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第28讲-向量的分解与向量的坐标运算(解析版)向量的分解与向量的坐标运算向量是线性代数中的重要概念，具有方向和大小的特点，可以表示物理量，也可以用于计算和解决各种数学问题。
本文将介绍向量的分解和向量的坐标运算，帮助读者更好地理解和应用向量。
一、向量的分解在空间中，一个向量可以分解成两个或三个互相垂直的分量，分别与坐标轴平行。
这种分解使得计算和研究向量更加方便。
下面以二维向量为例，介绍向量的分解方法。
设有一个向量a，它与坐标轴的夹角为a，长度为a。
将a的终点与a轴和a轴的交点分别连接，得到两个垂直于坐标轴的线段，分别为a·aaaa和a·aaaa。
这两个线段就是向量a在a轴和a轴上的分量。
根据三角函数的性质，可以得到以下计算向量分量的公式：aa = a·aaaaaa = a·aaaa通过这种分解方法，我们可以将一个平面向量分解成两个分量，通过分量运算更准确地描述向量的性质和特点。
二、向量的坐标运算向量的坐标运算是利用向量的分量进行加减、数乘等运算，从而得到新向量的过程。
下面我们来介绍向量的坐标运算的几个基本概念和方法。
1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量进行相加，得到一个新向量的运算。
设有两个向量a和a，它们的分量分别为(aa, aa)和(aa, aa)，则它们的和向量a+a的分量满足以下关系：(a + a)a = aa + aa(a + a)a = aa + aa通过向量的加法，我们可以将多个向量相加得到一个结果向量，用于描述物理量的合成和分解等问题。
2. 向量的数乘向量的数乘是指将一个向量与一个实数进行乘法运算，得到一个新向量的过程。
设有一个向量a和实数a，则向量a的数乘a的分量满足以下关系：(aa)a = a·aa(aa)a = a·aa通过向量的数乘，我们可以改变向量的大小和方向，用于描述变化、缩放等问题。
3. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，得到一个新向量的运算。
考向24 平面向量的基本定理及坐标表示【2022·全国·高考真题（文）】已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【2021·全国·高考真题（理）】已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．1．应用平面向量基本定理的关键点（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．3．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系． 4．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．向量共线（平行）的坐标表示1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为a λ（λ∈R ），然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入a λ即可得到所求的向量．2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若11(),a x y =，22(),b x y =，则a b ∥的充要条件是1221x y x y =”解题比较方便．3．三点共线问题．A ，B ，C 三点共线等价于AB 与AC 共线．4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解．1．平面向量基本定理和性质 （1）共线向量基本定理如果()a b R λλ=∈，则//a b ；反之，如果//a b 且0b ≠，则一定存在唯一的实数λ，使a b λ=．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．（2）平面向量基本定理如果1e 和2e 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a ，都存在唯一的一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+，我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{}12,e e ，1122e e λλ+叫做向量a 关于基底{}12,e e 的分解式．注意：由平面向量基本定理可知：只要向量1e 与2e 不共线，平面内的任一向量a 都可以分解成形如1122a e e λλ=+的形式，并且这样的分解是唯一的．1122e e λλ+叫做1e ，2e 的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．推论1：若11223142a e e e e λλλλ=+=+，则1324,λλλλ==． 推论2：若11220a e e λλ=+=，则120λλ==． （3）线段定比分点的向量表达式如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 上的点，且BD DC λ=（1λ≠-），则向量1AB ACAD λλ+=+．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．（4）三点共线定理平面内三点A ，B ，C 共线的充要条件是：存在实数,λμ，使OC OA OB λμ=+，其中1λμ+=，O 为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．A 、B 、C 三点共线⇔存在唯一的实数λ，使得AC AB λ=； ⇔存在唯一的实数λ，使得OC OA AB λ=+； ⇔存在唯一的实数λ，使得(1)OC OA OB λλ=-+； ⇔存在1λμ+=，使得OC OA OB λμ=+．（5）中线向量定理如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 的中点，则中线向量1(2AD AB =+)AC ，反之亦正确．2．平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示．在平面直角坐标中，分别取与x 轴，y 轴正半轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数,x y 使a xi yj =+，我们把有序实数对(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =．（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量(,)x y 一一对应向量OA一一对应点(,)A x y ．（3）设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．若(,)a x y =，λ为实数，则(,)a x y λλλ=，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．（4）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB OB OA =-=12(,x x -12)y y -，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．DACBDACB3．平面向量的直角坐标运算①已知点11()A x y ，，22()B x y ，，则2121()AB x x y y =--，，222121||()()AB x x y y =-+- ②已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b ±1212()x x y y =±±，，11(,)a x y λλλ=， =a b ⋅1212x x y y +，2211||a x y =+．a b ∥⇔12210x y x y -=，a b ⊥⇔12120x x y y +=1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知在ABC 中， 3AD BD =-，CD CE λ=，23AE AB AC μ=+，则μ=（ ） A ．14B ．12C ．34D ．12．（2022·上海静安·二模）设(,)a x y =，(,)b m n =，且a ，b 均为非零向量，则“x ym n=”是“a b ∥”的（ ）条件 A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要3．（2022·上海闵行·二模）已知、、A B C 是平面内不共线的三点，点O 满足20,OA OB OC λλ++=为实常数，现有下述两个命题：（1）当3λ≠-时，满足条件的点O 存在且是唯一的；（2）当3λ=-时，满足条件的点O 不存在．则说法正确的一项是（ ） A ．命题（1）和（2）均为真命题B ．命题（1）为真命题，命题（2）为假命题C ．命题（1）和（2）均为假命题D ．命题（1）为假命题，命题（2）为真命题4．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =（ ） A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +5．（2022·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，设CB a =，CD b =，E 为AD 的中点，CE 与BD 交于F ，则AF =（ ）A ．23a b+-B ．23a b+-C ．23a b--D ．23a b--6．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2EO AE =，则EB （ ）A ．1566AB AD -B ．1566AB AD +C ．5166AB AD -D ．5166AB AD +1．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知向量()2,2a t =，()2,5b t =---，若向量a 与向量a b +的夹角为钝角，则t 的取值范围为（ ） A ．()3,1- B ．()()3,11,1--- C ．()1,3-D ．111,,322⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））已知向量()1,2a =，(),1=-b m ，若a b ∥，则⋅=a b （ ）A ．32-B ．32C ．52-D ．523．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP xAB y AC =+，则22x y +的最大值为（ ）A ．83B ．2C ．43D ．14．（2022·全国·高三专题练习）△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，设向量()()p a c b q b a c a =+=--，，，，若p q ∥，则角C 的大小为（ ） A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π35．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知O 为坐标原点，122PP PP =-，若()11,2P 、()22,1P -，则与OP 共线的单位向量为（ ）A ．()3,4-B ．()3,4-或()3,4-C ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭6．（2022·浙江省江山中学模拟预测）在ABC 中，E ，F 分别为,AC BC 的中点，点D 是线段AF （不含端点）内的任意一点，AD mAB nAE =+，则（ ） A ．(0,1)m ∈B ．(0,2)n ∈C ．2n m =D ．1m n +=7．（2022·吉林长春·模拟预测（理））互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P 作两坐标轴的平行线，其在x 轴和y 轴上的截距a ，b 分别作为点P 的x 坐标和y 坐标，记(),P a b ，则在x 轴正方向和y 轴正方向的夹角为θ的斜坐标系中，下列选项错误的是（ ）A ．当60θ=︒时()1,2A 与()3,4B 距离为23B ．点()1,2A 关于原点的对称点为()1,2A '--C ．向量11,ax y 与22,bx y 平行的充要条件是1221y x y x =D ．点()1,2A 到直线10x y +-=28．（2022·河南郑州·三模（理））在ABC 中，D 是BC 上一点，2BD DC =，M 是线段AD上一点，14BM tBA BC =+，则t =（ ）A ．12B ．23C ．34D ．589．（多选题）（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）在ABC 中，D 为BC 中点，且2AE ED =，则（ ）A ．2136CE CA CB =+B ．1133CE CA CB =+C ．CE ∥()CA CB +D ．CE ⊥()CA CB -10．（多选题）（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知(cos ,sin )a αα=,(cos ,sin )b ββ=,其中,[0,2π)αβ∈，则以下结论正确的是（ ）A ．若//a b ，则αβ=B ．若a b ⊥，则π||2αβ-=或3π2 C ．若12a b ⋅=-，则||1a b +=D ．若a b a -=，则3()2a ab ⋅+=11．（多选题）（2022·江苏·模拟预测）已知向量(3,2)a =-，(2,1)b =，(,1)c λ=-，R λ∈，则（ ）A ．若(2)a b c +⊥，则4λ=B ．若a tb c =+，则6t λ+=-C ．a b μ+的最小值为75D ．若向量a b +与向量2b c +的夹角为锐角，则λ的取值范围是(,1)-∞-12．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知向量()2,3a m →=-，(),1b m →=，则下列说法正确的是（ ） A ．若a b →→∥，则12m =B ．若a b →→⊥，则3m =C ．2a b →→+的最小值为7D ．若13m -<<，则a →与b →的夹角为钝角13．（多选题）（2022·全国·模拟预测）在边长为2正六边形ABCDEF 中，G 是线段AB 上一点，AG AB λ=，则下列说法正确的有（ ）A ．若12λ=，则122EG AB AF =--B ．若向量CD 在向量AB 上的投影向量是AB μ，则12μ=C ．若P 为正六边形ABCDEF 内一点（包含端点），则AP AB ⋅的取值范围是[]2,6-D ．若1CG CE ⋅=，则λ的值为2314．（2022·全国·模拟预测（文））在ABC 中，M 为AB 的中点，N 为线段CM 上一点（异于端点），AN xAB yAC =+，则11x y+的最小值为______．15．（2022·湖南·模拟预测）在三角形ABC 中，点D 在边BC 上，若2BD DC =，AD AB AC λμ=+(),λμ∈R ，则λμ-=______．16．（2022·浙江·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，12,cos 2AB BAD =∠=，E 、F 是边BC ，CD 上的点，12BE BC =，23CF CD =，若8AE BF ⋅=，则平行四边形的面积为_________．17．（2022·江西·模拟预测（理））在ABC 中，1AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，P 是ABC 的外接圆上的一点，若AP mAB =+nAC ，则m n +的最小值是________18．（2022·湖南岳阳·三模）设点P 在以A 为圆心，半径为1的圆弧BC 上运动(包含B ，C 两个端点)，∠BAC ＝23π，且AP xAB y AC =+，x ＋y 的取值范围为________．19．（2022·上海徐汇·二模）在ABC 中，已知1AB =，2AC =，120A ∠=︒，若点P 是ABC 所在平面上一点，且满足AP AB AC λ=+，1BP CP ⋅=-，则实数λ的值为______________．20．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）已知0θπ<<，向量2sin ,2cos 2a θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,sin θ=b ，且a b ∥，则θ＝______________．1．（2022·全国·高考真题（文））已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．（2020·全国·高考真题（文））已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（ ） A ．2a b +B ．2a b +C ．2a b -D ．2a b -3．（2019·全国·高考真题（文））已知向量()()2332a b ==，，，，则|–|a b = A ．2 B ．2 C ．52D ．504．（2021·全国·高考真题（理））已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．5．（2021·全国·高考真题（文））已知向量()()2,5,,4a b λ==，若//a b ，则λ=_________． 6．（2021·全国·高考真题（文））若向量,a b 满足3,5,1a a b a b =-=⋅=，则b =_________. 7．（2021·全国·高考真题（理））已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．8．（2020·江苏·高考真题）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．9．（2020·全国·高考真题（理））设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________. 10．（2020·全国·高考真题（文））设向量(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，若a b ⊥，则m =______________.11．（2020·全国·高考真题（理））已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________.12．（2019·北京·高考真题（文））已知向量a =（－4，3），b =（6，m ），且a b ⊥，则m =__________.。
2．2.1 平面向量基本定理预习课本P96～98，思考并完成以下问题 (1)平面向量基本定理的内容是什么？(2)如何定义平面向量基底？(3)直线的向量参数方程式是什么？[新知初探]1．平面向量基本定理 (1)定理如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2.(2)基底把不共线向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}．a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式．[点睛] 对平面向量基本定理的理解应注意以下三点：①e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量；②该平面内任意向量a 都可以用e 1，e 2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．2．直线的向量参数方程式已知A ，B 是直线l 上的任意两点，O 是l 外一点(如图所示)，则对于直线l 上任意一点P ，存在唯一实数t (1－t )；反之，对每一个实数t ，在直线l 上都有唯一的一个点P 与之对应．向量等(1－t )叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数．当t ＝12时，＝12，此时P 点为线段AB 的中点，这是线段AB 中点的向量表达式．[点睛] 1.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量都可以作为基底．( )(2)一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底．( ) (3)零向量不可以作为基底中的向量．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．如图，向量e 1，e 2，a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 用基底e 1，e 2表示为( )A ．e 1＋e 2B ．－2e 1＋e 2C ．2e 1－e 2D ．2e 1＋e 2答案：B3．设e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是( ) A ．e 1，e 2 B ．e 1＋e 2,3e 1＋3e 2 C ．e 1,5e 2 D ．e 1，e 1＋e 2 答案：B4．设e 1，e 2为两个不共线的向量，若点O 是▱ABCD 4e 16e 2，则3e 2－2e 1＝________.解析：3e 2－2e 1＝12(6e 2－4e 1)＝12(＝12((答案不唯一)用基底表示向量[典例] 如图，在平行四边形ABCD 中，a b ，试用基底a ，b 表示AB ，BC .[解] 法一：由题意知，AO ＝OC ＝12AC ＝12a ，BO ＝OD ＝12BD ＝12b .所以AB ＝AO ＋OB ＝AO －BO ＝12a －12b ，BC ＝BO ＋OC ＝12a ＋12b ，法二：设AB ＝x ，BC ＝y ，则AD ＝BC ＝y ，又⎩⎪⎨⎪⎧AB ＋BC ＝AC ， AD －AB ＝BD ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，y －x ＝b ，所以x ＝12a －12b ，y ＝12a ＋12b ，即AB ＝12a －12b ，BC ＝12a ＋12b .用基底表示向量的方法将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止；另一种是通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．[活学活用]如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E ，F 分别是AD ，BC 边上的中点，且BC ＝3AD ，BA ＝a ，BC ＝b .试以a ，b 为基底表示EF ，DF ，CD .解：∵AD ∥BC ，且AD ＝13BC ，∴AD ＝13BC ＝13b .∵E 为AD 的中点， ∴AE ＝ED ＝12AD ＝16b .∵BF ＝12BC ，∴BF ＝12b ，∴EF ＝BA ＋AB ＋BF ＝－16b －a ＋12b ＝13b －a ，DF ＝DE ＋EF ＝－16b ＋13b －a ＝16b －a ，CD ＝CF ＋FD ＝－(DF ＋FC )＝－(DF ＋BF )＝－⎝⎛⎭⎫16b －a ＋12b ＝a －23b .直线的向量参数方程式的应用[典例] 已知平面内两定点A ，B ，对该平面内任一动点C ，总有OC ＝3λOA ＋(1－3λ)OB (λ∈R ，点O 为直线AB 外的一点)，则点C 的轨迹是什么图形？简单说明理由．[解] 法一：3λ＋(1－3λ)＝1且λ∈R ，结合直线的向量参数方程式可知点C 的轨迹是直线AB .法二：将已知向量等式两边同时减去OA ，得OC －OA ＝(3λ－1) OA ＋(1－3λ) OB＝(1－3λ)( OB －OA ) ＝(1－3λ) AB ，即AC ＝(1－3λ) AB ，λ∈R ，∴A ，B ，C 三点共线，即点C 的轨迹是直线AB .直线的向量参数方程式的两方面应用(1)若A ，B ，C 三点共线，则有OC ＝x OA ＋y OB ，且x ＋y ＝1；(2)若OC ＝x OA ＋y OB ，且x ＋y ＝1，则有A ，B ，C 三点共线． [活学活用]在△ABC 中，D 为AB 上一点，若AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.解析：法一：∵AD ＝2DB ， ∴AD ＝23AB ＝23(CB －CA )．∵在△ACD 中，CD ＝CA ＋AD ＝CA ＋23(CB －CA )＝13CA ＋23CB ，∴λ＝23.法二：A ，B ，D 三点共线， 又∵C 在直线AB 外，则13＋λ＝1，∴λ＝23.答案：23[典例] NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 与BP ∶PN .[解] e 1e 2，3e 2－e 1，BN ＝BC ＋CN 2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线，∴存在实数λ，μ＝－λe 1－3λe 2，2μe 1＋μe 2.(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2.2e 1＋3e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3， 解得⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.∴AP ∶PM ＝4∶1，BP ∶PN ＝3∶2.[一题多变]1．[变设问]a b ，试用a ，b解：由本例解析知BP ∶PN ＝3∶2CP ＝CN ＋NP ＝CN ＋25NB ＝b ＋25(―CB －CN )＝b ＋45a －25b ＝35b ＋45a .2．[变条件]若本例中的点N 为AC 的中点，其它条件不变，求AP ∶PM 与BP ∶PN . 解：如图，设BM ＝e 1，CN ＝e 2，则AM ＝AC ＋CM ＝－2e 2－e 1，BN ＝BC ＋CN ＝2e 1＋e 2. ∵A ，P ，M 和B ，P ，N 分别共线， ∴存在实数λ，μ使得AP ＝λAM ＝－λe 1－2λe 2，BP ＝μBN ＝2μe 1＋μe 2.故BA ＝BP ＋PA ＝BP －AP ＝(λ＋2μ)e 1＋(2λ＋μ)e 2. 而BA ＝BC ＋CA ＝2e 1＋2e 2，由平面向量基本定理，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，2λ＋μ＝2， 解得⎩⎨⎧λ＝23，μ＝23.∴AP ＝23AM ，BP ＝23BN ，∴AP ∶PM ＝2，BP ∶PN ＝2.若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量( 一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．1．已知平行四边形ABCD 中，P 是对角线AC (t －t ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．任意实数解析：选B P ，A ，C 三点共线，所以t ＋t －1＝1，故t ＝1，故选B.2．设点O 是▱ABCD 两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．③④解析：选B 寻找不共线的向量组即可，在▱ABCD3．若AD 是△ABC 的中线，a b ，则以a ，b ( )A.12(a －b ) B.12(a ＋b ) C.12(b －a ) D.12b ＋a解析：选B 如图，AD 是△ABC 的中线，则D 为线段BC 的中点，从＝12(＝12(a ＋b )．4．在矩形ABCD 中，O e 1e 2( ) A.12(e 1＋e 2) B.12(e 1－e 2) C.12(2e 2－e 1) D.12(e 2－e 1)解析：选A 因为O 是矩形ABCD e 1e 2，＝12＝12(e 1＋e 2)，故选A.5．(全国Ⅰ卷)设D 为△ABC ( )ABCD解析：选A＝－136．已知向量a ，b 是一组基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y的值为______．解析：∵a ，b 是一组基底，∴a 与b 不共线， ∵(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，∴x －y ＝3. 答案：37．已知e 1，e 2是两个不共线向量，a ＝k 2e 1＋⎝⎛⎭⎫1－5k2e 2与b ＝2e 1＋3e 2共线，则实数k ＝______.解析：由题设，知k22＝1－5k23，∴3k 2＋5k －2＝0，解得k ＝－2或13.答案：－2或138．如下图，在正方形ABCD a b c ，则在以a ，b 为基底______，在以a ，c ______．解析：以a ，c B 与A 重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．答案：a ＋b 2a ＋c9.如图所示，设M ，N ，P 是△ABCa b ，试用a ，b＝13a －23b ，＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b ，＝13(a ＋b )．10．证明：三角形的三条中线共点．证明：如图所示，设AD ，BE ，CF 分别为△ABCa b .b －a .设G 在AD 上，且AG AD ＝23a ＋12(b －a )＝12(a ＋b )．＝12b －a .＝13(a ＋b )－a ＝13b －23a＝23⎝⎛⎭⎫12b －a∴G 在BE即G 在CF 上．故AD ，BE ，CF 三线交于同一点．层级二 应试能力达标1．在△ABC 中，点D 在BC a b 用基底a ，b 表示为( )A.12(a ＋b ) B.23a ＋13b C.13a ＋23b D.13(a ＋b )解析：选C＋23(＝13a ＋23b .2．在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AMλ＋μ的值为( )A.12B.13C.14D ．1解析：选A ∵M 为边BC 上任意一点，x ＋y ＝1) ∵N 为AM 的中点，＝12x ＋12y ∴λ＋μ＝12(x ＋y )＝12.3．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题中正确的是( ) A ．若存在实数λ1，λ2，使得λ1e 1＋λ2e 1＝0，则λ1＝λ2＝0B ．平面α内任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD ．对于平面α内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对解析：选B A 中，(λ1＋λ2)e 1＝0，∴λ1＋λ2＝0，即λ1＝－λ2；B 符合平面向量基本定理；C 中，λ1e 1＋λ2e 2一定在平面α内；D 中，λ1，λ2有且只有一对．4(λ∈R)，则x ，y 满足的关系是( )A ．x ＋y －2＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －2＝0D ．2x ＋y －2＝0解析：选A λ，(1＋λ)又∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y ＝2. 5．设e 1，e 2是平面内的一组基底，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则e 1＋e 2＝________a ＋________b .解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，解得⎩⎨⎧e 1＝13a －23b ，e 2＝13a ＋13b .故e 1＋e 2＝⎝⎛⎭⎫13a －23b ＋⎝⎛⎭⎫13a ＋13b ＝23a ＋⎝⎛⎭⎫－13b .答案：23 －136．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.解析：EBλ＝12，μ＝14，λ＋μ＝34.答案：347．设e 1，e 2是不共线的非零向量，且a ＝e 1－2e 2，b ＝e 1＋3e 2. (1)证明：a ，b 可以作为一组基底；(2)以a ，b 为基底，求向量c ＝3e 1－e 2的分解式； (3)若 4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，求λ，μ的值．解：(1)证明：若a ，b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ， 则e 1－2e 2＝λ(e 1＋3e 2)．由e 1，e 2不共线，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，3λ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－23.∴λ不存在，故a 与b 不共线，可以作为一组基底． (2)设c ＝ma ＋nb (m ，n ∈R)，则 3e 1－e 2＝m (e 1－2e 2)＋n (e 1＋3e 2) ＝(m ＋n )e 1＋(－2m ＋3n )e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，－2m ＋3n ＝－1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1.∴c ＝2a ＋b . (3)由4e 1－3e 2＝λa ＋μb ，得 4e 1－3e 2＝λ(e 1－2e 2)＋μ(e 1＋3e 2) ＝(λ＋μ)e 1＋(－2λ＋3μ)e 2.∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＋μ＝4，－2λ＋3μ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝1.故所求λ，μ的值分别为3和1.8．若点M 是△ABC (1)求△ABM 与△ABC 的面积之比．(2)若N 为AB 中点，AM 与CN 交于点O x ，y 的值． 解：(1)可知M ，B ，C 三点共线，BM ＝AB ＋λλ＝(1－λ)λ＝14，所以S △ABM S△ABC ＝14，即面积之比为1∶4.(2)O ，M ，A 三点共线及O ，N ，C 三点共线⇒⎩⎨⎧x ＋y2＝1，x4＋y ＝1⇒⎩⎨⎧x ＝47，y ＝67.2．2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算预习课本P99～102，思考并完成以下问题 (1)两个向量垂直如何定义？(2)一个向量如何正交分解？(3)向量的直角坐标定义是什么？(4)如何由a ，b 的坐标求a ＋b ，a －b ，λa 的坐标？[新知初探]1．两个向量的垂直与正交分解如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直．如果基底的两个基向量e 1，e 2互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．2．向量的平面直角坐标的定义(1)基底：在直角坐标系xOy 内，分别取与x 轴和y 轴方向相同的两个单位向量e 1，e 2.这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底{e 1，e 2}．这个基底也叫做直角坐标系xOy 的基底．(2)坐标分量：在坐标平面xOy 内，任作一向量a (用有向线段)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(a 1，a 2)，使得a ＝a 1e 1＋a 2e 2，(a 1，a 2)就是向量a 在基底{e 1，e 2}下的坐标，即a＝(a 1，a 2)，其中a 1叫做向量a 在 x 轴上的坐标分量，a 2叫做a 在 y 轴上的坐标分量． 3．向量的坐标表示xe 1＋ye 2＝(x ，y )(x ，y )⇔点A 的坐标(x ，y )． 4．向量的直角坐标运算(1)若a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2)，a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2)，λa ＝(_λa 1，λa 2)．(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，＝(x 2－x 1，y 2－y 1)；线段AB 中点公式⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22.[点睛] (1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关． (2)当向量确定以后，向量的坐标就是唯一确定的，因此向量在平移前后，其坐标不变．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相等向量的坐标相同与向量的起点、终点无关．( )(2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( ) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( ) (4)点的坐标与向量的坐标相同．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×2．若a ＝(2,1)，b ＝(1,0)，则3a ＋2b 的坐标是( ) A ．(5,3) B ．(4,3) C ．(8,3) D ．(0，－1) 答案：C3(1,2)(3,4)( ) A ．(4,6) B ．(－4，－6) C ．(－2，－2) D ．(2,2)答案：A4．若点M (3,5)，点N (2,1)______.答案：(－1，－4)平面向量的坐标表示[典例] 如图，在边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角．求点B 和点D 的坐标和AB 与AD 的坐标．[解] 由题知B ，D 分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点． 设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)． 由三角函数的定义，得 x 1＝cos 30°＝32，y 1＝sin 30°＝12，∴B ⎝⎛⎭⎫32，12.x 2＝cos 120°＝－12，y 2＝sin 120°＝32，∴D ⎝⎛⎭⎫－12，32.∴AB ＝⎝⎛⎭⎫32，12，AD ＝⎝⎛⎭⎫－12，32.求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．[活学活用]已知O 是坐标原点，点A |OA |43，∠xOA ＝60°， (1)求向量OA 的坐标；(2)若B (3，－1)，求BA 的坐标．解：(1)设点A (x ，y )，则x ＝43cos 60°＝23， y ＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，OA ＝(23，6)． (2) BA ＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7).平面向量的坐标运算[典例] (1)已知三点A (2，－1)，B (3,4)，C (－2,0)，则向量3AB ＋2CA ＝________，BC－2AB＝________.(2)已知向量a，b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标．[解析](1)∵A(2，－1)，B(3,4)，C(－2,0)，∴AB＝(1,5)，CA＝(4，－1)，BC＝(－5，－4)．∴3AB＋2CA＝3(1,5)＋2(4，－1)＝(3＋8,15－2)＝(11,13)．BC－2AB＝(－5，－4)－2(1,5)＝(－5－2，－4－10)＝(－7，－14)．[答案](11,13)(－7，－14)(2)解：a＋b＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)，a－b＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)，3a＝3(－1,2)＝(－3,6)，2a＋3b＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(7，－11)．平面向量坐标运算的技巧(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．[活学活用]1．设平面向量a＝(3,5)，b＝(－2,1)，则a－2b＝()A．(7,3)B．(7,7)C．(1,7) D．(1,3)解析：选A∵2b＝2(－2,1)＝(－4,2)，∴a－2b＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，MP＝12MN，则P点坐标为______．解析：法一：设P(x，y)，MP＝(x－3，y＋2)，MN＝(－8,1)，＝12(－8,1)＝⎝⎛⎭⎫－4，12，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝－4，y ＋2＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32.法二：P 为MN 的中点，由中点坐标公式得 P 点坐标为⎝⎛⎭⎫－1，－32. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－32t AB ，t 为何值时，点P 在y 轴上？点P 在第二象限？[解] (1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t )， 若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0，所以t ＝－23.若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0， 所以t ＝－13.若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0，所以－23＜t ＜－13.[一题多变]1．[变条件]本例中条件“点P 在x 轴上，点P 在y 轴上，点P 在第二象限”若换为“B 为线段AP 的中点”试求t 的值．解：由典例知P (1＋3t,2＋3t )， 则⎩⎨⎧1＋1＋3t2＝4，2＋2＋3t2＝5，解得t ＝2.2．[变设问]本例条件不变，试问四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求出t 值；若不能，说明理由．解：OA ＝(1,2)，PB ＝(3－3t,3－3t )．若四边形OABP 为平行四边形，则OA ＝PB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解．故四边形OABP 不能成为平行四边形．向量中含参数问题的求解(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果横或纵坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随之改变．(2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到解题的目的．1．如果用i ，j 分别表示x 轴和y 轴方向上的单位向量，且A (2,3)，B (4,2)，则AB 可以表示为( )A ．2i ＋3jB ．4i ＋2jC ．2i －jD ．－2i ＋j解析：选C 记O 为坐标原点，则OA ＝2i ＋3j ，OB ＝4i ＋2j ，所以AB ＝OB －OA ＝2i －j .2．已知AB ＝a ，且A ⎝⎛⎭⎫12，4，B ⎝⎛⎭⎫14，2，又λ＝12，则λa 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫－18，－1 B.⎝⎛⎭⎫14，3 C.⎝⎛⎭⎫18，1D.⎝⎛⎭⎫－14，－3 解析：选A ∵a ＝AB ＝⎝⎛⎭⎫14，2－⎝⎛⎭⎫12，4＝⎝⎛⎭⎫－14，－2， ∴λa ＝12a ＝⎝⎛⎭⎫－18，－1. 3．已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b ＝( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(5,6)D ．(2,0)解析：选A b ＝(3,2)－2a ＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．4．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB ＝(2,4)，AC ＝(1,3)，则DA ＝( )A ．(2,4)B ．(3,5)C ．(1,1)D ．(－1，－1)解析：选C ＝(1,1)．5．已知M (－2,7)，N (10，－2)，点P 是线段MN P 点的坐标为( )A ．(－14,16)B ．(22，－11)C ．(6,1)D ．(2,4)解析：选D 设P (x ，y )(10－x ，－2－y )(－2－x,7－y )，⎩⎪⎨⎪⎧ 10－x ＝4＋2x ，－2－y ＝－14＋2y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4.6．(江苏高考)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若ma ＋nb ＝(9，－8)(m ，n ∈R)，则m－n 的值为________．解析：∵ma ＋nb ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，∴m －n ＝2－5＝－3. 答案：－37．若A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)________. 解析：∵A (2，－1)，B (4,2)，C (1,5)，(2,3)(－3,3)．(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)． 答案：(－4,9)8．已知O 是坐标原点，点A ＝6，∠xOA ＝150°________．解析：设点A (x ，y )，则x ＝6cos 150°＝－33，y ＝6sin 150°＝3，即A (－33，3)(－33，3)．答案：(－33，3)9．已知a B 点坐标为(1,0)，b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，且a ＝3b －2c ，求点A 的坐标．解：∵b ＝(－3,4)，c ＝(－1,1)，∴3b －2c ＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，即a ＝(－7,10)又B (1,0)，设A 点坐标为(x ，y )，(1－x,0－y )＝(－7,10)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝－7，0－y ＝10⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－10， 即A 点坐标为(8，－10)．10(4,3)(－3，－1)，点A (－1，－2)． (1)求线段BD 的中点M 的坐标．(2)若点P (2，y )(λ∈R)，求λ与y 的值． 解：(1)设B (x 1，y 1)，(4,3)，A (－1，－2)， 所以(x 1＋1，y 1＋2)＝(4,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝1，所以B (3,1)．同理可得D (－4，－3)， 设BD 的中点M (x 2，y 2)， 则x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32＝－1， 所以M ⎝⎛⎭⎫－12，－1.(2)(3,1)－(2，y )＝(1,1－y )，(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，(λ∈R)，所以(1,1－y )＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ，所以⎩⎨⎧λ＝－17，y ＝37.层级二 应试能力达标1(2,4)(0,2)( )A ．(－2，－2)B ．(2,2)C ．(1,1)D ．(－1，－1)解析：选D＝12＝12(－2，－2)＝(－1，－1)，故选D. 2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1，λ2的值分别为( )A ．－2,1B ．1，－2C ．2，－1D ．－1,2解析：选D ∵c ＝λ1a ＋λ2b ，∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3)＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＋2λ2＝3，2λ1＋3λ2＝4，解得λ1＝－1，λ2＝2.3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)点D 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫2，72B.⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3,2)D ．(1,3)解析：选A 设点D (m ，n )，则由题意得(4,3)＝2(m ，n －2)＝(2m,2n －4)，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＝4，2n －4＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝72，即点D ⎝⎛⎭⎫2，72，故选A. 4．对于任意的两个向量m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定运算“”为m n ＝(ac －bd ，bc ＋ad )，运算“”为m n ＝(a ＋c ，b ＋d )．设f ＝(p ，q )，若f ＝(5,0)，则f 等于( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0，－4)解析：选B 由(1,2)⊗f ＝(5,0)，得⎩⎪⎨⎪⎧ p －2q ＝5，2p ＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝－2，所以f ＝(1，－2)，所以f ＝，－2)＝(2,0)．5．已知向量i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论： ①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )；②若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2；③若x ，y ∈R ，a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的起点是原点O ； ④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )． 其中，正确结论有________个．解析：由平面向量基本定理，可知①正确；例如，a ＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的起点是不是原点无关，故③错误；当a 的终点坐标是(x ，y )时，a ＝(x ，y )是以a 的起点是原点为前提的，故④错误．答案：16．已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，|OC |＝22，且∠AOC ＝π4.(λ∈R)，则λ＝ ________.解析：过C 作CE ⊥x 轴于点E ，由∠AOC ＝π4知，|OE |＝|CE |＝2，所(－2,0)＝λ(－3,0)，故λ＝23.答案：237．在△ABC 中，已知A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M ，N ，D 分别是AB ，AC ，BC 的中点，且MN 与AD 交于点F解：∵A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，(3－7,5－8)＝(－4，－3)，(4－7,3－8)＝(－3，－5)．∵D 是BC 的中点，＝12(＝12(－4－3，－3－5)＝12(－7，－8)＝⎝⎛⎭⎫－72，－4.∵M ，N 分别为AB ，AC 的中点，∴F 为AD 的中点．＝－12⎝⎛⎭⎫－72，－4＝⎝⎛⎭⎫74，2.8．在直角坐标系xOy 中，已知点A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，(1)0(2)(m ，n ∈R)，且点P 在函数y ＝x ＋1的图象上，求m －n .解：(1)设点P 的坐标为(x ，y )，0，(1－x,1－y )＋(2－x,3－y )＋(3－x,2－y )＝(6－3x,6－3y )．所以⎩⎪⎨⎪⎧ 6－3x ＝0，6－3y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2.所以点P 的坐标为(2,2)，(2,2)．(2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)， 因为A (1,1)，B (2,3)，C (3,2)，(2,3)－(1,1)＝(1,2)，(3,2)－(1,1)＝(2,1)，所以(x 0，y 0)＝m (1,2)＋n (2,1)＝(m ＋2n,2m ＋n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝m ＋2n ，y 0＝2m ＋n ，两式相减得m －n ＝y 0－x 0，又因为点P 在函数y ＝x ＋1的图象上， 所以y 0－x 0＝1， 所以m －n ＝1.2．2.3 用平面向量坐标表示向量共线条件预习课本P103～104，思考并完成以下问题如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线？[新知初探]两向量平行的条件[点睛] 两向量的对应坐标成比例．这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)已知a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，若a ∥b ，则必有a 1b 2＝a 2b 1.( ) (2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( ) 答案：(1)√ (2)√2．若向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，则与a ＋b 共线的向量可以是( ) A ．(2,1) B ．(－1,2) C ．(6,10) D ．(－6,10) 答案：C3．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,4)，若a ∥b ，则x 等于( ) A ．－12 B.12 C ．－2D ．2答案：D4．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在x 轴上，则点B 的坐标为________．答案：⎝⎛⎭⎫73，0向量共线的判定[典例] (1)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(λ，1)，若(a ＋2b )∥(2a －2b )，则λ的值等于( ) A.12B.13C ．1D ．2(2)已知A (2,1)，B (0,4)，C (1,3)，D (5，－3)的方向相同还是相反？[解析] (1)法一：a ＋2b ＝(1,2)＋2(λ，1)＝(1＋2λ，4)，2a －2b ＝2(1,2)－2(λ，1)＝(2－2λ，2)，由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得2(1＋2λ)－4(2－2λ)＝0，解得λ＝12.法二：假设a ，b 不共线，则由(a ＋2b )∥(2a －2b )可得a ＋2b ＝μ(2a －2b )，从而⎩⎪⎨⎪⎧1＝2μ，2＝－2μ，方程组显然无解，即a ＋2b 与2a －2b 不共线，这与(a ＋2b )∥(2a －2b )矛盾，从而假设不成立，故应有a ，b 共线，所以1λ＝21，即λ＝12.[答案] A(2)(0,4)－(2,1)＝(－2,3)(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)，∵(－2)×(－6)－3×4＝0，∴AB ，CD 共线． 又CD ＝－2AB ，∴AB ，CD 方向相反． 综上，AB 与CD 共线且方向相反．向量共线的判定方法(1)利用向量共线定理，由a ＝λb (b ≠0)推出a ∥b .(2)利用向量共线的坐标表达式a 1b 2－a 2b 1＝0直接求解． [活学活用]已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，ka ＋b 与a －3b 平行，平行时它们的方向相同还是相反？解：ka ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)， a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，若ka ＋b 与a －3b 平行，则－4(k －3)－10(2k ＋2)＝0，解得k ＝－13，此时ka ＋b ＝－13a ＋b ＝－13(a －3b )，故ka ＋b 与a －3b 反向．∴k ＝－13时，ka ＋b 与a －3b 平行且方向相反．三点共线问题[典例] (1)已知OA ＝(3,4)，OB ＝(7,12)，OC ＝(9,16)，求证：A ，B ，C 三点共线； (2)设向量OA ＝(k,12)，OB ＝(4,5)，OC ＝(10，k )，当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？[解] (1)证明：∵AB ＝OB －OA ＝(4,8)，AC ＝OC －OA ＝(6,12)，∴AC ＝32AB ，即AB 与AC 共线．又∵AB 与AC 有公共点A ，∴A ，B ，C 三点共线． (2)若A ，B ，C 三点共线，则AB ，AC 共线， ∵AB ＝OB －OA ＝(4－k ，－7)，AC ＝OC －OA ＝(10－k ，k －12)，∴(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0.解得k＝－2或k＝11.有关三点共线问题的解题策略(1)要判断A，B，C三点是否共线，一般是看AB与BC，或AB与AC，或AC与BC 是否共线，若共线，则A，B，C三点共线；(2)使用A，B，C三点共线这一条件建立方程求参数时，利用AC＝λBC，或AB＝λBC，或AB＝λAC都是可以的，但原则上要少用含未知数的表达式．[活学活用]设点A(x,1)，B(2x,2)，C(1,2x)，D(5,3x)，当x为何值时，AB与CD共线且方向相同，此时，A，B，C，D能否在同一条直线上？解：AB＝(2x,2)－(x,1)＝(x,1)，BC＝(1,2x)－(2x,2)＝(1－2x,2x－2)，CD＝(5,3x)－(1,2x)＝(4，x)．由AB与CD共线，所以x2＝1×4，所以x＝±2.又AB与CD方向相同，所以x＝2.此时，AB＝(2,1)，BC＝(－3,2)，而2×2≠－3×1，所以AB与BC不共线，所以A，B，C三点不在同一条直线上．所以A，B，C，D不在同一条直线上．向量共线在几何中的应用题点一：两直线平行判断1.如图所示，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB＝2AD＝2CD，过点C作CE⊥AB于E，用向量的方法证明：DE∥BC；证明：如图，以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系，设|AD|1|DC|＝1|AB| 2.∵CE ⊥AB ，而AD ＝DC ， ∴四边形AECD 为正方形，∴可求得各点坐标分别为E (0,0)，B (1,0)，C (0,1)，D (－1,1)．(－1,1)－(0,0)＝(－1,1)，(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，DE ∥BC . 题点二：几何形状的判断2．已知直角坐标平面上四点A (1,0)，B (4,3)，C (2,4)，D (0,2)，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．证明：(4,3)－(1,0)＝(3,3)，(0,2)－(2,4)＝(－2，－2)．∵3×(－2)－3×(－2)＝0(－1,2)(2,4)－(4,3)＝(－2,1)，∵(－1)×1－2×(－2)≠0 ∴四边形ABCD 是梯形．(－2,1)(－1,2)，∴＝5BC ＝AD . 故四边形ABCD 是等腰梯形．题点三：求交点坐标3.如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 和OB 交点P 的坐标．解：法一：t (4,4) ＝(4t,4t )，(4t,4t )－(4,0)＝(4t －4,4t )，(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，解得t ＝34.(3,3)．∴P 点坐标为(3,3)． 法二：设P (x ，y )，(x ，y )(4,4)．∴4x －4y ＝0.①(x －2，y －6)(2，－6)，∴－6(x －2)＋2(6－y )＝0.②解①②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3， ∴点P 的坐标为(3,3)．应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤层级一 学业水平达标1．下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( ) A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2) B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7) C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，－34 解析：选B A 中向量e 1为零向量，∴e 1∥e 2；C 中e 1＝12e 2，∴e 1∥e 2；D 中e 1＝4e 2，∴e 1∥e 2，故选B.2．已知点A (1,1)，B (4,2)和向量a ＝(2，λ)，若a λ的值为( ) A ．－23B.32C.23D ．－32解析：选C 根据A ，B (3,1)，∵a 2×1－3λ＝0，解得λ＝23，故选C.3．已知A (2，－1)，B (3,1)a 是( )A ．(2,1)B ．(－6，－3)C ．(－1,2)D ．(－4，－8)解析：选D (1,2)，向量(2,1)、(－6，－3)、(－1,2)与(1,2)不平行；(－4，－8)与(1,2)平行且方向相反．4．已知向量a ＝(x,2)，b ＝(3，－1)，若(a ＋b )∥(a －2b )，则实数x 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．4D ．－6解析：选D 因为(a ＋b )∥(a －2b )，a ＋b ＝(x ＋3,1)，a －2b ＝(x －6,4)，所以4(x ＋3)－(x －6)＝0，解得x ＝－6.5．设a ＝⎝⎛⎭⎫32，tan α，b ＝⎝⎛⎭⎫cos α，13，且a ∥b ，则锐角α为( ) A ．30° B ．60° C ．45°D ．75°解析：选A ∵a ∥b ， ∴32×13－tan α cos α＝0， 即sin α＝12，α＝30°.6．已知向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线，则实数x 的值为________． 解析：∵向量a ＝(3x －1,4)与b ＝(1,2)共线， ∴2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1. 答案：17．已知A (－1,4)，B (x ，－2)，若C (3,3)在直线AB 上，则x ＝________.(x ＋1，－6)(4，－1)，(x ＋1)＋24＝0，∴x ＝23. 答案：238．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)，若λa ＋μb 与a ＋b 共线，则λ与μ的关系是________． 解析：∵a ＝(1,2)，b ＝(－2,3)， ∴a ＋b ＝(1,2)＋(－2,3)＝(－1,5)，λa ＋μb ＝λ(1,2)＋μ(－2,3)＝(λ－2μ，2λ＋3μ)， 又∵(λa ＋μb )∥(a ＋b )， ∴－1×(2λ＋3μ)－5(λ－2μ)＝0， ∴λ＝μ. 答案：λ＝μ9．已知A ，B ，C 三点的坐标为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，证明：设E ，F 的坐标分别为(x 1，y 1), (x 2，y 2)，(2,2)(－2,3)(4，－1)．(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)．∴点E 的坐标为⎝⎛⎭⎫－13，23.同理点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫73，0⎝⎛⎭⎫83，－23.又83×(－1)－4×⎝⎛⎭⎫－23＝010．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，m ＝λb ＋c (λ为常数)．(1)求a ＋b ；(2)若a 与m 平行，求实数λ的值． 解：(1)因为a ＝(2,1)，b ＝(1,1)， 所以a ＋b ＝(2,1)＋(1,1)＝(3,2)． (2)因为b ＝(1,1)，c ＝(5,2)，所以m ＝λb ＋c ＝λ(1,1)＋(5,2)＝(λ＋5，λ＋2)． 又因为a ＝(2,1)， 且a 与m 平行， 所以2(λ＋2)＝λ＋5， 解得λ＝1.层级二 应试能力达标1．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( ) A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线解析：选C 因为a ＋b ＝(0,1＋x 2)，所以a ＋b 平行于y 轴． 2．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．9D ．－9解析：选D A ，B ，C 三点共线，(－8,8)(3，y＋6)，∴－8(y＋6)－8×3＝0，即y＝－9.3．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么() A．k＝1且c与d同向B．k＝1且c与d反向C．k＝－1且c与d同向D．k＝－1且c与d反向解析：选D∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，则c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)，显然，c与d不平行，排除A、B.若k＝－1，则c＝－a＋b＝(－1,1)，d＝a－b＝－(－1,1)，即c ∥d且c与d反向．4．已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1,0)，(3,0)，(1，－5)，则第四个顶点的坐标是()A．(1,5)或(5,5)B．(1,5)或(－3，－5)C．(5，－5)或(－3，－5)D．(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)解析：选D设A(－1,0)，B(3,0)，C(1，－5)，第四个顶点为D，①若这个平行四边形为▱ABCD，D(－3，－5)；②若这个平行四边形为▱ACDB，D(5，－5)；③若这个平行四边形为▱ACBD，D(1,5)．综上所述，D点坐标为(1,5)或(5，－5)或(－3，－5)．5(6,1)(x，y)(－2，－3)x＋2y的值为________．解析：(6,1)＋(x，y)＋(－2，－3)＝(x＋4，y－2)，(x＋4，y－2)＝(－x－4，－y＋2)．∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.答案：06(3，－4)(6，－3)(5－m ，－3－m )．若点A ，B ，C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．解析：若点A ，B ，C(3,1)，(2－m,1－m )，∴3(1－m )≠2－m ，即m ≠12.答案：m ≠127．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a 与b 之间的数量关系；(2)C 的坐标．解：(1)若A ，B ，C(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)(a －1，b －1)，∴2(b －1)－(－2)(a －1)＝0，∴a ＋b ＝2.(2)(a －1，b －1)＝(4，－4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝5，b ＝－3，∴点C 的坐标为(5，－3)．8.如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2,6)，B (6,4)，C (5,0)，D (1,0)，求直线AC 与BD 交点P 的坐标．解：设P (x ，y )(x －1，y )，(5,4)(－3,6)(4,0)．由B ，P ，D (5λ，4λ)．(5λ－4,4λ)，(5λ－4)×6＋12λ＝0.解得λ＝47，⎝⎛⎭⎫207，167，27 7，16 7.∴P的坐标为⎝⎛⎭⎫。
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2.2 向量的分解与向量的坐标运算（数学人教B版必修4）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1.若三点P(1，1)，A(2，-4)，B(x,-9)共线，则x=（）A.-1B.3C. 92D.52.已知向量a=(3，4)，b=(si nα,c os α)，且a∥b,则t anα=（）A. 34B.34-C. 43D.43-3. 设向量a=(1,-3),b=(-2,4)，c=(-1,-2),若表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为（）A.(2，6)B.(-2，6)C.(2，-6)D.(-2，-6)4. 已知向量a=(4,2),向量b=(x,3),且a∥b,则x=（）A.9B.6C.5D.3二、填空题（每小题5分，共10分）5.已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与4b－2a 平行，则实数x的值是.6.已知a=（1，1），b=（1，-1），c=（-1，2），则向量c可用向量a、b表示为.三、解答题(共70分) 7.（15分）已知点A(-1，2)、B(2，8)，AC=13AB，DA=-13BA，求向量CD的坐标.8.（20分）已知点A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b). (1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)若＝2，求点C的坐标.9. （15分）已知a=(-1，2)，b=(1,x),若2a-b与a+2b 平行，求实数x的值. 10.（20分）已知P为△ABC内一点，且3＋4＋5＝0，延长AP交BC于点D，若＝a，＝b，用a，b表示向量，.2.2 向量的分解与向量的坐标运算（数学人教B版必修4）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.2.2 向量的分解与向量的坐标运算（数学人教B版必修4）答案一、选择题1.B 解析：因为PA=(1，-5)，PB=(x-1,-10),依题意有-5×(x-1)-1×(-10)=0，解得x=3.2.A 解析：根据两个向量平行的条件得3c os α-4si nα=0,则t anα=sincosαα=34.3.D 解析：设d=(x,y),由题意知4a+(4b-2c)+2(a-c)+ d=0，即4(1，-3)+［4(-2,4)-2(-1,-2)］+2［(1,-3)-(-1,-2)］+(x,y)=(0,0)，解之得x=-2,y=-6,即d=(-2,-6).4.B 解析：由向量的平行条件有4×3-2x=0,解得x=6.二、填空题5.2 解析：∵a＋b＝(3,1＋x)，4b－2a＝(6,4x－2)，又a＋b与4b－2a平行，∴3(4x－2)＝6(1＋x)，解得x＝2.6.c=12a-32b解析：设c=λa+μb，则（-1，2）=（λ+μ，λ-μ），∴λ=12，μ=-32，故c=12a-32b，故答案为c=12a-32b．三、解答题7.解：由向量的减法知，CD=AD-AC=13BA-13AB=23BA=23(-1-2，2-8)=(-2，-4).8.解：(1)由已知得＝(2，－2)，＝(a－1，b－1)，∵A，B，C三点共线，∴∥.∴2(b－1)＋2(a－1)＝0，即a＋b＝2.(2)∵＝2，∴(a－1，b－1)＝2(2，－2)，∴解得∴点C的坐标为(5，－3).9.解法1：由已知得2a-b=(-3,4-x),a+2b=(1,2+2x).由2a-b与a+2b平行，知-3(2+2x)-(4-x)=0,解得x=-2. 解法2：∵2a-b与a+2b平行，∴2a-b=λ(a+2b),∴(-3,4-x)=λ(1,2+2x),∴34(22)x xλλ=-⎧⎨-=+⎩，，解得x=-2.解法3：设m=2a-b,n=a+2b,则可得a=25m+15n,b=-15m+25n.∵m∥n,∴a∥b.又∵a=(-1,2),b=(1,x),∴-x-2=0,∴x=-2.10.解：∵=-=-a,=-=-b,又3+4+5=0, ∴3+4(-a)+5(-b)=0,化简得=a+b.设=t(t∈R),则=t a+t b.①又设=k(k∈R),由=-=b-a,得=k(b-a).而=+=a+,∴=a+k(b-a)=(1-k)a+k b.②由①②，得，解得t=.将其代入①，得＝a＋b.。
第二节 平面向量的分解及向量的坐标表示基础回顾Ｋ一、平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，满足a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}．称λ1e 1＋λ2e 2为e 1，e 2的线性组合．二、平面向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底．由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a 可表示成a ＝xi ＋yj ，由于a 与数对(x ，y)是一一对应的，因此把(x ，y)叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y)，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标．规定：(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量； (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系．三、平面向量的坐标运算1．若a ＝()x 1，y 1，b ＝()x 2，y 2，则a±b＝(x 1±x 2，y 1±y 2)．2．若A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，则AB →＝()x 2－x 1，y 2－y 1.3．若a ＝(x ，y)，则λa＝(λx，λy)． 四、向量的运算向量的加减法、数与向量的乘积及其各运算的坐标表示和性质，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．运算 类型 几何方法坐标方法运算性质向量的 加法1.平行四边形法则 2．三角形法则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)a ＋b ＝b ＋a ，(a ＋b)＋c ＝a ＋(b＋c)，AB →＋BC →＝AC →向量的 减法三角形法则a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)a －b ＝a ＋(－b)，AB →＝－BA →，OB →－OA →＝AB →数乘 向量法λa 是一个向量．满足：λ>0时，λa 与a 同向；λ<0时，λa 与a 异向；λ＝0时，λa ＝0 λa＝(λx，λy) λ(μa)＝(λμ)a，(λ＋μ)a＝λa ＋μa ，λ(a ＋b)＝λa ＋λb ，a∥b ⇔a ＝λb(b≠0)五、向量坐标与点坐标的关系当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x ，y)，则OA →＝(x ，y)； 当向量起点不在原点时，向量AB →坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则AB →＝()x 2－x 1，y 2－y 1.六、两个向量平行(共线)的充要条件 符号语言：若b≠0，则a ∥b ⇔a ＝λb.坐标语言：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，b≠0，则a∥b ⇔()x 1，y 1＝λ()x 2，y 2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝λx 2，y 1＝λy 2或x 1y 2－x 2y 1＝0. 在这里，实数λ是唯一存在的，当a 与b 同向时，λ>0；当a 与b 异向时，λ<0. |λ|＝|a||b|，λ的大小由a 及b 的大小确定．因此，当a ，b 确定时，λ的符号与大小就确定了．这就是实数乘向量中λ的几何意义．基础自测Ｋ1．设平面向量a ＝(3，5)，b ＝(－2，1)，则a －2b ＝(B ) A ．(6，3) B ．(7，3) C ．(2，1) D ．(7，2)解析：a －2b ＝(3，5)－2(－2，1)＝(7，3)．故选B.2．已知▱ABCD 中，AD →＝(3，7)，AB →＝(－2，3)，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO →的坐标为(D )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，5B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－5D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5 解析：∵AC →＝AB →＋AD →＝(－2，3)＋(3，7)＝(1，10)，∴OC →＝12AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5.∴CO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－5.故选D.3．已知向量a ＝(2，3)，b ＝(x ，－6)共线，则x ＝－4． 解析：依题意有3x －2×(－6)＝0，得x ＝－4.4．已知平面内不共线的四点O ，A ，B ，C 满足OB →＝13OA →＋23OC →，则|AB →||BC →|＝21．解析：AB →＝OB →－OA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13OA →＋23OC →－OA →＝23(OC →－OA →)，BC →＝OC →－OB →＝OC →－⎝ ⎛⎭⎪⎫13OA →＋23OC →＝13(OC→－OA →)，∴|AB →||BC →|＝2313＝21.高考方向1.平面向量基本定理、向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表示是近几年高考的热点.2.题型主要以选择题、填空题为主，属于中、低档题品味高考1．在平面直角坐标系中，O(0，0)，P(6，8)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ →，则点Q 的坐标是(A )A ．(－72，－2)B ．(－72，2)C ．(－46，－2)D ．(－46，2)解析：设∠xOP＝θ，则由题意知：∠xOQ＝3π4＋θ(如图所示)，|OP →|＝62＋82＝10.设OP →＝(10cos θ，10sin θ)，得cos θ＝35，sin θ＝45，则OQ →＝(10cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋3π4，10sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋3π4)＝(－72，－2)．故选A .2．(2013·卷)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则λμ＝4．解析：以向量a 的起点为原点建直角坐标系，则a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)，c ＝(－1，－3)，根据c ＝λa＋μb ⇒(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6，2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－12，故λμ＝4.高考测验1．已知点A(－1，5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为(D ) A ．(7，4) B ．(7，14) C ．(5，4) D ．(5，14) 解析：设B(x ，y)，由AB →＝3a 得(x ＋1，y －5)＝(6，9)，故有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝14，故选D. 2．已知向量a ＝(－1，1)，b ＝(3，m)，若a∥(a＋b)，则m ＝(C ) A ．2 B ．－2 C ．－3 D ．3解析：利用向量共线定理建立方程求解．因为a ＋b ＝(2，1＋m)，且a∥(a＋b)，所以－(1＋m)－2＝0，解得m ＝－3，故选C.课时作业1．设向量a ＝(1，cos θ)，b ＝(3cos θ，1)，且a∥b，则cos 2θ等于(A ) A ．－13 B ．－23C.23D.13解析：依题意有3cos θcos θ－1＝0， ∴cos 2θ＝13.∴cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－13.故选A.2．已知平面内任一点O 满足OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R)，则“x＋y ＝1”是“点P 在直线AB 上”的(C )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：根据平面向量基本定理知：OP →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R)且x ＋y ＝1等价于P 在直线AB 上．3．若向量a ＝(1，1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1，2)，则c 等于(B )A ．－12a ＋32b B.12a －32bC.32a －12b D ．－32a ＋12b 解析：令c ＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则(－1，2)＝λ(1，1)＋μ(1，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝－32，∴c ＝12a －32b ，故选B.4．已知平面向量a ＝(2，1)，b ＝(x ，－2)，若a∥b，则a ＋b 等于(A ) A ．(－2，－1) B ．(2，1) C ．(3，－1) D ．(－3，1)解析：由a∥b 得2×(－2)＝1×x，∴x ＝－4，故a ＋b ＝(－2，－1)．故选A5．已知平行四边形ABCD ，点P 为四边形内部或者边界上任意一点，向量AP →＝xAB →＋yAD →，则0≤x≤12，0≤y ≤23的概率是(A )A.13B.23C.14D.12解析：根据平面向量基本定理，点P 只要在如图所示的区域AB 1C 1D 1内即可，这个区域的面积是整个四边形面积的12×23＝13，故所求的概率是13.6．设向量a ，b 满足|a|＝25，b ＝(2，1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为(－4，－2)．解析：设a ＝λb＝(2λ，λ)，(λ＜0)，∵|a|＝25，∴(2λ)2＋λ2＝(25)2.∴λ2＝4， ∴λ＝－2，∴a ＝(－4，－2)．7．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)，a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是8．解析：AB →＝OB →－OA →＝(a －1，1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1，2)． 因为A 、B 、C 三点共线，所以AB →∥AC →. 即a －1－b －1＝12.所以2a ＋b ＝1. 所以1a ＋2b ＝2a ＋b a ＋4a ＋2b b ＝4＋b a ＋4a b≥4＋2b a ·4ab＝8， 当且仅当b a ＝4a b 时取等号．所以1a ＋2b的最小值是8.8．如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝12．解析：由B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x)AC →. 又M 是AH 的中点，∴AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x)AC →.又AM →＝λAB →＋μAC →， ∴λ＋μ＝12x ＋12(1－x)＝12.9．(2013·某某调研)已知向量OA →＝(3，4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m)．若点A ，B ，C 能构成三角形，某某数m 满足的条件．解析：∵AB →＝OB →－OA →＝(3，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(2－m ，－7－m)， 又A ，B ，C 能构成三角形，故点A ，B ，C 不共线，即AB →，AC →不共线， ∴3×(－7－m)－(－7)×(2－m)≠0，得m≠－710.故m 应满足的条件是⎩⎨⎧m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m ∈R 且m≠－710.10．(2013·某某模拟)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1，2)．(1)若a∥b，求tan θ的值；(2)若|a|＝|b|，0<θ<π，求θ的值．解析：(1)因为a∥b，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ， 于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.(2)由|a|＝|b|知，sin 2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝12＋22，所以1－2sin 2θ＋4sin 2θ＝5.从而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝－22. 又由0<θ<π知，π4<2θ＋π4<9π4，所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.因此θ＝π2或θ＝3π4.。
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核心素养测评二十六平面向量的分解与向量的坐标运算(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(多选)如图,设O是平行四边形ABCD两条对角线的交点,给出下列向量组,可作为该平面内其他向量的基底的是( )A.与B.与C.与D.与【解析】选AC.A中,不共线;C中,不共线.B,D中的两向量共线,因为平面内两个不共线的非零向量构成一组基底,所以选AC.2.已知平面向量a=(1,1),b=(1,-1),则a-b=( )A.(-2,-1)B.(-2,1)C.(-1,0)D.(-1,2)【解析】选D.因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a-b=(1,1)-(1,-1)=-=(-1,2).3.已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若=-3a,则点N的坐标为( )A.(2,0)B.(-3,6)C.(6,2)D.(-2,0)【解析】选A.=-3a=-3(1,-2)=(-3,6),设N(x,y),则=(x-5,y+6)=(-3,6),所以即所以N为(2,0).4.(2019·三亚模拟)已知平面向量=(1,2),=(3,4),则向量的模是( )A. B. C.2 D.5【解析】选C.因为向量=(1,2),=(3,4),所以=-=(1,2)-(3,4)=(-2,-2),所以||=2.5.(2019·哈尔滨模拟)已知向量a=(m,2),b=(1,1),若|a+b|=|a|+|b|,则实数m= ( )A.2B.-2C.D.-【解析】选A.a+b=(m+1,3),|a+b|=,则=+,两式平方得到m+2=·,再平方得到m2-4m+4=0.解得m=2.6.已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三点共线,则k的值是 ( )世纪金榜导学号A.-B.C.D.【解析】选A.=-=(4-k,-7),=-=(-2k,-2),因为A,B,C 三点共线,所以,共线,所以-2×(4-k)=-7×(-2k),解得k=-. 【变式备选】已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)∥(m-n),则λ=________.【解析】因为m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),又(m+n)∥(m-n),所以(2λ+3)×(-1)=3×(-1),解得λ=0.★★★答案★★★:07.在△ABC中,G为重心,记=a,=b,则= 世纪金榜导学号( )A.a-bB.a+bC.a-bD.a+b【解析】选A.因为G为△ABC的重心,所以=(+)=a+b,所以=+=-b+a+b=a-b.二、填空题(每小题5分,共15分)8.在△ABC中,D为三角形所在平面内一点,且=+.延长AD交BC于E,若=λ+μ,则λ=________;μ=________.【解析】设=x,因为=+,所以=+.由于E,B,C三点共线,所以+=1,x=.由平面向量基本定理得λ==,μ==.★★★答案★★★:9.已知向量a=(1,2),b=(-2,3),若m a-n b与2a+b共线(其中n∈R,且n ≠0),则=________. 世纪金榜导学号【解析】由a=(1,2),b=(-2,3),得m a-n b=(m+2n,2m-3n),2a+b=(0,7),由m a-n b与2a+b共线,得7(m+2n)=0,则=-2.★★★答案★★★:-210.已知矩形ABCD的两条对角线交于点O,点E为线段AO的中点,若=m+n,则m+n的值为________. 世纪金榜导学号【解析】如图所示,因为点E为线段AO的中点,所以=(+)=+=-+-=-,又=m+n,所以m=,n=-,所以m+n=-=-.★★★答案★★★:-(15分钟35分)1.(5分)已知向量a=(1,2),b=(0,1),设u=a+k b,v=2a-b,若u∥v,则实数k的值为( )A.-1B.-C.D.1【解析】选B.因为u=(1,2)+k(0,1)=(1,2+k),v=(2,4)-(0,1)=(2,3),又u∥v,所以1×3=2(2+k),得k=-.2.(5分)(2020·山东省实验中学模拟)如图Rt△ABC中,∠ABC=,AC=2AB,∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D,设=a,=b,则向量= ( )A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b【解析】选C.连接BD,DC,设圆的半径为r,在Rt△ABC中,∠ABC=,AC=2AB,所以∠BAC=,∠ACB=,∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D,所以∠ACB=∠BAD=∠CAD=,根据圆的性质BD=CD=AB,又因为在Rt△ABC中,AB=AC=r=OD,所以四边形ABDO为菱形,=+=a+b.3.(5分)(2020·南昌模拟)已知O为坐标原点,点C是线段AB上一点,且A(1,1),C(2,3),||=2||,则向量的坐标是________.【解析】由点C是线段AB上一点,||=2||,得=-2.设点B为(x,y),则(2-x,3-y)=-2(1,2).则解得所以向量的坐标是(4,7).★★★答案★★★:(4,7)4.(10分)已知A(1,1),B(3,-1),C(a,b).世纪金榜导学号(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系式.(2)若=2,求点C的坐标.【解析】(1)由已知得=(2,-2),=(a-1,b-1),因为A,B,C三点共线,所以∥.所以2(b-1)+2(a-1)=0,即a+b=2.(2)因为=2,所以(a-1,b-1)=2(2,-2).所以解得所以点C的坐标为(5,-3).5.(10分)已知点O为坐标原点,A(0,2),B(4,6),=t1+t2.世纪金榜导学号(1)求点M在第二或第三象限的充要条件.(2)求证:当t1=1时,不论t2为何实数,A,B,M三点共线.【解析】 (1)=t1+t2=t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2).点M在第二或第三象限⇔解得t2<0且t1+2t2≠0.故所求的充要条件为t2<0且t1+2t2≠0.(2)当t1=1时,由(1)知=(4t2,4t2+2).因为=-=(4,4),=-=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2,所以A,B,M三点共线.关闭Word文档返回原板块感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
向量运算的坐标表示1．若向量()1,1a =- ，()2,3b = ，()7,3c =-- ．(1)c a b λμ=+r r r ，求λμ+的值；(2)若ka b + 与c 共线，求k 的值．2．已知向量()()32,,1，=-= a b x .(1)若()()22a b a b +⊥- ，求实数x 的值；(2)若()()8,1,//=--+ c a b c ，求向量a 与b 的夹角θ.3．向量()cos 23,cos 67a =︒︒ ，向量()cos 68,cos 22b =︒︒ ．(1)求a b ⋅ ；(2)若向量b 与向量m 共线，u a m =+ ，求u 的模的最小值．4．已知向量()2,1a =- ，()3,0b = ，()4,1c = ．(1)求与a 垂直的单位向量e 的坐标；(2)若()()//2a kc b a +- ，求实数k 的值．5．已知()2,3a =- ，()4,2b = ．(1)求a b + ，a b - ；(2)求23a b + ．6．已知()()1,0,2,1a b == .(1)当k 为何值时，k a b - 与2a b + 共线?(2)若AB =23a b + ，BC =a mb + 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值.7．已知()1sin cos ,2cos ,2sin ,sin 2.2a x x b x θθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭(1)若),4(3c =- 且()π,0,π4x θ=∈时，a 与c 的夹角为钝角，求cos θ的取值范围；(2)若π3θ=，函数()f x a b =⋅ ，求()f x 的最小值.8．已知平面向量()1,2a = ，()0,1b =- ，a c ⊥ ，且3b c ⋅= ．(1)求c的坐标；(2)求向量- a c 在向量b 上的投影向量的模．9．已知向量()1,1a = ，()2,0b = .(1)求2b a - ；(2)求a 与2b a - 的夹角.10．已知向量()cos ,sin a x x = ，(1,b = ．(1)若π3x =，求b 在a 上的投影向量的模长；(2)若()()a kb a kb -⊥+ ，求实数k 的值．11．设a ，b 是两个不共线的向量．(1)若(1,3)a =- ，(2,1)b =-，求,a b 〈〉 ；(2)若()(3)a b a b λλ++ ∥，求λ的值．12．已知()()1,1,0,2==- a b 当k 为何值时，(1)ka b - 与a b + 共线；(2)3a kb - 与a b + 的夹角为90︒13．（1）已知单位向量a 、b 的夹角为45 ，ka b - 与a 垂直，求k ；（2）已知向量()1,2a = ，()2,2b =- ，()1,c λ=，若()//2c a b + ，求λ.14．已知向量()()()2,1,1,2,3,4a b c =-==- ，求：(1)若c ma nb =+ ﹐求m n +；(2)若()ka b c +∥ ，求k 的值．15．已知向量(1,2)a =- ，(1,4)b = ．(1)若(2)()ka b a b +-∥ ，求k 的值；(2)若(2)(3)ka b b a +⊥- ，求k 的值．16．已知平面向量()1,2a =r ，()3,2b =-- ．(1)b 在a 方向上的投影向量；(2)当k 为何值时，ka b + 与3a b - 垂直．17．已知向量()1,0a = ，()2,1b =r ，(1)当实数k 为何值时，向量k a b - 与3a b + 共线(2)当实数k 为何值时，向量k a b - 与3a b + 垂直18．已知向量(2,),(3,2),(3,1)a t t b c ==-=- ，R t ∈.(1)求1t =时，求2a b + 的值；(2)若b a - 与c 共线，求,a c 夹角19．已知向量()7,1a = ，()1,3b = .(1)求a 与b 夹角的余弦值；(2)若()()2a b a b λ+⊥- ，求λ的值.20．设平面三点A （-2，1），B （4，-1），C （2，3）．(1)若AB CD = ，试求D 点的坐标；(2)试求向量AB 与AC 的夹角余弦值；21．已知a，b 是同一平面内的两个向量，其中(1,2)a = ，且||b = ．(1)若a b ⊥ ，求b 的坐标；(2)若|||2|+=- a b a b ，求a 与b 夹角．22．设A ，B ，C ，D 为平面内的四点，且(1,3),(2,2),(4,1)A B C -.(1)若AB CD = ，求D 点的坐标；(2)设向量,== a AB b BC ，若向量k a b - 与3a b + 平行，求实数k 的值.23．已知,,a b c是同一平面内的三个向量，其中(1,a =r ．(1)若||4c =r ，且a ∥c ，求c 的坐标；(2)若||1b = ，且2a b + 与2a b - 垂直，求a 与b 的夹角θ．24．已知向量(cos ,sin )a αα= ，(cos ,sin )b ββ= ，a b - ，求cos()αβ－的值.25．设向量()(2,0,.a b == (1)求与a b +垂直的单位向量；(2)若向量+ ta b 与向量a tb + 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.26．已知非零向量1e 和2e 不共线.(1)若12AB e e =+ ，1228BC e e =+ ，()123CD e e =- ，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若向量12ke e + 与向量12e ke +u r u r 平行，求实数k 的值.27．已知平面向量()()1,2,3,2a b ==-- ．(1)若()2c a b ⊥+ ，且c = c 的坐标；(2)若a 与a b λ+ 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．28．已知向量()1,2a = 、()0,3b =- .(1)求a 与b 的数量积.(2)求a 与b 的夹角的余弦值.29．已知向量(2,2)a =- ，(2,1)b = ，(2,1)c =- ，t ∈R ．(1)若||3a tb += ，求t 的值；(2)若a tb - 与c 垂直，求t 的值．30．已知向量(1,2),(3,2)a b ==- (1)已知5c = 且//c a ，求c(2)已知||c =()2a c c +⊥ ，求向量a 与向量c 的夹角．向量运算的坐标表示1．若向量()1,1a =- ，()2,3b = ，()7,3c =-- ．(1)c a b λμ=+r r r ，求λμ+的值；(2)若ka b + 与c 共线，求k 的值．【答案】(1)1λμ+=(2)32k =-【详解】（1）因c a b λμ=+r r r ，即()()()()7,31,12,32,3λμλμλμ--=-+=-++，所以2733λμλμ-+=-⎧⎨+=-⎩，解得32λμ=⎧⎨=-⎩，故1λμ+=；（2）因ka b + 与c 共线，()()()1,12,32,3ka b k k k +=-+=-++ ，()7,3c =-- ，所以()()()()2337k k -+⋅-=+⋅-，故32k =-．2．已知向量()()32,,1，=-= a b x .(1)若()()22a b a b +⊥- ，求实数x 的值；(2)若()()8,1,//=--+ c a b c ，求向量a 与b 的夹角θ.【答案】(1)6x =或32x =-.(2)π4θ=【详解】（1）已知()()=3,2,=,1a b x - ，所以()()232,0,26,5+=+-=- a b x a b x .又因为()()22a b a b +⊥- ，所以有()()220a b a b +⋅-=r r r r ，所以()()326050x x +-+⨯=，解得6x =或32x =-.（2）因为()8,1c =-- ，所以()8,2b c x +=-- .又()//a b c + ，所以()()32280x ⨯--⨯-=，解得5x =，所以()=5,1b - .所以cos =2||||a b a b θ⋅=⋅ ，因为0πθ≤≤，所以π4θ=.3．向量()cos 23,cos 67a =︒︒ ，向量()cos 68,cos 22b =︒︒ ．(1)求a b ⋅ ；(2)若向量b 与向量m 共线，u a m =+ ，求u的模的最小值．【答案】(1)2【详解】（1）cos 23cos68cos67cos 22cos 23cos68sin 23sin 68cos(6823)a b ⋅=︒︒+︒︒=︒︒+︒︒=︒-︒cos 45︒==（2）由题设m b λ= 且R λ∈，则(cos 23cos68,cos67cos 22)u a b λλλ=+=︒+︒︒+︒ ()sin 67sin 22,cos67cos 22λλ=︒+︒︒+︒，所以||u ==当2λ=-时，min ||2u = .4．已知向量()2,1a =- ，()3,0b = ，()4,1c = ．(1)求与a 垂直的单位向量e 的坐标；(2)若()()//2a kc b a +- ，求实数k 的值．【答案】(1)55e =⎝⎭或,55⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭(2)13k =-【详解】（1）设与a 垂直的单位向量(),e x y = ，则1=-=⎪⎩，解得：5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或5x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，55e ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭或,55⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.（2）()24,1a kc k k +=+-+ ，()21,2b a -=- ，又()()//2a kc b a +- ，()()2241k k ∴+=--+，解得：13k =-.5．已知()2,3a =- ，()4,2b = ．(1)求a b + ，a b - ；(2)求23a b + ．【答案】(1)()2,5；()6,1-(2)【详解】（1）由()2,3a =- ，()4,2b = ，所以()()()2,34,22,5a b +=-+= ，()()()2,34,26,1a b -=--=- ．（2）由()2,3a =- ，()4,2b = ，则()()()2322,334,28,12a b +=⨯-+⨯= ，所以23a b +== 6．已知()()1,0,2,1a b == .(1)当k 为何值时，k a b - 与2a b + 共线?(2)若AB =23a b + ，BC =a mb + 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值.【答案】(1)k=12-(2)m=32【详解】（1）由题可得，()()()1,02,12,1ka b k k -=-=-- ；()()()21022152,,,a b +=+= .因为k a b - 与2a b + 共线，则()()1221502k k ---⨯=⇒=-；（2）因为A ，B ，C 三点共线，a 与b 不共线，所以存在实数λ，使得AB =λBC (λ∈R )，即()23a b a mb λ+=+ ，整理得()()832,,λmλmλ=+，所以283m m λλλ+=⎧⇒⎨=⎩m=32.7．已知()1sin cos ,2cos ,2sin ,sin 2.2a x x b x θθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭(1)若),4(3c =- 且()π,0,π4x θ=∈时，a 与c 的夹角为钝角，求cos θ的取值范围；(2)若π3θ=，函数()f x a b =⋅ ，求()f x 的最小值.【答案】(1)(1,)(338--⋃-；(2)12.【详解】（1）当π4x =时，)a θ= ，a 与c 的夹角为钝角，于是0a c ⋅< ，且a 与c 不共线，则8cos 0a c θ⋅=-< ，解得cos 8θ<，又()0,πθ∈，即()cos 1,1θ∈-，则有1cos 8θ-<<，又当a 与c 共线时，6cos 0θ=，解得cos 3θ=-，因此a 与c 不共线时，cos 3θ≠-，所以cos θ的取值范围是(1,(,338--⋃-.（2）依题意，当π3θ=时，()()1sin cos ,1sin 2)2f x a b x x x =⋅=+⋅ 1sin 2cos )sin cos 2x x x x x x x =+=++，令πsin cos [4t x x x =+=+∈，则21sin cos 2t x x -=，于是()(2211222t f x t -=+=+-，而函数(2122y t =-在t ⎡∈⎣上为增函数，则当t =y 有最小值12所以()f x 的最小值为128．已知平面向量()1,2a = ，()0,1b =- ，a c ⊥ ，且3b c ⋅= ．(1)求c的坐标；(2)求向量- a c 在向量b 上的投影向量的模．【答案】(1)()6,3-(2)5【详解】（1）设(),c x y = ，因为a c ⊥ ，所以20x y +=，又3b c y ⋅=-= ，解得6x =，=3y -，所以()6,3c =- ；（2）()5,5a c -=- ，所以()5a c b -⋅=- ，则向量- a c 在向量b 上的投影向量的模为()5a c b b-⋅= ；综上，()6,3c =- ，向量- a c 在向量b 上的投影向量的模为5.9．已知向量()1,1a = ，()2,0b = .(1)求2b a - ；(2)求a 与2b a - 的夹角.【答案】(1)2(2)3π4【详解】（1）因为向量()1,1a = ，()2,0b = ，所以()20,2b a -=- ，则22b a -= （2）()2cos ,222a b a a b a a b a ⋅--==-- ，所以a 与2b a - 的夹角为3π4.10．已知向量()cos ,sin a xx = ，(1,b = ．(1)若π3x =，求b 在a 上的投影向量的模长；(2)若()()a kb a kb -⊥+ ，求实数k 的值．【答案】(1)72(2)k =【详解】（1）由题意得当π3x =时,1(2a =,则171222a b ⋅=⨯+ ，1a = ，所以b 在a 上的投影向量的模为77212a b a ⋅== ．（2）由1a == ，213b = ，由()()a kb a kb -⊥+ ，得()()2220a kb a kb a k b -⋅+=-= ，即21130k -=，解得k =．11．设a ，b 是两个不共线的向量．(1)若(1,3)a =- ，(2,1)b =-，求,a b 〈〉 ；(2)若()(3)a b a b λλ++ ∥，求λ的值．【答案】(1)3π,4a b 〈〉=(2)λ=【详解】（1）因为cos ,||||a b a b a b ⋅〈〉=== ，又向量夹角范围为[0,π]，所以3π,4a b 〈〉= .（2）因为()(3)a b a b λλ++ ∥，设(3)a b a b λμλ+=+ ，μ为实数，即3a b a b λμλμ+=+ ，则31λμλμ=⎧⎨=⎩，即23λ=，解得λ=12．已知()()1,1,0,2==- a b 当k 为何值时，(1)ka b - 与a b + 共线；(2)3a kb - 与a b + 的夹角为90︒【答案】(1)1-(2)0【详解】（1）因为()()1,1,0,2==- a b ，所以()()()1,10,21,1+=+-=- a b ，()()()1,10,2,2ka b k k k -=--=+ ，由ka b - 与a b + 共线，则()20k k +--=，所以1k =-.（2）因为()1,1a b +=- ，3(3,3)(0,2)(3,32)a kb k k -=--=+ ，因为3a kb - 与a b + 的夹角为90︒，所以0(3)()a k b a b -⋅+= ，得到3(32)0k -+=，所以0k =.13．（1）已知单位向量a 、b 的夹角为45 ，ka b - 与a 垂直，求k ；（2）已知向量()1,2a = ，()2,2b =- ，()1,c λ=，若()//2c a b + ，求λ.【答案】（1）2；（2）12【详解】（1）因为单位向量a 、b 的夹角为45，所以2cos 14512a b a b ⋅=⋅=⨯⨯= ，又ka b - 与a 垂直，所以()0ka b a -⋅= ，即20ka b a -⋅=，即210k ⨯=，解得k =（2）因为()1,2a = ，()2,2b =- ，所以()()()221,22,24,2a b +=+-= ，又()1,c λ=且()//2c a b + ，所以412λ=⨯，解得12λ=.14．已知向量()()()2,1,1,2,3,4a b c =-==- ，求：(1)若c ma nb =+ ﹐求m n +；(2)若()ka b c +∥ ，求k 的值．【答案】(1)1(2)2-【详解】（1）因为()()()2,1,1,2,3,4a b c =-==- ，所以(2,)ma m m =- ，(,2)nb n n = ，所以(2,2)ma nb m n m n +=+-+ ，又因为c ma nb =+ ，所以2324m n m n +=⎧⎨-+=-⎩，解得2,1m n ==-，所以1m n +=.（2）因为()()()2,1,1,2,3,4a b c =-==- ，所以(21,2)ka b k k +=+-+ ，又()ka b c +∥ ，所以(21)(4)3(2)0k k +⨯--⨯-+=，即5100k --=，所以2k =-.15．已知向量(1,2)a =- ，(1,4)b = ．(1)若(2)()ka b a b +-∥ ，求k 的值；(2)若(2)(3)ka b b a +⊥- ，求k 的值．【答案】(1)32k =-；(2)23k =-．【详解】（1）由已知2(2,82)ka b k k +=-+ ，(2,2)a b -=-- ，∵(2)()ka b a b +-∥ ，∴2(22)2(82)0k k --++=，解得32k =-；（2）3(4,2)b a -=- ，∵(2)(3)ka b b a +⊥- ，∴4(2)2(84)0k k --+=，解得23k =-．16．已知平面向量()1,2a =r ，()3,2b =-- ．(1)b 在a 方向上的投影向量；(2)当k 为何值时，ka b + 与3a b - 垂直．【答案】(1)72,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2)2313k =【详解】（1）b 在a 方向上的投影向量72cos ,,55a a b a b a b a a a ⋅⎛⎫=<>=⋅-- ⎝⎭.（2）∵ka b + 与3a b - 垂直，()3,22ka b k k +=-- ，()310,8a b -= ，∴()()30ka b a b +⋅-= ，即()()1038220k k -+-=，解得2313k =．17．已知向量()1,0a = ，()2,1b =r ，(1)当实数k 为何值时，向量k a b - 与3a b + 共线(2)当实数k 为何值时，向量k a b - 与3a b + 垂直【答案】(1)13k =-(2)177k =【详解】（1）=(1,0)(2,1)=(2,1)ka b k k ---- ，3=(1,0)+3(2,1)=(7,3)a b + ，向量k a b - 与3a b + 共线，所以(2)3(1)7k -⋅=-⨯，所以13k =-.（2）=(1,0)(2,1)=(2,1)ka b k k ---- ，3=(1,0)+3(2,1)=(7,3)a b + ，向量k a b - 与3a b + 垂直，所以7(2)+3(1)=0k -⨯-，解得177k =.18．已知向量(2,),(3,2),(3,1)a t t b c ==-=- ，R t ∈.(1)求1t =时，求2a b + 的值；(2)若b a - 与c 共线，求,a c 夹角【答案】π4【详解】（1）∵(2,),(3,2),(3,1)a t t b c ==-=- ，当1t =时，()2,1a =r ，∴()()22,123,2(4,5)a b +=+-=- ，∴|2|a b + （2）(32,2)b a t t -=--- ，且与c 共线∴(32)(1)3(2)t t --⨯-=⨯-，解得35t =，63,55a ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以63355cos ,2a c a c a c ⨯-⋅== ，[],0,πa c ∈ ，所以,a c 夹角为π4.19．已知向量()7,1a = ，()1,3b = .(1)求a 与b 夹角的余弦值；(2)若()()2a b a b λ+⊥- ，求λ的值.【答案】37【详解】（1）解：由向量()7,1a = ，()1,3b = ，可得a =，b = 711310a b ⋅=⨯+⨯= ，所以a 与b夹角的余弦值cos ,a b a b a b ⋅== .（2）解：由()()2a b a b λ+⊥- ，可得()()222(21)250(21)102100a b a b a a b b λλλλλ+⋅-=+-⋅-=+-⨯-⨯= ，即70300λ-=，解得37λ=.20．设平面三点A （-2，1），B （4，-1），C （2，3）．(1)若AB CD = ，试求D 点的坐标；(2)试求向量AB 与AC 的夹角余弦值；【答案】(1)()8,1【详解】（1）设(),D x y ，则()()6,2,2,3AB CD x y =-=-- ，因为AB CD = ，所以2632x y -=⎧⎨-=-⎩，解得81x y =⎧⎨=⎩所以D 点的坐标为()8,1.（2）由（1）知()6,2AB =- ，又()4,2AC = ，所以cos ,AB AC AB AC AB AC⋅== ，故向量AB 与AC的夹角余弦值为2.21．已知a ，b 是同一平面内的两个向量，其中(1,2)a =，且||b = ．(1)若a b ⊥ ，求b 的坐标；(2)若|||2|+=- a b a b ，求a 与b 夹角．【答案】(1)(2,1)b =- 或(2,1)b =- (2)π3【详解】（1）设(,)b x y = ．因为a b ⊥ ，(1,2)a = ，所以0a b ⋅= 即20x y +=又因为||b ==解之得2x =时，1y =-或2x =-时，1y =，所以(2,1)b =- 或(2,1)b =- ．（2）记a 与b 夹角为θ．因为|||2|+=- a b a b ，所以22()(2)a b a b +=- ，则2222244a b a b a b a b ++⋅=+-⋅ ，即22a b b ⋅= ，所以221cos 2||||2||a b b a b b θ⋅=== ，又因为[0,π]θ∈，所以π3θ=．22．设A ，B ，C ，D 为平面内的四点，且(1,3),(2,2),(4,1)A B C -.(1)若AB CD = ，求D 点的坐标；(2)设向量,== a AB b BC ，若向量k a b - 与3a b + 平行，求实数k 的值.【答案】(1)4(5,)D -；(2)13-.【详解】（1）设(,)D x y ，因为AB CD = ，于是(2,2)(1,3)(,)(4,1)x y --=-，整理得(1,5)(4,1)x y -=--，即有4115x y -=⎧⎨-=-⎩，解得54x y =⎧⎨=-⎩，所以4(5,)D -.（2）因为(1,5),(4,1)(2,2)(2,3)a AB b BC ==-==--=r uu u r r uu u r，所以(1,5)(2,3)(2,53)ka b k k k -=--=---r r ，3(1,5)3(2,3)(7,4)a b +=-+=r r ，因为向量k a b - 与3a b + 平行，因此7(53)4(2)0k k ----=，解得13k =-，所以实数k 的值为13-.23．已知,,a b c是同一平面内的三个向量，其中(1,a =r ．(1)若||4c =r ，且a ∥c ，求c 的坐标；(2)若||1b = ，且2a b + 与2a b - 垂直，求a 与b 的夹角θ．【答案】(1)(2,c =- 或(2,c =- (2)π【详解】（1）解：设(),c x y = ，因为4c = ，4=，即2216x y +=，①由a ∥c ，得0y =，②由①②，得2x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，故(2,c =-或(2,c =- ；（2）解：因为2a b + 与2a b - 垂直，所以(2)a b +⋅r r (2)0a b -=r r，即222320a a b b +⋅-= ，又||2a = ，||1b = ，所以243210a b ⨯+⋅-⨯= ，整理得2a b ⋅=- ，故cos 1a b a bθ⋅==-⋅ ，又[]0,πθ∈，所以πθ=．24．已知向量(cos ,sin )a αα= ，(cos ,sin )b ββ=，a b - ，求cos()αβ－的值.【答案】35【详解】∵(cos ,sin )a αα= ，(cos ,sin )b ββ= ，∴)cos ,sin s (cos in a b αβαβ-=-- ，∴a b -==，∴522cos(4)a β=--，∴3cos()5αβ-=.25．设向量()(2,0,.a b == (1)求与a b + 垂直的单位向量；(2)若向量+ ta b 与向量a tb + 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.【答案】(1)1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭(2)()()2,12-⋃-【详解】（1）由已知()((2,0a b +=+= ，设与a b + 垂直的单位向量为()e x,y =则22301x x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即与a b +垂直的单位向量为1,2⎛ ⎝⎭或12⎛- ⎝⎭；（2）由已知222a b a b ⋅=== ，，，所以()()()22221282ta b a tb ta t a b tb t t +⋅+=++⋅+=++ ，因为向量+ ta b 与向量a tb + 的夹角为钝角，所以()()202820ta b a tb t t ++<++< ，，解得22t <<，又因为向量+ ta b 不与向量a tb + 反向共线，设()()0ta b k a tb k +=+< ，则()21t 2t k ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩从而11k t =-⎧⎨=-⎩或11k t =⎧⎨=⎩（舍去），所以解得()()2,11,2.t ∈-⋃-26．已知非零向量1e 和2e 不共线.(1)若12AB e e =+ ，1228BC e e =+ ，()123CD e e =- ，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)若向量12ke e + 与向量12e ke +u r u r 平行，求实数k 的值.【答案】(1)证明见解析(2)1k =±【详解】（1）()12121228355BD BC CD e e e e e e =+=++-=+ ，又12AB e e =+ ，5AB BD ∴= ，∴A ，B ，D 三点共线；（2） 向量12ke e + 与向量12e ke +u r u r 平行，∴存在实数λ使()121212ke e e ke e ke λλλ++==+ ，1k k λλ=⎧∴⎨=⎩，解得1k =±.27．已知平面向量()()1,2,3,2a b ==-- ．(1)若()2c a b ⊥+，且c = c 的坐标；(2)若a 与a b λ+ 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．【答案】(1)()2,1--或()2,1(2)()5,00,7⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭【详解】（1）由()()1,2,3,2a b ==-- ，所以()()()22,43,21,2a b +=+--=- ，设(),c x y = ，因为()2c a b ⊥+ ，所以()220c a b x y ⋅+=-+= ，因为c =解得21x y =-⎧⎨=-⎩，或21x y =⎧⎨=⎩，所以c的坐标为()2,1--或()2,1.（2）由()()1,2,3,2a b ==-- ，所以()()()1,23,213,22a b λλλλλ+=+--=-- ，因为a 与a b λ+ 的夹角为锐角，所以()0a a b λ⋅+> 且a 与a b λ+ 不共线，()()132********λλλλ⎧-+->⎪⎨-≠-⎪⎩，解得57λ<且0λ≠，即实数λ的取值范围为()5,00,7⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭.28．已知向量()1,2a = 、()0,3b =- .(1)求a 与b 的数量积.(2)求a 与b 的夹角的余弦值.【答案】(1)6-(2)【详解】（1）因为()1,2a = ，()0,3b =- ，所以()01236a b ⋅=⨯+⨯-=- .（2）因为()1,2a = ，()0,3b =-，所以a = 3b = ，所以cos ,a b a b a b ⋅==-⋅ 29．已知向量(2,2)a =- ，(2,1)b = ，(2,1)c =- ，t ∈R ．(1)若||3a tb += ，求t 的值；(2)若a tb - 与c 垂直，求t 的值．【答案】(1)1t =或15t =-(2)2t =-【详解】（1）因为(2,2)a =- ，(2,1)b = ，所以(2,2)(2,1)(22,2)a tb t t t +=-+=-++ ，又||3a tb += ，所以||3a tb +=== ，即25410t t --=，解得1t =或15t =-．（2）因为(2,2)a =- ，(2,1)b = ，所以(2,2)(2,1)(22,2)a tb t t t -=--=--- ，又a tb - 与c 垂直，(2,1)c =- ，所以(22)2(2)(1)0t t --⨯+-⨯-=，解得2t =-．30．已知向量(1,2),(3,2)a b ==- (1)已知5c = 且//c a ，求c(2)已知||c = ()2a c c +⊥ ，求向量a 与向量c 的夹角．【答案】(1)c = 或(-(2)3π4【详解】（1）由//c a ，所以设(),2c a λλλ==又5c = 得22425λλ+=，解得λ=所以c = 或(-.（2）由题知，(1,2)a = ，c =()2a c c +⊥ ，所以||a = ()2·0a c c += 所以220a c c ⋅+= 所以22cos ,||0a c a c c +=所以2,100a c +=所以cos ,2a c =- 因为[],0,πa c ∈ 所以向量a 与向量c 的夹角为3π4.。
