对弧长的曲线积分(第一类曲线积分)

曲线积分一． 第一型曲线积分（对弧长的曲线积分） ds y x f L ),(⎰ 引入：开始接触这个概念对大家可能都很突兀，我们从直观上看它的形式，形式和定积分⎰dx x f )(很像，Right ？那它的物理意义和几何意义按照自然界对称的法则应该和定积分也是相似的咯-----我们如果把),(y x f 看成是线密度函数的话，ds y x f L),(⎰可以理解成为曲线形构件的质量咯(*^__^*) ，这当然是它的物理意义；几何意义呢？想想定积分，几何意义是曲边梯形的面积，那么对第一型曲线积分就是曲面的面积咯，沿着一段弧函数对它的曲线积分就是曲面的面积（PS ：这个可以作为一种求曲面面积的求法，后面会有题目介绍） 想必通过上面形象的介绍，我们对第一型曲线积分有了一个初步的认识。

现在来看看它的求法：ds y x f L ),(⎰这个式子我们唯一没见过的就是ds 咯，在这里ds 实际上就是弧长，所以第一型也就是对弧长的曲线积分。

那么第一型的求法就等价于求ds ，然后解个定积分就ok 。

根据高数上学过的微分三角形，如果曲线能够表示成参数方程x =ϕ(t ), y =ψ (t ) (α≤t ≤β), 那么显然dtt t t t f ds y x f )()()]( ),([),(22ψϕψϕ'+'=，于是就有⎰⎰'+'=βαψϕψϕdt t t t t f ds y x f L)()()]( ),([),(22，当然如果不用表示成参数方程，把x 看为参数也可以。

注意注意注意注意注意：1.这里的定积分的下限α一定要小于上限β. 原因在于弧长始终是正的，所以t ∆>0,这样定积分的下限一定小于上限。

当然曲线不仅仅是平面上的，三维空间里也可以，计算方法还是一样 的，即dt t t t t t t f ds z y x f )()()()](),(),([),,(222ωψϕωψϕβα'+'+'=⎰⎰Γ。

第一型曲线积分的定义第一型曲线积分，是微积分中的一种重要概念与计算方法，它涉及曲线和向量场之间的积分。

本文将介绍第一型曲线积分的定义、性质和计算方法。

一、第一型曲线积分的定义第一型曲线积分，也称为曲线的线积分，是指在曲线上某个有向长度元素$\mathrm{d}s$上的函数值与该长度元素的乘积$d\boldsymbol{s}$在整个曲线上的积分。

设$C$是曲线，其参数方程为$\boldsymbol{r}(t)=(x(t), y(t), z(t)), t\in[a,b]$，则$C$的长度由公式：$$ L(C)=\int_{C}\mathrm{d}s=\int_{a}^{b}\left[\ left(x^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\r ight)^{2}+\left(z^{\prime}(t)\right)^{2}\right]^{\f rac{1}{2}} \mathrm{d}t $$计算曲线$C$上的一个标量函数$f(x,y,z)$在曲线上的第一型曲线积分，即为：$$ \int_{C} f(x, y, z) \mathrm{d}s=\int_{a}^{b}f\left(\boldsymbol{r}(t)\right)\left[\left(x^{\prim e}(t)\right)^{2}+\left(y^{\prime}(t)\right)^{2}+\left(z^{\prime}(t)\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}t $$若积分路径可以看成向量值函数$\boldsymbol{r}(t)$的积分，第一型曲线积分就可以写作：$$ \int_{\boldsymbol{r}}\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}) \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{r}=\int_{a}^{b}\boldsymbol{F}\left(\boldsymbol{r}(t)\right) \cdot \boldsymbol{r}^{\prime}(t) \mathrm{d}t=\int_{a}^{b} \boldsymbol{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{s} $$其中$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})$是向量场，$\mathrm{d}\boldsymbol{r}$表示一个有向长度元素，$\cdot$表示向量内积运算，$\mathrm{d}\boldsymbol{s}=\boldsymbol{r}^{\prime}(t ) \mathrm{d} t$表示线元素。

- -第十一章 曲线积分与曲面积分一 、内容提要（一）曲线积分1．第一类曲线积分（对弧长）(1)定义：设),(y x f 是光滑曲线L 上的有界函数，把L 分成n 段，设i 段的弧长为i s ∆（最长者记{}i s ∆=max λ），在其上任取一点),(i i ηξ，则),(y x f 在L 上的第一类（对弧长）曲线积分为 ∑⎰=>-∆=ni i i i Ls f ds y x f 1),(lim ),(ηξλ.(2) 几何意义与物理意义几何意义是柱面面积，该柱面以L 为准线、其母线平行于z 轴、介于平面0=z 和曲面),(y x f z =之间的部分（图10.1）. 物理意义是线密度为),(y x f 的物质曲线L 的质量. (3)计算方法 ： 即“定限、代入”两步法第一步（定限）：写出L 的方程及自变量的变化范围，用不等式表示，例如 βα≤≤t ，并且一定有βα<.第二步（代入）：计算出弧长的微分式ds .将L 的方程和ds 一并代人曲线积分公式，即转变为定积分.共有三种形式： 参数式 L ： ⎩⎨⎧≤≤==,),(),(βαψϕt t y t x ds t t ds 22))(())((ψϕ'+'=⎰⎰'+'=Ldt t t t t f ds y x f βαψϕψϕ22))(())(())(),((),(；直角坐标 把L ：)()(b x a x y ≤≤=ψ看做曲线参数表达式⎩⎨⎧==)(x y xx ψ可以得到如下公式：⎰⎰'+=Lb adx x x x f ds y x f 2))((1))(,(),(ψψ；极坐标 L ：,),(βθαθ≤≤=r r θθθd r r ds 22))(()('+=，⎰⎰'+=Ld r r r r f ds y x f βαθθθθθθθ22))(()()sin )(,cos )((),(.2．第二类曲线积分（对坐标）（1）定义 ： 设),(y x P 和),(y x Q 是有向光滑曲线L 上的有界函数，把L 分成n 段，设第i段的- -分点为),(i i i y x M ，在弧 ⋂-i i M M 1上任取一点),(i i ηξ，设1--=∆i i i x x x , 1--=∆i i i y y y ，则),(y x P 在L 上对坐标x 的曲线积分是⎰∑=>-∆=Lni i i i x P dx y x P 1),(lim ),(ηξλ；而),(y x Q 在L 上对坐标y 的曲线积分是⎰∑=>-∆=Lni iiiyQ dy y x Q 1),(lim ),(ηξλ；在应用上往往表现为两者的和：⎰⎰⎰+=+LLLdy y x Q dx y x P dyy x Q dx y x P ),(),(),(),(（记为）.（2）物理意义第二类曲线积分的物理意义是变力j y x Q i y x P F),(),(+=沿有向曲线L 移动所作的功，即⎰⋅=Lr d F W⎰+=L dy y x Q dx y x P ),(),(.其中 j dy i dx r d+= .由微分三角形知ds dy dx r d =+=22，向量r d在切线上.（4）计算方法直接计算 即“定向、代入”两步法. 第一步（定向）：写出L 的方程及自变量的变化范围，α和β分别对应L 的起点（下限）和终点（上限）.即变量“t 由α向β”积分.与第一类曲线积分不同，在这里可能出现βα>的情况.第二步（代入）：把L 的方程及dy dx ,代入被积分式中，即变为定积分，α和β分别是下限和上限.例如， （定向）L ：⎩⎨⎧==βαψϕ向由t t y t x ),(),(.（代入）⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(=⎰'+'βαψψϕϕψϕdt t t t Q t t t P )]())(),(()())(),((([.间接计算 主要使用两个重要定理.格林定理 设：① D 是由分段光滑曲线L 围成，L 的方向为正；② ),(y x P 和),(y x Q 在D 上具有一阶连续偏导数.则⎰⎰⎰=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=+L D dxdy y P x Q Qdy Pdx dxdy QP y x D⎰⎰∂∂∂∂. 注意 ： 如果D 是单连通域，则L 逆时针方向为正.如果D 是复连通域，则 L 的外周界逆时针方向为正，而内周界顺针方向为正.如果L 的方向为负，那么在使用格林时时一定要补加一个负号.与路径无关定理 设：① D 是单连通域，有向曲线L ∈D ；② ),(y x P 和),(y x Q 在D 中有- -连续的偏导数.则⎰+LQdy Pdx 与路径无关<=>yPx Q ∂∂=∂∂ 对于一个第二类曲线积分计算题，如果不宜直接计算或直接计算较繁，就需要计算yPx Q ∂∂∂∂和，依不同情况，或使用格林定理或改变积分路径.（5）曲线积分与全微分的关系设D 是单连通域；P 和Q 具有连续偏导数.则在D 中存在),(y x u 使yPx Q Qdy Pdx du ∂∂=∂∂⇔+= .其计算公式是 ⎰⎰⎰+=+=xx yy y x y x dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P y x u 000),(),(),(),(),(0),(),(⎰⎰+=y y x x dx y x P dy y x Q 0),(),(0. 3．两类曲线积分之间的转换设曲线了L ：)(),(t y t x ψϕ==.在曲线上L 任一点的切向量是=t {)(),(t t ψϕ''}，容易求出单位切向量{}ααsin ,cos 0=t，由微分三角形知ααsin ,cos ds dy ds dx ==.将这两式代入第二类曲线积分中得⎰⎰+=+LLds Q P Qdy Pdx ]sin cos [αα如用向量表示，{}{}{}{}ds t ds ds dy dx r d y x r Q P A 0sin ,cos ,,,,, =====αα，于是ds t A r d A LL⎰⎰⋅=⋅0（此式在三维空间也正确）.4．常用计算技巧代人技巧 若计算⎰Lds y x f ,),(而L 的方程恰是a y x f =),(，则⎰⎰==LLal ads ds y x f ),(（l 是l 的长度）.注意： 这种代入技巧在两类曲线积分和两类曲面积分中都适用.但是绝不可以用在重积分上.例如，设D 是由222a y x =+围成的区域，则下面的“代入”是错误的：⎰⎰⎰=+DDdxdy a dxdy y x 222)( 错误的原因是在D 的内部222a y x <+.利用奇偶对称性 第一类曲线积分的奇偶对称性与二重积分类似.设L 关于y 轴对称，则- -⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=LL x y x f x y x f ds y x f 为偶函数，关于当为奇函数，关于当),(2),(,0),(1其中1L 是L 在y 轴右边的部分.若L 关于x 对称，则有结果类似. 第二类曲线积分的奇偶对称性与第一类曲线积分相反.设L 关于y 轴对称，（1L 是L 在y 轴右边的部分）则⎰⎰⎪⎩⎪⎨⎧=LL x Q x Q dy y x Q 为偶函数。

曲线积分的计算法曲线积分第一类( 对弧长)第二类( 对坐标)转化定积分(1) 选择积分变量用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2) 确定积分上下限第一类: 下小上大第二类: 下始上终对弧长曲线积分的计算定理)()()()](),([),(,],[)(),()(),(),(,),(22dt t t t t f ds y x f t t tt yt x L L y x f L且上具有一阶连续导数在其中的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设注意:;.1一定要小于上限定积分的下限.,,),(.2而是相互有关的不彼此独立中y x y x f 特殊情形.)(:)1(b x a x y L .)(1)](,[),(2dx x x x f dsy x f baL .)(:)2(d ycy x L .)(1]),([),(2dy y y y f dsy x f dcL1. 基本方法).(,sin ,cos :,象限第椭圆求t b y t a x L xyds IL解dtt b t a t b t a I2220)cos ()sin (sin cos dtt b t a tt ab222220cossincos sin abduu baab 222)cos sin (2222t b ta u 令.)(3)(22b ab ab a ab 例2.)2,1()2,1(,4:,2一段到从其中求x y L yds ILxy42解dyy y I222)2(1.0例3)2(.,sin ,cos :,的一段其中求kza y a x xyzds I 解dk ak a 222sin cos2I.21222k aka例4.0,,22222zyxa z y x ds x I为圆周其中求解由对称性, 知.222ds z dsy ds x dsz yxI)(31222故例1对坐标的曲线积分的计算,),(),(,0)()(,)(),(,),(,),(),(,),(),,(22存在则曲线积分且续导数一阶连为端点的闭区间上具有及在以运动到终点沿的起点从点时到变单调地由当参数的参数方程为续上有定义且连在曲线弧设Ldy y x Q dxy x P t t t t B L A L y x M t t yt x L L y x Q y x P dtt t t Q t t t P dy y x Q dx y x P L)}()](),([)()](),([{),(),(且特殊情形.)(:)1(b a x x y y L ，终点为起点为.)}()](,[)](,[{dx x y x y x Q x y x P Qdy PdxbaL 则.)(:)2(d c y y x x L ，终点为起点为.]}),([)(]),([{dy y y x Q y x y y x P QdyPdxdcL则例5 计算,d d )2(Ly x x y a 其中L 为摆线,)sin (t t a x )cos 1(t a y上对应t 从0 到2的一段弧.提示: yx xy ad d )2()cos 1(t a tt a d )cos 1(tt a t ta d sin )sin (tt t a d sin 2π202d sin t t t a原式π202sin cos tt t a 2π2adsa32.323a ),2(球面大圆周长ds a,d z z y x 其中由平面y = z 截球面22yx,12所得z从z 轴正向看沿逆时针方向.提示:因在上有,1222yx故:txcos tysin 21)π20(t sin 21tz原式=tt t d sincos π2022221tt t d 2π22221)cos 1(cos 42π21432π21216π2曲面积分的计算法1. 基本方法曲面积分第一类( 对面积) 第二类( 对坐标)转化二重积分(2) 积分元素投影第一类: 始终非负第二类: 有向投影(3) 确定二重积分域例 6计算(1) 选择积分变量—代入曲面方程—把曲面积分域投影到相关坐标面定理:设有光滑曲面yx D y x y x z z),(),,(:f (x, y, z ) 在上连续, 则曲面积分Sz y x f d ),,(存在, 且有Sz y x f d ),,(yx Dy x f ),,(),(y x z yx y x z y x z y x d d ),(),(122例7计算ds z y x)(, 其中为平面5zy 被柱面2522yx所截得的部分.解积分曲面：y z5,dxdyz z dSy x221dxdy2)1(1,2dxdy dsz yx)(故xyDdxdyy y x )5(2投影域：}25|),{(22yx y x DxyxyD dxdyx)5(2rdrr d520)cos 5(2.2125对坐标的曲面积分计算:一投、二代、三定号例8.计算曲面积分,d d y x xyz 其中为球面2x122z y 122zy外侧在第一和第五卦限部分. 解:把分为上下两部分2211:yxz 2221:yxz 对面积的曲面积分的计算法例91d d yx z y x 0,01:),(22yxy x Dy x yx dydz x z)(2dsx zcos )(2dxdy x z cos cos )(2有上在曲面,.11cos,1cos2222yxy x xdxdy z x x z zdxdy dydz x z ]))([()(22xyD dxdyy xx x y x )}(21)(])(41{[2222xyDdxdyy xx)](21[222222220)21cos(rdrr r d.8yx z y x d d 2d d yx z y x yxD yx y x y x d d 1222221cossin2r r yx Dd d r r 20d2sin rrr d 1213152计算zdxdydydzx z)(2,其中Σ是旋转抛物面)(2122yxz介于平面z 及2z之间的部分的下侧.解。