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2021.12科学技术创新伴随着科学技术的快速发展，机械设计产品更新换代速度不断加快，要求在缩短产品设计周期的同时提高产品设计质量。
而机械产品结构、功能的日渐复杂，给机械设计带来了困难。
运用非线性动力学分析方法及多学科理论解决高维复杂非线性动力学系统动态分析问题，为机械结构优化设计提供有效途径。
因此应加强机械设计中的非线性动力学分析与动态优化设计研究，从而根据力和运动关系加快机械产品优化改进。
1机械设计中的非线性动力学分析1.1机械系统振动分析在轴承、螺旋桨等旋转机械转动的过程中，将产生固有振动频率，与之装配在一起的结构同样会产生振动频率，可能引发结构共振问题，造成机械设备运动期间产生较大振动力，给机械性能带来影响。
因为机械结构局部承受较大振动力，经过长时间运转后会引发结构疲劳现象，容易造成结构断裂、损坏。
而振动问题也属于非线性动力学问题，因为在不同方向上拥有不同振动源。
通过分析机械在力作用下的运动及运动过程中产生的力，能够根据二者关系找到设备存在的缺陷，通过优化结构实现机械运动性能改进。
以轴承系统为例，发生的振动可以划分为扭转振动、回转振动和纵向振动。
按照轴系运动模式，可以确定振动来自螺旋桨和主机两端，受不均匀扭转和不稳定功率输出等因素影响，将给轴系运行带来安全威胁[1]。
实现结构固有振动频率与运转频率分隔，设置合理裕度值，能够防止共振事件的发生，保证系统安全运行。
如万吨级船舶轴系需要维持低转速，确保推力和扭矩值达到预设，因此每秒只有十几转。
在固有频率较低的情况下，根据亚谐振动原理，为避免低阶临界转速现象出现，应设置较大裕度，确保结构无法达到共振效果。
1.2机构运动弹塑性分析随着现代机械向着高精度、高效化的方向发展，机械设备运转速度不断加快，对机械系统材料、几何特性等都提出了一定要求，在构建动力模型时需要完成应力、应变、频率等各种参数计算，确保系统能够达到理想动态特性。
其中，复杂连杆形状带有任意性，边界条件也会随时调整，在给定频率、材料特性等参数条件下，需要对机构运动弹塑性展开分析，以免在动态环境下出现弹性运动与刚性运动耦合问题，造成连杆机构出现低阶临界转速问题。
振动系统的自由度和阻尼对振动的影响如何一、振动系统的自由度振动系统的自由度是指系统在空间中独立运动的数量。
在物理学中，一个自由度通常指的是一个物体在某个参考系下可以独立运动的程度。
对于振动系统来说，自由度决定了系统的复杂程度和可能的状态。
1.单自由度系统：指系统在空间中只能沿一个方向或一个轴进行振动。
例如，一根弹簧振子就是一个单自由度系统。
2.多自由度系统：指系统在空间中有多个方向或多个轴可以进行振动。
例如，一个弹簧-质量系统，如果它可以在三维空间中的任意方向振动，则它是一个三自由度系统。
二、阻尼对振动的影响阻尼是振动系统中能量耗散的机制，它会使振动的振幅逐渐减小，直至振动停止。
阻尼对振动的影响主要表现在以下几个方面：1.阻尼比：阻尼比是描述阻尼特性的一个参数，定义为阻尼力与恢复力的比值。
阻尼比越大，系统的振动衰减越快，振幅减小得越迅速。
2.阻尼对振动幅值的影响：在初始阶段，阻尼对振动幅值的影响较小，但随着振动时间的增加，阻尼作用逐渐明显，振幅逐渐减小。
3.阻尼对振动周期的影响：阻尼对振动周期没有直接影响，振动周期仅与系统的弹性特性和质量有关。
4.阻尼对振动稳定性的影响：适当的阻尼可以提高振动的稳定性，防止系统发生过度振动或共振。
然而，过大的阻尼可能会导致系统过早地停止振动，影响某些应用中的振动性能。
三、自由度和阻尼的相互作用自由度和阻尼的相互作用表现在以下几个方面：1.自由度越多，系统可能出现的振动状态越多，同时阻尼对振动的影响也越复杂。
2.在多自由度系统中，各个自由度之间的振动可能会相互耦合，使得系统的振动特性更加复杂。
3.阻尼的存在可能会影响自由度之间的耦合关系，从而改变系统的振动特性。
综上所述，振动系统的自由度和阻尼对振动的影响是多方面的，它们相互作用决定了系统的振动特性。
了解这些知识点有助于我们更好地分析和解决实际问题。
习题及方法：1.习题：一个单自由度弹簧振子在无阻尼状态下做简谐振动，其质量为m，弹簧常数为k，振动的初始位移为A。
数控机床的动态特性概述李凯旋研究机床动态特性的重要性和必要性现代机床正向高速，大功率，高精度的方向发展，除了要求机床重量轻，成本低，使用方便和具有良好的工艺性能外，对机床的加工性能要求也愈来愈高。
机床的加工性能与其动态特性紧密相关。
由于受到理论分析和测试实验手段落后的限制，传统的机床设计的主要依据是静刚度和静强度，对机床的动态特性考虑较少。
结果常常是以较大的安全系数加强机床结构。
导致机床结构尺寸和重量加大。
并不能从根本上改观机床的动态特性。
机床的动态特性的基本概念机床的动态性能是指机床运转之后振动、噪声、热变形与磨损等性能的总称。
但长期以来主要指的是机床的振动性能，即主要指机床抵抗振动的能力。
【1】⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===振型）振型（一阶振型，二阶变形大小）动态柔度变形的能力。
动刚度：动载荷下抵抗变形的能力。
静刚度：静载荷下抵抗为临界阻尼系数为阻尼系数，阻尼比）（固有角频率固有频率(/1r r ,r/r 2/f f co co n n n n d k ωξπωω机床结构的动态特性参数主要参数包括固有频率，阻尼比，振型，动刚度等。
机床的动态分析主要是研究抵抗振动的能力，包括抗振性和切削稳定性，【2】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧切削自激振的能力）切削稳定性（机床抵抗主要零件的固有频率阻尼特性机床的结构刚度振动的能力）抗振性（机床抵抗受迫激振力：由回转的不平衡质量作为振动系统的振动源产生的周期性简谐振动。
【1】诸乃雄，机床动态设计原理与应用[M]上海：同济大学出版社，1987:1-3【2】陈雪瑞，金属切削机床设计[ M ] 太原: 山西科学教育出版社, 1988.147-151主要指标外力的激励频率与物体的固有频率相等时，物体的振动形态成为主振型或一阶振型。
外力的激励频率是物体固有频率二倍时，物体的振动形态为二阶振型，以此类推.......机床的动态特性基本概念抗振性的衡量标准一般用产生单位振动量所需要的激振力表示。
第8章机械振动测试与分析8.1 概述机械振动是自然界、工程技术和日常生活中普遍存在的物理现象。
各种机器、仪器和设备运行时，不可避免地存在着诸如回转件的不平衡、负载的不均匀、结构刚度的各向异性、润滑状况的不良及间隙等原因而引起受力的变动、碰撞和冲击，以及由于使用、运输和外界环境下能量传递、存储和释放都会诱发或激励机械振动。
所以说，任何一台运行着的机器、仪器和设备都存在着振动现象。
在大多数情况下，机械振动是有害的。
振动往往会破坏机器的正常工作和原有性能，振动的动载荷使机器加速失效、缩短使用寿命甚至导致损坏造成事故。
机械振动还直接或间接地产生噪声，恶化环境和劳动条件，危害人类的健康。
因此，要采取适当的措施使机器振动在限定范围之内，以避免危害人类和其他结构。
随着现代工业技术的发展，除了对各种机械设备提出了低振级和低噪声的要求外，还应随时对生产过程或设备进行监测、诊断，对工作环境进行控制，这些都离不开振动测量。
为了提高机械结构的抗振性能，有必要进行机械结构的振动分析和振动设计，找出其薄弱环节，改善其抗振性能。
另外，对于许多承受复杂载荷或本身性质复杂的机械结构的动力学模型及其动力学参数，如阻尼系数、固有频率和边界条件等，目前尚无法用理论公式正确计算，振动试验和测量便是唯一的求解方法。
因此，振动测试在工程技术中起着十分重要的作用。
振动测试的目的，归纳起来主要有以下几个方面：(1) 检查机器运转时的振动特性，以检验产品质量；(2) 测定机械系统的动态响应特性，以便确定机器设备承受振动和冲击的能力，并为产品的改进设计提供依据；(3) 分析振动产生的原因，寻找振源，以便有效地采取减振和隔振措施；(4) 对运动中的机器进行故障监控，以避免重大事故。
一般来讲，振动研究就是对“机械系统”、“激励”和“响应”三者已知其中两个，再求另一个的问题。
振动研究可分为以下三类：(1) 振动分析，即已知激励条件和系统的振动特性，欲求系统的响应；(2) 系统识别，即已知系统的激励条件和系统的响应，要确定系统的特性，这是系统动态响应特性测试问题；(3) 环境预测，即已知系统的振动特性和系统的响应，欲确定系统的激励状态，这是寻求振源的问题。
目 录第一部分 考研真题精选2008年同等学力申硕《机械工程学科综合水平全国统一考试》真题及详解2009年同等学力申硕《机械工程学科综合水平全国统一考试》真题及详解2010年同等学力申硕《机械工程学科综合水平全国统一考试》真题及详解第二部分 章节题库第一章 机械工程控制基础第二章 机械动力学基础第三章 现代设计方法第四章 CAM和先进制造技术第五章 机电一体化技术第六章 机车车辆动力学第七章 汽车动力学第一部分 考研真题精选2008年同等学力申硕《机械工程学科综合水平全国统一考试》真题及详解注：本试卷满分为100分，其中第一部分必考题60分，每位考生必答；第二部分选考题40分，共五组试题，任选一组作答。
多选者只按首选计分。
第一部分 必考题（两组，共60分）A组（共30分）一、填空题（本大题共8空，每空1分，共8分）1控制系统的基本性能要求一般有______、______和______。
【答案】稳定性；快速性；准确性【解析】本题的考点是控制系统的基本性能要求，通常指稳定性、快速性和准确性。
2若系统的______是线性的，则这种系统是______，线性系统最重要的特性是______原理。
【答案】数学模型的表达式；线性系统；可以运用叠加本题的考点是线性系统的定义和特征。
线性系统指数学模型表达式是线性的系统；【解析】线性系统可以运用叠加原理，即系统在多个外加作用下的响应等于各个外加作用单独作用下的响应之和。
3方块图是系统中各环节的功能和信号流向的图解表示方法，由______、______和分支点等构成。
【答案】基本方块；相加点【解析】本题的考点是方块图的定义。
方块图表示系统中各环节的功能和信号流向，包括基本方块、相加点和分支点。
二、简答题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）1试解释机械工程系统中的信息传递、反馈及反馈控制。
【答案】（1）信息及信息传递①信息：指所有能表达一定含义的信号、密码、情报和消息。
第50 卷第 6 期2023年6 月Vol.50，No.6Jun. 2023湖南大学学报（自然科学版）Journal of Hunan University（Natural Sciences）单自由度主动磁悬浮轴承-转子系统输入时滞稳定性研究金超武†，马彦超，周瑾，徐园平，叶周铖（南京航空航天大学机电学院，江苏南京 210016）摘要：为了研究控制器的输入时滞对主动磁悬浮轴承-转子系统稳定性与动态性能的影响，建立具有输入时滞的主动磁悬浮轴承-转子系统等效模型，并通过分析系统内Hopf分岔的存在性条件得到主动磁悬浮轴承-转子系统失稳时临界时滞的近似值. 利用MATLAB/Simu⁃link仿真分析控制参数对系统稳定性的影响，进一步验证Hopf分岔的存在性，从系统幅频特性和相频特性的角度探究输入时滞对闭环系统抑制外部干扰能力的影响规律，对仿真内容进行实验验证. 结果表明，输入时滞的增加导致系统发生Hopf分岔，并使闭环系统的幅频响应曲线峰化现象加剧，降低系统的稳定性. 对于PID控制器来说，增大比例增益、减小微分增益将放大输入时滞对系统稳定性的影响.关键词：输入时滞；主动磁悬浮轴承-转子；稳定性；Hopf分岔中图分类号：TH133.3 文献标志码：AResearch on Input Time Delay Stability of Single Degree of Freedom ActiveMagnetic Bearing-rotor SystemJIN Chaowu†，MA Yanchao，ZHOU Jin，XU Yuanping，YE Zhoucheng（College of Mechanical and Electrical Engineering， Nanjing University of Aeronautics and Astronautics， Nanjing 210016，China）Abstract：To study the influence of the input time delay of the controller on the stability and dynamic performance of the active magnetic bearing-rotor system， an equivalent model of the active magnetic bearing-rotor control system with input time delay is established，and the approximate value for the critical delay of the active magnetic bearing-rotor system is obtained by analyzing the existing conditions of Hopf bifurcation in the system. The influence of control parameters on system stability is analyzed by MATLAB/Simulink simulation， and the existence of Hopf bifurcation is further verified. The influence of input time delay on the ability of closed-loop systems to suppress external interference is explored from the perspective of system amplitude-frequency characteristics and phase frequency characteristics. Finally，experimental verification is carried out on the simulation content. The results show that the increase of the input time delay will leads to the Hopf bifurcation of the system. The peaking phenomenon of the amplitude-frequency response curve of the closed-loop system is aggravated， and the stability of∗收稿日期：2022-08-29基金项目：国家自然科学基金资助项目（51875275，52275059）， National Natural Science Foundation of China（51875275，52275059）；江苏省重点研发计划项目（BE2019122）， Key Research and Development Plan of Jiangsu Province（BE2019122）；江苏省第十六批“六大人才高峰”高层次人才项目（JNHB-041）， The 16th Batch of “Six Talent Peaks” High-level Talent Projects in Jiangsu Province（JNHB-041）作者简介：金超武（1980—），男，湖南长沙人，南京航空航天大学副教授，博士† 通信联系人，E-mail：******************.cn文章编号：1674-2974（2023）06-0127-10DOI：10.16339/ki.hdxbzkb.2023177湖南大学学报（自然科学版）2023 年the system is reduced. For PID controller， increasing the proportional gain and decreasing the differential gain can amplify the influence of input delay on system stability.Key words：input time delay；active magnetic bearing-rotor；stability；Hopf bifurcation主动磁悬浮轴承（Active Magnetic Bearing，AMB）利用可控电磁力将转子悬浮在设定的工作位置，因其具有无机械接触、高转速、低功耗、可在线检测以及可主动控制等优点而得以在压缩机、膨胀机等高速旋转机械中广泛应用［1］. 当用于控制与驱动AMB的电子设备对环境比较敏感，需将相关电子设备与磁悬浮轴承本体进行分离时（例如深海钻井平台、风力发电等应用场所），由于控制系统与执行单元的分布设置，控制回路中的时滞量进一步增加，这将导致系统内的时滞问题更加凸显［2］，严重时甚至导致系统失稳. 在主动磁悬浮轴承-转子系统中，控制器内控制算法运算执行、信号在功率放大器电路中的传导转换等因素的存在，使得输入磁悬浮轴承的控制电流内存在一定的时滞，该时滞称为控制器输入时滞［3］（后文简称输入时滞）. 在输入时滞的影响下，主动磁悬浮轴承-转子系统将表现出复杂的动力学行为，如周期、拟周期以及混沌等形式［4］，并且随着转速的提高以及对系统动力学行为的研究要求越来越精细，有关时滞对系统影响的研究显得愈发迫切.近30年来，针对主动磁悬浮轴承-转子系统中的时滞问题，众多学者对此进行了许多突破性的研究，为研究系统时滞问题采用各类数值分析方法，提供强有力的分析工具. 为了分析时滞系统的动力学特性，Ruan等［5］利用特征值法对Hopf分岔的分岔方向、振幅以及周期等方面进行了研究，并概括了切实可行的计算公式. 在此基础上，Wang等［6］对特征方程的一些临界情况，例如零点为单根或双根等进行了讨论，并研究了在上述情况下不动点的稳定性和零解附近的动力学问题. 利用所得的基本定理，可以很好地判断该类磁悬浮轴承系统Hopf分岔的存在性以及平衡点的渐近稳定性.Xu等［7］将具有时滞的主动磁悬浮轴承-转子系统作为研究对象，对系统的稳定性和分岔存在情况进行了研究，并进行了动力学方面的分析. 王珍［8］研究了一类具时滞的磁悬浮系统模型，对系统平衡点的稳定性和Hopf分岔等进行了分析，并研究了系统时滞量、比例增益以及微分增益等参数对系统动力学性质的影响规律. Su 等［9］对基于PD控制的AMB系统的时滞问题进行了研究，讨论了系统时滞对磁悬浮轴承系统的影响，推导了引起系统不稳定的最大延迟时间的显式公式和数值解，并给出了单自由度AMB系统时滞效应的数值模拟结果. 郑凯等［10-11］对AMB系统进行了时滞动力学建模，发现即使是控制反馈回路中的微小时滞也会对高速转子系统的稳定性产生重大影响. Li等［12］利用数值方法研究了速度反馈控制回路的时滞对单自由度AMB系统强迫振动的影响，验证了时滞增加将使稳定周期运动的幅度增大，系统可能会出现失控现象.上述研究表明，时滞将影响主动磁悬浮轴承-转子系统的性能及稳定性. 但是，当前对于主动磁悬浮轴承-转子系统的时滞研究主要存在两大局限性：①大多是从单一角度研究时滞对主动磁悬浮轴承-转子系统的影响，未从多角度进行体系化的研究；②大多集中在理论研究层面，试验研究匮乏.针对上述局限性，本文对基于PID控制的主动磁悬浮轴承-转子系统的输入时滞问题开展研究，从控制器参数、Hopf分岔以及闭环系统幅频、相频特性等多个角度研究输入时滞对系统稳定性的影响，并进行了相关仿真与实验. 通过对输入时滞系统稳定性进行多角度的分析，为实际工程应用中的控制器参数调试提供指导，降低输入时滞对系统稳定性的影响.1 理论分析1.1 主动磁悬浮轴承-转子系统临界时滞图1为具有输入时滞的AMB-转子系统等效模型，主要包含控制器、功率放大器、电磁铁-转子以及位移传感器等.将输入时滞引入系统后，该系统的运动微分方程可表示为：()()()t-+=tiktxktxm x ix&&（1）式中：m为转子质量；x（t）为转子位移；τ为输入时滞；ix为控制电流；k x、k i分别表示AMB的位移刚度和电流刚度. i x（t）可进一步表示为：128第 6 期金超武等：单自由度主动磁悬浮轴承-转子系统输入时滞稳定性研究i x (t )=-k s k a éëêêùûúúk P x (t )+k I ∫0tx (t )d t +k D d x (t )d t （2）式中：k s 为位移传感器增益；k a 为功率放大器增益；k P 、k I 以及k D 分别表示PID 控制器的比例增益、积分增益以及微分增益. 联立式（1）和式（2）进行拉普拉斯变换，得到系统特征方程为：ms 2=k x -k i k s k a ()k P +k I1s+k D s e -τs （3）当τ值较小时，基于等价无穷小原理，将式（3）中的e -τs替换为1-τs 后，可进一步得：()m -k i k sk ak Dτs 3+()k i k sk ak D-k ik sk ak Pτs 2+()-k x+k ik sk ak P-k ik sk ak Iτs +k i k sk ak I=0 （4）由劳斯方程可知，系统稳定的充要条件是其特征方程的全部系数及劳斯表的第一列元素均为正数. 因此可以得到不等式组：ìíîïïïïïïïïïïïïïm -k i k s k a k D τ>0k i k s k a k D -k i k s k a k P τ>0-k x +k i k s k a k P -k i k s k a k I τ>0k i k s k a k I >0()k i k s k a k D -k i k s k a k P τ× ()-k x +k i k s k a k P -k i k s k a k Iτ- k i k s k a k I (m -k i k s k a k D τ)>0（5）对式（5）求解得：ìíïïïïïïïïïïïïïïïτ1<m k i k s k a k D τ2<k D k P τ3<-k x +k i k s k a k P k i k s k a k I τ4<k i k s k a k P -k x 2k i k k k -（6）值得注意的是，由于在式（4）中采用了近似替换，本节后续推导得到的临界时滞为近似值. 基于式（6）可知，系统临界时滞的近似值τ临=min （τ1， τ2， τ3， τ4）.1.2 Hopf 分岔时滞常使系统出现各种形式的分岔及混沌运动，而Hopf 分岔点是系统由定常状态通向复杂动力学状态的门槛，所以Hopf 分岔的研究最为广泛. Hopf 分岔是指参数在变化过程中经过分岔值τ0时，系统由定点稳定性突变产生极限环的现象，也是一种重要的动态分岔现象，如图2所示. 初始状态稳定的系统在发生Hopf 分岔时，其特征值的实部由负经分岔值（特征值实部为0）变为正，系统平衡点的稳定性将发生变化. Hopf 分岔发生时处于稳定与失稳之间的临界稳定状态，此时系统的稳定运行将无法得到保证. Hopf 分岔是时滞在恶化系统稳定性时所表现出来的重要的动力学特征，同时亦是众多学者对于时滞问题的研究重点. 因此，在研究时滞系统的稳定性时，有必要对Hopf 分岔进行研究.Hopf 分岔存在时要满足两个重要的条件：一是系统在特定参数下存在一对共轭纯虚根；二是满足横截条件，即根轨迹穿越虚轴时速度不为0，换言之，根轨迹在穿越虚轴时特征值实部的导数不为0［13］.1.2.1 Hopf 分岔的存在性分析假设系统特征方程存在一对共轭纯虚根，记为s =i ω（ω=±α，α>0），将其代入式（3），得-i ()mω3=i ()k x ω- k ik sk a[]i ()k Pω+kI-k D ω2e i τω（7）联立欧拉公式e i x =cos x +i sin x ，并分离实部、虚部后得到方程组：ìíîïï()r -dω2cos (τω)+pωsin (τω)=0pωcos (τω)()r -dω2sin (τω)=ω3-qω （8）式中：图2 Hopf 分岔过程Fig.2 Hopf bifurcation process图1 具有输入时滞的AMB-转子系统等效模型Fig.1 Equivalent model of AMB-rotor control system withinput time delay129湖南大学学报（自然科学版）2023 年d =k i k s k a k D m ；p =k i k s k a k P m ；q =-k x m ；r =k i k s k a kI m.将式（8）中两式的两边同时平方再相加，得()r -dω22+p 2ω2=ω2()ω2-q2（9）由于sin 2(τω)+cos 2(τω)=1，与式（8）联立，并令 t =ω2（t >0），得Z (t )=t 3+at 2+bt +c =0（10）式中：a =-2q -d 2；b =q 2-p 2+2dr ；c =-r 2.因此，系统特征方程存在一对共轭纯虚根等价于式（10），存在正实根.由于lim t →0+Z (t )=c <0lim t →+∞Z (t )=+∞>0（11）由零点存在性定理可知，式（10）至少存在一个正实根t 0，相应地系统特征方程至少存在一对共轭纯虚根s =±i t 0，此时系统内的输入时滞记为τ0.1.2.2 横截条件的满足性分析要证明该系统满足横截条件，即根轨迹穿越虚轴时速度不为0，只要考虑根轨迹在穿越虚轴时特征值实部的导数不为0，即证明|Re ()d s /d ττ=τ0≠0.本节讨论|Re ()d s /d ττ=τ0≠0的成立条件.()d s d τ-1=()3s 2+q -τ()ds 2+ps +r e -τss ()ds 2+ps +r e-τs+()2ds +p e -τss ()ds 2+ps +r e-τs（12）联立式（3）和式（12）得：()d s d τ-1=3s 2+qs 2()s 2+q+2ds +ps ()ds 2+ps +r-τs（13）将τ=τ0，s =i ω代入式（13），并求实部，得Re ()d s d τ-1 |||τ=τ0s =i ω=-3ω2+q ω2()-ω2+q +-p 2ω2+2dω2()r -dω2ω2[]p 2ω2+()r -dω22（14）假设Re （d s /d τ）|τ=τ0≠0，联立式（9）和式（14），得Re()d s d τ-1||||τ=τ0s =i ω=3ω4-4qω2+q 2+2dr ω2()ω2-q2-2d 2ω2+p 2ω2()ω2-q2=3ω4+2aω2+b ω2()ω2-q2=H'(t )|t =ω2ω2()ω2-q2≠0（15）由于式（15）中分母不能为0，在后续仿真中只须证明H'(t )|t =ω2≠0成立，即可证明系统满足Re （d s /d τ）|τ=τ0≠0的横截条件.2 仿真分析2.1 Hopf 分岔存在性数值仿真结合1.1节和1.2.1节的分析可知，系统特征方程存在一对共轭纯虚根. 表1为AMB-转子系统主要参数. PID 控制器的k P =2.2、k I =1、k D =0.001 5，通过对式（6）~式（15）进行计算，得τ临、τ0、ω的理论近似值分别为0.681 ms 、0.646 ms 、592 rad/s. 由此得到Hopf分岔对应频率为：|f ≈94 Hz ，Z'(t )t =ω2≈2.59×1011≠0（16）在某一确定参数τ下，系统特征值存在一对共轭纯虚根且满足横截条件. 因此，系统将发生Hopf分岔.本节以前文中理论分析为指导，对Hopf 分岔的存在性进行数值仿真，Hopf 分岔后极限环幅值随输入时滞的变化曲线如图3所示. 从图3中可以看出，τ0为0.643~0.644 ms ，与理论计算值0.646 ms 非常接近；Hopf 分岔发生后，极限环的幅值随着输入时滞的增加而增大. 为了清晰地呈现出Hopf 分岔过程，本节分别对τ=0.610 ms （τ<τ0）、τ=0.644 ms （τ0<τ<τ临）以及τ=0.700 ms （τ>τ临）3种状态下各自对应的系统相轨迹进行分析.图4为τ=0.610 ms 时Hopf 分岔前系统相轨迹. 由图4可知，当τ<τ0时，系统最终将收敛至一点，此时系统是稳定的，即1.2节提到的“定点稳定性”. 图5为τ=0.644 ms 时Hopf 分岔时系统的响应. 由图5（a ）~图5（d ）可知，在τ>τ0且τ<τ临时，系统发生了Hopf 分表1 AMB-转子系统主要参数Tab.1 Main parameters of AMB-rotor system参数转子质量/kg 电流刚度k i /（N·A -1）位移刚度k x /（N·m -1）功放增益系数k a /（N·V -1）位移传感器增益k s /（V·m -1）单边气隙δ0/mm 比例增益k P 积分增益k I微分增益k D数值2.06739.181.09×1050.44820 0000.42.210.001 5130第 6 期金超武等：单自由度主动磁悬浮轴承-转子系统输入时滞稳定性研究岔，最终获得了稳定的周期解，并产生了极限环. 当系统初始时刻位于极限环内部时，相轨迹将由内向外逐渐接近极限环；反之，相轨迹将由外向内逐渐接近极限环. 由图5（e ）可知，当系统发生Hopf 分岔时，频谱主要包含极限环运行频率对应谱线，即94 Hz 的主频谱线，该频率与理论计算值几乎一致. 此外，频谱图中还包含主频的倍频谱线，此处主要为主频的 3倍频谱线.仿真结果表明，当τ>τ临≈0.681 ms 时，系统相轨迹将发散失稳，但是在τ接近τ临时系统的发散趋势缓慢. 为了清晰地呈现相轨迹发散失稳的过程，τ=0.700 ms 时极限环破裂后系统相轨迹，如图6所示. 结合图5（a ）~图5（d ）和图6可以看出，随着输入时滞的进一步增加，极限环发生破裂，相轨迹发散失稳.2.2 控制参数对时滞系统稳定性的仿真分析由式（6）中的τ3、τ4可知，k I 主要位于分母，而k x位于分子且其量级较大，弱化了k I 对系统临界时滞的影响. 因此，本节在满足相关控制参数均可保证实际系统在无时滞干扰下稳定运行的这一条件下，主要分析PID 控制器中比例增益及微分增益对时滞系统稳定性的影响，详细研究了如何通过调整控制参数，提高系统稳定裕度，使系统在工程应用中远离临界稳定区域.2.2.1 比例增益对时滞系统稳定性的仿真分析PID 控制器的k I =1、k D =0.001 5、k P 分别取2.0、2.2以及2.4，输入时滞τ从0变化到0.700 ms ，变化步图3 Hopf 分岔后极限环幅值随输入时滞的变化曲线Fig.3 Limit ring amplitude curve with input time delay afterHopf bifurcation图4 τ=0.610 ms 时Hopf 分岔前系统相轨迹Fig.4 System trajectory before Hopf bifurcation at τ=0.610 ms（a ）极限环内时域图 （b ）极限环内相轨迹图（c ）极限环外时域图 （d ）极限环外相轨迹图（e ）频谱图图5 τ=0.644 ms 时Hopf 分岔时系统的响应Fig.5 Response of system whenHopf bifurcation at τ=0.644 ms图6 τ=0.700 ms 时极限环破裂后系统相轨迹Fig.6 System trajectory after limit ring rupture at τ=0.700 ms131湖南大学学报（自然科学版）2023 年长为0.02，对式（3）求解得到系统的特征根，并绘制出不同k P 下系统随τ变化的根轨迹如图7所示.由图7可以看出，系统特征值由一实根和一对共轭复根组成，当k P 一定时，随着τ的增加，该实根保持不变，而共轭复根发生变化. 随着k P 的增加，由共轭复根组成的两组特征根逐渐从左半平面靠近虚轴，并最终越过虚轴进入右半平面，导致系统失稳. 为了更直观地说明k P 变化对时滞系统稳定性的影响，对τ=0.644 ms 、k P 分别取2.0、2.2及2.4时系统相轨迹的变化情况进行分析，如图8所示.从图8中可以看出，随着k P 的增加，系统的相轨迹由内向外逐渐从定点稳定变为稳定周期运动，最后变为发散失稳，更加形象地说明了k P 的增加将放大输入时滞对系统稳定性的影响，对时滞系统的稳定性具有阻碍作用. 此外，将系统不出现正实部特征根时对应的输入时滞（即临界时滞）定义为该系统的稳定裕度. 为了准确地分析系统的稳定裕度，将输入时滞τ调整为0~1.5 ms ，k P 为1.0~2.5，求解得到不同k P 下系统稳定裕度的变化情况，如图9所示. 从图9中可以看出，随着k P 的增加，系统的稳定域逐渐收窄. 结合式（5）分析可知，随着k P 增大，系统的稳定裕度将由不等式τ2决定，此时k P 与系统稳定裕度呈反比关系，这表明k P 的增加将放大输入时滞对系统稳定性的影响，对时滞系统稳定性起阻碍作用.2.2.2 微分增益对时滞系统稳定性的仿真分析为分析k D 对系统稳定性的影响，PID 控制器中k P =2.2、k I =1、k D 分别取0.001 0、0.001 5以及0.002 0，τ从0变化到0.700 ms ，变化步长为0.02，对式（3）求解得到系统的特征根，并绘制出不同k D 下系统随τ变化的根轨迹，如图10所示.从图10中可以看出，当k D 一定时，随着τ的增加，该实根保持不变，而共轭复根发生变化. 随着k D 的增加，由共轭复根组成的两组特征根逐渐从右半图7 不同k P 下系统随τ变化的根轨迹图Fig.7 Root locus diagram of system over τ at different kP（a ）k P =2.0 （b ）k P =2.2（c ）k P =2.4图8 τ=0.644 ms 时不同k P 下系统的相轨迹对比Fig.8 Phase trajectory comparison of systems under different k Pat τ=0.644 ms图9 k P 对时滞系统稳定性的影响Fig.9 Effect of k Pon stability of time-delay system图10 不同k D 下系统随τ变化的根轨迹图Fig.10 Root locus diagram of system over τ at different k D132第 6 期金超武等：单自由度主动磁悬浮轴承-转子系统输入时滞稳定性研究平面靠近虚轴，并最终越过虚轴完全进入左半平面，系统由不稳定状态变为稳定状态. 为了更直观地说明k D 变化对时滞系统稳定性的影响，对τ=0.644 ms 、k D 分别取0.001 0、0.001 5及0.002 0时系统相轨迹的变化情况进行了分析，如图11所示.从图11中可以看出，随着k D 的增加，系统的相轨迹由外向内逐渐从发散失稳变为稳定周期运动，最后变为定点稳定，更加形象地说明了k D 的增加有利于提高时滞系统的稳定性.为了准确地分析系统的稳定裕度，将输入时滞τ调整为0~1.5 ms ，k D 为0.001~0.002，求解得到不同k D 下系统稳定裕度的变化情况，如图12所示. 从图12中可以看出，随着k D 的增加，时滞系统的稳定域呈线性增加趋势. 结合式（5）分析可知，由于k D 值较小，系统的稳定裕度由不等式τ2决定，即k D /k P ，k D 位于分子，因此，k D 与系统的稳定裕度呈线性关系，这也表明适当增加k D 将弱化输入时滞对于系统稳定性的影响.2.3 输入时滞对闭环系统幅频、相频特性的影响主动磁悬浮轴承-转子系统是开环不稳定系统，且系统的工作环境复杂，外部存在较多的多源信号干扰. 考虑到系统的频率响应可以显示出该动态系统诸如谐振、相移等许多重要性质和特点，因此本节分别对不同输入时滞下的主动磁悬浮轴承-转子闭环系统进行扫频仿真，旨在探究输入时滞对系统幅频特性和相频特性的影响，进而确定输入时滞对闭环系统抑制外部干扰能力的影响规律. 主动磁悬浮轴承-转子闭环系统的扫频示意图如图13所示，通过在闭环系统的输入端叠加正弦扫频信号，即激振信号，使闭环系统内各环节均叠加有与该激振信号同频的信号；而后同时采集输入端的激振信号以及输出端的位移响应信号；最后将采集的信号利用离线快速傅里叶变换处理得到整个主动磁悬浮轴承-转子闭环系统在相应频率下的幅频特性和相频特性. 该闭环系统幅频和相频响应随输入时滞变化的曲面图分别如图14和图15所示.从图14可以看出，随着输入时滞的增加，系统谐振频率的峰值显著增大，系统幅频响应曲线的峰化现象加剧，使系统稳定周期运动的幅度增大，反映出系统对外部干扰的反应愈发强烈，同时表明系统的稳定性在此过程中明显恶化. 从图15可以看出，随着输入时滞的增加，相频响应曲线逐渐靠近并最终穿越-180°平面，且穿越该平面时对应的频率以形如幂函数（其指数小于0）的形式逐渐减小，系统变得愈发不稳定. 综合上述两点可以看出，随着输入时滞的增加，闭环系统抑制外部干扰的能力减弱，即系统稳定性下降.（a ）k D =0.002 0 （b ）k D =0.001 5（c ）k D =0.001 0图11 τ=0.644 ms 时不同k D 下系统的相轨迹对比Fig.11 Phase trajectory comparison of systems under differentk D at τ=0.644 ms图13 闭环系统的扫频示意图Fig.13 Sweep frequency diagram of closed loop system图12 k D 对时滞系统稳定性的影响Fig.12 Effect of k D on stability of time-delay system133湖南大学学报（自然科学版）2023 年3 实验研究3.1 实验设备介绍本实验基于磁悬浮轴承-转子实验台进行，其中主要包含控制器、上位机、变频器、功率放大器、传感器板、电源开关、磁悬浮轴承-转子系统、示波器.AMB-转子系统实验平台如图16所示. 基于数字信号处理和控制工程（digital Signal Processing and Con⁃trol Engineering ， dSPACE ）进行控制算法的实现以及信号在线分析，其采样频率设置为20 kHz ，利用PID 控制器使转子稳定悬浮. 为了模拟压缩机等磁悬浮旋转机械在远程运行时产生的传输延时，在该实验台的控制回路中人为增加一延时环节作为外部输入时滞.后文所提时滞均指人为增加的外部输入时滞.3.2 Hopf 分岔存在性实验研究图17为τ=0.75 ms 时Hopf 分岔前系统相轨迹图. 从图17中可以看出，系统相轨迹最终将收敛至一点，此时系统是稳定的，即1.2节提到的“定点稳定性”，与仿真趋势（图4）保持一致.图18和图19分别为τ=0.76 ms 时Hopf 分岔系统相轨迹图和频谱图. 从图18中可以看出，此时系统发生了Hopf 分岔，最终获得了稳定的周期解，结合理论和仿真分析可知，此时系统出现了极限环，与仿真趋势［图5（a ）~图5（d ）］保持一致. 从图19中可以看出，当系统发生Hopf 分岔时，其频谱主要包含极限环运行频率对应谱线，即101 Hz 的主频谱线，以及主频的倍频谱线，此处主要为主频的2倍频谱线和3倍频谱线，与仿真［图5（e ）］基本保持一致.图20展示了τ=0.77 ms 时极限环破裂后系统相轨迹. 结合图18和图20可以看出，随着输入时滞的进一步增加，极限环破裂，相轨迹发散失稳，与仿真趋势（图6）保持一致. 需要指出的是，理论求得的 τ0≈ 0.637 ms 、τ临≈0.682 ms 与实际系统的0.75 ms≤ τ0<0.76 ms 、0.76 ms<τ临≤0.77 ms 虽然在量级上相同、数值上相近，但仍存在一定的误差，分析原因主要图14 闭环系统幅频响应随输入时滞变化的曲面图Fig.14 Surface diagram of amplitude-frequency response ofclosed-loop system varies with input time delay图15 闭环系统相频响应随输入时滞变化的曲面图Fig.15 Surface diagram of frequency response of closed loopsystem varies with input time delay图16 AMB-转子系统实验平台Fig.16 AMB-rotor system test platform图17 τ=0.75 ms 时Hopf 分岔前系统相轨迹图Fig.17 System trajectory before Hopf bifurcation at τ=0.75 ms图18 τ=0.76 ms 时Hopf 分岔系统相轨迹图Fig.18 System phase trajectory diagram whenHopf bifurcation at τ=0.76 ms134第 6 期金超武等：单自由度主动磁悬浮轴承-转子系统输入时滞稳定性研究有：①由于在理论及仿真中为简化系统建模，忽略了电磁力的非线性等因素，导致所建模型与实际系统存在一定误差；②在求解系统临界时滞τ临时，采用了近似替换，即计算求得的τ临为近似值；③实验过程中包含环境因素在内的实验误差干扰.3.3 控制参数对时滞系统稳定性的影响3.3.1 比例增益对时滞系统稳定性的影响在磁悬浮轴承-转子实验台中，PID 控制器的k I =1、k D =0.001 5. 为了验证理论及仿真分析的正确性以及更直观的说明k P 变化对系统稳定性的影响，对τ=0.76 ms ，k P 分别取2.0、2.2及2.4时系统相轨迹的变化情况进行了分析，如图21所示.从图21中可以看出，随着k P 的增加，系统的相轨迹由内向外逐渐从定点稳定变为稳定周期运动，最后变为发散失稳，与仿真趋势（图8）保持一致. 与仿真不同的是，由于实验台中存在保护轴承，系统的相轨迹不会无限发散，而是被保护轴承限制在一相对空间内，此时转子与保护轴承已发生碰撞.3.3.2 微分增益对时滞系统稳定性的影响在主动磁悬浮轴承-转子实验台中，PID 控制器的k P =2.2，k I =1. 为了验证理论及仿真分析的正确性以及更直观地说明k D 变化对系统稳定性的影响，对τ=0.76 ms ，k D 分别取0.001 0、0.001 5及0.002 0时系统相轨迹的变化情况进行了分析，如图22所示.从图22中可以看出，随着k D 的增加，系统的相轨迹由外向内逐渐从发散失稳变为稳定周期运动，最后变为定点稳定，更加形象地说明了k D 的增加将弱化输入时滞对于系统稳定性的影响，有利于提高系统的稳定性，与仿真趋势（图11）保持一致.图19 τ=0.76 ms 时Hopf 分岔系统频谱图Fig.19 System spectrum diagram when Hopf bifurcationat τ=0.76 ms图20 τ=0.77 ms 时极限环破裂后系统相轨迹Fig.20 System phase trajectory after limit cycle ruptureat τ=0.77 ms（a ）k P =2.0 （b ）k P =2.2（c ）k P =2.4图21 τ=0.76 ms 时不同k P 下系统的相轨迹对比Fig.21 Phase trajectory comparison of the systems underdifferent k Pat τ=0.76 ms（a ） k D =0.002 0 （b ） k D =0.001 5（c ）k D =0.001 0图22 τ=0.76 ms 时不同k D 下系统的相轨迹对比Fig.22 Phase trajectory comparison of the systems underdifferent k D at τ=0.76 ms135湖南大学学报（自然科学版）2023 年4 结论本文以PID控制的单自由度主动磁悬浮轴承-转子系统为研究对象，研究了输入时滞对系统稳定性的影响. 在理论层面，推导了系统失稳临界时滞的近似值，对系统内Hopf分岔的发生条件及存在性进行了分析；在仿真方面，分析了控制参数k P、k D对时滞系统稳定性的影响，验证了Hopf分岔的存在性，并通过探究输入时滞对闭环系统幅频和相频特性影响的角度来反映输入时滞对系统稳定性的影响；最后针对仿真内容进行了相应的实验研究.结果表明：1）k P较大时，其与系统稳定裕度呈反比关系，k P 的增加将放大输入时滞对系统稳定性的影响，对系统的稳定性起阻碍作用；系统的稳定域随k D的增加呈线性增加趋势，适当增加k D将弱化输入时滞对系统稳定性的影响.因此，在解决实际工程应用面临的时滞问题时，应当通过适当减小k P值或增大k D值的方式来提高系统的稳定性.2）当系统输入时滞小于τ0时，未发生Hopf分岔，系统表现为“定点稳定性”；而当输入时滞大于τ0且小于τ临时，系统发生Hopf分岔，最终获得稳定的周期解，并产生极限环，此时系统的频谱主要为极限环运行频率（主频）对应谱线以及主频的倍频谱线；随着输入时滞的进一步增加，极限环破裂，系统最终发散失稳.3）随着输入时滞的增加，闭环系统幅频响应曲线的峰化现象加剧，系统谐振频率的峰值显著增大；相频响应曲线逐渐靠近并最终穿越-180°平面，且穿越该平面时对应的频率以形如幂函数（其指数小于0）的形式逐渐减小. 这表明在输入时滞影响下，系统对外部干扰的反应强烈，抑制外部干扰的能力减弱，系统的稳定性下降.参考文献［1］YOO S J，KIM S，CHO K H，et al．Data-driven self-sensing technique for active magnetic bearing［J］．International Journal ofPrecision Engineering and Manufacturing，2021，22（6）：1031-1038．［2］GOUWS R. 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