3计算下列对弧长曲线积分

第十章曲线积分与曲面积分§ 1对弧长地曲线积分计算公式：无论是对弧长还是对坐标地曲线积分重要地是写出曲线地参数方程x =x t L ：y =y tx = x(t ) L:<y = y(t )"z(t )Lf x,y,z ds - 注意：上限一定要大于下限1.计算下列对弧长地曲线积分<1) \(x 2y 2)2ds ,其中 L 为圆周 x 2y 2=a 2； 解：法一：Q|jx2+y 2)2ds = |J L (a 2)2ds二玄仁 ds =a 4(2二a) =2二a 5法二：_L x =acosv L: 0 心：:2二,匸(x 2 y 2)2ds2二 2 2 2 2 2[a cos ： a si n ] -asi na cos d ：2二 5 . 5ad^ - 2「a<2) \e x yds ,其中L 为圆周x 2■ y 2=a 2,直线y=x 及x 轴在第一象限内所围成地扇形ba 兰t 兰b ,则(f (x, y ps= f a f(x (t ), y(tddbafxt ,y t ,zt解：忆e 拧%s = ( & +廟+ J BO 卅“ ds ,其中故口 e^iyds=e a(2+ — a) -2匕 4<3) L xds ,其中L 为抛物线y =2x 2-1上介于x =0与x=1之间地一段弧;「X =x解：由 L:20<x<1，得、y=2x -1l xds 二 ° x 1亠〔4x 2dx2 3_2(1+16x)2o_17用-1 -32-48<4) L y 2ds ,其中 L 为摆线地一拱 x =a(t - si nt), y =a(1 - cost)(0 — t — 2二)； 解: .L y 2ds = ：0〔a(1-cost)『」a 1-cost ]2a si nt^dt2TI 5=V2a 3「(1 —cost)2dtx = x x = a cos—— x = x 、2 OA: ,0_x_a ,AB:,0, BO: 0_x a y =0 y =as in 4 y = x 2f e x 旳 ds =『少尺 J 12 +02 dxoA-0aoa二ABey ds 二ABe ds二 e ABds4<或]e x 七ds■AB=[4 e ' 严"巧塔“巧 J (一 a sin 盯 + (acos日 j d 日JI4 e a ad ) 4a 二 BO-a-2-2匸2a 一2 2 -------- ■ 2 e x 2 x 2,12 12dx 0-1 a二5二 迈a 3 ： (2sin 2*)2dt =8a 3J6a 3siJI353= 32a 2sin 如-32a」0x 2+y 2+z 2=22 2]x = cosT解：由」 丫，得2X 2+Z2=2,令 < 厂 0兰日兰2兀y = xz = \ 2 sin 71x= cos 日sin 5 -dt <令—-v4 2 256 3a5 3 15<5) “L xyds ，其中L 为圆周x 2 y 2 =a 2 ； 解：利用对称性J |xyds = 4jJxyds ,其中 Lix = a cos 日 0<6y = a sinJI< 一2[xy ds = 4『xy ds = 4 fxyds迟,=4 02 (acos R(asin v) (-asin v)2 (acosv)2dv"a 3jcosrsin=2a 3sin =-2a 3<6)-x 2y 22ds ,其中-为曲线 z 2X =e t cost ,y =e t si nt ,z =e t 上相应于 t 从 0 变到 2 地------ 2 -- 1 ---- 2 ---- cost )]2 +[(£ sin t )]2 +e 2t dte tcost ]亠[d sin t ]亠[d =—fe^dt =^(1 —e‘) 2 02<7)广yds ,其中-为空间圆周:x 2 + y 2 + z 2 =2』=x弧段; 解：故丫: * y = cos日0兰日乞2兀.故z = J2s in。

第十一章 曲线积分与曲面积分习题 11-11.设在xOy 面内有一分布着质量的曲线弧L ，在点（x,y ）处它的线密度为μ（x,y ）。

用对弧长的曲线积分分别表达：（1）这曲线弧对x 轴,对y 轴的转动惯量x I ,y I（2）这曲线弧的质心坐标x ,y2.利用对弧长的曲线积分的定义证明性质33.计算下列对弧长的曲线积分： （1）22(x y )nLds +⎰，其中L 为圆周x cos t,y sin (0t 2)a a t π==≤≤（2）(x y)ds L+⎰，其中L 为连接（1,0）及（0,1）两点的直线段（3）x Lds ⎰，其中L 为由直线y=x 及抛物线2y x =所围成的区域的整个边界 （4）22x y Leds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=，直线y=x 及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界（5）2221ds x y z Γ++⎰，其中Γ为曲线cos ,sin ,t t tx e t y e t z e ===上相应于t 从0变到2的这段弧 （6）2x yzds Γ⎰，其中Γ为折线ABCD ，这里A,B,C,D 依次为点（0,0,0），（0,0,2），（1,0,2），（1,3,2） （7）2Ly ds ⎰，，其中L 为摆线的一拱(t sin ),y (1cos )(0t 2)x a t a t π=-=-≤≤（8）22(x )ds Ly +⎰，其中L 为曲线(cos sin ),y (sin cos )(0t 2)x a t t t a t t t π=+=-≤≤4.求半径为ａ，中心角为2ϕ的均匀圆弧（线密度1μ=）的质心5.设螺旋形弹簧一圈的方程为cos ,sin ,x a t y a t z kt ===，其中02t π≤≤，它的线密度222(x,y,z)x y z ρ=++．求： （１）它关于ｚ轴的转动惯量z I（２）它的质心。

习题 11-21.设L 为xOy 面内直线x a =上的一段，证明：(x,y)dx 0LP =⎰2.设L 为xOy 面内x 轴上从点（a,0）到点（b,0）的一段直线，证明：(x,y)dx (x,0)dxbLaP P =⎰⎰3.计算下列对坐标的积分： （1）22(xy )Ldx-⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点（0,0）到点（2,4）的一段弧（2）Lxydx⎰，其中L 为圆周222(x )a a y a -+=（>0）及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行） （3）Lydx xdy+⎰，其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到2π的一段弧（4）22(x y)dx (x y)dy L x y +--+⎰，其中L 为圆周222+y x a =（按逆时针方向绕行） （5）2x dx zdy ydzΓ+-⎰，其中Γ为曲线cos ,sin x k y a z a θ,θθ===上对应θ从0到π的一段弧 （6）(x y 1)dz xdx ydy Γ+++-⎰，其中Γ是从点（1,1,1）到点（2,3,4）的一段直线（7）+y dx dy dzΓ-⎰，其中Γ为有向闭折线ABCD ，这里的A,B,C 依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) （8）22(x2xy)dx (y 2xy)dyL-+-⎰，其中L 是抛物线2y x =上从点（-1,1）到点（1,1）的一段弧 4.计算(x y)dx (y x)dy L++-⎰，其中L 是：（1）抛物线2y x =上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧（2）从点（1,1）到点（4,2）的直线段（3）先沿直线从点（1,1）到点（1,2），然后再沿直线到点（4,2）的折线（4）曲线2221,1x t t y t =++=+上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧 5.一力场由沿横轴正方向的恒力F 所构成，试求当一质量为m 的质点沿圆周222x y R +=按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所做的功6.设z 轴与动力的方向一致，求质量为m 的质点从位置（x,y,z ）沿直线移到（x,y,z ）时重力所做的功7.把对坐标的曲线积分(x,y)dx Q(x,y)dyLP +⎰化成对弧长的积分曲线，其中L 为：（1）在xOy 面内沿直线从点（0,0）到点（1,1）（2）沿抛物线2y x =从点（0,0）到点（1,1）（3）沿上半圆周222x y x +=从点（0,0）到点（1,1） 8.设Γ为曲线23,,x t y t z t ===上相应于t 从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分Pdx Qdy RdzΓ++⎰化成对弧长的曲线积分习题 11-31.计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性： （1）22(2xy x )dx (x y )dyL-++⎰，其中L 是由抛物线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线 （2）222(x xy )dx (y 2xy)dyL-+-⎰，其中L 是四个顶点分别为（0,0），（2,0），（2,2），（0,2）的正方形区域的正想边界2.利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积 （1）星形线33cos ,sin x a t y a t ==（2）椭圆229+16y 144x = （3）圆222x y ax +=3.计算曲线积分22ydx 2(x y )L xdy -+⎰，其中L 为圆周22(x 1)2y -+=，L 的方向为逆时针方向4.证明下列曲线积分在整个xOy 面内与路径无关，并计算积分值（1）(2,3)(1,1)(x y)dx (x y)dy++-⎰（2）(3,4)2322(1,2)(6xy y )dx (63)dy x y xy -+-⎰（3）(2,1)423(1,0)(2xy y 3)dx (x 4xy )dy-++-⎰5.利用格林公式，计算下列曲线积分： （1）(2x y 4)dx (5y 3x 6)dyL-+++-⎰，其中L 为三顶点分别为（0,0），（3,0）和（3,2）的三角形正向边界；（2）222(cos 2sin )(x sinx 2ye )dyx x Lx y x xy x y e dx +-+-⎰，其中L 为正向星形线222333(a 0)x y a +=>（3）3222(2xy y cosx)(12ysinx 3x y )dyLdx -+-+⎰，其中L 为在抛物线22x y π=上由点（0,0）到（2π，1）的一段弧（4）22(xy)dx (x sin y)dyL--+⎰，其中L 是在圆周22y x x =-上由点（0,0）到点（1,1）的一段弧6.验证下列(x,y)dx (x,y)dy P Q +在整个xOy 平面内是某一函数u(x,y)的全微分，并求这样的一个u(x,y)：（1）(2)(2)x y dx x y dy +++（2）22xydx x dy + （3）4sin sin3cos 3cos3cos 2x y xdx y xdy -（4）2232(38)(812)y x y xy dx x x y ye dy ++++ （5）22(2cos cos )(2sin sin )x y y x dx y x x y dy ++- 7.设有一变力在坐标轴上的投影为2,28X x y Y xy =+=-，这变力确定了一个力场。

一、单项选择题（1）函数()f x 在0x x =处连续是()f x 在0x x =处可微的（ ）条件.A.充分B.必要C.充分必要D.无关的 （2）当0x →时，()21x e -是关于x 的（ ）A.同阶无穷小B.低阶无穷小C.高阶无穷小D.等价无穷小（3）2x =是函数()222x xf x x -=-的（ ）.A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点 （4）函数()2f x x=及其图形在区间()1,+∞上（ ）. A.单调减少上凹 B.单调增加上凹 C.单调减少上凸 D.单调增加上凸（5）设函数()2; 1;1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =处可导，则（ ）A. 0,1a b ==B. 2,1a b ==-C. 3,2a b ==-D.1,2a b =-=（6）设()f x 为可微函数，则在点x 处，当0x ∆→时，y dy ∆-是关于x ∆的（ ）A. 同阶无穷小B. 低阶无穷小C. 高阶无穷小D. 等价无穷小 （7）设()1;012;12x x f x x x -<≤⎧=⎨-<≤⎩在1x =处为（ ）A. 连续点B. 可去型间断点C. 跳跃型间断点D. 无穷型间断点 二、填空题（1）()12lim 1sin x x →+=（2）已知xy xe =，n 为自然数，则()n y=（3）曲线ln y x =上经过点（1，0）的切线方程是：y =（4）2x f dx ⎛⎫'= ⎪⎝⎭⎰（5）已知()2xt G x e dt -=⎰，则()0G '=（6）曲线22sin y x x =+上点（0，0）处的法线方程为 （7）已知()32f '=，则()()33lim2x f x f x→--=（8）()=+∞→1!sin lim 32n n n n （9）已知()f x 的一个原函数为cos x ，则()f x '=（10）() 122 1sin 5x x x dx -+=⎰三、计算题1. 011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭2. 231lim 2x x x x +→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭3. 设ln tan 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy 4. 设()()sin ln xy y x x +-=确定y 是x 的函数，求0x y ='5. ()sin y f x =，其中f 具有二阶导数，求22d ydx6. 23225x dx x x --+⎰7. 18.22ππ-⎰9.1 ln eex x dx ⎰10. ()011lim ln 1x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦11. arctan x xdx ⎰12.13.4⎰14.求0,8y x y ===所围成的图形分别绕y 轴及直线4x =旋转所得的旋转体体积.15. 222x y a +=绕直线x a =旋转的旋转体的体积.四、应用题（1）已知销售量Q 与价格P 的函数关系Q = 10000－P ，求销售量Q 关于价格P 的弹性函数. （2）设某工厂生产某产品的产量为Q 件时的总成本()21500081000C Q Q Q =+-元，产品销售后的收益()2120500R Q Q Q =-元，国家对每件产品征税2元，问该工厂生产该产品的产量为多少件时才能获得最大利润？最大利润是多少？ 五、证明题1.设()f x 在区间[0，1]上可微，且满足条件()()1212f xf x dx =⎰，试证：存在()0,1ξ∈，使得()()0f f ξξξ'+=§8.1向量及其线性运算（1）、（2）、（3）、（4）一、设2,2u a b c v a b c =-+=++，试用,,a b c 表示24u v -．二、,,a b c 为三个模为1的单位向量，且有0a b c ++=成立，证明：,,a b c 可构成一个等边三角形．三、把△ABC 的BC 边四等分，设分点依次为123D D D 、、，再把各分点与点A 连接，试以AB c BC a ==、表示向量12D A D A 、和3D A ．四、已知两点()11,2,3M 和()21,2,1M --，试用坐标表示式表示向量12M M 及123M M -．五、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？并画出前两个：()1,1,1A ，()2,1,1B -，()2,3,4C ---，()3,4,5D --．六、指出下列各点的位置，观察其所具有的特征，并总结出一般规律：)0,4,3(A ，)3,0,4(B ，)0,0,1(-C ，)0,8,0(D ．七、求点(),,x y z 关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标．§8.1向量及其线性运算（5） §8.2数量积 向量积一、 试证明以三点()()()10,1,64,1,92,4,3A B C -、、为顶点的三角形是等腰直角三角形．二、设已知两点()()124,0,3M M 和，计算向量12M M 的模、方向余弦和方向角，并求与12M M 方向一致的单位向量．三、 设234,4223m i j k n i j k p i j k =++=-+=-++及，求232a m n p =+-在x 轴上的投影及在z 轴上的分向量． 四、 已知,,a b c 为三个模为1的单位向量，且0a b c ++=，求a b b c c a ++之值．五、已知23,a i j k b i j k c i j =++=--=+和，计算：()()()1a b c a c b -； ()()()2a b b c +⨯+； ()()3a b c ⨯．六、 设()()2,1,3,1,2,1a b =-=--，问λμ和满足何关系时，可使a b λμ+与z 轴垂直？七、 已知()1,2,3OA =，()2,1,1OB =-，求△AOB 的面积．§8.3曲面及其方程一、 一动点与两定点()()1,2,33,0,7和等距离，求这动点的轨迹方程．二、 方程2222460x y z x y z ++-+-=表示什么曲面？三、 将xoz 平面上的双曲线224936x z -=分别绕x 轴及z 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．四、 指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形？ 1.24y x =+； 222.326x y -=．五、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？2221.226x y z ++=； ()2222.z a x y +=+．六、指出下列方程所表示的曲面：2221.22x y z+-=；2222.33x y z--=；223.345x y z+=．§8.4空间曲线及其方程 §8.5平面及其方程(1)一、填空题：1．曲面22x y +-209z =与平面3z =的交线圆的方程是 ，其圆心坐标是 ，圆的半径为 ．2．曲线222221(1)(1)1x y x y z ⎧+=⎪⎨+-+-=⎪⎩在yoz 面上的投影曲线为 ． 3．螺旋线cos x a θ=,sin y a θ=,z b θ=在yoz 面上的投影曲线为 ．4．上半锥面z =（01z ≤≤）在xoy 面上的投影为 ，在xoz 面上的投影为 ，在面上的投影为 ．二、选择题：1．方程22149x y y z ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在空间解析几何中表示 ． （Ａ）、椭圆柱面 （Ｂ）、椭圆曲线 （Ｃ）、两个平行平面 （Ｄ）、两条平行直线2．参数方程cos sin x a y a z b θθθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩的一般方程是 ．（Ａ）、222x y a += (B)、cos z x a b = (C)、sin z y a b = (D)、cos sin z x a b zy a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3．平面20x z -=的位置是 ． （Ａ）、平行xoz 坐标面。

第十章曲线积分与曲面积分习题简答习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分： （1）LI xds =⎰，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A到B 之间的一段劣弧； 解:(1+．（2）(1)L x y ds ++⎰，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解:(1)3Lx y ds -+=+⎰．（3）22Lx y ds +⎰，其中L 为圆周22x y x +=；解:222Lx y ds +=⎰．（4）2 Lx yzds ⎰，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C(1,2,3)D ；解: 2Lx y z d =⎰2 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥度1ρ=。

解 故所求重心坐标为444,,333πππ⎛⎫⎪⎝⎭．习题10—21 设L 为xOy 面内一直线y b =（b 为常数），证明xyoABC(,)0LQ x y dy =⎰。

证明：略.2 计算下列对坐标的曲线积分： （1）Lxydx ⎰，其中L 为抛物线2y x =上从点(1,1)A -到点(1,1)B 的一段弧。

解 :45Lxydx =⎰。

（2）⎰-++Ldy y x dx y x 2222)()(，其中L 是曲线x y --=11从对应于0=x 时的点到2=x 时的点的一段弧；解34)()( 2222=-++⎰Ldy y x dx y x ．（3）,Lydx xdy +⎰L 是从点(,0)A a -沿上半圆周222x y a +=到点(,0)B a 的一段弧；解 0.Lydx xdy +=⎰（4）22Lxy dy x ydx -⎰，其中L 沿右半圆222x y a +=以点(0,)A a 为起点，经过点(,0)C a 到终点(0,)B a -的路径；解 22Lxy dy x ydx -⎰44a π=-。

（5）3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰，其中L 为从点(3,2,1)A 到点(0,0,0)B 的直线段AB ；解 3223Lx dx zy dy x ydz +-⎰3187874t dt ==-⎰。

1． 计算下列对弧长的曲线积分 1)⎰+Lds y x )(，其中L 为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段；[解] 连接(1,0)及(0,1)两点的直线段方程为1,01x y x =-≤≤,于是⎰+Lds y x )(2101[(1')]y x x dx ++=-⎰201(1)2dx =+-=⎰2)⎰Lxds ，其中L 为由直线y x =及抛物线2y x =所围成的区域的整个边界； [解] 直线y x =与抛物线2y x =的交点为(0,0), (1,1). 设1L 为直线y x =从(1,1)到(0,0)一段, 2L 为抛物线2y x =从(0,0)到(1,1)一段, 于是12L L Lxds xds xds=+⎰⎰⎰112201114dx x dx=+++⎰⎰21=+51)212. 3)⎰+Ly x ds e22 ， 其中L 为圆周222 x y a +=， 直线y x =及x 轴在第一象限所围成的扇形的整个边界；[解] L 由线段:0(0)a OA y x ≤≤=, 圆弧:AB cos ,sin (0)2t y a t x a t π=≤≤=和线段:OB y x = (02)x π≤≤组成.221ax y x a OAe dx e +==-⎰⎰;222240()()sin cos x y ABee a a d t tt π+=-+⎰⎰404a a ae dt ae ππ==⎰;2222211x y xOBeedx +=+⎰1a e =-,于是上海财经大学《高等数学》习题十及解答2242412a a a x y a Leds e a e a a e e ππ+⎛⎫=-++-=+- ⎪⎝⎭⎰. 4)⎰++L ds zy x 2221， 其中L 为曲线cos ,sin ,t t tx e t y e t z e ===上相应于t 从0变到2的这段弧； [解] 因ds ==t dt =,所以⎰++L ds zy x 22212202222cos sin 1t t t t dt e t e t e =++⎰202t e dt -=⎰2(1)2e -=-. 5)⎰Lds y2， 其中L 为摆线的一拱()()sin 1cos (02)x a t t y a t t π=-=-≤≤，；[解] 因为ds ===,所以22202(1)cos Ly ds a t π=-⎰⎰52230c (os 1)t dt π=-⎰325220sin 22t dt π⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰ 3205si 216n u a udu t π=⎰3423233a =⋅⋅325615a =.6)⎰+Lds y z 222， 其中L 为2222 x y z a ++=与x y =相交的圆周；[解] 因为在曲线L 上的点满足2222y z a +=，而且2222x y z a ++=与x y =相交的圆周L 的周长为2a π,所以⎰+Lds y z 222Lads =⎰22a π=.2.计算下列对坐标的曲线积分:1)⎰+Lxdy ydx ， 其中L 是圆周cos sin x R t y R t ==，上对应t 从0到/2π的一段弧；[解] 20sin (sin )cos co [s ]Lt R t R ydx xd R t t d R y t π⋅-+⋅+=⎰⎰202cos 20td Rt π==⎰.2)⎰+--+Ly x dy y x dx y x 22)()( ， 其中L 是圆周()2220x y a a +=> (按逆时针方向绕行)； [解] L 的参数方程为cos x t a =, sin y t a =, t 从0变到2π. 于是⎰+--+Ly x dy y x dx y x 22)()(221[(cos sin )(sin )(cos sin )cos ]a t t a t a t t a t dt a π+⋅---⋅=⎰2221()2a dt a ππ=-=-⎰.3)⎰-+Lydz zdy dx x 2，其中L 是曲线cos sin x kt ya t y a t ==，，上对应的t 从0到π的一段弧； [解]222co []s (sin )cos (cos )x dx zd t t a t a y ydz k k a d t a t t πΓ⋅-+-=⋅⋅+-⎰⎰2203()k t a dt π=-⎰33213k a ππ=-. 4)⎰-+++Ldz y x ydy xdx )1( ，其中L 是从点(1,1,1)到点(234)，，的一段直线； [解] 直线L 的参数方程为：1x t =+,12y t =+,13z t =+,t 从0变到1. 于是⎰-+++Ldz y x ydy xdx )1(1[(1)1(12)2(1121)3]t t t t dt =+⋅++⋅++++-⋅⎰1(614)t dt =+⎰13=.5)⎰---L dy xy y dx xy x)2()2(22， 其中L 是抛物线2y x =上从点(11)-，到点(11)，的一段弧；[解]⎰---L dy xy y dx xy x)2()2(22112242(2)(2)2x x x x x x x dx -⎡⎤=-⋅+-⋅⋅⎣⎦⎰ 421531(242)x x x x dx -=--+⎰104211442()5x x dx =-+=-⎰.6) ⎰Lxyzdz ， 其中L :2221x y z ++=与y x =相交的圆，其方向按曲线依次经过1，2，7，8卦限.[解] 曲线L 可表示为：11cos ,cos ,sin 22t t z t x y ===(02t π≤≤), 于是 201122cos cos sin cos Lxyzdz t t t tdt π⋅⋅⎡⎤=⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 230(1cos co 2)s t td π=--⎰4201cos 8|t π=-0=. 3. 计算：(1)⎰++-Ldy y x dx x xy ,)()2(22其中L 分别是由抛物线2y x =和2y x =所围成的区域的正向边界曲线，即该区域在该方向的左边.解法一 先按曲线积分的计算公式直接计算. 记21:L y x =, x 从0变到1; 2:L x y =, y 从1变到0. 于是22(2)()Lxy x dx x y dy -++⎰ 122222(2)()(2)()L L xy x dx x y dy xy x dx x y dy =-+++-++⎰⎰1324342201[(2)()2][(2)2()]x x x x x dx y y y y y dy =-++⋅+-⋅++⎰⎰532542101(22)(242)x x x dx y y y dy =+++-++⎰⎰717615=-130=. 解法二 应用格林公式计算. 令22P xy x =-, 2Q x y =+,2P x y ∂=∂, 2Q x y∂=∂, 于是 22(2)()L xy x dx x y dy -++⎰D Q P dxdy x y ⎛⎫∂∂=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰ (12)Dx dxdy =-⎰⎰210(12)x xx dx dy =-⎰⎰21(12)()x x x dx =--⎰13122230(22)x x x x dx =--+⎰130=. (2)⎰-+-Ldy xy y dx xy x)2()(232，其中L 分别是四个顶点分别为(0,0)、(2,0)、(2,2)和(0,2)的正方形区域的正向边界.解法一 L 由有向线段OA 、AB 、BC 和CO 组成.322228()(2)3OA x xy dx y xy dy x dx -+-==⎰⎰;2232028()(2)(4)83AB x xy dx y xy dy y y dy -+-=-=-⎰⎰; 0222238()(2)(8)163BC x xy dx y xy dy x x dx -+-=-=-⎰⎰;2023228()(2)3CO x xy dx y xy dy y dy -+-==-⎰⎰,于是⎰-+-Ldy xy y dx xy x )2()(23288888163333⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭8=. 解法二 应用格林公式计算. 令232(,),(,)2P x y x Q x y xy y xy =-=-, 显然，22,3Q Py xy x y∂∂=-=-∂∂, 因此有⎰-+-Ldy xy y dx xy x )2()(232D Q P dxdy x y ⎛⎫∂∂=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰ 2(23)Dy xy dxdy =-+⎰⎰222(23)dx y xy dy =-+⎰⎰2(84)x dx =-⎰8=.4. 计算曲线积分⎰+-L y x xdy ydx )(222,其中L 为圆周()2212,x y L -+=的方向为逆时针方向. [解] 在L 所围的区域内的点(0,0)处, 函数(,)P x y 、(,)Q x y 均无意义. 现取r 为适当小的正数, 使圆周l (取逆时针向): cos x t r =, sin y t r =(t 从0变到2π)位于L 所围的区域内，则在由L 和l -所围成的复连通区域D 上，可应用格林公式，在D 上，22222()Q x y P x x y y∂-∂==∂+∂, 于是由格林公式得⎰+-L y x xdyydx )(2222202()D l ydx xdy Q P dxdy x y x y -⎛⎫-∂∂+=-= ⎪+∂∂⎝⎭⎰⎰⎰, 从而22222()2()Llydx xdyydx xdy x y x y --=++⎰⎰2202222sin co 2s r t r t dt r π--=⎰2012dt ππ=-=-⎰.5. 证明下列曲线积分在xOy 平面上与路径无关，并计算积分值.1)⎰-++)2,2()1,1(;)()(dy y x dx y x2)⎰-+-)4,3()2,1(2232;)36()6(dy xy y x dx y xy 3)⎰-++-)1,2()0,1(324.)4()32(dy xy x dx yxy[解] 1）1=∂∂=∂∂xQ y P ，积分与路径无关.⎰-++)2,2()1,1()()(dy y x dx y x =⎰212xdx =3.2)2312y xy xQ y P -=∂∂=∂∂，积分与路径无关.⎰-+-)4,3()2,1(2232)36()6(dy xy y x dx y xy =⎰⎰-+-31422)954()824(dy y y dx x =236. 3)342y x xQy P -=∂∂=∂∂，积分与路径无关.⎰-++-)1,2()0,1(324)4()32(dy xy x dx y xy =⎰⎰-+1321)84(3dy y dx =5. 6. 计算曲面积分⎰⎰∑+dS y x )(22， 其中∑分别为如下： 1) 抛物面22y x z +=及平面1=z 所围成的区域的整个边界； 2) 锥面()2223yx z +=被平面0z =和平面3z =所截得的部分．[解] 1） ∑由1∑和2∑组成，其中1∑为平面1=z 上被圆周221+=x y 所围的部分；2∑为抛物面22y x z +=(01)≤≤z . 在1∑上，=dS dxdy ; 在2∑上，==dS .⎰⎰∑+dS y x)(22=2222222211(()+≤+≤+++⎰⎰⎰⎰y x y x x y x y dxdy=⎰⎰⎰⎰++12201222041rdr r d rdr r r d ππθθ=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+151535425π;2）由题设，∑的方程为=z ,因此=dS= 2=dxdy . 又由()2223yx z +=和3=z 消去z 得223+=xy , 故∑在xOy 面上的投影区域xy D 为223≤+x y , 于是⎰⎰∑+dS y x )(2222=()2+⋅⎰⎰xyD x ydxdy 230=2πθ⎰d dr (极坐标变换)9π=.7. 计算下列对面积的曲面积分：1) ⎰⎰∑++dS y x z )342(， 其中∑为平面1432=++zy x 在第一卦限中的部分； 2)⎰⎰∑+--dS z x x xy )22(2， 其中Σ为平面132=++z y x 在第一卦限中的部分； [解] 1) 在∑上，2344z x y =--. ∑在xOy 面上的投影区域xy D 为x 轴、y 轴和直线123x y+=围成的三角形闭区域. 因此⎰⎰∑++dS y x z )342(4442233xy D x y x y ⎡⎛⎫=--++ ⎪⎢⎝⎭⎣⎰⎰433xyxyD Ddxdy dxdy =⋅=⋅⎰⎰⎰⎰1232⎛⎫=⋅⋅= ⎪⎝⎭. 2) 在∑上，123z x y =--. ∑在xOy 面上的投影区域为由x 轴、y 轴和直线231x y +=所围成的三角形闭区域. 因此⎰⎰∑+--dS z x xxy )22(2222[22(123)]1(2)(3)xyD xy x x x y dxdy =--+--+-+-⎰⎰214(22133)Dzxy x x y dxdy =⋅-+--⎰⎰11(12)2302014(13223)x dx x x xy y dxdy -=⋅--+-⎰⎰()()12222011114(132)(12)1212396x x x x x x dx ⎡⎤=⋅---+---⎢⎥⎣⎦⎰14108=.8. 计算下列对坐标的曲面积分：1)ydxdz xdydz zdxdy ++⎰⎰∑， 其中Σ为柱面122=+y x被平面z=0和z=3所截得在第一卦限中的部分的前侧；[解] 由于柱面122=+y x 在xOy 面上的投影为零，因此0zdxdy ∑=⎰⎰. 又{(,)|01,03}xy y z y z D ≤≤≤≤=, {(,)|01,03}zx x z x z D ≤≤≤≤=, 如图. 因∑取前侧，所以ydxdz xdydz zdxdy ++⎰⎰∑xdydz ydzdx ∑∑=+⎰⎰⎰⎰2211yzzxD D y dydz x dzdx =-+-⎰⎰⎰⎰313120211dz y dy dz x dx =-+-⎰⎰⎰⎰21arcsin 123122y y y ⎡⎤=⋅-+⎢⎥⎣⎦ 32π=. 2) ⎰⎰∑++yzdxdz yxdydz xzdxdy ，其中Σ为1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.[解] 在坐标面0x =、0y =和0z =上，积分值均为零，因此只需计算在':1x y z ∑++=(取上侧)上的积分值， 如图所示.'(1)xyD xzdxdy x x y dxdy ∑=--⎰⎰⎰⎰110(1)xxdx x y dy -=--⎰⎰124=. 由被积函数和积分曲面关于积分变量的对称性，可得 '''124xydydz yzdzdx xzdxdy ∑∑∑===⎰⎰⎰⎰⎰⎰, 因此113248xzdydz yxdxdz yzdxdy ∑++=⋅=⎰⎰.9. 计算下列对坐标的曲面积分：1)⎰⎰∑++dxdy z dxdz y dydz x 222， 其中Σ为平面0,0,0===z y x ，a z a y a x ===,,所围成的空间 区域的整个边界曲面的外侧; 2)⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz)2()(222， 其中Σ为上半球体222a y x ≤+，0z ≤，2222z a x y ≤--的表面外侧.3)⎰⎰∑++zdxdy ydxdz xdydz , 其中Σ为介于0=z 与3=z 之间的圆柱体922≤+y x 的整个表面的外侧． [解] 1) 令()2,,P x y z x =, ()2,,Q x y z y =, ()2,,R x y z z =, 应用高斯公式可得⎰⎰∑++dxdy z dxdz y dydz x 222P Q R dxdydz x y z Ω⎛⎫∂∂∂=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ 2()x y z dxdydz Ω=++⎰⎰⎰6zdxdydz Ω=⎰⎰⎰(应用对称性)6aa adx dy zdz =⎰⎰⎰24632a a a a =⋅⋅⋅=. 2)⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz)2()(222()222z x y dxdydz Ω=++⎰⎰⎰22202sin ad d r dr r ππθϕϕ=⋅⎰⎰⎰(球面坐标)5521552a a ππ⋅⋅==. 3)⎰⎰∑++zdxdy ydxdz xdydz (111)dxdydz Ω=++⎰⎰⎰3dxdydz Ω=⎰⎰⎰233381ππ=⋅⋅=⋅.10.求散度及旋度1) ()()()k xy z j xz y i yz x A +++++=222； 2) ()()k xz j xy i e A xy 2cos cos ++=； 3) k xz j xy i y A ++=2．[解] 1）令2P x yz =+, 2Q y xz =+, 2R z xy =+，因此 div 222P Q R A x y z x y z∂∂∂=++=++∂∂∂. rot 222ij kij k A x y z x y z P QR x yzy xzz xy∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂+++0=. 2）div A =2sin()2sin()xyye x xy xz xz --，rot A =k xe xy y j xz z i xy)sin ()))sin((0()00(22--+--+-=k xe xy y j xz z xy)sin ()sin(22+-.3）div A =x x ++0=x 2，rot A =k y y j z i )2()0()00(-+-+-=k y j z--.11. 利用Gauss 公式计算下列曲面积分: (1)222x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰,其中∑为平面0x =,0y =,0z =,x a =,y a =,z a =所围的立体的表面的外侧. (2)⎰⎰∑++-+dxdy z y xy dzdx z y x dydz xz)2()(2322,其中∑为上半球体222x y a +≤,0z ≤≤.(3)⎰⎰∑++xydxdy zxdzdx yzdydz ,其中∑是单位球面2221x y z ++=的外侧. (4)⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222,其中∑是锥面222x y z +=与平面z h =所围成的空间区域(0)z h ≤≤的表 面, 方向取外侧.[解] (1) (2)同第9大题中的1）2）两小题，故解答略去. 3)⎰⎰∑++xydxdy zxdzdx yzdydz =⎰⎰⎰Ω++dv )000(=0.4) ⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 222=⎰⎰⎰Ω++dv z y x )222(=π24h . 12. 利用Gauss 公式计算椭球面2222221x y z a b c++=所围区域的体积. [解] 由Gauss 公式可得V =⎰⎰⎰Ω++dv )111(31=⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz 31， 又 ⎰⎰∑zdxdy =⎰⎰∑'--dxdy b y a x c 222212=dr r r abc d ⎰⎰⋅-1022012πθ=πabc 34. 由对称性可知⎰⎰∑xdydz =⎰⎰∑ydzdx =⎰⎰∑zdxdy =πabc 34. 于是V =⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz 31=πabc 34. 13. 设某种流体的速度为v xi y j zk =++, 求单位时间内流体流过曲面22:y x z ∑=+2(0)y h ≤≤的流量, 其中∑取左侧.[解] 所求的流量为 xdydz ydzdx zdxdy ∑Φ=++⎰⎰ =⎰⎰⎰Ω++dv )111(22203y h x z dydxdz +≤=⎰⎰⎰ =203h ydy π⎰=432h π.14. 应用Stokes 公式计算下列积分: (1) ⎰-+-++Ldz x y dy z x dx z y )()()2( 其中∑为平面1x y z ++=与各坐标面的交线, 取逆时针方向为正向. (2) ⎰-+-+-Ldz x y dy z x dx y z )()()(. 其中L 为以(,0,0)A a ,(0,,0)B a ,(0,0,)C a 为顶点的三角形沿ABCA 的方向.(3) ⎰Γ++zdz dy dx y x 32, 其中L 为圆: 2220x y a z ⎧+=⎨=⎩,且从z 轴正向看去取逆时针方向. (4) ⎰Γ-+xydz zxdy yzdx 3 其中L 是曲线224310x y y y z ⎧+=⎨-+=⎩,且从z 轴正向看去取逆时针方向.[解] (1) ⎰-+-++L dz x y dy z x dx z y )()()2(=⎰⎰∑-++++dxdy dxdz dydz )21()11()11(=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑-+zy x dxdy dxdz dydz 22=2315. 证明沿曲线AB 的曲线积分223(3)(4)2AB x y z dx x y dy xzdz -++-++⎰与积分路径无关, 只与起点A 和终点B 有关. 并求原函数. [证明] 令223P x y z =-+, 34Q x y =-+, 2R xz =. 因为 1-=∂∂=∂∂x Q y P ，0=∂∂=∂∂y R z Q ，z zP x R 2=∂∂=∂∂， 所以曲线积分223(3)(4)2AB x y z dx x y dy xzdz -++-++⎰与积分路径无关.原函数为：),,(z y x u =c y xz xy x +++-42316.计算222()()()L x yz dx y xz dy z xy dz -+-+-⎰. 其中L 为由点(,0,0)A a 至点(,0,)B a h 的螺线cos x a ϕ=,sin y a ϕ=,2h z ϕπ=(02ϕπ≤≤). [解] 令2P x yz =-, 2Q y xz =-, 2R z xy =-. 因为z x Q y P -=∂∂=∂∂，x y R z Q -=∂∂=∂∂，y zP x R -=∂∂=∂∂，所以曲线积分222()()()L x yz dx y xz dy z xy dz -+-+-⎰与积分路径无关. 一次，积分路径取点(,0,0)A a 至点(,0,)B a h 的直线段，于是可得222()()()L x yz dx y xz dy z xy dz -+-+-⎰=⎰-hdz z 02)0(=331h .。