人教版高中数学B版必修4练习 向量的正交分解与向量坐标运算

平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示及运算教课目标：（1）认识平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的观点；（2）理解平面里的任何一个向量都能够用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实质问题的重要思想方法；（3）能够在详细问题中适合地选用基底，使其余向量都能够用基底来表达.教课要点：平面向量基本定理.教课难点：平面向量基本定理的理解与应用.向量的坐标表示的理解及运算的正确性.教课过程：一、复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa1）|λa |=|λ||a|；2）λ>0时λa 与a 方向同样；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=02．运算定律联合律：λμa)=(λμ)a；分派律： λμ λμ，λ (a+)= λa+λ+)a=a +3.向量共线定理向量b 与非零向量a 共线则：有且只有一个非零实数λ，使b =λa. 二、解说新课：1．思虑：（1）给定平面内两个向量e 1，e 2，请你作出向量3e 1+2e 2，e 1-2e 2，（2）同一平面内的任一直量能否都能够用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示？平面向量基本定理：假如e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么关于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ1e 1+λ2e 2.2．研究：我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内全部向量的一组基底；基底不唯一，要点是不共线；由定理可将任一直量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给准时，分解形式唯一.λ1，λ2是被a ，e 1，e 2独一确立的数目3．解说典范：例1已知向量e1，e2求作向量e1+3e2P例2如图，、不共线,且OAOBB APtAB(tR),用，表示OP.OAOBO A本是O A B已知、、三点不共线，若点P在直线AB上，则OP mOA nOB,且m n 1. 4．1：1.e1、e2是同一平面内的两个向量，有(D)A.e、e 必定平行B.e、e的模相等C.同一平面内的任一直量a都有a＝λe+μe(λ、μ∈R)121212e1、e2不共，同一平面内的任一直量a都有a=λe1+ue2(λ、u∈R)a ＝e1-2e2，b＝21+2，此中e1、2不共，+b与c＝61-22的关系（Ｂ）ee e a eeB.共C.相等D.没法确立λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一基底，且a＝λ1e1+λ2e2，a与e1不共，a与e2不共．(填共或不共).5．向量的角:已知两个非a、b，作OAa，OB b，∠AOB＝，叫向量a、b零向量的角，当=0°，a、b同向，当=18°，a、b反向，当=90°，a与b垂直，作a⊥b。

2．2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算[学习目标] 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．[知识链接]1点的坐标与向量的坐标有何区别？答 (1)向量a ＝(x ，y )中间用等号连接，而点的坐标A (x ，y )中间没有等号． (2)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同．(3)在平面直角坐标系中，符号(x ，y )可表示一个点，也可表示一个向量，叙述中应指明点(x ，y )或向量(x ，y )．2．相等向量的坐标相同吗？相等向量的起点、终点的坐标一定相同吗？答 由向量坐标的定义知：相等向量的坐标一定相同，但是相等向量的起点、终点的坐标可以不同．3．求向量AB →的坐标需要知道哪些向量？答 求向量AB →的坐标，需要知道点A 和点B 的坐标． [预习导引] 1．向量的正交分解(1)如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直．(2)如果基底的两个基向量e 1，e 2互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解． 2．向量的坐标表示在坐标平面xOy 内(如右图)，任作一向量a (用有向线段AB →表示)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(a 1，a 2)，使得a ＝a 1e 1＋a 2e 2，(a 1，a 2)就是向量a 在基底{e 1，e 2} 下的坐标．即a ＝(a 1，a 2)．其中a 1叫做向量a 在x 轴上的坐标分量，a 2叫做a 在y 轴上的坐标分量．3．向量的坐标运算(1)设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，则a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2)，a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2)，λa ＝λ(a 1，a 2)＝(λa 1，λa 2)．即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．(2)一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标．(3)在直角坐标系xOy 中，已知点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)．则线段AB 中点的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.要点一 平面向量的坐标表示例1 已知a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，求a ＋b ，a －b,3a ＋4b 的坐标． 解 a ＋b ＝(2,1)＋(－3,4)＝(－1,5)， a －b ＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)，3a ＋4b ＝3(2,1)＋4(－3,4)＝(6,3)＋(－12,16)＝(－6,19)．规律方法 (1)已知两点求向量的坐标时，一定要注意是终点坐标减去起点坐标；(2)向量的坐标运算最终转化为实数的运算．跟踪演练1 已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .解 (1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1)． (3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝⎛⎭⎫－12，1－⎝⎛⎭⎫23，13＝⎝⎛⎭⎫－76，23. 例2 已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°，求向量OA →的坐标． 解 设点A (x ，y )，则x ＝|OA →|cos 60°＝43cos 60°＝23，y ＝|OA →|sin 60°＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，∴OA →＝(23，6)．规律方法 求点和向量坐标的常用方法：(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．跟踪演练2 在直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向和长度如图所示，|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别求它们的坐标．解 设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)，则 a 1＝|a |cos 45°＝2×22＝2， a 2＝|a |sin 45°＝2×22＝2； b 1＝|b |cos 120°＝3×⎝⎛⎭⎫－12＝－32， b 2＝|b |sin 120°＝3×32＝332； c 1＝|c |cos(－30°)＝4×32＝23， c 2＝|c |sin(－30°)＝4×⎝⎛⎭⎫－12＝－2. 因此a ＝(2，2)，b ＝⎝⎛⎭⎫－32，332，c ＝(23，－2)．要点二 平面向量的坐标运算例3 已知a ＝(－1,2)，b ＝(1，－1)，c ＝(3，－2)，且有c ＝p a ＋q b .试求实数p ，q 的值． 解 ∵a ＝(－1,2)，b ＝(1，－1)，c ＝(3，－2)， ∴p a ＋q b ＝p (－1,2)＋q (1，－1)＝(－p ＋q,2p －q )．∵c ＝p a ＋q b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －p ＋q ＝3，2p －q ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝4.故所求p ，q 的值分别为1,4.规律方法 (1)根据平面向量基本定理，任意向量都可以用平面内不共线的两个向量表示，同样，任意向量的坐标都可用所选基向量的坐标表示出来．(2)相等向量的坐标是相同的，解题时注意利用向量相等建立方程(组)．跟踪演练3 已知A (2，－4)，B (－1,3)，C (3,4)，若CM →＝2CA →＋3CB →，求点M 的坐标． 解 由A (2，－4)，B (－1,3)，C (3,4)，得 CA →＝(2－3，－4－4)＝(－1，－8)， CB →＝(－1－3,3－4)＝(－4，－1)，∴CM →＝2CA →＋3CB →＝2(－1，－8)＋3(－4，－1)＝(－2，－16)＋(－12，－3)＝(－14，－19)． 设点M 的坐标为(x ，y )，则CM →＝(x －3，y －4)．由向量相等坐标相同可得⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－14，y －4＝－19，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－11，y ＝－15.∴点M 的坐标为(－11，－15).1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，则b －a 等于( ) A ．(－2,1) B ．(2，－1) C ．(2,0) D ．(4,3) 答案 B解析 b －a ＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)，故选B.2．已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－4，12B.⎝⎛⎭⎫4，－12 C ．(－8,1) D ．(8,1) 答案 A解析 ∵AB →＝OB →－OA →＝(－8,1)， ∴12AB →＝⎝⎛⎭⎫－4，12. 3．已知四边形ABCD 的三个顶点A (0,2)，B (－1，－2)，C (3,1)，且BC →＝2AD →，则顶点D 的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫2，72 B.⎝⎛⎭⎫2，－12 C ．(3,2) D ．(1,3) 答案 A解析 设D 点坐标为(x ，y )， 则BC →＝(4,3)，AD →＝(x ，y －2)， 由BC →＝2AD →得⎩⎪⎨⎪⎧4＝2x ，3＝2(y －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝72，∴D (2，72)．4．已知向量a ＝(2，－3)，b ＝(1,2)，p ＝(9,4)，若p ＝m a ＋n b ，则m ＋n ＝________. 答案 7解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝9，－3m ＋2n ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5.故m ＋n ＝7.1.在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一对应关系．关系图如图所示：2．向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终点的坐标相同．3．向量坐标形式的运算，要牢记公式，细心计算，防止符号错误．。

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课堂互动讲练
考点突破 用基底表示向量 两个非零向量只要不共线，就能构成基底， 而一个平面的基底，一旦确定，平面上任意 一个向量都可以由这组基底唯一地表示出 来．
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例1 如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于点 M，A→B＝a，A→D＝b， 试用基底{a，b}表示M→C，M→A，M→B和M→D.
示)，对直线 l 上_任___意___一点 P，存在唯一的实数 t 满
足向量等式O→P＝___(1_－__t_)O_→_A_＋__tO_→_B_____，反之，对每一
个实数 t，在直线 l 上都有__唯___一__的一个点 P 与之对
应．向量等式O→P＝__(_1_－__t)_O→_A__＋__tO→_B____叫做直线 l 的向
证明：如图所示，设 E′是线段 BA 上的一点，且 BE′＝14BA，只要证明 E、E′重合即可． 设O→A＝a，O→B＝b， 则B→D＝13a，O→D＝b＋13a. ∵B→E′＝O→E′－b， E′→A＝a－O→E′，BE→′＝13E′→A，
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【思路点拨】 (1)先计算出A→B，A→C再进行向量的 线性运算； (2)直接利用向量的坐标运算．
【解】 (1)∵A(4,6)、B(7,5)、C(1,8)． ∴A→B＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)； A→C＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)； A→B＋A→C＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)； A→B－A→C＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)；

2.2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算 5分钟训练(预习类训练，可用于课前) 1.已知A(-5，-1)，B(3，-2)，则21-AB 的坐标为（ ） A.(8，1) B.(-4，21） C.(-8，1) D.(-8，-1) 解析：∵A(-5，-1)，B(3，-2)，∴AB =(8，-1).∴-21AB =(-4，21). 答案：B2.已知向量a =(3，m )的长度为5，则m 的值为（ ）A.4B.±4C.16D.±16 解析：作向量OA =a =(3，m)，则A 点坐标为(3，m)，|OA |=223m +=5，∴m=±4.答案：B3.设a =(4，3)，b =(λ，6)，c =(-1，μ)，若a +b =c ，则λ=___________，μ=___________. 解析：a +b =(4，3)+(λ，6)=(4+λ，9)=c =(-1，μ).⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=+.9,5,9,14μλμλ解得 答案：-5 94.设点P 是线段P 1P 2上的一点，P 1、P 2的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2).(1)当点P 是线段P 1P 2的中点时，点P 的坐标为___________；(2)当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，点P 的坐标为___________.解：(1)如图(甲)，由向量的线性运算可知OP =21(1OP +2OP )=(2,22121y y x x ++). (2)如图(乙)，当点P 是线段P 1P 2的一个三等分点时，有两种情况，即2121=PP P P 或21PP P P =2.(甲)(乙) 如果21PP P P =21，那么OP =1+P 1=1OP +3121P P =1+31(2OP -1OP )=321+312OP =(32,322121y y x x ++)， 即点P 的坐标是(32,322121y y x x ++). 同理，如果21PP P P =2，那么点P 的坐标是(32,322121y y x x ++). 答案：(1)(3,32121y y x x ++) (2)(32,322121y y x x ++)或(32,322121y y x x ++) 10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.已知a =(-7，24)，|λa |=50，则λ等于（ ） A.±252 B.2 C.-2 D.±2 解析：|λa |=|λ||a |=25|λ|=50⇒|λ|=2. 答案：D2.已知a =(-1，2)，b =(1，-2)，则a +b 与a -b 的坐标分别为（ ）A.(0，0)，(-2，4)B.(0，0)，(2，-4)C.(-2，4)，(2，-4)D.(1，-1)，(-3，3)解析：a +b =(0，0)，a -b =(-2，4).答案：A3.已知=(x ，y)，点B 的坐标为(-2，1)，则的坐标为（ ）A.(x-2，y+1)B.(x+2，y-1)C.(-2-x ，1-y)D.(x+2，y+1) 解析：=-，∴=-=(-2-x ，1-y).答案：C4.设a =(-1，2)，b =(1，-1)，c =(3，-2)，用a 、b 作基底可将c 表示为c =p a +q b ，则实数p 、q 的值为（ ）A.p=4，q=1B.p=1，q=4C.p=0，q=4D.p=1，q=-4解析：c =(-p+q ，2p-q)，∴⎩⎨⎧==⎩⎨⎧-=-=+-.4,1.22,3q p q p q p 解得答案：B5.已知m =(sin α+cos α，sin α-cos α)，则m 的长度为______________.解析：∵|m |2=(sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2sin 2α+2cos 2α=2，∴|m |=2.答案：26.如图2-2-4所示的直角坐标系xOy 中，|a |=4，|b |=3，求a ，b 的坐标及B 点的坐标.图2-2-4 解：设a =(x ，y)，则x=|a |cos45°=4×2222=，y=|a |sin45°=4×2222=，即a =(22,22)；b 相对于x 轴正方向的转角为120°，设b =(u ，v)，∴u=|b |cos120°=3×(21-)=23-，v=|b |sin120° =3×32323=. ∴b =(23-，323). 又的坐标即为A 点的坐标， ∴A(22,22)，b =AB =(23-，323). 设B(a ，b )，∴(323,23)=(a -22，b -22), ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=,32322,2322b a即B(2322-，32322+). 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.设A(1，2)，B(4，3)，若向量a =(x+y ，x-y)与相等，则（ ）A.x=1，y=2B.x=1，y=1C.x=2，y=1D.x=2，y=2解析：AB =(3,1),由AB =a ，得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=+.1,2,.1,3y x y x y x 得解之 答案：C2.△ABC 的两个顶点为A(4，8)，B(-3，6)，若AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上，则C 的坐标为（ ）A.(-8，3)B.(-3，4)C.(3，-8)D.(-4，3)解析：设C=(x ，y)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+.023,028x y解之，得⎩⎨⎧=-=.3,8x y ∴C=(3，-8). 答案：C3.若M(3，-2)，N(-5，-1)，且=21，则P 点坐标为（ ） A.(-8，-1) B.(-1，23-） C.(1，23） D.(8，-1) 解析：P 为的中点.答案：B4.若向量a =(1，1)，b =(1，-1)，c =(-1，2)，则c 等于（ ） A.21-a +23b B.b a 2321- C.b a 2123- D.b a 2123+- 解析：设c =m a +n b ，则(-1，2)=m(1，1)+n(1，-1)=(m+n ，m-n). ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎩⎨⎧=--=+.23,21.2,1n m n m n m 解得 答案：B5.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知A(3，1)，B(-1，3)，若点C 满足=α+β，其中α，β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨迹方程为( )A.3x+2y-11=0B.(x-1)2+(y-2)2=5C.2x-y=0D.x+2y-5=0解析：已知=(3，1)，=(-1，3)，设=(x,y),∵=α+β，∴(x ，y)=α(3，1)+β(-1，3).∴⎩⎨⎧+=-=.3,3βαβαy x 又∵α+β=1，∴x+2y-5=0.答案：D6.已知平行四边形ABCD 中，=(3，7)，=(-2，3)，对角线AC ，BD 交于点O ，则的坐标为( ) A.(21-，5) B.(21，5) C.(21-，-5) D.(21，-5) 解析：∵=+=(-2，3)+(3，7)=(1，10)，∴=(-1，-10). ∴=21=(21-，-5). 答案：C7.已知点A(3，-4)，B(-1，2)，点P 在直线AB 上，且||=2||，则点P 的坐标为( ) A.(31，0) B.(-5，8) C.(31，1)或(-4，7) D.(31，0)或(-5，8) 解析：由题意知=±2，设P(x ，y)，则(3-x ，-4-y)=±2(-1-x ，2-y)， ∴⎩⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧==.8,50,31y x y x 或 答案：D8.(2006贵州模拟,11)函数y=sinx 的图象按向量a =（23π-，2）平移后与函数ｇ(x)的图象重合，则ｇ(x)的表达式是（ ）A.cosx-2B.-cosx-2C.cosx+2D.-cosx+2 解析：设平移前后对应点的坐标分别为(x′,y′),(x,y),则x′-x=23π且y′-y=-2，代入原函数式得y-2=sin(x+23π)，整理得g(x)=-cosx+2. 答案：D9.已知A(3，-1)，则所在直线与x 轴所夹的锐角为_____________.解析：易知点A 在第四象限，作AH ⊥x 轴于H 点，则在Rt △AHO 中，AH=1，HO=3， ∴tan ∠HOA=33，∠HOA=30°.答案：30°10.(1)已知2a +b =(-4，3)，a -2b =(3，4)，求向量a 、b 的坐标.(2)x 轴的正方向到a 的夹角为60°，且|a |=2，求a 的坐标.解：(1))2()1().4,3(2),3,4(2⎩⎨⎧=--=+b a b a ①×2+②得5a =(-8+3，6+4)，a =(-1，2)，b =(-4，3)-2(-1，2)=(-4，3)-(-2，4)=(-2，-1).(2)∵x=|a |·cos60°=2·21=1，y=|a |·sin60°=2×323=， ∴a =(1，3).11.用向量法：求cos 72π+cos 74π+cos 76π的值. 解：将边长为1的正七边形ABCDEFO 如图放入直角坐标系中，则=(1，0)，AB =(cos 72π，rin 72π)，=(cos 74π，sin 74π)，=(cos 76π，sin 76π)，=(cos 78π，sin 78π)，=(cos 710π，sin 710π)，=(cos 712π，sin 712π). ∵OA ++BC +CD +++FO =0，∴这些向量的横坐标之和为0，即1+cos72π+cos 74π+cos 76π+cos 78π+cos 710π+cos 712π=0. 由三角函数的诱导公式，可得cos 78π=CO s 76π，cos 710π=cos 74π，cos 712π=cos 72π. ∴上式为1+2(cos 72π+cos 74π+cos 76π)=0. ∴cos 72π+cos 74π+cos 76π=-21.。

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1．向量的坐标
自主思考1 点的坐标和向量的坐标有何区别？
提示：(1)平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关；只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标相等．
(2)相等的向量的坐标是相同的，但始点和终点的坐标却不一定相同．
2．向量的直角坐标运算
自主思考2 两个向量相等，则它们的起点和终点是否一定相同？
提示：两个向量的坐标相同时，两个向量相等，但是它们的始点和终点的坐标却不一定相同，如，A(3,5)，B(6,8)，C(－5,3)，D(－2,6)，则AB＝(3,3)，CD＝(3,3)，显然AB＝CD，
但A，B，C，D各点的坐标却不相同．。

向量中含参数问题的求解 (1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果横 或纵坐标是一个变量，则表示向量的点的坐标的位置会随 之改变． (2)解答这类由参数决定点的位置的题目，关键是列出 满足条件的含参数的方程(组)，解这个方程(组)，就能达到 解题的目的．
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()
A．(5,3) 答案：C
B．(4,3)
C．(8,3) D．(0，－1)
3．若向量 AB＝(1,2)， BC ＝(3,4)，则 AC ＝
()
A．(4,6) B．(－4，－6) C．(－2，－2) D．(2,2)
答案：A 4．若点 M(3,5)，点 N(2,1)，用坐标表示向量 MN ＝______.
作一向量 a(用有向线段 AB表示)，由平面 向量基本定理可知，存在唯一的有序实数 对(a1，a2)，使得 a＝ a1e1＋a2e2 ，(a1， a2)就是向量 a 在基底{e1，e2}下的坐标，即 a＝(a1，a2) ，其 中 a1 叫做向量 a 在 x 轴上的坐标分量，a2 叫做 a 在 y 轴 上的坐标分量．
2．2.2 向量的正交分解与向量的直角坐标运算
预习课本 P99～102，思考并完成以下问题 (1)两个向量垂直如何定义？
(2)一个向量如何正交ห้องสมุดไป่ตู้解？
(3)向量的直角坐标定义是什么？ (4)如何由 a，b 的坐标求 a＋b，a－b，λa 的坐标？
[新知初探]
1．两个向量的垂直与正交分解
如果两个向量的 基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直． 如果基底的两个基向量 e1，e2 互相垂直 ，则称这个基底为正 交基底．在正交基底下 分解向量，叫做正交分解．

2.2.2向量的正交分解与向量的直角坐标运算学习目标：1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．(重点)2.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算．(重点)3.会用坐标表示平面向量共线的条件，能用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．向量的正交分解2．向量的直角坐标(1)在直角坐标系内，分别取与x轴和y轴方向相同的两个单位向量e1，e2，则对任一向量a，存在唯一的有序实数对(a1，a2)，使得a＝a1e1＋a2e2，(a1，a2)就是向量a在基底{e1，e2}下的坐标，即a＝(a1，a2)．(2)向量的坐标：设点A的坐标为(x，y)，则OA→＝(x，y)．符号(x，y)在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量．3．向量的直角坐标运算向量的加、减法设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2)，a－b＝(a1－b1，a2－b2)，即两个向量和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差实数与向量的积若a＝(a1，a2)，λ∈R，则λa＝(λa1，λa2)，即数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积向量的坐标已知向量AB→的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2)，则AB→＝(x2－x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标思考：向量的终点的坐标与此向量的坐标完全相同吗？[提示] 向量的坐标和这个向量终点的坐标不一定相同，当且仅当向量的起点是原点时，向量的坐标和这个向量的终点坐标才相同．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( ) (2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( ) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关．( ) (4)点的坐标与向量的坐标相同．( )[解析] (1)错误．对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样．(2)正确．根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标之差等于终点坐标．(3)错误．根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关． (4)错误．当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标等于(终)点的坐标． [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．已知a ＝(1，－1)，b ＝(3,0)，则3a －2b 等于( ) A ．(5,3) B ．(4，－1) C ．(－2，－1)D ．(－3，－3)D [3a －2b ＝3(1，－1)－2(3,0)＝(3，－3)－(6,0)＝(－3，－3)．]3．已知向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，其中A (1,2)，B (3,2)，则x ＝________.【导学号：79402079】[解析] 易得AB →＝(2,0)，由a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0，解得x ＝－1. [答案] －1[合 作 探 究·攻 重 难]平面向量的坐标表示(1)已知A (3,1)，B (2，－1)，则BA →的坐标是( ) A ．(－2，－1) B ．(2,1) C ．(1,2)D ．(－1，－2)(2)已知AB →＝(1,3)，且点A (－2,5)，则点B 的坐标为( ) A ．(1,8) B ．(－1,8) C ．(3,2)D ．(－3,2)(3)如图2-2-16，在正方形ABCD 中，O 为中心，且OA →＝(－1，－1)，则OB →＝________；OC →＝________；OD →＝________.图2-2-16[思路探究] 表示出各点的坐标→用终点坐标减去起点坐标→得相应向量的坐标[解析] (1)BA →＝OA →－OB →＝(3,1)－(2，－1)＝(1,2)．(2)设B 的坐标为(x ，y )，AB →＝(x ，y )－(－2,5)＝(x ＋2，y －5)＝(1,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝1，y －5＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝8， 所以点B 的坐标为(－1,8)．(3)如题干图，OC →＝－OA →＝－(－1，－1)＝(1,1)， 由正方形的对称性可知，B (1，－1)， 所以OB →＝(1，－1)， 同理OD →＝(－1,1)．[答案] (1)C (2)B (3)(1，－1) (1,1) (－1,1) [规律方法] 求点、向量坐标的常用方法：(1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标．(2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标即得该向量的坐标． [跟踪训练]1．已知点A (2,4)，a ＝(3,4)，且AB →＝2a ，则点B 的坐标为________． [解析] 设B 点坐标为(x ，y )，则 (x －2，y －4)＝2(3,4)＝(6,8)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝6y －4＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝12. 所以B 点的坐标为(8,12)． [答案] (8,12)平面向量的坐标运算(1)设AB →＝(2,3)，BC →＝(m ，n )，CD →＝(－1,4)，则DA →＝( ) A ．(1＋m,7＋n ) B ．(－1－m ，－7－n ) C ．(1－m,7－n )D ．(－1＋m ，－7＋n )(2)已知向量OA →＝(3，－2)，OB →＝(－5，－1)，则向量12AB →的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32 D ．(8,1)(3)若A ，B ，C 三点的坐标分别为(2，－4)，(0,6)，(－8,10)，求AB →＋2BC →，BC →－12AC →的坐标．[思路探究] (1)可利用向量加法的三角形法则将DA →分解为DC →＋CB →＋BA →来求解． (2)可借助AB →＝OB →－OA →来求12AB →坐标．(3)可利用AB →＝(x B －x A ，y B －y A )来求解． [解析] (1)DA →＝DC →＋CB →＋BA →＝－CD →－BC →－AB → ＝－(－1,4)－(m ，n )－(2,3) ＝(－1－m ，－7－n )． (2)12A B →＝12(OB →－OA →) ＝12[](－5，－1)－(3，－2)＝12(－8,1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12，∴12AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，12.[答案] (1)B (2)A(3)∵AB →＝(－2,10)，BC →＝(－8,4)，AC →＝(－10,14)， ∴AB →＋2BC →＝(－2,10)＋2(－8,4) ＝(－2,10)＋(－16,8) ＝(－18,18)，BC →－12AC →＝(－8,4)－12(－10,14) ＝(－8,4)－(－5,7) ＝(－3，－3)．2．已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求：(1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .【导学号：79402080】[解] (1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)．(2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3) ＝(－7，－1)．(3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－76，23.向量坐标运算的综合应用[探究问题]1．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，及OP →＝OA →＋tAB →.当t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？[提示] ∵OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t )． 若点P 在x 轴上，则2＋3t ＝0， ∴t ＝－23.若点P 在y 轴上，则1＋3t ＝0， ∴t ＝－13.若点P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，∴－23<t <－13.2．对于探究1条件不变，四边形OABP 能为平行四边形吗？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．[提示] ∵OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )． 若四边形OABP 为平行四边形， 则OA →＝PB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－3t ＝1，3－3t ＝2，该方程组无解． 故四边形不能为平行四边形．3．已知在非平行四边形ABCD 中，AB ∥DC ，且A ，B ，D 三点的坐标分别为(0,0)，(2,0)，(1,1)，则顶点C 的横坐标的取值范围是什么？图2-2-17[提示] 当ABCD 为平行四边形时，则AC →＝AB →＋AD →＝(2,0)＋(1,1)＝(3,1)，故满足条件的顶点C 的横坐标的取值范围是(1,3)∪(3，＋∞)．已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)．若A P →＝A B →＋λA C →(λ∈R)，试求λ为何值时，(1)点P 在一、三象限角平分线上； (2)点P 在第三象限内．[思路探究] 先用λ表示点P 的横、纵坐标，再根据条件列方程或不等式求解． [解] 设点P 的坐标为(x ，y )， 则A P →＝(x ，y )－(2,3)＝(x －2，y －3)， A B →＋λA C →＝[(5,4)－(2,3)]＋λ[(7,10)－(2,3)] ＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∵A P →＝A B →＋λA C →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝3＋5λ，y －3＝1＋7λ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋5λ，y ＝4＋7λ. (1)若P 在一、三象限角平分线上， 则5＋5λ＝4＋7λ，∴λ＝12，即λ＝12时，点P 在一、三象限角平分线上． (2)若点P 在第三象限内，则⎩⎪⎨⎪⎧5＋5λ<0，4＋7λ<0，∴λ<－1.即λ<－1时，点P 在第三象限内． [规律方法]1．解答本题可用待定系数法，此法是最基本的数学方法之一，实质是先将未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，此方法是待定系数法的基本形式，也是方程思想的一种基本应用．2．坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应坐标相等的向量是相等向量．由此可建立相等关系求某些参数的值． 3．向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图2-2-18所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，则λμ＝________.【导学号：79402081】图2-2-18[解析] 以向量a 的终点为原点，以过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系(图略)，设一个小正方形网格的边长为1，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)．由c ＝λa ＋ μb ，即(－1，－3)＝λ(－1，1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－12，则λμ＝4. [答案] 4[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知点A (1，－3)，AB →的坐标为(3,7)，则点B 的坐标为( ) A ．(4,4) B ．(－2,4) C ．(2,10)D ．(－2，－10)A [设点B 的坐标为(x ，y )，由AB →＝(3,7)＝(x ，y )－(1，－3)＝(x －1，y ＋3)＝(3,7)，得B (4,4)．]2．若a ＝(2,1)，b ＝(1,0)，则3a －2b 的坐标是( ) A ．(5,3) B ．(4,3) C ．(8,3)D ．(0，－1)B [3a －2b ＝3(2,1)－2(1,0)＝(4,3)．]3．若向量AB →＝(1,2)，BC →＝(3,4)，则AC →＝( ) A ．(4,6) B ．(－4，－6) C ．(－2，－2)D ．(2,2)A [AC →＝AB →＋BC →＝(1,2)＋(3,4)＝(4,6)．故选A.]4．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为________． [解析] AB →＝(3，－4)，则与AB →同方向的单位向量为AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－455．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求MN →的坐标．[解] 因为A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)， 所以CA →＝(－2＋3,4＋4)＝(1,8)， CB →＝(3＋3，－1＋4)＝(6,3)， 所以CM →＝3CA →＝(3,24)，CN →＝2CB →＝(12,6)．设M (x ，y )，则CM →＝(x ＋3，y ＋4)， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝3，y ＋4＝24， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝20，所以M (0,20)， 同理可得N (9,2)，所以MN →＝(9－0,2－20)＝(9，－18)．。

∴sinα＝－ 且cosβ＝ ，∴α＝－ ，β＝ 或－ .
∴α＋β＝ 或－ .
答案： 或－
8．已知点A(－1，－1)，B(1,3)，C(x,5)，若对于平面上任意一点O，都有 ＝λ ＋(1－λ) ，λ∈R，则x＝__________.
解析：取O(0,0)，由 ＝λ ＋(1－λ) 得，
(x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，
(1)若点P在x轴上，则2＋3t＝0，∴t＝－ ；
(2)若点P在y轴上，则1＋3t＝0，∴t＝－ ；
(3)若点P在第一象限，则 ∴t＞－ .
12．已知向量u＝(x，y)与向量v＝(y,2y－x)的对应关系可用v＝f(u)表示．
(1)证明：对于任意向量a、b及常数m、n，恒有f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)成立；
(2)设a＝(1,1)，b＝(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标；
(3)求使f(c)＝(3,5)成立的向量c.
解析：(1)证明：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则f(ma＋nb)＝f(mx1＋nx2，my1＋ny2)＝(my1＋ny2,2my1＋2ny2－mx1－nx2)，
又因为mf(a)＝(my1,2my1－mx1)，nf(b)＝(ny2,2ny2－nx2)，
所以mf(a)＋nf(b)＝(my1＋ny2,2my1＋2ny2－mx1－nx2)，
所以f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf(b)．
(2)f(a)＝(1,1)，f(b)＝(0，－1)．
(3)设c＝(x，y)，由 ，得 .
所以c＝(1,3)．
A．(－3,B．(5，－12)
C．(1，－4) D．(－4,8)
解析：联立
①＋②得2a＝(2，－8)＋(－8,16)＝(－6,8)，∴a＝(－3,4)．

小结:
1.向量正交分解
即 a = a1 e1 +a2 e2
2.平面向量的坐标表示
向量坐标与表示向量的 有向线段的起点、终点 的坐标之间的关系
3.平面向量的坐 标运算
向量加法与减法 实数与向量的积
那么 e1= (1 , 0) e2= (0, 1) 0 = (0,0)
已知 A（ a1，a2）， B（ b1 ，b2 ）
求：AB 的坐标
y
AB (b1 a1)e1 (b2 a2 )e2
B
a
A
(b1 a1,b2 a2)
e2
O e1
x
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终 点的坐标减去始点的坐标．
a - b (a1 b1, a2 b2 )
a
e2
b
O e1
x
两个向量和与差的坐标分别等于 这两向量相应坐标的和与差
2、已知 a (a1, a2 )和实数 ，求 的坐标 a
a (a1, a2 ) (a1, a2 )
实数与向量的积的坐标等于这个实数乘 原来的向量的相应坐标．
三、平面向量的坐标运算
1.已知a (a1, a2 ) ，b (b1,b2 ) ，求a + b，a - b．
解：a+b= (a1e1 a2e2 ) (b1e1 b2e2 )
y
C
(a1 b1)e1 (a2 b2 )e2
即 同理
a + b (a1 b1, a2 b2 )
二 、平面向量的坐标表示
分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向
量 e1 、e2 作为基底,则任一向量 a ，
用这组基底可表示为

4＝1－x ∴ 0＝－5－y x＝－3 ，∴ y＝－5
.∴D(－3，－5)．
→ ＝CD →， 当平行四边形为 ABDC 时，AB
4＝x－1 ∴ 0＝y＋5 x＝5 ，∴ y＝－5
.∴D(5，－5)．
→ ＝DB →， 当平行四边形为 ACBD 时，AC → ＝(2，－5)，DB → ＝(3－x，－y)， 又AC
x1＋1＝4 ∴ y1＋2＝3 x1＝3 ，∴ y1＝1
.
∴B(3,1)．同理可求得 D(－4，－3)． 设线段 BD 的中点 M 的坐标为(x2，y2)， 3－4 1－3 1 ∴x2＝ 2 ＝－2，y2＝ 2 ＝－1，
1 ∴M＝－2，－1.
• [ 例 3] 在△ ABC 中， A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ，
• [点评] 本题主要考查向量的坐标表示和向
量的坐标运算，解题关键是点的坐标与向 量坐标之间的相互转化．
→ ＝(2,8)，OB → (2010· 山东莱州市高一下学期期末测试)若OA 1→ ＝(－7,2)，则 AB＝________. 3
• [答案] (－3，－2)
[解析]
→ ＝(2,8)，OB → ＝(－7,2)， ∵OA
x－2＝3＋5λ 即 y－3＝1＋7λ x＝5＋5λ 解得 y＝4＋yλ
，
.
∵点 P 在第三象限，
x＝5＋5λ<0 ∴ y＝4＋7λ<0
，解得 λ<－1.
一、选择题 → 1． (2010· 济南一中高一下学期期末测试)已知 A(－3,2)， AB ＝(8,0)，则线段 AB 中点的坐标为 ( A．(－1,2) C．(1，－2) B．(1,2) D．(－1，－2) )

向量的正交分解与向量的直角坐标运算1．若M(3，－2)，N(－5，－1)，且MP＝12MN，则点P的坐标为( )A．(－8，－1) B．3 1,2⎛⎫--⎪⎝⎭C．31,2⎛⎫⎪⎝⎭D．(8，－1)2．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于( )A．1322-+a b B．1322-a bC．3122-a b D．3122-+a b3．已知点A(3，－4)，B(－1,2)，点P在直线AB上，且|PA|＝2|PB|，则点P的坐标为( )A．1,03⎛⎫⎪⎝⎭B．(－5,8)C．1,13⎛⎫⎪⎝⎭或(－4,7) D．1,03⎛⎫⎪⎝⎭或(－5,8)4．在ABCD中，AD＝(3,7)，AB＝(－2,3)，对角线AC，BD交于点O，则CO的坐标为( )A．1,52⎛⎫-⎪⎝⎭B．1,52⎛⎫⎪⎝⎭C．1,52⎛⎫--⎪⎝⎭D．1,52⎛⎫-⎪⎝⎭5．△ABC的两个顶点分别为A(4,8)，B(－3,6)，若AC的中点在x轴上，BC的中点在y 轴上，则点C的坐标为( )A．(－8,3) B．(－3,4) C．(3，－8) D．(－4,3)6．设点A，B，C，D的坐标依次为(－1,0)，(3,1)，(4,3)，(0,2)，则四边形ABCD的形状为________．7．已知边长为1的正方形ABCD，若点A与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴，y 轴的正方向上，则向量4AB＋BC－3AC的坐标为__________．8．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若AP＝AB＋λAC(λ∈R)，则λ＝__________时，点P在第一、三象限的角平分线上；当λ__________时，点P在第三象限内．9．(1)已知2a＋b＝(－4,3)，a－2b＝(3,4)，求向量a，b的坐标．(2)x轴的正方向与向量a的夹角为60°，且|a|＝2，求向量a的坐标．10．已知O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设OA＝a，OB＝b，OC ＝c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，试用a和b表示c.参考答案1．解析：由题意知，P 为线段MN 的中点，则点P 的坐标为31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 答案：B2．解析：设c ＝m a ＋n b (m ，n ∈R )，则(－1,2)＝m (1,1)＋n (1，－1)＝(m ＋n ，m －n )．所以1,2.m n m n +=-⎧⎨-=⎩解得1,23.2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故c ＝1322-a b .答案：B3．解析：由题意，知PA ＝±2PB ，设P (x ，y )，则(3－x ，－4－y )＝±2(－1－x,2－y )， 即322,442x x y y -=--⎧⎨--=-⎩或322,42 4.x x y y -=+⎧⎨--=-⎩解得5,8x y =-⎧⎨=⎩或1,30.x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩答案：D4．解析：如图所示，AC ＝AB ＋AD ＝(－2,3)＋(3,7)＝(1,10)，所以OC ＝12AC ＝1,52⎛⎫⎪⎝⎭. 所以CO ＝1,52⎛⎫-- ⎪⎝⎭.答案：C5．解析：设点C 的坐标为(x ，y )，则80,230.2yx +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩解得3,8.x y =⎧⎨=-⎩所以点C 的坐标为(3，－8)．答案：C 6．解析：如图所示，∵AD＝(0,2)－(－1,0)＝(1,2)，BC＝(4,3)－(3,1)＝(1,2)，∴AD＝BC.又∵AB＝(3,1)－(－1,0)＝(4,1)，∴|AD|＝5|AB|∴|AD|≠|AB|，∴四边形ABCD为平行四边形．答案：平行四边形7．解析：如图，各顶点的坐标分别为A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，故AB＝(1,0)，BC＝(0,1)，AC＝(1,1)．于是4AB＋BC－3AC＝(1，－2)．答案：(1，－2)8．解析：设点P的坐标为(x，y)，则AP＝(x，y)－(2,3)＝(x－2，y－3)，AB＋λ·AC＝[(5,4)－(2,3)]＋λ[(7,10)－(2,3)]＝(3,1)＋λ(5,7)＝(3＋5λ，1＋7λ)．∵AP＝AB＋λAC，∴235,317. xyλλ-=+⎧⎨-=+⎩∴55,47. xyλλ=+⎧⎨=+⎩若点P在第一、三象限的角平分线上，则5＋5λ＝4＋7λ，∴12λ＝.若点P在第三象限内，则550,470.λλ+<⎧⎨+<⎩∴λ＜－1.∴当12λ＝时，点P在第一、三象限的角平分线上；当λ＜－1时，点P在第三象限内．答案：12＜－19．解：(1)24,323,4.+=(-)⎧⎨-=()⎩a ba b①②①×2＋②得，5a＝(－8＋3,6＋4)＝(－5,10)，∴a＝(－1,2)，∴b＝(－4,3)－2(－1,2)＝(－4,3)－(－2,4)＝(－2，－1)．(2)设a＝(x，y)．∵x＝|a|·cos 60°＝2×12＝1，y＝±|a∴a＝(1，．10．解：以O为坐标原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的坐标系．由|OA|＝2，得OA＝(2,0)．设点B的坐标为(x1，y1)，点C的坐标为(x2，y2)．由∠AOB＝150°，根据三角函数的定义可求出点B的坐标x1＝1·cos 150°＝11 2y＝，所以B122⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，即OB＝1,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭.同理，点C的坐标为3,22⎛--⎝⎭，即OC＝3,22⎛--⎝⎭.设OC＝m OA＋nOB，则3,2⎛-⎝⎭＝m(2,0)＋n12⎛⎫⎪⎪⎝⎭，即32,21.2mn⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得3,mn=-⎧⎪⎨=-⎪⎩所以OC＝－3OA－OB，即c＝－3a－.。

课后导练基础达标1.若向量a =（3，2），b =（0，-1），则向量2b -a 的坐标是（ ）A.（3，-4）B.（-3，4）C.（3，4）D.（-3，-4）答案:D2.设a =（-1，2），b =（-1，1），c =(3,-2),用a ，b 作基底，将c 表示为c =p a +q b ,则（ ）A.p=4,q=1B.p=1,q=-4C.p=0,q=4D.p=1,q=4答案:B3.已知ABCD 中，AD =（3，7），AB =（-2，3），对角线AC 、BD 交于O ，则CO 坐标为（ ）A.（21-，5） B.（21，5） C.（21-，-5） D.（21，-5）解析:如图所示，AC =AB +AD =（-2，3）+（3，7）=（1，10）,∴OC =21AC =（21，5）. ∴CO =（21-，-5）. 答案:C4.设A 、B 、C 、D 坐标依次为（-1，0）、（3，1）、（4，3）、（0，2），则四边形ABCD 为（ ）A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形解析:如图所示，=（0，2）-（-1，0）=（1，2）,BC =（4，3）-（3，1）=（1，2）,∴AD =BC .又=(3,1)-(-1,0)=(4,1)且||≠||,∴四边形ABCD 为平行四边形.答案:D5.设点A(-1,2),B(2,3),C(3,-1),且AD =2AB -3BC ,则点D 坐标为()A.(2,16)B.(-2,-16)C.(4,16)D.(2,0) 解析:设D(x,y),则AD =(x+1,y-2),AB =(3,1),BC =(1,-4), 由(x+1,y-2)=2(3,1)-3(1,-4)得⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧=-=+.16,2.142,31y x y x 答案:A6.设a =(-1,2),b=(1,-1),c =(3,-2),且c =p a +q b ,则实数p 、q 的值为( )A.p=4,q=1B.p=1,q=-4C.p=0,q=1D.p=1,q=4解析:由(3,-2)=p(-1,2)+q(1,-1)得⎩⎨⎧-=-+-=.22,3q p q p 解得p=1,q=4.答案:D7.已知A 、B 、C 坐标分别为（2，-4）、（0，6）、（-8，10），则AB +2BC =_________，BC -AC 21=________. 答案:（-18，18） （-3，-3）8.已知边长为单位长的正方形ABCD.若A 点与坐标原点重合，边AB 、AD 分别落在x 轴、y 轴的正方向上，则向量2AB +3BC +AC 的坐标为___________.解析:根据题意建立坐标系（如图），则各顶点的坐标分别为A （0，0）、B （1，0）、C （1，1）、D （0，1）.∴=（1，0），=（0，1），=（1，1）.∴2+3BC +AC =（2，0）+（0，3）+（1，1）=（3，4）.答案:(3,4)综合运用9.(2006山东高考,4) 设向量a =(1,-3),b =(-2,4).若表示向量4a 、3b -2a 、c 的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c 为( )A.(1,-1)B.(-1,1)C.(-4,6)D.(4,-6)解析:若使向量4a ,3b -2a ,c 表示的有向线段首尾相接构成三角形,则4a +(3b -2a )+c =0, ∴c =-2a -3b =-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).故选D.答案:D10.(2006湖南高考,10) 如图所示,OM ∥AB,点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界),且OP =x OA +y OB ,则实数对(x,y)可以是…( )A.(43,41)B.(32,32-) C.(43,41-) D.(57,51-) 解析:据平面向量基本定理和平行四边形法则,A(43,41),OP =41OA +43OB ,P 在OB 下方, B(32,32-),P 在OM 边界上, D(57,51-),P 在AB 延长线上方,故选C. 答案:C11.已知O 是△ABC 内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设OA =a ,OB =b ,OC =c 且|a |=2,|b |=1,|c |=3,试用a 和b 表示c .解:以O 为坐标原点,OA 所在直线为x 轴建立如下图所示坐标系.由||=2,得=(2,0). 由∠AOB=150°,根据三角函数定义可求出B 点坐标x b =1·cos150°=23-,y b =21, ∴B(23-,21),即OB =(23-,21). 同理,∠AOC=150°+90°=240°,∴x c =3×cos240°=23-,y c =3sin240°=233-. ∴C(233,23--), 即=(233,23--). 设=m +n ,则(233,23--)=m(2,0)+n(23-,21), 即⎩⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=-.33,3.21233,23223n m n n m 解得 ∴OC =-3OA -33OB ,即c =-3a -33b .拓展探究12.已知点A(2,3),B(5,4),C(7,10),若AP =AB +λ·AC (λ∈R ),则λ=___________时,点P 在第一、三象限角平分线上;λ___________时,点P 在第三象限内.思路分析:由题设条件可用λ分别表示点P 的横、纵坐标,再根据点P 在第一、三角限角平分线上的充要条件是它的横、纵坐标相等,点P 在第三象限内的充要条件是它的横、纵坐标均为负,就能求出相应的λ值.解:设点P 的坐标为(x,y), 则=(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),+λ·=［(5,4)-(2,3)］+λ［(7,10)-(2,3)］=(3,1)+λ(5,7)=(3+5λ,1+7λ). ∵=+λ,∴⎩⎨⎧+=+=∴⎩⎨⎧+=-+=-.74,55.713,532λλλλy x y x若P 在一、三象限角平分线上,则5+5λ=4+7λ,∴λ=21. 若P 在第三象限,则⎩⎨⎧<+<+.074,055λλ∴λ<-1. ∴λ=21时,点P 在一、三象限角平分线上;λ<-1时,点P 在第三象限内. 答案:21 <-1。

第二章 2.2 2.2.2一、选择题1．(2014·广东文，3)已知向量a ＝(1,2)、b ＝(3,1)，则b －a ＝( ) A ．(－2,1) B ．(2，－1) C ．(2,0) D ．(4,3)B∵a ＝(1,2)、b ＝(3,1)，∴b －a ＝(3－1,1－2)＝(2，－1)．2．若向量a ＝(x ＋3，x 2－3x －4)与AB →相等，已知A (1,2)、B (3，2)，则x 的值为( ) A ．－1 B ．－1或4 C ．4 D ．1或4 A∵A (1,2)、B (3,2)，∴AB →＝(2,0)，又∵AB →＝a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝2x 2－3x －4＝0，∴x ＝－1.3．(2014·北京文，3)已知向量a ＝(2,4)、b ＝(－1,1)，则2a －b ＝( ) A ．(5,7) B ．(5,9) C ．(3,7) D ．(3,9)A2a －b ＝(4,8)－(－1,1)＝(5,7)4．已知AB →＝(5，－3)、C (－1,3)、CD →＝2AB →，则点D 的坐标是( ) A ．(11,9) B ．(4,0) C ．(9,3) D ．(9，－3) D∵AB →＝(5，－3)，∴CD →＝2AB →＝(10，－6)， 设D (x ，y )，又C (－1,3)， ∴CD →＝(x ＋1，y －3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝10y －3＝－6，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9y ＝－3. 5．已知两点A (4,1)、B (7，－3)，则与向量AB →同向的单位向量是( ) A ．15AB →B ．－15AB →C ．125AB →D ．－125AB →AAB →＝(3，－4)，∴|AB →|＝32＋(－4)2＝5，故与向量AB →同向的单位向量是AB →|AB →|＝15AB →.6．已知i 、j 分别是方向与x 轴正方向、y 轴正方向相同的单位向量，O 为原点，设OA →＝(x 2＋x ＋1)i －(x 2－x ＋1)j (其中x ∈R )，则点A 位于( )A ．第一、二象限B ．第二、三象限C ．第三象限D ．第四象限D∵x 2＋x ＋1>0，－(x 2－x ＋1)<0， ∴点A 位于第四象限． 二、填空题7．若点O (0,0)、A (1,2)、B (－1,3)，且OA ′→＝2OA →，OB ′→＝3OB →，则点A ′的坐标为________．点B ′的坐标为________，向量A ′B ′→的坐标为________．(2,4) (－3,9) (－5,5) ∵O (0,0)，A (1,2)，B (－1,3)， ∴OA →＝(1,2)，OB →＝(－1,3)，OA ′→＝2×(1,2)＝(2,4)，OB ′→＝3×(－1,3)＝(－3,9)． ∴A ′(2,4)，B ′(－3,9)，A ′B ′→＝(－3－2,9－4)＝(－5,5)．8．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝________. (－3，－5)AD →＝BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)．∴BD →＝AD →－AB →＝(－3，－5)． 三、解答题9．(1)设向量a 、b 的坐标分别是(－1,2)、(3，－5)，求a ＋b ，a －b,2a ＋3b 的坐标；(2)设向量a 、b 、c 的坐标分别为(1，－3)、(－2,4)、(0,5)，求3a －b ＋c 的坐标． (1)a ＋b ＝(－1,2)＋(3，－5)＝(－1＋3，2－5)＝(2，－3)；a －b ＝(－1,2)－(3，－5)＝(－1－3,2＋5)＝(－4,7)；2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(3，－5)＝(－2,4)＋(9，－15)＝(－2＋9,4－15)＝(7，－11)．(2)3a －b ＋c ＝3(1，－3)－(－2,4)＋(0,5) ＝(3，－9)－(－2,4)＋(0,5) ＝(3＋2＋0，－9－4＋5) ＝(5，－8)．10．设已知点O (0,0)、A (1,2)、B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →.求t 为何值时， (1)P 在x 轴上？ (2)P 在y 轴上？ (3)P 在第二象限？∵AB →＝(3,3)，∴OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3，3)＝(1＋3t,2＋3t )． (1)当点P 在x 轴上时，2＋3t ＝0，t ＝－23.(2)当点P 在y 轴上时，1＋3t ＝0，∴t ＝－13.(3)当点P 在第二象限时，⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <02＋3t >0，∴－23<t <－13.一、选择题1．已知a ＝(5，－2)、b ＝(－4，－3)、c ＝(x ，y )，且2a ＋b －3c ＝0，则c 等于( ) A ．(－2，73)B ．(2，73)C ．(2，－73)D ．(－2，－73)C2a ＋b －3c ＝(10，－4)＋(－4，－3)－(3x,3y )＝(6－3x ，－7－3y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ＝0－7－3y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－73. 2．点A (m ，n )关于点B (a ，b )的对称点坐标为( ) A ．(－m ，－n ) B ．(a －m ，b －n ) C ．(a －2m ，b －2n ) D ．(2a －m,2b －n )D设点A (m ，n )关于点B (a ，b )的对称点为A ′(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝m ＋x 2b ＝n ＋y 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －m y ＝2b －n. ∴A ′(2a －m,2b －n )．3．原点O 为正六边形ABCDEF 的中心，OA →＝(－1，－3)、OB →＝(1，－3)，则OC →等于( )A ．(2,0)B ．(－2,0)C ．(0，－23)D ．(0，3)AOABC 为平行四边形，∴OC →＝OB →－OA →＝(2,0)．4．已知向量a ＝(1,2)、b ＝(2,3)、c ＝(3,4)，且c ＝λ1a ＋λ2b ，则λ1、λ2的值分别为( ) A ．－2,1 B ．1，－2 C ．2，－1 D ．－1,2 D∵c ＝λ1a ＋λ2b ∴(3,4)＝λ1(1,2)＋λ2(2,3) ＝(λ1＋2λ2,2λ1＋3λ2)∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3＝λ1＋2λ24＝2λ1＋3λ2，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－1λ2＝2.故选D ． 二、填空题5．设点A (2,0)、B (4,2)，点P 在直线AB 上，且|AB →|＝2|AP →|，则点P 的坐标为________． (3,1)或(1，－1)∵点P 在直线AB 上，且|AB →|＝2|AP →|， 当点P 在线段AB 上时，P 为线段AB 的中点， ∴P (2＋42，0＋22)，即P (3,1)．当点P 在线段BA 的延长线上时， AB →＝－2AP →，设P (x ，y )， ∴－2AP →＝(4－2x ，－2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝4－2x 2＝－2y ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－1.∴P (1，－1)． 6．已知e 1、e 2是平面内两个不共线向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，则c 用a 和b 表示为________．c ＝a －2b 设c ＝x a ＋y b .则c ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2)＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2.∵e 1、e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝－2，∴c ＝a －2b .三、解答题7．已知△ABC 的两个顶点A (3,7)和B (－2,5)，求C 点坐标，使AC 的中点在x 轴上，BC 的中点在y 轴上．设C 点坐标为(x ，y )，根据中点坐标公式，可得AC 的中点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋x 2，y ＋72.又∵AC 的中点在x 轴上，∴y ＋72＝0，∴y ＝－7，同理可得BC 中点为⎝⎛⎭⎪⎫－2＋x 2，5＋y 2.∵BC 的中点在y 轴上，∴－2＋x 2＝0，∴x ＝2，∴C (2，－7)．8．若向量|a |＝|b |＝1，且a ＋b ＝(1,0)，求向量a 、b 的坐标． 设a ＝(m ，n )、b ＝(p ，q )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋n 2＝1p 2＋q 2＝1m ＋p ＝1n ＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝p ＝12q ＝－32n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝p ＝12q ＝32n ＝－32.故a ＝(12，32)、b ＝(12，－32)或a ＝(12，－32)、b ＝(12，32)．9．已知直线上三点P 1、P 、P 2满足|P 1P →|＝23|PP 2→|，且P 1(2，－1)、P 2(－1,3)，求点P 的坐标．∵|P 1P →|＝23|PP 2→|，∴P 1P →＝23PP 2→或P 1P →＝－23PP 2→，设P (x ，y )，则(x －2，y ＋1)＝±23(－1－x,3－y )，即⎩⎨⎧x －2＝23(－1－x )y ＋1＝23(3－y )，或⎩⎨⎧x －2＝－23(－1－x )y ＋1＝－23(3－y ).解得⎩⎨⎧x ＝45y ＝35，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8y ＝－9.故点P的坐标为(45，35)或(8，－9)．。

同步单元小题巧练（5）向量的分解与向量的坐标运算1、已知AD 、BE 分别为ABC ∆的边BC 、AC 上的中线,设AD a =,BE b =,则BC 等于( )A. 4233a b +B. 2433a b +C. 2433a b -D. 2433a b -+ 2、若向量(1,2),(3,4)AB BC ==,则AC =（ ）A. ()4,6B. ()4,6--C. (2,2)--D. ()2,23、(2,3)AB =,(,)BC m n =,(1,4)CD =-则DA =( )A.(1+m,7+n)B.( -1-m,-7-n)C.(1-m,7-n)D.(-1+m,-7+n)4、ABC ∆中,点D 在边AB 上, CD 平分ACB ∠.若CB a =,CA b =,1a =,2b =,则CD = ( ) A.1233a b + B. 2133a b + C. 3455a b + D. 4355a b + 5、下列各组向量中,可以作为基底的是( )A. ()()120,0,2,1e e ==-B. ()()124,6,6,9e e ==C. ()()122,5,6,4e e =-=-D. ()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭6、ABC ∆中, AB 边的高为C D ,若,,0,1,2CB a CA b a b a b ==⋅===,则AD = ( ) A.1133a b - B. 2233a b - C. 3355a b - D. 4455a b - 7、若P 为OAB ∆的边AB 上一点,且OAP ∆的面积与OAB ∆的面积之比为1:3,则有( )A. 2OP OA OB =+B. 2OP OA OB =+C. 2133OP OA OB =+ D. 1233OP OA OB =+ 8、已知O 是ABC ∆所在平面内一点, D 为BC 边中点,且20OA OB OC ++=,那么( )A. AO OD =B. 2?AO OD =C. 3?AO OD =D. 2?AO OD =9、在ABC ∆中,已知2,3,60AB BC ABC ==∠=︒,AH BC ⊥于,H M 为AH 的中点,若AM B AC λμ=+,则,λμ的值分别是( )A.11,63B. 11,36C.11,23D. 11,46 10、设向量()()1,3,2,4a b =-=-,若表示向量4,32,a b a c -的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c 为( )A. ()1,1-B. (1,1)-C. (4,6?)-D. ()4,6-11、已知向量(1,2)a =,(1,0)b =,()3,4c =.若λ为实数, ()//a b c λ+,则λ= ( ) A. 14 B. 12C.1D. 2 12、已知(3,2)M -,(5,1)N --且12MP MN =,则点P 的坐标为( ) A. (8,1)- B. 3(1,)2 C. 31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭D. (8,1)-13、已知平面向量(2,1),(1,1),(5,1),a b c =-==-若()//,a kb c +则实数k 的值为( )A. 2B. 12C. 114D. 114- 14、已知两点(4,1)A 、(7,3)B -,则与向量AB 同向的单位向量是( ) A. 34(,)55- B. 34(,)55- C. 43(,)55- D. 43(,)55- 15、已知1e 和2e 是表示平面内所有向量的一组基底,那么下面四组向量中不能作为一组基底的是( )A. 1e 和12e e +B. 122e e -和212e e -C. 122e e -和2142e e -D. 12e e +和12e e -16、四边形OABC 中, 12CB OA =,若,OA a OC b ==,则AB = ( ) A. 12a b -B. 2a b - C. 2a b +D. 12b a - 17、如图所示,已知,E F 分别是矩形ABCD 的边,BC CD 的中点,EF 与AC 交于点G ,若,AB a AD b ==,用,a b 表示AG =______________.18、设向量,a b ,不平行,向量a b λ+与2a b +平行,则实数λ=__________.19、已知()()1,1,,1,2,2a b x u a b v a b ===+=-,若u v ,则x =__________20、设向量OA 绕点O 逆时针旋转2π得向量OB ,且()27,9OA OB +=,则向量OB =__________答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：设AD 与BE 的交点为F ,则23AF a =,23BF b =. 由0AB BF FA ++=,得()23AB a b =-, 所以()24233BC AD AB a b =-=+.2答案及解析：答案：A解析：∵(1,2)(3,4)(4,6)ACAB BC =+=+=,故选A.3答案及解析：答案：B解析：(2,3)(,)(1,4)(1,7)AD AB BC CD m n m n =++=++-=++，(1,7)DA AD m n =-=----4答案及解析：答案：B解析：如图所示, 12∠=∠,∴12CB BD CA DA ==, ∴13BD BA =()()1133CA CB b a -=-, ∴()121333CD CB BD a b a a b =+=+-=+.答案：C解析：因为零向量与任意向量共线,故A 错误.对于B, ()()1222,3,32,3e e ==,所以12e e =,即1e 与2e 共线.对于D, 1244e e ==,所以1e 与2e 共线6答案及解析：答案：D解析：0a b ⋅=,∴90ACB ∠=,∴225,5AB a b CD =+==.∴,55BD AD == ∴:4:1AD BD =.∴()44445555AD AB CB CA a b ==-=-.7答案及解析：答案：C 解析：因为OAP ∆的面积与OAB ∆的面积之比为1:3,所以13AP AB =,所以()13OP OA OB OA -=-,所以2133OP OA OB =+ 8答案及解析：答案：A 解析：D 为BC 边中点,∴2OB OC OD ==, ∵20OA OB OC ++=, ∴0OA OD +=,即 AO OD =.答案：B 解析：()1122AM AH AB BH ==+, 因为,60AH BC ABC ⊥∠=︒,所以1BH =,所以13BH BC =, 故11112226AM AB BH AB BC =+=+ ()11112636AB AC AB AB AC =+-=+ 故11,36λμ==10答案及解析：答案：D解析：由题知()44,12a =-()()()3232,421,38,18b a -=---=-()432a b a c +-=-,所以()()4,128,18c -+-=-,所以()4,6c =-11答案及解析：答案：B解析：由题意知()1,2a b λλ+=+,由()//a b c λ+得()14320λ+⨯-⨯=, 所以12λ=. 故选B.答案：C解析：设(,)P x y ,则(3,2)MP x y =-+,(8,1)MN =-,由12MP MN =得, ()()113,28,14,22x y ⎛⎫-+=-=- ⎪⎝⎭∴341{{13222x x y y -=-=-⇒+==-.13答案及解析：答案：B解析：∵(2,1),(1,1)a b =-=，(2,1)(1,1)(2,1)a kb k k k ∴+=-+=+-，又(5,1)c =-，且()//a kb c +，，∴12510k k ⨯+--⨯-=（）（）（），解得：12k =14答案及解析：答案：A解析：15答案及解析：答案：C 解析：∵()122112422e e e e -=-- 122e e ∴-与2142e e -共线,故不能作为基底.其余三组均不共线16答案及解析：答案：D解析：1122AB AO OC CB a b a b a =++=-++=-,故选D.17答案及解析： 答案：3344a b + 解析：因为,E F 分别为,BC CD 的中点, 所以3333()4444AG AC a b a b ==+=+.18答案及解析： 答案：12解析：因为a b λ+与2a b +平行,所以存在实数μ,使()2,a b a b λμ+=+即 ()()120a b λμμ-+-= ,由于,a b 不平行,所以0{120λμμ-=-= ,解得12λ=.19答案及解析：答案：1解析： ∵()1,1,(,1)a b x ==,∴()()21,3,2,1u x v x =+=- ()()2113201u v x x x ⇒+⋅-⋅-=⇒=.20答案及解析： 答案：1123,55⎛⎫-⎪⎝⎭ 解析：设(),,OA m n =则(),,OB n m =-所以()()22,27,9OA OB m n n m +=-+=,即2729m n m n -=⎧⎨+=⎩解得235115m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.因此1123,55OB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由Ruize收集整理。

一、选择题1、设平面向量a＝（3,5）,b＝(－2，1),则a－2b等于()A、（7，3）B、（7,7）C、(1，7)D、(1,3）【解析】a－2b＝(3，5)－2(－2,1)＝（3,5）－(－4,2）＝（7，3）、【答案】 A2、若向量a＝（x＋3,x2－3x－4)与错误!相等，已知A(1,2)与B(3，2),则x的值为（）A、－1B、－1或4C、4D、1或－4【解析】错误!＝(2，0）,∴错误!∴x＝－1、【答案】 A3、设a＝(－1,2),b＝(－1，1），c＝（3,－2)，用a,b作基底,可得c＝p a＋q b，则(）A、p＝4，q＝1B、p＝1，q＝4C、p＝0，q＝4D、p＝1，q＝－4【解析】∵c＝p a＋q b,∴(3,－2）＝p(－1,2）＋q(－1，1）,∴错误!解得错误!【答案】 D4、已知两点A（4，1）,B（7，－3）,则与向量A错误!同向的单位向量就是（）A、(35，－45）B、（－错误!，错误!）C、（－错误!，错误!）D、（错误!，－错误!)【解析】∵与A错误!同向的单位向量为错误!，｜A错误!|＝错误!＝5,A错误!＝(7，－3)－（4,1）＝(3，－4)，∴错误!＝（错误!,－错误!)、【答案】 A5、（2012·佛山高一检测）在△ABC中,点P在BC上,且B错误!＝2P错误!,点Q就是AC的中点,若P错误!＝（4,3)，P错误!＝（1,5)，则B错误!＝（）A、(－2,7）B、（－6,21）C、（2,－7)D、（6，－21）【解析】∵P错误!＝(4,3）,P错误!＝(1，5)，∴A错误!＝P错误!－P错误!＝(－3,2)、又∵Q就是AC的中点,∴AC，→＝2AQ，→＝（－6,4),∴P错误!＝P错误!＋A错误!＝(－2,7）、又∵B错误!＝2P错误!,∴B错误!＝3P错误!＝3（－2,7）＝(－6,21）、【答案】 B二、填空题6、在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线，若错误!＝（2,4),错误!＝(1,3），则错误!＝________、【解析】错误!＝错误!－错误!＝错误!－错误!＝(错误!－错误!)－错误!＝错误!－2错误!＝(1,3）－2(2，4)＝（－3,－5)、【答案】 (－3，－5)7、已知O 就是坐标原点,点A 在第二象限,|错误!|＝2，∠xOA ＝150°，则向量OA →的坐标为________、【解析】 过A 分别作AM ,AN 垂直于x 轴，y 轴,垂足为M ,N 、易知AM ＝1,AN ＝错误!,∴A （－3,1），∴错误!＝(－错误!,1)、【答案】 （－错误!,1）8、向量a ,b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb （λ，μ∈R ），则错误!＝________、图2－2－10【解析】 以向量a 的终点为原点，过该点的水平与竖直的网格线所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,设一个小正方形网格的边长为1，则a ＝（－1，1)，b ＝（6,2)，c ＝(－1,－3)、由c ＝λa ＋ μb ，即(－1,－3）＝λ（－1,1)＋μ（6,2），得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－错误!,则错误!＝4、【答案】 4三、解答题9、已知点A （－1,2)，B (2,8）及错误!＝错误!错误!，错误!＝－错误!错误!，求点C 、D 与错误!的坐标、【解】 设点C （x 1，y 1）,D （x 2,y 2），由题意可得错误!＝(x 1＋1,y 1－2)，错误!＝(3,6）,错误!＝(－1－x 2,2－y 2)，BA ，→＝（－3，－6）、∵错误!＝错误!错误!,错误!＝－错误!错误!,∴(x 1＋1,y 1－2）＝错误!(3,6）＝（1,2)、∴(－1－x 2，2－y 2）＝－错误!(－3,－6）＝（1，2）,则有错误!与错误!解得错误!与错误!∴C ,D 的坐标分别为(0，4)与(－2，0）,∴错误!＝（－2,－4）、10、设两个向量a ＝（λ＋2，λ2－cos 2α)与b ＝(m ，错误!＋sin α）,其中λ、m 、α为实数,若a ＝2b ，求错误!的取值范围、【解】 ∵a ＝2b ,∴错误!①代入②消去λ整理得（sin α－1）2＝－4m 2＋9m －2、∵－1≤sin α≤1，∴0≤(sin α－1)2≤4，从而0≤－4m 2＋9m －2≤4，由⎩⎪⎨⎪⎧ －4m 2＋9m －2≥0，－4m 2＋9m －2≤4得错误!≤m ≤2、易证错误!＝2－错误!在［错误!，2]上就是增函数，∴－6≤错误!≤1，即错误!∈[－6,1］、11、已知点O (0,0),A （1，2）,B （4，5）及错误!＝错误!＋t ·错误!，试问：（1）当t 为何值时,P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第三象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，则求出t 的值；若不能，请说明理由、【解】 (1)错误!＝错误!＋t 错误!＝(1＋3t,2＋3t ）,则P （1＋3t ，2＋3t ),若P 在x 轴上,则2＋3t ＝0，所以t ＝－错误!;若P 在y 轴上，则1＋3t ＝0,所以t ＝－错误!;若P 在第三象限,则错误!所以t ＜－错误!、(2)因为错误!＝（1，2）,错误!＝（3－3t ，3－3t ）,若四边形OABP 就是平行四边形，则OA →＝错误!,所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3－3t ＝13－3t ＝2，此方程组无解，故四边形OABP 不能成为平行四边形、。

2.2 向量的分解与向量的坐标运算（数学人教B版必修4）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共20分）1.若三点P(1，1)，A(2，-4)，B(x,-9)共线，则x=（）A.-1B.3C. 92D.52.已知向量a=(3，4)，b=(si nα,c os α)，且a∥b,则t anα=（）A. 34B.34-C. 43D.43-3. 设向量a=(1,-3),b=(-2,4)，c=(-1,-2),若表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为（）A.(2，6)B.(-2，6)C.(2，-6)D.(-2，-6)4. 已知向量a=(4,2),向量b=(x,3),且a∥b,则x=（）A.9B.6C.5D.3二、填空题（每小题5分，共10分）5.已知点A(1，-2)，若向量AB与a=(2，3)同向，|AB |=213，则点B的坐标为.6.已知向量a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7)，若（a-c）∥b,则k = .三、解答题(共70分) 7.（15分）已知点A(-1，2)、B(2，8)，AC=13AB，DA=-13BA，求向量CD的坐标.8.（20分）已知a=AB，B(1，0)，b=(-3,4),c=(-1,1)，且a=3b-2c，求A的坐标.9. （15分）已知向量a=(x+3,x2-3x-4)与AB相等，其中A(1，2)、B(3，2)，求x. 10. （20分）已知a=(-1，2)，b=(1,x),若2a-b与a+2b 平行，求实数x的值.2.2 向量的分解与向量的坐标运算（数学人教B版必修4）答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4答案二、填空题5． 6．三、解答题7.8.9.10.2.2 向量的分解与向量的坐标运算（数学人教B版必修4）答案一、选择题1. B 解析：因为PA=(1，-5)，PB=(x-1,-10),依题意有-5×(x-1)-1×(-10)=0，解得x=3.2.A 解析：根据两个向量平行的条件得3c os α-4si nα=0,则t anα=sincosαα=34.3. D 解析：设d=(x,y),由题意知4a+(4b-2c)+2(a-c)+ d=0，即4(1，-3)+［4(-2,4)-2(-1,-2)］+2［(1,-3)-(-1,-2)］+(x,y)=(0,0)，解之得x=-2,y=-6,即d=(-2,-6).4. B 解析：由向量的平行条件有4×3-2x=0,解得x=6.二、填空题5. (5，4) 解析：设点B的坐标为(x,y),则AB=(x-1,y+2).依题意有22(1)(2)4132(2)3(1)0x yy x⎧-++=⨯⎨+--=⎩，，解得54xy=⎧⎨=⎩，，或38xy=-⎧⎨=-⎩，.当54xy=⎧⎨=⎩，时，AB=(4，6)与a=(2，3)同向，所以B(5，4)符合题意；当38xy=-⎧⎨=-⎩，时，AB=(-4，-6)与a=(2，3)不同向，故舍去.6. 5 解析：a-c=(3-k,-6),b=(1,3). ∵(a-c)∥b,∴3(3-k)-(-6)×1=0k=5.三、解答题7.解：由向量的减法知，CD=AD-AC=13BA-13AB=23BA=23(-1-2，2-8)=(-2，-4).8.解：因为b=(-3,4),c=(-1,1),所以a=3b-2c=3(-3,4)-2(-1,1)=(-7,10), 即AB=(-7，10).又因为B(1，0)，设A(x,y),则AB=(1-x,-y)=(-7,10),所以1710x y -=-⎧⎨-=⎩，，解得810x y =⎧⎨=-⎩，，即A (8,-10).9.解：因为A (1，2)、B (3，2)，所以AB =(2,0). 又因为a =AB , 所以(x+3,x 2-3x-4)=(2,0). 所以232340x x x +=⎧⎨--=⎩，，解得x =-1.10.解法1：由已知得2a -b =(-3,4-x ),a +2b =(1,2+2x ). 由2a -b 与a +2b 平行，知-3(2+2x )-(4-x )=0,解得x =-2. 解法2：∵ 2a -b 与a +2b 平行，∴ 2a -b =λ (a +2b ),∴ (-3,4-x )= λ (1,2+2x ), ∴ 34(22)x x λλ=-⎧⎨-=+⎩，，解得x =-2.解法3：设m =2a -b ,n =a +2b , 则可得a =25m +15n ,b =-15m +25n .∵ m ∥n ,∴ a ∥b .又∵ a =(-1,2),b =(1,x ),∴ -x-2=0,∴ x =-2.。