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证: 根据定义
n
L
f
(x,
y)ds
lim f
0k1
(k,k)sk
2020/8/3
高等数学课件
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设各分点对应参数为 tk(k 0 ,1 , ,n ),
点 (k,k)对应参数为 k [tk 1,tk],
skttkk 1 2(t)2(t)dt
2 (k )2 (k ) tk, k [tk 1,tk]
例3. 计算 I x ds, 其中L为双纽线 L ( x 2 y 2 ) 2 a 2 ( x 2 y 2 )( a 0 )
解: 在极坐标系下 L:r2a2co2s,
y
它在第一象限部分为
ds
L 1 :r a c2 o( 0 s 4 )
o
x
利用对称性 , 得
I
4 L1
xds
404r()co sr2()r2()d
二、对弧长的曲线积分的计算法
基本思路: 求曲线积分 转 化 计算定积分
定理: 设f(x,y)是定义在光滑曲线弧
L:x(t),y (t)( t )
上的 L 连f 续( x 函,y 数) d ,s 则 曲 线f 积[ 分( t ) L,f(( xt) ,y)d] s2 存 ( t) 在 ,且2 ( t) d t
2020/8/3
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一、对弧长的曲线积分的概念与性质
1.引例: 曲线形构件的质量
B
假设曲线形细长构件在空间所占
弧段为AB , 其线密度为 (x,y,z),
为计算此构件的质量, 采用
(k,k,k)
Mk Mskk1
“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”
可得
Mlim
说明:
( 1 ) s k 0 , t k 0 , 因此积分限必须满足 !
(2) 注意到
ds(d x)2(d y)2
y
2(t)2(t)dt
因此上述计算公式相当于“换元法”. o
ds dy dx
xx
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如果曲线 L 的方程为 y(x )(a x b )则,有
xds
1
x
1(2x)2dx
L
0
1
x
14x2dx
0
112(14x2)3210
y B(1,1) y x2
L
o
1x
1 (5 51) 12
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例2. 计算半径为 R ,中心角为2的圆弧 L 对于它的对
称轴的转动惯量I (设线密度 = 1).
4 4a2cosd2
2a2
0
2020/8/3
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例4. 有一半圆弧 yRsin,xR co (0 s),
其线密度 2,求它对原点处单位质量质点的引力.
解: dFxkRd2scos2Rkcosd
y
ds
dFykRd2ssin2Rksind R
(x, y)
o Rx
Fx2Rk0cosd2R ksincos0
4k R
Fy2Rk0sind2R kco ssin0
2k R
故所求引力为 F4k, 2k
RR
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f(x,y)ds
L
b
f
(x,(x))
a
12(x)dx
如果方程为极坐标形式: L :r r ()()则,
L f (x, y)ds f(r()c o,rs ()s in )r2()r2()d
推广: 设空间曲线弧的参数方程为 : x ( t )y ,( t ) ,z ( t ) ( t )
解: 建立坐标系如图, 则
y
I y2ds L
o
L: x y R R c si o ns( )
ds
Rx
L
R 2 s2 in ( R si ) 2 n ( R co ) 2 d s
R3si2nd2R32si4n2
0
R3(sinco )s
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则 f (x, y,z)ds
f((t),(t) ,(t))2 (t) 2 (t) 2 (t)d t
2020/3
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例1. 计算 xds , 其中L是抛物线 y x2 上点 O (0,0) L
与点 B (1,1) 之间的一段弧 .
解: L :y x 2(0 x 1 )
n
(k,k,k) sk
A
0 k 1
(其中 为 n 个小弧段的最大长度)
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如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 , 则定义对弧长的曲线积
分为
n
L
f
(x,
y)ds
lim f
0k1
(k,k)sk
如果 L 是闭曲线 , 则记为L f(x,y)ds.
则 f(x,y)ds
L
n
lim
0
k
f[(k),(k)]2(k ) 2(k ) tk
1
注意 2(t)2(t)连续
n
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lim
0
k 1
f[(k), (k)]
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2(k)2(k) tk
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因此
L
f (x, y)ds
f[(t) ,(t)] 2 (t) 2 (t)d t
(2) kf(x,y,z)dsk f(x,y,z)ds（k 为常数)
(3) f(x,y,z)dsf(x ,y ,z )d s f(x ,y ,z )d s
1
2
( 由 1 , 2组成)
(4) ds l ( l 为曲线弧 的长度)
2020/8/3
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第十一章 曲线积分与曲面积分
积分学 定积分二重积分三重积分曲线积分 曲面积分
积分域 区间域 平面域 空间域 曲线域 曲面域
曲线积分 曲面积分
对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分
第一节
第十一章
第一型曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
思考:
(1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问Lds表示什?么
(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ?
否! 对弧长的曲线积分要求 ds 0 , 但定积分中
dx 可能为负.
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3. 性质
(1 ) f(x,y,z)g(x,y,z)ds f(x,y,z)dsg(x,y,z)ds
