第28讲-向量的分解与向量的坐标运算(讲义版)
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第28讲-向量的分解与向量的坐标运算一、 考情分析1.了解平面向量的基本定理及其意义;2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.二、 知识梳理1.平面向量的基本定理如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量,那么该平面内的任一向量a ,存在唯一的一对实数a 1,a 2,使a =a 1e 1+a 2e 2.其中,不共线的向量e 1,e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,记为{e 1,e 2}.a 1e 1+a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1,e 2}的分解式. 2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2),a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2),λa =(λx 1,λy 1),|a |(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.②设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则AB →=(x 2-x 1,y 2-y 1),|AB →|4.平面向量共线的坐标表示设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0. [微点提醒]1.若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)且a =b ,则x 1=x 2且y 1=y2. 2.若a 与b 不共线,λa +μb =0,则λ=μ=0.3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量,无论起点在什么位置,它们的坐标都是相同的.三、 经典例题考点一 平面向量基本定理及其应用【例1-1】 (2020·天津一中高三月考)已知菱形ABCD 的边长为2,120BAD ︒∠=,点,E F 分别在边,BC DC 上,3BC BE =,DC DF λ=.若1AE AF ⋅=,则λ的值为 .【答案】.【解析】∵BC =3BE ,DC =λDF , ∴13BE BC =,1DF DC λ=, 1133AE AB BE AB BC AB AD =+=+=+,11AF AD DF AD DC AD AB λλ=+=+=+,∵菱形ABCD 的边长为2,∠BAD =120°, ∴|AB |=|AD |=2,AB •AD =2×2×cos120°=﹣2, ∵AE •AF =1,∴(13AB AD +)•(1AD AB λ+)22113AD AB λ=++(113λ+)AB •AD =1,即13⨯41λ+⨯4﹣2(113λ+)=1, 整理得10533λ=, 解得λ=2,【例1-2】(2020·江苏省高三一模)设D ,E 分别是△ABC 的边AB ,BC 上的点,1223AD AB BE BC ==,,若12DE CB CA λλ=+(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2=_____. 【答案】23-【解析】由题,因为12,23AD AB BE BC ==, 所以()121211232362DE DB BE AB BC CB CA CB CB CA =+=+=--=--, 所以116λ=-,212λ=-,则1223λλ+=-,故答案为:23-【例1-3】(2020·全国高三(文))在平行四边形ABCD 中,6,3AD AB ==,160,2DAB DE EC ∠==,12BF FC =,若2FG GE =,则AG BD ⋅=__________. 【答案】21【解析】如图所示:因为12DE EC =,12BF FC =,所以22223333=+=-=-FE FC CE BC DC AD AB ,又2FG GE =,1233=++=++AG AB BF FG AB AD FE 125732239933⎛⎫=++=+ ⎝-⎪⎭AD AB AD AB AD AB ,又BD AD AB =-,所以()225775299999⎛⎫⋅=+⋅-=-⋅ ⎪⎝-⎭AG BD AB AD AB A AD AD AD B AB ,6,3AD AB ==,60DAB ∠=,所以609cos ⋅⋅==AB A AD AD B ,代入数据可得752369921999=⨯-⨯-⨯=AG . 【例1-4】(2020·辽宁省高三其他(文))已知ABC ,若点D 满足34AB ACAD +=,且()BD CD λλ=∈R ,则λ=________. 【答案】13-【解析】由34AB ACAD +=,可得43AD AB AC =+, 所以,33AD AD AB AC +=+,即()3AD AB AC AD -=-, 所以,3BD DC =,故13BD CD =-.【例1-5】(2020·天津高三二模)在平行四边形ABCD 中,已知2AB =,1AD =,60BAD ∠=︒,若CE ED =,2DF FB =,则AE AF ⋅=_______.【答案】52【解析】由题意,如图所示,设,AB a AD b ==,则2,1a b ==, 又由CE ED =,2DF FB =,所以E 为CD 的中点,F 为BD 的三等分点,则12AE b a =+,221()333AF b a b a b =+-=+, 所以22121151()()233363AE AF a b a b a a b b ⋅=+⋅+=+⋅+221515212cos6013632=⨯+⨯⨯+⨯=. 故答案为:52规律方法 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决. 考点二 平面向量的坐标运算【例2-1】 (2020·天津市第一百中学高三其他)已知菱形ABCD 的边长为2,120BAD ∠=︒,点E 、F 分别在边BC ,CD 上,BE BC λ=,DF DC μ=,若522λμ+=,则AE AF ⋅的最小值__________. 【答案】3 【解析】cos1202AB AD AB AD ⋅=⋅=-()()2132AE AF AB BC AD DC λμμμ⋅=+⋅+=-+,2211473243μμμ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭.由于1022,12λμ≤≤≤≤,在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数,故当12μ=时取得最小值为3.【例2-2】(2020·陕西省高三其他(理))已知(2,3)AB =,(1,4)AC =-,则AB BC ⋅=_____. 【答案】23-【解析】因为(2,3)AB =,(1,4)AC =-, 所以()1,7BC AC AB =-=--, 则()127323AB BC ⋅=-⨯+-⨯=-, 故答案为:23-.【例2-3】(2020·福建省高三其他(理))已知向量()2,1a =-,()1,b k =,若()2a a b ⊥+,则k =______. 【答案】12 【解析】()2,1a =-,∴()24,2a =-,∴()25,2a b k +=-+,()2a a b ⊥+,∴()()21020a a b k ⋅+=--+=,解得12k =,故答案为:12.【例2-4】(2020·安徽省高三三模(文))已知向量()1,2a =-,(),1b m =-,()3,2c =-,若()a b c -⊥,则m 的值是_____. 【答案】3- 【解析】()1,2a =-,(),1b m =-,()1,3a b m ∴-=--,()3,2c =-,且()a b c -⊥,()()()3132390a b c m m ∴-⋅=⨯--+⨯-=--=,解得3m =-.【例2-5】(2020·浙江省杭师大附中高三其他)QAB 是边长为6的正三角形,点C 满足QC mQA nQB =+,且0m >,0n >,234m n +=,则QC 的取值范围是__________.【答案】⎫⎪⎪⎣⎭【解析】解:如图,建立平面直角坐标系,∴ ()30A -,,()3,0B ,(0,33Q , ∴ (=333QA --,,(=333QB -, ∴ ()()()=3,333,3333,3333QC mQA nQB m m n n n m m n =+--+-=---∴()()22222=927363636QC n m m n m n mn -++=++, ∵ 0m >,0n >,234m n += ∴ 423mn -=,()0,2m ∈, ∴()()222222=927363636=281664QC n m m n m n mn m m -++=++-+,∴ 由二次函数的性质知2432,1447QC ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,∴ 1221QC ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭规律方法 1.巧借方程思想求坐标:若已知向量两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中注意方程思想的应用.2.向量问题坐标化:向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可以用坐标来进行,实现了向量运算的代数化,将数与形结合起来,使几何问题转化为数量运算问题. 考点三 平面向量共线的坐标表示【例3-1】(2020·河南省高三三模(文))已知向量a (3,),b (6,8)==m 若a 与b 平行,则m =_____. 【答案】4【解析】由题意可知若a 和b 平行, 则386m ⨯=,解得:4m =【例3-2】(2020·辽宁省高三其他(文))设向量()(),9,1,a x b x =-=-,若向量a 与b 同向,则x =_______. 【答案】3【解析】若向量a 与b 同向,则29x -=-,解得3x =±, 又当3x =-时,a 与b 反向,所以3x =.【例3-3】(2020·四川省阆中中学高三其他(文))已知向量()3,1a =,(),2b x =-,且a ,b 共线,则a b ⋅=______;【答案】-20【解析】由题知:a ,b 共线,所以60x --=,解得6x =-. 所以()6,2b =--,182=20a b ⋅=---.【例3-4】(2020·山东省高三其他)已知()1,3a =,()2,b k =-,且()()2//3a b a b +-,则实数k =__________.【答案】6-【解析】由题意2(3,32)a b k +=-+,3(5,9)a b k -=-,由(2)//(3)a b a b +-,得3(9)5(32)k k --=+,解得6k =-.【例3-5】(2020·广东省高三其他(文))已知向量(),1a k =-,()4,2b =-,若a 与b 共线,则实数k 的值为_____. 【答案】2【解析】根据题意,向量(),1a k =-,()4,2b =-, 若a 与b 共线,则有()()2140k --⨯-=,解得2k =;规律方法 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式:(1)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b 的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0;(2)若a ∥b (b ≠0),则a =λb .2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例来求解.[方法技巧]1.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理,并且是平面向量正交分解的理论依据,也是向量的坐标表示的基础.2.平面向量一组基底是两个不共线向量,平面向量基底可以有无穷多组.3.用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a =λ1e 1+λ2e 2的形式.4.注意运用两个向量a ,b 共线坐标表示的充要条件应为x 1y 2-x 2y 1=0.5.要区分点的坐标与向量坐标的不同,尽管在形式上它们完全一样,但意义完全不同,向量坐标中既有方向也有大小的信息.四、 课时作业1.(2020·广西壮族自治区高三一模(文))已知向量()()1,8,2,4xa b ==,若a b ,则x =( )A .2-B .1-C .1D .2【答案】B【解析】由a b ,得4820x -⨯=,解得1x =-.2.(2020·广东省深圳第三高中高三学业考试)已知向量()2,4a =,()1,1b =-,则2a b -=( ) A .()5,7 B .()5,9 C .()3,7 D .()3,9【答案】A【解析】因为2(4,8)a =,所以2(4,8)(1,1)a b -=--=(5,7),故选A.3.(2020·江西省江西师大附中高三三模(文))已知向量()2,1AB =-,()3,2AC =-,则CB =( )A B C D 【答案】D【解析】因为向量()2,1AB =-,()3,2AC =-, 所以(5,3)CB AB AC =-=-,所以25CB ==4.(2020·河南省高三其他(文))已知向量()1,1a =,()1,3b λ=-,且//a b ,则λ=( ) A .4 B .3C .12-D .2-【答案】A【解析】因为()1,1a =,()1,3b λ=-,又因为//a b , 所以314λλ=-⇒=.5.(2020·北京八中高三月考)已知向量(1,3),(1,0),(3,).a b c k ==-=若2a b -与c 共线,则实数k =( )A .0B .1C D .3【答案】B 【解析】2(3,3)a b -=因为2a b -与c 共线,所以30k =,解得:1k =6.(2020·河南省高三其他(文))设()1,a λ=,()2,3b =-,若//(2)a a b -,则λ=( ) A .32-B .32C .1D .1或5【答案】A【解析】因为()()()21,22,35,6a b λλ-=--=-,又()//2a a b -,所以()560λλ--=, 解得32λ=-. 7.(2020·河南省高三其他(理))已知向量()3,1a =,()1,3b m =-,若向量a ,b 的夹角为锐角,则实数m 的取值范围为( )A .()1-+∞B .()1++∞C .(()1133,+++∞D .(()1133,+++∞【答案】C 【解析】因为()3,1a =,()1,3b m =-,所以()313a b m ⋅=-+;因为向量a ,b )130m -+>,解得1m >又当向量a ,b 共线时,()10m -=,解得:1m =+所以实数m 的取值范围为(()1133,+++∞.8.(2020·黑龙江省大庆一中高三三模(理))“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载,西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题,毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年,如图,在矩形ABCD 中,ABC 满足“勾3股4弦5”,且3AB =,E 为AD 上一点,BE AC ⊥.若BE BA BC λμ=+,则λμ+的值为( )A .925-B .725C .1625D .1【答案】B【解析】由题意建立如图所示直角坐标系因为3AB =,4BC =,则()0,0B ,()0,3A ,()4,0C ,()0,3BA =,()4,3AC =-,设(),3BE a =,因为BE AC ⊥,所以490AC BE a ⋅=-=,解得94a =.由BA BE AC λμ=+,得()()90,3,34,34λμ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,所以940,4333,λμλμ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩解得16,259,25λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以725λμ+=,故选:B. 9.(2020·四川省眉山市彭山区第二中学高三其他(文))若向量,,则等于( )A .B .C .D .【答案】C 【解析】,所以.10.(2020·黑龙江省大庆一中高三三模(文))“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载,西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题,毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年,如图,在矩形ABCD 中,ABC 满足“勾3股4弦5”,且3AB =,E 为AD 上一点,BE AC ⊥.若BE BA BC λμ=+,则λμ+的值为( )A .107B .98C .2516D .2918【答案】C【解析】由题意建立如图所示的直角坐标系,因为3AB =,4BC =,则()0,3A ,()0,0B ,()4,0C . 设(),3E a ,则()4,3AC =-,(),3BE a =, 因为BE AC ⊥,所以490AC BE a ⋅=-=, 解得94a =, 由BE BA BC λμ=+,得()()9,30,34,04λμ⎛⎫=+⎪⎝⎭,所以94,43 3.μλ⎧=⎪⎨⎪=⎩解得1,916λμ=⎧⎪⎨=⎪⎩,所以2516λμ+=. 11.(2020·四川省仁寿第二中学高三三模(理))在矩形ABCD 中,1AB =,AD =P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP AB AD λμ=+,则λμ-的最小值为( )AB .1C .-1D.【答案】C【解析】以A 为原点,直线AB ,AD 为x ,y 轴建立平面直角坐标系,则(1,0)B,C,D直线ED l y +C 与直线BD 相切,所以圆C的半径r d ===,圆C 的方程为223(1)(4x y -+=,设点1P θθ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,即1AP θθ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭, 又AP AB AD λμ=+λ=(),∴1cos 22λθθ⎧=+⎪⎪⎨=,所以1111sin sin cos 1226πλμθθθθθ⎛⎫⎛⎫-=-+=-=+≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 即52,6k k Z πθπ=+∈时,λμ-取得最小值1-. 故选:C .12.(2020·浙江省高二期末)如图,2,2,4OA OB OC ===,OA 与OB 的夹角为135,若4OC OA OB λ=+,则λ=( )A .1B .2C .3D .4【答案】B【解析】∵||2,||2,||4,OA OB OC OA ===与OB 的夹角为135°,∴22222OA OB ⎛⎫⋅=⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭, 若4OC OA OB λ=+,则2222168OC OA OB OA OB λλ=++⋅ ∴16=4λ2+16×2+8λ×(﹣2), ∴λ=213.(2020·全国高三其他(文))在直角梯形中,,分别为的中点,以为圆心,为半径的圆弧中点为(如图所示).若,其中,则的值是( )A .B .C .D .【答案】B【解析】以为原点,为轴,为轴建立平面直角坐标系,则,,,,∵,∴,∴,解得:,则,故选B.14.(2020·全国高三其他(文))向量(1,1)a =,(2,5)b =,(3,)c x =,满足条件(8)a b -.c 30=,则x =() A .6 B .5C .4D .3【答案】C【解析】向量()()1,1,2,5a b ==,则()()()8?=63?3,18330a b c x x -=+=,, 故解得4x =.15.(2020·山西省高三月考(理))已知对任意平面向量(,)AB x y =,把AB 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量(cos sin ,sin cos )AP x y x y θθθθ=-+,叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转θ角得到点P .已知平面内点(1,2)A ,点(12,22)B +-.把点B 绕点A 顺时针方向旋转4π后得到点P ,则点P 的坐标是( ) A .(1,3)- B .(0,1)-C .(3,1)-D .(4,1)【答案】B【解析】由已知可得(2,22)AB=-,把点(12,222)B+-绕点A逆时针方向旋转()4π-后,得()2cos22sin,2sin22cos1,34444APππππ⎛⎫=---=--⎪⎝⎭,∴点A(1,2),∴点P的坐标为()0,1-.16.(2020·宜宾市叙州区第一中学校高三二模(理))已知向量18,2a x⎛⎫= ⎪⎝⎭,(),1b x=其中0x>,若()()2//2a b a b-+,则x的值为()A.4B.8C.0D.2【答案】A【解析】因为18,2a x⎛⎫= ⎪⎝⎭,(),1b x=,1282,22a b x x⎛⎫∴-=--⎪⎝⎭,()216,1a b x x+=++.()()2//2a b a b-+,()()()18211622x x x x⎛⎫-+=+-⎪⎝⎭,则254002x-+=,解得4x=±,又0x>,因此,4x=,故选:A.17.(2020·山西省高三月考(理))如图,正方形ABCD的边长为1,P,Q分别为边AB,DA上的动点(P,Q不取端点),且DQ AP=.设PCQθ∠=,则cosθ的范围是()A.132⎛⎝⎦B.23⎝⎦C.14,25⎛⎤⎥⎝⎦D.245⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】分别以,AB AD所在的直线为,x y轴建立如图所示的直角坐标系,如图所示,设DQ AP a ==,则(,0),(0,1),(1,1)P a Q a C -, 所以(1,1),(1,)CP a CQ a =--=--,可得(1,1)(1,)11CP CQ a a a a ⋅=--⋅--=-+=,2222,1CP a a CQ a =-+=+,所以22432cos 2212322CP CQ CP C a a Qa a a a a θ===-+⋅+-+-+⋅⋅,设()4322322f a a a a a =-+-+,(其中01a <≤)则()322136624()(1)2f a a a a a a a '=-+-=-++,当102a ≤<时,()0f a '<,()f a 单调递减, 当112a <≤时,()0f a '>,()f a 单调递增, 所以当12a =时,()f a 取得最小值,此时125()216f =,又由()()012f f ==,即函数()2f a <,所以24,5()f a ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦,即24cos ,5θ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦,即cos θ的取值范围是24,25⎛⎤⎥⎝⎦. 故选:D.18.(2020·黑龙江省鹤岗一中高一期末(文))在ABC 中,E 为AC 上一点,3AC AE =,P 为BE 上任一点,若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>,则31m n+的最小值是 A .9 B .10 C .11D .12【答案】D【解析】由题意可知:3AP mAB nAC mAB nAE =+=+,,,A B E 三点共线,则:31m n +=,据此有:()313199366212n m n m m n m n m n m n m n⎛⎫+=++=++≥+⨯= ⎪⎝⎭, 当且仅当11,26m n ==时等号成立. 综上可得:31m n+的最小值是12.19.(2020·四川省高三期末(文))设ABC ∆中BC 边上的中线为AD ,点O 满足2AO OD =,则OC =( ) A .1233AB AC -+ B .2133AB AC - C .1233AB AC - D .2133AB AC -+ 【答案】A【解析】如下图所示:D 为BC 的中点,则()1122AD AB BD AB BC AB AC AB =+=+=+-1122AB AC =+,2AO OD =,211333AO AD AB AC ∴==+,11123333OC AC AO AC AB AC AB AC ⎛⎫∴=-=-+=-+ ⎪⎝⎭,20.(2020·全国高三月考(理))设点O 在ABC ∆的内部,且有()32AB OB OC =+,则ABC ∆的面积与BOC ∆的面积之比为( ) A .3 B .13C .2D .12【答案】A【解析】如图,取BC中点D,13EB AB=,则2OBOC OD+=,∴()332AB OB OC OD=+=,∵13EB AB=,∴EB OD=,∴3ABC ABCBOC BECS SS S∆∆∆∆==.21.(2020·重庆高一期末)已知P为ABC在平面内的一点,2,||4BP PC AP==,若点Q在线段AP上运动,则(2)QA QB QC⋅+的最小值为()A.92-B.12-C.32-D.4-【答案】B【解析】2BP PC=,()++2+2+QP QB BP QB PC QB PQ QC∴===,1233QP QB QC∴=+,32QP QB QC∴=+,(2)3QA QB QC QA QP∴⋅+=⋅=3||||QA QP-⋅,设||[0,4]QA m=∈,则()22(2)3(4)312321212QA QB QC m m m m m⋅+=--=--=-≥-(当[]20,4m=∈时取等号).所以(2)QA QB QC⋅+的最小值为12-.故选:B.22.(2020·安徽省舒城中学高一月考(理))在ABC中,已知9·,3,3,2AB AC AC AB M N===、分别是BC边上的三等分点,则·AM AN的值是()A.112B.132C.6 D.7【答案】B【解析】∵9·2AB AC =,3,3AC AB == ∴9cos 33cos 2AB AC AB AC A A ⋅==⨯=∴1cos 2A =∵(0,)A π∈ ∴3A π=∴ABC 是等边三角形,即3BC =. ∵M N 、分别是BC 边上的三等分点 ∴13AM AB BM AB BC =+=+, 1133AN AC CN AC CB AC BC =+=+=-∴11()()33AM AN AB BC AC BC ⋅=+⋅- 2111339AB AC AB BC BC AC BC =⋅-⋅+⋅-∵933cos602AB AC ⋅=⨯︒=,933cos1202AB BC ⋅=⨯⨯︒=-,933cos602BC AC ⋅=⨯︒= ∴11()()33AM AN AB BC AC BC ⋅=+⋅- 911111333()331232322=-⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯-= 23.(2020·全国高三其他(理))已知平面内的两个单位向量OA ,OB ,它们的夹角是60°,OC 与OA 、OB 向量的夹角都为30°,且23OC =OC OA OB λμ=+,则λμ+值为( )A .B .C .2D .4【答案】D【解析】由题意,可得OC 在AOB ∠的角平分线上,所以()OC k OA OB =+, 再由OC OA OB λμ=+可得λμ=,即()OC OA OB λ=+,再由23OC =,得222222023()(2)(1211cos601)OA OB OA OA OB OB λλλ=+=+⋅+=+⨯⨯+, 解得2λ=,故2μ=,所以4λμ+=,故选D.24.(2020·辽宁省高三月考(理))如图是由等边△AIE 和等边△KGC 构成的六角星,图中的B ,D ,F ,H ,J ,L 均为三等分点,两个等边三角形的中心均为O .若OA mOC nOJ =+,则mn=( )A .12B .23C .34D .1【答案】B【解析】由平行四边形法则,22()23OA OB OJ OC OJ OJ OC OJ =+=++=+,所以2m =,3n =,所以23m n = 以点O 为坐标原点,OD 为x 轴,OA 为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,设等边三角形的边长为3()()222333-=,由B ,D ,F ,H ,J ,L 均为三等分点, 则2323OA =⨯=,233OJ =所以())230,23,1,,A J C⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ()0,2OA =,()3,1OC =,23OJ ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭)23233,13,33n OA mOC nOJ m n m m ⎛⎫⎫=+=+-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭所以23302n m m ⎧=⎪⎨⎪=⎩,解得32n m =⎧⎨=⎩ 所以23m n = 故选:B .25.(2016·河北省高三一模(理))延长正方形CD AB 的边CD 至E ,使得D CD E =.若动点P 从点A 出发,沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点,若λμAP =AB +AE ,下列判断正确的是( )A .满足2λμ+=的点P 必为CB 的中点B .满足1λμ+=的点P 有且只有一个C .λμ+的最小值不存在D .λμ+的最大值为3【答案】D【解析】设正方形的边长为1,建立如图所示直角坐标系,则,,,,A B C D E 的坐标为(0,0),(1,0),(1,1),(0,1),(1,1)-,则(1,0),(1,1)AB AE ==-设(,)AP a b =,由λμAP =AB +AE 得(,)(,)a b λμμ=-,所以{a b λμμ=-=,当P 在线段AB 上时,01,0a b ≤≤=,此时0,a μλ==,此时a λμ+=,所以01λμ≤+≤;当P 在线段BC 上时,,此时,1b a b μλμ==+=+,此时12b λμ+=+,所以13λμ≤+≤;当P 在线段CD 上时,,此时1,1a a μλμ==+=+,此时2a λμ+=+,所以13λμ≤+≤;当P 在线段DA 上时,0,01,a b =≤≤,此时,b a b μλμ==+=,此时2b λμ+=,所以02λμ≤+≤;由以上讨论可知,当2λμ+=时,P 可为BC 的中点,也可以是点D ,所以A 错;使1λμ+=的点有两个,分别为点B 与AD 中点,所以B 错,当P 运动到点A 时,λμ+有最小值0,故C 错,当P 运动到点C 时,λμ+有最大值3,所以D 正确,故选D .26.(多选题)(2020·上海高三专题练习)在下列向量组中,不能把向量(3,2)a =表示出来的是( ) A .1(0,0)e =,2(1,2)e =B .1(1,2)e =-,2(5,2)e =-C .1(3,5)e =,2(6,10)e =D .1(2,3)e =-,2(2,3)e =- 【答案】ACD【解析】对A ,零向量与任何向量都是共线向量,故 1(0,0)e =,2(1,2)e =不能做为一组基底,故A 不能; 对B ,(1)(2)52-⨯-≠⨯,∴ 1(1,2)e =-,2(5,2)e =-不共线,故B 能.对C ,∵31056⨯=⨯,∴ 1(3,5)e =,2(6,10)e =不能做为一组基底,故C 不能.对D ,23(2)(3)⨯=-⨯-,∴1(23)e =-,2(2,3)e =-不能做为一组基底,故D 不能.27.(多选题)(2020·山东省高三其他)已知向量()()()2,1,1,1,2,,a b c m n ==-=--其中,m n 均为正数,且()//a b c -,下列说法正确的是( )A . a 与b 的夹角为钝角B .向量a 在bC .24m n +=D .mn 的最大值为2 【答案】CD【解析】由题意知,10a b ⋅=>,所以a 与b 的夹角为锐角,故选项A 错误;向量a 在b 方向上的投影为22a b b ⋅==,故选项B 错误; ()1,2a b -=,因为()//a b c -,,m n 均为正数,所以c 为非零向量,且24,24n m m n -=-+=,故选项C 正确;由基本不等式知,42m n =+≥2mn ≤,当且仅当22m n ==时取等号,故mn 的最大值为2,故选项D 正确.28.(多选题)(2019·江苏省高一期末)已知向量1(1,2)e =-,2(2,1)e =,若向量1122a e e λλ=+,则可使120λλ<成立的a 可能是 ( )A .(1,0)B .(0,1)C .(−1,0)D .(0,−1)【答案】AC【解析】11221212=(2,2)a e e λλλλλλ=+-++若(1,0)a =,则12122120λλλλ-+=⎧⎨+=⎩,解得1212,55λλ=-=,120λλ<,满足题意; 若(0,1)a =,则12122021λλλλ-+=⎧⎨+=⎩,解得1221,55λλ==,120λλ>,不满足题意; 因为向量(1,0)-与向量(1,0)共线,所以向量(1,0)-也满足题意.29.(多选题)(2019·全国高一课时练习)已知向量(,3)a x =,(3,)b x =-,则下列叙述中,不正确是( ) A .存在实数x ,使a bB .存在实数x ,使()a b a +C .存在实数x ,m ,使()ma b a +D .存在实数x ,m ,使()ma b b + 【答案】ABC【解析】由a b ,得29x =-,无实数解,故A 中叙述错误;(3,3)a b x x +=-+,由()a b a +∥,得3(3)(3)0x x x --+=,即29x =-,无实数解,故B 中叙述错误;(3,3)ma b mx m x +=-+,由()ma b a +∥,得(3)3(3)0m x x mx +--=,即29x =-,无实数解,故心中叙述错误;由()ma b b +∥,得3(3)(3)0m x x mx -+--=,即()290m x +=,所以0m =,x ∈R ,故D 中叙述正确.30.(多选题)(2020·山东省高三三模)已知向量()()()2,1,3,2,1,1a b c =-=-=,则( ) A .//a bB .()a b c +⊥ C .a b c +=D .53c a b =+ 【答案】BD【解析】由题意22(3)(1)0⨯--⨯-≠,A 错; ()()()1,1,110a b a b c a b c +=-+⋅=-+=+⊥,故.B 正确,C 错误; 53a b +5(2,1)3(3,2)(1,1)c =-+-==,D 正确.31.已知(1,0),(1,1),(1,0)a b c ===-,求λ和μ,使c a b λμ=+.【解析】(,0)(,)(,)a b λμλμμλμμ+=+=+10λμμ+=-⎧∴⎨=⎩,解得1,0λμ=-= 32.(2020·上海高三专题练习)(2,5)OA =,(3,1)OB =,(6,3)OC =,在线段OC 上是否存在点M ,使MA MB ⊥?若存在,求出点M 的坐标.【解析】设(01)OM tOC t =≤≤,则(6,3)OM t t =.则(26,53)MA OA OM t t =-=--,(36,13)MB OB OM t t =-=--.∵0MA MB ⋅=,∴(26)(36)(53)(13)0t t t t --+--=.整理得24548110t t -+=,解得13t =或1115t =. ∴点M 的坐标为(2,1)或2211,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 33.(2020·西藏自治区拉萨那曲第二高级中学高三月考(理))已知(1,0)a =,(2,1)=b .(1)求3a b +;(2)当为k 何实数时,a kb -与3a b +平行.【解析】(1)由题, ()()()31,06,37,3a b +=+=.故2373a b +=+=(2) ()()()1,02,112,a kb k k k -=-=--,又由(1)有()37,3a b +=.因为a kb -与3a b +平行,故()31270k k -+=,解得3k =-.34.(2020·上海高三专题练习)如图,在ABC 中,E ,F 分别在AB ,AC 上,||1||2BE EA =,||1||CF FA =,CE 与BF 交于点G ,CG CE λ=,BG BF μ=,求λ和μ的值.【解析】因为||1||2BE EA =,||1||CF FA = 所以13BE BA =,23EC EA AC BA AC =+=+ 因为BG BE EG =+且CG CE λ=,BG BF μ= 所以1(1)3BF BA EC μλ=+-,即11(1)23BA AC BA μλ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭23BA AC ⎛⎫+ ⎪⎝⎭, ()12133112μλμλ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得34λ=,12μ= 35.(2019·浙江省学军中学高三期中)已知在ABC 中,1AB =,2AC =. (1)若BAC ∠的平分线与边BC 交于点D ,求()2AD AB AC ⋅-; (2)若点E 为BC 的中点,求2211AE BC +的最小值. 【解析】(1)因为AD 是角平分线,从而得到12BD AB CD AC == 所以可得2133AD AB AC =+, 所以()21233AD AB AC AB AC ⎛⎫⋅-=+ ⎪⎝⎭()20AB AC ⋅-=; (2)在ABE ∆和ACE ∆由用余弦定理可得 222cos 2AE BE ABAEB AE BE+-∠=,222cos 2AE CE AC AEC AE CE +-∠=,而BE CE =,cos cos AEB AEC ∠=-∠, 所以得到22222222AE BE AB AE CE AC AE BEAE CE +-+-=- 整理得:224AE BC +()22210AB AC =+= 22221111110AE BC AE BC ⎛⎫ ⎪∴+=+ ⎪ ⎪⎝⎭()224AE BC + 2222414110BC AE AE BC ⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 222241951010BC AE AE BC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭≥ 当且仅当2BC AE =时,等号成立.。
向量坐标分解知识点总结一、向量的概念向量是数学中一个重要的概念,它可以用来表示空间中的一个点或者位置。
向量通常用箭头来表示,箭头的方向表示向量的方向,箭头的长度表示向量的大小。
在二维空间中,一个向量可以用两个实数表示,而在三维空间中,一个向量可以用三个实数表示。
通常我们用向量的坐标来表示一个向量,比如在二维空间中,我们可以用(x, y)表示一个向量,而在三维空间中,我们可以用(x, y, z)表示一个向量。
二、向量坐标分解的概念在空间中,一个向量可以有无数个分解,其中一个重要的分解就是向量的坐标分解。
向量的坐标分解可以将一个向量分解为若干个方向相同的向量的和。
具体的,对于一个向量v,如果有另外两个向量u和w,使得v=u+w,那么我们称v可以被u和w分解。
向量的坐标分解能够帮助我们更好地理解向量的性质和运算。
三、二维向量的坐标分解在二维空间中,一个向量可以用两个实数表示,比如向量v可以表示为v=(x, y)。
如果我们希望将向量v分解为两个方向相同的向量u和w,那么我们可以根据向量的投影来分解。
设向量v的坐标为v=(x, y),我们可以定义一个单位向量i=(1, 0)和一个单位向量j=(0, 1)。
那么根据向量的投影,我们可以得到v = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x(1, 0) + y(0, 1) = xi + yj这就是向量v的坐标分解,其中向量u=xi,向量w=yj。
可以看出,向量v可以被向量i和向量j分解为两个方向相同的向量的和。
四、三维向量的坐标分解在三维空间中,一个向量可以用三个实数表示,比如向量v可以表示为v=(x, y, z)。
如果我们希望将向量v分解为两个方向相同的向量u和w,同样可以根据向量的投影来分解。
设向量v的坐标为v=(x, y, z),我们可以定义一个单位向量i=(1, 0, 0)、一个单位向量j=(0, 1, 0)和一个单位向量k=(0, 0, 1)。
初中数学知识点向量的坐标与分解初中数学知识点:向量的坐标与分解向量是初中数学中重要的概念之一,它具有方向和大小,可以表示物体的位移、速度和力等物理量。
在向量的研究中,了解向量的坐标与分解是非常重要的。
本文将介绍向量的坐标表示方法和向量的分解技巧。
一、向量的坐标表示方法向量的坐标是用有序数对表示的,通常用(a, b)表示。
其中,a表示向量在水平方向,即x轴上的投影长度;b表示向量在垂直方向,即y 轴上的投影长度。
例如,假设有向量AB,点A的坐标为(x₁, y₁),点B的坐标为(x₂, y₂),则向量AB的坐标表示为(Bx - Ax, By - Ay)。
其中,Bx和By分别表示点B的水平和垂直坐标,Ax和Ay分别表示点A的水平和垂直坐标。
二、向量的坐标操作1. 向量的相反向量向量的相反向量是指方向相反、大小相等的向量。
将一个向量的坐标中的元素取相反数,即可得到该向量的相反向量。
例如,向量AB的坐标为(a, b),则向量BA的坐标为(-a, -b)。
2. 向量的相加向量的相加是指将两个向量的坐标分别相加,得到一个新的向量。
例如,设向量AB的坐标为(a₁, b₁),向量CD的坐标为(a₂, b₂),则向量AB + CD的坐标为(a₁ + a₂, b₁ + b₂)。
3. 向量的数乘向量的数乘是指将向量的坐标中的每个元素都乘以一个实数,得到一个新的向量。
例如,设向量AB的坐标为(a, b),实数k表示一个常数,则向量kAB的坐标为(ka, kb)。
三、向量的分解向量的分解是指将一个向量拆解成两个分量的和,其中一个分量在某个方向上,另一个分量在该方向的垂直方向上。
1. 向量的水平和垂直分量设向量AB的坐标为(a, b),将向量AB分解成水平和垂直分量的和。
水平分量的坐标为(a, 0),垂直分量的坐标为(0, b)。
2. 向量的分解定理向量的分解定理是指将一个向量拆解成两个分量的和的公式表示。
设向量AB的坐标为(a, b),将向量AB分解成向量AC和向量CB的和。
第28讲-向量的分解与向量的坐标运算(解析版)向量的分解与向量的坐标运算向量是线性代数中的重要概念,具有方向和大小的特点,可以表示物理量,也可以用于计算和解决各种数学问题。
本文将介绍向量的分解和向量的坐标运算,帮助读者更好地理解和应用向量。
一、向量的分解在空间中,一个向量可以分解成两个或三个互相垂直的分量,分别与坐标轴平行。
这种分解使得计算和研究向量更加方便。
下面以二维向量为例,介绍向量的分解方法。
设有一个向量a,它与坐标轴的夹角为a,长度为a。
将a的终点与a轴和a轴的交点分别连接,得到两个垂直于坐标轴的线段,分别为a·aaaa和a·aaaa。
这两个线段就是向量a在a轴和a轴上的分量。
根据三角函数的性质,可以得到以下计算向量分量的公式:aa = a·aaaaaa = a·aaaa通过这种分解方法,我们可以将一个平面向量分解成两个分量,通过分量运算更准确地描述向量的性质和特点。
二、向量的坐标运算向量的坐标运算是利用向量的分量进行加减、数乘等运算,从而得到新向量的过程。
下面我们来介绍向量的坐标运算的几个基本概念和方法。
1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量进行相加,得到一个新向量的运算。
设有两个向量a和a,它们的分量分别为(aa, aa)和(aa, aa),则它们的和向量a+a的分量满足以下关系:(a + a)a = aa + aa(a + a)a = aa + aa通过向量的加法,我们可以将多个向量相加得到一个结果向量,用于描述物理量的合成和分解等问题。
2. 向量的数乘向量的数乘是指将一个向量与一个实数进行乘法运算,得到一个新向量的过程。
设有一个向量a和实数a,则向量a的数乘a的分量满足以下关系:(aa)a = a·aa(aa)a = a·aa通过向量的数乘,我们可以改变向量的大小和方向,用于描述变化、缩放等问题。
3. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量,得到一个新向量的运算。
2.2向量的分解与向量的坐标运算知识梳理1.平面向量基本定理如果e 1和e 2是平面内的两个不共线的向量,那么该平面内的任一向量a ,存在唯一的一对实数a 1,a 2,使a =a 1e 1+a 2e 2.我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,记为{e 1,e 2},a 1e 1+a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1,e 2}的分解式.2.直线的向量参数方程式已知A 、B 是直线l 上任意两点,O 是l 外一点,则对于直线l 上任一点P ,存在实数t ,使OP=(1-t)OA +t OB ,这个等式又称为直线l 的向量参数方程式.3.向量的坐标(1)如果两个向量的基线互相垂直,则称这两个向量互相垂直.即向量垂直就是它们所在的直线互相垂直.(2)如果平面向量基底互相垂直,则称这个基底为正交基底.在正交基底下分解向量,叫做正交分解.(3)在直角坐标系内,分别取与x 轴和y 轴方向相同的向量e 1、e 2,对任一向量a ,存在唯一的有序实数对(a 1,a 2),使得a =a 1e 1+a 2e 2,(a 1,a 2)就是向量a 在基底{e 1,e 2}下的坐标,即a =(a 1,a 2),其中a 1叫做向量a 在x 轴上的坐标分量,a 2叫做向量a 在y 轴上的坐标分量.(4)向量的坐标:设点A(x,y),则OA =(x,y).符号(x, y)在直角坐标系中有双重意义,它既可以表示一个点,又可以表示一个向量.因此要加以区分,在叙述中,就要指明点(x, y)或向量(x, y).4.向量的坐标运算(1)a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ±b =(x 1±x 2,y 1±y 2),即两个向量的和(差)的坐标,等于这两个向量的相应坐标的和(差); 若λ∈R ,则λa =(λx 1,λy 1),即向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的积.(2)若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则OA OB AB -==(x 2,y 2)-(x 1,y 1)=(x 2-x 1,y 2-y 1),即向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标.5.两向量平行的坐标表示设a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),则a ∥b ⇔a 1b 2-a 2b 1=0;如果b 不平行于坐标轴,即b 1≠0且b 2≠0,则a ∥b ⇔11b a =22b a ,即这两个向量平行的条件是相应坐标成比例.知识导学1.学习本节要复习向量加法的运算法则和平行向量基本定理;2.灵活、适当地选择一组平面向量基底是解决向量问题的关键;3.在解决问题时,养成自觉画草图,结合图形来寻找解题思路,要重视数形结合思想的运用. 疑难突破1.如何正确认识平面向量基本定理?剖析:疑点是平面向量基本定理是关于哪一方面的定理,有什么作用,突破口是从定理的条件和结论来分析.平面向量基本定理实质上就是向量线性运算知识的推广和延伸,即平面内任一向量a 都可分解成两个不共线向量e 1,e 2(基底)的唯一线性组合形式 λ1e 1+λ2e 2.因此平面向量基本定理也是向量正交分解的依据,是向量坐标运算的基础,理解该定理能很好地掌握平面向量的各种知识,帮助我们解决向量问题.2.如何看待平面向量的几何运算和坐标运算这两种运算形式?剖析:很多同学对这两种运算形式产生了疑问.其突破方法是分析平面向量的表示方法.总起来看向量有两种表示方法:一种是用有向线段来表示,称为几何法;另一种是用数字(坐标)表示,称为代数法.那么相应地向量的运算也就分为图形上的几何运算(基向量法)和坐标下的代数运算(坐标法).这两种运算恰好体现了向量是数形结合的载体.因此平面向量的解决思路有两种:基向量法和坐标法.例如:已知两个非零向量e 1和e 2不共线,且k e 1+e 2和e 1+k e 2共线,求实数k 的值. 解:思路1:(基向量法)∵k e 1+e 2和e 1+k e 2共线,∴存在实数λ,使得k e 1+e 2=λ(e 1+k e 2).∴(k-λ)e 1=(λk -1)e 2.∵e 1和e 2不共线,∴⎩⎨⎧==-.1,0λλk k ∴k=±1.思路2:设向量e 1=(x 1,y 1),e 2=(x 2,y 2),∴k e 1+e 2=(kx 1+x 2,ky 1+y 2),e 1+k e 2=(x 1+kx 2,y 1+ky 2).∵k e 1+e 2和e 1+k e 2共线,∴(kx 1+x 2)(y 1+ky 2)-(x 1+kx 2)(ky 1+y 2)=0.∴(k 2-1)(x 1y 2-x 2y 1)=0.∵向量e 1和e 2不共线,∴x 1y 2-x 2y 1≠0.∴k 2-1=0.∴k=±1.。
§2.2向量的分解与向量的坐标运算第一课时 平面向量基本定理一、自主学习1、平面向量基本定理 (1)定理:如果21e e 和是一个平面内的两个 的向量,那么该平面内的 a ,存在唯一的 a 1, a 2,使a = .(2)基底与向量的分解把 向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,记为},{21e e 。
2211e a e a +叫做向量a关于基底},{21e e 的分解式。
2、直线的向量参数方程式(1)向量的参数方程已知A ,B 是直线l 上的任意两点,O 是l 外一点(如上图所示),则对直线l 上 一点P ,一定存在惟一的一个实数t 与之对应,向量等式OP = ,反之,对每一个数值,在直线l 上都有 的一个点P 与对之对应,向量等于OP = + 叫做直线l 的向量参数方程式,其中实数t 叫做参变数,简称 。
(2)线段中点的向量表达式在向量等式OB t OA t OP +-=)1(中,若t= ,则点P 是AB 的中点,且OP = 。
这是线段AB 的中点的向量表达式。
二、典例解析例:如图, ABCD 中,M 、N 分别是边DC 、BC 的中点。
(1)求证:MN BD 21;(2)设b y a x MN b AD a AB +===且,,求x, y 的值。
三、小结四、课后作业1、下列三种说法:①一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为表示该平面内所有向的基底; ②一个平面内有无数对不共线的非零向量可作为表示该平面内所有向量的基底; ③零向量不可以作为基底中的向量。
其中正确的是( )∥A 、①②B 、②③C 、①③D 、①②③2、已知b n a m c +=,要使c b a ,,的终点在一条直线上(设c b a ,,有公共起点),),(,R n m n m ∈需满足的条件是( )A 、1-=+n mB 、0=+n mC 、1=-n mD 、1=+n m3、OC OB OA ,,的终点A ,B ,C 在一条直线上,且,3CB AC -=设q OB p OA ==,,r OC =,则以下等式成立的是( )A 、q p r 2321+-= B 、q p r 2+-= C 、q p r 2123-= D 、p q r2+-= 4、设)(3,82),5(22b a CD b a BC b a AB -=+-=+=,则共线的三点是( ) A 、A ,B ,C B 、B ,C ,D C 、A,B,D D 、A ,C ,D 5、在△ABC 中,BC EF AB AE //,51=交AC 于F 点,设b AC a AB ==,,用b a ,表示向量BF 为 。
§5。
2向量的分解与坐标运算【考纲解读】1.了解平面向量的基本定理及其意义。
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法、与数乘运算。
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
【知识梳理】1。
平面向量基本定理:如果1e 和2e 是平面内的两个不平行的向量,那么该平面内任一向量a ,存在唯一的一对实数1a ,2a ,使 ,把不共线向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组 ,记为 , 把 叫做向量关于基底{1e ,2e }的分解式。
2.如果基底的两个向量1e ,2e 互相垂直,则称这个基底为 ,在正交基底下分解向量,叫做 。
3.设{1e ,2e }为平面直角坐标系内的正交基底,由平面向量基本定理,对于平面上的一个向量,有且只有一对实数x ,y ,使得=x 1e +y 2e 。
我们把有序数对(x ,y )叫做向量 ,记作 , 叫a 在x 轴上的坐标, 叫a 在y 轴上的坐标。
把 叫做向量的坐标表示。
4.向量的直角坐标运算:设=(1a ,2a ),=(1b ,2b )则+= ,—= ,λ= 。
5.向量共线:设=(1a ,2a ),=(1b ,2b ),向量∥⇔ ⇔6.直线的向量参数方程式:已知A 、B 是直线l 上任意两点,O 是l 外一点,对直线l上任一点P,存在实数t,使关于基底{,}的分解式为:(*),并且满足(*)式的点P一定在l 上,我们把(*)式叫做直线 的向量参数方程式;当t=21时,点P是AB 的中点,则上式称为线段AB 的中点的向量表达式。
【基础自测】1.下列各组向量中能作为基底的是 ( ) A. 1e =(0,0)、2e =(2,—1) B 。
1e =(—2,1)、2e =(5,7)C . 1e =(5,3)、2e =(10,6)D 。
1e =(2,-3)、2e =(21,43-)2.已知,b 是两个不共线的向量,),(2121R ∈+=λλλλ,c 与a 共线或c 与b 共线的充要条件是 ( ) A. 1λ=0 B. 2λ=0 C . 2221λλ+=0 D. 21λλ•=03。
第28讲-向量的分解与向量的坐标运算
一、 考情分析
1.了解平面向量的基本定理及其意义;
2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示;
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算;
4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
二、 知识梳理
1.平面向量的基本定理
如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量,那么该平面内的任一向量a ,存在唯一的一对实数a 1,a 2,使a =a 1e 1+a 2e 2.
其中,不共线的向量e 1,e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,记为{e 1,e 2}.a 1e 1+a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1,e 2}的分解式.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则
a +
b =(x 1+x 2,y 1+y 2),a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2),λa =(λx 1,λy 1),|a |
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
②设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则AB →=(x 2-x 1,y 2-y 1),|AB →|
4.平面向量共线的坐标表示
设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0.
[微点提醒]
1.若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)且a =b ,则x 1=x 2且y 1=y
2.
2.若a 与b 不共线,λa +μb =0,则λ=μ=0.
3.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量,无论起点在什么位置,它们的坐标都是相同的.
三、 经典例题。