数的代数方程，解这个方程，得BC ＝6tan30°＝6·33＝2．即得BC 的长为2．3. 非直角三角形的图形向直角三角形转化的途径和方法（1）作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形．（2）作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的图形．（3）连结对角线，可以把矩形、菱形和正方形转化为含直角三角形的图形．4. 把实际问题转化为解直角三角形问题很多实际问题都可以归结为图形的计算问题，而图形计算问题又可以归结为解直角三角形问题．例如：我们知道，机器上用的螺丝钉，它的圆柱部分的侧面可以看作是长方形围成的（如图）．螺纹是以一定的角度旋转上升，使得螺丝旋转时向前推进，问直径是6mm 的螺丝钉，若每转一圈向前推进mm ，螺纹的初始角应是多少度多少分？ACB据题意，螺纹转一周时，把侧面展开可以看作一个直角三角形，直角边AC 的长为AC＝2π·（62）＝6π（mm ），另一条直角边为螺钉推进的距离，所以BC ＝1.25（mm ），设螺纹初始角为θ，则在Rt △ABC 中，有tan θ＝BCAC ＝6π≈0.0663，∴θ≈3°47′，即螺纹的初始角约为3°47′．三. 重点难点：本讲重点是掌握直角三角形中三边之间的关系，两锐角之间的关系，边角之间的关系（锐角三角函数）．难点是正确选用直角三角形中的这些关系求出其它未知元素．四. 考点分析：解直角三角形的知识是近几年各地中考命题的热点之一，考查内容以基础知识与基本技能为主，应用意识进一步增强，联系实际、综合运用知识、技能的要求越来越明显，考查题型为选择题、填空题、解答题、应用题等．【典型例题】例1. 如图所示，P 是α角OA 边上的一点，且点P 的坐标为（3，4），则sin α＝（ ）A ．35B ．45C ．34D ．43OAP B34αx y分析：本题比较容易，考查坐标的意义和求三角函数的值．由图可知，因为点P 的坐标为（3，4），所以OB ＝3，PB ＝4，根据勾股定理可得OP ＝OB 2＋PB 2＝5，所以sin α＝PBOP＝45，所以答案选择B ． 解：B例2. 如图所示，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB ＝cos ∠DAC ． （1）求证：AC ＝BD ；（2）若sinC ＝1213，BC ＝12，求AD 的长．ABCD分析：对于第（1）问中AC 、BD 分别是Rt △ADC 中的斜边和Rt △ABD 中的一直角边，可根据直角三角形中的边角关系和已知条件tanB ＝cos ∠DAC 进行转换．对于第（2）问，因为BD ＝AC ，可根据勾股定理和三角函数求出AD 的长．（1）证明：在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，∵tanB ＝AD BD ，cos ∠DAC ＝ADAC ，又tanB ＝cos ∠DAC ，∴AD BD ＝ADAC，∴AC ＝BD ． （2）解：在Rt △ADC 中，由sinC ＝1213，可设AD ＝12k ，则AC ＝13k ．由勾股定理，得CD 2＝（13k ）2－（12k ）2＝25k 2，∴CD ＝5k ． 又由（1）知BD ＝AC ＝13k ．∵BC ＝BD ＋DC ，∴12＝13k ＋5k ，解得k ＝23．∴AD ＝12k ＝12×23＝8．例3. 如图所示，X 伯伯利用假日在某钓鱼场钓鱼．风平浪静时，鱼漂露出水面部分AB＝6cm，微风吹来时，假设铅锤P不动，鱼漂移动了一段距离BC，且顶端恰好与水面平齐（即PA＝PC），水平线l与OC夹角α＝8°（点A在OC上）．请求出铅锤P处的水深h．（参考数据：sin8°≈210，cos8°≈7210，tan8°≈17）lO分析：将实际问题转化成数学问题即：已知AP＝PC，BC⊥AP于B，AB＝6cm，∠ACB ＝∠α＝8°，求BP的长．在Rt△ABC中应用三角函数可求出BC，再根据PB＋AB＝AP ＝PC和勾股定理可求出BP的长．解：根据题意∠ACB＝∠α＝8°，在Rt△ABC中，∵ABBC＝tan∠ACB＝tan8°，AB＝6cm，∴BC＝6tan8°＝42cm，在Rt△BCP中，PC2＝PB2＋BC2，∵PC＝AP＝PB＋AB＝PB＋6，∴（PB＋6）2＝PB2＋422，即：12PB＋36＝422，解得PB＝144，即h＝144cm．答：铅锤P处的水深h为144cm．例4.如图所示，河流两岸a、b互相平行，C、D是河岸a上间隔50m的两个电线杆，某人在河岸b上的A处测得∠DAB＝30°，然后沿河岸走了100m到达B处，测得∠CBF＝60°．求河流的宽度CF的值（结果精确到个位）．A BCDFab分析：在△BCF中，∠CBF＝60°，要求CF必须求出BC或BF．∠DAB＝30°和AB ＝100米、CD＝50米与问题没有直接联系，需将它们进行适当的转化，转化到相关的直角三角形中，应用三角函数求解．解：过点C作CE∥AD交b于点E，则∠DAB＝∠CEB＝30°，AE＝CD＝50米，BE＝AB－AE＝50米．在Rt△BCF中，BF＝CFtan∠CBF＝CF3＝33CF，在Rt△CEF中，EF＝CFtan∠CEF＝3CF．∵EF－BF＝BE＝50，∴3CF－33CF＝50，即CF＝253≈43（m）．A B CD E Fab例5.如图，山脚下有一棵树AB ，小华从点B 沿山坡向上走50米到达点D ，用高为的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高．（精确到0.1米）（已知sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈．）分析：延长CD 交PB 于点F ，在Rt △BDF 中求出DF ．树高AB 可分为三段AE 、CD 、DF 来求．解：延长CD 交PB 于F ，则DF ⊥PB ． ∴DF ＝BD ·sin15°≈50×0.26＝13.0． ∴CE ＝BF ＝BD ·cos15°≈50×＝． ∴AE ＝CE ·tan10°≈×＝．∴AB ＝AE ＋CD ＋DF ＝＋＋13＝（米）． 答：树高约为米．例6.某大草原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A 、B 两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A 地北偏东45°、B 地北偏西60°方向上有一牧民区C ．一天，甲医疗队接到牧民区的求救，立刻设计了两种救助方案，方案I ：从A 地开车沿公路到离牧民区C 最近的D 处，再开车穿越草地沿DC 方向到牧民区C ．方案II ：从A 地开车穿越草地沿AC 方向到牧民区C ．已知汽车在公路上行驶的速度是在草地上行驶速度的3倍． （1）求牧民区到公路的最短距离CD ．（2）你认为甲医疗队设计的两种救助方案，哪一种方案比较合理？并说明理由． （结果精确到0.1．参考数据：3取1.73，2取1.41）ABCD北45°60°分析：（1）AD 的长可以用含CD 的式子表示出来，BD 的长也可以用含CD 的式子表示出来，因为AB 长为40，所以由AD ＋BD ＝40可得含CD 的方程．（2）分别计算两种方案所用时间，时间短的救助方案较合理．解：（1）设CD 为x 千米，由题意得，∠CBD ＝30°，∠CAD ＝45°， ∴AD ＝CD ＝x ．在Rt △BCD 中，tan30°＝xBD，∴BD ＝3x ，AD ＋DB ＝AB ＝40，∴x ＋3x ＝40，解得x ≈14.7， ∴牧民区到公路的最短距离CD 为14.7千米．（2）设汽车在草地上行驶的速度为v ，则在公路上行驶的速度为3v ， 在Rt △ADC 中，∠CAD ＝45°，∴AC ＝2CD ，方案I 用的时间t 1＝AD 3v ＋CD v ＝4CD3v ；方案II 用的时间t 2＝2CDv．∴t 2－t 1＝(32－4)CD3v．∵32－4＞0，∴t 2－t 1＞0，∴方案I 用的时间少，方案I 比较合理．【方法总结】解决锐角三角函数的综合问题时，应根据题目中给出的有关信息构建图形，经过整理数据、加工信息、抽象概念，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题．运用三角函数知识解题时，尽量选择用乘法计算的关系式．可归纳为“有弦用弦，无弦用切；求对用正，求邻用余，宁乘勿除”的基本方法．【预习导学案】 （34.1认识二次函数） 一. 预习前知1. 一次函数的一般表达式是__________．2. 反比例函数的一般表达式是__________． 二. 预习导学1. 下列函数中，__________是一次函数，__________是反比例函数，__________是二次函数．（1）y ＝3x ；（2）y ＝3x －1；（3）y ＝3x 2－1；（4）y ＝13x ；（5）y ＝13x2；（6）y ＝3x 3＋2x 2；（7）y ＝（x ＋2）2－x 2；（8）y ＝x 2＋1x2．2. 正方形的周长为l ，则这个正方形的面积S 与周长l 之间的函数表达式是__________．3. 若y ＝（m 2－1）x 2＋（m ＋2）x 是关于x 的二次函数，求m 的值． 反思：（1）二次函数的一般表达式有什么特征？（2）一次函数、反比例函数、二次函数有什么区别与联系？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 选择题1. 正方形网格中，∠AOB 如图所示放置，则cos ∠AOB 的值为（ ）A. 55B. 25 5C. 12D. 2AOB2. 如图所示，小雅家（图中点O 处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A 处）位于她家北偏东60°的500m 处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB 是（ ）A. 250mB. 2503mC. 50033m D. 2502mABO 东北3. 如图所示，已知直角三角形ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠B ＝40°，则直角边BC 的长是（ ）A. m sin40°B. m cos40°C. m tan40°D. mtan40°ABC40°4.在直角坐标系中，点P （4，y ）在第一象限内，且OP 与x 轴正半轴的夹角为60°，则y 的值是（ ）A. 433 B.4 3 C. －3 D. －1 °，又知水平距离BD ＝10m ，楼高AB ＝24m ，则树高CD 为（ ）A. （24－103）mB. （24－1033）mC. （24－53）mD. 9m*6. 如图所示，已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB 的长为8cm ，P 是AB 延长线上一点，BP ＝2cm ，则tan ∠OPA 等于（ ）A. 32B. 23C. 2D. 12OABP**7. 如图所示，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE ＝α，且cos α＝35，AB ＝4，则AD 的长为（ ）A. 3B. 163C. 203D. 165ABCDE二. 填空题1. 如图所示的半圆中，AD 是直径，且AD ＝3，AC ＝2，则sinB 的值是__________．OABCD2. 如图所示，某河堤的横断面是梯形ABCD ，BC ∥AD ，迎水坡AB 长13米，且tan ∠BAE ＝125，则河堤的高BE 为__________米．BCDEA**3. 如图，矩形纸片ABCD ，BC ＝2，∠ABD ＝30°．将该纸片沿对角线BD 翻折，点A 落在点E 处，EB 交DC 于点F ，则点F 到直线DB 的距离为__________．A BCDEF**4. 如图，X 华同学在学校某建筑物的C 点处测得旗杆顶部A 点的仰角为30°，旗杆底部B 点的俯角为45°．若旗杆底部B 点到建筑物的水平距离BE ＝9米，旗杆台阶高1米，则旗杆顶点A 离地面的高度为__________米（结果保留根号）．三. 解答题1. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，AB ＝15，求△ABC 的周长和tanA 的值．A BC2. 小明站在A 处放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，这时测得∠CBD ＝60°，若牵引底端B 离地面，求此时风筝离地面的高度．（计算结果精确到，3≈1.732）3. 如图所示，一条细绳系着一个小球在平面内摆动，摆动偏离竖直方向最大角度为60°．已知细绳从悬挂点O 到球心的长度为50厘米，你能求出小球在摆动的过程中最高位置和最低位置的高度差吗？OB*4. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD ＝CD ，cosB ＝513，BC ＝26．求（1）cos ∠DAC 的值；（2）线段AD 的长．ABCD*5. 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为66m ，这栋高楼有多高？（结果精确到m ，参考数据：3≈）ABC【试题答案】一. 选择题 1. A2. A 【根据题意OA ＝500，∠AOB ＝30°，则AB ＝500sin30°＝250】3. B 【∵cos40°＝BC AB ＝BCm ，∴BC ＝m cos40°】4. B5. A6. D 【作OC ⊥AP 于C ，则AC ＝BC ＝4，OC ＝3，PC ＝6，∴tan ∠OPA ＝OC PC ＝36＝12】7. B 【由题意知∠BAC ＝α，则cos ∠BAC ＝35＝AB AC ，∵AB ＝4，∴AC ＝203，∴BC ＝AC 2－AB 2＝（203）2－42＝163．】二. 填空题1. 23【∵AD 是直径，∴∠ACD ＝90°．∵∠B ＝∠D ，sinD ＝AC AD ＝23，∴sinB ＝23】2. 123. 233【由题意可知，DF ＝BF ，∠ABD ＝∠EBD ＝30°，BD ＝2AD ＝4，过点F 作FG⊥DB 于点G ，则DG ＝BG ＝2，在Rt △BGF 中，点F 到直线DB 的距离FG ＝BG ·tan30°＝233】 4. 10＋33【过点C 作CD ⊥AB 于D ，在Rt △ACD 中，AD ＝CDtan30°＝9×33＝33；在Rt △BCD 中，BD ＝CDtan45°＝9．所以旗杆顶点A 离地面的高度为33＋9＋1＝10＋33】三. 解答题1. BC ＝ABsinA ＝12，AC ＝AB 2－BC 2＝9，所以△ABC 的周长是36，tanA ＝BC AC ＝43．2. 在Rt △BCD 中，CD ＝BC ×sin60°＝20×32＝103，又DE ＝AB ＝1.5，∴CE ＝CD＋DE ＝CD ＋AB ＝103＋1.5＝18.8（米）3. 过点A 作AD ⊥OB 于D ，因为OA ＝OB ＝50，∠AOB ＝60°，所以OD ＝25，BD ＝OB －OD ＝25厘米，即小球在摆动的过程中最高位置和最低位置的高度差是25厘米．4. （1）在Rt △ABC 中，∵cosB ＝513，BC ＝26，∴AB ＝BC ·cosB ＝10，∴AC ＝BC 2－AB 2＝24．∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB ．∴cos ∠DAC ＝cos ∠ACB ＝AC BC ＝2426＝1213．（2）过点D 作DE ⊥AC 于E ，∵AD ＝CD ，∴AE ＝12AC ＝12，∴AD ＝AEcos ∠DAC ＝13．5. 过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，BD ＝ADtan30°＝223，CD ＝ADtan60°＝663，BC ＝BD ＋CD ＝223＋663＝883≈152.2（米）．这栋楼高约为m ．。

初中锐角三角函数及应用锐角三角函数是指角度小于90度的三角函数，包括正弦、余弦和正切。

这些函数在数学和物理学中有着广泛的应用。

首先，我们来介绍一下锐角三角函数的定义和性质。

在一个直角坐标系中，对于一个锐角ABC（角A小于90度）, 我们可以定义正弦函数sinA 为点B的纵坐标除以斜边AC的长度，余弦函数cosA 为点B的横坐标除以斜边AC的长度，正切函数tanA 为点B的纵坐标除以横坐标。

其中，sinA、cosA和tanA都是角A的函数。

这些函数有许多重要的性质。

首先，它们的定义域都是锐角的正数集合，即(0,90)。

其次，它们的值域都是(-1,1)，即在定义域内，这些函数的值都在-1到1之间变化。

此外，正弦函数和余弦函数还具有周期性，周期为360度或2π弧度。

也就是说，对于一个锐角A，sin(A+360k) = sinA，cos(A+360k) = cosA，其中k 为整数。

在应用方面，锐角三角函数有着广泛的作用。

首先，它们被广泛应用于三角计算。

例如，我们可以利用正弦定理或余弦定理，通过已知边和角来求解三角形的其他未知边和角。

这在测量、建筑、工程等领域都有着重要的应用。

其次，锐角三角函数在物理学中也有着重要的应用。

例如，对于一个斜抛运动的物体，我们可以利用正弦函数和余弦函数来分析其垂直和水平方向上的运动。

它们可以帮助我们计算物体的落点、飞行时间、最大高度等。

另外，锐角三角函数还与周期函数和图像有着密切的关系。

它们的图像可以通过函数的周期性来得到。

例如，正弦函数的图像是一个周期为2π的曲线，具有对称性和单调性，而余弦函数的图像是一个周期为2π的曲线，也具有对称性和反单调性。

此外，锐角三角函数还与三角恒等式有着重要的联系。

三角恒等式是指对于锐角A和B，成立的恒等关系。

利用三角恒等式，我们可以化简复杂的三角函数表达式，简化计算过程。

总的来说，锐角三角函数是数学中一类重要的函数，具有广泛的应用。

它们不仅在三角计算和几何题目中有着重要作用，还与物理学、周期函数和三角恒等式等有着紧密的联系。

中考数学锐角三角函数应用方位角与方向角问题复习引入本节课将应用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题．探究新知（一）方位角与方向角1．方向角教师讲解：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如课本图28．2-1中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图28．2-1的目标方向线OD 与正南方向成45°角，通常称为西南方向．图28．2-1 图28．2-2 2．方位角教师讲解：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．•如课本图28．2-2中，目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．（二）用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点教师讲解：在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）•之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解．解题时一般有以下三个步骤：1．审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知．2．将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形．3．根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、•角）之间关系解有关的直角三角形．（三）例题讲解教师解释题意：如课本图28．2-8所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，•距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，•到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里）教师提示：这道题的解题思路与上一节课的例4相似．因为△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，△ACP与△PCB．PC•是东西走向的一条直线．AB是南北走向的一直线，所以AB与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BDP•均为直角．再通过65度角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34度角与∠BPC•互余的关系求∠BPC．教师分析后要求学生自行做完这道题．学生做完后教师再加以总结并板书．解：如课本图28．2-8，在Rt△APC中，PC=PA·cos（90°-65°）=80×cos25°≈80×0.91=72.8．在Rt△BPC中，∠B=34°，∵sinB=PC PB，∴PB=72.872.8sin sin340.559PCB=≈︒≈130.23．因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．教师讲解：解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，•要根据实际情况灵活运用相关知识．例如，当我们要测量如课本图28．2-9所示大坝的高度h时，只要测出仰角α和大坝的坡面长度L，就能算出h=Lsinα．但是，当我们要测量如课本图28．2-10所示的山高h 时，问题就不那么简单了．这是由于不能很方便地得到仰角α和山坡长度L．图28．2-9 图28．2-10与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的．怎样解决这样的问题呢？我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，课本图28．2-11表示其中一部分小段．划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长L1，测出相应的仰角α，这样就可以算出这段山坡的高度h1=L1sin α．图28．2-11在每个小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1，h2，……．然后我们再“积零为整”，把h1，h2，…相加，于是得到山高h．以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．随堂练习课本第95页练习第1题、第2题．课时总结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，•转化为解直角三角形的问题）．2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．3．得到数学问题的答案．4．得到实际问题的答案．教后反思:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 第4课时作业设计课本练习课本第97页习题28．2拓广探索第9题、第10题．双基与中考一、选择题．1．如图，轮船航行到C处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°，那么同时从B观测到轮船的方向是（）．A．南偏西35°B．东偏西35°C．南偏东55°D．南偏东35°(第1题) (第5题) (第8题) 2．•身高相同的三个小朋友甲、•乙、•丙放风筝，•他们放出的线长分别是300m，250m，200m，线与地面所成的角分别为30°、45°、60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放风筝（）．A．甲的最高B．乙的最低C．丙的最低D．乙的最高3．一日上午8时到12时，若太阳光线与地面所成角由30°增大到45°，•一棵树的高为10m，则树在地面上影长h的范围是（）．A．5<h≤B．10≤h≤C．10<h<15 D．4．△ABC中，AB=6，AC=3，则∠B最大值是（）．A．30°B．45°C．60°D．无法确定5．如图，水库大坝横断面为梯形，坝顶宽6m，坝高2m，斜坡AB的坡角为45°，•斜坡CD的坡度i=1：2，则坝底AD的长为（）．A．42m B．（）m C．78m D．（）m6．△ABC中，+（2=0且AB=4，则△ABC的面积是（）．A．B．4 C．D．27．一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘船以28海里/小时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时，灯塔M 与渔船的距离是（）．A．B．C．7 D．148．某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，•使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板AC的宽度应为（）．A．1.8tan80°m B．1.8cos80°mC．1.8sin80︒D．1.8cot80°m9．若菱形的边长为4，它的一个内角为126°，则较短的对角线长为（ ）．A ．4sin54°B ．4cos63°C ．8sin27°D ．8cos27°10．如图，上午9时，一条船从A 处出发以20海里/小时的速度向正北方向航行，•11时到达B 处，从A 、B 望灯塔C ，测得∠NAC=36°，∠NBC=72°，那么从B 处到灯塔C 的距离是（ ）．A ．20海里B ．36海里C ．72海里D ．40海里 北BA NC(第10题) (第11题)11．如图，一电线杆AB 的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1•米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB 落在地上的影子BD 长3米，落在墙上的影子CD 的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB 的高，•请你计算电线杆AB 的高为（ ）．A ．5米B ．6米C ．7米D ．8米二、填空题．12．升国旗时，某同学站在离旗杆底部24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，•该同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5m ，则旗杆高度为______m ．（•用含根号的式子表示）13．在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°，沿水平方向，•再向塔底前进a 米，又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔高为________．• • •14．•如图一铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD ，•根据图示数据得下底宽AD=______米．(第14题) (第15题)15．如图△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，4），（3，0），并且∠ACB=90°，∠B=•30°，则顶点B的坐标是________．16．如图，•燕尾槽的外口宽AD=•90mm，•深为70mm，•燕尾角为60•°，•则里口宽为________．(第16题) (第17题)17．如图，从高出海平面500m的直升飞机上，测得两艘船的俯角分别为45•°和30°，如果这两艘船一个在正东，一个在正西，那么它们之间的距离为______．三、解答题．18．甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以16．1海里/小时的速度向东偏南35°方向航行，乙船向西偏南58°，方向航行，航行了两小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向，求乙船的速度v．（精确到0.1海里/小时）（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，cot32°≈1.60）19．去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，•为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A、B两地之间修筑一条笔直公路（图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C•处有一个半径为0.7千米的公园，问计算修筑的这条公路会不会穿出公园？为什么？A B答案：一、1．D 2．D 3．B 4．A 5．C 6．A 7．A 8．D 9．C 10．D11．D 二、12．332 1333米 14．29.2 15．（3316．（90+33）mm 17．500（3）m三、18．由题意可知：OA=16．1×2=32.2（海里）．∠1=32°，∠2=58°．∴∠AOB=180°-（∠1+∠2）=180°-（32°+58°）=90°．由B 在A 的正西方向，可得：∠A=∠1=32°．又∵在Rt △AOB 中，tanA=OBOA ，∴OB=OA ·tanA=32.2×tan32°=32.2×0.62=19.964（海里）．∴v=2OB=19.964÷2=9.982≈10.0（海里/小时）．即：乙船的速度约为10.0海里/小时．19．过点C 作CD ⊥AB 于D ，3，这条公路不会穿过公园．。

2020中考数学 锐角三角函数在实际问题中的应用（含答案）1.如图，小军和小兵要去测量一座古塔的高度，他们在离古塔60米的A 处用测角仪测得塔顶的仰角为30°，已知测角仪AD=1.5米，则塔CB 的高为多少米？参考答案:解：过A 作AE ∥DC 交BC 于点E 则AE=CD=60米，则∠AEB=90°，EC=AD=1.5 在Rt △ABE 中， 即tan 3060BE=∴60tan 3060BE === 所以，古塔高度为： 1.5CB BE EC =+=米2.如图，小强在家里的楼顶上的点A 处，测量建在与小明家楼房同水平线上相邻的电梯楼的高，在点A 处看电梯楼顶点B 处的仰角为60°，看楼底点C 的俯角为45°，两栋楼之间的距离为30米，则电梯楼的高BC 为多少米？参考答案:解：过A 作AD ∥地面，交BC 于D 则在Rt △ABD 中，tan 60BD AD ∠=，即tan 6030BD∠=，∴BD =在Rt △ACD 中，tan 45DC AD ∠=，即tan 6030DC ∠=，∴30DC = ∴楼高BC 为：30BD DC +=+AD BC3.小明在热气球A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC ，并测得B ，C 两点的俯角分别为45°，35°。

已知大桥BC 与地面在同一水平面上，其长度为100米，请求出热气球离地面的高度。

（结果保留整数，参考数据：7sin 3512≈，5cos356≈，7tan 3510≈）参考答案:解：过A 作AD ⊥BC 于点D则AD 即为热气球的高度，且∠1=∠2=45∴可设AD=BD=x 则CD=x+100 在Rt △ADC 中tan AD C DC =，即tan 35100xx =+得：7003x =即热气球的高度为7003AD =米 4.如图，某建筑物BC 顶部有一旗杆AB ，且点A ，B ，C 在同一直线上．小红在D 处观测旗杆顶部A 的仰角为47°，观测旗杆底部B 的仰角为42°．已知点D 到地面的距离DE 为1.56m ，EC=21m ，求旗杆AB 的高度和建筑物BC 的高度（结果保留小数点后一位，参考数据：tan47°≈1.07，tan42°≈0.90）．参考答案:解：根据题意，DE=1.56,EC=21,∠ACE=90°,∠DEC=90°．过点D 作DF ⊥AC,垂足为F ．则∠DFC=90°,∠ADF=47°,∠BFD=42°．1.41≈ 1.73≈）参考答案:解：过C 作CD ⊥AB 于点D ， 则∠DBC=45°=∠BCD ∴可设BD=CD=x在Rt △ACD 中可得：tan DCDAC AD∠=即：tan 302x x =+得1 2.73x =≈即，点C 与探测面的 距离大约为2.73米。