2018考研数学重点：弧长曲线积分的计算

y O
1
x
高等数学
目录
上页
下页
返回
结束
二、对弧长的曲线积分的计算
基本思路: 求曲线积分

L
f ( x, y ) d s
转化
计算定积分 d s (d x) 2 (d y ) 2
x (t ) ( t ) (1)若L: y (t )
2 2 d s (t ) (t )dt
L
L1
xds xds
0 x
1
y x2 yx L1 (1,1) L2
x
0 x
1
O
L1 : y x, 0 x 1
2 1 (5 5 1) 2 12
高等数学
L2 : y x2 , 0 x 1
目录
上页
下页
返回
结束
补充: 设在 xoy 面上有一分布着质量的曲线弧 L, 其线密度为 ( x, y ), 用对弧长的曲线积分分别表达:
山东交通学院高等数学教研室
一、对弧长的曲线积分的概念与性质
1 引例: 曲线形构件的质量 假设曲线形细长构件在 xoy 面上对应 弧段为AB ,
其线密度为连续函数
求此构件的质量.
是常数, 且弧长为 s, 则其质量为 不是常数, 仍可采用 “分割, 作近似, 求和, 取极限”方法.
B
M n1
y
m

在 上的曲线积分:
连续
(3) 若 是空间光滑曲线弧， 类似可定义函数
L f ( x, y) ds存在.

L
f ( x, y, z ) d s lim f (i ,i , i ) si

则有
a
b
f ( x, ( x) ) 1 2 ( x) d x
如果方程为极坐标形式: L : r r ( ) ( ), 则



f ( r ( ) cos , r ( ) sin ) r 2 ( ) r 2 ( ) d
推广: 设空间曲线弧的参数方程为
Mk sk M k 1

如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 , 则定义对弧长的曲线积
分为
lim L f ( x, y ) ds 0 f ( k ,k )sk
k 1 n
如果 L 是闭曲线 , 则记为 f ( x, y ) ds . L 思考: (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问 d s 表示什么?
L f ( x, y )ds


f ( r ( ) cos , r ( ) sin ) r 2 ( ) r 2 ( ) d
2. 性质
(1)


( 2)
L g ( x, y, z )ds ( , 为常数 )
2
f ( x, y , z ) d s
1
f ( x, y , z ) d s
f ( x, y , z ) d s
(3)
ds l
( l 曲线弧 的长度)
( 由1 , 2 组成)
例2. 计算曲线积分 线
其中为螺旋
的一段弧.
解:

( x y z ) ds
2
2
2

a k
2
2
0
2
[a k t ] d t
2
2 2

y
由曲线微元弧 ds (d x) 2 (d y ) 2
O
ds d y dx x x
因此
说明:
(1) sk 0, t k 0, 因此积分限必须满足 !
(2) 注意到
x ( t ) 因此上述计算公式相当于“换元法”. y (t )
d s (d x) 2 (d y) 2 dt
3
2
1
0
O
1x
例3. 计算
2 2 2 2
其中L为双 ) ( a 0 )
解: 在极坐标系下 它在第一象限部分为
y
(0 π ) 4
π 0 4 r cos
L1 : r a cos 2
4 4
π 0 4 a 2 cos
2xy ds 0
L
2 O
2x
x2 y2 原式 =12 ( )ds 12 ds 12a L 4 L 3
分析:
L
2 xy ds

2
2
2 xy 1 y2 dx
例７ 求圆 x 2 y 2 R 2 的周长。 解： 在第一象限， L: y
R x ds
2 2 2
其中 为球面
O1
y
与平面 x z 1 的交线 . x y z 9 2
2 1 2 1 1 ( x 2) 4 y 1 1 2 , 化为参数方程 解: : x z 1 x 1 x 2 cos 2 0 2π : y 2 sin z1 2 cos 2 则
( X 1) ds
2

利用形心公式

x
D
x ds l

L
L
从而
(x2 y)ds x2ds 1 (x2 y2 )ds ．
L
L
2L
因为点(x, y) 位于 L 上，所以 x, y 满足 L 的方程，即有 x2 y2 1，
故
(x2 y)ds 1 ds 1 L的周长 1 2 ．
L
2L 2
2
注：解法二表明在计算过程中，可将曲线方程直接代入被积函数中．
(11.1.4)
a
注：式(11.1.1),(11.1.2),(11.1.3) ，和 (11.1.4) 中，积分下限小于积分上限．
16-12
例 11.1.1 计算曲线积分 x2 y2ds ，其中 L 是由圆周x2 y2 a2(a 0) ， L
直线 y x 以及 x 轴在第一象限中所围平面图形的边界．
数，则
f (x, y)ds
b
f (x, y(x))
1 y2(x)dx ．
L
a
(11.1.2)
16-11
（续定理）如果曲线 L 的方程为 x x( y) (c y d ) ，且x( y) 在[c,d ] 上具有
连续导数，则
f (x, y)ds
d
f (x( y), y)
1 x2( y)dy ．
16-4
n
⑶ 求和：得柱面 面积的近似值S h(i ,i )si ． i1
⑷ 取极限：令 0，则有 的面积
n
S
lim
0
i1
h(i ,i )si
．
㈡ 曲线形物体的质量
设有平面上的曲线状物体，占有 xOy 坐标面上的
曲线段 L （见图 11-1-2），在 L 上任一点(x, y) 处，其线密

i 1
n
取极限
A
lim
0
i 1
h(i ,i
) si .
A
y
Mn
MnA1 i
Mi
Mi1 (i ,i )
2:非均匀平面曲线形构件的质量
均匀的质量 M s.
分割 M0 , M1,, Mn , 近似 取 (i ,i ) Mi1Mi ,
Mi (i ,i ) si .
y
M0
o
(x, y) Mn
则 f ( x, y, z)ds
0,
当 f ( x, y, z) 是x (或y) (或z) 的奇函数
2 f ( x, y)ds, 当 f ( x, y, z) 是x (或y) (或z)的偶函数 1
Γ1是曲线Γ落在yz (或xz) (或x y平) 面一侧的部分.
运用对称性简化第一类曲线积分计 算时, 应同时考虑被积函数 与积分曲线 的对称性.
A⌒B
BO
yB
OA : y 0, 0 x a,ds 1 02dx
O
Ax
e x2 y2ds a e xdx ea 1
OA
0
A⌒B : x a cos t, y a sint, 0 t
4
A⌒B e x2 y2ds
4 ea
0
(a sint)2 (a cos t)2 dt aea
解2 选 y 为积分变量
y2 2x x y2 2
(0 y 2)
2
1
I
y
0
1 y2dy 3 (5
5 1)
例 求I xyzds,其 中 : x a cos , y a sin ,
z k 的 一 段. (0 2 )

高等数学第一节 对弧长曲线积分
第十一章 曲线积分与曲面积分
*第一节 对弧长的曲线积分
一、对弧长曲线积分的概念 二、对弧长曲线积分的计算法
一、对弧长曲线积分的概念
引例 平面曲线的质量
若平面曲线 的线密度是常数 0，曲线长为 L， 则平面曲线的质量Ｍ = 0L．
若平面曲线 的线密度不是常数， 而是曲线上 点的位置的函数，设密度函数为 = f (x, y). 如何计算
f (x, y) —— 被积函数， f (x, y)dl —— 被积表达式，
dl —— 弧长元素， —— 积分路径.
如果 是封闭曲线，则曲线积分记为 f(x,y)dl. 设 由 1 与 2 组成，则
f(x, y)dl
f(x,y)d l f(x,y)d l.
1
2
由定义可知，对弧长的曲线积分与积分路径 的
f( x ,y ) d l a f [( t)( ,t)] 2 ( t) 2 ( t) d t.①
注意 由于dl > 0，故应保证 dt > 0， 因此公式 ① 右端对变量 t 的定积分中， 下限不超过上限.
上式可见，弧长的曲线积分化为定积分计算要 点是：
(1)被积函数定义在曲线 (或曲线 L)上，即 点 (x,y) 在曲线 上变化；
(2)弧长元素 dl (dx)2(dy)2;
(3)定积分的下限不超过上限.
例 1 试计算 (x y)dl, 其中 为 x 轴上直线 L
段 AB 与上半圆弧 BCA 组成的封闭曲线.
解 由曲线积分的性质，有
(xy)dl (x y )d l (x y )d l.
L
AB
BCA
y
由于直线段 AB 的参数式方程为
C

0 2
(2) L : x 2, 0 y 3
21 I (2 y) 0 1dy 0 2
3
x R cos (3) L : , 0 y R sin
I ( R cos R sin ) Rd 2 R 2
0

(4) L : y 1 x, 0 x 1
定理
设 f ( x , y )在曲线弧 L上有定义且连续, x ( t ), L的参数方程为 ( t )其中 y ( t ), ( t ), ( t )在[ , ]上具有一阶连续导数, 且
L
f ( x , y )ds f [ ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t )dt
则

ds

( 2 sin )
2
( 2 sin ) d 2d
2
9 2 I 2 d 18 2 0
例6. 计算
其中L为双纽线
(x2 y2 ) 2 a2 (x2 y2 ) ( a 0 )
解: 在极坐标系下
它在第一象限部分为
y
(0
ab sin t cos t a 2 sin2 t b 2 cos 2 t dt
a ab 2 2 2 2 2 2 u du ( 令 u a sin t b cos t) 2 b a b
2 0
ab(a ab b ) . 3(a b)
2 2
例2.计算
其中(1) L 是抛物线
xds x , ds
L L
yds y . ds
L L
例7. 计算半径为 R ,中心角为 的圆弧 L 对于它的对 称轴的转动惯量I (设线密度 = 1). 解: 建立坐标系如图, 则

(1)若( x, y, z ) L, 都有f ( x, y, z ) f ( x, y, z ),
则 f ( x , y, z )ds 0;
L
(2)若( x , y , z ) L,都有f ( x , y , z ) f ( x , y , z ),
则 f ( x , y , z )ds 2 f ( x , y , z )ds ;
曲线积分与曲面积分
积分 定积分 二重积分 三重积分 曲线积分 曲面积分
积分范围 区间 平面区域 空间区域 曲线段 曲面域
曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分
对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分
第十一章
第一节 对弧长的曲线积分
一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法
L
(2)若( x , y , z ) L,都有f ( x , y , z ) f ( x , y , z ),
则 f ( x , y , z )ds 2 f ( x , y , z )ds ;
L L1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
对弧长的曲线积分的轮换对称性:
设空间曲线L关于平面y x对称,则有
如果方程为极坐标形式: L : r r ( ) ( ), 则
f (r ( ) cos , r ( ) sin ) r 2 ( ) r 2 ( ) d
推广: 设空间曲线弧的参数方程为

则

: x (t ), y (t ) , z (t ) ( t ) f ( x, y , z ) d s
L
机动
目录
上页
下页

B
Mk (ξk,ηk ) ∆s k Mk−1
∑
k= 1
机动
n
A
目录
上页
下页
返回
结束
2.定义 . 设 L 是平面上一条有限长的光滑曲线, 义在 L上的一个有界函数, 若对 L的任意分割 和对 的 (ξk,ηk ) 局部的任意取点 任意取点, 局部的任意取点 下列“乘积和式极限”
λ→ k= 0 1
lim ∑ f (ξk,ηk )∆sk
平 x 交 . +z2 = 9 与 面 +z =1的 线 2 1 (x − 1)2 + 1 y2 =1 2 2 4 解: L: , 化为参数方程 x + z =1 x = 2cosθ + 1 2 ( 0 ≤θ ≤ 2π ) L: y = 2sinθ z = 1 − 2cosθ 2 则
∫
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例1. 计算
其中
①L是直线 y = x 上点 o ( 0,0 ) , A (1,1) 之间的一段 ②L是折线OBA，其中 o ( 0,0 ) , B (1,0 ) , A (1,1) ︵ ③L是上半圆周AB : x 2 + y 2 = R 2 ︵ 解: ① Q OA : y = x ( 0 ≤ x ≤ 1) , y A (1,1)
L
0
bt a 2 + b 2 dt = 2π 2 µb a 2 + b 2
2π 2 a 0
(
)
a 2 + b 2 dt = 2πµ a 2 a 2 + b 2
高斯 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 定义
∫L f (x, y)ds