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3．关于空集∅：空集是不含任何元素的集合， 它既不是有限集又不是无限集，不能认为∅＝{0}， 也不能认为{∅}＝∅或{空集}＝∅.
{0}是由数0组成的单元素集，所以0∈{0}，但 0∉∅，∅ {0}，{∅}是由∅组成的单元素集，因此 ∅∈{∅}，由于空集是任何集合的子集，所以∅⊆{∅}也 正确．
1．已知集合A＝{x|1<x≤4，x∈N}，写出集合A 的所有子集和真子集．
解：∵A＝{2,3,4}， ∴集合A的所有子集是：∅，{2}，{3}，{4}， {2,3}，{2,4}，{3,4}，{2,3,4}， 在上述子集中，除去集合A本身，即{2,3,4}，剩 下的都是A的真子集．
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要点阐释
一、正确理解子集的概念 理解子集的概念，应注意以下几点： 1．“A是B的子集”的含义是：A的任何一个元素 都是B的元素，即由任意的x∈A，能推出x∈B. 2．当A不是B的子集时，我们记作“A B”(或 B⊉A)，读作：“A不含于B”(或“B不包含A”)． 3．任何一个集合是它本身的子集，记作A⊆A. 4．空集是任何集合的子集，即对于任一集合 A，有∅⊆A；空集是任何非空集合的真子集，即对于 任一非空集合B，有∅ B.
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误区解密 因忽略空集而出错
【例4】 设A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|2a≤x≤a＋
3}，若B⊆A，则实数a的取值范围是
()
A．{a|1≤a≤3}
B．{a|a>3}
C．{a|a≥1}
D．{a|1<a<3}
错解：∵B⊆A，∴2aa＋≥32≤6 ， 解得 1≤a≤3，故选 A.
题型二 集合相等及应用 【例2】 已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|， y}且A＝B，求实数x与y的值． 解：由已知A＝B＝{0，|x|，y}，∴0∈A. 若x＝0，则A＝{0,0，－y}，不满足元素的互异性； 若y＝0，则B＝{0，|x|,0}，也不满足元素的互异 性． ∴只有x－y＝0，即y＝x. ∴A＝{x，xy,0}＝{x，x2,0}． ∴B＝{0，|x|，x}． ∴x2＝|x|，∴x＝0(舍)，或x＝1，或x＝－1.
元素与集合之间的关系是从属关系(即属于或不 属于)，而集合与集合之间的关系为包含(即包含、含 于、不包含、真包含、相等)．
1．∈，∉用在元素与集合之间，表示从属关 系；⊆， (或 )用在集合与集合之间，表示包含 (真包含)关系．
2．a与{a}的区别：一般地，a表示一个元素， 而{a}表示只有一个元素的一个集合，我们常称之为 单元素集.1∈{1}，不能写成1⊆{1}．
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2．已知集合A＝{2，x，y}，B＝{2x,2，y2}且A＝ B，求x，y的值．
解：∵A＝B， ∴集合A与集合B中的元素相同， ∴xy＝＝y22x 或xy＝＝2y2x ， 解得 x，y 的值为xy＝＝00 或xy＝＝10 或yx＝＝1214，，
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2m－1<m＋1 解得－1≤m<2， 综上得m≥－1.
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点评：(1)分析集合关系时，首先要分析、简化 每个集合．
(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法， 将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注 意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心 点表示，不含“＝”用空心点表示．
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5．在子集的定义中，不能理解为子集A是B中 的“部分元素”所组成的集合．
6．注意子集的三种语言.
名称 记号 文字语言 符号语言 图形语言
若集合A的每 一个元素都是 若x∈A⇒ 子集 ⊆ 集合B的元 x∈B，则 素，则称A是 A⊆B B的子集
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典例剖析
题型一 子集、真子集的概念 【例1】 写出满足{a，b} A⊆{a，b，c，d}的 所有集合A. 解：由题设可知，一方面A是集合{a，b，c，d} 的子集，另一方面A又真包含集合{a，b}，故集合A 中至少含有两个元素a，b，且含有c，d两个元素中 的一个或两个． 故满足条件的集合有{a，b，c}，{a，b，d}， {a，b，c，d}．
(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其 是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非 空集合而丢解，因此分类讨论思想是必须的．
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3．已知集合A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax－1 ＝0}，若B A，求实数a的值．
解：A＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，且B A， ∴(1)当B＝∅时，方程ax－1＝0无解，∴a＝0. (2)当 B≠∅ 时，则 B＝1a， 若1a＝－1，则 a＝－1； 若1a＝3，则 a＝13. 综上，实数 a 的值为 0 或－1 或13.
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点评：(1)正确区分子集与真子集概念是解题的 关键．
(2)写一个集合的子集时，按子集中元素个数多 少，以一定顺序来写不易发生重复和遗漏现象．
(3)集合中含有n个元素，则此集合有2n个子集， 记住这个结论可以提高解答速度，其中要注意空集∅ 和集合本身易漏掉．
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3．解集合关系的问题时还需注意以下几个方 面：
(1)当A⊆B时，A＝B或A B. (2)判断两个集合间的关系：①先用列举法表示 两个集合再判断；②分类讨论． (3)解数集问题学会运用数轴表示集合． (4)集合与集合间的关系可用Venn图直观表示．
验证得，当x＝0，y＝0时， A＝{2,0,0}这与集合元素的互异性相矛盾，舍去． ∴x，y 的取值为xy＝＝10，， 或xy＝＝1214.，
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题型三 子集的集合运用 【例3】 已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m －1<x<m＋1}，且B⊆A.求实数m的取值范围． 解：∵B⊆A， (1)当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2. (2)当 B≠∅时，有－m＋3≤1≤2m4－1 ，
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2．0，{0}，∅，{∅}之间有什么关系？ 答：(1)数0不是集合，{0}是含一个元素0的集 合，∅是不含任何元素的集合，{∅}是指以∅为元素的 集合． (2)不要把数0或集合{0}与空集∅混淆，同时注意 不要把空集∅错写成{∅}或{0}．它们之间的关系是： ∅≠{∅}，∅∈{∅},0∉∅，0∉{∅},0∈{0}． (3)从集合之间的关系看，∅⊆{∅}，∅ {∅}．
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预习测评
1．集合{0,1}的子集有
()
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：此集合的子集有∅，{0}，{1}，{0,1}共4个．
答案：D
2．若集合A＝{x|x≤2}，则
()
A．0⊆A B．0 A C．{0} A D．{0}∈A
解析：∵0∈A，∴A、B两项不正确．
Hale Waihona Puke 错因分析：空集是任何集合的子集，忽视这一 点，会导致漏解，产生错误结论．对于形如 {x|a<x<b}一类的集合，当a≥b时，它表示空集，解 题中要引起注意．
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正解：①当 B≠∅时，则有22aa≤≥a2＋3 ， a＋3≤6
解之得 1≤a≤3， ②当B＝∅时，2a>a＋3，解之得a>3. 综合①②得a≥1. 故应选C. 答案：C
集合之间的关系
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1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给 定集合的子集．
2．在具体情境中，了解空集的含义．
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自学导引
1．一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中 _任__意__一__个__元素都是集合B中的元素，我们就说这两 个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作 _A_⊆__B_(或_B__⊇_A_)，读作“_A_含__于__B_”(或“_B_包__含__A__”)．
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解析：(1)为元素与集合的关系，(2)(3)(4)为集 合与集合的关系．
易知a∈{a，b，c}； ∵x2＋1＝0在实数范围内的解集为空集， 故∅＝{x∈R|x2＋1＝0}； ∵{x|x2＝x}＝{0,1}， ∴{0} {x|x2＝x}； ∵x2－3x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝2. ∴{2,1}＝{x|x2－3x＋2＝0}． 答案：(1)∈ (2)＝ (3) (4)＝
4．不含任何元素的集合叫做_空__集__，记作 _∅__.
5．_空__集__是任何集合的子集， _空__集__是任 何非空集合的真子集．
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自主探究
1．能否把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成 的集合？”
答：不能．这是因为当A＝∅时，A⊆B，但A中 不含任何元素；又当A＝B时，也有A⊆B，但A中含 有B中的所有元素，这两种情况都有A⊆B成立，所 以上述理解是错误的．
名称 记号
文字语言
符号语言 图形语言
真子集
若集合A是集合B的 子集，且B中至少有 一个元素不在A中， 则称A是B的真子集
若A⊆B且 A≠B，则
AB
相等
若集合A是集合B的
＝
子集，且B也是A的 子集，则称A与B相
等
若A⊆B且 B⊆A，则 A＝B
