解法二：由已知得集合M必含有元素1和 2，且至少有一个不同于1和2且等于3，或4， 或5的元素，所以集合M的个数为集合{3,4,5} 的非空子集的个数，即23－1＝7，故选C.
评析：本题是利用真子集和子集的定义 解题，可根据元素个数由少到多来分类处 理．
变式训练 2 已知集合A＝{x|x>2或x<－1}，B ＝{x|a<x<a＋1}，若B⊆A，求实数a的取值范围．
有2n -1个.
返回
变式训练 4
已知集合M={a,b,c,d},N={P|P M},则集合N的元素个数为(C )
A.4个
B.8个
C.16个 D.32个
子∵集P有 2 4M=,∴16P个是.故M集的合子N集的，元而素M个中数有为四16个个元. 素，∴M的
故应选C.
返回
题型三 集合相等关系的应用
3．如果________，并且________，那么 集合A叫集合B的真子集，记作________或 ________．
4．空集是任意一个集合的________，记 作Ø________A；空集又是任意________集合 的________，任意一个集合都是它本身的 ________．
特别警示：若A⊆B，则先考虑A＝Ø的情
（2）因为xy>0x>0,y>0或x<0,y<0,由x>0,y>0xy>0,所以B A
（3）因为方程x2+x-a=0有实根，
所以Δ=1+4a≥0,解得a≥
,
1
4B=
aR|
a -,14
返回
题型二 子集关系的应用
【例2】 满足条件{1,2} M⊆{1,2,3,4,5} 的集合M的个数是
(3)集合间的基本关系与实数间的关系比 较：
研究对象
关系及符号比较
集合
关系
包含于(被包含)真包含于
包含 真包含
符号
⊆
⊇
等于
不包 含于
＝
实数
关系 符号
小于等于 小于
≤ <
大于等于大于
等于
不等 于
≥
＝
≠
>
集合间的基本关系图形及数轴表示
概念
Venn图
数轴
子集
真子集
集合相等
返回
题型一 判定集合间的关系 【例1】 判断下列关系是否正确． (1){a}⊆{a}；(2){1,2,3}＝{3,2,1}； (3)Ø {0}；(4)0∈{0}； (5)Ø∈{0}；(6)Ø＝{0}； (7)Ø {0,1,2}；(8){1} {x|x≤5}．
【例3】 已知三元素集合A＝{x，xy，x －y}，B＝{0，|x|，y}，且A＝B，求x与y的 值．
分析：依据“相等”的定义和集合中元 素的互异性，构造x、y的方程．
解：∵0∈B，A＝B，∴0∈A. ∵集合A为三元素集，∴x≠xy.∴x≠0. 又∵0∈B，y∈B，∴y≠0. 从而x－y＝0，x＝y. 这时，A＝{x，x2,0}，B＝{0，|x|，x}， ∴x2＝|x|. 解得x＝0(舍去)或x＝1(舍去)或x＝－1. 经验证：x＝－1，y＝－1是本题的解．
2
返回
题型4 子集的应用
设集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R}，若B A，求实
数a的值.
【分析】B A可分为B A,B=A两种情况. A={0,-4}，因此，
关键是对x2+2(a+1)x+a2-1=0的根的情况讨论.
【解析】A={x|x2+4x=0}={-4,0},
(3)两个元素的子集:{a,b},{a,c},{b,c};
(4)三个元素的子集:{a,b,c}.
综上，{a,b,c}
,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}.
【评析】（1）写出集合的所有子集时,一定按顺序、规律
写出,避免遗漏或重复;
(2)一般地,如果一个集合有n个元素,则子集有2n个,非空子集
解：集合X中，x＝2,5,10,17，…，集合Y中，y ＝(k－2)2＋1＝2,1,2,5,10,17，…，可得X Y.证明如 下：
对于任意的元素x∈X，有
x＝n2＋1＝(n2＋4n＋4)－4(n＋2)＋5
＝(n＋2)2－4(n＋2)＋5.
由n∈N＋，知n＋2∈N＋， ∴x具有y＝k2－4k＋5，k∈N＋的形式．∴x⊆Y. 又k＝2时，y＝1，∴1∈Y.而1∉X，从而X Y.
变式训练 2
已知M={2,a,b},N={2a,2,b2},且M=N.求a,b的值.
解：由题意得
a 解得 b
00或 abab2b2a或01或baba b22a141
2
由集合中元素的互异性知
a
b
0或 1
a
b
1
4 1
变式训练 1 已知M＝{a，a＋d，a＋2d}， N＝{a，aq，aq2}(a≠0)，且M＝N，求q的值．
由aa＋ ＋d2＝d＝aqaq2 得d＝aq－aq2， 代入a＋d＝aq2得a＋aq－aq2＝aq2. ∴a(q－2q2＋1)＝0. ∵a≠0，∴q－2q2＋1＝0. ∴q＝1(舍去)或q＝－21. 综上知q＝－12.
答案：B
题型二 集合关系的判断
【例 2】 (一题多解)设集合 M＝x|x＝2k＋14，
C．{x∈R|x2＋x＋1＝0} D．{0}
4．集合 P＝{x|x＝2k，k∈Z}，Q＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，M＝{x|x＝4k＋1，k∈Z 若 a∈P，b∈Q，则有( 答)案：B
A．a＋b∈P B．a＋b∈Q C．a＋b∈M D．a＋b 不属于 P、Q、M 中任意一个
5．若a＝n2＋1，n∈N，A＝{x|x＝k2－4k＋5， k∈N}，则a与A的关系是__答_案_：_a_∈_A_．
∵B A,∴分B=A，B A两种情况讨论.
（1）当A=B时，B={-4,0},
即-4,0是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根，于是得a=1.
（2）当B A时，若B= ,则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1;
若B≠ ，则Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1,
解：将集合A中的元素，即适合x>2或x<－1的 实数在数轴上表示出来．如下图①②.
∵B⊆A，∴a≥2或a＋1≤－1.解得a≥2或a≤－2.即所求a的取值范围为a≥2或 a≤－2.
变式训练 3
写出集合{a,b,c}的子集. 【分析】按集合中元素的个数分类写,以防遗漏、重复.
【解析】(1) ;
(2)一个元素的子集:{a},{b},{c};
1．下列说法正确的是( 答案：) C A．我校爱好足球的同学组成一个集合 B．{1,2,3}是不大于 3 的自然数组成的集合 C．集合{1,2,3,4,5}和{5,4,3,2,1}表示同
D．数 1,0,5，12，32，64，
41组成的集合有 7 个元素
2.若 A＝{(2，－2)，(2,2)}，则集合 A 中元素的个数是( 答案)：B A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3．下列集合中为空集的是( 答案) ：C A．{x∈N|x2≤0} B．{x∈R|x2－1＝0}
8．若集合 A＝a，ba，1又可表示为{a2，a＋b，0}，求 a2014＋b2013 的值
课后思考 1. 已知集合 A＝{x|x∈R|(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1＝0}
中有且仅有一个元素，求 a 的值．
2．设正整数的集合A满足： “若x∈A，则10－x∈A”． (1)试写出只有一个元素的集合A； (2)试写出只有两个元素的集合A； (3)这样的集合A至多有多少个元素？
变式训练 2
判断下列集合A与B的关系：
（1）A={x|0<x<5}, B={x|-1<x<5};
（2）A={(x,y)|xy>0}, B={(x,y)|x>0,y>0};
（3）A={a∈R|a≥0}, B={a∈R|方程x2+x-a=0有实根}
解：（1）因为0<x<5-1<x<5,所以AB .
集合A={ (x,y)|y= x 2 1 }，集合B={(x,y)|y=x-1},集合A，B有什么关系？ x1
【分析】本题主要考查集合与集合之间关系的判断能力. x2 1
【解析】集合A的元素是函数y= x 1 =x-1(x≠-1)图象上的点，是一 条直线上去掉了点(-1, -2)后剩余的所有点，集合B的元素是函数y=x1(x∈R)图象上的所有点.
形，在解题时容易忽略这一点而导致不必要 的错误．
5．一般地，对于两个集合A与B，如果 集合A的________一个元素都是集合B的元素， 同时，集合B的________一个元素都是集合A 的元素，就说集合A________集合B，记作 ________，对于集合A、B，如果A⊆B，同时 B⊆A，那么________．
思考 1、元素与集合的关系 2、集合与集合的相等关系
1．对于两个集合A与B，如果集合A的 ________一个元素都是集合B的元素，就说 集合A________集合B(或集合B______集合A)， 记作A______B(或B________A)，这时，也说 集合A是集合B的________．
2．集合A不包含于集合B(或集合B不包 含集合A)，记作A________B(或 B________A)．
验证知B={0}满足条件.
综上可知，所求实数a的值为a=1或a≤-1.
返回
【评析】（1）当B A时，要特别注意B= 的情况不能漏
