2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算

§2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算复习平面向量基本定理：学习目标：1.理解平面向量的坐标的概念2.掌握平面向量的坐标运算3.会根据向量的坐标判断向量是否共线.新知识：1.如果两个向量的 互相垂直，则称这两个向量互相垂直。

2.如果基底的两个 互相垂直，则称着两个基底为正交基底.3.在 下分解向量，叫正交分解.4.在坐标平面内建立了一个正交基底→1e ，→2e ，即为 →1e 和→2e 分别为与x 轴和y 轴的 .这个基底叫做直角坐标系xoy 的基底.5. 直角坐标系xoy 的基底⎭⎬⎫⎩⎨⎧→→21,e e 任作一向量→a ,存在唯一的有序实数对()21,a a ,使得→a = ，()21,a a 就是 即 1a 叫做 ,2a 叫做6. 向量),(21a a a =，a 的方向相对与x 轴正向的转角为θ，则1a = ，2a = .7. 直角坐标系xoy 中，A(x,y),则OA = →1e + →2e = .即A 的位置向量OA 的坐标 .也就是 ；反之，点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量OA 的8.符合(x,y)在直角坐标系中的双重意义：⑴ ，⑵ .9.两个向量的和与差的的坐标等于 .数乘向量的积的坐标等于 .例题分析例1、 在直角坐标系xoy 中，向量→→→c b a ,,的方向与长度如图，分别求它们的坐标。

例2、直角坐标系xoy 中，已知点()11,y x A ,点()22,y x B ，求向量AB 的坐标。

例3、直角坐标系xoy 中，已知点()11,y x A ,点()22,y x B 。

求线段AB 中的的坐标。

例4、直角坐标系xoy 中，已知点A(3,2),点B(- 2,4)，求向量OA +OB 的方向和长度。

知识点：1.一个向量的坐标等于2．中点坐标公式：设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P (x ，y )是线段P 1P 2的中点，则P 点的坐标是_____________________．3．三角形重心的坐标：设△ABC 三顶点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，G (x ，y )是△ABC 的重心，则()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=______________31321y x x x x 例5、已知平行四边形ABCD 的三个顶点A （－2,1），B （－1,3），C （3,4）,求顶点D 的坐标。

2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算课堂导学三点剖析一、向量a=AB的坐标如图，在直角坐标系内，我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x、y，使得a=x i+y j.我们把(x，y)叫做向量a的(直角)坐标，记作a=(x，y).(*)其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，*式叫做向量的坐标表示.由相等向量的定义可以得到任意与a相等的向量的坐标也为(x，y).特别地，i=(1，0)，j=(0，1)，0=(0，0).例1 在直角坐标系xOy中，向量a、b、c的方向和长度如图所示，分别求它们的坐标.各个击破类题演练 1已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA |=34，∠xOA =60°，求向量OA 的坐标.变式提升 1 如图，正方形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量证明P A =EF .二、向量的直角坐标运算(1)若a =(a 1，a 2)，b =(b 1，b 2)，则a +b =(a 1+b 1，a 2+b 2)，即两个向量的和的坐标，等于这两个向量相应坐标的和.(2)若a =(a 1，a 2)，b =(b 1，b 2)，则a -b =(a 1-b 1，a 2-b 2)，即两个向量的差的坐标，等于这两个向量相应坐标的差.(3)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB =(x 2-x 1，y 2-y 1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.(4)若a =(a 1，a 2)，λ∈R ，则λa =(λa 1，λa 2)，即向量数乘积的坐标等于数乘以向量的相应坐标的积.例2 已知点A (-1，2)，B (2，8)及AC =31AB ，DA =-31BA ，求点C 、D 和CD 的坐标.类题演练2(1)设向量a、b的坐标分别是(-1，2)、(3，-5)，求a+b，a-b，3a，2a+3b的坐标.(2)设向量a、b、c的坐标分别为(1，-3)、(-2，4)、(0，5)，求3a-b+c的坐标.变式提升2用坐标法证明AB+BC+CA=0.温馨提示这个证明过程完全是三个点坐标的运算，无须考虑三个点A、B、C是否共线.这个结论的更一般形式：几个向量首尾顺次相接，组成一条封闭的折线，其和为零向量.三、向量坐标运算的应用向量的坐标运算是几何与代数的统一，几何图形中的法则是代数运算的几何含义，坐标运算是图形关系的精确表示，二者的法则互为补充.因此，向量的坐标运算是数与形的有机结合，为我们解决科学问题又提供了一个崭新的方法.例3 已知A（1，-2），B（2，1），C（3，2），D（-2，3），以AB，AC为一组基底表示AD +BD+CD.温馨提示(1)本题主要练习向量的坐标表示，向量的坐标运算，平面向量基本定理以及待定系数法等知识.(2)要加强向量的坐标与该向量起点坐标、终点坐标的关系的理解，增强坐标运算的灵活运用能力.类题演练3已知向量a=(x+3，x-3y-4)与AB相等，若A（1，2），B（3，2），求x、y的值.温馨提示由于向量之间的关系与这些向量的对应坐标之间的关系是一致的，解向量问题，通常都要把向量之间的关系转化为关于坐标的方程（组）.变式提升3如图，在ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知AM=c，AN=d，试用c、d表示AB和AD.参考答案课堂导学例1 解：设a =(a 1，a 2)，b =(b 1，b 2)，c =(c 1，c 2)，则a 1=|a |cos45°=2×22=2，a 2=|a |sin45°=2×22=2， b 1=|b |cos120°=3×(-21)=23-， b 2=|b |sin120°=3×23323=， c 1=|c |cos(-30°)=4×3223=， c 2=|c |sin(-30°)=4×(-21)=-2， 因此a =(2，2)，b =(233,23-)，c =(32，-2). 各个击破类题演练 1解：设点A 的坐标为（x ，y )，则x =|OA |·cos60°=34×3221=， y =|OA |sin60°=34×23=6，即A （32，6）. ∴OA =（32，6）.变式提升 1 思路分析：用向量的坐标法证明，只要写出P A 与EF 的坐标，利用两点间距离公式就可得证.问题的关键在于如何建立坐标系，考虑到四边形ABCD ，故可以D 点为坐标原点，以DC 、AD 边所在直线分别为x 、y 轴，建立坐标系.证明：建立如图所示的坐标系，设正方形的边长为a ，|DP |=λ(λ>0)，则A (0，a )，P (22λ，22λ)，E (a ，22λ)，F (22λ，0)， ∴PA =(22-λ，a -22λ)，EF =(22λ-a ，22-λ).∵|PA |2=λ2-2aλ+a 2，|EF |2=λ2-2aλ+a 2，∴|PA |2=|EF |2，故P A =EF .例2 解：设C 、D 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，由题意可得AC =(x 1+1，y 1-2)，AB =(3，6)， DA =(-1-x 2，2-y 2)，BA =(-3，-6)， ∵AC =31AB ，DA =-31BA ， ∴(x 1+1，y 1-2)=31(3，6)，(-1-x 2，2-y 2)=-31(-3，-6)，也就是(x 1+1，y 1-2)=(1，2)，(-1-x 2，2-y 2)=(1，2).∴⎩⎨⎧=-=--⎩⎨⎧=-=+.22,11,22,112211y x y x ∴⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧==.0,2,4,02211y x y x ∴C 、D 的坐标分别为(0，4)、(-2，0). 因此CD =(-2，-4).类题演练 2解：(1)a +b =(-1，2)+(3，-5)=(-1+3，2-5)=(2，-3)，a -b =(-1，2)-(3，-5)=(-1-3，2+5)=(-4，7)，3a =3(-1，2)=(-3，6)，2a +3b =2(-1，2)+3(3，-5)=(-2，4)+(9，-15)=(-2+9，4-15)=(7，-11).(2)3a -b +c =3(1，-3)-(-2，4)+(0，5)=(3，-9)-(-2，4)+(0，5)=(5，-8).变式提升 2证明：设A （a 1，a 2)、B （b 1，b 2)、C (c 1，c 2)，则AB =(b 1-a 1，b 2-a 2)，BC =(c 1-b 1，c 2-b 2)，CA =(a 1-c 1，a 2-c 2)， ∴AB +BC +CA =(b 1-a 1，b 2-a 2)+(c 1-b 1，c 2-b 2)+(a 1-c 1，a 2-c 2)=(b 1-a 1+c 1-b 1+a 1-c 1，b 2-a 2+c 2-b 2+a 2-c 2)=(0，0). ∴AB +BC +CA =0.例3 解：AB =（1，3），AC =（2，4），AD =（-3，5），BD =（-4，2），CD =（-5，1）. 设AD +BD +CD =m AB +n AC ，∴(-12，8)=m (1，3)+n (2，4)，即(-12，8)=(m +2n ，3m +4n ).∴⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=+-=+.22,32.843,122n m n m n m 解得AD +BD +CD =32AB -22AC . 类题演练 3 解：AB =OB -OA =（3，2）-（1，2）=（2，0）. ∵a =AB ，∴⎩⎨⎧=--=+.043,23y x x 故x =-1，y =35-. 变式提升 3 解：设AB =a ，AD =b ，则由M 、N 分别为DC 、BC 的中点可得BN =21b ，DM =21a . AD +DM =AM ，即b +21a =c .① AB +BN =AN ，即a +21b =d .② 由①②可得a =32(2d -c )，b =32(2c -d )， 即AB =32(2d -c )，AD =32(2c -d ).。

张喜林制2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算考点知识清单1．如果两个向量的基线 ，则称这两个向量互相垂直．2．如果基底的两个基向量21,e e 互相垂直，则称这个基底为____．在____下分解向量，叫做正交分解． 3．设向量a a a a ),,(21=的方向相对于x 轴正向的转角为θ，则1a = =2,a4．在直角坐标系中，设点A 的坐标为（x ，y ），则=+=21ye xe OA ，即点A 的位置向量的坐标为5．设,),,(),,(2121R b b b a a a ∈==λ则=+b a =-b a , =a λ 6．已知),(),,(),,(2211y x M y x B y x A 是AB 的中点，则=x =y 7．若),,(),,(2211y x B y x A 则=要点核心解读1．两个向量互相垂直的概念如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直．2．正交分解如果基底的两个基向量21,e e 互相垂直，则称这个基底为正交基底，奄正交基底下分解向量，叫做正交分解．以后同学们会看到，在正交基底下进行向量分解，许多有关度量问题变得较为简单 3．向量的直角坐标在直角坐标系xOy 内（如图2-2 -2 -1），分别取与x 轴和y 轴方向相同的两个单位向量⋅21,e e 这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底2121,}.,{e e e e 分别是与x 轴和y 轴同方向的单位向量，这个基底也叫做直角坐标系xOy 的基底．在坐标平面xOy 内（如图2-2 -2 -1)，任作一向量a （用有向线段AB 表示），由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对),,(21a a 使得,2211e a e a a +=),(21a a 就是向量a 在基底,{1e }2e 下的坐标，即⋅=),(21a a a 其中1a 叫做向量a 在x 轴上的坐标分量，2a 叫做a 在y 轴上的坐标分量．4．如何求向量B A a =的坐标如图2 -2 -2 -1，分别过向量B A 的始点和终点作x 轴、y 轴的垂线，设垂足分别为⋅2211B A B A 、、、 坐标分量1a 为向量11B A 在x 轴上的坐标，坐标分量2a 为向量22B A 在y 轴上的坐标，显然⋅===)1,0(),0,1(),0,0(021e e设向量a a a a ),,(21=的方向相对于x 轴正向的转角为θ，由三角函数的定义可知.sin ||,cos ||21θθa a a a ==5．向量的直角坐标的意义在直角坐标系中（如图2 -2 -2 -2所示），一点A 的位置被点A 的位置向量所唯一确定，设点A 的坐标为（x ，y ），容易看出．),,(21y x ye xe OA =+=即点A 的位置向量的坐标（x ，y ），也就是点A 的坐标；反之点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量的坐标，由上面的分析，符号（x ，y ）在直角坐标系中就有了双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为了加以区分，在叙述中，就常说点（x ，y ），或向量(x ，y). 6．几点注意的地方(1)在直角坐标平面内，以原点为起点的向量,a =点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与向量a 的坐标统一为(x ，y).(2)两向量相等的充要条件是它们对应的坐标相等．(3)要把点的坐标与向量的坐标区别开来，相等的向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，如A(3，5)，B(6，8)，);3,3(=∴A 若C （-5，3），D （-2，6），),3,3(=,=显然A 、B 、C 、D 四点坐标各不相同．(4)向量的表示方法细分起来有三种：几何表示法、字母表示法、坐标表示法．这三种表示法各具优点，因此在推导一些结论时，三种表示方法相互转化，要认真加以理解． 7．向量的直角坐标运算(1)若),,(),,(2121b b b a a a ==则,(11b a b a +=+⋅+)22b a 即两个向量的和的坐标，等于这两个向量相应坐标的和． (2)若),,(),,(2121b b b a a a ==则,(11b a b a -=-).22b a - 即两个向量的差的坐标，等于这两个向量相应坐标的差． (3)若),,(),,(2211y x B y x A 则).,(B 1212y y x x A --=即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标．(4)若,),,(21R a a a ∈=λ则⋅=),(21a a a λλλ即向量和数的乘积的坐标等于数乘以向量的相应坐标的积． 8．中点公式设线段AB 两端点的坐标分别为),(),,(2211y x B y x A ，则其中点M （x ，y ）的坐标计算公式为：⋅+=+=2,22121y y y x x x 推导如下：如图2 -2 -2 -3，设点),(y x M 是线段AB 的中点，则⋅+=)B (21O OA OM 上式换用向量的坐标，得=),(y x )],,(),[(212211y x y x +即 ⋅+=+=2,22121y y y x x x 典例分类剖析考点1 平面向量的坐标表示[例1] 已知),4,3(),1,3(),4,2(----C B A 且=,2,3C =求M 、N 及的坐标． [解析] 由A 、B 、C 三点的坐标易求得CB 、CA 的坐标，再根据向量坐标的定义就可以求出M 、N 的坐标，),4,3(),1,3(),4,2(----C B A).3,6(),8,1(==∴⋅====∴)6,12(2),24,3(3CB CN CA CM设),,(y x M 则),4,3(++=y x,3=⎩⎨⎧=+=+∴,244,33y x ⎩⎨⎧==∴,20,0y x ⋅∴)20,0(M同理可求),2,9(N 因此).18,9(-=⋅-=∴)18,9(),2,9(),20,0(N M[点拨] 向量的坐标是向 量的代数表示形式，它只与起点、终点相对位置有关，三者中给出任意两个，可求第三个．在求解时，应将向量的坐标看做一个“整体”，运用方程思想求解，向量的坐标运算是向量中最常用的也是最基本的运算，必须灵活应用．1．(1)在直角坐标系xOy 中，a 、b 如图2 -2 -2 -4所示，若,4||=a ,3||=b 分别求出：①a 与b 的坐标；②BA 的坐标．(2)（2010年青岛部分中学统考题）若向量)43,3(2--+=x x x a 与AB 相等，其中),2,3(),2,1(B A 则=x(3)已知0是坐标原点，点A 在第一象限，,34||=,60 =∠xOA 则向量的坐标为考点2 平面向量的坐标运算[例2] 已知),16,8(),8,2(-=--=+b a b a 求a 和b ．[解析] 直接利用向量的和、差及数乘坐标运算，通过解方程组加以解决，解法一：设),,(),,(q p b n m a ==则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--=+=+.16,8,8,2q n p m q n p m 解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===-=.12,5,4,3q p n m所以⋅-=-=)12,5(),4,3(b a 解法二：);4,3()]()[(21-=-++=b a b a a ).12,5()]()[(21-=--+=b a b a b[点拨] 以上两种解法都是通过解方程得到解决的，解法一侧重于解以坐标为主体的方程；解法二侧重于寻求向量之间的关系，解向量方程．解法二采用“整体法”处理向量的问题，更显得简捷、明了．2．(1)已知),1,2(),2,1(=-=b a 求：.3121;3;32b a b a b a --+③②① (2)已知),4,3(),1,3(),4,2(----C B A 且,3CA CM =,2CB CN =求M 、N 的坐标及.51AB MN + 考点3 用基底表示向量[例3] 已知四点)2,3()1,2()2,1(C B A 、、-和.2(-D ),3试以A A 、为基底表示.B ++ [解析] 先求A ++的坐标，再由平面向量基本定理，设,n m AD +=++然后列出关于m ，n 的方程组，解方程组求m ，n 的值，进而得基底表示式．[答案] 由已知可得，,3(),4,2(),3,1(-===⋅-=-=)1,5(),2,4(),5B⋅-=-+-+-=++∴)8,12()1,5()2,4()5,3(B假设),,(BD D R n m AC n AB m CD A ∈+=++则),4,2()3,1()8,12(n m +=-即,2()8,12(n m +=-⋅+)43n m⎩⎨⎧=+-=+∴,843,122n m n m 解得⎩⎨⎧-==.22,32n m 故.2232AC AB -=++[点评]利用坐标运算由基底表示另一向量的问题，一般先求出基底向量和被表示向量的坐标，再用待定系数法列方程组，求线性系数即可得表示式．3．若向量=-==c b a ),1,1(),1,1(),2,1(-则c 等于( )．b a A 2321.+-b a B 2321.- b a C 2123.-- b a D 2123.+- 考点4 坐标运算的综合运用[例4] 已知向量),,(y x u =与向量)2,(x y y -=ν的对应关系用)(u f =ν表示 ． (1)证明：对任意的向量a 、b 及常数m 、n ，恒有=+)(nb ma f )()(b nf a mf +成立； (2)设),0,1(),1,1(==b a 求向量)(a f 与)(b f 的坐标；(3)求使q p q p c f 、((),()(=为常数）的向量c 的坐标．[解析] 由已知条件知，必须将向量用坐标表示，通过坐标运算来解决问题． (1)证明：设),,(),,(2121b b b a a a == 则),,(2211nb ma nb ma nb ma ++=+⋅--++=+∴)22,()(112222nb ma nb ma nb ma nb ma f ),2,()(),2,()(122122b b b n b nf a a a m a mf -=-= ⋅--++=+∴)22,()()(112222nb ma nb ma nb ma b nf a mf)()()1(b nf a mf ma f +=±+∴成立．(2)解：),1,1()112,1()(=-⨯=a f⋅-=-⨯=)1,0()102,0()(b f(3)解：设),(y x c =则),,()2,()(q p x y y c f =-=⎩⎨⎧=-=∴,2,q x y p y 即⎩⎨⎧=-=,,2p y q p x ⋅-=∴),2(p q p c[点拨] 本题是一道向量知识与函数知识相结合的题目，主要以函数映射的知识为载体考查了向量坐标的运算．向量坐标的引入使向量运算代数化，使向量与函数、数列、不等式、三角、解析几何等知识的结合非常密切, 这是近几年高考命题的一个亮点．4．平面直角坐标系中，0为坐标原点，已知两点),3,1(),1,3(-B A 若点C 满足,0μλ+=C 其中,1=+μλ求点C 的轨迹方程．学业水平测试1．以下命题错误的是( )．A ．若将),(00y x =平移，使起点M 与坐标原点0重合，则N 点坐标为),(00y x),(.00y x MN B =的相反向量的坐标为),(00y x --C ．若),(00y x =与y 轴垂直，则必有00=yD ．若),(00y x =是一个单位向量，则0x 小于l 2．已知),2,3(),1,5(---B A 则=-21( )． )1,8.(A )21,4.(-B )1,8.(-C )1,8.(--D3．在以下向量中，单位向量有( )．①);sin ,(cos θθ-=a );5lg ,2lg (=b ②);2,2(xxc -=③④⋅-=),1(x xd A.l 个 B.2个 C.3个 D.4个4．若B ),5,2(-=点的坐标是（1，-3），则A 点的坐标为5．设,),,1(),5,(),3,4(c b a y c x b a =+-==-=则=),(y x6．已知三个力),(),5,2(),4,3(321y x F F F =-==的合力.0321=++F F F 求3F 的坐标．高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）1．已知向量),1,0(),0,1(==j i 对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x 、y ，使得);,(y x a =②若),,(),(,22112211y x y x a R y x y x =/=∈、、、则,21x x =/且;21y y =/ ③若,0,=/∈a R y x 、且),,(y x a =则a 的起点是原点O ； ④若,0,=/∈a R y x 、且a 的终点坐标是（x ，y ），则).,(y x a = 在以上四个结论中，正确的结论共有( )． A ．1个 B.2个 C.3个 D ．4个2．已知向量),2,1(=m 把m 向左平移1个单位，再向上平移2个单位，则m 的坐标是( )．)4,0.(A )4,2.(B )2,1.(C )3,3.(D3．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为,7),4,2(---（),3,4(),5--则第四个顶点一定不是( )．)12,5.(--A )2,9(-⋅B )4,1.(c )3,7(--⋅D4．已知□ABCD 中，),3,2(),7,3(-==AB AD 对角线BD AC 、交于点O ，则C 的坐标为( )．)5,21.(-A )5,21.(B )5,21.(--c )5,21.(-D5．（2010年山东高考题）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下：对任意的),,(),,(q p b n m a ==令⋅-=Θnp mq b a 下列说法错误的是( )．A ．若a 与b 共线，则0=Θb a a b b aB Θ=Θ.C ．对任意的,R ∈λ有)()(b a b a Θ=Θλλ 2222||||)().(b a b a b a D =⋅+Θ 6．（2004年安徽高考题）已知向量集合+==)2,1(|{a a M {)5,4()2,2(N },),4,3(μλλ+--===∈a a R，},R ∈μ则=N M（ ）)}1,1.{(A )}2,2(),2,1{(--⋅B )}2,2.{(--C ∅.D7．（2008年安徽高考题）在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若),3,1(),4,2(==则等于( )．)4,2(--⋅A )5,3(--⋅B )5,3(⋅C )4,2(⋅D8．（2006年福建高考题）已知,0.,3||,1||=⋅==点C 在AOB ∠内，且.30o AOC =∠设、m n m O (0=+=,）R n ∈则nm等于( )． 31.A 3.B 33.C 3.D 二、填空题（5分x4 =20分）9．已知,a AB =且),2,41(),4,21(B A 又,21=λ则a λ等于 10．若作用在坐标原点的三个力),5,2(),4,3(21-==F F ),1,3(3=F 则作用在原点的合力321F F F ++的坐标为11.已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，=∠=xOA ,34||,60 则向量的坐标 12．已知),sin ,(cos ),cos ,(sin 21θθθθ==e e 且1e 和2e 是一组基底，则角θ的集合为三、解答题（10分x4 =40分）13.如图2-2 -2 -5，已知平面上三点A 、B 、C 的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、(3，4).求点D 的坐标，使得这四点能构成平行四边形的四个顶点．14．已知点)8,2(),2,1(B A -,31,31AC -==及求点C 、D 和的坐标．15．已知点),10,7(),45(),3,2(C B A ⋅若∈+=λλ(),R 试求A 为何值时，点P 在第一、三象限的角平分线上？又λ为何值时，点P 在第三象限内？16．已知点)5,4(),2,1(),0,0(B A O 及,A t O +=求：(l)t 为何值时，P 在x 轴上?P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)0、A 、B 、P 四点能否构成平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由，。

必修四第二章 平面向量2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算教学目的：知识目标：掌握平面向量的正交分解及坐标表示通过探究活动,使学生掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反向量.能力目标：让学生经历类比方法学习向量及其几何表示的过程，体验对比理解向量基本概念的简易性，从而养成科学的学习方法。

情感目标：通过本节课的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践，引发学生学习兴趣；创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求。

教学重点：平面向量的正交分解及坐标表示教学难点：平面向量的正交分解及坐标表示教学过程：导入新课一、复习提问：1．复习向量相等的概念 相等向量OA =BC ，方向相同，大小相等。

2．平面向量的基本定理（基底）a =λ11e +λ22e ,其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。

二、新课：1．正交分解的物理背景及其概念光滑斜面上一个木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的F 1力的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F 2，G ＝F 1＋F 2，叫做把重力G 分解。

由平面向量的基本定理，对平面上任意向量a ，均可以分解为不共线的两个向量a =λ11e +λ22e 。

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。

2．平面向量的坐标表示取x 轴、y 轴上两个单位向量i , j 作基底，则平面内作一向量a =x i +y j ，记作：a =(x , y ) 称作向量a 的坐标，这就叫做向量的坐标表示。

i ＝（1,0），j ＝（0,1），0＝（0,0）例2 如下图，分别用基底i , j 表示向量a 、b 、c 、d ，并求出它们的坐标。

解：由图可知：12AA AA =+a ＝2i ＋3j,所以，a ＝（2,3）,同理，有：b ＝－2i ＋3j ＝（－2,3）,c ＝－2i －3j ＝（－2,－3）,d ＝2i －3j ＝（2,－3）。

向量的正交分解与向量的直角坐标运算一.课前案：1. 设向量12(,)a a a = ，a的方向相对于x 轴正向的转角为θ，则1a =2a = 。

2. 在直角坐标系中，一点A 的位置被点A 的位置向量OA 所惟一确定，设点A 的平面直角坐标为(x,y)，则12(,)OA xe ye x y =+= ，即点A 位置向量OA的坐标与点A 的平面直角坐标是统一的。

自学检测1.已知平面向量(1,1),(1,1)a b ==- ，则向量1322a b -=。

2.已知点A （2，1），B(3,2),且2AP PB = ，则点P 的坐标为 。

3.已知点A （1，3），B(-3,5),则线段AB 的中点坐标为 。

二.课中案：1.合作探究什么样的两个向量能作为正交基底？2．典例分析例1.已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，||43OA = ,60xOA ∠= ,求向量OA 的坐标.例2.已知点A （-1，2），B （2，8），且11,33AC AB DA BA ==- ,求C,D 的坐标。

例3.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若()AP AB AC R λλ=+∈ ，试求λ为何值时，点P 位于第三象限。

例4.已知(cos ,sin ),(1sin ,1cos )OP OQ θθθθ==++ ，其中0θπ≤≤，求||PQ 的取值范围及||PQ 取得最大值时θ的值。

3．当堂检测1.已知(2,3),(1,5)a b =-= ，则3a b + 等于（ ）A.(-5,14)B.(5,14)C.(7,4)D.(5,9)2.已知三点A(1，1)，B(-1,0),C(0,1),若AB 和CD 是相反向量，则D 点坐标是（）。

A.(-2,0) B.(2,2) C.(2,0) D.(-2,-2)3.ABCD 中，(3,7),(2,3)AD AB ==- ,对称中心为O ，则CO 等于( ) A.1(,5)2- B.1(,5)2-- C.1(,5)2- D.(1,5)24.设向量(2,3)AB = ，且点A 的坐标为（1，2），则点B 的坐标为（ ）A.(1,1)B.(-1,-1)C.(3,5)D.(4,4)5.已知向量(cos75,sin75),(cos15,sin15)a b == ，那么||a b - 的值是（ ） A,12 B.22C.32D.1 三．课后案：1.已知A （6，-3），B(-3,5),若2AC BC =⋅ ，则点C 的坐标为（ ）A.(12,13)B.(-12,13)C.(-12,-13)D.(12,-13)2.向量(1,2),(2,3),(3,4)a b c === ，且12c a b λλ=+ ，则12,λλ的值分别为（ ）A.-2,1B.1,-2C.2,-1D. -1,23.已知(1,sin ),(1,cos )a b θθ== ，则||a b - 的最大值为 。