2018中考真题____三角函数综合应用专题复习

解直角三角形2009 22．（8分）坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元1112年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑.数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪、皮尺、小镜子.（1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高. 图1为小华测量塔高的示意图.她先在塔前的平地上选择一点A ，用测角仪测出看塔顶()M 的仰角35α=，在A 点和塔之间选择一点B ，测出看塔顶()M 的仰角45β=，然后用皮尺量出A 、B 两点的距离为18.6m,自身的高度为1.6m.请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度（tan 350.7≈，结果保留整数）.（2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影NP 的长为a m （如图2）,你能否利用这一数据设计一个测量方案？如果能，请回答下列问题：①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是: ；②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？ .201118、（6分）日本福岛出现核电站事故后，我国国家海洋局高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场监测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋环境的影响及时开展分析评估。

如图，上午9时，海检船位于A 处，观测到某港口城市P 位于海检船的北偏西67.5°方向，海检船以21海里/时 的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B 处，这时观察到城市P 位于海检船的南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B 处与城市P 的距离？ （参考数据：539.36sin 0≈,439.36tan 0≈,13125.67sin 0≈,5125.67tan 0≈）（第22题）A B C D MN α β 图1图2 P MN2013 18．（6分）（2013•济宁）钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土（如图1），A 、B 、C 分别是钓鱼岛、南小岛、黄尾屿上的点（如图2），点C 在点A 的北偏东47°方向，点B 在点A 的南偏东79°方向，且A 、B 两点的距离约为5.5km ；同时，点B 在点C 的南偏西36°方向．若一艘中国渔船以30km/h 的速度从点A 驶向点C 捕鱼，需要多长时间到达（结果保留小数点后两位）？（参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan47°≈1.07，tan36°≈0.73，tan11°≈0.19）201521. (本题满分9分)在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即sin sin sin a b cA B C==.利用上述结论可以求解如下题目.如：在ABC ∆中，若45A ∠=，30B ∠=，6a =，求b .解：在ABC ∆中，sin sin a bA B=16sin 6sin 30sin sin 452a Bb A ⨯∴==== 问题解决：如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，且乙船从1B 处按北偏东15方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B处，此时两船相距. （1） 判断122A A B 的形状，并给出证明. （2） 乙船每小时航行多少海里？201618．某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（1）求新坡面的坡角a ；（2）原天桥底部正前方8米处（PB 的长）的文化墙PM 是否需要拆桥？请说明理由．A 21。

2018中考数学三角函数公式汇总及练习新一轮中考复习备考周期正式开始，现帮助各位考生梳理知识脉络，理清做题思路，希望各位考生可以在考试中取得优异成绩！下面是《2018中考数学知识点：三角函数的公式》，仅供参考！三角函数的公式关于初中三角函数公式，在考试中用的最多的就是特殊三角度数的特殊值。

如：sin30°=1/2sin45°=√2/2sin60°=√3/2cos30°=√3/2cos45°=√2/2cos60°=1/2tan30°=√3/3tan45°=1tan60°=√3[1]cot30°=√3cot45°=1cot60°=√3/3其次就是两角和公式，这是在初中数学考试中问答题中容易用到的三角函数公式。

两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB及练习cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)除了以上常考的初中三角函数公示之外，还有半角公式和和差化积公式也在选择题中用到。

所以同学们还是要好好掌握。

半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB- ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB初中三角函数的公式(二)锐角三角函数公式sin α=∠α的对边/ 斜边cos α=∠α的邻边/ 斜边tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边倍角公式Sin2A=2SinA.CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=(2tanA)/(1-tanA^2)(注：SinA^2 是sinA的平方sin2(A) )三倍角公式sin3α=4sinα²sin(π/3+α)sin(π/3-α)cos3α=4cosα²cos(π/3+α)cos(π/3-α)tan3a = tan a ²tan(π/3+a)²tan(π/3-a)三倍角公式推导sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina辅助角公式Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B降幂公式sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina=3sina-4sin3acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa=4cos3a-3cosasin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sin2a)=4sina[(√3/2)2-sin2a]=4sina(sin260°-sin2a)=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4)=4cosa[cos2a-(√3/2)2]=4cosa(cos2a-cos230°)=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2si n[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))三角和sin(α+β+γ)=sinα²cosβ²cos γ+cosα²sinβ²cosγ+cosα²cosβ²sin γ-sinα²sinβ²sinγcos(α+β+γ)=cosα²cosβ²cos γ-cosα²sinβ²sinγ-sinα²cosβ²sinγ-sinα²sinβ²cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα²tanβ²tanγ)/(1-tanα²tanβ-tan β²tanγ-tanγ²tanα)两角和差cos(α+β)=cosα²cosβ-sinα²sinβcos(α-β)=cosα²cosβ+sinα²sin βsin(α±β)=sinα²cosβ±cosα²sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα²tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα²tanβ)和差化积sinθ+sinφ= 2 sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]sinθ-sinφ= 2 cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]cosθ+cosφ= 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]cosθ-cosφ= -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-ta nAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tan AtanB)积化和差sinαsinβ= [cos(α-β)-cos(α+β)] /2cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)]/2sinαcosβ= [sin(α+β)+sin(α-β)]/2cosαsinβ= [sin(α+β)-sin(α-β)]/2诱导公式sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosαtan (—a)=-tanαsin(π/2-α) = cosαcos(π/2-α) = sinαsin(π/2+α) = cosαcos(π/2+α) = -sinαsin(π-α) = sinαcos(π-α) = -cosαsin(π+α) = -sinαcos(π+α) = -cosαtanA= sinA/cosAtan(π/2+α)=-cotαtan(π/2-α)=cotαtan(π-α)=-tanαtan(π+α)=tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan^(α/2)]cosα=[1-tan^(α/2)]/1+tan^(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^(α/2)]其它公式(1)(sinα)^2+(cosα)^2=1(2)1+(tanα)^2=(secα)^2(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2证明下面两式，只需将一式，左右同除(sinα)^2，第二个除(cosα)^2即可(4)对于任意非直角三角形，总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证：A+B=π-Ctan(A+B)=tan(π-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2) cot(C/2)(7)(cosA)^2+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBc osC(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBc osC(9)sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 同角互余角的三角函数间的关系同角三角函数间的关系：平方关系：sin^2(α)+cos^2(α)=1tan^2(α)+1=sec^2(α)cot^2(α)+1=csc^2(α)²积的关系：sinα=tanα²cosαcosα=cotα²sinαtanα=sinα²secαcotα=cosα²cscαsecα=tanα²cscαcscα=secα²cotα²倒数关系：tanα²cotα=1sinα²cscα=1cosα²secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边,余切等于邻边比对边互余角的三角函数间的关系：sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα.锐角三角函数锐角三角函数的定义锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的锐角三角函数。

上海市16区2018届九年级上学期期末（一模）数学试卷分类汇编三角函数综合运用专题宝山区21．（本题满分10分）已知在港口A 的南偏东75°方向有一礁石B ，轮船从港口出发，沿正东北方向（北偏东45°方向）前行10里到达C 后测得礁石B 在其南偏西15°处，求轮船行驶过程中离礁石B 的最近距离．长宁区22．（本题满分10分）如图，一栋居民楼AB 的高为16米，远处有一栋商务楼CD ， 小明在居民楼的楼底A 处测得商务楼顶D 处的仰角为60°，又在商 务楼的楼顶D 处测得居民楼的楼顶B 处的俯角为45°．其中A 、C 两点分别位于B 、D 两点的正下方，且A 、C 两点在同一水平线上， 求商务楼CD 的高度．(参考数据：414.12≈，732.13≈.结果精确到0.1米)崇明区CDA B第22题图22．（本题满分10分）如图，港口B位于港口A的南偏东37︒方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km，到达E处，测得灯塔C在北偏东45︒方向上．这时，E处距离港口A有多远？（参考数据：sin370.60,cos370.80,tan370.75︒≈︒≈︒≈）奉贤区22.（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）如图，为了将货物装入大型的集装箱卡车，需要利用传送带AB将货物从地面传送到高1.8米（即BD=1.8米）的操作平台BC上.已知传送带AB与地面所成斜坡的坡角∠BAD=37°. （1）求传送带AB的长度；（2）因实际需要，现在操作平台和传送带进行改造，如图中虚线所示，操作平台加高0.2米（即BF=0.2米），传送带与地面所成斜坡的坡度i=1:2.求改造后传送带EF的长度.（精确到0.1米）（参考数值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，2 1.41≈，5 2.24≈）虹口区（第22题图）AD BCE37°45°北如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB的夹角分别为45°与68°，若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，cot68°≈0.40）黄浦区22．（本题满分10分）如图，坡AB的坡比为1∶2.4，坡长AB=130米，坡AB的高为BT.在坡AB的正面有一栋建筑物CH，点H、A、T在同一条地平线MN上.（1）试问坡AB的高BT为多少米？（2）若某人在坡AB的坡脚A处和中点D处，观测到建筑物顶部C处的仰角分别为60°和30°，试求建筑物的高度CH.（精确到米，3≈1.73，2≈1.41）嘉定区21.如图4，某湖心岛上有一亭子A，在亭子A的正东方向上的湖边有一颗树B，NMDCBAH T第22题图NAM B在这个湖心岛的湖边C 处测得亭子A 在北偏西45o 方向上。

2018-2019年湖南省各市中考复习数学真题汇编解答题综合练：《锐角三角函数》1．（2019•资阳）如图，南海某海域有两艘外国渔船A、B在小岛C的正南方向同一处捕鱼．一段时间后，渔船B沿北偏东30°的方向航行至小岛C的正东方向20海里处．（1）求渔船B航行的距离；（2）此时，在D处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船，其中B渔船在点D的南偏西60°方向，A渔船在点D的西南方向，我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域．请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离．（注：结果保留根号）2．（2019•永州）为了测量某山（如图所示）的高度，甲在山顶A测得C处的俯角为45°，D处的俯角为30°，乙在山下测得C，D之间的距离为400米．已知B，C，D在同一水平面的同一直线上，求山高AB．（可能用到的数据：≈1.414，≈1.732）3．（2019•湘潭）我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为30°．火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加15°，求此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）4．（2019•娄底）如图，某建筑物CD高96米，它的前面有一座小山，其斜坡AB的坡度为i＝1：1．为了测量山顶A的高度，在建筑物顶端D处测得山顶A和坡底B的俯角分别为α、β．已知tanα＝2，tanβ＝4，求山顶A的高度AE（C、B、E在同一水平面上）．5．（2019•邵阳）某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直．AC＝40cm，∠ADE＝30°，DE＝190cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度（结果精确到1cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）6．（2019•张家界）天门山索道是世界最长的高山客运索道，位于张家界天门山景区．在一次检修维护中，检修人员从索道A处开始，沿A﹣B﹣C路线对索道进行检修维护．如图：已知AB＝500米，BC＝800米，AB与水平线AA1的夹角是30°，BC与水平线BB1的夹角是60°．求：本次检修中，检修人员上升的垂直高度CA1是多少米？（结果精确到1米，参考数据：≈1.732）7．（2019•常德）图1是一种淋浴喷头，图2是图1的示意图，若用支架把喷头固定在点A 处，手柄长AB＝25cm，AB与墙壁DD′的夹角∠D′AB＝37°，喷出的水流BC与AB形成的夹角∠ABC＝72°，现在住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在人体的C处，且使DE＝50cm，CE＝130cm．问：安装师傅应将支架固定在离地面多高的位置？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）．8．（2019•郴州）如图所示，巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东45°方向上，距离A处30km．在灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救．已知B处在A处的北偏东60°方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？（精确到0.01km．参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）9．（2019•岳阳）慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°．（点D、B、F在同一水平线上，参考数据：sin62.3°≈0.89，cos62.3°≈0.46，tan62.3°≈1.9）（1）求小亮与塔底中心的距离BD；（用含a的式子表示）（2）若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB．10．（2019•怀化）如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向，试计算此段河面的宽度．11．（2019•株洲）小强的爸爸准备驾车外出．启动汽车时，车载报警系统显示正前方有障碍物，此时在眼睛点A处测得汽车前端F的俯角为α，且tanα＝，若直线AF与地面l1相交于点B，点A到地面l1的垂线段AC的长度为1.6米，假设眼睛A处的水平线l2与地面l1平行．（1）求BC的长度；（2）假如障碍物上的点M正好位于线段BC的中点位置（障碍物的横截面为长方形，且线段MN为此长方形前端的边），MN⊥l1，若小强的爸爸将汽车沿直线l1后退0.6米，通过汽车的前端F1点恰好看见障碍物的顶部N点（点D为点A的对应点，点F1为点F 的对应点），求障碍物的高度．12．（2019•衡阳）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D 处测得楼房顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C处，然后向楼房方向继续行走10米到达E处，测得楼房顶部A的仰角为60°．已知坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：（坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房AB高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）13．（2018•湘西州）如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB＝10km．（1）求景点B与C的距离；（2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）14．（2018•郴州）小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB＝60°，∠EAC＝30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC＝30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）15．（2018•邵阳）某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度，（结果精确到0．lm，温馨提示：sin15°≈0.26，cos l5°≈0.97，tan15°≈0.27）16．（2018•湘潭）随着航母编队的成立，我国海军日益强大．2018年4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图，我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少海里？（参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到1海里）．17．（2018•常德）图1是一商场的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，且两扇门的大小相同（即AB＝CD），将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向里面旋转37°，将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转45°，其示意图如图2，求此时B与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，≈1.4）18．（2018•长沙）为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80千米，∠A＝45°，∠B＝30°．（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）19．（2018•衡阳）一名徒步爱好者来衡阳旅行，他从宾馆C出发，沿北偏东30°的方向行走2000米到达石鼓书院A处，参观后又从A处沿正南方向行走一段距离，到达位于宾馆南偏东45°方向的雁峰公园B处，如图所示．（1）求这名徒步爱好者从石鼓书院走到雁峰公园的途中与宾馆之间的最短距离；（2）若这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，那么他在15分钟内能否到达宾馆？参考答案1．解：（1）由题意得，∠CAB＝30°，∠ACB＝90°，BC＝20，∴AB＝2BC＝40海里，答：渔船B航行的距离是40海里；（2）过B作BE⊥AE于E，过D作DH⊥AE于H，延长CB交DH于G，则四边形AEBC和四边形BEHG是矩形，∴BE＝GH＝AC＝20，AE＝BC＝20，设BG＝EH＝x海里，∴AH＝x+20，由题意得，∠BDG＝60°，∠ADH＝45°，∴x，DH＝AH，∴20+x＝x+20，解得：x＝20，∴BG＝20，AH＝20+20，∴BD＝＝40，AD＝AH＝20+20，答：中国渔政船此时到外国渔船B的距离是40海里，到外国渔船A的距离是（20+20）海里．2．解：设AB＝x，由题意可知：∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，∴AB＝BC＝x，∴BD＝BC+CD＝x+400，在Rt△ADB中，∴tan30°＝，∴＝，解得：x＝≈546.4，经检验，x≈546.4是原分式方程的解，∴山高AB为546.4米．3．解：如图所示：连接MN，由题意可得：∠AMN＝90°，∠ANM＝30°，∠BNM＝45°，AN ＝8km，在直角△AMN中，MN＝AN•cos30°＝8×＝4（km）．在直角△BMN中，BM＝MN•tan45°＝4km≈6.9km．答：此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离约为6.9km．4．解：如图，作AF⊥CD于F．设AE＝x米．∵斜坡AB的坡度为i＝1：1，∴BE＝AE＝x米．在Rt△BDC中，∵∠C＝90°，CD＝96米，∠DBC＝∠β，∴BC＝＝＝24（米），∴EC＝EB+BC＝（x+24）米，∴AF＝EC＝（x+24）米．在Rt△ADF中，∵∠AFD＝90°，∠DAF＝∠α，∴DF＝AF•tanα＝2（x+24）米，∵DF＝DC﹣CF＝DC﹣AE＝（96﹣x）米，∴2（x+24）＝96﹣x，解得x＝16．故山顶A的高度AE为16米．5．解：设OE＝OB＝2xcm，∴OD＝DE+OE＝190+2x，∵∠ADE＝30°，∴OC＝OD＝95+x，∴BC＝OC﹣OB＝95+x﹣2x＝95﹣x，∵tan∠BAD＝，∴2.14＝，解得：x≈9.4cm，∴OB＝2x≈19cm．6．解：如图，过点B作BH⊥AA1于点H．在Rt△ABH中，AB＝500，∠BAH＝30°，∴BH＝AB＝（米），∴A1B1＝BH＝250（米），在Rt△BB1C中，BC＝800，∠CBB1＝60°，∴，∴B1C＝＝400（米），∴检修人员上升的垂直高度CA1＝CB1+A1B1＝400+250≈943（米）答：检修人员上升的垂直高度CA1为943米．7．解：过点B作BG⊥D′D于点G，延长EC、GB交于点F，∵AB＝25，DE＝50，∴sin37°＝，cos37°＝，∴GB≈25×0.60＝15，GA≈25×0.80＝20，∴BF＝50﹣15＝35，∵∠ABC＝72°，∠D′AB＝37°，∴∠GBA＝53°，∴∠CBF＝55°，∴∠BCF＝35°，∵tan35°＝，∴CF≈＝50，∴FE＝50+130＝180，∴GD＝FE＝180，∴AD＝180﹣20＝160，∴安装师傅应将支架固定在离地面160cm的位置．8．解：延长CB交过A点的正东方向于D，如图所示：则∠CDA＝90°，由题意得：AC＝30km，∠CAD＝90°﹣45°＝45°，∠BAD＝90°﹣60°＝30°，∴AD＝CD＝AC＝15，AD＝BD，∴BD＝＝5，∴AB＝＝＝10≈10×2.449≈24.49（km）；答：巡逻船与渔船的距离约为24.49km．9．解：（1）由题意得，四边形CDBG、HBFE为矩形，∴GB＝CD＝1.7，HB＝EF＝1.5，∴GH＝0.2，在Rt△AHE中，tan∠AEH＝，则AH＝HE•tan∠AEH≈1.9a，∴AG＝AH﹣GH＝1.9a﹣0.2，在Rt△ACG中，∠ACG＝45°，∴CG＝AG＝1.9a﹣0.2，∴BD＝1.9a﹣0.2，答：小亮与塔底中心的距离BD为（1.9a﹣0.2）米；（2）由题意得，1.9a﹣0.2+a＝52，解得，a＝18，则AG＝1.9a﹣0.2＝34，∴AB＝AG+GB＝34+1.7＝35.7，答：慈氏塔的高度AB为35.7米．10．解：如图，作AD⊥BC于D．由题意可知：BC＝1.5×40＝60米，∠ABD＝30°，∠ACD＝60°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝30°，∴∠ABC＝∠BAC，∴BC＝AC＝60米．在Rt△ACD中，AD＝AC•sin60°＝60×＝30（米）．答：这条河的宽度为30米．11．解：（1）由题意得，∠ABC＝∠α，在Rt△ABC中，AC＝1.6，tan∠ABC＝tanα＝，∴BC＝＝＝4.8m，答：BC的长度为4.8m；（2）过D作DH⊥BC于H，则四边形ADHC是矩形，∴AD＝CH＝BE＝0.6，∵点M是线段BC的中点，∴BM＝CM＝2.4米，∴EM＝BM﹣BE＝1.8，∵MN⊥BC，∴MN∥DH，∴△EMN∽△EHD，∴＝，∴＝，∴MN＝0.6，答：障碍物的高度为0.6米．12．解：过D作DG⊥BC于G，DH⊥AB于H，交AE于F，作FP⊥BC于P，如图所示：则DG＝FP＝BH，DF＝GP，∵坡面CD＝10米，山坡的坡度i＝1：，∴∠DCG＝30°，∴FP＝DG＝CD＝5，∴CG＝DG＝5，∵∠FEP＝60°，∴FP＝EP＝5，∴EP＝，∴DF＝GP＝5+10+＝+10，∵∠AEB＝60°，∴∠EAB＝30°，∵∠ADH＝30°，∴∠DAH＝60°，∴∠DAF＝30°＝∠ADF，∴AF＝DF＝+10，∴FH＝AF＝+5，∴AH＝FH＝10+5，∴AB＝AH+BH＝10+5+5＝15+5≈15+5×1.73≈23.7（米），答：楼房AB高度约为23.7米．13．解：（1）如图，由题意得∠CAB＝30°，∠ABC＝90°+30°＝120°，∴∠C＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝30°，∴∠CAB＝∠C＝30°，∴BC＝AB＝10km，即景点B、C相距的路程为10km．（2）过点C作CE⊥AB于点E，∵BC＝10km，C位于B的北偏东30°的方向上，∴∠CBE＝60°，在Rt△CBE中，CE＝km．14．解：∵∠EAB＝60°，∠EAC＝30°，∴∠CAD＝60°，∠BAD＝30°，∴CD＝AD•tan∠CAD＝AD，BD＝AD•ta n∠BAD＝AD，∴BC＝CD﹣BD＝AD＝30，∴AD＝15≈25.98．15．解：在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝10m，∴AD＝AB sin∠ABD＝10×sin30°＝5，在Rt△ACD中，∠ACD＝15°，sin∠ACD＝，∴AC＝＝≈≈19.2m，即：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度约为19.2米．16．解：在△APC中，∠ACP＝90°，∠APC＝45°，则AC＝PC．∵AP＝400海里，∴由勾股定理知，AP2＝AC2+PC2＝2PC2，即4002＝2PC2，故PC＝200海里．又∵在直角△BPC中，∠PCB＝90°，∠BPC＝60°，∴PB＝＝2PC＝400≈566（海里）．答：此时巡逻舰与观测点P的距离PB约为566海里．17．解：作BE⊥AD于点E，作CF⊥AD于点F，延长FC到点M，使得BE＝CM，如图所示．∵AB＝CD，AB+CD＝AD＝2，∴AB＝CD＝1．在Rt△ABE中，AB＝1，∠A＝37°，∴BE＝AB•sin∠A≈0.6，AE＝AB•cos∠A≈0.8．在Rt△CDF中，CD＝1，∠D＝45°，∴CF＝CD•sin∠D≈0.7，DF＝CD•cos∠D≈0.7．∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴BE∥CM，又∵BE＝CM，∴四边形BEMC为平行四边形，∴BC＝EM，CM＝BE．在Rt△MEF中，EF＝AD﹣AE﹣DF＝0.5，FM＝CF+CM＝1.3，∴EM＝≈1.4，∴B与C之间的距离约为1.4米．18．解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，∵AB⊥CD，sin30°＝，BC＝80千米，∴CD＝BC•sin30°＝80×（千米），AC＝（千米），AC+BC＝80+40（千米），答：开通隧道前，汽车从A地到B地要走80+40千米；（2）∵cos30°＝，BC＝80（千米），∴BD＝BC•cos30°＝80×（千米），∵tan45°＝，CD＝40（千米），∴AD＝（千米），∴AB＝AD+BD＝40+40≈40+40×1.73＝109.2（千米），∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB＝136.4﹣109.2＝27.2（千米）．答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米．19．解：（1）作CP⊥AB于P，由题意可得出：∠A＝30°，AP＝2000米，则CP＝AC＝1000米；（2）∵在Rt△PBC中，PC＝1000，∠PBC＝∠BPC＝45°，∴BC＝PC＝1000米．∵这名徒步爱好者以100米/分的速度从雁峰公园返回宾馆，∴他到达宾馆需要的时间为＝10＜15，∴他在15分钟内能到达宾馆．。

上海市16区2018届九年级上学期期末（一模）数学试卷分类汇编三角函数综合运用专题宝山区21．（本题满分10分）已知在港口A 的南偏东75°方向有一礁石B ，轮船从港口出发，沿正东北方向（北偏东45°方向）前行10里到达C 后测得礁石B 在其南偏西15°处，求轮船行驶过程中离礁石B 的最近距离．长宁区22．（本题满分10分）如图，一栋居民楼AB 的高为16米，远处有一栋商务楼CD ， 小明在居民楼的楼底A 处测得商务楼顶D 处的仰角为60°，又在商 务楼的楼顶D 处测得居民楼的楼顶B 处的俯角为45°．其中A 、C 两点分别位于B 、D 两点的正下方，且A 、C 两点在同一水平线上， 求商务楼CD 的高度．(参考数据：414.12≈，732.13≈.结果精确到0.1米)崇明区22．（本题满分10分）如图，港口B位于港口A的南偏东37︒方向，灯塔C恰好在AB的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km，到达E处，测得灯塔C在北偏东45︒方向上．这时，E处距离港口A有多远？（参考数据：sin370.60,cos370.80,tan370.75︒≈︒≈︒≈）奉贤区22.（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）如图，为了将货物装入大型的集装箱卡车，需要利用传送带AB将货物从地面传送到高1.8米（即BD=1.8米）的操作平台BC上.已知传送带AB与地面所成斜坡的坡角∠BAD=37°. （1）求传送带AB的长度；（2）因实际需要，现在操作平台和传送带进行改造，如图中虚线所示，操作平台加高0.2米（即BF=0.2米），传送带与地面所成斜坡的坡度i=1:2.求改造后传送带EF的长度.（精确到0.1米）（参考数值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.751.41，2.24）虹口区如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB的夹角分别为45°与68°，若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，cot68°≈0.40）黄浦区22．（本题满分10分）如图，坡AB的坡比为1∶2.4，坡长AB=130米，坡AB的高为BT.在坡AB的正面有一栋建筑物CH，点H、A、T在同一条地平线MN上.（1）试问坡AB的高BT为多少米？（2）若某人在坡AB的坡脚A处和中点D处，观测到建筑物顶部C处的仰角分别为60°和30°，试求建筑物的高度CH.≈1.73≈1.41）嘉定区21.如图4，某湖心岛上有一亭子A ，在亭子A 的正东方向上的湖边有一颗树B ，在这个湖心岛的湖边C 处测得亭子A 在北偏西45o方向上。

中考数学真题汇编:锐角三角函数一、选择题1.的值等于（）A. B. C. 1 D.【答案】B2.如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】B3.如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是( )A.3B.C.D.【答案】D4.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：，，）A. 12.6米B. 13.1米C. 14.7米D. 16.3米【答案】B5.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：）（）A. 4.64海里B. 5.49海里C. 6.12海里D. 6.21海里【答案】B6.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（）A. B. C. D.【答案】B7. 如图，已知在中，，，，则的值是（）A. B. C. D.【答案】A8. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B 在同一条直线上）（）A. B. C. D. h•cosα【答案】B二、填空题9.如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上，继续航行1．5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行________小时即可到达(结果保留根号)【答案】10.如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=________。

中考数学真题汇编:锐角三角函数一、选择题1.的值等于（）A. B. C. 1 D.【答案】B2.如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，，则的度数是（）A. B. C. D.【答案】B3.如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是( )A.3B.C.D.【答案】D4.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：，，）A. 12.6米B. 13.1米C. 14.7米D. 16.3米【答案】B5.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：）（）A. 4.64海里B. 5.49海里C. 6.12海里D. 6.21海里【答案】B6.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（）A. B. C. D.【答案】B7. 如图，已知在中，，，，则的值是（）A. B. C. D.【答案】A8. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B 在同一条直线上）（）A. B. C. D. h•cosα【答案】B二、填空题9.如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上，继续航行1．5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行________小时即可到达(结果保留根号)【答案】10.如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=________。

2018中考真题____三角函数综合应用专题复习(总14页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--历届《三角函数综合题》中考真题训练1.(2017?贵阳) 贵阳市某消防支队在一幢居民楼前进行消防演习，如图所示，消防官兵利用云梯成功救出在C处的求救者后，发现在C处正上方17米的B处又有一名求救者，消防官兵立刻升高云梯将其救出，已知点A与居民楼的水平距离是15米，且在A点测得第一次施救时云梯与水平线的夹角∠CAD=60°，求第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD的度数（结果精确到1°）．2.（2017?营口）如图，一艘船以每小时30海里的速度向北偏东75°方向航行，在点A处测得码头C在船的东北方向，航行40分钟后到达B处，这时码头C恰好在船的正北方向，在船不改变航向的情况下，求出船在航行过程中与码头C的最近距离．（结果精确到海里，参考数据≈，≈）3.（2017?黄冈）在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD（如图所示），已知标语牌的高AB=5m，在地面的点E处，测得标语牌点A的仰角为30°，在地面的点F处，测得标语牌点A的仰角为75°，且点E，F，B，C在同一直线上，求点E与点F之间的距离．（计算结果精确到米，参考数据：≈，≈）4. （2017?随州）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈，tan35°≈，sin55°≈，sin35°≈）5.（2017?桂林）“C919”大型客机首飞成功，激发了同学们对航空科技的兴趣，如图是某校航模兴趣小组获得的一张数据不完整的航模飞机机翼图纸，图中AB∥CD，AM∥BN∥ED，AE⊥DE，请根据图中数据，求出线段BE和CD的长．（sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，结果保留小数点后一位）6（2018?青羊区模拟）如图，小明今年国庆节到青城山游玩，乘坐缆车，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它经过了200m，缆车行驶的路线与水平夹角∠α=16°，当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面夹角∠β=42°，求缆车从点A到点D垂直上升的距离．（结果保留整数）（参考数据：sin16°≈，cos16°≈，sin42°≈，cos42°≈）7. （2017?呼和浩特）如图，地面上小山的两侧有A，B两地，为了测量A，B两地的距离，让一热气球从小山西侧A地出发沿与AB成30°角的方向，以每分钟40m的速度直线飞行，10分钟后到达C处，此时热气球上的人测得CB与AB成70°角，请你用测得的数据求A，B两地的距离AB 长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）8. （2017?张家界）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=米，求像体AD的高度（最后结果精确到米，参考数据：°≈，°≈，°≈）9. （2017?长春）如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到米）（参考数据：sin31°=，cos31°=，tan31°=）10（2016?常德）南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在A处测得北偏东30°方向上，距离为20海里的B处有一艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿北偏东75°的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里（最后结果保留整数）（参考数据：cos75°=，sin75°=，tan75°=，=，=）11.（2014?黔东南州）黔东南州某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30°，已知小明和小军相距（BD）6米，小明的身高（AB）米，小军的身高（CD）米，求旗杆的高EF的长．（结果精确到，参考数据：≈，≈）12.（2012?黔东南州）如图，一艘货轮在A处发现其北偏东45°方向有一海盗船，立即向位于正东方向B处的海警舰发出求救信号，并向海警舰靠拢，海警舰立即沿正西方向对货轮实施救援，此时距货轮200海里，并测得海盗船位于海警舰北偏西60°方向的C处．（1）求海盗船所在C处距货轮航线AB的距离．（2）若货轮以45海里/时的速度在A处沿正东方向海警舰靠拢，海盗以50海里/时的速度由C 处沿正南方向对货轮进行拦截，问海警舰的速度应为多少时才能抢在海盗之前去救货轮（结果保留根号）参考答案及分析1.(2017?贵阳)解：延长AD交BC所在直线于点E．由题意，得BC=17米，AE=15米，∠CAE=60°，∠AEB=90°，在Rt△ACE中，tan∠CAE=，∴CE=AE?tan60°=15米．在Rt△ABE中，tan∠BAE==，∴∠BAE≈71°．答：第二次施救时云梯与水平线的夹角∠BAD约为71°．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，构造出直角三角形是解题的关键．2.（2017?营口）【分析】过点C作CE⊥AB于点E，过点B作BD⊥AC于点D，由题意可知：船在航行过程中与码头C的最近距离是CE，根据∠DAB=30°，AB=20，从而可求出BD、AD的长度，进而可求出CE的长度．【解答】解：过点C作CE⊥AB于点E，过点B作BD⊥AC于点D，由题意可知：船在航行过程中与码头C的最近距离是CE，AB=30×=20，∵∠NAC=45°，∠NAB=75°，∴∠DAB=30°，∴BD=AB=10，由勾股定理可知：AD=10∵BC∥AN，∴∠BCD=45°，∴CD=BD=10，∴AC=10+10∵∠DAB=30°，∴CE=AC=5+5≈答：船在航行过程中与码头C的最近距离是海里【点评】本题考查解三角形的应用，解题的关键是熟练运用锐角三角函数以及勾股定理，本题属于中等题型．3.（2017?黄冈）【分析】如图作FH⊥AE于H．由题意可知∠HAF=∠HFA=45°，推出AH=HF，设AH=HF=x，则EF=2x，EH=x，在Rt△AEB中，由∠E=30°，AB=5米，推出AE=2AB=10米，可得x+x=10，解方程即可．【解答】解：如图作FH⊥AE于H．由题意可知∠HAF=∠HFA=45°，∴AH=HF，设AH=HF=x，则EF=2x，EH=x，在Rt△AEB中，∵∠E=30°，AB=5米，∴AE=2AB=10米，∴x+x=10，∴x=5﹣5，∴EF=2x=10﹣10≈米，答：E与点F之间的距离为米．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、锐角三角函数、等腰直角三角形的性质、一元一次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构建方程解决问题．4.（2017?随州）【分析】作BE⊥DH，知GH=BE、BG=EH=10，设AH=x，则BE=GH=43+x，由CH=AHtan∠CAH=tan55°?x知CE=CH﹣EH=tan55°?x﹣10，根据BE=DE可得关于x的方程，解之可得．【解答】解：如图，作BE⊥DH于点E，则GH=BE、BG=EH=10，设AH=x，则BE=GH=GA+AH=43+x，在Rt△ACH中，CH=AHtan∠CAH=tan55°?x，∴CE=CH﹣EH=tan55°?x﹣10，∵∠DBE=45°，∴BE=DE=CE+DC，即43+x=tan55°?x﹣10+35，解得：x≈45，∴CH=tan55°?x=×45=63，答：塔杆CH的高为63米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．5.（2017?桂林）【分析】在Rt△BED中可先求得BE的长，过C作CF⊥AE于点F，则可求得AF的长，从而可求得EF的长，即可求得CD的长．【解答】解：∵BN∥ED，∴∠NBD=∠BDE=37°，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴BE=DE?tan∠BDE≈（cm），如图，过C作AE的垂线，垂足为F，∵∠FCA=∠CAM=45°，∴AF=FC=25cm，∵CD∥AE，∴四边形CDEF为矩形，∴CD=EF，∵AE=AB+EB=（cm），∴CD=EF=AE﹣AF≈（cm），答：线段BE的长约等于，线段CD的长约等于．【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，利用条件构造直角三角形是解题的关键，注意角度的应用．6.（2018?青羊区模拟）【分析】本题要求的实际是BC和DF的长度，已知了AB、BD都是200米，可在Rt△ABC和Rt△BFD中用α、β的正切函数求出BC、DF的长．【解答】解：Rt△ABC中，斜边AB=200米，∠α=16°，BC=AB?sinα=200×sin16°≈54（m），Rt△BDF中，斜边BD=200米，∠β=42°，DF=BD?sinβ=200×sin42°≈132，因此缆车垂直上升的距离应该是BC+DF=186（米）．答：缆车垂直上升了186米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，锐角三角函数的定义，结合图形理解题意是解决问题的关键．7. （2017?呼和浩特）【分析】过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，通过解直角△ACM得到AM的长度，通过解直角△BCM得到BM的长度，则AB=AM﹣BM．【解答】解：过点C作CM⊥AB交AB延长线于点M，由题意得：AC=40×10=400（米）．在直角△ACM中，∵∠A=30°，∴CM=AC=200米，AM=AC=200米．在直角△BCM中，∵tan20°=，∴BM=200tan20°，∴AB=AM﹣BM=200﹣200ta n20°=200（﹣tan20°），因此A，B两地的距离AB长为200（﹣tan20°）米．【点评】本题考查解直角三角形的应用、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住三角函数的定义，以及特殊三角形的边角关系，属于中考常考题型．8. （2017?张家界）【分析】根据等腰直角三角形的性质得出BC的长，再利用°=求出答案．【解答】解：∵在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=米，∴BC=，∵在Rt△ABC中，∠ABC=°，∴°==≈，解得：AD≈，答：像体AD的高度约为．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．9. （2017?长春）【分析】过B作地平面的垂线段BC，垂足为C，构造直角三角形，利用正弦函数的定义，即可求出BC的长．【解答】解：过B作地平面的垂线段BC，垂足为C．在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∴BC=AB?sin∠BAC=12×≈（米）．即大厅两层之间的距离BC的长约为米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．10.（2016?常德）【分析】过B作BD⊥AC，在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出BD与AD的长，在直角三角形BCD 中，求出CD的长，由AD+DC求出AC的长即可．【解答】解：过B作BD⊥AC，∵∠BAC=75°﹣30°=45°，∴在Rt△ABD中，∠BAD=∠ABD=45°，∠ADB=90°，由勾股定理得：BD=AD=×20=10（海里），在Rt△BCD中，∠C=15°，∠CBD=75°，∴tan∠CBD=，即CD=10×=，则AC=AD+DC=10+10×=≈67（海里），即我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了67海里．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．11.（2014?黔东南州）【分析】过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N，则MN=．由小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，可得△AEM是等腰直角三角形，继而得出得出AM=ME，设AM=ME=xm，则CN=（x+6）m，EN=（x﹣）m．在Rt△CEN中，由tan∠ECN==，代入CN、EN解方程求出x的值，继而可求得旗杆的高EF．【解答】解：过点A作AM⊥EF于M，过点C作CN⊥EF于N，∴MN=，∵∠EAM=45°，∴AM=ME，设AM=ME=xm，则CN=（x+6）m，EN=（x﹣）m，∵∠ECN=30°，∴tan∠ECN===，解得：x≈，则EF=EM+MF≈+=（m）．答：旗杆的高EF为．【点评】本题考查了解直角三角形的问题．该题是一个比较常规的解直角三角形问题，建立模型比较简单，但求解过程中涉及到根式和小数，算起来麻烦一些．12.（2012?黔东南州）【分析】（1）由条件可知△ABC为斜三角形，所以作AC上的高，转化为两个直角三角形求解．（2）求得海盗船到达D处的时间，用BD的长度除以求得的时间即可得到结论．【解答】解：（1）作CD⊥AB于点D，在直角三角形ADC中，∵∠CAD=45°，∴ AD=CD．在直角三角形CDB中，∵∠CBD=30°，∴=tan30°，∴ BD=CD．∵ AD+BD=CD+CD=200，∴ CD=100（﹣1）；（2）∵海盗以50海里/时的速度由C处沿正南方向对货轮进行拦截，∴海盗到达D处用的时间为100（﹣1）÷50=2（﹣1），∴警舰的速度应为[200﹣100（﹣1）]÷2（﹣1）=50海里/时．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形来求解．1111。

2018年数学全国中考真题解直角三角形及其应用（试题一）解析版一、选择题1. （2018四川绵阳，10，3分） 一艘在南北航线上的测量船，于A 点处测得海岛B 在点A 的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C 点时，测得海岛B 在C 点的北偏东15°方向，那么海岛B 离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：732.13≈，414.12≈） A.4.64海里 B.5.49海里 C.6.12海里 D.6.21海里 【答案】B.【解析】解：如图所示，由题意知，∠BAC=30°、∠ACB=15°，作BD ⊥AC 于点D ，以点B 为顶点、BC 为边，在△ABC 内部作∠CBE=∠ACB=15°， 则∠BED=30°，BE=CE ， 设BD=x ，则AB=BE=CE=2x ，AD=DE=3x ， ∴AC=AD+DE+CE =23x +2x ， ∵AC=30， ∴23x +2x=30，解得：x=21315-≈5.49. 故选B.【知识点】解直角三角形的应用——方向角问题，勾股定理的应用，三角形的外角性质，等腰三角形的判定，含30°角直角三角形的性质，垂线段最短的应用2. （2018·重庆B 卷，9，4）如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物．某同学从建筑物底端B 出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C ，再经过一段坡度（或坡比）为i ＝1﹕0.75、坡长为10米的斜坡CD 到达点D ，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E （A ，B ，C ，D ，E 均在同一平面内）．在E 处测得建筑物顶端A 的仰角为24°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）（ ）A ．21.7米B ．22.4米C ．27.4米D ．28.8米【答案】A ．【解析】过点C 作CN ⊥DE 于点N ，延长AB 交ED 的延长线于点M ，则BM ⊥DE 于点M ，则MN ＝BC ＝20米．∵斜坡CD 的坡比i ＝1﹕0.75，∴令CN ＝x ，则DN ＝0.75x ．在Rt △CDN 中，由勾股定理，得x 2＋(0.75x )2＝102，解得x ＝8，从而CN ＝8米，DN ＝6米．∵DE ＝40米，∴ME ＝MN ＋ND ＋DE ＝66米，AM ＝(AB ＋8)米．在Rt △AME 中，tan E ＝AMEM， 即8tan 2466AB +=︒，从而0.45＝866AB +，解得AB ＝21.7，故选A ．【知识点】解直角三角形 坡度1. （2018·重庆A 卷，10，4）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直， 在教学楼底面E 处测得旗杆顶端的仰角∠AED ＝58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE ＝7米，升旗台坡 面CD 的坡度i ＝1﹕0.75，坡长CD ＝2米，若旗杆底部到坡面CD 的水平距离BC ＝1米，则旗杆AB 的高度 为（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6） （ ） A ．12.6米 B ．13.1米 C ．14.7米 D ．16.3米【答案】B ．NMi =1:0.75EDCB A9题图i =1:0.75ECB 10题图教学楼EDCB A【解析】过点C作CN ⊥DE于点N ，延长AB交ED的延长线于点M，则BM⊥DE于点M，则MN＝BC＝1米．∵斜坡CD的坡比i＝1﹕0.75，∴令CN＝x，则DN＝0.75x．在Rt△CDN中，由勾股定理，得x2＋(0.75x)2＝22，解得x＝1.6，从而DN＝1.2米．∵DE＝7米，∴ME＝MN＋ND＋DE＝9.2米，AM＝(AF＋1.6)米．在Rt△AME中，tan∠AEM＝AMEM，即1.6tan589.2AB+=︒，从而1.6＝1.69.2AB+，解得AB＝13. 12≈13.1（米），故选B．【知识点】解直角三角形坡度二、填空题1.（2018山东潍坊，18，3分）如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行小时即可到达.（结果保留根号）【答案】18635+【思路分析】过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，过点M作MN⊥AB，垂足为M. 设PQ=MN=x，解Rt△APQ和Rt △BPQ求得x的值，再解Rt△BMN求出BM的长度，利用路程÷速度=时间解答即可.【解题过程】过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，过点M作MN⊥AB，垂足为M.AB=60×1.5=90海里设PQ=MN=x，由点P在点A的东北方向可知，∠P AQ=45°，∴AQ=PQ=x，BQ=x－90在Rt△PBQ中，∠PBQ=90°－30°=60°tan60390xx︒==-解得：135453x=+.NM教学楼EDCBAQ N在Rt △BMN 中，∠MBN =90°－60°=30°∴BM =2MN =2x=2135270⨯+=+（∴航行时间为=小时.【知识点】解直角三角形的应用2. （2018山东省济宁市，14，3）如图，在一笔直的海岸线L 上有相距2km 的A ，B 两个观测站，B 站在A 站的正东方向上，从A 站测得船C 在北偏东60°的方向上.从B 站测得船C 在北偏东30°的方向上，则船C 到海岸线L 的距离是_______km.【解析】首先由题意可得：△ACB 是等腰三角形，可求得BC 的长为2km ，然后由点C 作CD ⊥AB 于点D ，构造直角三角形CBD ，应用边角之间的三角函数关系确定CD=BC •sin60°，求得结果．过点C 作CD ⊥AB 于点D ，根据题意得：∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°， ∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，∴∠CAB=∠ACB ，∴BC=AB=2km ，在Rt △CBD 中，CD=BC •sin60°=2km ）【知识点】方位角、等腰三角形、解直角三角形3. （2018宁波市，16题，10分） 如图某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB ，飞机上的测量人员在C处测得A ，B 两点的俯角分别为45°和30°若飞机离地面的高度CH 为1200米，且点H ，A ，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度AB 为 米(结果保留根号)．【答案】1200√3−1200 【解析】解：∵CD ∥HB∴∠CAH=45°；∠HBC=30°在Rt △CHA 中， ∴AH=CH=1200 在Rt △CHB 中， ∴HB=√3CH =1200√3∴AB=HB-AH=1200√3−1200【知识点】解直角三角形1. （2018湖北荆州，T14，F3值）荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明嘉靖年间，周边风景秀丽．现在塔底（第16题图）低于地面约7米，某校学生测得古塔的整体高度约为40米．其测量塔顶相对地面高度的过程如下：先在地面A 处测得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进a 米后到达B 处，在B 处测得塔顶的仰角为45°（如图所示），那么a 的值约为_________米（3173≈．，结果精确到0．1）．【答案】33()13-【解析】如图所示，由题意可知，CD=40-7=33，在Rt ∆BCD 中，∵∠CBD=450，∴CD=BD=33,∴AD=AB+BD=a+33,在Rt ∆ACD 中tan ∠CAD·AD=CD,即33)33(33=+a ，解得，a=33()13-【知识点】锐角三角函数、特殊的直角三角形.三、解答题1. （2018湖北鄂州，21，8分） 如图，我国一艘海监执法船进行常态化巡航，在A 处测得北偏东30°方向距离为40海里的B 处有一艘刻意船只正在向正东方向航行，我海监执法船便迅速沿北偏东75°方向前往监视巡查，经过一段时间在C 处成功拦截可疑船只． （1）求∠ABC 的度数；（2）求我海监执法船前往监视巡查的过程中形式的路程（AC 的长）？（结果精确到0．1海里，3 1.732≈，26 2.449≈≈）【思路分析】（1）过点B 作BD ⊥AD 于D ，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可求出∠ABC 的度数；（2）过点B 作BE ⊥AC 于E ，过点C 作CF ⊥AF 于F ，构造直角三角形，先求出AD 和AE 的长，设BE ＝x ，则AC ＝202x ，再证明△BEC ∽△CF A ，得到BE CECF AF=，求出CE 的长，从而得出AC 的长度． 【解析】解：（1）如下图（1），过点B 作BD ⊥AD 于D ，则∠ADB ＝90°，由题意得∠DAB ＝30°，∴∠ABC＝∠ADB＋∠DAB＝90°＋30°＝120°；（2）如下图（1），过点B作BE⊥AC于E，过点C作CF⊥AF于F，则在Rt△ABD中，∵∠DAB＝30°，AB＝40，∴AD＝AB·cos30°＝40×2＝∵∠ADB＝∠DAF＝∠CF A＝90°，∴四边形ADCF是矩形，∴CF＝AD＝DC∥AF，∴∠BCE＝∠CAF，∵∠DAB＝30°，∠DAF＝75°，∴∠BAC＝∠DAF－∠DAB＝75°－30°＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝BE＝AB·cos45°＝40×2＝BE＝x，则AC＝x，∴AF∵∠BCE＝∠CAF，∠BEC＝∠CF A＝90°，∴△BEC∽△CF A，∴BE CECF AF==22=⎛⎫⎪⎛，()(22223xx=+，28000x-+=，解得22x===∴1x=2x=AC＝x＝133．42或35．86，∵AC＞AB＝40，∴AC≈133．42海里，即我海监执法船前往监视巡查的过程中形式的路程约为133．42海里．【知识点】解直角三角形；勾股定理，三角函数；相似三角形的判定和性质；一元二次方程的解法；矩形的判定和性质2.（2018湖北黄冈，21题，7分）如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD，坡角∠DCE=30°，楼高AB=60米，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45°，其中点A,C,E在同一直线上.（1）求坡底C点到大楼距离AC的值；（2）求斜坡CD的长度.第21题图 【思路分析】（1）在Rt △ABC 中，已知∠ACB 和AB ，利用三角函数可求得AC ；（2）设CD=x ，在Rt △BDF 和△DCE 中，利用三角函数表示出BF 、DF 和DE 、CE ，【解析】（1）在Rt △ABC 中，AB=60米，∠ACB=60°，所以203tan 60ABAC ==米，答：求坡底C 点到大楼距离AC 长203米；（2）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，则四边形FAED 为矩形，所以AF=DE ，DF=AE ，设CD=x 米，在Rt △EDC 中，因为∠DCE=30°，则132DE x CE x ==米，米，在Rt △BDF 中，∠BDF=45°，所以1=602BF x -米，因为DF=AE=AC+CE ，所以312036022x x +=-，解得803120x =-米，答：斜坡CD 长(803120)-米 【知识点】三角函数的应用3. （2018湖南郴州，21，8） 小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行高度AD ，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B 、C 的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D ，B ，C 在同一水平线上，已知桥BC=30米，求无人机飞行高度AD.（精确到0.01米，参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈）【思路分析】过点A 作AD ⊥BC 于点D ，构造Rt △A C D 和Rt △A B D ，然后利用特殊角的锐角三角函数列方程，解方程可得无人机飞行高度．【解析】解：由题意，易得：A E ∥CD ，∴∠EAC=∠ACD=30°，∠EAB=∠ABD=60°，设AD=x ，F在Rt △ACD 中，tan 30ADCD︒=，；在Rt △ABD 中，tan 60ADBD︒=，x ；∵CD-BD=BC ，BC=3030x =，25.98x =≈（米）. 答：无人机飞行高度AD 约为25.98米. 【知识点】解直角三角形的应用4. （2018内蒙古呼和浩特，21，8分）如图，一座山的一段斜坡BD 的长度为600米，且这段斜坡的坡度i=1:3(沿斜坡从B 到D 时，其升高的高度与水平前进的距离之比)，已知在地面B 处得山顶A 的仰角为33°，在斜坡D 处测定山顶A 的仰角为45°，求山顶A 到地面BC 的高度AC 是多少米？（结果用含有非特殊角的三角函数和根式表示即可）【思路分析】过点D 作DF ⊥BC 于点F,构建直角三角形，利用斜坡的坡度i=1:3，先求出∠BD ，利用sin ∠DBF ，cos ∠DBF 中比值关系。