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静电场的微分方程与解的唯一性(双语)

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边值问题和唯一性定理(静电场)

边值问题和唯一性定理(静电场)
静电场边值问题 唯一性定理

静电场的边值问题

静电场的唯一性定律
目前可解决的静电场问题



电荷在有限区域内，电荷的分布情况已知，并 且介质为线性各向同性均匀介质中的静电场问 题。对于此类问题，一般可以先求出电位，再 计算场中各点的电场强度和电位移矢量。 电荷、介质分布具有某种对称性的问题。由于 电荷和介质的分布具有对称性，因此电位移矢 量的分布必然也具有对称性。在这种情况下， 可以先用高斯通量定理求解电位移矢量，然后 再求电场强度。 已知电场的分布求电荷分布的问题。在这种情 况下，可直接由公式计算电荷的体密度，导体 上的面电荷密度根据分界面条件确定。
2
静电场边值问题的提出

实际中对于很多电磁场的问题通常并不 知道电荷分布，如静电场中导体表面的 感应电荷分布，介质极化后极化电荷的 分布等。对于此类的问题，必须通过求 解满足给定边界条件的电位微分方程 （泊松方程或拉普拉斯方程）的电位函 数，进而再求场域中的电场强度。我们 把这种在给定边界条件下，求解泊松方 程或拉普拉斯方程的问题称为边值问题。

对于各向同性、线性的非均匀媒质，电位 满足的微分方程又是什么形式呢？
D
D E
E
( )
7
边值问题举例－直接积分法
例 设有电荷均匀分布在半径为a的介质球型区域中，电荷 体密度为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位 及电场。（同例2-4） 解:采用球坐标系,分区域建立方程
自学)
10
反设满足场的解答有两个相异的解答1和 2，则差
场u= 1 2 满足拉普拉斯方程
2 2
u 1 2 0 根据矢量恒等式

chapter2-2 静电场的唯一性定理-2015-09-28

chapter2-2 静电场的唯一性定理-2015-09-28
n n
（2.2）
至此，对于区域 V 而言，我们还不知道外边界上 的条件。这个问题正是唯一性定理所要解决的：就是 我们还需要知道外边界上的什么条件之后，求能够唯 一确定区域内的静电场。 2）唯一性定理的内容：若
i）区域 V 内给定自由电荷分布 f x ； ii）区域的外边界 S 上给定电势 S , 或者电势的法向导数 n ，
唯一性定理定理也表明， a)唯一性定理对于静电问题的重要性在于：只要我 们得到一个满足泊松方程以及相应的边界条件的
解，那么这个解一定就是该问题的严格解。 b)从方法论上，我们根据物理直觉和物理图像可以 猜测出一些问题的解，此时唯一性定理保证了其 正确性 c)如果我们针对这类边值问题， 找到一个试探的解， 但若我们验证这个试探的解满足上述的几个条件， 包括验证它是否满足微分方程，是否满足内部的 边值关系，以及在外边界上是否满足边值关系， 如果都满足，那这个试探解就是这个问题的解； d)有时，我们在给出一个试探解的时候，可以在一 开始保留 1-2 个未知的系数（但并不影响所满足 的微分方程） ， 然后根据边值关系， 来确定这些系 数。 2、有导体存在时的唯一性定理 对于导体存在的静电问题，每个导体上的总电荷 Q 与电势φ实际上是一对共轭量， 通常求解这类问题时不 可能同时预先设定每个导体上的总电荷和电势。 因此，当有导体存在时，为了确定电场，我们可以 根据这一对共轭量，将导体的静电问题设置为以下两 类问题： 第一类问题：给定每个导体上的电势 i ;
f x ；

b)在 V 的外边界 S 上给定 S ，或者电势的法向导数
n S ；
c) 势 i 亦给定， 则 V ' 内的电场唯一确定。
每个导体 i 的电
由于当给定了导体的电势后相当于给定了体系完 备的外边界条件，那么给定导体的唯一性定理就退化 成了一般形式，因此此定理的证明方法同上。 2）第二类问题的唯一性定理：

静电场的微分方程与解的唯一性(中文)

静电场的微分方程与解的唯一性(中文)

通解。
数学物理方程描述物理量随时间和空间的变化特性。
定解条件
初始条件 边界条件
静电场与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及
拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。
根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静
电场的边值问题。
此处边界条件实际上是指给定的边值，它不同 于前一章描述静电场的边界上场量变化的边界条件。
第三章 静电场的边值问题
主要内容 电位微分方程、镜像法、分离变量法。
1. 电位微分方程 2. 镜像法 3. 直角坐标系中的分离变量法 4. 圆柱坐标系中的分离变量法 5. 球坐标系中的分离变量法
1. 电位微分方程 已知电位 与电场强度 E 的关系为
E
对上式两边取散度，得
EHale Waihona Puke 2对于线性各向同性的均匀介质，电场强度 E
的散度为
E
那么，电位满足的微分方程式为
2
泊松方程
2
对于无源区， ，0 上式变为
2 0
拉普拉斯方程
已知分布在 V 中的电荷 (r在) 无限大的自由空
间产生的电位为
(r)
1 4π
(r) dV V| r r|
上式为泊松方程在自由空间的特解。
利用格林函数可以求出泊松方程在有限空间的
可以证明电位微分方程解具有惟一性。
若静电场的边界为导体，此时给定导体上的电位就
是第一类边界。 已知
ﾶ ﾶn
S
可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。
因此，若给定导体表面上的电荷量就是第二类边界。
因此，对于导体边界，当边界上的电位，或电位 的法向导数给定时，或导体表面电荷给定时，空间的 静电场即被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性 定理。

第3章静态场的边值问题及解的唯一性定理

第3章静态场的边值问题及解的唯一性定理

r
O
d
P(r, ) R q
处理方法：电位叠加原理：
1、先假设导体球面接地，则球面上存在电量为q' 的感应电荷， 镜像电荷可采用前面的方法确定q a q, d。 a2 2、为了满足电荷守恒原理。断开接地d线，将电d量为-q'的电荷加 到导体球面上，使这些电荷均匀分布在球面上，使导体球为等势 体，且表面总电荷为零。
l′
2 x2 (z h)2
均匀带电直线的电位分布
z 0，R R z0 0
l ln R C l ln R0
2
2 R
显然，满足边界条件。所以，原问题不变，所得的解是正确的。
11
第3 章
例3. 点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像 如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点
像把导体平面抽走一样，用两点电荷的场叠加计算。
7
第3 章
解：用一个处于镜像位置的点电荷代替导体边界的影响， 则z>0空间任一点 P 的电位由 q 及 q' 共同产生，即
q q 1 (
q

q
)
4π0 r 4π0 r 4π0 x2 y2 (z h)
x2 y2 (z h)2
l
2π
r r er
以r 0 为参考点，则电位

r r0
Edr

l 2π
ln

r0 r


l 2π
ln
1 r

C
1）长直线电荷与接地的长直圆柱导体平行，求圆柱外电位分布
在圆柱与线电荷之间，在圆柱内离轴线的距离b 处，平行放置一
根镜像线电荷 ， 代替圆柱导体上的感应电荷.

2.6 静电场边值问题 唯一性定理

2.6 静电场边值问题 唯一性定理

V/m
CQU
2.6.3 唯一性定理
1、唯一性定理 在静电场中满足给定边界条件的电位微分方程 满足给定边界条件的电位微分方程（ 在静电场中满足给定边界条件的电位微分方程（泊松方 程或拉普拉斯方程)的解是唯一的， 程或拉普拉斯方程)的解是唯一的，称之为静电场的唯一性定 理。 2. 唯一性定理的重要意义 可判断静电场问题的解的正确性 解的正确性： • 可判断静电场问题的解的正确性： 唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、 • 唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、 解析解等）提供了思路及理论根据。 解析解等）提供了思路及理论根据。
S
第三类 边界条件
(ϕ + β ∂ϕ ) = f3 ( s) ∂n S
第四类 边界条件
ϕ S = f1 ( s)
求解边值问题注意事项： 求解边值问题注意事项：
CQU
点电荷的场
1．根据求解场域内是否有 ρ 存在，决定电位满足泊松方程还是拉氏 ．根据求解场域 求解场域内是否有 存在，决定电位满足泊松方程还是拉氏 泊松方程还是 方程，然后判断场域是否具有对称性，以便选择适当的坐标系。 方程，然后判断场域是否具有对称性，以便选择适当的坐标系。 2．正确表达边界条件，并利用它们确定通解的待定常数。 正确表达边界条件，并利用它们确定通解的待定常数。 3．若所求解的场域内有两个（或以上）的均匀介质区域，应分区求 若所求解的场域内有两个（或以上）的均匀介质区域， 分区求 场域内有两个 不能用一个电位函数表达两个区域的情况。这时会出现4 解。不能用一个电位函数表达两个区域的情况。这时会出现4个积分 常数，还需考虑介质分界面上的衔接条件来确定积分常数。 分界面上的衔接条件来确定积分常数 常数，还需考虑介质分界面上的衔接条件来确定积分常数。 4.对于开域问题，还需给出无限远处的自然边界条件。 4.对于开域问题，还需给出无限远处的自然边界条件。当场域有 对于开域问题 限分布时，应有： 限分布时，应有：

§26 静电场边值问题 唯一性定理

§26 静电场边值问题 唯一性定理

2

2
x 2

2
y 2
0
（阴影区域）
( xb,0 yb及yb,0xb) U0
图 2.6.4 缆心为正方形的同轴电缆横截面
0 x2 y2 a2 ,x0, y0

x
0 ( x0,b ya)

y
0 ( y 0,b xa )
图 2.6.5 体电荷分布的球形域电场
积分得通解
1(r)


r2 6 0
C1
1 r
C2
2 (r)

C3 r
C4
边界条件
1 ra 2 ra
1 r0 有 限 值
0
1
r
ra

0
2
r
ra
2 r 0 参考点电位
解得 电位：
C1 0 C4 0
对场域求体积分,并利用高斯散度定理
(uu)dV uu dS (u)2dV
V
s
V
S为体积V的边界面,即S S0 S,S S1 S2 Sn , 由于在无穷远S0处电位为零,因此有
图2.6.6 证明唯一性定理用图
uu dS uu dS (u)2 dV
C3

a2 2 0
,
C2

a3 3 0
1(r)

6 0
(3a 2

r2)
2 (r)

a3 3 0 r
电场强度（球坐标梯度公式）：
E1 (r )

1


1
r
er

r 3 0
er

静电场边值问题的唯一性定理

静电场边值问题的唯一性定理摘要：静电场边值问题及其唯一性定理是一重要知识点，定理的表述和证明都涉及较多的数学知识。

由于唯一性定理的概念对于许多问题（如静电屏蔽）的确切理解有很大帮助，所以我们将给此定理一个物理上的论证，期待大家能从中有所受益. 关键词：静电场；边值；唯一性；静电屏蔽1、问题的提出实际中提出的静电学问题，大多不是已知电荷分布求电场分布，而是通过一定的电极来控制或实现某种电场分布。

这里问题的出发点（已知的前提），除给定各带电体的几何形状、相互位置外，往往是在给定下列条件之一；（1） 每个导体的电势U K ； （2） 每个导体上的总能量Q K ；其中K=1，2，……为导体的编号。

寻求的答案则是在上述条件（称为边界条件）下电场的恒定分布。

这类问题称为静电场的边值问题。

这里不谈静电场边值问题如何解决，而我们要问：给定一组边界条件，空间能否存在不同的恒定电场分布？唯一性定理对此的回答是否定的，换句话说，定理宣称：边界条件可将空间里电场的恒定分布唯一地确定下来。

2、几个引理在证明唯一性定理之前，先作些准备工作——证明几个引理。

为简单起见，我们暂把研究的问题限定为一组导体，除此之外的空间里没有电荷。

（1）引理一 在无电荷的空间里电势不可能有极大值和极小值。

用反证法。

设电势U 在空间某点P 极大，则在P 点周围的所有邻近点上梯度U ∇ρ必都指向P 点，即场强U E ∇-=ρρ的方向都是背离P 点的（见图1-1a 。

）这时若我们作一个很小的闭合面S 把P 点包围起来，穿过S 的电通量为0)(>⋅=⎰S d E S E ρρϕ (1)根据高斯定理，S 面内必然包含正电荷。

然而这违背了我们的前提。

因此，U 不可能有极大值。

用同样的方法可以证明，U 不可能有极小值（参见图1-1b ）。

（2）引理二 若所有导体的电势为0，则导体以外空间的电势处处为0。

因为电势在无电荷空间里的分布是连续变化的，若空间有电势大于0（或小于0）的点，而边界上又处处等于0，在空间必然出现电势的极大（或极小）值，这违背引理一。

电动力学uniquenesstheorem唯一性定理完全解读

们都能满足同一种泊松方程和边界条件,下面我们将证明 它们只能是同一种解.
引入标量函数Φ ,令Φ = '- ″
2 , 2 , 2 0
i
i
在区域边界面S 上
S
S
0 S
(给定第一类边界条件)
或 ,
n S n S
0
n S
(给定第二类边界条件)
下面需要证明旳是,满足以上方程和边界条件旳'和
1) 绝缘介质静电问题旳唯一性定理及证明 在有限旳边界区域V 内有几种均匀旳绝缘介质Vi 、εi
(i = 1、2、3 …) ，V 中旳自由电荷分布(ρ或σ) 为已知，那
么，当V 旳边界面S 上旳电势 给 定(或电势旳法向导数边
界条件) ，则V 内旳电场有唯一拟定旳解。
数学表述如下:
2 i
i
(在每个小区Vi)
V′旳全部内、外表面上都有一定旳值或 值，应用有关绝缘介
质旳唯一性定理，则V′内旳电场必有唯一解. n
b）区域V 内有若干导体,假设除导体以外旳区域V′内旳自由电荷分
布ρ已知，V′旳外表面S 上有已知旳值或 值，另外，若每个导
n 体所带旳总电量Qi 为已知，则区域V′内旳电场有唯一解。
数学表达为:
场有唯一解。这么，有导体存在时静电问题旳唯一性定理 也得到证明。
最终需要强调一点,尽管唯一性定理并不给出求解泊松方程旳详细措 施与环节,但它对于处理实际旳边值问题有着主要旳意义. 首先,它明 确了在哪些条件下能够唯一地拟定一种静电场,即给出了求解静电场 旳根据;其次,它使我们能够灵活地选用最简朴、最合适旳解题措施, 甚至能够猜一种解(即提出尝试解) . 只要这个解确实满足了问题中 旳场方程和全部定解条件,那么,根据唯一性定理我们就能够肯 定地说,它就是该问题中旳唯一正确旳解.

静电场微分方程及唯一性定理


2 0
泊松方程和拉普拉斯方程统称为微分方程。 二、泊松方程与拉普拉斯方程适用条件 只适用于各向同性、线性的均匀媒质。(?)
§2.8.2
唯一性定理（Uniquness Theorem）
一、定理内容
在静电场中，满足给定边界条件的微分方程（泊松方程或
拉普拉斯方程）的解是唯一的，称之为静电场的唯一性定理。
2 2 2 式中： ( ex ey ez ) ( ex ey ez ) 2 2 2 2 x y z x y z x y z
2
泊松方程（针对场源点）
拉普拉斯方程（针对场点,ρ=0）
《电磁场理论》
主讲教师：李志刚 辽宁科技大学电信学院通信系 2012年05月
§2.8 静电场边值问题 唯一性定理
§2.8.1 泊松方程与拉普拉斯方程 一、静电场微分方程
D
E E E
E
E 0
常数
二、物理角度理解
场源相同、场分布相同，则场一定相同。
三、数学角度理解
方程相同、边界条件相同，则解一定相同。
四、唯一性定理的作用
1、确定何为相同场的判定条件；
2、可以采用等效方法进行问题的求解，只要保证满足唯一
性定理的条件，则解法不同，但解却一

ZJH_2-2 唯一性定理_p18

体上满足： 体上满足： 等势面条件 ϕ |s = ϕi = Const i ∂ϕ 以及在V的边界S上具有给定的 ϕ S 或 值。
∂n
S
V
Qi ∂n
∫
证明( 证明(反证法) 反证法)：设有两个不同的电势均满足泊松方程 令 Φ = ϕ '−ϕ " ∂ϕ ' Qi − dS = Laplace Eq. ∇2Φ = 0 对每个导体 ∫S ∂Φ i ∂n −∫ dS = 0 ε P276 (I.7) Si ∂n ∂ϕ " Qi 面积分 −∫ dS = →体积分 对于扣除导体的空间体积，考虑积分 Si ∂n ε 对于扣除导体的空间体积V内给定自由电荷分布 ρ（ ρ ϕ 满足∇2ϕ = − V ρ（ x） ε ∂ϕ 在V边界S上给定 电势 ϕ S 或电势的法向导数 ,
则V内的电场(静电场)唯一地确定。 唯一地确定。 (1) 在区域V中每个均匀的子区域Vi内满 ρ 2 足泊松方程 ∇ϕ = (i = 1,2,......)
§2-2-1 均匀单一介质情形的唯一性定理 x） 对均匀单一介质, 区域V内给定自由电荷分布 ρ（ ϕS ρ 2 ϕ 满足∇ ϕ = − V ρ（ x） ε ∂ϕ ∂ϕ 在V边界S上给定 电势 ϕ S 或电势的法向导数 , ∂n S 则V内的电场(静电场)唯一地确定。 唯一地确定。 ∂n S 或： 若给定求解区域V内自由电荷ρ 内自由电荷ρ分布和介质的性质ε 分布和介质的性质ε， 以及在边界面上的 （1）电势值（ 电势值（第一类边界条件）， 第一类边界条件）， 或（2）电势法向导数（ 电势法向导数（第二类边界条件）， 第二类边界条件）， 或（3）一部分的电势值， 一部分的电势值，其余部分的电势法向导数值 （第三类边界条件）， 第三类边界条件）， （则在区域V内Possion方程（ 方程（或Laplace方程） 方程）的解是惟一的。 的解是惟一的。
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2. Neumann boundary condition: The normal derivatives of the physical quantities on the boundaries are given.
3. Mixed boundary-value condition: The physical quantities on some boundaries are given, and the normal derivatives of the physical quantities are specified on the remaining boundaries.
For any mathematical physics equation, the existence, the stability, and the uniqueness of the solutions need to be investigated.
Chapter 3 Boundary-Value Problems in Electrostatics
Differential Equations for Electric Potential Method of Images
Method of Separation of Variables
1.Differential Equations for Electric Potential 2.Method of Image 3.Method of Separation of Variables in Rectangular Coordinates 4.Method of Separation of Variables in Cylindrical Coordinates 5.Method of Separation of Variables in Spherical Coordinates
in V produces the electric potential given by
(r)1 4πV|(r ) r r
|dV
(rco)nfined to
which is just the solution for Poisson’s Equation in free space.
Applying Green’s function G(r, r) gives the general solution of
G0 (r,
r)
1 4π | r r |
In the source-free region, the volume integral in the above equation will be zero. Therefore, the second surface integral is considered to be the solution of Poisson’s equation in source-free region, or the integral solution of Laplace’s equation in terms of Green’s function.
An equation in mathematical physics is to describe the changes of physical quantities with respect to space and time. For the specified region and moment, the solution of an equation depends on the initial condition and the boundary condition, respectively, and both are also called the solving condition.
equation gives
E 2
In a linear, homogeneous, and isotropic medium, the divergence of the electric field intensity E is
E
The differential equation for the electric potential is
Poission’s equation
(r)
V G(r,
r) ( r) dV
S [G(r, r)(r) (r)G(r, r)] dS
For infinite free space, the surface integral in the above equation will
become zero, and Green’s function becomes
Usually the boundary conditions are classified into three types:
1. Dirichet boundary condition: The physical quantities on the boundaries are specified.
1. Differential Equations for Electric Potential
The relationship between the electric potential and the electric field intensity E is
E
Taking the divergence operation for both sides of the above
2
which is called Poisson’s equation.
In a source-free region, and the above equation becomes
2 0
which is called Laplace’s equation.
The solution of Poisson’s InEinqfuinatitioenfr. ee space, the electric charge density