3计算下列对弧长曲线积分

第十章曲线积分与曲面积分§ 1对弧长地曲线积分计算公式：无论是对弧长还是对坐标地曲线积分重要地是写出曲线地参数方程x =x t L ：y =y tx = x(t ) L:<y = y(t )"z(t )Lf x,y,z ds - 注意：上限一定要大于下限1.计算下列对弧长地曲线积分<1) \(x 2y 2)2ds ,其中 L 为圆周 x 2y 2=a 2； 解：法一：Q|jx2+y 2)2ds = |J L (a 2)2ds二玄仁 ds =a 4(2二a) =2二a 5法二：_L x =acosv L: 0 心：:2二,匸(x 2 y 2)2ds2二 2 2 2 2 2[a cos ： a si n ] -asi na cos d ：2二 5 . 5ad^ - 2「a<2) \e x yds ,其中L 为圆周x 2■ y 2=a 2,直线y=x 及x 轴在第一象限内所围成地扇形ba 兰t 兰b ,则(f (x, y ps= f a f(x (t ), y(tddbafxt ,y t ,zt解：忆e 拧%s = ( & +廟+ J BO 卅“ ds ,其中故口 e^iyds=e a(2+ — a) -2匕 4<3) L xds ,其中L 为抛物线y =2x 2-1上介于x =0与x=1之间地一段弧;「X =x解：由 L:20<x<1，得、y=2x -1l xds 二 ° x 1亠〔4x 2dx2 3_2(1+16x)2o_17用-1 -32-48<4) L y 2ds ,其中 L 为摆线地一拱 x =a(t - si nt), y =a(1 - cost)(0 — t — 2二)； 解: .L y 2ds = ：0〔a(1-cost)『」a 1-cost ]2a si nt^dt2TI 5=V2a 3「(1 —cost)2dtx = x x = a cos—— x = x 、2 OA: ,0_x_a ,AB:,0, BO: 0_x a y =0 y =as in 4 y = x 2f e x 旳 ds =『少尺 J 12 +02 dxoA-0aoa二ABey ds 二ABe ds二 e ABds4<或]e x 七ds■AB=[4 e ' 严"巧塔“巧 J (一 a sin 盯 + (acos日 j d 日JI4 e a ad ) 4a 二 BO-a-2-2匸2a 一2 2 -------- ■ 2 e x 2 x 2,12 12dx 0-1 a二5二 迈a 3 ： (2sin 2*)2dt =8a 3J6a 3siJI353= 32a 2sin 如-32a」0x 2+y 2+z 2=22 2]x = cosT解：由」 丫，得2X 2+Z2=2,令 < 厂 0兰日兰2兀y = xz = \ 2 sin 71x= cos 日sin 5 -dt <令—-v4 2 256 3a5 3 15<5) “L xyds ，其中L 为圆周x 2 y 2 =a 2 ； 解：利用对称性J |xyds = 4jJxyds ,其中 Lix = a cos 日 0<6y = a sinJI< 一2[xy ds = 4『xy ds = 4 fxyds迟,=4 02 (acos R(asin v) (-asin v)2 (acosv)2dv"a 3jcosrsin=2a 3sin =-2a 3<6)-x 2y 22ds ,其中-为曲线 z 2X =e t cost ,y =e t si nt ,z =e t 上相应于 t 从 0 变到 2 地------ 2 -- 1 ---- 2 ---- cost )]2 +[(£ sin t )]2 +e 2t dte tcost ]亠[d sin t ]亠[d =—fe^dt =^(1 —e‘) 2 02<7)广yds ,其中-为空间圆周:x 2 + y 2 + z 2 =2』=x弧段; 解：故丫: * y = cos日0兰日乞2兀.故z = J2s in。

第十一章 曲线积分与曲面积分习题 11-11.设在xOy 面内有一分布着质量的曲线弧L ，在点（x,y ）处它的线密度为μ（x,y ）。

用对弧长的曲线积分分别表达：（1）这曲线弧对x 轴,对y 轴的转动惯量x I ,y I（2）这曲线弧的质心坐标x ,y2.利用对弧长的曲线积分的定义证明性质33.计算下列对弧长的曲线积分： （1）22(x y )nLds +⎰，其中L 为圆周x cos t,y sin (0t 2)a a t π==≤≤（2）(x y)ds L+⎰，其中L 为连接（1,0）及（0,1）两点的直线段（3）x Lds ⎰，其中L 为由直线y=x 及抛物线2y x =所围成的区域的整个边界 （4）22x y Leds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=，直线y=x 及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界（5）2221ds x y z Γ++⎰，其中Γ为曲线cos ,sin ,t t tx e t y e t z e ===上相应于t 从0变到2的这段弧 （6）2x yzds Γ⎰，其中Γ为折线ABCD ，这里A,B,C,D 依次为点（0,0,0），（0,0,2），（1,0,2），（1,3,2） （7）2Ly ds ⎰，，其中L 为摆线的一拱(t sin ),y (1cos )(0t 2)x a t a t π=-=-≤≤（8）22(x )ds Ly +⎰，其中L 为曲线(cos sin ),y (sin cos )(0t 2)x a t t t a t t t π=+=-≤≤4.求半径为ａ，中心角为2ϕ的均匀圆弧（线密度1μ=）的质心5.设螺旋形弹簧一圈的方程为cos ,sin ,x a t y a t z kt ===，其中02t π≤≤，它的线密度222(x,y,z)x y z ρ=++．求： （１）它关于ｚ轴的转动惯量z I（２）它的质心。

习题 11-21.设L 为xOy 面内直线x a =上的一段，证明：(x,y)dx 0LP =⎰2.设L 为xOy 面内x 轴上从点（a,0）到点（b,0）的一段直线，证明：(x,y)dx (x,0)dxbLaP P =⎰⎰3.计算下列对坐标的积分： （1）22(xy )Ldx-⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点（0,0）到点（2,4）的一段弧（2）Lxydx⎰，其中L 为圆周222(x )a a y a -+=（>0）及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行） （3）Lydx xdy+⎰，其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到2π的一段弧（4）22(x y)dx (x y)dy L x y +--+⎰，其中L 为圆周222+y x a =（按逆时针方向绕行） （5）2x dx zdy ydzΓ+-⎰，其中Γ为曲线cos ,sin x k y a z a θ,θθ===上对应θ从0到π的一段弧 （6）(x y 1)dz xdx ydy Γ+++-⎰，其中Γ是从点（1,1,1）到点（2,3,4）的一段直线（7）+y dx dy dzΓ-⎰，其中Γ为有向闭折线ABCD ，这里的A,B,C 依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) （8）22(x2xy)dx (y 2xy)dyL-+-⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点（-1,1）到点（1,1）的一段弧 4.计算(x y)dx (y x)dy L++-⎰，其中L 是：（1）抛物线2y x =上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧（2）从点（1,1）到点（4,2）的直线段（3）先沿直线从点（1,1）到点（1,2），然后再沿直线到点（4,2）的折线（4）曲线2221,1x t t y t =++=+上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧 5.一力场由沿横轴正方向的恒力F 所构成，试求当一质量为m 的质点沿圆周222x y R +=按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所做的功6.设z 轴与动力的方向一致，求质量为m 的质点从位置（x,y,z ）沿直线移到（x,y,z ）时重力所做的功7.把对坐标的曲线积分(x,y)dx Q(x,y)dyLP +⎰化成对弧长的积分曲线，其中L 为：（1）在xOy 面内沿直线从点（0,0）到点（1,1）（2）沿抛物线2y x =从点（0,0）到点（1,1）（3）沿上半圆周222x y x +=从点（0,0）到点（1,1） 8.设Γ为曲线23,,x t y t z t ===上相应于t 从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分Pdx Qdy RdzΓ++⎰化成对弧长的曲线积分习题 11-31.计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性： （1）22(2xy x )dx (x y )dyL-++⎰，其中L 是由抛物线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线 （2）222(x xy )dx (y 2xy)dyL-+-⎰，其中L 是四个顶点分别为（0,0），（2,0），（2,2），（0,2）的正方形区域的正想边界2.利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积 （1）星形线33cos ,sin x a t y a t ==（2）椭圆229+16y 144x = （3）圆222x y ax +=3.计算曲线积分22ydx 2(x y )L xdy -+⎰，其中L 为圆周22(x 1)2y -+=，L 的方向为逆时针方向4.证明下列曲线积分在整个xOy 面内与路径无关，并计算积分值（1）(2,3)(1,1)(x y)dx (x y)dy++-⎰（2）(3,4)2322(1,2)(6xy y )dx (63)dy x y xy -+-⎰（3）(2,1)423(1,0)(2xy y 3)dx (x 4xy )dy-++-⎰5.利用格林公式，计算下列曲线积分： （1）(2x y 4)dx (5y 3x 6)dyL-+++-⎰，其中L 为三顶点分别为（0,0），（3,0）和（3,2）的三角形正向边界；（2）222(cos 2sin )(x sinx 2ye )dyx x Lx y x xy x y e dx +-+-⎰，其中L 为正向星形线222333(a 0)x y a +=>（3）3222(2xy y cosx)(12ysinx 3x y )dyLdx -+-+⎰，其中L 为在抛物线22x y π=上由点（0,0）到（2π，1）的一段弧（4）22(xy)dx (x sin y)dyL--+⎰，其中L 是在圆周22y x x =-上由点（0,0）到点（1,1）的一段弧6.验证下列(x,y)dx (x,y)dy P Q +在整个xOy 平面内是某一函数u(x,y)的全微分，并求这样的一个u(x,y)：（1）(2)(2)x y dx x y dy +++（2）22xydx x dy + （3）4sin sin3cos 3cos3cos 2x y xdx y xdy -（4）2232(38)(812)y x y xy dx x x y ye dy ++++ （5）22(2cos cos )(2sin sin )x y y x dx y x x y dy ++- 7.设有一变力在坐标轴上的投影为2,28X x y Y xy =+=-，这变力确定了一个力场。

一、单项选择题（1）函数()f x 在0x x =处连续是()f x 在0x x =处可微的（ ）条件.A.充分B.必要C.充分必要D.无关的 （2）当0x →时，()21x e -是关于x 的（ ）A.同阶无穷小B.低阶无穷小C.高阶无穷小D.等价无穷小（3）2x =是函数()222x xf x x -=-的（ ）.A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点 （4）函数()2f x x=及其图形在区间()1,+∞上（ ）. A.单调减少上凹 B.单调增加上凹 C.单调减少上凸 D.单调增加上凸（5）设函数()2; 1;1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =处可导，则（ ）A. 0,1a b ==B. 2,1a b ==-C. 3,2a b ==-D.1,2a b =-=（6）设()f x 为可微函数，则在点x 处，当0x ∆→时，y dy ∆-是关于x ∆的（ ）A. 同阶无穷小B. 低阶无穷小C. 高阶无穷小D. 等价无穷小 （7）设()1;012;12x x f x x x -<≤⎧=⎨-<≤⎩在1x =处为（ ）A. 连续点B. 可去型间断点C. 跳跃型间断点D. 无穷型间断点 二、填空题（1）()12lim 1sin x x →+=（2）已知xy xe =，n 为自然数，则()n y=（3）曲线ln y x =上经过点（1，0）的切线方程是：y =（4）2x f dx ⎛⎫'= ⎪⎝⎭⎰（5）已知()2xt G x e dt -=⎰，则()0G '=（6）曲线22sin y x x =+上点（0，0）处的法线方程为 （7）已知()32f '=，则()()33lim2x f x f x→--=（8）()=+∞→1!sin lim 32n n n n （9）已知()f x 的一个原函数为cos x ，则()f x '=（10）() 122 1sin 5x x x dx -+=⎰三、计算题1. 011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭2. 231lim 2x x x x +→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭3. 设ln tan 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy 4. 设()()sin ln xy y x x +-=确定y 是x 的函数，求0x y ='5. ()sin y f x =，其中f 具有二阶导数，求22d ydx6. 23225x dx x x --+⎰7. 18.22ππ-⎰9.1 ln eex x dx ⎰10. ()011lim ln 1x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦11. arctan x xdx ⎰12.13.4⎰14.求0,8y x y ===所围成的图形分别绕y 轴及直线4x =旋转所得的旋转体体积.15. 222x y a +=绕直线x a =旋转的旋转体的体积.四、应用题（1）已知销售量Q 与价格P 的函数关系Q = 10000－P ，求销售量Q 关于价格P 的弹性函数. （2）设某工厂生产某产品的产量为Q 件时的总成本()21500081000C Q Q Q =+-元，产品销售后的收益()2120500R Q Q Q =-元，国家对每件产品征税2元，问该工厂生产该产品的产量为多少件时才能获得最大利润？最大利润是多少？ 五、证明题1.设()f x 在区间[0，1]上可微，且满足条件()()1212f xf x dx =⎰，试证：存在()0,1ξ∈，使得()()0f f ξξξ'+=§8.1向量及其线性运算（1）、（2）、（3）、（4）一、设2,2u a b c v a b c =-+=++，试用,,a b c 表示24u v -．二、,,a b c 为三个模为1的单位向量，且有0a b c ++=成立，证明：,,a b c 可构成一个等边三角形．三、把△ABC 的BC 边四等分，设分点依次为123D D D 、、，再把各分点与点A 连接，试以AB c BC a ==、表示向量12D A D A 、和3D A ．四、已知两点()11,2,3M 和()21,2,1M --，试用坐标表示式表示向量12M M 及123M M -．五、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？并画出前两个：()1,1,1A ，()2,1,1B -，()2,3,4C ---，()3,4,5D --．六、指出下列各点的位置，观察其所具有的特征，并总结出一般规律：)0,4,3(A ，)3,0,4(B ，)0,0,1(-C ，)0,8,0(D ．七、求点(),,x y z 关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标．§8.1向量及其线性运算（5） §8.2数量积 向量积一、 试证明以三点()()()10,1,64,1,92,4,3A B C -、、为顶点的三角形是等腰直角三角形．二、设已知两点()()124,0,3M M 和，计算向量12M M 的模、方向余弦和方向角，并求与12M M 方向一致的单位向量．三、 设234,4223m i j k n i j k p i j k =++=-+=-++及，求232a m n p =+-在x 轴上的投影及在z 轴上的分向量． 四、 已知,,a b c 为三个模为1的单位向量，且0a b c ++=，求a b b c c a ++之值．五、已知23,a i j k b i j k c i j =++=--=+和，计算：()()()1a b c a c b -； ()()()2a b b c +⨯+； ()()3a b c ⨯．六、 设()()2,1,3,1,2,1a b =-=--，问λμ和满足何关系时，可使a b λμ+与z 轴垂直？七、 已知()1,2,3OA =，()2,1,1OB =-，求△AOB 的面积．§8.3曲面及其方程一、 一动点与两定点()()1,2,33,0,7和等距离，求这动点的轨迹方程．二、 方程2222460x y z x y z ++-+-=表示什么曲面？三、 将xoz 平面上的双曲线224936x z -=分别绕x 轴及z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．四、 指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形？ 1.24y x =+； 222.326x y -=．五、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？2221.226x y z ++=； ()2222.z a x y +=+．六、指出下列方程所表示的曲面：2221.22x y z+-=；2222.33x y z--=；223.345x y z+=．§8.4空间曲线及其方程 §8.5平面及其方程(1)一、填空题：1．曲面22x y +-209z =与平面3z =的交线圆的方程是 ，其圆心坐标是 ，圆的半径为 ．2．曲线222221(1)(1)1x y x y z ⎧+=⎪⎨+-+-=⎪⎩在yoz 面上的投影曲线为 ． 3．螺旋线cos x a θ=,sin y a θ=,z b θ=在yoz 面上的投影曲线为 ．4．上半锥面z =（01z ≤≤）在xoy 面上的投影为 ，在xoz 面上的投影为 ，在面上的投影为 ．二、选择题：1．方程22149x y y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在空间解析几何中表示 ． （Ａ）、椭圆柱面 （Ｂ）、椭圆曲线 （Ｃ）、两个平行平面 （Ｄ）、两条平行直线2．参数方程cos sin x a y a z b θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩的一般方程是 ．（Ａ）、222x y a += (B)、cos z x a b = (C)、sin z y a b = (D)、cos sin z x a b zy a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3．平面20x z -=的位置是 ． （Ａ）、平行xoz 坐标面。

第十章曲线积分与曲面积分习题简答习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分： （1）LI xds =⎰，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A到B 之间的一段劣弧； 解:(1+．（2）(1)L x y ds ++⎰，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解:(1)3Lx y ds -+=+⎰．（3）22Lx y ds +⎰，其中L 为圆周22x y x +=；解:222Lx y ds +=⎰．（4）2 Lx yzds ⎰，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C(1,2,3)D ；解: 2Lx y z d =⎰2 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥度1ρ=。

解 故所求重心坐标为444,,333πππ⎛⎫⎪⎝⎭．习题10—21 设L 为xOy 面内一直线y b =（b 为常数），证明xyoABC(,)0LQ x y dy =⎰。

证明：略.2 计算下列对坐标的曲线积分： （1）Lxydx ⎰，其中L 为抛物线2y x =上从点(1,1)A -到点(1,1)B 的一段弧。

解 :45Lxydx =⎰。

（2）⎰-++Ldy y x dx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y --=11从对应于0=x 时的点到2=x 时的点的一段弧；解34)()( 2222=-++⎰Ldy y x dx y x ．（3）,Lydx xdy +⎰L 是从点(,0)A a -沿上半圆周222x y a +=到点(,0)B a 的一段弧；解 0.Lydx xdy +=⎰（4）22Lxy dy x ydx -⎰，其中L 沿右半圆222x y a +=以点(0,)A a 为起点，经过点(,0)C a 到终点(0,)B a -的路径；解 22Lxy dy x ydx -⎰44a π=-。

（5）3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB ；解 3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰3187874t dt ==-⎰。

1． 计算下列对弧长的曲线积分 1)⎰+Lds y x )(，其中L 为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段；[解] 连接(1,0)及(0,1)两点的直线段方程为1,01x y x =-≤≤,于是⎰+Lds y x )(2101[(1')]y x x dx ++=-⎰201(1)2dx =+-=⎰2)⎰Lxds ，其中L 为由直线y x =及抛物线2y x =所围成的区域的整个边界； [解] 直线y x =与抛物线2y x =的交点为(0,0), (1,1). 设1L 为直线y x =从(1,1)到(0,0)一段, 2L 为抛物线2y x =从(0,0)到(1,1)一段, 于是12L L Lxds xds xds=+⎰⎰⎰112201114dx x dx=+++⎰⎰21=+51)212. 3)⎰+Ly x ds e22 ， 其中L 为圆周222 x y a +=， 直线y x =及x 轴在第一象限所围成的扇形的整个边界；[解] L 由线段:0(0)a OA y x ≤≤=, 圆弧:AB cos ,sin (0)2t y a t x a t π=≤≤=和线段:OB y x = (02)x π≤≤组成.221ax y x a OAe dx e +==-⎰⎰;222240()()sin cos x y ABee a a d t tt π+=-+⎰⎰404a a ae dt ae ππ==⎰;2222211x y xOBeedx +=+⎰1a e =-,于是上海财经大学《高等数学》习题十及解答2242412a a a x y a Leds e a e a a e e ππ+⎛⎫=-++-=+- ⎪⎝⎭⎰. 4)⎰++L ds zy x 2221， 其中L 为曲线cos ,sin ,t t tx e t y e t z e ===上相应于t 从0变到2的这段弧； [解] 因ds ==t dt =,所以⎰++L ds zy x 22212202222cos sin 1t t t t dt e t e t e =++⎰202t e dt -=⎰2(1)2e -=-. 5)⎰Lds y2， 其中L 为摆线的一拱()()sin 1cos (02)x a t t y a t t π=-=-≤≤，；[解] 因为ds ===,所以22202(1)cos Ly ds a t π=-⎰⎰52230c (os 1)t dt π=-⎰325220sin 22t dt π⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰ 3205si 216n u a udu t π=⎰3423233a =⋅⋅325615a =.6)⎰+Lds y z 222， 其中L 为2222 x y z a ++=与x y =相交的圆周；[解] 因为在曲线L 上的点满足2222y z a +=，而且2222x y z a ++=与x y =相交的圆周L 的周长为2a π,所以⎰+Lds y z 222Lads =⎰22a π=.2.计算下列对坐标的曲线积分:1)⎰+Lxdy ydx ， 其中L 是圆周cos sin x R t y R t ==，上对应t 从0到/2π的一段弧；[解] 20sin (sin )cos co [s ]Lt R t R ydx xd R t t d R y t π⋅-+⋅+=⎰⎰202cos 20td Rt π==⎰.2)⎰+--+Ly x dy y x dx y x 22)()( ， 其中L 是圆周()2220x y a a +=> (按逆时针方向绕行)； [解] L 的参数方程为cos x t a =, sin y t a =, t 从0变到2π. 于是⎰+--+Ly x dy y x dx y x 22)()(221[(cos sin )(sin )(cos sin )cos ]a t t a t a t t a t dt a π+⋅---⋅=⎰2221()2a dt a ππ=-=-⎰.3)⎰-+Lydz zdy dx x 2，其中L 是曲线cos sin x kt ya t y a t ==，，上对应的t 从0到π的一段弧； [解]222co []s (sin )cos (cos )x dx zd t t a t a y ydz k k a d t a t t πΓ⋅-+-=⋅⋅+-⎰⎰2203()k t a dt π=-⎰33213k a ππ=-. 4)⎰-+++Ldz y x ydy xdx )1( ，其中L 是从点(1,1,1)到点(234)，，的一段直线； [解] 直线L 的参数方程为：1x t =+,12y t =+,13z t =+,t 从0变到1. 于是⎰-+++Ldz y x ydy xdx )1(1[(1)1(12)2(1121)3]t t t t dt =+⋅++⋅++++-⋅⎰1(614)t dt =+⎰13=.5)⎰---L dy xy y dx xy x)2()2(22， 其中L 是抛物线2y x =上从点(11)-，到点(11)，的一段弧；[解]⎰---L dy xy y dx xy x)2()2(22112242(2)(2)2x x x x x x x dx -⎡⎤=-⋅+-⋅⋅⎣⎦⎰ 421531(242)x x x x dx -=--+⎰104211442()5x x dx =-+=-⎰.6) ⎰Lxyzdz ， 其中L :2221x y z ++=与y x =相交的圆，其方向按曲线依次经过1，2，7，8卦限.[解] 曲线L 可表示为：11cos ,cos ,sin 22t t z t x y ===(02t π≤≤), 于是 201122cos cos sin cos Lxyzdz t t t tdt π⋅⋅⎡⎤=⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 230(1cos co 2)s t td π=--⎰4201cos 8|t π=-0=. 3. 计算：(1)⎰++-Ldy y x dx x xy ,)()2(22其中L 分别是由抛物线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线，即该区域在该方向的左边.解法一 先按曲线积分的计算公式直接计算. 记21:L y x =, x 从0变到1; 2:L x y =, y 从1变到0. 于是22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰ 122222(2)()(2)()L L xy x dx x y dy xy x dx x y dy =-+++-++⎰⎰1324342201[(2)()2][(2)2()]x x x x x dx y y y y y dy =-++⋅+-⋅++⎰⎰532542101(22)(242)x x x dx y y y dy =+++-++⎰⎰717615=-130=. 解法二 应用格林公式计算. 令22P xy x =-, 2Q x y =+,2P x y ∂=∂, 2Q x y∂=∂, 于是 22(2)()L xy x dx x y dy -++⎰D Q P dxdy x y ⎛⎫∂∂=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰ (12)Dx dxdy =-⎰⎰210(12)x xx dx dy =-⎰⎰21(12)()x x x dx =--⎰13122230(22)x x x x dx =--+⎰130=. (2)⎰-+-Ldy xy y dx xy x)2()(232，其中L 分别是四个顶点分别为(0,0)、(2,0)、(2,2)和(0,2)的正方形区域的正向边界.解法一 L 由有向线段OA 、AB 、BC 和CO 组成.322228()(2)3OA x xy dx y xy dy x dx -+-==⎰⎰;2232028()(2)(4)83AB x xy dx y xy dy y y dy -+-=-=-⎰⎰; 0222238()(2)(8)163BC x xy dx y xy dy x x dx -+-=-=-⎰⎰;2023228()(2)3CO x xy dx y xy dy y dy -+-==-⎰⎰,于是⎰-+-Ldy xy y dx xy x )2()(23288888163333⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8=. 解法二 应用格林公式计算. 令232(,),(,)2P x y x Q x y xy y xy =-=-, 显然，22,3Q Py xy x y∂∂=-=-∂∂, 因此有⎰-+-Ldy xy y dx xy x )2()(232D Q P dxdy x y ⎛⎫∂∂=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰ 2(23)Dy xy dxdy =-+⎰⎰222(23)dx y xy dy =-+⎰⎰2(84)x dx =-⎰8=.4. 计算曲线积分⎰+-L y x xdy ydx )(222,其中L 为圆周()2212,x y L -+=的方向为逆时针方向. [解] 在L 所围的区域内的点(0,0)处, 函数(,)P x y 、(,)Q x y 均无意义. 现取r 为适当小的正数, 使圆周l (取逆时针向): cos x t r =, sin y t r =(t 从0变到2π)位于L 所围的区域内，则在由L 和l -所围成的复连通区域D 上，可应用格林公式，在D 上，22222()Q x y P x x y y∂-∂==∂+∂, 于是由格林公式得⎰+-L y x xdyydx )(2222202()D l ydx xdy Q P dxdy x y x y -⎛⎫-∂∂+=-= ⎪+∂∂⎝⎭⎰⎰⎰, 从而22222()2()Llydx xdyydx xdy x y x y --=++⎰⎰2202222sin co 2s r t r t dt r π--=⎰2012dt ππ=-=-⎰.5. 证明下列曲线积分在xOy 平面上与路径无关，并计算积分值.1)⎰-++)2,2()1,1(;)()(dy y x dx y x2)⎰-+-)4,3()2,1(2232;)36()6(dy xy y x dx y xy 3)⎰-++-)1,2()0,1(324.)4()32(dy xy x dx yxy[解] 1）1=∂∂=∂∂xQ y P ，积分与路径无关.⎰-++)2,2()1,1()()(dy y x dx y x =⎰212xdx =3.2)2312y xy xQ y P -=∂∂=∂∂，积分与路径无关.⎰-+-)4,3()2,1(2232)36()6(dy xy y x dx y xy =⎰⎰-+-31422)954()824(dy y y dx x =236. 3)342y x xQy P -=∂∂=∂∂，积分与路径无关.⎰-++-)1,2()0,1(324)4()32(dy xy x dx y xy =⎰⎰-+1321)84(3dy y dx =5. 6. 计算曲面积分⎰⎰∑+dS y x )(22， 其中∑分别为如下： 1) 抛物面22y x z +=及平面1=z 所围成的区域的整个边界； 2) 锥面()2223yx z +=被平面0z =和平面3z =所截得的部分．[解] 1） ∑由1∑和2∑组成，其中1∑为平面1=z 上被圆周221+=x y 所围的部分；2∑为抛物面22y x z +=(01)≤≤z . 在1∑上，=dS dxdy ; 在2∑上，==dS .⎰⎰∑+dS y x)(22=2222222211(()+≤+≤+++⎰⎰⎰⎰y x y x x y x y dxdy=⎰⎰⎰⎰++12201222041rdr r d rdr r r d ππθθ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+151535425π;2）由题设，∑的方程为=z ,因此=dS= 2=dxdy . 又由()2223yx z +=和3=z 消去z 得223+=xy , 故∑在xOy 面上的投影区域xy D 为223≤+x y , 于是⎰⎰∑+dS y x )(2222=()2+⋅⎰⎰xyD x ydxdy 230=2πθ⎰d dr (极坐标变换)9π=.7. 计算下列对面积的曲面积分：1) ⎰⎰∑++dS y x z )342(， 其中∑为平面1432=++zy x 在第一卦限中的部分； 2)⎰⎰∑+--dS z x x xy )22(2， 其中Σ为平面132=++z y x 在第一卦限中的部分； [解] 1) 在∑上，2344z x y =--. ∑在xOy 面上的投影区域xy D 为x 轴、y 轴和直线123x y+=围成的三角形闭区域. 因此⎰⎰∑++dS y x z )342(4442233xy D x y x y ⎡⎛⎫=--++ ⎪⎢⎝⎭⎣⎰⎰433xyxyD Ddxdy dxdy =⋅=⋅⎰⎰⎰⎰1232⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭. 2) 在∑上，123z x y =--. ∑在xOy 面上的投影区域为由x 轴、y 轴和直线231x y +=所围成的三角形闭区域. 因此⎰⎰∑+--dS z x xxy )22(2222[22(123)]1(2)(3)xyD xy x x x y dxdy =--+--+-+-⎰⎰214(22133)Dzxy x x y dxdy =⋅-+--⎰⎰11(12)2302014(13223)x dx x x xy y dxdy -=⋅--+-⎰⎰()()12222011114(132)(12)1212396x x x x x x dx ⎡⎤=⋅---+---⎢⎥⎣⎦⎰14108=.8. 计算下列对坐标的曲面积分：1)ydxdz xdydz zdxdy ++⎰⎰∑， 其中Σ为柱面122=+y x被平面z=0和z=3所截得在第一卦限中的部分的前侧；[解] 由于柱面122=+y x 在xOy 面上的投影为零，因此0zdxdy ∑=⎰⎰. 又{(,)|01,03}xy y z y z D ≤≤≤≤=, {(,)|01,03}zx x z x z D ≤≤≤≤=, 如图. 因∑取前侧，所以ydxdz xdydz zdxdy ++⎰⎰∑xdydz ydzdx ∑∑=+⎰⎰⎰⎰2211yzzxD D y dydz x dzdx =-+-⎰⎰⎰⎰313120211dz y dy dz x dx =-+-⎰⎰⎰⎰21arcsin 123122y y y ⎡⎤=⋅-+⎢⎥⎣⎦ 32π=. 2) ⎰⎰∑++yzdxdz yxdydz xzdxdy ，其中Σ为1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.[解] 在坐标面0x =、0y =和0z =上，积分值均为零，因此只需计算在':1x y z ∑++=(取上侧)上的积分值， 如图所示.'(1)xyD xzdxdy x x y dxdy ∑=--⎰⎰⎰⎰110(1)xxdx x y dy -=--⎰⎰124=. 由被积函数和积分曲面关于积分变量的对称性，可得 '''124xydydz yzdzdx xzdxdy ∑∑∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰, 因此113248xzdydz yxdxdz yzdxdy ∑++=⋅=⎰⎰.9. 计算下列对坐标的曲面积分：1)⎰⎰∑++dxdy z dxdz y dydz x 222， 其中Σ为平面0,0,0===z y x ，a z a y a x ===,,所围成的空间 区域的整个边界曲面的外侧; 2)⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz)2()(222， 其中Σ为上半球体222a y x ≤+，0z ≤，2222z a x y ≤--的表面外侧.3)⎰⎰∑++zdxdy ydxdz xdydz , 其中Σ为介于0=z 与3=z 之间的圆柱体922≤+y x 的整个表面的外侧． [解] 1) 令()2,,P x y z x =, ()2,,Q x y z y =, ()2,,R x y z z =, 应用高斯公式可得⎰⎰∑++dxdy z dxdz y dydz x 222P Q R dxdydz x y z Ω⎛⎫∂∂∂=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ 2()x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰6zdxdydz Ω=⎰⎰⎰(应用对称性)6aa adx dy zdz =⎰⎰⎰24632a a a a =⋅⋅⋅=. 2)⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz)2()(222()222z x y dxdydz Ω=++⎰⎰⎰22202sin ad d r dr r ππθϕϕ=⋅⎰⎰⎰(球面坐标)5521552a a ππ⋅⋅==. 3)⎰⎰∑++zdxdy ydxdz xdydz (111)dxdydz Ω=++⎰⎰⎰3dxdydz Ω=⎰⎰⎰233381ππ=⋅⋅=⋅.10.求散度及旋度1) ()()()k xy z j xz y i yz x A +++++=222； 2) ()()k xz j xy i e A xy 2cos cos ++=； 3) k xz j xy i y A ++=2．[解] 1）令2P x yz =+, 2Q y xz =+, 2R z xy =+，因此 div 222P Q R A x y z x y z∂∂∂=++=++∂∂∂. rot 222ij kij k A x y z x y z P QR x yzy xzz xy∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂+++0=. 2）div A =2sin()2sin()xyye x xy xz xz --，rot A =k xe xy y j xz z i xy)sin ()))sin((0()00(22--+--+-=k xe xy y j xz z xy)sin ()sin(22+-.3）div A =x x ++0=x 2，rot A =k y y j z i )2()0()00(-+-+-=k y j z--.11. 利用Gauss 公式计算下列曲面积分: (1)222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰,其中∑为平面0x =,0y =,0z =,x a =,y a =,z a =所围的立体的表面的外侧. (2)⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz)2()(2322,其中∑为上半球体222x y a +≤,0z ≤≤.(3)⎰⎰∑++xydxdy zxdzdx yzdydz ,其中∑是单位球面2221x y z ++=的外侧. (4)⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222,其中∑是锥面222x y z +=与平面z h =所围成的空间区域(0)z h ≤≤的表 面, 方向取外侧.[解] (1) (2)同第9大题中的1）2）两小题，故解答略去. 3)⎰⎰∑++xydxdy zxdzdx yzdydz =⎰⎰⎰Ω++dv )000(=0.4) ⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222=⎰⎰⎰Ω++dv z y x )222(=π24h . 12. 利用Gauss 公式计算椭球面2222221x y z a b c++=所围区域的体积. [解] 由Gauss 公式可得V =⎰⎰⎰Ω++dv )111(31=⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz 31， 又 ⎰⎰∑zdxdy =⎰⎰∑'--dxdy b y a x c 222212=dr r r abc d ⎰⎰⋅-1022012πθ=πabc 34. 由对称性可知⎰⎰∑xdydz =⎰⎰∑ydzdx =⎰⎰∑zdxdy =πabc 34. 于是V =⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz 31=πabc 34. 13. 设某种流体的速度为v xi y j zk =++, 求单位时间内流体流过曲面22:y x z ∑=+2(0)y h ≤≤的流量, 其中∑取左侧.[解] 所求的流量为 xdydz ydzdx zdxdy ∑Φ=++⎰⎰ =⎰⎰⎰Ω++dv )111(22203y h x z dydxdz +≤=⎰⎰⎰ =203h ydy π⎰=432h π.14. 应用Stokes 公式计算下列积分: (1) ⎰-+-++Ldz x y dy z x dx z y )()()2( 其中∑为平面1x y z ++=与各坐标面的交线, 取逆时针方向为正向. (2) ⎰-+-+-Ldz x y dy z x dx y z )()()(. 其中L 为以(,0,0)A a ,(0,,0)B a ,(0,0,)C a 为顶点的三角形沿ABCA 的方向.(3) ⎰Γ++zdz dy dx y x 32, 其中L 为圆: 2220x y a z ⎧+=⎨=⎩,且从z 轴正向看去取逆时针方向. (4) ⎰Γ-+xydz zxdy yzdx 3 其中L 是曲线224310x y y y z ⎧+=⎨-+=⎩,且从z 轴正向看去取逆时针方向.[解] (1) ⎰-+-++L dz x y dy z x dx z y )()()2(=⎰⎰∑-++++dxdy dxdz dydz )21()11()11(=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑-+zy x dxdy dxdz dydz 22=2315. 证明沿曲线AB 的曲线积分223(3)(4)2AB x y z dx x y dy xzdz -++-++⎰与积分路径无关, 只与起点A 和终点B 有关. 并求原函数. [证明] 令223P x y z =-+, 34Q x y =-+, 2R xz =. 因为 1-=∂∂=∂∂x Q y P ，0=∂∂=∂∂y R z Q ，z zP x R 2=∂∂=∂∂， 所以曲线积分223(3)(4)2AB x y z dx x y dy xzdz -++-++⎰与积分路径无关.原函数为：),,(z y x u =c y xz xy x +++-42316.计算222()()()L x yz dx y xz dy z xy dz -+-+-⎰. 其中L 为由点(,0,0)A a 至点(,0,)B a h 的螺线cos x a ϕ=,sin y a ϕ=,2h z ϕπ=(02ϕπ≤≤). [解] 令2P x yz =-, 2Q y xz =-, 2R z xy =-. 因为z x Q y P -=∂∂=∂∂，x y R z Q -=∂∂=∂∂，y zP x R -=∂∂=∂∂，所以曲线积分222()()()L x yz dx y xz dy z xy dz -+-+-⎰与积分路径无关. 一次，积分路径取点(,0,0)A a 至点(,0,)B a h 的直线段，于是可得222()()()L x yz dx y xz dy z xy dz -+-+-⎰=⎰-hdz z 02)0(=331h .。

对弧长的曲线积分的计算方法
对弧长的曲线积分是一种第一类曲线积分，其计算方法主要包括以下步骤:
1. 确定被积函数：首先需要确定被积函数，通常是曲线的参数方程或极坐标方程。

2. 确定积分区间：确定积分区间，即曲线的不同段，通常需要分成多个区间进行积分。

3. 计算积分值：根据被积函数和积分区间，计算曲线每段弧长乘以段数，再对所有段数进行求和，即可得到曲线积分的值。

4. 化简积分式：如果需要，可以将积分式进行化简，以简化计算过程。

下面是一些典型的例题:
- 计算圆的对弧长的曲线积分：被积函数为圆的参数方程
(x,y)= (rcos(t), rsin(t)),积分区间为 [0,2π],结果求和。

- 计算椭圆的对弧长的曲线积分：被积函数为椭圆的参数方程x=rcos(t),y=rsin(t),积分区间为 [0,2π],结果求和。

- 计算空间曲线的对弧长的曲线积分：被积函数为空间曲线的参数方程，积分区间为 [0,2π],结果求和。

- 计算分段光滑曲线的对弧长的曲线积分：被积函数为分段光滑的曲线函数，积分区间为 [0,2π],结果求和。

对弧长的曲线积分的计算方法相对简单，但需要确定被积函数和积分区间，并计算积分值，化简积分式等步骤。

在实际应用中，需要
根据具体情况选择适当的积分方法，并进行详细的计算和分析。

《高等数学》作业复习题（成教理工类本科）第六章 常微分方程一、选择题1、微分方程23d 2d 0y x x y +=的阶是[ ]．A 、 2,B 、 1,C 、0,D 、3．2、2'()()y x x y x x +=是[ ]．A 、一阶线性微分方程,B 、 可分离变量的微分方程,C 、齐次微分方程,D 、 二阶线性微分方程．3、下列微分方程中，[ ]是二阶线性微分方程. A 、2d sin d y y x x x +=， B 、222d d y y x x=， C 、d d 0x y y x -=， D 、2''3'2y y y x ++=．4、下列函数中, [ ]是方程7120y y y '''-+=的解.A 、3y x =，B 、1e x y +=，C 、3e x y =，D 、2y x =．5、 下列函数中，[ ]是方程'2y y -=-的通解.A 、e x y C =，B 、e 2x yC =+，C 、e x y =，D 、e 2x y =+．二、填空题1、若曲线上任意点(,)M x y 处切线的斜率为x 2,则y 满足的微分方程为 .2、微分方程e xy '=的通解为_________．3、微分方程d d 0x x y y +=的通解为________.4、已知二阶线性齐次方程的两个解为1e x y =，22e x y =，则该微分方程的特征根为 .5、设1e x y =，22e x y =都是微分方程''()'()0y p x y q x y ++=的解，则该微分方程的通解为________.三、计算题1、求下列微分方程的通解：（1）d d y x x y=； dy/dx=x/yydy=xdx2ydy=2xdxd(y^2)=d(x^2)y^2=x^2+C（2）d 0d y y x-=；Dy/y=-P(x)dx=dx p(x)=-1两边积分 ∫Dy/y=∫dx得 ln 丨y 丨= -∫P(x)dx+c=∫d(x)+c=x+c即y=±e^(x+c)=±e^x * e^c=C*e^x（3）d20 dyyx+=；Dy/y=-P(x)dx=-2dx p(x)=2两边积分∫Dy/y=∫-2dx得 ln丨y丨= -∫P(x)dx+c=-∫2d(x)+c=-2x+c 即y=±e^(-2x+c)=±e^-2x * e^c=C*e^-2x（4）d30 dxxy y-=；（5）ddyxyx=；Dy/y=-P(x)dx=xdx p(x)=-x两边积分∫Dy/y=∫-xdx得 ln丨y丨= -∫P(x)dx+c=∫xd(x)+c=x^2/2+c即y=±e^(x^2/2+c)=±e^(x^2/2) * e^c=C*e^(x^2/2)（6）2d 2d y xy x =．2、求下列微分方程满足初始条件的特解: (1) d 1,(0)0d yy y x -==；Dy/dx=y+1 令t=y+1 则dt/dx=dy/dx=t dt/t=-P(x)dx=dx p(x)=-1 Ln 丨t 丨= -∫p(x)dx+c1=∫dx+c1=x+c1即 t=±e^(x+c1)=±e^c1*e^x=C*e^x=y+1Y=c*e^x-1由题得 y(0)=c*e^0-1=c-1=0 即c=1Y=e^x-1(2) d11,(1)1 dyy yx x-==；(3) d1,(1)0d2y xy yx x-=-=；(4) d22,(0)0dyxy x yx+==；（5）d 13,(1)0d yy y x x x -==．3、求下列微分方程的通解：(1) ''20y -=；(2) ''20y x -=；(3) ''sin y x =；（4）2''e x y =．4、求下列微分方程的通解：(1) ''4'30y y y -+=；(2) ''2'0y y y -+=；（3）''6'0y y -=．参考答案：一.选择题1-5 BADCB ．二、填空题1、'2y x =,2、e x y C =+，3、22x y C +=，4、121,2r r ==，5、2112=C e e x x y C +． 三、计算题1、（1）22y x C =+；（2）=Ce x y ；（3）2=Ce x y -；（4）3x Cy =；(5)212=Ce x y ；（6）21y x C=-+． 2、(1) e 1x y =-；(2) (1ln )y x x =+ ；(3)21122y x x =-；（4）2=1-e x y -；（5）33y x =-+． 3、(1) 2y x C =+；（2）31213y x C x C =++；（3）12sin y x C x C =-++e x ；（4）2121e 4x y C x C =++． 4、（1）1e x y C =+32e x C ；（2）()x C C y 21+=e x ；（3）1y C =+62e x C ．第八章 多元函数微分学一、选择题1、设函数(,)f x y xy =，则(,1)f y =[ ]．A 、,B 、xy ,C xy ,D y ．2、已知()22,f x y x y x y -+=+，则()1,1f -=[ ]. A 、 0, B 、 1-,C 、1,D 、2．3、设函数 u xyz =，则 []du =．A 、yzdx ，B 、xzdy ，C 、xydz ，D 、yzdx xzdy xydz ++．4、 点(0,0)是函数z xy =的[ ]．A 、极大值点，B 、驻点，C 、非驻点，D 、极小值点．5、设函数(,)f x y =则点(0,0)是函数(,)f x y 的[ ]. A 、最小值点，B 、最大值点，C 、驻点，D 、间断点．二、填空题1、函数z =的定义域是 ，其中r 为常数.2、()(),0,0lim x y →= .3、()()22,0,11lim x y xy x y →-=+ . 4、(,)(0,0)sin lim x y xy x →= . 5、函数z = .三、计算题1、求下列函数的定义域：（1）求函数x z y =的定义域；（2）求函数z =（3）求函数z =.（4）求函数z=的定义域.2、求下列函数的极限：（1）22 (,)(2,0)limx yx xy yx y→+++；（2）22 (,)(1,1)limx yx yx y→--；（3）(,)lim x y →（4）(,)(0,0)1lim sin()x y xy xy →；（5）(,)(,)1lim 1xyx y xy →+∞+∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（6）(,)(,)1lim sin x y x xy →+∞+∞．3、求下列函数的一阶偏导数：（1）2z x y =+；（2）z xy =；(3) y z x= ；（4）e xy z =；（5）sin()z xy =；（6）()22ln z x y =+．4、已知2x z y =，求22z x ∂∂，22z y ∂∂，2z x y∂∂∂.5、求函数z xy =在点()0,0处，当0.1x ∆=，0.2y ∆=时的全增量和全微分.6、求下列函数的全微分：（1）22z x y =+；（2）()sin z y x y =+；（3）221ln()2z x y =+；(4)求33z x y y x =-在点(1,1)处的全微分．7、求下列函数的极值：（1）22z x y =+；（2）221z x y =--；（3）222z x xy y x y =-+-+；（4）333z x xy y =-+.参考答案：一.选择题1-5 DCDBA ．二、填空题1、(){}222,|x y x y r +<,2、12y =，3、1，4、0，5、(0,0)． 三、计算题1、(1) {}(,)|0D x y y =≠；（2）{}{}(,)|0,0(,)|0,0D x y x y x y x y =>>⋃<<；（3）{}(,)|0D x y x y =+>；（4）{}22(,)|14D x y x y =≤+<．2、(1) 2 ；（2）2；(3)6；（4）1，（5）=e y ；（6）0．3、（1）2,1z z x x y ∂∂==∂∂；（2）,z z y x x y ∂∂==∂∂；（3）21,z y z x x y x∂∂=-=∂∂； (4) e ,e xy xy z z y x x y ∂∂==∂∂；（5）cos(),cos()z z y xy x xy x y∂∂==∂∂； （6）222222,z x z y x x y y x y ∂∂==∂+∂+． 4、220z x ∂=∂,2246z x y y ∂=∂,232z x y y∂=-∂∂. 5、0.72z ∆=，0.7dz =.6、（1）22xdx ydy -；（2）()cos (sin()cos())dz y x y dx x y y x y dy =+++++，（3）22xdx ydy z x y+=+；（4）22dx dy -． 7、（1）极小值(0,0)1f =；（2）极大值(0,0)1f =；（3）极小值(1,0)1f =-；（4）极小值(1,1)1f =-．第九章 多元函数积分学一、选择题1、二重积分()22221x y x y dxdy +≤--⎰⎰的值[ ]．A 、小于零，B 、大于零，C 、等于零，D 、等于1-．2、 设D 是由2214x y ≤+≤围成，则Dd σ=⎰⎰[ ]．A 、π，B 、2π，C 、3π ，D 、4π．3、设积分曲线L ：,(01)y x x =≤≤，则对弧长的曲线积分()Lx y ds -=⎰[ ]． A 、0， B 、1， C 、－1， D 、3．4、设L 是圆周222x y +=，则对弧长的曲线积分22()L x y ds +=⎰ [ ]． A 、π4， B 、π24， C 、π28， D 、π8．5、下列曲线积分中，与路径无关的曲线积分为[ ]．A 、(2)d (2)d L x y x x y y -+-⎰，B 、(2)d (2)d Lx y x y x y ++-⎰， C 、(2)d (2)d L x y x x y y +++⎰， D 、(2)d (2)d Lx y x x y y ++-⎰．二、填空题1、设D 是由曲线224x y +=与两坐标轴所围成的第一象限部分的平面区域，则二重积分d d Dx y ⎰⎰= .2、设积分区域D 由,1,0y x x y ===所围成，将二重积分⎰⎰D dxdy y x f ),(化为直角坐标下的二次积分为___________．3、设平面曲线L 为半圆周y =22()d Lx y s +=⎰ ．4、已知曲线积分(,)d 2d Lf x y x x y +⎰与路径无关，则(,)f x y y ∂=∂__________． 5、若曲线积分d d L P x Q y +⎰在G 内与路径无关，则沿G 内任意闭曲线C 的曲线积分d d CP x Q y +=⎰ __________．三、计算题1、在直角坐标系下计算下列二重积分：(1)D xd ⎰⎰σ，其中D 是矩形闭区域: 01x ≤≤，02y ≤≤；(2)Dyd ⎰⎰σ，其中D 是矩形闭区域: 11x -≤≤，01y ≤≤；(3) 2D y d x σ⎰⎰，其中D 是矩形闭区域: 12x ≤≤，01y ≤≤；（4）D yd ⎰⎰σ，其中D 是由直线,0,1y x y x ===所围成的闭区域；（5）()32D x y d σ+⎰⎰，其中D 是由两坐标轴及直线2x y +=所围成的闭区域；（6）()22D x y y d σ+-⎰⎰，其中D 是由y x =，2x y =和2y =所围成的区域；（7）3Dxy d ⎰⎰σ，其中D 由曲线2y x =，1x =及0y =围成的区域；（8）计算二重积分2e x Dd -σ⎰⎰，其中积分区域D 是由直线,1y x x ==及x 轴所围成的区域．2、利用极坐标计算下列二重积分：（1）22(1)Dx y d +-⎰⎰σ，其中D 是圆形闭区域221x y +≤；（2）Dσ⎰⎰，其中D 是圆形闭区域221x y +≤；（3）()221d Dxy σ--⎰⎰，其中D 是由圆0y =，y x =和422=+y x 所围成的区域.（4）22e x y Dd +⎰⎰σ，其中D 是圆形闭区域224x y +≤；3、计算下列对弧长的曲线积分： （1）计算d Lx s ⎰，其中L 为直线1y =上点()0,1O 与点()1,1B 之间的线段；（2）计算2d Ly s ⎰，其中L 为直线1y =上点()0,1O 与点()1,1B 之间的线段；（3）计算d Lx s ⎰，其中L 为直线y x =上点()0,0O 与点()1,1B 之间的线段；4、计算下列对坐标的曲线积分： （1）计算d Ly x ⎰,其中L 为抛物线2y x =上从()0,0O 到()1,1B 的一段弧；（2）计算d Lx y ⎰,其中L 为抛物线2y x =上从()0,0O 到()1,1B 的一段弧；（3）计算2d 2d Ly x xy y +⎰,其中L 为抛物线2y x =上从()0,0O 到()1,1B 的一段弧；（4）计算2d 2d Ly x xy y +⎰,其中L 为抛物线2x y =上从()0,0O 到()1,1B 的一段弧；（5）利用格林公式计算2(22)d (4)d Lxy y x x x y -+-⎰ ，其中曲线L 为取正向的圆周229x y +=；（6）利用格林公式计算()()2222Lxy dx y x dy ++-⎰ ，其中L 是由0y =，1x =，y x =所围成的闭曲线的正向.（7）计算L ydx xdy+⎰，积分路径L：从点(),0R-沿上半圆周222x y R+=到点(),0R．（请用格林公式和与路径无关两种方法计算）参考答案： 一.选择题 1-5 ACABC ． 二、填空题1、π,2、10(,)xdx f x y dy ⎰⎰，3、π，4、2，5、0．三、计算题 1、（1）1； （2）1；(3) 14；（4）16；（5）203；（6）323；（7）140；（8）11(1-e )2-．2、（1）2-π；（2）23π；（3）16π；（4）4(e 1)π-．3、（1）12 ；（2）1；(3) 2． 4、（1）13；（2）23；（3）1；（4）1；（5）18-π，（6）1-；（7）0．第十章 无穷级数一、选择题1、对级数∑∞=1n na，“0lim =∞→n n a ”是它收敛的[ ]条件．A 、充分，B ．必要，C ．充要，D ．非充分且非必要．2、设正项级数∑∞=1n nu收敛，则下列级数中一定发散的是[ ]．A 、11nn u∞=+∑， B 、11n n u∞+=∑，C 、1(3)nn u ∞=+∑， D 、16nn u∞=∑．3、若lim 1n n u →∞=，则级数1nn u∞=∑[ ]．A 、发散，B 、不一定发散，C 、收敛，D 、绝对收敛．4、若级数∑∞=1n na条件收敛，则级数∑∞=1n na必定[ ]．A 、收敛，B 、发散，C 、绝对收敛，D 、条件收敛．5、 若级数∑∞=1n na收敛，级数∑∞=1n nb发散，则级数∑∞=+1)(n n nb a必定[ ]．A 、收敛，B 、发散，C 、绝对收敛，D 、敛散性不定．二、填空题1、已知无穷级数231123333n n u ∞==+++∑ ，则通项n u =__________.2、 若级数∑∞=+-1)1(n n n a收敛，则常数=a ．3、级数1n ∞=________.4、级数112nn ∞=∑的敛散性为________.5、 幂级数0nn x∞=∑的收敛半径为______.三、计算题1、用级数的性质判别下列级数的敛散性： （1）∑∞=-1)1(n n；（2）21n n∞=∑；（3）21113n n n∞=⎛⎫+⎪⎝⎭∑； （4）21223n n n∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑；（5）1112n n n∞=⎛⎫- ⎪⎝⎭∑；（6）1222n n n∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑．2、用比较判别法判别下列级数的敛散性：(1) 1112n n ∞=+∑；(2) ()∑∞=-+1212n nn；(3) 2111n n ∞=+∑；(4) 12nn n∞=∑．3、用比值判别法判定下列级数的敛散性：（1）13n n n ∞=∑；（2）∑∞=+1212n n n ；（3） 212nn n ∞=∑；（4）1!3n n n ∞=∑．（5）12!nn n∞=∑4、判定下列交错级数的敛散性：（1）()111nn n ∞=-+∑；（2）11nn ∞=-；（3）()112nn n ∞=-∑；（4）()11n n n ∞=-∑．5、求下列级数的收敛半径:（1）1n n nx ∞=∑；（2）21(1)n n n x ∞=+∑；（3）1nn x n∞=∑；（4）212nn x n ∞=∑；（5）31(3)nn n x n ∞=-∑；（6）12nn n x n ∞=∑．参考答案：一.选择题1-5 BCABB ．二、填空题1、3nn , 2、0，3、发散，4、收敛，5、1R =． 三、计算题1、(1) 发散；（2）发散；（3）收敛；（4）收敛；（5）发散；（6）发散．2、（1）收敛；（2）收敛；（3）收敛；（4）发散．3、（1）收敛；(2) 收敛；（3）发散；（4）发散；（5）收敛．4、(1) 收敛；（2）收敛；（3）收敛；（4）发散．5、（1）1R =；（2）1R =；（3）1R =；（4）1R =；（5）13R =；（6）2R =．。

《高等数学》作业温习题（成教理工类本科）第六章常微分方程一、选择题一、微分方程y2dx + 2x3dy = 0的阶是［］・A、2,B、1, C. 0,D、3・二、y\x) + x2y(x) = x是［］.A、一阶线性微分方程，B、可分离变量的微分方程,C.齐次微分方程，D、二阶线性微分方程.3、以下微分方程中，［］是二阶线性微分方程.A dy 2口d2y 2A、--- ysinx = x >B、一= y^x ><Lv dr ・C、A dy- ydx = 0 tD、y ”+3y'+2y = .4、以卜函数中，［］是方程/-7/ + 12y = 0的解.A、y = 3x,B、y = e'*1 >C、y = e311D、y = A2.五、以下函数中，［］是方程y-y = -2的通解.Ax y = Ce r > B、y = Ce v +2 ,C^ y = e1, D、y = e v + 2 ・二.填空題一、假设曲线上任意点M（x,刃处切线的斜率为2■那么y知足的微分方程为.二微分方程的通解为 _________________微分方程xdx+ydy = O的通解为4、已知二阶线性齐次方程的两个解为儿=/, y2 = e2r,那么该微分方程的特点根五、设y1=e\ y2 = e2x都是微分方程yF/心)『+g(x)y = 0的解，那么该微分方程的通解为 _______ .三、计算题一、求以下微分方程的通解：dy x(1)—dv ydy/dx=x/yydy=xdx2ydy=2xdxd(y A2)=d(x A2)y A2=x A2+C(2) jDy/y二-P(x)dx=dx p(x)二T两边积分J Dy/y= f dx得In I y I 二-『P(x)dx+c二J d(x)+c二x+c 即y二土e~(x+c)二土e"x * Jc二C*e"x(3) —— + 2y = 0: dvDy/y=-P(x)dx二-2dx p(x)=2两边积分J Dy/y= f -2dx得In I y I 二- j P(x)dx+c二-J 2d(x)+c二-2x+c即y=±e* (-2x+c)=±e*-2x * e'c=C*e'-2xDy/y=-P(x)dx二xdx p (x)=-x两边积分f Dy/y= f -xdx得In I y I 二-『P(x)dx+c二J xd(x)+c二x"2/2+c即y二土J (x"2/2+c)二±e~ (x°2/2) * Jc二C*J (x~2/2)二、求以下微分方程知足初始条件的特解：(1)—— y = 1, y(0) = 0； dx・Dy/dx二y+1 令t=y+l 那么dt/dx二dy/dx二t dt/t=-P (x) dx=dx p (x)二T Ln I t I = - J p(x)dx+cl二J dx+cl二x+cl即t=±e* (x+c 1)=±e*cl*e*x=C*e*x=y+lY=c*e*x-1由题得y (0)二c*e"O-l二c- 1二0 即c=l Y二JxTdv I(2)一一_y = l, y⑴=1； dv x= y(i)= o dv x 2(4) —+ 2Ay = 2.r, y(0) = 0；dx3、求以下微分方程的通解:⑴ ”_2=0：(2)y-2x = 0：(3)y，= sinx；(4) y M = e2v.4、求以下微分方程的通解: 仃）yf+3y = 0：(2) y”一2y'+y = 0；(3) y M-6y，= 0.参考答案：一.选择题1-5 BADCB.二、填空题一、y' = 2x,二.y = e v + C , 3、x2 + y2 = C > 4、zj =hr, =2 ,五、y}=C}e x +C2e2'.三.计算题一、(1) / =x2+C： (2) y=Ce A； (3) y=Ce"x: (4) x = Cy3: (5)尸①丫：(6)11 1 . 、二(1) y = e x-l；(2) y = x(l + \nx)： (3)y = -x--,v ； (4) y=l-e'r： (5) y = -3 + 3x.3、(1) y = x2 + C ；(2) y = -x' +C}x + C2: (3) y =-sin A-+ C r v + C, e v； (4) y = 土戶+C{x + C2.4、(1) y = C,e x + C2e3x: (2) y =(C( + C2x) e r: (3) y = C, + C2e6r.第八章多元函数微分学一、选择题一、设函数f (x, y) = ^x-y - xy .那么/(”1) = [〕•A、y/1-y2, c、y]y-x-xy f B> &_y_xy, D、^/y-i_y・二.已知f(x-y\x+y) = x2 + y\那么/(一1,1)=[ ]・A. 0, C、1, B、—1, D> 2・3、设函数“=莎，那么du=l ].A、yzjdx ♦C、xy dz 1B、xz.dy >D. yz.dx + xzjy + xydz.・4、点(0、0)是函数z = xy的[]・A、极大值点，C、非驻点，B、驻点，D、极小值点.五、设函数f(x,y) = y/x2 + y2•那么点(0,0)是函数f(x.y)的[ ].A 、最小值点,C 、驻点， 二、填空题一、函数z= _____ 1 一=的概念域是,其中，•为常数. 二、 lim________ • gio® xy3、 , hm ——=（x.y ）^（O.l ） f -----------sin xy4、 li m --------- =（X ・y}T （O ・O ） X五、函数z=的中断点是 ____________________ .+ >'2三、 计算题一、求以下函数的槪念域：X（1）求函数2=—的概念域：y（2）求函数z = y/xy 的槪念域:B 、最大值点, D 、间断点・（3）求函数z = JT了的槪念域(4)求函数Z = 的概念域.二、求以下函数的极限:(1) lim<A,V>-M2.0)A2 +x)? + y2x+y(2) lim(3) lim(xy)->(0.0)(4)lim —sing);(.v.y)->(0,0> xy(5) lim : 1 + —xy J14)3、求以下函数的一阶偏导数:(1) z = X 2 + y:(6) lim (.v.y)->l+x .+30)—sinx. ⑶(5)z = sing)；(6)z = ln(x2 + y2).4、已知"令，求罟dxdy五、求函数z = 在点（0,0）处，当Av = 0.h Ay = 0.2时的全增量和全微分.六、求以下函数的全微分:（1）= x2 + y2；(2) z = ysin(x+y):(3) Z = -ln(x2 +y2)；2⑷求z = x[y-yb在点（1,1）处的全微分.7、求以下函数的极值:(1) z = x2 + y2■(2) "I」— ;/(3 ) z = x2 -xy + y2 - 2x + y(4) z = x3 -3xy + y\参考答案：一. 选择题1-5 DCDBA.二. 填空题一、｛（匕刃1疋+＞，2 V/，｝,二、y = - , 3、1，4、0,五、（0.0）. 2三. 计算题一、⑴ £)= {(%?) lyHO}； (2) D = {(%, y) I x > 0, y > 0} y) I x < 0, y < 0}： (3) D = {(x.y)\x+y>0} ； (4) D = {(A \ y) 11 < x 2 4- y 2 < 4}.,—=xe AV : (5) — = y cos(xy), — = xcos(xy):dy ox dy(6)— ----- 5 ， 5 ・dx x" + dy J T + y光 _ 6x 汽—2Q 、 —；— u , --------- r , _ r ■dx" d)r y 4 dxdy y五、 Az = 0.72, dz. — 0.7.二、（1） 2 : (2) 2：(3)6： (4) b (5) 3,=e ； (6) 0.3、 (1) 务2普=1： dx dy⑵&痣％⑶nox dy ox x cy xdx dz. 2x dz 2y六、(1)2xdx-2ydy. (2) dz, = ycos(^+y)dx+(sin(^+y) + ycos(x+y))dy , (3)=竺摯：⑷2厶-2〃y.X" + ）厂7、(1)极小值/(0,0) = 1：(2)极大值/(0.0) = 1：(3)极小值/(LO) = -1：(4)极小值/(1,1) = ~1・第九章多元函数积分学一、选择题一、二重积分D （-v 2-rM 的值[ x 2+y 2<l A 、小于零，B 、大于零，二设 D 是由 1 <x 2 + y 2<4m^ 那么 JJ 〃Q=[]・ DA 、兀,B 、 2兀,C 、3K ,D 、 4兀・3、设积分曲线L ： y = x, (0<x<l),那么对弧长的曲线积分j i (x-y)ds = [].Ax OtB 、 LC. —1,D 、 3.4、设Z 是圆周x 2 + y 2=2,那么对弧长的曲线积分j i （x 2 + y 2）ds=[Ax 4兀， Bx 4yf2n 9 C 、Syj2n , D 、8n.五.以下曲线积分中，与途径无关的曲线积分为[]・A 、f (x-2y)dx + (2x- y)dy ,B 、「(x + 2y)dx + (y - 2x)dv ，C 、f (x + 2y)dr + (2x + y)dv , J 丄D 、f (2x + y)dx + (2x 一 y)dy ・ L 一、 设D 是由曲线x 2 + y 2 = 4与两坐标轴所用成的第一象限部份的平而区域，那么二 重积分 || cLvdy = _____ .]・C>等于零,D 、等于一1・D二、 设积分区域。

第九章习题解答（2） 习题9.31、 求上半球面222y x a z含在柱面ax y x 22内部的曲面面积解：被积函数为222y x a z 22222)(y x a x z x 22222)(yx a y z y --= 所以 dxdy yx a a dS 222--=积分区域为：:D ax y x =+22，化成极坐标：设θcos r x =，θsin r y = dr rd dxdy θ=θπθπc o s 0,22a r ≤≤≤≤-⎰⎰-=-θππθcos 02222a ra ardr d S cos 0222222)(2a r a r a d d a ⎰---=22cos 022ππθθd r a a a)2(222)sin (222220-=⋅+-=--=⎰ππθθπa a a d a a a2、 求圆锥面22y x z +=被柱面x z 22=所截下的曲面面积解：被积函数为22y x z += 2222)(y x x z x += ， 2222)(yx y z y += 所以 dxdy dS 2=积分区域为：:D x y x 222=+，设θcos r x =，θsin r y = dr rd dxdy θ=θπθπc o s 20,22≤≤≤≤-r⎰⎰-=θππθcos 20222rdr d S ππθθππ222124cos 22222=⋅⋅==⎰-d3、 求抛物柱面221x z =含在由平面x y y x ===,0,1所围的柱体内的面积 解：被积函数为221x z = 22)(x z x = ， 0)(2=y z所以 dxdy x dS 21+=积分区域为：:D x y y x ===,0,1，0=z 围成的闭区域=+=⎰⎰x xdy x dx S 021⎰+xdx x x 0213122)1(3121)1(1211232022-=+⋅=++=⎰x x d x x 。

4、 求下列图形的形心 （1）、:D 1,0,2===x y x y ，围成的闭区域解：将密度看成1；⎰⎰⎰⎰=xDdy dx dxdy 201032221==⎰dx x 522210232010===⎰⎰⎰⎰⎰dx x dy xdx xdxdy xD2112010===⎰⎰⎰⎰⎰dx x ydy dx ydxdy xD于是得形心坐标为：53322522~==x 82332221~==y 形心为)82353( （2）、:D θρco s 1+=，围成的闭区域 解：将密度看成1；πθ23=⎰⎰Ddr rd （前面求出的结果） dr r d rdrd r xdxdy D D⎰⎰⎰⎰⎰⎰+'==θπθθθθcos 10220cos cos⎰+=πθθθ203)cos 1(cos 31d +⎰πθθ20cos 31d +⎰πθθ202cos d +⎰πθθ203cos d ⎰πθθ204cos 31d +=0++⎰πθθ20)2cos 1(21d +0⎰++πθθθ20242cos 2cos 2131d=π1215242122πππ=++65231215~==ππx 由图形关于x 轴的对称性得0~=y 形心为)065(（3）、:D 0,12222≥=+x by a x ，围成的闭区域解：面积ab 2π=⎰⎰⎰⎰---=2222110a xb a x b a Dxdy dx xdxdy ⎰-=adx ax x b 0221232)1(32)2(22123222ba a x ab =--= ππ34232~2a ab ba x == 由图形关于x 轴的对称性得0~=y 形心为)034(πa5、 圆盘)0(222>≤+a ax y x 内各点处的密度=),(y x μ22y x +，求此圆盘的质心解：=M =⎰⎰Ddxdy y x ),(μ=+⎰⎰Ddxdy y x 22⎰⎰-θππθcos 20222a dr r d3203332316cos 316a d a ⋅==⎰πθθ3932a ==y M =⎰⎰Ddxdy y x x ),(μ=+⎰⎰Ddxdy y x x 22⎰⎰-θππθθcos 20322cos a dr r d15641588cos 1641442254a a d a =⋅==⎰-ππθθ 56~a M M x y ==，由对称性得0~=y 所求质心为)056(a6、 设有一个等腰直角三角形薄片，各点处的密度等于该点到直角顶点距离的平方，求此圆薄片质心 解：设等腰直角三角形的顶点为),0(),0,(),0,0(a a 则22),(y x y x +=μ=M =⎰⎰D dxdy y x ),(μ=+⎰⎰Ddxdy y x )(22⎰⎰-+xa a dy y x dx 0220)( ⎰-+-=a dx x a x a x 032])(31)([⎰-+-=a dx x a x a ax 03322]31312[ 62132444a a a =-= =y M =⎰⎰Ddxdy y x x ),(μ=+⎰⎰Ddxdy xy x)(23⎰⎰-+xa a dy xy x dx 0230)(⎰-+-=adx x a x x a x 033])(31)([⎰-+-=a dx x x a x a ax 043223]34312[ 5555515115463121a a a a a =-+-= 由对称性得=x M =⎰⎰Ddxdy y x y ),(μ=+⎰⎰Ddxdy y y x)(32⎰⎰-+ya a dx y y x dy 032)(155a = 52~a M M x y ==，52~a M M x x == 所求质心为)5252(aa 7、 设有顶角为α2，半径为R 的扇形薄片，各点处的密度等于该点到扇形顶点距离的平方，求此薄片质心 解：设扇形顶点为)0,0(关于x 轴对称 则22),(y x y x +=μ=M =⎰⎰Ddxdy y x ),(μ=+⎰⎰Ddxdy y x)(22⎰⎰-Rdr r d 03ααθ24R α==y M =⎰⎰Ddxdy y x x ),(μ=+⎰⎰Ddxdy y x x )(22⎰⎰-Rdr r d 04cos θθαα5sin 2αR =5sin 4~αR M M x y == 由对称性得0~=y ，所求质心为)05sin 4(αR8、 设均匀薄片（面密度为常数)ρ，战局的区域如下，求指定的转动惯量（1）、⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+=1),(2222b y a x y x D 求y I ，l I ，其中是过原点切倾斜角为α的直线解：ab M ρπ=y I ρμ==⎰⎰Ddxdy y x x ),(2ρ=⎰⎰Ddxdy x 2⎰⎰123203cos dr r d b a θθπ ===⎰4cos 43202ba d abρθθρπ42Ma由题设可知薄片上任意点到直线l 的距离为αα2tan 1tan +-=y x dl I ==⎰⎰Ddxdy y x d ),(2μ⎰⎰++Ddxdy xy y x )tan 2tan (tan12222αααρ⎰⎰+=Ddxdyx 222tan 1tan ααρ⎰⎰++Ddxdy y 22tan 1αρ⎰⎰+-Dxydxdy ααρ2tan 1tan 24tan 1tan 222Ma ⋅+=ααρdr r d ab ⎰⎰++1322023sin tan 1ϑθαρπdr r d b a θθθαρπ⎰⎰+-1320222sin cos tan 14tan 1tan 222Ma ⋅+=αα2tan 123παρ⋅++ab 4tan 1tan 222Ma ⋅+=αα4tan 1122Mb ⋅++ααα2222tan 1tan 4++⋅=a b M （2）、{}b y a x y x D ≤≤≤≤=0,0),(求y I ，l I ，其中是过原点与点),(b a 的对角线ab M ρ=y I ρμ==⎰⎰Ddxdy y x x ),(2ρ=⎰⎰Ddxdy x 2⎰⎰bady dx x 023323Ma ba ==ρx I ρμ==⎰⎰Ddxdy y x y ),(2ρ=⎰⎰Ddxdy y2⎰⎰bady y dx 0232Mb =由题设可知薄片上任意点到直线l 的距离为22ba ay bx d +-=l I ==⎰⎰Ddxdy y x d ),(2μ⎰⎰-++Ddxdy abxy y a x b b a )2(222222ρ=⎰⎰+Ddxdy x ba b 2222ρ⎰⎰++Ddxdy y ba a 2222ρ⎰⎰+-Dxydxdy ba ab222ρ22223b a b Ma +=22223b a a Mb ++22222b a b a M +-)(62222b a b Ma += 习题9.41、 化三重积分⎰⎰⎰Ωdv z y x F ),,(为三次积分（只须先,z 次对,y 后对x 一种次序）（1）、由三个坐标面与平面06236=-++z y x 围成解：23230yx z --≤≤，,220x y -≤≤10≤≤x ⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(⎰⎰⎰---=yx x dz z y x f dy dx 32302201),,(（2）、由旋转抛物面22y x z +=与平面1=z 围成解：122≤≤+z y x ，,1122x y x -≤≤--11≤≤-x⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(⎰⎰⎰+-+---=111112222),,(y x x x dz z y x f dy dx（3）、由圆锥面22y x z +=与上半球面222y x z --=围成解：22222y x z y x --≤≤+，,2222x y x -≤≤--22≤≤-x⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(⎰⎰⎰--+-+---=22222222222),,(y x y x x x dz z y x f dy dx（4）、由双曲抛物面xy z =与平面0,1==+z y x 围成 解：xy z ≤≤0，,10x y -≤≤10≤≤x⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(⎰⎰⎰-=xyxdz z y x f dy dx 01010),,(2、 设有一物体，点据空间闭区域{}10,10,10),,(≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x 密度函数为z y x z y x ++=),,(μ，求该物体的质量解：=++=⎰⎰⎰Ωdv z y x M )(=⎰⎰⎰Ωxdv ++⎰⎰⎰Ωydv =⎰⎰⎰Ωzdv =⎰⎰⎰Ωzdv 32331011==⎰⎰⎰zdz dy dx 3、 计算三重积分 （1）、⎰Ωx y d v⎭⎬⎫⎩⎨⎧=++====Ω132,0,0,0),,(z y x z y x z y x ⎰⎰⎰Ωxydv ⎰⎰⎰---=)21(30)1(2010yx x xydz dy dx ⎰⎰---=)1(202210)2333(x dy xy y x xy dx ⎰⎰---=)1(202210)2333(x dy xy y x xy dx⎰-----=103222])22(21)22(33)22(23[dx x x x x x x ⎰-----=103222])22(21)22(33)22(23[dx x x x x x x 101512215105]12303010[10432=-+-=-+-=⎰dx x x x x （2）、⎰⎰⎰Ωzdv y x 22 {}x z z x y x y x z y x ==-====Ω.0,,,1),,( ⎰⎰⎰Ωxyzdv ⎰⎰⎰-=xxx zdz y x dy dx 02210⎰⎰-=x x dy y x dx 24102124131107==⎰dx x （3）、⎰Ωx y z d v{}0,1,,),,(=====Ωz x x y xy z z y x⎰⎰⎰Ωxyzdv ⎰⎰⎰=xyxxyzdz dy dx 01264181107==⎰dx x （4）、⎰Ωdv z 2 {}0,1),,(22=--==Ωz y x z z y x⎰⎰⎰Ωxyzdv ⎰⎰⎰------=22221021111y x x x dz z dy dx ⎰⎰--=x dy y x dx 0232210)1(311525132)1(311023220ππθπ=⋅=-=⎰⎰rdr r d （5）、⎰Ωdv z 2 {}z x y z z y x 2),,(222≤++=Ω解；积分区域是1)1(222=-++z y x ，22221111y x z y x --+≤≤---2211x y x -≤≤--111≤≤-x这样计算很繁琐，改为下面的方法（是很高的技巧） 任意取一点,z 则截口面积为)2(2z z dxdy -=π⎰⎰⎰⎰⎰⎰=ΩDdxdy dz z dv z2022dz z z )2(243⎰-=π58)542(2054ππ=-=z z4、 利用柱坐标计算 （1）⎰⎰⎰Ωzdv 其中Ω是由上半球面222y x z --=与旋转抛物面22y x z +=围成的闭区域解：先确定该区域在xoy 面的投影区域⎪⎩⎪⎨⎧+=--=22222y x z y x z 为⎩⎨⎧==+0122z y x 就是{}1),(22≤+=y x y x D 设：θθsin ,cos ,r y r x z z ===，有rdxdydz dv =，222r z r -≤≤ 10,20≤≤≤≤r πθ⎰⎰⎰Ωzdv ⎰⎰⎰-=222120r rzdz rdr d πθ⎰⎰--=104220]2[21dr r r r d πθ 127)61411(]2[21105320ππθπ=--=--=⎰⎰dr r r r d （2）⎰⎰⎰Ω+dv y x z22 其中Ω是由旋转抛物面22y x z +=与平面1=z 围成的闭区域解：先确定该区域在xoy 面的投影区域⎩⎨⎧+==221yx z z 为⎩⎨⎧==+0122z y x 就是{}1),(22≤+=y x y x D 设：θθsin ,cos ,r y r x z z ===，有rdxdydz dv =，12≤≤z r 10,20≤≤≤≤r πθ⎰⎰⎰Ωzdv ⎰⎰⎰=112202rzdz dr r d πθ⎰⎰-=104220]1[21dr r r d πθ 214)7131(][21106220ππθπ=-=-=⎰⎰dr r r d5、设密度为常量μ的均匀物体占据由223y x z --=与0,1,1=±=±=z y x 围成的闭区域，求（1）、物体的质量 （2）、物体的重心 （3）、物体对于z 轴的转动惯量解：先确定该区域在xoy 面的投影区域 就是{}11,11),(≤≤-≤≤-=y x y x D （1）、=M ⎰Ωdv μ ⎰⎰⎰----=22301111y x dz dy dx μ⎰⎰--=-12211)3(2dy y x dx μμμμ328)3138(4)38(4102=-=-=⎰dx x（2）、由对称性得0~,0~==y x=z M =⎰⎰⎰Ωzdv μ⎰⎰⎰----22301111y x zdz dy dx μ⎰⎰--=-122211)3(dy y x dx μμμ45506)316536(2142=+-=⎰dx x x ==MM z z ~210253，所以物体的重心是)210253,0,0( （3）=z I ⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22μ⎰⎰⎰----+=2230112211)(y x dz dy y x dx μ⎰⎰--+=122221)3)((4dy y x y x dx μ⎰⎰---+=14422221)233(4dy y x y x y x dx μM dx x x 1056245248)519754(4)3754(41042==-+=-+=⎰μμμ6、设密度为常量1的均匀物体占据由上半球面222y x z --=与圆锥面22y x z +=围成的闭区域，求（1）、物体的质量 （2）、物体的重心 （3）、物体对于z 轴的转动惯量解：先确定该区域在xoy 面的投影区域⎪⎩⎪⎨⎧+=--=22222y x z y x z 为⎩⎨⎧==+0122z y x 就是{}1),(22≤+=y x y x D 设：θθsin ,cos ,r y r x z z ===，有rdxdydz dv =，22r z r -≤≤ 10,20≤≤≤≤r πθ，于是（1）、=M ⎰⎰⎰Ωdv ⎰⎰⎰-=22120r rdz rdr d πθ⎰⎰--=1220]2[dr r r r d πθ=--=⎰⎰102220]2[dr r r r d πθ)12(34)12(3220-=-=⎰πθπd （2）、由对称性得0~,0~==y x =z M ⎰⎰⎰Ωzdv ⎰⎰⎰-=22120r rzdz rdr d πθ⎰⎰--=102220]2[21dr r r r d πθ=-=⎰⎰10320][dr r r d πθ24120πθπ==⎰d==MM z z ~)12(83+，所以物体的重心是))12(83,0,0(+（3）、=z I ⎰⎰⎰Ω+dv y x )(22 ⎰⎰⎰-=221320r rdz dr r d πθ⎰⎰--=12320]2[dr r r r d πθ=--=⎰⎰1042320]2[dr r r r d πθ)51(2-A π =A dt t t dr r r)(cos sin 242223123⎰⎰=-πdt t t )sin (sin 245203-=⎰π1528)15832(24=-= 所以=z I )328(152)511528(2-=-=ππ （B ）的习题 1、⎰⎰⎰Ω+dv z x y )cos( ⎭⎬⎫⎩⎨⎧==+====Ω0.2,,0,2),,(z z x x y y x z y x ππ ⎰⎰⎰Ωxyzdv ⎰⎰⎰-+=xxdz z x y dy dx 202)cos(ππ=⎰⎰-xdy x y dx 020)sin 1(π⎰-=20)sin 1(21πdx x x 202]cos [sin 2116ππx x x --=21162-=π2、⎰⎰⎰Ωzdv {}z z y x z y xz y x 2,1),,(222222=++=++=Ω皆7：先确定该区域在xoy 面的投影区域⎩⎨⎧=++=++z z y x z y x 21222222为⎪⎩⎪⎨⎧==+04322z y x 就是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+=43),(22y x y x D 设：θθsin ,cos ,r y r x z z ===，有rdxdydz dv =，22111r z r -≤≤-- 230,20≤≤≤≤r πθ，于是 ⎰⎰⎰Ωzdv ⎰⎰⎰---=221112320r r zdz rdr d πθ=⎰⎰--230220)112(21dr r r d πθ245]21)1(32[2302232ππ=---=r r习题9.51、 计算下列对弧长曲线积分（1）、ds y x nl⎰+)(22，其中l 为圆周222a y x =+解：设t a y t a x sin ,cos ==，adt ds =ds y xn l⎰+)(22⎰++==ππ2012122n n a dt a（2）、⎰l yds x sin 其中l 是连接点)0,0(，),3(ππ的直线段解：l 的方程为x y 31=π30≤≤x dx dx ds 310911=+=⎰lyds x sin dx xx ⎰=π303sin 310dt t t ⎰=π0sin 103π103= （3）、⎰l y ds 其中l 是连接点x y 42=上点)0,0(，)2,1(的一段弧解：l 的方程为x y 42= 10≤≤x dx xds 11+= ⎰lyds )122(34)1(34121231-=+=+=⎰x dx x （4）、⎰+l ds y x )( 其中l 是连接点)0,1(，)1,0(的直线段解：l 的方程为x y -=1 ， 10≤≤x ， dx ds 2=⎰+lds y x )(dx ⎰=122=（5）、ds x l⎰，其中l 为x y =与2x y =所围区域的边界解：l 的方程为x y = ， 10≤≤x dx ds 2=l 的方程为2x y = ， 10≤≤x dx x ds 241+=ds x l ⎰dx x x dx x ⎰⎰++=1210412)12655(121)41(32812210232-+=+⋅+x （5）、ds x l⎰，其中l 为x y =与2x y =所围区域的边界解：l 的方程为x y = ， 10≤≤x dx ds 2=l 的方程为2x y = ， 10≤≤x dx x ds 241+=ds x l ⎰dx x x dx x ⎰⎰++=1210412)12655(121)41(32812210232-+=+⋅+x （6）、ds y l⎰，其中l 为圆周122=+y x解：设t y t x sin ,cos ==，dtds =ds y l⎰⎰=πsin tdt ⎰-ππ2sin tdt πππ20cos cos x x +-=422=+= （7）、ds el y x ⎰+22，其中l 为圆周0,,422===+y x y y x 在第一象限的区域的边界解：在直线0=y 上 20≤≤x dx ds =ds ely x ⎰+122122-==⎰e dx e x在弧422=+y x 上设t y t x sin 2,cos 2==，dt ds 2=40π≤≤tds el y x ⎰+222222402ππ⋅==⎰e dt e在直线x y =上 20≤≤x dx ds 2=ds el y x ⎰+32212220222-===⎰e edx exxds ely x ⎰+22+-=)1(2e +⋅22πe )1(2-e )22(2+=πe 2-（8）、⎰l x y ds 其中l 是2,4,0,0====y x y x 围成的矩形的边界解：4321l l l l l +++=1l 的方程为0=y =⎰1l x y d s 001=⎰dx l ，4l 的方程为0=x=⎰4l xyds 004=⎰dy l2l 的方程为4=x=⎰2l x y d s 842==⎰y d y， 3l 的方程为2=y=⎰3l x y d s1624=⎰xdx24=⎰lxyds（9）、⎰l ds y 2其中l 是摆线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的一拱解：dt t a t a ds 2222sin )cos 1(+-=dt ta 2sin 22= ⎰l ds y 232022282sin 2)cos 1(a dt t a t a =-=⎰π=⎰π2052sin dt t ⎰π053sin 16udu a1525615832sin 32332053aa udu a =⋅==⎰π（10）、⎰+lds y x 22 其中l 是上半圆周x y x 222=+与x 轴围域的边界解：21l l l +=，1l ：x y x 222=+化为1)1(22=+-y x 设t y t x sin ,cos 1==-，dt ds =⎰+122l ds y x =++=⎰π22sin )cos 1(dt t t =⎰π2cos dt t4cos 420=⎰πudu2l ：0=y ，dx ds =⎰+222l ds y x 22==⎰xdx62422=+=+⎰lds y x2、 求半径为,R 中心角为α2的扇形圆弧的质心（密度均匀)1=μ解：选择与书上168页图9-34一样的坐标系，于是根据对x 轴的对称性得0~=y 设1=μ，t R y t R x sin ,.cos ==Rdt ds =R M α2=⎰=lyds M x 1~==⎰-ααtdt R M cos 12==⎰α2cos 2tdt R Mαααsin sin 22R M R ==所求质心为)0sin (ααR3、 计算下列关于坐标的曲线积分 （1）、⎰+ldx y x )(22，L 是抛物线2x y =上)0,0(O 到)4,2(A 一段弧解：⎰+l dx y x )(221556]53[)(20532042-=+=+=⎰x x dx x x（2）、⎰l y dx ，L 是 2,4,0,0====y x y x 矩形的边界按照逆时针方向 解：A O ：0=y ，4:=x B A0=dx ，2:=y C A ，0:=x O C0=dx ，⎰lydx ⎰⎰⋅+=ABOAy dx 00⎰⎰⋅++COBCy dx 028204-==⎰dx（3）、⎰+l x d y y dx ，L 是 20,sin ,cos π≤≤==t t R y t R x 一段针方向的弧解：⎰+l xdy ydx dt x x dt t tR R t R t R )(]cos cos )sin (sin [242⎰++-=π02sin 22cos 202202===⎰ππtR dt t R（4）、⎰+-++lyx dyx y dx y x 22)()(，L 是圆周 222a y x =+沿逆时针方向解：t a y t a x sin ,cos ==，⎰+-++l y x dy x y dx y x 22)()(⎰-+-+=π2022]cos )sin (cos )sin )(sin [(cos a dt t t t t t t a ππ2120-=-=⎰dt（5）、⎰++l x dy dx y x )(，L 是折线 x y --=11从)0,0(到)0,2(一段解：⎩⎨⎧>-≤=121x x x xy ，弧dx dy x y A O ==,: ，dx dy x y B A -=-=,2:⎰++lxydy dx y x )(⎰⎰+=OAAB383732311)22()2(212102=+-++=+-++=⎰⎰dx x x dx x x （6）、⎰---l dy y a dx y a )()2(，L 是 )cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=摆线的一拱，从)0,0(到)0,2(a π解：⎰---ldy y a dx y a )()2(dt t a t a a ⎰---=π20)cos 1()]cos 1(2[dt t a t a a ⎰---π20sin )]cos 1([dt t t t a ⎰+=π2022)cos sin (sin220222sin 2cos 1(a dt tt a ππ=+-=⎰4、计算⎰-++l dy x y dx y x )()(，其中L 分别是（1）、x y =2上点)1,1(到)2,4( （2）、点)1,1(到)2,4(的直线段解：（1）、在x y =2上点)1,1(到)2,4(，dx xdy 21=⎰-++ldy x y dx y x )()(dx x x xx x )](21[41-++=⎰3342153723)2121(41=++=++=⎰dx x x （2）、点)1,1(到)2,4(的直线段，3231+=x y ，dx dy 31=⎰-++ldy x y dx y x )()(dx x x x x )]3231(313231[41-++++=⎰ 11398215910)98910(41=⋅+⋅=+=⎰dx x 5、计算⎰+++l dy y x dx y x )2()2(，其中L 分别是（1）、2x y =上点)0,0(到)1,1(的一段弧 （2）、3x y =点)0,0(到)1,1(的一段弧 （3）、点)0,0(到点)0,1(再到点)1,1(的折线 解：（1）、2x y =上点)0,0(到)1,1(，xdx dy 2=⎰+++ldy y x dx y x )2()2(dx x x x xx ])2(22[122⎰+++=3111)432(132=++=++=⎰dx x x x（2）、3x y =点)0,0(到)1,1(的一段弧，dx x dy 23=⎰+++ldy y x dx y x )2()2(dx x xx ])642[153⎰++=3111=++=（3）、点)0,0(到点)0,1(再到点)1,1(的折线⎰+++ldy y x dx y x )2()2(+=⎰dx x 102⎰+1)21(dy y 3=6、一力场由沿x 轴正向的常力→F 构成，求将一个质量为m 的质点沿222R y x =+按逆时针方向移动过第一象限那段弧所做的功 解：→F →=i F dx F W l⎰=F R tdt R F -=-=⎰2sin π节9.6习题处理1、计算下列关于坐标的曲线积分，并验证格林公式的正确性（1）dy y x dx y x l )()(22--+⎰，L 是椭圆12222=+by a x 沿逆时针方向解：设t b dy t b y t a dx t a x cos ,sin ,sin ,cos ==-==dy y x dx y xl)()(22--+⎰⎰⎰⎰-+-=πππ2023202320sin cos cos sin tdt t atdt t bdt abab π2-=用格林公式y x y x P +=2),( 2),(y x y x Q +-=1),(-=y x Q x 1),(=y x P ydy y x dx y x l)()(22--+⎰ab dxdy Dπ22-=-=⎰⎰ （2）、dy y x dx y x l )()(222+-+⎰)0,0()1,0()0,1()0,0(:→→→L 直线段围成的闭路解：0),0,1()0,0(:1=→y L ； x y L -=→1),1,0()0,1:2；0),0,0()1,0(:3=→x Ldy y x dx y x l)()(222+-+⎰1])1([012012210-=--+-=⎰⎰⎰dy y dx x x xdx 用格林公式2)(),(y x y x P += 22),(y x y x Q --=x y x Q x 2),(-= )(2),(y x y x P y +=dy y x dx y x l)()(222+-+⎰=+-=⎰⎰Ddxdy y x )2(2⎰⎰-+-xdy y x dx 1010)2(21)2321(210-=-+-=⎰dx x x2、求星形线t a y t a x 33sin ,cos ==所围的面积解：dt t t a ydx xdy A l ⎰⎰=-=π20222sin cos 232183)4cos 1(1632202a dt t t a ππ=-=⎰3、用格林公式计算（1）、dy y x dx y x l)653()42(-+++-⎰)0,0()2,3()0,3()0,0(:→→→L 直线段围成的三角形边界解：653),(-+=y x y x Q 42),(+-=y x y x P3),(=y x Q x y y x P y -=),(dy y x dx y x l)653()42(-+++-⎰12212344=⨯⨯⨯==⎰⎰Ddxdy ⎰⎰-+-x dy y x dx 1010)2(2（2）、dy y y x dx xe xy l x)cos ()32(2-++⎰1:2222=+by a x L 逆时针方向解：x xe xy y x P 32),(+= y y x y x Q c o s ),(2-=x y x Q x 2),(= x y x P y 2),(=dy y x dx y x l)653()42(-+++-⎰00==⎰⎰Ddxdy（3）、⎰+++l y ydy e x dx xey )1()(22224:x x y l -=由)0,4()0,0(→的弧解：先补足成闭路1-+=l OA Ly xe y y x P 2),(+= 1),(22+=y e x y x Qy x xe y x Q 22),(= y y xe y x P 221),(+=⎰+++L y y dy e x dx xe y )1()(222ππ2)2(212-=-=-=⎰⎰Ddxdy 于是⎰+++ly ydy e x dx xey )1()(222-+++=⎰dy e x dx xe y y OA y )1()(22(2⎰+++Ly ydy e x dx xey )1()(222ππ2824+=+=⎰xdx（4）、⎰---l dy y y x dx y )sin ()cos 1(x y l s i n:=上由)0,()0,0(π→的弧解：先补足成闭路1-+=l OA Ly y x P cos 1),(-= )s i n (),(y y x y x Q --=y y y x Q x sin ),(+-= y y x P y s i n ),(=⎰-+---1)sin ()cos 1(l OA dy y y x dx y ⎰⎰⎰⎰-=-=xDydy dxydxdy sin 0π4)12((cos 41sin 21002πππ-=-=-=⎰⎰x xdx于是⎰---ldy y y x dx y )sin ()cos 1(----=⎰dy y y x dx y OA )sin ()cos 1((⎰-+---1)sin ()cos 1(l OA dy y y x dx y4400πππ=+=⎰dx（5）、⎰+--l dy y x dx y x )sin ()(2222:x x y l -=上由)1,1()0,0(→的弧解：先补足成闭路1-++=l AB OA Ly x y x P -=2),( )s i n ),(2y x y x Q --=-=),(y x Q x 1),(-=y x P y⎰-+++--1)sin ()(22lAB OA dy y x x dx y x 0=于是⎰+--l dy y x dx y x )sin ()(22+--=⎰dy y x dx y x OA)sin ()(22dy y x dx y x AB)sin ()(22--=⎰+=⎰102dx x ⎰--12)sin 1(dy y⎰---=10)2cos 1(21131dy y 672sin 41-= （6）、⎰+++l xxdy e x dx ye )()1( 1:2222=+by a x L 上由)0,()0,(a a →-的上半椭圆解：先补足成闭路1),(-++-=l a a Lx ye y x P +=1),( x e x y x Q +=),(x x e y x Q +=1),( x y e y x P =),(ab dxdy dy e x dx ye Dl a a x x π21)()1(1),(==+++⎰⎰⎰-++- 于是⎰+++lxx dy e x dx ye )()1(ab dy e x dx ye a a x x π21)()1(),(-+++=⎰+- ab dx a a π21-=⎰-ab a π212-= 4、 证明下列曲线积分在xoy 面内与路径无关，并计算积分值 （1）、⎰-++)3,2()1,1()()(dy y x dx y xy x y x P +=),( y x y x Q -=),( 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数1),(=y x Q x 1),(=y x P y 得 =),(y x Q x ),(y x P y 所以曲线积分在xoy 面内与路径无关⎰-++)3,2()1,1()()(dy y x dx y x ⎰+=21)1(dx x ⎰-+31)2(dy y=--+-+=)19(214)14(21125 （2）、⎰-++-)1,2()0,1(324)4()32(dy xy x dx y xy32),(4+-=y xy y x P 324),(xy x y x Q -= 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数342),(y x y x Q x -= 342),(y x y x P y -= 得 =),(y x Q x ),(y x P y 所以曲线积分在xoy 面内与路径无关⎰-++-)1,2()0,1(324)4()32(dy xy x dx y xy ⎰+=21)22(dx x ⎰-+13)164(dy y544)14(2=-+-+=25（3）、⎰-++),()0,0()c o s ()s i n (ππdy y xe dx x e y yx e y x P y sin ),(+= y xe y x Q y cos ),(-= 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数y x e y x Q =),( yy e y x P =),( 得 =),(y x Q x ),(y x P y 所以曲线积分在xoy 面内与路径无关⎰-++),()0,0()cos ()sin (ππdy y xe dx x e yy⎰+=π0)sin 1(dx x ⎰-+ππ0)cos (dy y e y=--++=0)1(2πππe 252+=ππe 5、验证下列dy y x Q dx y x P ),(),(+在整个xoy 面内是某一个函数),(y x u 的全微分，并且求这样的函数),(y x u（1）、dy y x dx y x )2()2(+++解答：y x y x P 2),(+= y x y x Q +=2),( 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数2),(=y x Q x 2),(=y x P y 得 =),(y x Q x ),(y x P y所以曲线积分在xoy 面内存在),(y x u ，使dy y x dx y x y x du )2()2(),(+++=⎰+++=),()0,0()2()2(),(y x dy y x dx y x y x u ⎰=x xdx 0⎰++ydy y x 0)2(2221221y xy x ++=（2）、dy y xe dx e x y y )2()2(-++解答：y e x y x P +=2),( y xe y x Q y 2),(-= 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数y x e y x Q =),( y y e y x P =),( 得 =),(y x Q x ),(y x P y所以曲线积分在xoy 面内存在),(y x u ，使=),(y x du dy y xe dx e x y y )2()2(-++⎰-++=),()0,0()2()2(),(y x yydy y xe dx e x y x u ⎰+=x dx x 0)12(⎰-+yy dy y xe 0)2(=-+-+=x xe y x x y 22y xe y x +-22（3）、y d y x y d x x 3c o s 2c o s 33s i n 2s i n2-解答：y x y x P 3sin 2sin 2),(= y x y x Q 3c o s 2c o s 3),(-= 都是初等函数，因此在xoy面内有连续的偏导数y x y x Q x 3c o s 2s i n 6),(= y x y x P y 3c o s 2s i n 6),(= 得 =),(y x Q x ),(y x P y所以曲线积分在xoy 面内存在),(y x u ，使=),(y x du dy y x Q dx y x P ),(),(+⎰-=),()0,0(3cos 2cos 33sin 2sin 2),(y x ydy x ydx x y x uy x ydy x y 3sin 2cos 3cos 2cos 30-=-=⎰（4）、dy ye y x y x dx xy y x y)122()3(223322++++解答：32283),(xy y x y x P += yye y x y x y x Q ++=223122),( 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数22246),(xy y x y x Q x += =),(y x P y 22246xy y x + 得 =),(y x Q x ),(y x P y 所以曲线积分在xoy 面内存在),(y x u ，使=),(y x du dy y x Q dx y x P ),(),(+⎰++++=),()0,0(223322)122()83(),(y x y dy ye y x y x dx xy y x y x u31 ⎰++=yy dy ye y x y x y x u 0223)122(),(y y e ye y x y x -++=322346、设→→→-++=j xy i y x F )12()(2试证：在在xoy 面内，→F 作的功与路径无关 证明：⎰-++=l dy xy dx y x W )12()(22),(y x y x P += 12),(-=xy y x Q 都是初等函数，因此在xoy 面内有连续的偏导数 y y x Q x 2),(= y y x P y 2),(= 得 =),(y x Q x ),(y x P y所以曲线积分在xoy 面内积分与路径无关，所以在在xoy 面内， →F 作的功与路径无关。

4. :x2A.5．A. C.A)B)C)D) y2 z2B.{(x,y) x2a22r0 sinxyxyxyxyxcosxcosxcosxyxyxyxcos xydxdydxdydxdydxdyzln(x2C. 0x22y2cos2a2,y 0}，其中dr B. 0da 0( r3sin cos )dr D. 02d2 xydxdyD12 xcos xy dxdy D12 (xy xcos(xy))dxdy D1z2 1) dxdydzz2 1D.0，则3r sina3r sin43xy dcoscosdrdr - a3r sin cos dr 第九章重积分一选择题1.I= (x2y2z2)dv, :x2y2z21球面内部，则= [ C ]A.dv 的体积22B. 2 d 2 d001r40 sin drC. 202 d 014d r sin dr 0 2D. d d 00 01r4 sin dr2.是x=0, y=0, z=0, x+2y+z=1 所围闭区域，则xdxdydz [ B ]则[B ] 1 1 2x 1 x 2yA. 0dx 0 dy 0 xdzB. 0dx 1 x dy 0102x 2y xdzC. 02dy 1 y102 dx 0xdzD. 01dy 2y dx 1 x 2y0 xdz3. 设区域D 由直线y x, y x 和x 1 所围闭区域，D1是D 位于第一象限的部分，22 x 28.交换二次积分 2dx x f (x, y)dy 的积分顺序为( A )A.aB. 12 a2C. a 2D.7．积分 2 dcos 0 f (r cos ,r sin )rdr 可写为D1 y y 21 1 y 2A.dy 0 0f (x,y)dxB. dy00 f (x,y)dx111 x x 2B.dx 00 f (x,y)dyD. dx00f ( x, y)dy6．设 a 0, f(x) g(x) 42(A) dy yf ( x, y)dx y2x 2f (x,y)dx 04 (C) 0dy(B) (D) 9.设平面区域D 由 x 0,0,14 , x I 2 (x D y)3dxdy, I 3[sin( xD(A) I 1I 2I 3 (B)I 3I 2 I110． y 2 41x 大于零 11．设积分区域 (A) 22sin x y 22 xy(B) 小于零 D 由|x| a,|y| dxdy 的值 a(a (A)1(B) 14 4dy4dyyf (x, y)dxy2f (x, y)dxy 1围成，若 I 1[ln(x y)]3dxdy,D则I 1,I 2, I 3的大小顺序为( C ). y)]3dxd y, (C) I 1B ). (C) 00)围成， (C) 0I 3 I 2(D) I 3 I 1 I 2(D) 不能确定 xydxdy ( C ).(D) A, B, C 都不对12．1(A) 大于零13.把二次积分 1 dx 0 22y dxdy的值y 2(B) 小于零1 x2 x 2 y 2 1 x 2e B ).(C) 0 (D) 不能确定 dy 化为极坐标形式的二次积分( B ). (A ) re r dr21 r 2(B) d 0re r dr (C) 2d212e rdr 02 (D) 0 d12e r dr 0a,0 x 1 ，D 为全平面，则 f (x)g(y x)dxdy C 0, 其余 Ddxdy 14. 设积分区域D是由直线y=x,y=0,x=1 围成，则有D( A )1 x 1 ydx d ydy dx（A ）0（B ）011ydx d ydy dx（C ）0x（D ）0x15. 设 D 由y x, y2x,ydxdy1围成，则 D（ B）113 （A ） 2 （B 4（C ）1D ） 216．根据二重积分的几何意义，下列不等式中正确的是 （ B ）； （A ） （x 1）d 0,D ： x ≤1， y ≤1；（B ） （x 1）d 0,D ： x ≤1， y ≤1；DD11（A ） 1 ( B ) 2 （C ） 4 （D ）219.x 2 y 2 13 x 2 y 2dxdy 的值等A）xy13 6C.6；D.3 A. ； B.4752xydxdy0x120. 二重积分 0 y 1（C ）11（A ）1 ( B ) 2（C ） 4（D ）22x,y |x22y a , 又有2x2y dxdy 821. 设D 是区域D，则 a=（ B ）（A 1(B ) 2 （C ）4（D ）8(C) ( x 2 D y 2)d0,D ： x 2 y2 ≤17．x 2y 2 dxdy ( C ）， D(A)2πdr 2dr 1(C) 2 π2d 012r dr ；18. xydxdy0x1二重积分 0 y 1（C ）1；(D) ln(x 2 y 2)d0,D ： x+ y ≤1D 22D ：1≤ x 2 y 2 ≤4；2 π4(B) 0 d 1 rdr ；012 π2(D) d r dr22. 若D 是平面区域 x,y |0 x1, 1 ye ，则二重积分 xdxdy D y三、计算与证明2. 计算 I= sin x 2 y 2 dxdy , D={(x, y) D解：令 x=rcos , y=rsine1（A ） 2（B ）2（C ） e 23. 设D 由 y x,y 2x,y 1 围成，则 11（A ） 2（B ）4 （C ）1二、填空题1．变换积分次序0 22dy 1 y 2 2 dy 0f (x,y) dx（D ） 1 dxdyD （B ）3（D ） 2221 1 x2 2dx 02 f(x, y)dy2dx 0f (x,y)dy2．D 是以 （0,0）,（1, 1）,（1,1） 为顶点的三角形3． 4．5. 6、7、 (x 2 y 2)dxdyD1变换积分次序 12dyx 2 y 2dxdy D 4 y 2f(x,y)dxy 2交换二次积分的积分次序 2xdx 11121 x 4 1dx xf (x, y)dy 1dx xf (x,y)dy42f x,y dy= dy f x, y dx1y交换 dy e x dx 的积分次序后的积分式为1 x 1dx 0e x dy ，其积分值为 12 e 1交换二次积分的积分次序后， 交换二次积分的次序1 dx 01 1 yf (x ，y)dy= 0dy 0 f (x,y)dxa 2ax x 2dx0xf ( x, y)dyaydy aa 2 y 2f(x,y)dx1. 计算xy 2dxdy, 其中 DD 是抛物线 y 2=2x1与直线 x= 1 所围闭区域121解： xy 2dxdy = 1dy 21D 2yxy 2dx112 (y 18 12118 y 6 )dy 8 2x 2 y24 2}比较大小：则 I==623. 设 G(x)在 0 x 1上有连续的 G ''(x) , 求 I= xyG ''(x 2 y 2 )dxdy , 其中 D 为 D x 2 y 2 1的第一象限部分解：在极坐标下计算积分， D={(r, ) 0 r 1,0 }22 '' 2 I= r sin cos G (r )rdrd D=1 1r 3G ''(r 2)dr201 1 '' = 1uG '' (u)du401'= [G '(1) G (0) G(1)] 44. xy dxdy,其中 是以 a 为半径，坐标原点为圆心的圆4x 2 )xdx ( 1 分) = 2解：xy dxdy=a a(a 2 x 2) x dx =5.sin x 2 y 2 dxdy 解：sin x 2 y 2dxdy =x 2y 2 42r sin rdr =22r sin rdr6．ze (x 2 y622z )dxdydz ，其中为球体x 2 y 2 z 21在 z 0 上的部分。