对弧长的曲线积分

第十章曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分一．对弧长的曲线积分的概念 1．引入平面曲线构件L 的线密度ρ是常数，则平面曲线L 的质量为L M ρ=平面曲线构件L 的线密度ρ非均匀的，即ρ是非常数，却是曲线构件L 上点的函数),(y x f =ρ，则平面曲线构件L 质量的计算是把曲线弧L 分成n 个小段:n s s s ∆∆∆,,,21 ，其中i s ∆也表示第i 段小弧的长（0≥i s ）。

在小段弧i s ∆上任意取一点),(i i ηξ，则该小段弧的质量近似为i i i s f ∆),(ηξ曲线构件L 的质量近似为∑=→∆ni i i i s f 1),(lim ηξλ那么，曲线构件L 的质量为∑=→∆=ni i i i s f M 1),(lim ηξλ其中}{max 1i ni s ∆=≤≤λ2．对弧长的曲线积分的概念定义 设定义在平面曲线L 上的有界函数),(y x f ，将曲线弧L 任意分割成n 小段弧i s ∆，且并以i s ∆表示第i 段小弧的长，在每小段弧i s ∆上任意取一点),(i i ηξ，作和式∑=∆ni iiisf 1),(ηξ当最大小段弧的长趋于零时，和式的极限存在∑=→∆ni i i i s f 1),(lim ηξλ则此极限值称为函数),(y x f 在平面曲线L 上对弧长的曲线积分（或称为第一类曲线积分）。

记作⎰Lds y x f ),(∑=→∆=ni i i i s f 1),(lim ηξλ其中}{max 1i ni s ∆=≤≤λ，),(y x f 叫做被积函数，ds y x f ),(叫做被积表达式，ds 称为弧微分，L 称为积分路径。

如果L 是封闭曲线，则曲线积分记为⎰Lds y x f ),(3．对弧长的曲线积分的性质 对弧长的曲线积分与积分路径无关，即⎰⎰=BAABds y x f ds y x f 弧弧),(),(。

由于对弧长的曲线积分的定义与定积分、重积分的定义类似，因此也有与它们相类似的性质。

时间---------月---------日 星期----------------- 课 题§11.1 对弧长的曲线积分教学目的 使学生对弧长的曲线积分的定义与计算。

教学重点 对弧长的曲线积分的计算。

教学难点 对弧长的曲线积分的计算。

课 型 专业基础课 教法选择讲 授教 学 过 程教法运用及板书要点我们已经把定积分的概念推广到了重积分，被积函数是二元函数或三元函数，积分区域是平面区域或空间区域，积分概念还可以推广到曲线积分和曲面积分。

本章将介绍曲线积分、曲面积分的概念、应用、计算方法，以及它们和重积分之间的联系。

一、 对弧长的曲线积分的概念与性质 金属曲线的质量: 设有一有限长的金属曲线C ，其上不均匀地分布着质量，因此金属曲线C 的线密度是变量。

设其在xOy 面内的一段曲线弧L , 它的端点是A,B ,在L 上任一点),(y x 处，它的线密度为),(y x ρ，现在要计算这金属曲线C 的质量M .把曲线分成n 小段, ∆s 1, ∆s 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆s n (∆s i 也表示弧长);任取(ξi , ηi )∈∆s i , 得第i 小段质量的近似值i i i s ∆),(ηξρ，于是整个物质曲线的质量近似为i i i ni s M ∆≈∑=),(1ηξρ;令λ=max{∆s 1, ∆s 2, ⋅ ⋅ ⋅, ∆s n }→0, 则整个物质曲线的质量为i i i ni s M ∆=∑=→),(lim 1ηξρλ.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.定义 设L 为xOy 面内的一条光滑曲线弧, 函数f (x , y )在L 上有界. 在L 上任意插入一点列A 1, A 2, ⋅ ⋅ ⋅, A n -1把L 分在n 个小段. 设第i 个小段的长度为∆s i , 又(ξi , ηi )为第i 个小段上任意取定的一点, 作乘积f (ξi , ηi )∆s i , (i =1, 2,⋅。

弧长曲线积分公式是用于计算曲线弧长的公式。

对于参数方程表示的曲线，其弧长可以通过积分来计算。

具体的弧长曲线积分公式如下：
设曲线的参数方程为x = f(t)，y = g(t)，a ≤t ≤b，则曲线的弧长可以表示为：
L = ∫[a, b] √[f'(t)²+ g'(t)²] dt
其中，f'(t) 和g'(t) 分别表示参数方程x = f(t) 和y = g(t) 的导数。

该公式的思想是将曲线划分成无穷小的线段，然后对每个线段的长度进行求和，最终得到整个曲线的弧长。

需要注意的是，当曲线的参数方程难以直接求导时，可能需要使用其他方法来计算弧长，例如使用数值积分或近似计算方法。

§ 对弧长的曲线积分1、主要教学目标(1)对弧长的曲线积分的概念与性质 (2)对弧长曲线积分的计算(3)对弧长曲线积分的几何与物理意义及应用 2、重点内容对弧长曲线积分的计算 3、难点分析对弧长曲线积分的计算中，参数方程的确定及直角坐标、极坐标、参数方程三种情形下曲线积分计算公式 4、对教材的处理及其教学提示(1)注意教材在该部分的淡化，要注意考研的需求，介绍参考书； (2)注意线、面积分的性质局限在线性、可加、符号范畴；(3)曲线、曲面积分重在讲授转化成定积分的思想方法，定积分计算不宜过难； (4)注意构建第一类线、曲积分计算法与曲线长度、曲面面积计算的知识结构体系；5、作业布置 P190：3(2，3，5)教案内容一、问题的提出实例：曲线形构件的质量匀质之质量.s M ⋅=ρ 分割,,,,121i n s M M M ∆→-,),(i i i s ∆∈ηξ取.),(i i i i s M ∆⋅≈∆ηξρ求和.),(1∑=∆⋅≈ni i i i s M ηξρ近似值取极限.),(lim1∑=→∆⋅=ni iiis M ηξρλ精确值二、对弧长的曲线积分的概念与性质1.平面上对弧长的曲线积分y上对弧长的曲线积分在曲线弧则称此极限为函数这和的极限存在时长度的最大值如果当各小弧段的并作和作乘积点个小段上任意取定的一为第又个小段的长度为设第个小段分成把上有界在函数面内一条光滑曲线弧为设L y x f s f s f i s i n L L y x f xoy L ni i i i i i i i i i ),(,,0,),(,),(,),(,..),(,1→∆⋅∆⋅∆∑=ληξηξηξ.),(lim ),(,),(1∑⎰⎰=→∆⋅=ni i i i LL s f ds y x f ds y x f ηξλ即记作2.空间中对弧长的曲线积分上对弧长的曲线积分为在空间曲线弧函数Γ),,(z y x f.),,(lim ),,(1i ni i i i s f ds z y x f ∆⋅=∑⎰=→Γζηξλ3.曲线积分的存在性.),(,),(存在对弧长的曲线积分上连续时在光滑曲线弧当⎰L ds y x f L y x f4.分段光滑的曲线上对坐标的曲线积分)(,)(21L L L L +=Γ是分段光滑的或若.),(),(),(2121⎰⎰⎰+=+L L L L ds y x f ds y x f ds y x f5.闭曲线积分.),(),(⎰Lds y x f L y x f 为上对弧长的曲线积分记在闭曲线函数 6.对弧长的曲线积分的性质.),(),()],(),([)1(⎰⎰⎰±=±LLLds y x g ds y x f ds y x g y x f).(),(),()2(为常数k ds y x f k ds y x kf LL⎰⎰=.),(),(),()3(21⎰⎰⎰+=L L Lds y x f ds y x f ds y x f ).(21L L L +=三、对弧长的曲线积分的计算法1.定理(计算曲线积分的公式)的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设L L y x f ,),())((),(βαψϕ≤≤==t t y t x)()()()](),([),(,],[)(),(22βαψϕψϕβαψϕβα<'+'=⎰⎰dt t t t t f ds y x f t t L则上具有一阶连续导数在其中例1 ).(,sin ,cos :,象限第椭圆求I ⎩⎨⎧===⎰t b y t a x L xyds I L解答要点：dt t b t a t b t a I 2220)cos ()sin (sin cos +-⋅=⎰πdt t b t a t t ab 222220cos sin cos sin +=⎰π⎰-=ab du u b a ab 222)cos sin (2222t b t a u +=令.)(3)(22b a b ab a ab +++=2.其它计算公式.)(:)1(b x a x y L ≤≤=ψ.)(1)](,[),(2dx x x x f ds y x f baL⎰⎰'+=ψψ)(b a <.)(:)2(d y c y x L ≤≤=ϕ.)(1]),([),(2dy y y y f ds y x f dcL⎰⎰'+=ϕϕ)(d c <)().(),(),(:)3(βαωψϕ≤≤===Γt t z t y t x)()()()()](),(),([),,(222βαωψϕωψϕβα<'+'+'=⎰⎰Γdt t t t t t t f ds z y x f3.应注意的问题;.1βα一定要小于上限定积分的下限.,,),(.2而是相互有关的不彼此独立中y x y x f例2 .)2,1()2,1(,4:,2一段到从其中求-==⎰x y L yds I L解答要点：dy y y I 222)2(1+=⎰-.0= 例3 ⎰Γ=xyzds I 求，其中)20(,sin ,cos :πθθθθ≤≤===Γk z a y a x解答要点：⎰+⋅=πθθθθ20222sin cos d k a k a I .21222k a ka +-=π例4 ⎩⎨⎧=++=++Γ=⎰Γ.0,,22222z y x a z y x ds x I 为圆周其中求解答要点：由对称性, 知.222⎰⎰⎰ΓΓΓ==ds z ds y ds xxy 42=⎰Γ++=ds z y x I )(31222故⎰Γ=ds a 32.323a π=),2(球面大圆周长⎰Γ=ds a π例5 计算曲线积分dsz y x )(222++⎰Γ 其中为螺旋线x a cos t 、y a sin t 、z kt 上相应于t 从0到达2的一段弧解 在曲线上有x 2y 2z 2(a cos t )2(a sin t )2(k t )2a 2k 2t 2 并且 dt k a dt k t a t a ds 22222)cos ()sin (+=++-=于是ds z y x )(222++⎰Γ⎰++=π2022222)(dt k a t k a)43(3222222k a k a ππ++=四、几何与物理意义,),()1(的线密度时表示当L y x ρ;),(⎰=Lds y x M ρ;,1),()2(⎰=≡Lds L y x f 弧长时当,),(),()3(处的高时在点上的柱面表示立于当y x L y x f.),(⎰=Lds y x f S 柱面面积,)4(轴的转动惯量轴及曲线弧对y x .,22⎰⎰==Ly L x ds y I ds x I ρρ曲线弧的重心坐标)5(.,⎰⎰⎰⎰==LL L L dsds y y dsds x x ρρρρ 五、小结1、对弧长曲线积分的概念2、对弧长曲线积分的计算3、对弧长曲线积分的应用sL。

对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分曲线积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来计算沿着曲线的某个向量场的积分。

曲线积分可以分为对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分两种类型。

对弧长的曲线积分是指在曲线上沿着曲线的方向对向量场进行积分。

这种积分通常用来计算曲线上的物理量，比如曲线的长度、质量、电荷等。

对弧长的曲线积分可以表示为：∫Cf(x,y,z)ds其中，f(x,y,z)是曲线上的向量场，ds表示曲线上的微小弧长元素。

这个积分可以通过参数化曲线来计算，即将曲线表示为参数方程x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，然后将ds表示为dt的函数，即ds=√(dx/dt)^2+(dy/dt)^2+(dz/dt)^2dt，然后将f(x,y,z)表示为x(t)，y(t)，z(t)的函数，最后对t进行积分即可。

对坐标的曲线积分是指在曲线上沿着一个固定的方向对向量场进行积分。

这种积分通常用来计算曲线上的势能、电势等。

对坐标的曲线积分可以表示为：∫Cf(x,y,z)·dr其中，f(x,y,z)是曲线上的向量场，r表示曲线上的位置向量。

这个积分可以通过参数化曲线来计算，即将曲线表示为参数方程x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)，然后将r表示为x(t)，y(t)，z(t)的函数，即r=<x(t),y(t),z(t)>，然后将f(x,y,z)表示为x(t)，y(t)，z(t)的函数，最后对t进行积分即可。

曲线积分是微积分中的一个重要概念，它可以用来计算沿着曲线的某个向量场的积分。

对弧长的曲线积分和对坐标的曲线积分是两种不同的积分类型，它们分别用来计算曲线上的物理量和势能等。

在实际应用中，曲线积分经常用于计算电场、磁场、流体力学等领域中的物理量。