第四章 曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分

一、曲线积分、曲面积分的计算公式1. 对弧长的曲线积分(,)Lf x y ds ⎰的计算公式:(,)Lf x y ds ⎰中，L 为一段光滑的平面曲线，其参数方程为(),t (),x x t y y t αβ=⎧≤≤⎨=⎩ (,)f x y 为定义在曲线L 上的一连续函数.为熟练掌握计算公式，关键是把握以下两点：1)积分变量,x y 在曲线L 上，故,x y 满足曲线L 的方程；2)ds 是曲线L的弧长的微分，故ds =. 所以有如下的计算公式:(,)[(),(Lf x y ds f x t y t βα=⎰⎰.对L 是空间曲线段的情况，有类似的公式. 设L 的方程为 (),(), t (),x x t y y t z z t αβ=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩(,,)f x y z 在L 上连续，则对弧长的曲线积分(,,)[(),(),(Lf x y z ds f x t y t z t βα=⎰⎰.弧微元 dt t z t y t x ds )(')(')('222++=2. 对坐标的曲线积分(,)(,)ABL P x y dx Q x y dy +⎰在(,)(,)ABL P x y dx Q x y dy +⎰中，AB L 是以A 为起点，以B 为终点，参数方程为 ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩的平面曲线，A 点的坐标为((),())x y αα，B 点的坐标为((),())x y ββ.物理意义：变力F沿曲线L 所做的功⎰⎰+=∙=LLQdy Pdx r d F W其中 }.,{;}),(,),({dy dx r d y x Q y x P F ==为熟练掌握该积分的计算公式，关键是把握以下两点：1) 积分变量（,x y ）在AB L 上，故满足曲线方程(),()x x t y y t ==； 2) (),()dx x t dt dy y t dt ''==. 对坐标的曲线积分的计算公式为(,)(,){[(),()]()[(),()]()}ABL P x y dx Q x y dy P x t y t x t Q x t y t y t dt βα''+=+⎰⎰.,αβ分别对应于,A B 点的参数t 的值，可能,αβ<也可能αβ>.类似地，对于空间曲线AB L ，也有类似的计算公式.设AB L 是以A 为起点，以B 为终点，参数方程为 ()()()x x t y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩的空间曲线，A 点的坐标为((),(),())x y z ααα，B 点的坐标为((),(),())x y z βββ，(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在曲线AB L 上连续，则(,,)(,,)(,,)ABL P x y z dx Q x y z dy z x y z dz ++⎰{[(),(),()]()[(),(),()]()[(),(),()]()}P x t y t z t x t Q x t y t z t y t R x t y t z t z t dt βα'''=++⎰.两类曲线积分之间的关系。

目录1对弧长的曲线积分 （扩展）对弧长曲线积分的应用2对坐标的曲线积分 3格林公式及其应用 4对面积的曲面积分课后典型题1对弧长的曲线积分之前已经学过计算曲线长度的积分（1）对于y=y(x)（2）对于参数方程()()x x t y y t =⎧⎨=⎩（3）对于极坐标方程是()r r θ=，转成直角坐标()cos ()sin x r y r θθθθ== ，则'()'cos sin '()'sin cos x r r y r r θθθθθθ=-=+。

代入上面3个都是求弧长，现在求的是在弧长上对某个被积函数f(x,y)积分。

那么，如果把被积函数f(x,y)看成是密度，那么得到的就是曲线质量。

当然如果密度均匀为1，则求的弧长积分就是弧长。

如果把被积函数f(x,y)看成是高度z,那么得到的就是一个柱面表面积。

对弧长的曲线积分，称为“第一类曲线积分”。

扩展到空间，若被积函数是f(x,y,z)那么，就表示在空间曲线L 的密度，求得的结果就是空间的线质量。

定义：01(,)lim (,)niiii Lf x y ds f s λξη→==∆∑⎰ 计算步骤 1画出图形2写出L 的方程，指出自变量范围，确定积分上下限（下限必须小于上限） 3由L 类型写出对应ds 的表达式4因被积函数f(x,y)的点x ，y 在L 上变动，因此x ，y 必须满足L 的方程。

即把L 中的x ，y 代入被积函数f(x,y)中。

5写出曲线积分的定积分表达式，并计算。

注，二重积分中xy 在投影域D 内动，而被积函数的xy 在L 上动，故(x ，y)必须满足L 。

如，L 的方程y=k,则()LLf x ds kds ks ==⎰⎰（保留。

还不太懂）参数方程设曲线有参数方程()()x x t L y y t =⎧⎨=⎩，则有：显式方程 设曲线为L ：y=y(x) ，则有：设曲线为L ：x=x(y) ，则有： 极坐标方程 设曲线为:(),([,])L rr θθαβ=∈ 则有：空间曲线方程设曲线为空间曲线():()()x x t L y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，则有： 设在L 上f(x,y)<=g(x,y)，则(,)(,)LLf x y dsg x y ds ≤⎰⎰，特别的，有(,)(,)LLf x y dsg x y ds ≤⎰⎰此性质不能用于第二类曲线积分扩展 对弧长曲线积分的应用（其实和二重积分一样，完全可以自己推导）质心坐标：LLx dsx dsρρ=⎰⎰ 、LLy dsy dsρρ=⎰⎰转动惯量：I=mr^2,因此有2(,)x LI y x y ds ρ=⎰设平面力场的力为(,)(,)(,)x y P x y Q x y =+F i j 求该力沿着曲线L 从a 到b 所做的功。

第十章曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分一．对弧长的曲线积分的概念 1．引入平面曲线构件L 的线密度ρ是常数，则平面曲线L 的质量为L M ρ=平面曲线构件L 的线密度ρ非均匀的，即ρ是非常数，却是曲线构件L 上点的函数),(y x f =ρ，则平面曲线构件L 质量的计算是把曲线弧L 分成n 个小段:n s s s ∆∆∆,,,21 ，其中i s ∆也表示第i 段小弧的长（0≥i s ）。

在小段弧i s ∆上任意取一点),(i i ηξ，则该小段弧的质量近似为i i i s f ∆),(ηξ曲线构件L 的质量近似为∑=→∆ni i i i s f 1),(lim ηξλ那么，曲线构件L 的质量为∑=→∆=ni i i i s f M 1),(lim ηξλ其中}{max 1i ni s ∆=≤≤λ2．对弧长的曲线积分的概念定义 设定义在平面曲线L 上的有界函数),(y x f ，将曲线弧L 任意分割成n 小段弧i s ∆，且并以i s ∆表示第i 段小弧的长，在每小段弧i s ∆上任意取一点),(i i ηξ，作和式∑=∆ni iiisf 1),(ηξ当最大小段弧的长趋于零时，和式的极限存在∑=→∆ni i i i s f 1),(lim ηξλ则此极限值称为函数),(y x f 在平面曲线L 上对弧长的曲线积分（或称为第一类曲线积分）。

记作⎰Lds y x f ),(∑=→∆=ni i i i s f 1),(lim ηξλ其中}{max 1i ni s ∆=≤≤λ，),(y x f 叫做被积函数，ds y x f ),(叫做被积表达式，ds 称为弧微分，L 称为积分路径。

如果L 是封闭曲线，则曲线积分记为⎰Lds y x f ),(3．对弧长的曲线积分的性质 对弧长的曲线积分与积分路径无关，即⎰⎰=BAABds y x f ds y x f 弧弧),(),(。

由于对弧长的曲线积分的定义与定积分、重积分的定义类似，因此也有与它们相类似的性质。

曲线积分与曲面积分一、 知识要点 1、定义、定理(1)定理1(格林公式)：设分段光滑的有向闭曲线L 为有界闭区域D 的正向边界，函数P(x,y)，Q(x,y)在D 上具有一阶连续偏导数，则有：⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂L DQdy Pdx dxdy yPx Q )((2) 定理2(曲线积分与路径无关的充要条件) ：设G 为平面单连通开区域，函数),(y x P ，),(y x Q 在G 内具有连续的一阶偏导数，那么曲线积分⎰+LQdy Pdx 与路径无关xQ yP ∂∂≡∂∂⇔在G 内成立。

(3) 定理3 ：设函数),(),,(y x Q y x P 在开区域G 内具有一阶连续偏导，则曲线积分()()dy y x Q dx y x P ,,+ 在G内为某一函数()y x u ,的全微分的充要条件是等式()()x y x Q y y x P ∂∂=∂∂,,在G 内恒成立。

（4）定理4（高斯公式）：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，函数()z y x P ,,、()z y x Q ,,、()z y x R ,,在Ω上具有一阶连续偏导数，则有⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑++=∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdxdz Pdydz dv z Ry P x Q )(或()⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑++=∂∂+∂∂+∂∂dS R Q P dv z R y P x Q γβαcos cos cos )(,其中，γβαcos ,cos ,cos 为外法向量的方向余弦。

（5）定理4（斯托克斯公式）：设L 为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以L 为边界的分片光滑的有向曲面，L 的正向与∑的侧符合右手规则，函数()()()z y x R z y x Q z y x P ,,,,,,、、在包含∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有⎰⎰⎰++=∂∂∂∂∂∂∑L Rdz Qdy Pdx R Q P z y x dxdy dzdx dydz ，或⎰⎰⎰++=∂∂∂∂∂∂∑L Rdz Qdy Pdx dS RQ P z y x γβαcos cos cos 2、 公式(1)对弧长的曲线积分的计算公式：(ψϕ,在相应区间上具有一阶连续导数)①若)( )()(:βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==t t y t x L ，则dt t t t t f ds y x f L ⎰⎰'+'=βαψϕψϕ)()()](),([),(22 )(βα<②若)( )(:b x a x y L ≤≤=ϕ，则⎰⎰'+=b aL dx x x x f ds y x f )(1)](,[),(2ϕϕ)(b a < ③若)( )(:d y c y x L ≤≤=ψ，则⎰⎰+'=d cL dy x y y f ds y x f 1)()]),([),(2ψψ )(d c <(2)对坐标的曲线积分的计算公式：(ψϕ,在相应区间上具有一阶连续导数)①若):( )()(:βαψϕ→⎩⎨⎧==∧t t y t x AB ，则dt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P AB⎰⎰'+'=+∧βαψψϕϕψϕ)}()](),([)()](),([{),(),( ②若):( )(:b a x x y AB →=∧ϕ，则⎰∧+ABdy y x Q dx y x P ),(),(⎰'+=ba dx x x x Q x x P )}()](,[)](,[{ϕϕϕ ③若):( )(:d c y y x AB →=∧ψ，则⎰∧+ABdy y x Q dx y x P ),(),(()()⎰+'=dcdy y y Q y y y P ]},[)(],[{ψψψ(3)两类曲线积分的转换公式：①()⎰⎰+=+LLds Q P dy y x Q dx y x P βαcos cos ),(),(，其中，()()y x y x ,,βα、为有向曲线弧L 上点()y x ,处的切线向量的方向角。

重积分、曲线积分、曲面积分一、曲线积分第一型曲线积分(对弧长)定义：设L 为平面上可求长度的曲线段，(,)f x y 为定义在L 上的函数。

对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段(1,2,,),i L i n = i L 的弧长记为,i s ∆ 分割T的细度为1max ,i i nT s ≤≤=∆ 在i L 上任取一点(,)(1,2,,).i i i n ξη= 若极限1lim(,)niiiT i f s ξη→=∆∑存在，则称此极限值为(,)f x y 在L 上的第一型曲线积分（对弧长的积分），记作(,)Lf x y ds ⎰。

若L 为空间可求长曲线段，(,,)f x y z 为定义在L 上的函数，则可类似定义(,,)f x y z 在空间曲线L 上的第一型曲线积分，并且记为(,,)Lf x y z ds ⎰。

性质： 1. 若(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰存在，(1,2,,)i c i k =为常数，则1(,)ki i Li c f x y ds =∑⎰也存在，且11(,)(,).kki i i i LLi i c f x y ds c f x y ds ===∑∑⎰⎰2. 若曲线段L 由曲线12,,k L L L 首尾相接而成，且(,)(1,2,,)i Lf x y ds i k =⎰都存在，则(,)Lf x y ds ⎰也存在，且1(,)(,).ikLL i f x y ds f x y ds ==∑⎰⎰3. 若(,)Lf x y ds ⎰与(,)Lg x y ds ⎰都存在，且在L 上(,)(,),f x y g x y ≤ 则(,)(,).LL f x y ds g x y ds ≤⎰⎰4. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，则|(,)|Lf x y ds ⎰也存在，且|(,)||(,)|LLf x y ds f x y ds ≤⎰⎰。

5. 若(,)Lf x y ds ⎰存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得(,)Lf x y ds ⎰=cs 。