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高中数学-正弦定理ppt

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高中数学第一章解三角形第1节正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课件新人教A版必修53

高中数学第一章解三角形第1节正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课件新人教A版必修53

45°＝
23，
∴C＝60°或 C＝120°.
当 C＝60°时，B＝75°，
b＝cssiinnCB＝ s6isnin607°5°＝ 3＋1； 当 C＝120°时，B＝15°， b＝cssiinnCB＝ s6insi1n2105°°＝ 3－1. ∴b＝ 3＋1，B＝75°，C＝60°或 b＝ 3 －1，B＝15°，C＝120°.
代入已知式子得
cos ksin
AA＝kcsoisn
BB＝kcsoisn
CC.
∴csoins
AA＝csoins
BB＝csoins
C C.
∴tan A＝tan B＝tan C.
又∵A、B、C∈(0，π)，
∴A＝B＝C.∴△ABC 为等边三角形．
法二：化边为角
由正弦定理得sina A＝sinb B＝sinc C.
提示：sina A＝sinb B＝sinc C
2．归纳总结，核心必记 (1)正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的
比相等，即 (2)解三角形
一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它 们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素．已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形．
[问题思考] (1)在△ABC 中 sin A＝sin B，则 A＝B 成立 吗？ (2)在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c 成立吗？ (3)在△ABC 中，若 A>B，是否有 sin A>sin B？ 反之，是否成立？
—————————[课堂归纳·感悟提升]————————— 1．本节课的重点是正弦定理的应用，难点是正
弦定理的推导．
2．本节课要牢记正弦定理及其常见变形：
(1)sina A＝sinb B＝sinc C＝2R(其中 R 为△ABC 外

版高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理(一)课件 新人教B版必修5.pptx

版高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理(一)课件 新人教B版必修5.pptx
12
跟踪训练1 如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，角A，B，C所对的 边分别为a，b，c.求证：sina A ＝2R. 证明
13
类型二 用正弦定理解三角形
例2 已知△ABC，根据下列条件，解三角形：a＝20，A＝30°，C＝ 45°. 解答 ∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 由正弦定理得 b＝assiinnAB＝20ssiinn3100°5°＝40sin(45°＋60°)＝10( 6＋ 2)， c＝assiinnAC＝20sisnin3405°°＝20 2， ∴B＝105°，b＝10( 6＋ 2)，c＝20 2.
A.直角三角形 C.锐角三角形
√B.等腰三角形
D.钝角三角形
由sin A＝sin C，知a＝c，∴△ABC为等腰三角形.
1 2 3 247
3.在△ABC中，已知BC＝ 5 ，sin C＝2sin A，则AB＝_2__5___.
答案 解析
由正弦定理，得 AB＝ssiinn CABC＝2BC＝2 5.
18
命题角度2 运算求解问题
例4
在△ABC中，A＝
π 3
，BC＝3，求△ABC的周长的最大值.
解答
19
反思与感悟
利用sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 或正弦定理的变形公式 a＝ksin A，b＝ ksin B，c＝ksin C(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化.
22
跟 踪 训 练 3 在 △ABC 中 ， 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c ， 若 A∶B∶C＝1∶2∶3，求a∶b∶c的值. 解答
23
当堂训练
25
1. 在△ABC中，一定成立的等式是 答案 解析

高中数学：13《正弦定理、余弦定理及其运用》课件必修

高中数学：13《正弦定理、余弦定理及其运用》课件必修

04
习题与解析
Chapter
基础习题
01
02
03
基础习题1
已知三角形ABC中，a=4, b=6, C=120°，求角B。
基础习题2
在三角形ABC中，已知 A=60°，a=3, b=4, 求角 B。
基础习题3
已知三角形ABC中，a=3, b=4, c=5, 求角A。
提升习题
提升习题1
在三角形ABC中，已知 a=5, b=4, sinB=√3/2， 求角A。
高中数学13《正弦定理、余弦定 理及其运用》课件必修
目录
• 正弦定理 • 余弦定理 • 正弦定理与余弦定理的综合运用 • 习题与解析 • 总结与回顾
01
正弦定理
Chapter
正弦定理的定义
总结词
正弦定理是三角形中一个重要的定理，它描述了三 角形边长和对应角正弦值之间的比例关系。
详细描述
正弦定理是指在一个三角形ABC中，边长a、b、c 与对应的角A、B、C的正弦值之比都相等，即 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$ 。这个定理是解三角形的重要工具，尤其在已知两 边及一边的对角时，可以通过正弦定理求出其他角 和边长。
余弦定理的应用
总结词
余弦定理在解决三角形问题时具有广泛的应用，如求 角度、求边长、判断三角形的形状等。
详细描述
余弦定理的应用非常广泛，它可以用来解决各种三角 形问题。例如，已知三角形的两边长度和夹角，可以 利用余弦定理求出第三边的长度；或者已知三角形的 三边长度，可以利用余弦定理求出三角形的角度；此 外，余弦定理还可以用来判断三角形的形状，如判断 三角形是否为直角三角形或等腰三角形等。因此，掌 握余弦定理对于解决三角形问题具有重要意义。

高中数学理科基础知识讲解《46正弦定理和余弦定理》教学课件

高中数学理科基础知识讲解《46正弦定理和余弦定理》教学课件
--
(3)先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此时P1(-13,9);当∠OBP>90°时,在△PP1B中,PB>P1B=15.由上可知,d≥15.再讨论点Q的位置.
--
对点训练1(2019江苏丹阳高级中学模拟)如图,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30,并在点C测得塔顶A的仰角为60°,则塔高AB等于( )
D
--
二、测量距离问题的模型案例2(2019江苏,18)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离.
--
考点4
对点训练4如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶,到a处时测得公路北侧一 脚c在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达b处,测得此 脚c在西偏北75°的方向上, 顶d的仰角为30°,则此 的高度cd= m.

高中数学第二章解三角形2.1.1正弦定理课件北师大版必修5

高中数学第二章解三角形2.1.1正弦定理课件北师大版必修5

中,
sin
=

sin
=

.
sin
【做一做1】
在△ABC 中,若 3a=2bsin A,则角 B 等于
.
解析:根据已知条件及正弦定理可知 3sin A=2sin Bsin A⇔
3
π
2π
3=2sin B⇔sin B= 2 ,所以角 B 为3 或 3 .
π
2π
答案:3 或 3
知识拓展1.正弦定理的证明
Bcos A,又 sin B≠0,则 sin A= 3cos A,即 tan A= 3,又△ABC 为锐角三
π
角形,所以 A= .
3
答案:(1)7∶5∶3 (2)A
探究一
探究二
探究三
探究二
探究四
思维辨析
利用正弦定理解三角形
【例2】 在△ABC中,
(1)若A=45°,B=30°,a=2,求b,c与C.
(2)若B=30°,b=5, c=5 3 ,求A,C与a.
分析:先根据三角形中解的个数的判断方法得出解的情况,再求
出各元素的值.
解:(1)由三角形内角和定理得,
C=180°-(A+B)=180°-(45°+30°)=105°.
sin
由正弦定理得,b=
sin
1
=
sin 105°=sin(60°+45°)=
(5)在△ABC中,若 cos = 1 + cos2 ,则△ABC为等腰三角形或直
角三角形. (
)
答案:(1)
(2)
(3)× (4)× (5)
探究一
探究二
探究一
探究三
探究四
思维辨析

人教版高中数学必修2《正弦定理》PPT课件

人教版高中数学必修2《正弦定理》PPT课件

2．正弦定理的常见变形：
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R 为△ABC 外接圆的半径)．
(2)sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR(R 为△ABC 外接圆的半径)．
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即 a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
题型一 已知两角及一边解三角形
【学透用活】
[典例 1] (1)在△ABC 中，c＝ 3，A＝75°，B＝60°，则 b 等于 ( )
32 A. 2
3 B.2 2
3
6
C.2
D. 2
(2)在△ABC 中，已知 BC＝12，A＝60°，B＝45°，则 AC＝_________.
[解析] (1)因为 A＝75°，B＝60°，
[方法技巧] 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角
三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等．利用正
弦定理判断三角形形状的方法如下：
(1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有：①a＝2Rsin A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C(R
为△ABC
＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状为
()
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
解析：由射影定理得 bcos C＋ccos B＝a，则 a＝asin A，于是 sin A＝ 1，即 A＝90°，所以△ABC 的形状为直角三角形．
答案：B
[应用二] 设△ABC 的内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c.已知 bcos
形，故选 D.
答案：D

6.4.3.2正弦定理-【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件(1)

3
2
=
,
sin sin45 °
解:由正弦定理及已知条件,有
3
2
故 sin A= .
因为 a>b,所以 A>B.所以 A=60°或 120°.
当 A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,
c=
sin 2sin75 ° 6+ 2
=
=
.
sin
sin45 °
2
当 A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,
方法规律
已知三角形的两边和其中一边的对角
解三角形的方法
(1)由正弦定理求出另一边对角的正弦值.
(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边
对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,
由正弦值可求唯一的锐角.
(3)如果已知的角为小边所对的角时,那么不能判断另
一边所对的角为锐角,这时由正弦值可得到两个角,要分类
a=
= π = 2= .
sin sin
2
答案:D
(
3 2
D.
2
)
探索点二 已知两边及一边的对角解三角形
【例 2】 已知下列各三角形中的两边及一边的对
角,解三角形.
(1)b=10,c=5 6,C=60°;
(2)a=2 3,b=6,A=30°.
解:(1)由正弦定理,得
sin 10·sin60 ° 2
(2)化边为角:将题目中所有的条件,先利用正弦定理化
边为角,再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系,
进而确定三角形的形状.
易错提醒:在两种解法的等式变形中,一般两边不要约
去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.

高中数学人教A版_正弦定理(15张PPT)

结论
LsinA=s nB= sin C
文字叙述
在一个三角形中，各边和它所对角的_正弦的比相 等
正弦定理
以上我们利用向量方法获得了正弦定理。事 实上，探索和证明这个定理的方法很多，有些方 法甚至比上述方法更加简洁。你还能想到其他方 法吗?
利用三角形的高证明正弦定理(1)当△ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD, 根据锐角三角 函数的定义，有CD=asin B,CD=bsin A。
6.4平面向量的应用 6.4.3第二讲正弦定理
(1)在△ABC 中，若A=30°,B=45° ,AC=4, 你还能直接运用余弦定理求出边BC吗?[提示] 不能。(2)在直角三角形中，边与角之间的关系是什么?
因此我们由那视频可以得出：
B
C
定理推导
又因为sin C=sin 90°=1
同理，过点C 作与CB垂直的单位向量m, 可
【提示】 成立，如图，当△ABC为钝角三角形时，不妨设A为钝 角。过点A作与AC 垂直的单位向量j,则j与AB 的夹角为A; 与CB 的 夹角为 C.仿照上述方法，同样可得：
在钝角三角形中的这个边角关系成立吗?
条件
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c
如图，△ABC 为锐角三角形，过点A 作与AC 垂直的单位向量j, 则j 与AB 的夹角 ,j 与CB的 夹 角
也即asin C=csin A,即因
因为AC+CB=AB, 所以 j·(AC+CB)=j·AB. 由分配律，得j·AC+j·CB=j·AB,
利用向量法证明正弦定理
4, 请你用正弦定理来求出
练一练
B
在一个三角形中，各边和它 所对角的正弦的比相等。

高中数学人教A版必修正弦定理PPT精品课件


由c sin C
=
a sin A
得
c 16
=
5 12
，解得c=
4 3
65 13
证明：作外接圆O，过B作直径BC’，
连接AC’
∵ BAC 90, C C '
sin C sin C ' c
c
2R
c 2R
A
sin C
B
a
O
C
b
同理 a 2R, b 2R
sin A
sin B
C’
a b c 2R sin A sin B sin C
解析: asinA=bsinB(边角混合式）
方法1：都化为边
把sinA= a , sin B b 代入上式，得
2R
2R
a a =b b 2R 2R
[例 3] 在△ABC 中，acosπ2－A＝bcosπ2－B，判断△ABC 的形状．
解析: asinA=bsinB(边角混合式）
方法2：都化为角 把a=2R sin A，b=2R sin B代入上式，得 2R sin2 A=2R sin2 B
a sin A sin A
sin A
=2 cos A=2 3 = 3 42
例4.三角形ABC中 （3）b=2asinB，则A=______.
2R sin B=2 2RsinAsinB 1=2sinA sin A= 1 A=300 或1500
2
下课了!
Байду номын сангаас
正 弦定 理
第二课时
正弦定理: a b c
sin A sin B sin C 已知两角及一边解三角形
例1.在ABC中，a=8，B=600，C=750，求c边。

高中数学必修五全册课件PPT(全册)人教版

答：此船可以继续一直沿正北方向航行
变式练习：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都 等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30o，灯塔B 在观察站C南偏东60o，则A、B之间的距离为多 少？
练习2．自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
（按角A分类）
A的范围
a,b关系
解的情况
A为钝角或直角
a＞b a≤b
一解 无解
a＜bsinA
无解
A为锐角
a=bsinA bsinA＜a＜b
一解 两解
a≥b
一解
思考 : 在ABC中, a x, b 2, A 450,若这个三角形有
两解,则x的取值范围是 _____2_,_2____
正弦定理的推论： =2R (R为△ABC外接圆半径） （边换角）
（2）方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线
所成的角叫方位角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
3.水平距离、垂直距离、坡面距离。
垂
坡面距离
C ba
AB a=bsinA 一解
C b aa
C
C
b
a
a
b
A B2 B1 A
B
bsinA<a<b 两解
一解
A
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A
能否用一个等式把
这种关系精确地表示出
来？
C
B
讲授新课
思考1：
那么对于任意的三角形，以上关 系式是否仍然成立？
讲授新课
思考1：
那么对于任意的三角形，以上关 系式是否仍然成立？
可分为锐角三角形和钝角三角形 两种情况.
Байду номын сангаас
讲授新课
思考2：
还有其方法吗？
讲授新课
思考2：
还有其方法吗？ 用向量来研究这问题.
1.1.1正弦定理
复习引入
如图，固定△ABC的边CB及∠B， 使边AC绕着顶点C转动.
A C
B
A
C
B
复习引入
如图，固定△ABC的边CB及∠B， 使边AC绕着顶点C转动.
思考：
∠C的大小与它的对A 边AB的长度 之间有怎样的数量关C 系？
B
A
C
B
复习引入
如图，固定△ABC的边CB及∠B，
使边AC绕着顶点C转动.
讲解范例：
例2. 在△ABC中，已知a＝20cm， b＝28cm，A＝40o，解三角形(角 度精确到1o, 边长精确到1cm).
练习：
在△ABC中，已知下列条件，解三角 形(角度精确到1o, 边长精确到1cm): (1) a＝20cm，b＝11cm，B＝30o； (2) c＝54cm，b＝39cm，C＝115o.
思考：
∠C的大小与它的对A 边AB的长度
之间有怎样的数量关C 系？ B 显然，边AB的长度随着其对角
∠C的大小的增大而增大.
A
C
B
复习引入
如图，固定△ABC的边CB及∠B，
使边AC绕着顶点C转动.
思考：
∠C的大小与它的对A 边AB的长度
之间有怎样的数量关C 系？ B 显然，边AB的长度随着其对角
∠C的大小的增大而增大.
②已知三角形的任意两边与其中一边 的对角可以求其他角的正弦值，如
解三角形：
一般地，已知三角形的某些边 和角，求其他的边和角的过程叫作 解三角形.
讲解范例：
例1. 在△ABC中，已知A＝32.0o， B＝81.8o，a＝42.9cm，解三角形.
练习：
在△ABC中，已知下列条件，解三角 形(角度精确到1o, 边长精确到1cm): (1) A＝45o，C＝30o，c＝10cm； (2) A＝60o，C＝45o，c＝20cm.
思考： 在△ABC中，
这个k与△ABC有什么关系？
课堂小结
1. 定理的表示形式：
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课堂小结
2. 正弦定理的应用范围： ①已知两角和任一边，求其它两边及
一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一
边的对角.
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课后作业
1. 阅读必修5教材P.2到P.4; 2. 教材P.10习题1.1A组第1、2题.
正弦定理：
正弦定理：
在一个三角形中，各边和它所对 角的正弦的比相等，即
正弦定理：
在一个三角形中，各边和它所对 角的正弦的比相等，即
思考： 正弦定理的基本作用是什么？
思考：
正弦定理的基本作用是什么？ ①已知三角形的任意两角及其一边可 以求其他边，如
思考： 正弦定理的基本作用是什么？ ①已知三角形的任意两角及其一边可 以求其他边，如