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1.3 正方形的性质与判定第1课时正方形的定义和性质1．理解正方形的概念和性质定理，通过由一般到特殊的研究方法，分析平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念及性质之间的区别与联系．2．在探索正方形的性质定理的过程中，发展学生的合情推理能力．3．培养学生勇于探索、团结协作交流的精神，激发学生学习的积极性与主动性．1/ 20重点理解正方形的定义和性质．难点选择适当的方法解决有关正方形的问题．一、情境导入教师：大家小时候都做过风车吗？在准备材料的时候，我们往往会先折一张正方形的纸片．那么大家能用一张长方形的纸片折出一个正方形吗？2/ 20学生动手操作，引导学生在动手操作中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．教师：结合菱形和矩形的定义，想一想，什么样的四边形是正方形？学生思考后回答，教师点评，并归纳：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．说明：其定义包括了两层意思：①有一组邻边相等的平行四边形 (菱形)；②有一个角是直角的平行四边形 (矩形)．所以说正方形既是菱形又是矩形．教师：这节课我们就来深入地了解正方形．(板书课题)二、探究新知教师：正方形都具有哪些性质呢？学生：由正方形的定义可知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形．所以它应该具备菱形和矩形的所有性质．3/ 20教师：你能详细说一说正方形的性质吗？学生：正方形的四个角都是直角，四条边都相等．正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分．由学生的回答归纳出：正方形的性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等．正方形的性质定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分．教师：同学们能尝试完成这两个定理的证明吗？学生独立完成，并相互交流，教师点评．教师：正方形有几条对称轴？学生思考或者画图验证．三、举例分析4/ 20例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 边上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CE ＝ CF.BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由．解：BE ＝ DF，且BE⊥DF.理由如下：(1)∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴ BC ＝ DC，∠ BCE ＝ 90°(正方形的四条边相等，四个角都是直角)．∴∠ DCF ＝ 180°－∠ BCE ＝ 180°－ 90°＝ 90°.∴∠ BCE ＝∠ DCF.又∵ CE ＝ CF，∴△BCE ≌△DCF.∴ BE ＝ DF.(2)延长 BE 交 DF 于点 M(如图)．5/ 20∵△BCE ≌△DCF，∴∠ CBE ＝∠ CDF.∵∠ DCF ＝ 90°，∴∠ CDF ＋∠ F ＝ 90°.∴∠ CBE ＋∠ F ＝ 90°.∴∠BMF＝ 90°.∴ BE⊥DF.例2 平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流．学生尝试画图，教师点评，并进一步讲解，课件出示如下图：6/ 20四、练习巩固1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有多少个等腰三角形？第1题图第2题图2．如图，在正方形ABCD中，点F为对角线BD上一点，连接AF，CF.你能找出图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明．五、小结7/ 20通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？六、课外作业教材第22页习题1.7第1～4题．本节课教学的主要内容是探究并证明正方形的性质定理．教材只是提供了最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整．让学生通过搜集材料亲自去感受数学在实际生活中的应用，体会数学的实际价值．培养学生善于观察生活、搜集数学信息、对信息进行整理的能力．第2课时正方形的判定8/ 201．掌握正方形的判定定理，会运用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定条件进行有关的证明和计算．2．经历探究正方形的判定定理的过程，发展学生综合推理的能力、主动探究的学习习惯，逐步掌握说理的基本方法．3．理解特殊的平行四边形之间的内在联系，培养学生辩证看问题的观点．重点掌握正方形的判定定理．9/ 20难点合理恰当地利用特殊平行四边形的性质与判定进行有关的证明和计算．一、复习导入1．我们学习了平行四边形、矩形、菱形、正方形，那么思考一下，它们之间有怎样的包含关系？2．让学生回答以下问题：(1)怎样判断一个四边形是矩形？10/ 20(2)怎样判断一个四边形是菱形？(3)怎样判断一个四边形是平行四边形？(4)怎样判断一个平行四边形是矩形、菱形？教师：你有什么方法判定一个四边形是正方形？这就是本节课要探究的内容．二、探究新知1．正方形的判定定理课件出示教材第22页图1－20，提出问题：将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开．怎样剪才能剪出一个正方形？学生动手操作，教师巡视指导，并讲解：因为正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，把折痕作对角线，这时只需剪一个等腰直角三角形，打开即是正方形，因此只要保证剪口线与折痕成45°角即可．11/ 20教师：满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？引导学生总结出正方形的判定定理：对角线相等的菱形是正方形．对角线垂直的矩形是正方形．有一个角是直角的菱形是正方形．教师：平行四边形、矩形、菱形、正方形之间有什么关系？教师：同学们能尝试完成这3个定理的证明吗？学生独立完成，教师点评．2．中心四边形学生以小组的形式，在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形、梯形和直角梯形中选择一种自己感兴趣的四边形来研究中点四边形，并验证结论的正确性．12/ 20平行四边形矩形13/ 20菱形正方形14/ 20等腰梯形直角梯形15/ 20梯形引导学生得出结论：平行四边形的中点四边形是平行四边形；矩形的中点四边形是菱形；菱形的中点四边形是矩形；正方形的中点四边形是正方形；等腰梯形的中点四边形是菱形；直角梯形的中点四边形是平行四边形；梯形的中点四边形是平行四边形．三、举例分析16/ 20例如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形．证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°.又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠EBC＝12∠ABC＝45°，∠ECB＝12∠DCB＝45°.∴∠EBC＝∠ECB.∴EB＝EC.∴▱BECF是菱形(菱形的定义)．在△EBC中，∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°，∴∠BEC＝90°.17/ 20∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形)．四、练习巩固1．教材第24页“随堂练习”．2．完成下列问题：图①图②18/ 20图③(1)如图①，在△ABC中，EF为△ABC的中位线．①若∠BEF＝30°，则∠A＝________.②若EF＝8 cm，则AC＝________．(2)如图②，在AC的下方取一点D，连接AD，CD.取CD和AD的中点G、H，问EF和GH有怎样的关系？EH和FG呢？(3)如图③，四边形EFGH的形状有什么特征？五、小结1．通过本节课的学习，你有哪些收获？2．正方形的判定定理有哪些？六、课外作业教材第25页习题1.8第1～4题．19/ 20本节课采用了多媒体辅助教学，为学生创建了一个学习情境，通过图形的变换，使学生很容易发现问题的规律、找出解决方法，并且学生在老师的启发下，一步一步地探索、归纳、学习，在探索的过程中培养了学生的创新精神和意识．在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问．20/ 20。
教学目标知识与技能:1.掌握正方形的概念、性质,并会用它们进行有关的论证和计算.2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别.过程与方法:经历探索正方形有关性质的过程。
在观察中寻求新知,在探索中发展推理能力,逐步掌握说理的基本方法。
情感态度与价值观:通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教育,提高学生的逻辑思维能力.2学情分析学生的知识技能基础:学生已经较为系统的学习了平行四边形、矩形、菱形的基本性质与判定,已经具有了四边形的基本认知与知识结构,这些已有的认知结构可以迁移到正方形的学习中来。
学生活动经验基础:在相关知识的学习过程中,学生已经经历了一些对四边形探索的具体方法,并能解决一些简单的现实问题,感受到数学信息的收集和处理的必要性和作用,获得了从事探究活动所必须的一些数学活动经验的基础;同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力。
3重点难点重点:正方形的定义、性质及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系.难点:正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质的灵活运用.4教学过程4.1 第一学时4.1.1教学活动活动1【导入】第一环节：复习引入1.叙述平行四边形、矩形、菱形的性质(按下表纵向叙述).几种特殊四边形的性质:活动目的:通过纵向复习平行四边形、矩形、菱形的性质,为本节的学习做好准备。
同时让学生知道研究一个图形性质从四个方面进行,即边、角、对角线、对称性四个方面。
本节研究正方形性质也从这四个方面进行,为本节学习做好铺垫。
2.矩形、菱形的定义。
3.提问:有没有一种四边形既是菱形又是矩形呢? 以此引入新课。
活动2【活动】第二环节：自主探究1.设问:矩形和菱形都是特殊的平行四边形,那么更加特殊的平行四边形是什么图形?它又有什么特殊性质呢?这一堂课就来学习这种特殊的图形——正方形(写出课题)2.探究一:矩形怎样变化后就成了正方形呢?学生拿出矩形纸片,通过折叠得到一个正方形。
1.3正方形的性质和判定【正方形的性质】1．正方形的定义一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.温馨提示：①正方形既是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形②既是矩形又是菱形的四边形是正方形③正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,还是特殊的菱形2.正方形的性质（1）具有平行四边形的一切性质：两组对边平行且相等；两组对角相等；对角线相互平分.（2）具有矩形的一切性质:四个角都是直角；对角线相等.（3）具有菱形的一切性质:四条边相等；对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.（4）边：对边平行，四条边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；对称性：是轴对称图形，有4条对称轴 . 又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心.正方形中相等的线段：AB = CD = AD = BC．OA = OC = OB = OD．正方形中相等的角：∠AOB = ∠DOC = ∠AOD = ∠BOC = 90°．∠OAB = ∠OBA = ∠OBC = ∠OCB=∠OCD = ∠ODC = ∠OAD= ∠ODA=45°．正方形中的全等三角形：全等的等腰直角三角形有：点拨：有关正方形问题可转化为等腰直角三角形的问题来解决 (转化思想).温馨提示：①正方形的性质=矩形的性质+菱形的性质；②正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的所有基本性质；③一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°。
两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
【练习】1.如图，正方形ABCD的边长为1，点E在边DC上，AE平分∠DAC，EF⊥AC，F为垂足，那么FC＝________．第1题第3题第5题第7题2.如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB，AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G.求证：AF＝BE.3.如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为( )A．10° B．12.5° C．15° D．20°4.如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)求∠AED的度数．5.如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1，O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是________．6．如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为DC，BC的中点．(1)求证：△ADE≌△ABF；(2)求△AEF的面积．7.如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是________．8.如图，正方形ABCD的边长为，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB的延长线于点F，则EF的长为________．8题9题第10题9．如图，将边长为8 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是________．10．，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，11．如图1－3－15，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，AE的延长线交DF于点M.求证：AM⊥DF.【正方形的判定】1. 正方形的判定定理(1)平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角(定义法); (2)矩形+一组邻边相等; (3)矩形+对角线互相垂直; (4)菱形+一个角为直角；(5)菱形+对角线相等。
