高中数学：(一)正弦定理

课时达标训练(一) 正 弦 定 理

[即时达标对点练]

题组1 利用正弦定理解三角形

1．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6

D ．2＋2 3

解析：选C 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得4sin 45°＝b sin 60°，所以b ＝26，故选C.

2．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B ＝( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135°

解析：选C 由正弦定理a sin A ＝b

sin B ，

得sin B ＝b sin A a ＝2sin 60°3＝2

2.

∵a >b ，∴A >B ， ∴B ＝45°.

3．在△ABC 中，cos A a ＝sin B

b ，则A ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°

解析：选B ∵sin A a ＝sin B b ，又cos A a ＝sin B b ，

∴cos A a ＝sin A

a ，

∴sin A ＝cos A ，tan A ＝1. 又0°

4．在△ABC 中，c ＋b ＝12，A ＝60°，B ＝30°，则c ＝________， b ＝________.

解析：因为A ＝60°，B ＝30°，所以C ＝90°，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝1

2

c .又c ＋b ＝12，

所以c ＝8，b ＝4. ★答案★：8 4

5．已知在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c

sin A －2sin B ＋sin C ＝________.

解析：∵A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，∴A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°. ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝1

sin 30°＝2，∴a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，c ＝2sin C . ∴

a －2

b ＋c

sin A －2sin B ＋sin C

＝2.

★答案★：2

6．已知b ＝10，c ＝56，C ＝60°，解三角形． 解：∵sin B ＝

b sin C

c ＝10·sin 60°56

＝2

2， 且b ＝10，c ＝56，b

sin 45°

＝

10×

6＋2

4

22

＝5(3＋1)． 题组2 利用正弦定理判断三角形的形状

7．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＋a cos C ＝b ＋c ，则△ABC 的形状是________．

解析：∵a cos B ＋a cos C ＝b ＋c ，∴由正弦定理，得sin A ·cos B ＋sin A cos C ＝sin B ＋sin C ＝sin(A ＋C )＋sin(A ＋B )，化简得cos A ·(sin B ＋sin C )＝0.又sin B ＋sin C >0，∴cos A ＝0，即A ＝π

2

，∴△ABC 为直角三角形．

★答案★：直角三角形

8．在△ABC 中，a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π

2－B ，判断△ABC 的形状． 解：法一：∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b ·cos ⎝⎛⎭⎫π2－B ， ∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理，得a ·a 2R ＝b ·b

2R ，

∴a 2＝b 2，∴a ＝b ， ∴△ABC 为等腰三角形．

法二：∵a cos ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝b cos ⎝⎛⎭⎫π

2－B ， ∴a sin A ＝b sin B .

由正弦定理，得2R sin 2A ＝2R sin 2B ， 即sin A ＝sin B ，

∴A ＝B (A ＋B ＝π不合题意，舍去)． 故△ABC 为等腰三角形．

9．在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状． 解：由sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C 及正弦定理，得a 2＝b 2＋c 2， ∴△ABC 是直角三角形，且A ＝90°. ∴B ＋C ＝90°， ∴sin B ＝cos C .

由sin A ＝2sin B cos C ，得1＝2sin 2B ， ∴sin B ＝

2

2

， ∴B ＝45°， ∴C ＝B ＝45°.

∴△ABC 是等腰直角三角形．

[能力提升综合练]

1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )，若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( )

A.π6，π3

B.2π3，π6

C.π3，π6

D.π3，π3

解析：选C 因为m ⊥n ，所以3cos A －sin A ＝0，所以tan A ＝3，则A ＝π

3.由正弦

定理，得sin A cos B ＋sin B ·cos A ＝sin 2C ，所以sin(A ＋B )＝sin 2C ，所以sin C ＝sin 2C .因为0

.

2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )

A ．a ＝30，b ＝50，A ＝36°

B ．a ＝50，b ＝30，A ＝36°

C ．a ＝30，b ＝60，A ＝30°

D ．a ＝30，B ＝20°，A ＝136°

解析：选A 对于A ，b sin A <50×3

5＝30＝a

a >

b ，这样的三角形只有一个．对于C ，b sin A ＝60×1

2＝30＝a ，这样的三角形只有一个．对

于D ，∵A ＝136°，∴△ABC 为钝角三角形，∵B ＝20°，A ＝136°，∴C ＝24°，∴这样的三角形是唯一的．