2021高考数学一轮复习课时作业34基本不等式文

课时作业(三十四) 一元二次不等式A 级1．不等式x －1x ＋2＜0的解集为( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)2．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( ) A ．{x |x ＞1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x ＝－2}D ．{x |x ≥－2且x ≠－1} 3．(2012·济宁模拟)设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则不等式f (－x )＜6的解集是( )A ．{x |－2＜x ＜3}B ．{x |－3＜x ＜2}C ．{x |x ＞3或x ＜－2}D ．{x |x ＞2或x ＜－3}4．(2012·长春模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞a2x －4＜2a 有解，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)5．(2012·长沙模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)6．(2012·长春模拟)已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．7．不等式|x －2|－|x －1|＞0的解集为________．8．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2＜0的解集为(1，m )，则实数m ＝________. 9．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．10．解下列不等式： (1)0＜x 2－x －2≤4； (2)axx －2＞1(a ＜1)．11．行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速v (km/h)满足下列关系：s ＝n v 100＋v 2400(n 为常数，且n ∈N )，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中⎩⎪⎨⎪⎧6＜s 1＜814＜s 2＜17，(1)求n 的值；(2)要使刹车距离不超过12.6 m ，则行驶的最大速度是多少？B 级1．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．－1＜b ＜0B ．b ＞2C ．b ＜－1或b ＞2D ．不能确定2．若关于x 的不等式x 2＋12x －⎝⎛⎭⎫12n ≥0对任意n ∈N ＋在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实常数λ的取值范围是________．3．已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．答案课时作业(三十四)A 级1．C 原不等式化为(x －1)(x ＋2)＜0，解得－2＜x ＜1，∴原不等式的解集为(－2,1)．2．C 由(x －1)x ＋2≥0，可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＞0，x －1≥0或x ＋2＝0，解得x ≥1或x ＝－2.3．A ∵f ′(x )＝2x ＋1，∴f (x )＝x 2＋x . 又∵f (－x )＜6，∴(－x )2－x ＜6， 即x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3.4．A ∵⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＞a 2x －4＜2a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞a 2＋1x ＜2a ＋4，由题意得a 2＋1＜2a ＋4， 即a 2－2a －3＜0，解得－1＜a ＜3.5．C ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0， ∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点， 又f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)＜0， ∴(6a ＋5)(2a ＋3)＜0，∴－32＜a ＜－56，又a ∈Z ，∴a ＝－1，不等式f (x )＞1即为－x 2－x ＞0，解得－1＜x ＜0. 6．解析： 由题意可得Δ＝a 2－16＞0，即a ＞4或a ＜－4. 答案： {a |a ＞4或a ＜－4}7．解析： 原不等式等价于|x －2|＞|x －1|，则(x －2)2＞(x －1)2，解得x ＜32.答案： ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜32 8．解析： 由已知得1，m 是ax 2－6x ＋a 2＝0的两根，且a ＞0， ∴a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍)． 又1＋m ＝6a ，∴m ＝2.答案： 29．解析： 由题意得，3 860＋500＋[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]×2≥7 000， 化简得(x %)2＋3·x %－0.64≥0， 解得x %≥0.2，或x %≤－3.2(舍去)． ∴x ≥20，即x 的最小值为20.答案： 2010．解析： 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2，或x ＜－1，－2≤x ≤3.如图所示，原不等式的解集为{x |－2≤x ＜－1，或2＜x ≤3}． (2)原不等式可化为(a －1)x ＋2x －2＞0，因为a ＜1，所以a －1＜0.故原不等式化为x ＋2a －1x －2＜0，等价于⎝⎛⎭⎫x ＋2a －1(x －2)＜0.当0＜a ＜1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪2＜x ＜21－a ；当a ＝0时，原不等式的解集为∅；当a ＜0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪21－a ＜x ＜2. 11．解析： (1)依题意得⎩⎨⎧6＜40n 100＋1 600400＜814＜70n 100＋4 900400＜17，解得⎩⎪⎨⎪⎧5＜n ＜1052＜n ＜9514，又n ∈N ，所以n ＝6.(2)s ＝3v 50＋v 2400≤12.6⇒v 2＋24v －5 040≤0⇒－84≤v ≤60，因为v ≥0，所以0≤v ≤60，即行驶的最大速度为60 km/h.B 级1．C 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图像关于直线x ＝1对称，即a2＝1得a ＝2.又f (x )开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数，∴f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2.2．解析： 由题意得x 2＋12x ≥⎝⎛⎭⎫12n max＝12， ∴x ≥12或x ≤－1.又x ∈(－∞，λ]，∴λ∈(－∞，－1]．答案： (－∞，－1]3．解析： (1)由题意可得m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇔m ＝0 或－4＜m ＜0⇔－4＜m ≤0.故m 的取值范围为(－4,0]． (2)∵f (x )＜－m ＋5⇔m (x 2－x ＋1)＜6，∵x 2－x ＋1＞0，∴m ＜6x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立，记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1,3]，记h (x )＝x 2－x ＋1，h (x )在x ∈[1,3]上为增函数．则g (x )在[1,3]上为减函数， ∴[g (x )]min ＝g (3)＝67，∴m ＜67.所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，67.。

第一章 第三节 等式的性质与不等式的性质基础夯实练1．若a ，b ∈R ，且a >|b |，则( ) A ．a <－b B ．a >b C ．a 2<b 2D.1a >1b解析：选B 由题意知a >|b |，当b ≥0时，a >b ，当b <0时，a >－b ，且a >0>b .综上可知，当a >|b |时，a >b 成立，故选B.2．(2021·绵阳南山中学月考)若a ，b ，c 为实数，则下列命题正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a <b ，则a ＋c <b ＋c C ．若a <b ，则ac >bc D ．若a <b ，则1a >1b解析：选B 当c ＝0时，ac 2＝bc 2，排除A ；当c ＝0时，ac ＝bc ，排除C ；当a <0，b >0时，1a <1b，排除D ；由不等式的基本性质可知，B 正确．故选B.3．(2021·德州乐陵第一中学调研)已知－1<a <0，b <0，则b ，ab ，a 2b 的大小关系是( ) A ．b <ab <a 2b B ．a 2b <ab <b C ．a 2b <b <abD ．b <a 2b <ab解析：选D 因为－1<a <0，b <0，所以ab >0，a 2b <0，所以ab 为三者中的最大值．因为－1<a <0，所以0<a 2<1，所以a 2b －b ＝(a 2－1)b >0，所以a 2b >b ，所以b <a 2b <ab .故选D.4．设a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列不等式正确的是( ) A.1a <1b B ．ac 2<bc 2 C.b a >a bD ．a 2>ab >b 2解析：选D 对于A ，令a ＝－2，b ＝－1，1a ＝－12，1b ＝－1，故A 错误；对于B ，当c ＝0时，则ac 2＝bc 2＝0，故B 错误；对于C ，令b ＝－1，a ＝－2，则b a <ab ，故C 错误；对于D ，∵a <b <0，∴a 2>ab ，且ab >b 2，故D 正确，故选D.5．条件甲：a >b >0，条件乙：1a <1b ，则甲是乙成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 条件乙：1a <1b ，即为1a －1b <0⇔b －a ab <0，若条件甲：a >b >0成立则条件乙一定成立；反之，条件乙成立不一定有条件甲：a >b >0成立．所以甲是乙成立的充分不必要条件，故选A.6．(2021·陕西西安质检)设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2＜0”是“a ＜b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由(a －b )a 2＜0可知a 2≠0，则一定有a －b ＜0，即a ＜b ；但是a ＜b 即a －b ＜0时，有可能a ＝0，所以(a －b )a 2＜0不一定成立，故“(a －b )a 2＜0”是“a ＜b ”的充分不必要条件，选A.7．(多选题)若不等式|x －a |<1成立的充分不必要条件是13<x <12，则实数a 的取值可以是( )A ．－43B.12C.43D ．0解析：选BCD 由|x －a |<1可得a －1<x <a ＋1，它的充分不必要条件是13<x <12，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |13<x <12是{x |a －1<x <a ＋1}的真子集，则⎩⎨⎧a －1≤13，a ＋1≥12且等号不同时成立，解得－12≤a ≤43.8．(2021·黑龙江大庆实验中学开学考试)已知a >b >1,0<c <1，则下列不等式成立的是( )A ．c a >c bB ．ac <bcC ．log c a >log b cD ．ba c <ab c解析：选D 对于A 项，由a >b >1,0<c <1知，c a <c b ，所以A 项错误；对于B 项，由a >b >1,0<c <1知，ac >bc ，所以B 项错误；对于C 项，由a >b >1,0<c <1知，log c a <log c b ＝1log b c ，无法判断log c a 与log b c 的大小，所以C 项错误；对于D 项，由a >b >1,0<c <1知，a c －1<b c －1，则ab ·a c －1<ab ·b c －1，即ba c <ab c ，所以D 项正确．故选D.9．能够说明“设a ，b 是任意非零实数．若ba >1，则b >a ”是假命题的一组整数a ，b 的值依次为________.解析：要使“设a ，b 是任意非零实数．若ba >1，则b >a ”是假命题，只需满足b <a <0且a ，b ∈Z 即可，故可以取a ＝－1，b ＝－2.答案：－1，－2(答案不唯一)10．已知－1≤x ＋y ≤1,1≤x －y ≤3，则8x ·⎝⎛⎭⎫12y 的取值范围是________. 解析：8x·⎝⎛⎭⎫12y＝(23)x ·(2－1)y ＝23x －y .设3x －y ＝A (x ＋y )＋B (x －y )，则⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝3，A －B ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝2.所以3x －y ＝(x ＋y )＋2(x －y )．由题意，得1≤(x ＋y )＋2(x －y )≤7，即1≤3x －y ≤7，所以21≤23x －y ≤27，即2≤23x －y ≤128.所以8x ·⎝⎛⎭⎫12y 的取值范围是[2,128]． 答案：[2,128]综合提升练11．(2021·北京通州期末)第38届世界遗产大会宣布：中国大运河项目成功入选世界文化遗产名录，成为中国第46个世界遗产项目．随着对大运河的保护与开发，大运河已成为北京城市副中心的一张亮丽的名片，也成为众多旅游者的游览目的地．今有一旅游团乘游船从奥体公园码头出发顺流而下至漕运码头，又立即逆水返回奥体公园码头．已知游船在顺水中的速度为v 1，在逆水中的速度为v 2(v 1≠v 2)，则此次游船行程的平均速度v 与v 1＋v 22的大小关系是( )A.v >v 1＋v 22B.v ＝v 1＋v 22 C.v <v 1＋v 22D.v ≥v 1＋v 22解析：选C 设两码头之间的距离为s ，则v ＝2ss v 1＋s v 2＝2v 1v 2v 1＋v 2，∴v －v 1＋v 22＝2v 1v 2v 1＋v 2－v 1＋v 22＝4v 1v 2－(v 1＋v 2)22(v 1＋v 2)＝－(v 1－v 2)22(v 1＋v 2)<0(v 1≠v 2)， ∴v <v 1＋v 22.故选C. 12．(多选题)(2021·重庆巴蜀中学开学考试)下列命题为真命题的是( ) A ．若a >b >0，则ac 2>bc 2 B ．若a <b <0，则a 2>ab >b 2 C ．若a >b >0且c <0，则c a 2>c b 2D ．若a >b 且1a >1b，则ab <0解析：选BCD 对于A 项，当c ＝0时，不等式ac 2>bc 2不成立，所以A 项是假命题．对于B 项，由⎩⎪⎨⎪⎧ a <b ，a <0，得a 2>ab .由⎩⎪⎨⎪⎧a <b ，b <0，得ab >b 2.所以a 2>ab >b 2，所以B 项是真命题．对于C 项，由a >b >0得a 2>b 2>0，所以0<1a 2<1b 2.因为c <0，所以c a 2>cb 2，所以C 项是真命题．对于D 项，由1a >1b ，得1a －1b >0，所以b －a ab >0.因为a >b ，所以b －a <0，所以ab <0，所以D 项是真命题．故选BCD.13．(多选题)若a <b <－1，c >0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a －1a >b －1bB ．a －1b <b －1aC ．ln(b －a )>0D.⎝⎛⎭⎫a b c >⎝⎛⎭⎫b a c解析：选BD 由函数y ＝x －1x 在(－∞，－1)上单调递增，得当a <b <－1时，a －1a <b －1b ，所以A 项错误．由函数y ＝x ＋1x 在(－∞，－1)上单调递增，得当a <b <－1时，a ＋1a <b ＋1b ，即a －1b <b －1a ，所以B 项正确．由a <b <－1，得b －a >0.但不确定b －a 与1的大小关系，所以ln(b －a )与0的大小关系不确定，所以C 项错误．由a <b <－1，得a b >1,0<ba <1.而c >0，所以⎝⎛⎭⎫a b c>1>⎝⎛⎭⎫b a c >0，所以D 项正确．故选BD.14．(多选题)(2021·浙江温州七校期末)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，这种符号逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( )A ．若ab ≠0且a <b ，则1a >1bB ．若0<a <1，则a 3<aC ．若a >b >0，则b ＋1a ＋1>baD ．若c <b <a 且ac <0，则cb 2<ab 2解析：选BC 对于A 项，取a ＝－2，b ＝1，则1a >1b 不成立，故A 项错误．对于B 项，若0<a <1，则a 3－a ＝a (a 2－1)<0，∴a 3<a ，故B 项正确．对于C 项，若a >b >0，则a (b ＋1)－b (a ＋1)＝a －b >0，∴a (b ＋1)>b (a ＋1)，∴b ＋1a ＋1>ba ，故C 项正确．对于D 项，若c <b <a 且ac <0，则a >0，c <0.而b 可能为0，因此cb 2<ab 2不一定成立，故D 项错误．故选BC.15．(多选题)(2021·山东聊城期末)已知a >b >1，给出下列不等式：①a 2>b 2；②a －b >a －b ；③a 3＋b 3>2a 2b ；④a ＋1b >b ＋1a.其中一定成立的有( )A ．①B ．②C ．③D ．④解析：选ABD 因为a >b >1，所以a 2>b 2，故①正确；若a －b >a －b 成立，则a－b >a ＋b －2ab 成立，即ab >b 成立，即a >b >0成立，该条件显然成立，故②正确；取a ＝2，b ＝32，则a 3＋b 3＝8＋278<2a 2b ＝12，故③错误；若a ＋1b >b ＋1a 成立，即a －b ＋1b －1a >0成立，即(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab >0成立，该式显然成立，故④正确．故选ABD. 16．设m ＝e 43＋1e 44＋1，n ＝e 42＋1e 43＋1，则m ________n .(用“>”，“<”填空)解析：∵m －n ＝(e 43＋1)2－(e 42＋1)(e 44＋1)(e 44＋1)(e 43＋1)＝e 86＋1＋2e 43－e 86－e 42－e 44－1(e 44＋1)(e 43＋1)＝(e 43－e 42)＋(e 43－e 44)(e 44＋1)(e 43＋1)＝e 42(e －1)＋e 43(1－e )(e 44＋1)(e 43＋1)＝(e 43－e 42)(1－e )(e 44＋1)(e 43＋1)<0，所以m <n .答案：<17．若a >b >0，给出以下几个结论： ①b a <b ＋5a ＋5； ②lga ＋b 2<lg a ＋lg b2； ③a ＋1b >b ＋1a ；④a －b >a －b .其中正确的是________.(请填写所有正确结论的序号)解析：因为a >b >0，所以b a －b ＋5a ＋5＝5(b －a )a (a ＋5)<0，则b a <b ＋5a ＋5，因此①正确；因为a >b >0，所以lg a ＋b 2>lg ab ＝lg a ＋lg b 2，因此②不正确；因为a >b >0，所以⎝⎛⎭⎫a ＋1b －⎝⎛⎭⎫b ＋1a ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab >0，因此③正确；因为a >b >0，所以可取a ＝2，b ＝1，则a －b ＝2－1<2－1＝1＝a －b ，因此④不正确．答案：①③18．为了满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为2400 m 2的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为28 m 2，月租费为x 万元；每间肉食水产类店面的建造面积为20 m 2，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%.(1)两类店面间数的建造方案为________种．(2)市场建成后，所有店面全部租出，为了保证任何一种建设方案平均每间店面的月租费不低于每间蔬菜水果类店面的月租费的90%，则x 的最大值为________.解析：设蔬菜水果类和肉食水产类店面的间数分别为a ，b .(1)由题意得0.85×2400≥28a＋20b ≥0.8×2400.化简，得480≤7a ＋5b ≤510.又a ＋b ＝80，所以480≤7a ＋5(80－a )≤510，解得40≤a ≤55.所以a ＝40,41，…，55，共16种．(2)由题意得0.8b ＋ax 80≥0.9x .所以0.8b ＋(80－b )x ≥72x ，所以x ≤ 0.8b b －8＝0.8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋8b －8.因为b max ＝80－40＝40，所以x ≤0.8⎝⎛⎭⎫1＋832＝0.8×54＝1，即x 的最大值为1.答案：(1)16 (2)1。

第4节 绝对值不等式及其应用考试要求 1。

理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：｜a ＋b ｜≤｜a |＋｜b ｜（a ，b ∈R )；|a －b ｜≤|a －c ｜＋|c －b |（a ，b ∈R ）；2。

会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：｜ax ＋b ｜≤c ；｜ax ＋b |≥c ；|x －c |＋｜x －b |≥a .知 识 梳 理1。

绝对值不等式的解法(1）含绝对值的不等式|x ｜<a 与｜x ｜>a 的解集不等式a >0 a ＝0 a <0 |x |<a（－a ，a ） ｜x ｜〉a （－∞,－a )∪（a ，＋∞) (－∞，0）∪（0，＋∞) R（2）|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b ｜≥c （c 〉0）型不等式的解法 ①｜ax ＋b ｜≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ;②｜ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .（3）|x －a |＋|x －b ｜≥c (c ＞0)和|x －a ｜＋|x －b ｜≤c (c ＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.2。

含有绝对值的不等式的性质（1)如果a,b是实数，则|a＋b|≤｜a｜＋|b|,当且仅当ab≥0时，等号成立；(2）|a｜－｜b｜≤|a±b｜≤｜a｜＋|b|；（3）如果a，b，c是实数，那么|a－c｜≤｜a－b｜＋|b－c|，当且仅当（a－b)(b－c）≥0时，等号成立。

［常用结论与易错提醒］1。

绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法,数形结合法，构造函数法。

2。

不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决。

3。

可以利用绝对值三角不等式定理｜a｜－｜b|≤｜a±b|≤|a|＋|b｜求函数最值，要注意其中等号成立的条件。

专题2.2基本不等式及其应用练基础1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知(),,0,a b c ∈+∞，320a b c -+=，则b的（）A B ．最大值是3C ．最小值是D ．最小值是3【答案】B 【解析】由题意得32a cb +=，再代入所求式子利用基本不等式，即可得到答案；【详解】因为320a b c -+=，所以32a cb +=，所以3323c a b =≤=+，等号成立当且仅当3a c =.故选：B.2．（2021·山东高三其他模拟）已知a b ，均为正实数，则“2aba b≤+”是“16ab ≤”的（）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】取100,2a b ==可得由2ab a b ≤+推不出16ab ≤，反过来，由基本不等式可得由16ab ≤能推出2aba b≤+，然后可选出答案.【详解】取100,2a b ==，则2002102ab a b =<+，但20016ab =>，所以由2ab a b≤+推不出16ab ≤，反过来，若16ab ≤，则22ab a b ≤=≤+，当且仅当4a b ==时取等号，所以由16ab ≤能推出2ab a b ≤+，所以“2aba b≤+”是“16ab ≤”的必要不充分条件，故选：C3．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC 的面积是()2214S b c =+，则ABC 的三个内角大小为（）A ．60ABC === B ．90,45A B C ===C ．120,30A B C ===D ．90,30,60A B C ===【答案】B 【解析】由ABC 的面积是()2214S b c =+，利用面积公式及基本不等式判断出90A =︒，由b=c 得45B C == .【详解】因为222b c bc +≥，所以()221142S b c bc =+≥（当且仅当b=c 时取等号）.而ABC 的面积是1sin 2S bc A =,所以11sin 22S bc A bc =≥，即sin 1A ≥，所以sin =1A ，因为A 为三角形内角，所以90A =︒.又因为b=c ，所以90,45A B C === .故选：B4．（2021·浙江高三月考）已知实数x ，y 满足2244x y +=，则xy 的最小值是（）A ．2-B ．C ．D ．1-【答案】D 【解析】运用三角代换法，结合二倍角的正弦公式、正弦型函数的最值性质进行求解即可.【详解】由22224414x x y y +=⇒+=，令2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，因此2cos sin sin 2xy θθθ==，因为1sin 21θ-≤≤，所以11xy -≤≤，因此xy 的最小值是1-，5．（2021·北京高三二模）某公司购买一批机器投入生产，若每台机器生产的产品可获得的总利润s (万元)与机器运转时间t (年数，*t ∈N )的关系为22364s t t =-+-，要使年平均利润最大，则每台机器运转的年数t 为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D 【解析】根据题意求出年平均利润函数。

(2)求证:当 a>ln 2-1 且 x>0 时,ex>x2-2ax+1.
【解析】(2)设 g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R.
于是 g'(x)=ex-2x+2a,x∈R.
由(1)知当 a>ln 2-1 时,g'(x)的最小值为
g'(ln 2)=2(1-ln 2+a)>0,
于是对任意 x∈R,都有 g'(x)>0,
(2)求证:当 x>0】(2)由(1)知,f(x)=2x+xln x,
令 g(x)=f(x)-(4x-3)=xln x-2x+3,
则 g'(x)=ln x-1,
由 ln x-1>0 得 x>e,由 ln x-1<0 得 0<x<e,
故 g(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,
2025 年高考数学一轮复习课时作业-导数的不等式问题 【原卷版】(时间:45 分钟 分值:40 分)
1.(10 分 ) 已 知 函 数 f(x)=ax+xln x, 且 曲 线 y=f(x) 在 点 (e,f(e)) 处 的 切 线 与 直 线 4x-y+1=0 平行. (1)求实数 a 的值; (2)求证:当 x>0 时,f(x)>4x-3. 【加练备选】
所以 g(x)在 R 上单调递增,
于是当 a>ln 2-1 时,对任意 x∈(0,+∞),都有 g(x)>g(0).
又 g(0)=0,从而对任意 x∈(0,+∞),g(x)>0,
即 ex-x2+2ax-1>0,故 ex>x2-2ax+1.

基本不等式一、单选题解：（法一）11112x x y +=++可变形为311332x x y+=++， 所以11313132(42)[(33)(2)][(33)(2)]()22223322x y x y x x y x x y x x y +=+=+++-=++++-++ 13(2)333131[4](4223322222x y x x x y ++=++-+-=++，当且仅当233x y x +=+即x =，12y =- （法二）原式可得212x x y x+-=，则2131131122222222222x x x y x x x x x +-+=+=++⨯=，当且仅当3122x x=，即x ==”故选：C ．解：a ，b R ∈，2a b +=． 则2222222112111()a b a b a b ab +++=+++++ 22222()226242(1)1()2()52()(1)4a b ab ab ab a b ab ab ab ab ab +-+---===++-+-+-+，令21(2)1(1)0t ab a a a =-=--=--， 则2242(1)42(1)44ab tab t ---=-++，令42(4)t s s -=，即42st -=， 可得2242432(4)4844ts s t s s -==-++-+， 由3232282s s s s+=当且仅当s =2t =-可得44328288s s-+- 则221111a b +++， 故选：C ．解：设2x s +=，4y t +=，则67s t x y +=++=，即7s t +=，且1x y +=． 则222222(2)(4)448164164824x y s t s s t t s t x y s t s t s t---+-++=+=+=+-++-++ 41641641641612127125s t s t s t s t s t s t=+++-=+++-=++-=+- (7s t +=41611641164151164151)5(416)5()2777777s t s t s t s t t s t s t s +-=+++-=+--=， 当且仅当164s t t s =时，即73s =，143t =时，等号成立， 故选：B ．解：2m n +=，0m >，0n >， (1)(2)5m n ∴+++=，即(1)(2)15m n +++=，∴23(1)1(2)11111121212m n m n m n m n m n +++++++=+=+++++++++ 11(1)(2)2()125m n m n +++=++⨯++ 21212()5512n m m n++=+++++ 1212112112214()551255555n m m n ++=+++⨯=+=++， 当且仅当2112n m m n ++=++，即3212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时等号成立， ∴当3212m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，2312m n m n +++++取得最小值145． 故选：B ．的最小值为( ) 解：224240a ab b c -+-=， ∴2215()4416c b a b =-+，由柯西不等式得，222222156[()][2][2()]|2|416415b ba b a b a b-++-=+故当|2|a b+最大时，有4462ba-=，32a b∴=，210c b=，∴22234534511211()(2)2310222a b c b b b b bb-+=-+=-=--，12b=时，取得最小值为2-．故选：C．A．2 B．4 C．6 D．16 解：令2x b=-，2y a=-，则原式2222(2)(2)(2)(2)2y x y xxy x y++++=+=(2xy+(22216xy=．当且仅当2x y==时取等号．故选：D．的最小值为()解：直线l 的方程为235x y +=，点(,)P a b 在l 上位于第一象限内的点， 可得235a b +=，a ，0b >，可得4106a b =-，(35)b <， 则1216412311696a b b b+=+++-+ 116[(116)(96)]()2011696b b b b =-+++-+ 1966(116)726(7)201169620b b b b +-+=++-+，当且仅当966(116)11696b b b b+-=-+时，即b =，a =， 故选：C ．解：由1x y +=，0y >得10y x =->， 解得1x <且0x ≠， ①当01x <<时，1||12||121x xx y x y +=+++， 122242x x x xx x x x +-=+=+--， 12115()2442424x x x x -=+++⨯=-， 当且仅当242x xx x-=-即23x =时取等号； ②当0x <时，1||1()2||121x xx y x y +=-+++， 121213()()1224244244x x x x x x x x x x x x -+---=-+=+=-++-+=-----，当且仅当242x xx x--=--即2x =-时取等号． 综上可得，最小值34故选：C ．最大值为( )解：由22290a b b c -+-=，可得2229c a ab b =-+， ∴222211119922949222ab ab a b a b ab c a ab ba bb a abb a====+--++--， 当且仅当9a bb a=时，即当3a b =时，等号成立， 此时2222229(3)23912c a ab b b b b b b =-+=-⨯⨯+=，所以，22231123112121(1)11312a b c b b b b b b+-=+-=-+=--+， 当且仅当1b =时，等号成立，所以，3112a b c+-的最大值为1． 故选：C ．10．若0a >，0b >，1ab a b =++，则2a b +的最小值为( )解：由1ab a b =++，可得(1)1a b b -=+，得11b a b +=-，由于0a >，0b >，则1b >， 所以，1(1)2222222212(1)322(3711111b b a b b b b b b b b b b +-++=+=+=++=+-+=-----，当且仅当22(1)11b b b ⎧-=⎪-⎨⎪>⎩时，即当2b =时，等号成立，因此，2a b +的最小值为7，故选：D ．解法一：0a >，1b >-，且1a b +=，∴2221a b a b +++ 22111b a a b -+=+++ 2111a b a b =++-++ 212f a a=+=-（a ），02a <<， f ∴（a ）121142[(2)]()(21)2222a aa a a a a a -=+-+=+++--142(3)22a aa a -=++- 14(23)2a -=． 当且仅当422a aa a-=-时取等号， 故2221a b a b +++． 故选：A ．解法二：0a >，1b >-，且1a b +=，∴2221a b a b +++ 22111b a a b -+=+++ 2111a b a b =++-++ 212f a a=+=-（a ），02a <<，f ∴'（a ）2221(2)a a =-+=-令f '（a ）0>，得42a -<，f （a ）单调递增，令f '（a ）0<，得04a <<-f （a ）单调递减，∴当且仅当4a =-f （a ）取得极小值即最小值，(4f -==．ξ 故选：A ．解：根据题意，148x y x y +=++，则2144()(8)()58()x y x y x y x y x y y x+=+++=++++， 变形可得：24()8()5x yx y x y y x+-+-=+， 又由4424x y x y y x y x+⨯，则有：2()8()90x y x y +-+-，设t x y =+，又由x ，0y >，则0t >，则有2890t t --， 解可得9t 或1t -， 又由0t >，则9t ， 则x y +的最小值为9； 故选：B ．)A ．2B ．4C ．6D ．8解：m ，(0,)n ∈+∞．若2m m n =+．则201n m n =>-，解得1n >． 则22222224222(1)242222()2(1)(1)m n n n n n n f n m n n n n n --+--=+--=+=--． 322334(332)4(2)(1)()(1)(1)n n n n n n n n f n n n -+---+'==--，令()0f n '，解得2n ，可得2n =，4m =时，()f n 取得最小值时，6m n +=． 故选：C ．14．已知a ，(0,1)b ∈，不等式20ax x b ++对于一切实数x 恒成立，又存在0x R ∈，使解：由题意，不等式20ax x b ++对于一切实数x 恒成立，可得△0，即140ab -；存在0x R ∈，使2000bx x a ++=成立，则△0，即140ab -，41ab ∴=，消去b ，即1218422111414441a y ab a a a a =+=+=++------ 4121(4441)(4144)2443413a a a a a a =-+-⨯+-+-⨯+-- 14(41)2(44)142(6)242843444133a a a a --=++++⨯=+--． 当且仅当4(41)2(44)4441a a a a --=--取等号． 故选：B ．15．设0a b c >>>，则2244269()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是( ) A ．4 B ．5C ．25D ．8解：2244269()a ac c ab a a b ++-+- 2244(3)()a c a ab ab ab a a b =-+-+++- 244(3)()()a c ab a a b ab a a b =-+++-+- 0448++=，当且仅当30a c -=，2ab =，()2a a b -=时等号成立， 故选：D ．16．已知实数a ，b ，c 满足222231a b c ++=，则2a b +的最大值是( )A ．3B ．2C ．5D ．3解：实数a ，b ，c 满足222231a b c ++=，22021a b ∴+，令cos a r θ=，sin b θ=，[0θ∈，2)π，01r ．则2cos sin )sin()3a b r θθθθθϕ+=+=++，∴故选：A ． 二、多选题17．在ABC ∆中，三边长分别为a ，b ，c ，且4abc =，则下列结论正确的是( ) A ．224a b ab <+B ．4ab a b ++>C ．224a b c ++>D ．4a b c ++<解：对于A ，224a b ab <+，即224a b ab -<，也就是()4ab a b abc -<=，ABC ∆中，0ab >，a b c -<，则()ab a b abc -<成立，故A 正确；对于B ，2221)11)1ab a b ab ab+++-=+-，当a b =时，不等式取“=”，此时244c ab a ==，a b c +>，即242a a>，得a >，22222ab a b ab a a a ++=+=++>+3232)(1.25) 2.5 4.06254>+=+=>，故B 正确；对于C ，222224a b c a bc abc +++=>，故C 正确；对于D ，边长为1，2，2的三角形，满足4abc =，当54a b c ++=>，故D 错误． 故选：ABC ．A ．7B ．8C ．9D ．10解：因为a ，0b >且21a b +=， 所以193a b a b +++29(2)3a b a b a b a b ++=+++6(3)33a b a a b ba b a b++++=+++ 3163a b a b a b =+++++373a ba b a b =++++2222343734a ab b a ab b ++=+++ 22222342734a ab b b a ab b +++=+++2222834b a ab b =+++ 因为0a >，0b >，所以2222034b a ab b >++，所以22228834b a ab b +>++，因为2222222222222(34)6868881010343434b a ab b a ab a aba ab b a ab b a ab b++--++=+=-<++++++， 综上，198103a b a b<+<++， 所以193a b a b+++的值不可能是7，8，10． 故选：ABD ．19．已知a ，b ，c R ∈，若2221a b c ++=，且(1)(1)(1)a b c abc ---=，则下列结论正确的是( ) A ．1a b c ++= B ．1ab bc ca ++< C ．c 的最大值为1D ．a 的最小值为1-解：由2221a b c ++=，可得：2221b c a +=-， 即22()21b c bc a +-=-．由(1)(1)(1)a b c abc ---=，得(1)(1)a bc b c abc ---+=， 化为：1a b c ab ac bc ++=+++，(1)(1)bc a b c ∴=-+-，代入22()2(1)(1)1b c a b c a +--+-=-，即22()2(1)()2(1)10b c a b c a a +--++--+=即22()2(1)()(1)0b c a b c a ++-++-=2(1)0b c a ∴++-=，1a b c ∴++=，1b c a ∴+=-，222()2b c b c+∴+， 22(1)12a a-∴-化为：23210a a --，解得113a -．a ∴的最小值为13-，同理可得c 的最大值为1，1a b c ++=，1a b c ab ac bc ++=+++，0ab ac bc ∴++=，故选项ABC 正确，D 错误， 故选：ABC ．20．已知a ，b R +∈且1a b +=，那么下列不等式中，恒成立的有( )14ab 2ab32ab2b解：对于A ，a ，b R +∈且1a b +=，2()144a b ab +∴=，当且仅当12a b ==时，等号成立，即选项A 正确；对于B ，令t ab =，则104t<， 11y ab t ab t ∴=+=+在(0，1]4上单调递减， 111721444y∴+=>，即选项B 错误； 对于C ，1a b +=，∴111212122()()21323a b b a b a b a ab a ab a b a b a b a ++=+=+=+⋅+=+++++当且仅当2b aa b=，即a 时，等号成立， ∴11322a ab++，即选项C 错误；对于D ，21(11224a b a b ab +=++=++⨯=，∴2b ，即选项D 正确．故选：AD ． 三、填空题解：2=，0a b ∴+>且22()a b +=，即0a b +>且2()84()11a b a b b +=++++，211112a b a b a b +++++=++，当且仅当a b =时取“= “，2()84()4(2)a b a b a b ∴++++++，当且仅当a b =时取“= “，即2()8()160a b a b +-+-，解得：442a b ++，当且仅当2a b ==+= “，又8110a b ++，2()84()11a b a b b +=++++，2()84()a b a b ∴+++，当11a b =-⎧⎨>⎩或11b a =-⎧⎨>⎩时取“= “，解得：223a b ++，当且仅当13a b =-⎧⎪⎨=+⎪⎩13b a =-⎧⎪⎨=+⎪⎩= “，()4max a b ∴+=+()2min a b +=+故答案为：4+2+解：2bca b c a++=， 22a ab ac bc ∴++=，22a abc b a+∴=-， 0c >，20b a ∴->，解法一：设2b a t -=，则0t >，2b t a =+；∴23939393939333(2)32373373(2)27aa t a a a t ab ct at a a t ta t====+++⨯++++++，当且仅当t a =时成立； ∴393ab c+的最大值为3． 解法二：由20b a ->，得2ba>， ∴393939393331232a b c b a b b b c b a a a b a ab a a===+++++-+-；设bx a=，则2x >， 所以1333()3313(2)723(2)767132222x f x x x x x x x x x +=+=++=-++-+=+=----， 当且仅当3x =时取等号，∴39393313a b c =+，即393ab c+的最大值为3． 故答案为：3．0)a b ，则a 解：若2312(0)ab a b +=，则0a ，0b ，有基本不等式1223223a b a b =+，（当且仅当3a =，2b =时“=”成立），得06ab ， 又由22(23)12a b +=，得224914412a b ab +=-，令229494y a b =+++， 则222222222229(4)4(9)497212(18)(9)(4)4936(18)24(18)288b a a b ab y a b a b a b ab ab +++++-===+++++---+， 令18t ab =-，则，121818ab -，21224288ty t t =-+，(1218)t ，则22212(288)(24288)t y t t -'=-+，令0y '=，得t =t =-（舍去），∴当[12t ∈，时，0y '>，当t ∈18]，0y '<∴函数21224288ty t t =-+，在区间当[12，上单调递增，在区间当，18]上单调递减，∴当t =y ， 又因为，当12t =时，1y =，当18t =时，65y =，615<， 所以，y 的最小值为：1故答案为：1．13b a，则解：由13b ，13a ，可得13ab ，由13b，13a ，b a ，11a ，1b a ，1ba， 则2211211a b a b a bab b a ab b a+-=+--=，当且仅当1a b ==取得最小值1；设f （a ）221a b =+-，13b a，可得f （a ）的对称轴为a =，b <，f （a ）在3b a 递增，1时，可得f 取得最大值；当13a ，且1<时，由f （1）22(32)(3220f b b b b -=---+=-<-<，则f 取得最大值232b b -+，由13b a ，可得1b =时，g （b ）取得最大值0，则f （a ）0，所以2213a b ab+-，综上可得，221a b ab+-的取值范围是[1．故答案为：[1．解：0x >，0y >，则3322224224628249109xy xy x y xy x y x y x x y y ++=++++22222338()8()39()410x y x y y x y x x y x y y x y x++==++++，可令3x yt y x=+，可得23t ， 则222226288494xy xy t x y x y t t t+==++++，由4y t t=+在23t 递增，可得44232t t ++=， 可得838483t t⨯=+当且仅当x =时，上式取得等号， 则2222629xy xyx y x y +++解：令3b c x +=，84c a y +=，32a b z +=，则111386a x y z =-++，1312164b x y z =-+，11161612c x y z =+-，所以代数式961936113147()()()222384324882164264848248a b c y x y z x z b c c a a b x y z y z x ++=-++++++-+⨯+⨯+⨯=+++．当且仅当::1:2:3x y z =，即::10:21:1a b c =时，等号成立．故答案为：4748．解：根据题意，21(2)(2)55x x y x y =-++，21(2)(2)55y x y x y =+--，则222222212111[(2)(2)][(2)(2)](2)(2)555555x y x y x y x y x y x y x y +=-++++--=-++，又由221691(2)(2)x y x y +=-+，则22222222221169116(2)9(2)149[(2)(2)]()[25](255(2)(2)5(2)(2)55x y x y x y x y x y x y x y x y x y +-+=-++⨯+=⨯++⨯+=-+-+，当且仅当222216(2)9(2)(2)(2)x y x y x y x y +-=-+时等号成立，即22x y +的最小值为495； 故答案为：495．。

数学高考一轮复习基本不等式专项练习（带解析）学习数学能够让我们的思维更清晰，我们在摸索和解决问题的时候，条理更清晰。

小编预备了差不多不等式专项练习，期望你喜爱。

1.若xy0，则对xy+yx说法正确的是()A.有最大值-2B.有最小值2C.无最大值和最小值D.无法确定答案：B2.设x，y满足x+y=40且x，y差不多上正整数，则xy的最大值是()A.400B.100C.40D.20答案：A3.已知x2，则当x=____时，x+4x有最小值____.答案：2 44.已知f(x)=12x+4x.(1)当x0时，求f(x)的最小值;(2)当x0 时，求f(x)的最大值.解：(1)∵x0，12x，4x0.12x+4x212x4x=83.当且仅当12x=4x，即x=3时取最小值83，当x0时，f(x)的最小值为83.(2)∵x0，-x0.则-f(x)=12-x+(-4x)212-x-4x=83，当且仅当12-x=-4x时，即x=-3时取等号.当x0时，f(x)的最大值为-83.一、选择题1.下列各式，能用差不多不等式直截了当求得最值的是()A.x+12xB.x2-1+1x2-1C.2x+2-xD.x(1-x)答案：C2.函数y=3x2+6x2+1的最小值是()A.32-3B.-3C.62D.62-3解析：选D.y=3(x2+2x2+1)=3(x2+1+2x2+1-1)3(22-1)=62-3.3.已知m、nR，mn=100，则m2+n2的最小值是()A.200B.100C.50D.20解析：选A.m2+n22mn=200，当且仅当m=n时等号成立.4.给出下面四个推导过程：①∵a，b(0，+)，ba+ab2ba②∵x，y(0，+)，lgx+lgy2lgx③∵aR，a0，4a+a 24a④∵x，yR，，xy0，xy+yx=-[(-xy)+(-yx)]-2-xy-yx=-2.其中正确的推导过程为()A.①②B.②③C.③④D.①④解析：选D.从差不多不等式成立的条件考虑.①∵a，b(0，+)，ba，ab(0，+)，符合差不多不等式的条件，故①的推导过程正确;②尽管x，y(0，+)，但当x(0,1)时，lgx是负数，y(0,1)时，lgy是负数，②的推导过程是错误的;③∵aR，不符合差不多不等式的条件，4a+a24aa=4是错误的;④由xy0得xy，yx均为负数，但在推导过程中将全体xy+yx提出负号后，(-xy)均变为正数，符合差不多不等式的条件，故④正确.5.已知a0，b0，则1a+1b+2ab的最小值是()A.2B.22C.4D.5解析：选C.∵1a+1b+2ab2ab+2ab222=4.当且仅当a=bab=1时，等号成立，即a=b=1时，不等式取得最小值4.6.已知x、y均为正数，xy=8x+2y，则xy有()A.最大值64B.最大值164C.最小值64D.最小值164解析：选C.∵x、y均为正数，xy=8x+2y28x2y=8xy，当且仅当8x=2y时等号成立.xy64.二、填空题7.函数y=x+1x+1(x0)的最小值为________.答案：18.若x0，y0，且x+4y=1，则xy有最________值，其值为________.解析：1=x+4y4y=4xy，xy116.答案：大1169.(2021年高考山东卷)已知x，yR+，且满足x3+y4=1，则xy的最大值为________.解析：∵x0，y0且1=x3+y42xy12，xy3.当且仅当x3=y4时取等号.答案：3三、解答题10.(1)设x-1，求函数y=x+4x+1+6的最小值;(2)求函数y=x2+8x-1(x1)的最值.解：(1)∵x-1，x+10.y=x+4x+1+6=x+1+4x+1+52 x+14x+1+5=9，当且仅当x+1=4x+1，即x=1时，取等号.x=1时，函数的最小值是9.(2)y=x2+8x-1=x2-1+9x-1=(x+1)+9x-1=(x-1)+9x-1+2.∵x1，x-10.(x-1)+9x-1+22x-19x-1+2=8.当且仅当x-1=9x-1，即x=4时等号成立，y有最小值8.11.已知a，b，c(0，+)，且a+b+c=1，求证：(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.证明：∵a，b，c(0，+)，a+b+c=1，1a-1=1-aa=b+ca=ba+ca2bca，同理1b-12acb，1c-12abc，以上三个不等式两边分别相乘得(1a-1)(1b-1)(1c-1)8.当且仅当a=b=c时取等号.12.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池，池的深度一定，池的外圈周壁建筑单价为每米400元，中间一条隔壁建筑单价为每米100元，池底建筑单价每平方米60元(池壁忽略不计).问：污水处理池的长设计为多少米时可使总价最低.解：设污水处理池的长为x米，则宽为200x米.总造价f(x)=400(2x+2200x)+100200x+60200=800(x+225x)+120211600x225x+12021=36000(元)家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，小孩一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

第3节 基本不等式及其应用考试要求 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数. 2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小).(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).1.b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2.ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22.3.21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a>0，b>0).4.应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错.5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab成立的条件是相同的.()(2)函数y＝x＋1x的最小值是2.()(3)函数f(x)＝sin x＋4sin x的最小值为－5.()(4)x＞0且y＞0是xy＋yx≥2的充要条件.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×解析(1)不等式a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R；不等式a＋b2≥ab成立的条件是a≥0，b≥0.(2)函数y＝x＋1x的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(4)x>0且y>0是xy＋yx≥2的充分不必要条件.2.(易错题)已知x＞2，则x＋1x－2的最小值是()A.1B.2C.2 2D.4 答案 D解析∵x＞2，∴x－2＞0，∴x＋1x－2＝x－2＋1x－2＋2≥2（x－2）1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时，等号成立.3.若x<0，则x＋1x()A.有最小值，且最小值为2B.有最大值，且最大值为2C.有最小值，且最小值为－2D.有最大值，且最大值为－2 答案 D解析因为x<0，所以－x>0，x＋1x＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－x＋⎝⎛⎭⎪⎫－1x≤－2（－x）·⎝⎛⎭⎪⎫－1x＝－2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋1x≤－2.4.若x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A.9B.18C.36D.81 答案 A解析因为x＋y＝18，所以xy≤x＋y2＝9，当且仅当x＝y＝9时，等号成立.5.一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大.答案1515 2解析设矩形的长为x m，宽为y m.则x＋2y＝30，所以S＝xy＝12x·(2y)≤12⎝⎛⎭⎪⎫x＋2y22＝2252，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝152时取等号.6.已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋18b的最小值为________.答案 14解析 由题设知a －3b ＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋18b ≥22a·18b ＝2×2a －3b 2＝14，当且仅当2a ＝18b ，即a ＝－3，b ＝1时取等号.故2a ＋18b 的最小值为14.考点一 利用基本不等式求最值 角度1 配凑法求最值例1 (1)已知0＜x ＜1，则x (3－2x )的最大值为________. (2)已知x ＞54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最小值为________.(3)(2021·沈阳模拟)若0＜x ＜12，则y ＝x 1－4x 2的最大值为________. 答案 (1)98 (2)5 (3)14解析 (1)x (3－2x )＝12·2x (3－2x )≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3－2x 22＝98， 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号. (2)∵x ＞54，∴4x －5＞0， ∴f (x )＝4x －2＋14x －5＝4x －5＋14x －5＋3≥21＋3＝5. 当且仅当4x －5＝14x －5，即x ＝32时取等号. (3)∵0＜x ＜12， ∴y ＝x1－4x 2＝x 2（1－4x 2）＝124x 2（1－4x 2）≤12·4x 2＋1－4x 22＝14，当且仅当4x 2＝1－4x 2，即x ＝24时取等号，则y ＝x1－4x 2的最大值为14.角度2 常数代换法求最值例 2 (2022·江西九校联考)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则b 3a ＋3b 的最小值为________. 答案 5解析 因为a ＋b ＝1，所以b 3a ＋3b ＝b 3a ＋3（a ＋b ）b ＝b 3a ＋3a b ＋3，因为a ＞0，b ＞0，所以b 3a ＋3ab ＋3≥2b 3a ·3a b ＋3＝5，当且仅当b 3a ＝3a b ，即a ＝14，b ＝34时等号成立， 即b 3a ＋3b 的最小值为5. 角度3 消元法求最值例3 已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________. 答案 6解析 法一(换元消元法) 由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 因为x >0，y >0， 所以x ＋3y ≥23xy ， 所以3xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22， 所以13×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22≥9－(x ＋3y )， 即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0，则x ＋3y ≤－18(舍去)或x ＋3y ≥6(当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号)，故x＋3y的最小值为6. 法二(代入消元法)由x＋3y＋xy＝9，得x＝9－3y 1＋y，所以x＋3y＝9－3y1＋y＋3y＝9＋3y21＋y＝3（1＋y）2－6（1＋y）＋121＋y＝3(1＋y)＋121＋y－6≥23（1＋y）·121＋y－6＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y)＝121＋y，即y＝1，x＝3时取等号，所以x＋3y的最小值为6.感悟提升利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”.但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立.(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件.(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解.训练1 (1)已知函数f(x)＝－x2x＋1(x＜－1)，则()A.f(x)有最小值4B.f(x)有最小值－4C.f (x )有最大值4D.f (x )有最大值－4(2)正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则a ＋b 的最小值为________. 答案 (1)A (2)6解析 (1)f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－（x ＋1）＋2.因为x ＜－1，所以x ＋1＜0，－(x ＋1)＞0， 所以f (x )≥21＋2＝4， 当且仅当－(x ＋1)＝1－（x ＋1），即x ＝－2时，等号成立. 故f (x )有最小值4.(2)∵a ＞0，b ＞0，∴ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 即a ＋b ＋3≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 整理得(a ＋b )2－4(a ＋b )－12≥0，解得a ＋b ≤－2(舍)或a ＋b ≥6(当且仅当a ＝b ＝3时取等号). 故a ＋b 的最小值为6.考点二 基本不等式的综合应用例4 (1)(2022·河南名校联考)已知直线ax ＋2by －1＝0和x 2＋y 2＝1相切，则ab 的最大值是( ) A.14B.12C.22D.1(2)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A.2B.4C.6D.8答案 (1)A (2)B解析 (1)圆x 2＋y 2＝1的圆心为(0，0)，半径r ＝1，由直线ax ＋2by －1＝0和x 2＋y 2＝1相切，得|－1|a 2＋4b 2＝1，则a 2＋4b 2＝1，又由1＝a 2＋4b 2≥4ab ，可得ab ≤14，当且仅当a ＝2b ，即a ＝22，b ＝24时等号成立，故ab 的最大值是14.(2)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只需求(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值大于或等于9， ∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥a ＋2a ＋1＝(a ＋1)2， 当且仅当y ＝ax 时，等号成立， ∴(a ＋1)2≥9，∴a ≥4， 即正实数a 的最小值为4.感悟提升 1.当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.2.求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围.训练2 (1)若△ABC 的内角满足3sin A ＝sin B ＋sin C ，则cos A 的最小值是( ) A.23B.79C.13D.59(2)当x ∈(0，＋∞)时，ax 2－3x ＋a ≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________. 答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析(1)由题意结合正弦定理有3a＝b＋c，结合余弦定理可得：cos A＝b2＋c2－a22bc＝b2＋c2－⎝⎛⎭⎪⎫b＋c322bc＝89b2＋89c2－29bc2bc＝89b2＋89c22bc－19≥2×89b×89c2bc－19＝79.当且仅当b＝c时等号成立.综上可得，cos A的最小值是79.(2)ax2－3x＋a≥0，则a≥3xx2＋1＝3x＋1x，x∈(0，＋∞)，故x＋1x≥2，当且仅当x＝1时等号成立，故y＝3x＋1x≤32，故a≥32.考点三基本不等式的实际应用例5 为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M，N两点为AMBN一组相对的顶点，当AMBN 的周长恒为20米时，小花圃占地面积(单位：平方米)最大为()A.6B.12C.18D.24答案 D解析设AM＝x，AN＝y，则由已知可得x＋y＝10，在△MAN中，MN＝6，由余弦定理可得，cos A ＝x 2＋y 2－622xy ＝（x ＋y ）2－362xy －1＝32xy －1≥32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22－1＝3225－1＝725， 当且仅当x ＝y ＝5时等号成立， 此时(cos A )min ＝725， 所以(sin A )max ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫7252＝2425，所以四边形AMBN 的最大面积为2×12×5×5×2425＝24，此时四边形AMBN 是边长为5的菱形.感悟提升 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.训练3 某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨. 答案 20解析 该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，则需要购买400x 次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，一年的总运费与总存储费用为之和为⎝ ⎛⎭⎪⎫400x ·4＋4x 万元，400x ·4＋4x ≥160，当且仅当1 600x ＝4x ，即x ＝20时，一年的总运费与总存储费用之和最小.1.已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( ) A.a ＋b ≥2ab B.a b ＋ba ≥2 C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2 D.a 2＋b 2>2ab答案 C解析 因为a b 和b a 同号，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ≥2.2.若3x ＋2y ＝2，则8x ＋4y 的最小值为( ) A.4 B.4 2 C.2 D.2 2答案 A解析 因为3x ＋2y ＝2，所以8x ＋4y ≥28x ·4y ＝223x ＋2y ＝4，当且仅当3x ＋2y ＝2且3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时等号成立.3.若a ＞0，b ＞0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为( ) A.8 B.6 C.4 D.2答案 C解析 依题意ab ＝a ＋b ，∴a ＋b ＝ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，即a ＋b ≤（a ＋b ）24，∴a ＋b ≥4，当且仅当a ＝b ＝2时取等号， ∴a ＋b 的最小值为4.4.已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( )A.12 B.43C.－1D.0答案 D解析 因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号.又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为0.5.某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( ) A.60件 B.80件 C.100件 D.120件答案 B解析 设每批生产产品x 件，则每件产品的生产准备费用是800x 元，仓储费用是x8元，总的费用是⎝ ⎛⎭⎪⎫800x ＋x 8元，由基本不等式得800x ＋x 8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x＝x8，即x ＝80时取等号.6.对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为( ) A. 2 B.2 2C.4D.92答案 B解析 ∵对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0， ∴m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn ＝m n ＋2nm 恒成立， ∵m n ＋2n m ≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2n m 即m ＝2n 时取等号，∴a ≤22，故a 的最大值为2 2.7.(2022·河南顶级名校联考)已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 6，3a 5，a 7成等差数列，若{a n }中存在两项a m ，a n ，使得4a 1为其等比中项，则1m ＋4n 的最小值为( ) A.4 B.9C.23D.32答案 D解析 设各项均为正数的等比数列{a n }的公比为q ，q ＞0，由a 6，3a 5，a 7成等差数列，可得6a 5＝a 6＋a 7，即6a 1q 4＝a 1q 5＋a 1q 6， 解得q ＝2(q ＝－3舍去)，由{a n }中存在两项a m ，a n ，使得4a 1为其等比中项，可得16a 21＝a m a n ＝a 21·2m ＋n －2， 化简可得m ＋n ＝6，m ，n ∈N *， 则1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16⎝⎛⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝32. 当且仅当n ＝2m ＝4时，上式取得等号. 8.已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( ) A.3 B.5C.7D.9答案 C解析 ∵x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，∴x ＋1＋y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y ) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y ≥2⎝⎛⎭⎪⎪⎫2＋2y x ＋1·x ＋1y ＝8，当且仅当y x ＋1＝x ＋1y ，即x ＝3，y ＝4时取等号， ∴x ＋y ≥7，故x ＋y 的最小值为7.9.(2021·宜昌期末)某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本y (单位：元)与月处理量x (单位：吨)之间的函数关系可近似表示为y ＝12x 2－300x ＋80 000，为使每吨的平均处理成本最低，该厂每月的垃圾处理量应为________吨.答案 400解析 由题意知，每吨垃圾的平均处理成本为y x ＝12x 2－300x ＋80 000x ＝x 2＋80 000x －300，其中300≤x ≤600，又x 2＋80 000x －300≥2x 2·80 000x －300＝400－300＝100，所以当且仅当x 2＝80 000x ，即x ＝400吨时，每吨垃圾的平均处理成本最低. 10.(2022·兰州诊断)设a ，b ，c 均为正实数，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c ≥________. 答案 9解析 ∵a ，b ，c 均为正数，a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号.11.(2020·江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________. 答案 45解析 由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x 2＝1－y 45y 2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45，当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号.所以x 2＋y 2的最小值为45.12.(2020·天津卷)已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为__________. 答案 4解析 因为a ＞0，b ＞0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b ≥2a ＋b 2·8a ＋b＝4，当且仅当a ＋b2＝8a ＋b，即a ＋b ＝4时，等号成立. 故12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4.13.(2022·宜春调研)已知x >0，y >0，x ＋2y ＝3，则x 2＋3yxy 的最小值为( )A.3－2 2B.22＋1C.2－1D.2＋1答案 B解析 x >0，y >0，x ＋2y ＝3， 则x 2＋3y xy ＝x 2＋y （x ＋2y ）xy＝x y ＋2yx ＋1≥2x y ·2yx ＋1＝22＋1. 当且仅当x ＝2y 时，上式取得等号， 则x 2＋3yxy 的最小值为22＋1.14.(2022·西安一模)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成为后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示的图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b2≥ab (a >0，b >0)B.a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2aba ＋b≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)答案 D解析 由图形可知OF ＝12AB ＝12(a ＋b )，OC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12（a ＋b ）－b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12（a －b ），在Rt △OCF 中，由勾股定理可得 CF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＝12（a 2＋b 2）， ∵CF ≥OF ，∴12（a 2＋b 2）≥12(a ＋b )(a >0，b >0).故选D.15.若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________.答案 4解析 ∵a ，b ∈R ，ab >0， ∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. 16.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞解析 对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3.设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *， 则g (x )＝x ＋8x ≥42， 当且仅当x ＝22时等号成立， 又g (2)＝6，g (3)＝173， ∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173. ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.。

课时规范练3等式性质与不等式性质基础巩固组1.(2021河南郑州高三月考)已知实数a,b满足a<b,则下列关系式一定成立的是()A.a2<b2B.ln(b-a)>0C.1a >1bD.2a<2b2.(2021广东高三二模)已知a,b∈R,且满足ab<0,a+b>0,a>b,则()A.1a <1bB.ba+ab>0C.a2>b2D.a<|b|3.(2021辽宁锦州高三期中)已知a>b,c>d,则下列关系式正确的是()A.ac+bd>ad+bcB.ac+bd<ad+bcC.ac>bdD.ac<bd4.(2021山西临汾一中高三期中)已知1≤a+b≤5,-1≤a-b≤3,则3a-2b的取值范围是()A.[-6,14]B.[-2,14]C.[-6,10]D.[-2,10]5.(2021浙江湖州高三月考)已知a,b,c∈(0,+∞),若ca+b <ab+c<bc+a,则有()A.c<a<bB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a6.(2021天津高三一模)已知x>0,y>0,ln yx >lg xy,则()A.1x >1yB.sin y>sin xC.yx <xyD.eyx>10xy7.(2021广东实验中学高三模拟)已知正数x,y,z满足x ln y=y e z=zx,则x,y,z的大小关系为()A.x>y>zB.y>x>zC.x>z>yD.z>y>x8.下列说法错误的是()A.若a<b<0,则a|a|<b|b|B.若a>0,b>0,c>0,则ab <a+cb+cC.若a>0,b>0,则a+ba +4ab≥4D.若a>0,b∈R,则a≥2b-b 2a9.已知a>b>0,且a3-b3=3(a-b),则以下结论错误的是()A.a>1B.ab<1C.a+b<2D.log a b+log b a>2综合提升组10.(2021湖南师大附中高三期中)已知-1≤x+y≤1,1≤x-y≤3,则8x·14y的取值范围是() A.[4,128] B.[8,256]C.[4,256]D.[32,1 024]11.已知a,b∈R,则“|a-b|>|b|”是“ba <12”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12.若1≤x≤3≤y≤5,则()A.4≤x+y≤8B.x+y+1x +16y取不到最小值C.-2≤x-y ≤0D.x+1yy+4x 的最小值为913.(2021湖北荆门高三期中)正实数a ,b ,c 满足1a +1b =1,1a+b +1c =1,则实数c 的取值范围是 .创新应用组14.(2021湖南岳阳高三期中)已知2<x<4,-3<y<-1,则xx -2y 的取值范围是( ) A.110,14B.14,23C.15,1 D.23,215.已知a ,b 均为正数,且a-b=1,则( ) A.2a -2b>1B.a 3-b 3<1 C.4a −1b <1D.2log 2a-log 2b<2课时规范练3 等式性质与不等式性质1.D 解析:对于A,a=-3,b=2满足a<b ,但是a 2=9,b 2=4,所以a 2>b 2,故A 错误;对于B,a=1,b=32满足a<b ,但是b-a=12,所以ln(b-a )<0,故B 错误;对于C,a=-3,b=2满足a<b ,但是1a =-13,1b =12,所以1a <1b ,故C 错误;对于D,因为函数y=2x在R 上单调递增,且a<b ,所以2a<2b,故D 正确.故选D .2.C 解析:因为ab<0,a>b ,所以a>0,b<0,1a>0,1b<0,故A 不正确;ba<0,ab<0,则ba+ab<0,故B 不正确;又a+b>0,即a>-b>0,所以a 2>(-b )2,即a 2>b 2,故C 正确;由a>-b>0得a>|b|,故D 不正确.故选C .3.A 解析:∵a>b ,c>d ,∴ac+bd-(ad+bc )=(a-b )(c-d )>0,故A 正确,B 错误;对于C,当b=0,c<0时,ac<0,bd=0,故C 错误;对于D,当a>b>0,c>d>0时,ac>bd ,故D 错误.故选A .4.D 解析:令3a-2b=m (a+b )+n (a-b )(m ,n ∈R ),则{m +n =3,m -n =-2,解得{m =12,n =52.又因为1≤a+b ≤5,-1≤a-b ≤3,所以12≤12(a+b )≤52,-52≤52(a-b )≤152,故-2≤3a-2b ≤10.5.A 解析:由ca+b <ab+c <bc+a 可得ca+b +1<ab+c +1<bc+a +1,即a+b+c a+b<a+b+c b+c<a+b+c c+a,所以a+b>b+c>c+a.由a+b>b+c 可得a>c ,由b+c>c+a 可得b>a ,于是有c<a<b.6.A 解析:∵ln y x >lg xy ,∴ln y-ln x>lg x-lg y ,∴ln y+lg y>ln x+lg x ,∴y>x>0(函数y=ln x+lg x 为增函数).对于A,y>x>0⇒1x >1y ,故正确;对于B,取y=π,x=π2,sin y=0<sin x=1,故错误;对于C,取y=2,x=1,显然不成立,故错误;对于D,假设e yx>10x y成立,则ln e y x>ln 10x y,即y x >xy ln10,可得y 2>x 2ln10,而当y>x>0时,不能一定有y 2>x 2ln10,故不成立.故选A .7.A 解析:由x ln y=zx ,得z=ln y ,即y=e z ,令f (z )=e z -z (z>0),则f'(z )=e z-1>0,所以函数f (z )在(0,+∞)上单调递增,所以f (z )>f (0)=e 0-0=1,所以e z >z ,即y>z.由y e z =zx ,得e z ·e z=zx ,即x=e 2z z,所以x-y=e 2z z-e z=e 2z -ze zz=e z (e z -z)z>0,所以x>y.综上,x>y>z ,故选A .8.B 解析:对于A,由a<b<0,得a|a|=-a 2,b|b|=-b 2,且a 2>b 2,则-a 2<-b 2,即a|a|<b|b|,正确;对于B,a+cb+c −ab =ab+bc -ab -ac b(b+c)=c(b -a)b(b+c),显然当b<a 时,a b >a+c b+c ,错误;对于C,由a>0,b>0,则a+b a +4ab =a2+2+a+ab≥4√2·2·a·ab=4,当且仅当2=a =ab ,即a=b=2时,等号成立,正确;对于D,a>0,b ∈R ,而(a-b )2≥0,即a 2≥2ab-b 2,故a ≥2b-b 2a,正确.故选B .9.D 解析:由立方差公式可得a 3-b 3=(a-b )(a 2+ab+b 2)=3(a-b ),则a 2+ab+b 2=3,又a>b>0,∴a 2+a 2+a 2>a 2+ab+b 2=3,即a 2>1,a>1,故A 正确;∵a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时,等号成立,∴a 2+b 2>2ab ,则a 2+ab+b 2>3ab ,即ab<1,故B 正确;∵(a+b )2=a 2+2ab+b 2=3+ab<4,∴a+b<2,故C 正确;∵a>1,ab<1,∴0<b<1,则log a b<0,log b a<0,则log a b+log b a<0,故D 错误. 10.C 解析:8x·14y=23x-2y .设3x-2y=m (x+y )-n (x-y )=(m-n )x+(m+n )y (m ,n ∈R ),则有{m -n =3,m +n =-2,解得{m =12,n =-52.故3x-2y=12(x+y )+52(x-y ).因为-1≤x+y ≤1,1≤x-y ≤3,所以3x-2y=12(x+y )+52(x-y )∈[2,8].因为y=2x 在R 上单调递增,所以z=23x-2y∈[4,256],故选C .11.C 解析:由|a-b|>|b|得a 2+b 2-2ab>b 2,∴a (a-2b )>0,∴a -2b a>0,∴1-2b a >0,∴b a <12.反之,也成立.故“|a-b|>|b|”是“ba <12”的充要条件,故选C .12.A 解析:因为1≤x ≤3≤y ≤5,所以4≤x+y ≤8,-4≤x-y ≤0,故A 正确,C 错误;因为x+y+1x+16y=x+1x +y+16y ≥2√x ·1x +2√y ·16y =10,当且仅当x=1,y=4时,等号成立,所以x+y+1x +16y 的最小值为10,故B 错误;因为x+1y y+4x =xy+4xy +5≥2√4+5=9,当且仅当xy=2时,等号成立,但1≤x ≤3≤y ≤5,xy 取不到2,所以x+1y y+4x 的最小值不是9,故D 错误.故选A .13.1,43 解析:因为正实数a ,b ,c 满足1a +1b =1,1a+b +1c =1,所以c>1.又(a+b )1a+1b=2+b a +ab ≥2+2√ba·a b=4,当且仅当a=b=2时,等号成立,所以a+b ≥4,则0<1a+b ≤14,即0<1-1c≤14,解得1<c ≤43.14.B 解析:xx -2y=11-2y x,由已知得2<-2y<6,所以24<-2y x<62,即12<-2y x<3,所以32<1-2y x<4,所以14<11-2yx<23,故选B .15.A 解析:对于A,因为a-b=1,所以2a -2b =2b+1-2b =2b (2-1)=2b >1,故A 正确;对于B,a 3-b 3=(a-b )(a 2+ab+b 2)=a 2+ab+b 2=(b+1)2+(b+1)b+b 2=3b 2+3b+1>1,故B 错误;对于C,4a −1b =4a−1b (a-b )=4+1-b −a=5-b+a≤5-2√b·a=1,当且仅当b=a,且a-b=1,即a=2,b=1时,等号成立,故C错误;对于D,2log2a-log2b=log2a2-log2b=log2a 2b =log2(b+1)2b=log2b+1b+2≥log24=2,当且仅当b=1b,即b=1时,等号成立,故D错误.故选A.。

课时规范练4 基本不等式基础巩固组1.下列不等式正确的是( ) A.x-1+1x -1≥2(x>0) B.(a+4)1a +1≥8(a>0)C.lg x ·lg y ≤[lg(xy)]24(x>1,y>1)D.lg(a 2+1)>lg |2a|(a ≠0)2.(2021河北邯郸高三月考)函数y=4x 2(6-x 2)的最大值为( ) A.36 B.6C.9D.183.(2021广东惠州高三期末)若a<1则a+1a -1的最大值是( ) A.3 B.aC.-1D.2√aa -14.(2021北京西城高三月考)设正实数a ,b 满足a+b=1,则下列说法错误的是( ) A.√ab 有最大值12B.1a+2b+12a+b有最小值3C.a 2+b 2有最小值12D.√a +√b 有最大值√25.(2021浙江丽水高三模拟)设x ,y>1,z>0,z 为x 与y 的等比中项,则lgz 2lgx+lgz 4lgy的最小值为( )A.38+√24 B.2√2+12C.43+√22D.2√26.下列不等式一定成立的是( ) A.x+1x ≥2B.2x(1-x)≤14C.x2+3x2+1>2√3-1D.√x√x≥27.若非负实数a,b满足a+b2=1,则下列不等式不成立的是()A.ab2≤14B.a2+b4≥12C.√a+b≥√2D.a2+b2≥348.已知x>0,y>0,且x2+xy-x+5y=30,则()A.xy的最大值为9B.1x +1y的最小值为1C.x-1y的最小值为4 D.x2+y2的最小值为209.(2021湖北黄冈高三期中)当x>1时不等式x 2+3x-1>m2+1恒成立,则实数m的取值范围是.10.(2021天津耀华中学高三二模)如果a>b>0,那么a 4+1b(a-b)的最小值是.综合提升组11.(2021天津高三一模)已知a>0,b>0,且ab=a+b+3,则a+b的最小值为()A.4B.8C.7D.612.(2021贵州贵阳高三月考)若圆x2+y2-4x+2y+1=0被直线ax-2by-2=0(a>0,b>0)截得的弦长为4,则1a +1b的最小值是()A.9B.4C.12D.1413.(2021浙江镇海中学高三模拟)已知a,b,c是不同时为0的实数,则2ab+bca2+4b2+c2的最大值为.创新应用组14.(2021江苏南京高三期中)已知α,β∈0,π2,sin(2α+β)=2sin β,则tan β的最大值为()A.√33B.23C.1D.√32课时规范练4 基本不等式1.C 解析:当x>1,y>1时,lg x>0,lg y>0,所以lg x ·lg y ≤lgx+lgy22=lg(xy)22=[lg(xy)]24,当且仅当x=y 时,不等式中的等号成立,故C 正确.2.A 解析:由基本不等式可得y=4x 2(6-x 2)≤4·x 2+6-x 222=36,当且仅当x 2=6-x 2,即x=±√3时,等号成立,函数取得最大值36.3.C 解析:因为a<1,所以a-1<0,因此a+1a -1=a-1+1a -1+1≤-2√(1-a)·11-a +1=-1,当且仅当1-a=11-a ,即a=0时,等号成立,故a+1a -1(a<1)的最大值是-1,故选C .4.B 解析:对于A,由基本不等式可得√ab ≤a+b 2=12,当且仅当a=b=12时,等号成立,故A 正确;对于B,由基本不等式可得1a+2b +12a+b=13[(a+2b )+(2a+b )]1a+2b+12a+b=132+2a+b a+2b +a+2b 2a+b ≥132+2√a+2b 2a+b·2a+b a+2b=43,当且仅当a=b=12时,等号成立,故B 错误;对于C,因为1=(a+b )2=a 2+b 2+2ab ≤2(a 2+b 2),所以a 2+b 2≥12,当且仅当a=b=12时,等号成立,故C 正确;对于D,(√a +√b )2=a+b+2√ab ≤2(a+b )=2,则√a +√b ≤√2,当且仅当a=b=12时,等号成立,故D 正确.故选B . 5.A 解析:因为x ,y>1,z>0,且z 为x 和y 的等比中项,所以z 2=xy ,lgz 2lgx +lgz4lgy =12lg(xy)2lgx+12lg(xy)4lgy=lgx+lgy 4lgx+lgx+lgy 8lgy=38+lgy 4lgx +lgx 8lgy ≥38+2√lgy 4lgx ·lgx 8lgy =38+√24当且仅当lgy 4lgx =lgx8lgy ,即lg x=√2lg y 时,等号成立,故选A .6.D 解析:对于A,当x<0时,x+1x<0,故A 错误;对于B,2x (1-x )=-2x 2+2x=-2x-122+12≤12,故B 错误;对于C,x 2+3x 2+1=x 2+1+3x 2+1-1≥2√(x 2+1)·3x 2+1-1=2√3-1,当且仅当x 2=√3-1时,等号成立,故C 错误;对于D,√x +1√x≥2√√x ·1√x=2,当且仅当x=1时,等号成立,故D 正确.故选D .7.C 解析:对于A,利用基本不等式可得ab 2≤a+b 222=14,当且仅当a=b 2=12时,等号成立,故A 正确;对于B,1=(a+b 2)2=a 2+b 4+2ab 2≤2(a 2+b 4),所以a 2+b 4≥12,当且仅当a=b 2=12时,等号成立,故B 正确;对于C,(√a +b )2=a+b 2+2√ab 2≤2(a+b 2)=2,即√a +b ≤√2,当且仅当a=b 2=12时,等号成立,故C 错误;对于D,因为a+b 2=1≥a ,又a ≥0,所以0≤a ≤1,所以a 2+b 2=a 2+1-a=a-122+34≥34,当且仅当a=12时,等号成立,故D 正确.故选C .8.A 解析:由题可得(x 2-x-30)+(xy+5y )=0,整理得(x+5)·(x+y-6)=0,因为x>0,所以x+y=6.对于A,x+y ≥2√xy ,所以xy ≤9,当且仅当x=y=3时,等号成立,故A 正确;对于B,1x+1y=16(x+y )1x+1y=162+yx +xy ≥23,当且仅当x=y=3时,等号成立,故B 错误;对于C,x-1y =6-y-1y =6-y+1y ≤6-2=4,当且仅当x=5,y=1时,等号成立,故C 错误;对于D,x 2+y 2=(x+y )2-2xy=36-2xy ≥36-2x+y 22=18,当且仅当x=y=3时,等号成立,故D 错误.故选A . 9.(-√5,√5) 解析:因为x 2+3x -1=(x -1)2+2(x -1)+4x -1=(x-1)+4x -1+2≥2√4+2=6,当且仅当x=3时,等号成立,所以要使不等式恒成立,应有m 2+1<6,解得-√5<m<√5. 10.8 解析:因为a>b>0,所以a-b>0,所以b (a-b )≤b+a -b 22=a 24,当且仅当b=a-b ,即a=2b 时,等号成立.所以a 4+1b(a -b)≥4(a 4+1)a 2=4a 2+1a 2≥8,当且仅当a=1,b=12时,等号成立.故a 4+1b(a -b)的最小值是8.11.D 解析:∵ab=a+b+3,a>0,b>0,∴a+b+3≤a+b 22,当且仅当a=b ,即a=b=3时,等号成立,解得a+b ≥6或a+b ≤-2(舍去),∴a+b 的最小值为6,故选D .12.B 解析:圆x 2+y 2-4x+2y+1=0的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4,它表示以(2,-1)为圆心,以2为半径的圆.设弦心距为d ,由题意可得22+d 2=4,求得d=0,可得直线经过圆心,故有2a+2b=2,即a+b=1.再由a>0,b>0,可得1a+1b =1a+1b(a+b )=2+b a+a b≥2+2√b a·a b=4,当且仅当a=b=12时,等号成立,故1a+1b的最小值是4,故选B .13.√54 解析:由于a 2+4b 2+c 2=a 2+165b 2+c 2+45b 2,又a 2+165b 2≥2a ×4√5b=8√55ab ,当且仅当a=4√5b 时,等号成立,c 2+45b 2≥2c ×2b√5=4√55bc ,当且仅当c=2√5b 时,等号成立,所以a 2+4b 2+c 2≥8√55ab+4√55bc=4√55(2ab+bc ),当且仅当a=2c=4√5b 时,等号成立,所以2ab+bca 2+4b 2+c 2≤2ab+bc 4√55(2ab+bc)=√54,当且仅当a=2c=4√5b 时,等号成立.14.A 解析:∵sin(2α+β)=sin2αcos β+cos2αsin β, ∴sin2αcos β=2sin β-cos2αsin β=sin β(1+2sin 2α). ∵α,β∈0,π2,∴tan β=sin2α1+2sin 2α=2sinαcosαcos 2α+3sin 2α=2tanα1+3tan 2α=21tanα+3tanα,且tan α∈(0,+∞),∴tan β=21tanα+3tanα≤2√1tanα·3tanα=√33,当且仅当tan α=√33时,等号成立,故选A .。

第七章 不等式7.4基本不等式及其应用课内基础通关1．基本不等式ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 课外知识延伸不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立⇔f (x )max <B (x ∈D )．(2)能成立问题：若f (x )在区间D 上存在最大值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立⇔f (x )min <B (x ∈D )．(3)恰成立问题：不等式f (x )>A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ；不等式f (x )<B 恰在区间D 上成立⇔f (x )<B 的解集为D .【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝x ＋1x的最小值是2.( × ) (2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈(0，π2)的最小值等于4.( × ) (3)“x >0且y >0”是“x y ＋y x≥2”的充要条件．( × ) (4)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( × ) (5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 有相同的成立条件．( × )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ )点自查1．(教材改编)设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( )A ．80B ．77C ．81D ．82答案 C解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ， 即xy ≤(x ＋y 2)2＝81， 当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81.2．(教材改编)已知x >0，a >0，当y ＝x ＋a x取最小值时，x 的值为( ) A ．1 B ．a C.a D ．2a答案 C解析 y ＝x ＋a x≥2a ， 当且仅当x ＝a x即x ＝a 时， y ＝x ＋a x有最小值2a . 3．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是( )A.1ab ≤14B.1a ＋1b ≤1C.ab ≥2D ．a 2＋b 2≥8答案 D解析 4＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，即ab ≤2，ab ≤4，1ab ≥14，选项A ，C 不成立；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab≥1，选项B 不成立；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝16－2ab ≥8，选项D 成立．4．若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为______．答案 2 2解析 因为x 2＋2y 2≥2x 2·2y 2＝22xy ＝22，当且仅当x ＝2y 时取等号，所以x 2＋2y 2的最小值为2 2.5．(教材改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m 2.答案 25解析 设矩形的一边为x m ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ， ∴y ＝x (10－x )≤[x ＋(10－x )2]2＝25， 当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.高考题型分类精讲题型一 利用基本不等式求最值命题点1 通过配凑法利用基本不等式例1 (1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．(2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________． (3)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________． 答案 (1)23(2)1 (3)23＋2 解析 (1)x (4－3x )＝13·(3x )(4－3x )≤13·[3x ＋(4－3x )2]2＝43， 当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时，取等号． (2)因为x <54，所以5－4x >0， 则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1. 当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立． 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. (3)y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当(x －1)＝3(x －1)，即x ＝3＋1时，等号成立． 命题点2 通过常数代换法利用基本不等式例2 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b的最小值为________． 答案 4解析 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·a b ＝4，即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立． 引申探究 1．条件不变，求(1＋1a )(1＋1b)的最小值． 解 (1＋1a )(1＋1b )＝(1＋a ＋b a )(1＋a ＋b b )＝(2＋b a )·(2＋a b ) ＝5＋2(b a ＋a b)≥5＋4＝9. 当且仅当a ＝b ＝12时，取等号． 2．已知a >0，b >0，1a ＋1b＝4，求a ＋b 的最小值． 解 由1a ＋1b ＝4，得14a ＋14b＝1. ∴a ＋b ＝(14a ＋14b )(a ＋b )＝12＋b 4a ＋a 4b ≥12＋2b 4a ·a 4b ＝1. 当且仅当a ＝b ＝12时取等号． 3．将条件改为a ＋2b ＝3，求1a ＋1b的最小值． 解 ∵a ＋2b ＝3，∴13a ＋23b ＝1， ∴1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(13a ＋23b )＝13＋23＋a 3b ＋2b 3a≥1＋2a 3b ·2b 3a ＝1＋223. 当且仅当a ＝2b 时，取等号．思维升华 (1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．(1)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y的最小值是________．(2)已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，若1x ＋m y(m >0)的最小值为3，则m ＝________. 答案 (1)5 (2)4解析 (1)方法一 由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x＝1， ∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x) ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5. 当且仅当3x 5y ＝12y 5x ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立， ∴3x ＋4y 的最小值是5.方法二 由x ＋3y ＝5xy 得x ＝3y 5y －1， ∵x >0，y >0，∴y >15， ∴3x ＋4y ＝9y 5y －1＋4y ＝13(y －15)＋95＋45－4y 5y －1＋4y＝135＋95·15y －15＋4(y －15) ≥135＋23625＝5， 当且仅当y ＝12时等号成立，∴(3x ＋4y )min ＝5. (2)由2x －3＝(12)y 得x ＋y ＝3， 1x ＋m y ＝13(x ＋y )(1x ＋m y) ＝13(1＋m ＋y x ＋mx y) ≥13(1＋m ＋2m ) (当且仅当y x ＝mx y，即y ＝mx 时取等号)， ∴13(1＋m ＋2m )＝3， 解得m ＝4.题型二 基本不等式的实际应用例3 某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数；(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)，∴1＝3－k ⇒k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16x x (元)， ∴2020年的利润y ＝1.5x ×8＋16x x－8－16x －m ＝－[16m ＋1＋(m ＋1)]＋29(m ≥0)．(2)∵m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时， y max ＝21(万元)．故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．思维升华 (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．(2)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元．答案 (1)80 (2)8解析 (1)设每件产品的平均费用为y 元，由题意得y ＝800x ＋x 8≥2 800x ·x 8＝20. 当且仅当800x ＝x 8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立． (2)年平均利润为y x ＝－x －25x＋18＝－(x ＋25x)＋18， ∵x ＋25x ≥2x ·25x＝10， ∴y x ＝18－(x ＋25x)≤18－10＝8， 当且仅当x ＝25x，即x ＝5时，取等号． 题型三 基本不等式的综合应用命题点1 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例4 (1)(2020·菏泽一模)已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是( ) A ．9 B ．8 C ．4 D ．2(2)(2020·山西忻州一中等第一次联考)设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d＝1，则S n ＋8a n的最小值是________． 答案 (1)A (2)92解析 (1)圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，所以圆心为C (0,1)．因为直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，所以a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1.因此4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b ＋b c＋5. 因为b ，c >0，所以4c b ＋b c ≥24c b ·b c＝4. 当且仅当4c b ＝b c时等号成立． 由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c取得最小值9. (2)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n (1＋n )2， ∴S n ＋8a n ＝n (1＋n )2＋8n ＝12(n ＋16n＋1)≥ 12(2n ·16n ＋1)＝92，当且仅当n ＝4时取等号．∴S n ＋8a n 的最小值是92. 命题点2 求参数值或取值范围例5 (1)已知a >0，b >0，若不等式3a ＋1b ≥m a ＋3b恒成立，则m 的最大值为( ) A ．9 B ．12 C ．18 D ．24(2)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________．答案 (1)B (2)[－83，＋∞) 解析 (1)由3a ＋1b ≥m a ＋3b， 得m ≤(a ＋3b )(3a ＋1b )＝9b a ＋a b＋6. 又9b a ＋a b ＋6≥29＋6＝12(当且仅当9b a ＝a b时等号成立)， ∴m ≤12，∴m 的最大值为12.(2)对任意x ∈N *，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (2)＝6，g (3)＝173. ∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173， ∴－(x ＋8x )＋3≤－83， ∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞)． 思维升华 (1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．(3)求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．(1)(2020·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝x ＋a x＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( ) A.12 B.32C ．1D ．2 (2)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( ) A.32 B.53 C.94 D.256答案 (1)C (2)A解析 (1)由题意可得a >0，①当x >0时，f (x )＝x ＋a x＋2≥2a ＋2，当且仅当x ＝a 时取等号； ②当x <0时，f (x )＝x ＋a x＋2≤－2a ＋2， 当且仅当x ＝－a 时取等号，所以⎩⎨⎧ 2－2a ＝0，2a ＋2＝4，解得a ＝1，故选C. (2)由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，所以q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)． 因为a m a n ＝4a 1，所以q m＋n －2＝16， 所以2m ＋n －2＝24，所以m ＋n ＝6.所以1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n)＝16(5＋n m ＋4m n) ≥16(5＋2n m ·4m n )＝32. 当且仅当n m ＝4m n时，等号成立， 又m ＋n ＝6，解得m ＝2，n ＝4，符合题意．故1m ＋4n 的最小值等于32. 认真纠错 谨防丢分8．利用基本不等式求最值典例 (1)已知x >0，y >0，且1x ＋2y＝1，则x ＋y 的最小值是________． (2)函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为________． 错解展示解析 (1)∵x >0，y >0，∴1＝1x ＋2y≥22xy ， ∴xy ≥22，∴x ＋y ≥2xy ＝42，∴x ＋y 的最小值为4 2.(2)∵2x ＋3x ≥26，∴y ＝1－2x －3x≤1－2 6. ∴函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为(－∞，1－26]． 答案 (1)42 (2)(－∞，1－26]现场纠错解析 (1)∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )(1x ＋2y) ＝3＋y x ＋2x y≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)， ∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2.(2)∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x)≥1＋2 (－2x )·3－x ＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故函数y ＝1－2x －3x(x <0)的值域为[1＋26，＋∞)． 答案 (1)3＋22 (2)[1＋26，＋∞)纠错心得 利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等；多次使用基本不等式要验证等号成立的条件．后作业认真做1．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )A ．a ＋b ≥2abB.a b ＋b a ≥2 C ．|a b ＋b a|≥2 D ．a 2＋b 2>2ab 答案 C解析 因为a b 和b a 同号，所以|a b ＋b a |＝|a b |＋|b a|≥2. 2．设非零实数a ，b ，则“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2”成立的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，即a 2＋b 2≥2ab ，而a b ＋b a≥2⇔ab >0， 所以“a 2＋b 2≥2ab ”是“a b ＋b a≥2”的必要不充分条件，故选B. 3.(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( )A ．9 B.92 C ．3 D.322答案 B解析 (3－a )(a ＋6)≤(3－a )＋(a ＋6)2＝92， 当且仅当3－a ＝a ＋6即a ＝－32时，等号成立． 4．(2020·青岛模拟)已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y的最小值是( ) A ．2 B ．2 2 C ．4 D ．2 3答案 C解析 因为lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，所以x ＋3y ＝1，所以1x ＋13y ＝(1x ＋13y )(x ＋3y )＝2＋3y x ＋x3y ≥4，当且仅当3y x ＝x3y ，即x ＝12，y ＝16时，取等号．5．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]答案 D解析 ∵2x ＋2y ≥22x ＋y ，且2x ＋2y ＝1，∴2x ＋y ≤14，∴x ＋y ≤－2.故选D.6．已知x >0，y >0，且4xy －x －2y ＝4，则xy 的最小值为( ) A.22 B ．2 2 C. 2 D ．2答案 D解析 ∵x >0，y >0，x ＋2y ≥22xy ，∴4xy －(x ＋2y )≤4xy －22xy ，∴4≤4xy －22xy ， 即(2xy －2)(2xy ＋1)≥0，∴2xy ≥2，∴xy ≥2.*7.设a >b >c >0，则2a 2＋1ab ＋1a (a －b )－10ac ＋25c 2的最小值是() A ．2 B ．4 C ．2 5 D ．5答案 B解析 2a 2＋1ab ＋1a (a －b )－10ac ＋25c 2＝(a －5c )2＋a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a (a －b )＝(a －5c )2＋ab ＋1ab ＋a (a －b )＋1a (a －b )≥0＋2＋2＝4，当且仅当a －5c ＝0，ab ＝1，a (a －b )＝1时，等号成立，即取a ＝2，b ＝22，c ＝25时满足条件． 8．(2020·唐山一模)已知x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________．答案 [4,12]解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22， ∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22， ∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)．又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号)．综上可知4≤x 2＋4y 2≤12.9．(2020·潍坊模拟)已知a ，b 为正实数，直线x ＋y ＋a ＝0与圆(x －b )2＋(y －1)2＝2相切，则a 2b ＋1的取值范围是________． 答案 (0，＋∞)解析 ∵x ＋y ＋a ＝0与圆(x －b )2＋(y －1)2＝2相切，∴d ＝|b ＋1＋a |2＝2， ∴a ＋b ＋1＝2，即a ＋b ＝1，∴a 2b ＋1＝(1－b )2b ＋1＝(b ＋1)2－4(b ＋1)＋4b ＋1 ＝(b ＋1)＋4b ＋1－4≥24－4＝0. 又∵a ，b 为正实数，∴a 2b ＋1的取值范围是(0，＋∞)． 10．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为________． 答案 4解析 由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，∴a ＋b ＝1，∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b ) ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b＝4， 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立． *11.(2020·东莞调研)函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为________． 答案 8解析 y ＝log a (x ＋3)－1恒过定点A (－2，－1)，由A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上．则－2m －n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1. ∴1m ＋2n ＝2m ＋n m ＋2(2m ＋n )n ＝n m ＋4m n ＋4≥24＋4＝8(当且仅当n m ＝4m n ，即m ＝14，n ＝12时等号成立)．12．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20.(1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值；(2)求1x ＋1y的最小值． 解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2， 此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg 10＝1.∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1.(2)∵x >0，y >0， ∴1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝⎛⎭⎫7＋2 5y x ·2x y＝7＋21020， 当且仅当5y x ＝2x y时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，5y x ＝2x y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 13．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N *)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|. (1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值．解 (1)W (t )＝f (t )g (t )＝(4＋1t)(120－|t －20|) ＝⎩⎨⎧ 401＋4t ＋100t ， 1≤t ≤20，559＋140t－4t ， 20<t ≤30. (2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t＝441(t ＝5时取最小值)． 当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t－4t 递减， 所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323， 所以t ∈[1,30]时，W (t )的最小值为441万元．14．运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋x 2360)升，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． 解 (1)设所用时间为t ＝130x(h)， y ＝130x ×2×(2＋x 2360)＋14×130x，x ∈[50,100]． 所以这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50,100]． (2)y ＝2 340x ＋13x 18≥2610， 当且仅当2 340x ＝13x 18，即x ＝1810时，等号成立． 故当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元．。

G ( x )万元，且 G ( x )＝
2 + 120，0 < ≤ 50，
4 900
201＋

− 2 100，50 < ≤ 100，
200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
每台该产品的售价为
(1)写出年利润 W ( x )(单位：万元)关于年产量 x (单位：台)的函数解析式(利润＝销售
2．几个重要的不等式

2ab
1a2＋b2≥______a，b∈R；

b a

2
2a＋b≥___a，b同号且不为零；

当且仅当a＝b

2

a＋b


3ab≤
时等号成立
a，b∈R；

2

2
2

2

a ＋b
a＋b



4
a，b∈R.
≤
2

2
(2)[2024宁夏银川模拟]已知0＜ x ＜4，则 (4 − ) 的最大值为 2
[解析] 0＜ x ＜4，则0＜4－ x ＜4，由基本不等式可得 (4
.
⁠
+4−
− ) ≤
＝2，
2
当且仅当 x ＝4－ x ，即 x ＝2时，等号成立.故 (4 − ) 的最大值为2.
角度2 常数代换法
−4
8
−4
＞0，因为 a ＞0，所以 a ＞4，所以8 a ＋ b ＝8 a
＋5]≥8×(2 4 ＋5)＝72，当且仅当 a ＝6时取等号.故选C.
8

4

8

4

解法二 ∵8 a ＋4 b ＝ ab ， a ＞0， b ＞0，∴ ＋ ＝1，∴8 a ＋ b ＝(8 a ＋ b )( ＋ ) ＝

专题层级快练3.3.4利用导数证明不等式1．(2020·沧州七校联考)设a 为实数，函数f(x)＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln2－1且x>0时，e x >x 2－2ax ＋1.2．(2021·赣州模拟)已知函数f(x)＝1－lnx x ，g(x)＝ae e x ＋1x－bx ，若曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A 处的切线互相垂直．(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x ≥1时，f(x)＋g(x)≥2x.3．(2017·课标全国Ⅲ)已知函数f(x)＝lnx ＋ax 2＋(2a ＋1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a<0时，证明：f(x)≤－34a－2.4．(2021·河南开封市高三模拟)已知函数f(x)＝lnx ＋a x(a ∈R )e ，其中e 为自然对数的底数．(1)求实数a 的值，并求f(x)的单调区间；(2)证明：xf(x)>x ex .5．已知函数f(x)＝xlnx －m 2x 2－x ＋e 2(0<x ≤e 2)．(1)当m ＝1e时，求函数f(x)的单调区间；(2)证明：当0<m<1e2时，f(x)>0.6．(2021·八省联考)已知函数f(x)＝e x －sinx －cosx ，g(x)＝e x ＋sinx ＋cosx.(1)证明：当x>－5π4时，f(x)≥0.(2)若g(x)≥2＋ax ，求a 的值．3.3.4利用导数证明不等式参考答案1．答案(1)单调递减区间为(－∞，ln2)，单调递增区间为(ln2，＋∞)；极小值为2(1－ln2＋a)，无极大值(2)略解析(1)由f(x)＝e x －2x ＋2a ，x ∈R ，得f ′(x)＝e x －2，x ∈R .令f ′(x)＝0，得x ＝ln2.于是当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f ′(x)－0＋f(x)极小值故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)．f(x)在x ＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝e ln2－2ln2＋2a ＝2(1－ln2＋a)，无极大值．(2)证明：设g(x)＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R .于是g ′(x)＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .由(1)知当a>ln2－1时，g ′(x)最小值为g ′(ln2)＝2(1－ln2＋a)>0.于是对任意x ∈R ，都有g ′(x)>0，所以g(x)在R 内单调递增．于是当a>ln2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．又g(0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，g(x)>0.即e x －x 2＋2ax －1>0，故e x >x 2－2ax ＋1.2．答案(1)a ＝－1，b ＝－1(2)略解析(1)因为f(x)＝1－lnx x ，x>0，所以f ′(x)＝lnx －1x2，f ′(1)＝－1.因为g(x)＝ae e x ＋1x－bx ，所以g ′(x)＝－ae e x －1x2－b.因为曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A 处的切线互相垂直，所以g(1)＝1，且f ′(1)·g ′(1)＝－1，所以g(1)＝a ＋1－b ＝1，g ′(1)＝－a －1－b ＝1，解得a ＝－1，b ＝－1.(2)证明：由(1)知，g(x)＝－e e x ＋1x＋x ，则f(x)＋g(x)≥2x ⇔1－lnx x －e e x －1x＋x ≥0.令h(x)＝1－lnx x －e e x －1x＋x(x ≥1)，则h(1)＝0，h ′(x)＝－1＋lnx x 2＋e e x ＋1x 2＋1＝lnx x 2＋e e x ＋1.因为x ≥1，所以h ′(x)＝lnx x 2＋e ex ＋1>0.所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ≥1时，h(x)≥h(1)＝0，即1－lnx x －e e x －1x＋x ≥0，所以当x ≥1时，f(x)＋g(x)≥2x.3．答案(1)当a ≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，f(x)在(0，－12a )上单调递增，在(－12a，＋∞)上单调递减(2)略解析(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1x ＋2ax ＋2a ＋1＝（x ＋1）（2ax ＋1）x.若a ≥0，则当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a<0，则当x f ′(x)>0；当x －12a，＋f ′(x)<0.故f(x)－12a，＋(2)证明：由(1)知，当a<0时，f(x)在x ＝－12a 处取得最大值，最大值为1－14a.所以f(x)≤－34a －2等价于1－14a ≤－34a －2，即＋12a＋1≤0.设g(x)＝lnx －x ＋1，则g ′(x)＝1x－1.当x ∈(0，1)时，g ′(x)>0；当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x)<0.所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x ＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0.所以当x>0时，g(x)≤0.从而当a<0时，＋12a ＋1≤0，即f(x)≤－34a－2.4．答案(1)a ＝2e，函数的单调递减区间为(2)证明见解析思路(1)先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求a ，结合导数与单调性关系即可求解；(2)要证明原不等式成立，可转化为证明求解相应函数的范围，进行合理的变形后构造函数，结合导数可证．解析(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．f ′(x)＝1x －a x 2，由题意可得，f e －ae 2＝－e ，故a ＝2e ，f ′(x)＝1x －2ex 2＝ex －2ex 2.当x f ′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x f ′(x)>0，函数f(x)单调递增，故函数f(x)(2)证明：设h(x)＝xf(x)＝xlnx ＋2e，则h ′(x)＝lnx ＋1(x>0)．当x h ′(x)<0，函数h(x)单调递减，当x h ′(x)>0，函数h(x)单调递增，故h(x)min ＝＝1e.设t(x)＝x e x ，则t ′(x)＝1－x ex ，当x ∈(0，1)时，t ′(x)>0，函数t(x)单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，t ′(x)<0，函数t(x)单调递减，故t(x)max ＝t(1)＝1e.又h(x)和t(x)不同时为1e，综上可得，x>0时，恒有h(x)>t(x)，即xf(x)>x ex .5．答案(1)略(2)略解析(1)f(x)＝xlnx －12e x 2－x ＋e 2.f ′(x)＝1＋lnx －x e －1＝lnx －x e.f ″(x)＝1x －1e，y ＝f ′(x)在(0，e)上单调递增，在(e ，e 2]上单调递减．f ′(e)＝0，∴f ′(x)≤0.∴y ＝f(x)在(0，e 2]上单调递减．(2)证明：f(x)＝xlnx －m 22－x ＋e 2.f ′(x)＝1＋lnx －mx －1＝lnx －mx.f ″(x)＝1x －m ，1m>e 2.y ＝f ′(x)在(0，e 2]上单调递增，当x →0时f ′(x)→－∞.f ′(e 2)＝2－me 2.∵m me 2∈(0，1)，me∴f ′(e 2)>0，f ′(1)＝－m<0，f ′(e)＝1－me>0.∴∃x 0∈(1，e)，使得f ′(x 0)＝0.即lnx 0＝mx 0.∴y ＝f(x)在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，e 2]上单调递增．∴f(x)min ＝f(x 0)＝x 0lnx 0－m 2x 02－x 0＋e 2.f(x)min ＝x 0·lnx 0－lnx 02·x 0－x 0＋e 2＝12x 0lnx 0－x 0＋e 2，x 0∈(1，e)．令g(x)＝12xlnx －x ＋e 2，x ∈(1，e)，g ′(x)＝12(1＋lnx)－1＝12(lnx －1)<0.g(x)在(1，e)上单调递减，∴g(x)>g(e)＝0.∴f(x)min >0，∴f(x)>0.即证．6．答案(1)证明见解析(2)2解析(1)证明：因为f(x)＝e x －sinx －cosx ＝e x －2sinf ′(x)＝e x －cosx ＋sinx ＝e x ＋2sinf ″(x)＝g(x)＝e x ＋sinx ＋cosx ＝e x ＋2sin考虑到f(0)＝0，f ′(0)＝0，所以当x －5π4，－时，2sin ，此时f(x)>0；当x ∈－π4，0，f ″(x)>0，所以f ′(x)单调递增，所以f ′(x)≤f ′(0)＝0，所以f(x)单调递减，f(x)≥f(0)＝0；当x f ″(x)>0，所以f ′(x)单调递增，f ′(x)>f ′(0)＝0，所以f(x)单调递增，f(x)≥f(0)＝0；当x ∈3π4，＋f(x)＝e x －2sin e 1－2>0.综上，当x>－5π4时，f(x)≥0.(2)设r(x)＝e x ＋sinx ＋cosx －2－ax ，则r(0)＝0，其导函数r ′(x)＝e x ＋cosx －sinx －a ，于是r ′(0)＝2－a ，又r ″(x)＝e x －sinx －cosx ＝f(x)，于是根据第(1)小题的结果，r ′(x)－5π4，＋情形一：若a<2，则r ′(0)>0.若r 0－5π4，r′(x)>0，于是r(x)在此区间上单调递增，因此在该区间上有r(x)<r(0)＝0，不符合题意．若r －5π4，r ′(x)存在唯一零点x 0，使得r(x)在(x 0，0)上单调递增，因此在该区间上有r(x)<r(0)＝0，不符合题意．情形二：若a>2，则r ′(0)<0.考虑到r ′(ln(|a|＋2))≥|a|＋2＋(－1)－1－a ≥0，于是函数r ′(x)在(0，ln(|a|＋2)]上有唯一零点x 1，使得r(x)在(0，x 1)上单调递减，因此在该区间上有r(x)<r(0)＝0，不符合题意．情形三：若a ＝2，则函数r(x)－5π4，(0，＋∞)上单调递增，而r(0)＝0，因此r(x)在－5π4，＋r(x)≥0.当x ≤－5π4时，有r(x)>0＋(－1)＋(－1)－2－2＝5π2－4>0，命题也成立．综上所述，a ＝2.。

课时作业(四) 基本不等式一、单项选择题1．“a >b >0”是“ab <a2＋b22 ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立；由ab <a2＋b22 ，可知a ≠b ，a ，b ∈R ，故必要性不成立．]2．(2020·平顶山模拟)若M ＝a2＋4a(a ∈R ，a ≠0)，则M 的取值范围为( ) A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞) B ．(－∞，－4] C ．[4，＋∞)D ．[－4，4]A [M ＝a2＋4a ＝a ＋4a ，当a >0时，M ≥4；当a <0时，M ≤－4.]3．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4C [因为1a ＋2b ＝ab ，所以a >0，b >0，由ab ＝1a ＋2b≥21a ×2b＝22ab， 所以ab ≥2 2 (当且仅当b ＝2a 时取等号)，所以ab 的最小值为2 2 .] 4．若m >0，n >0，m ＋2n ＝1，则1m ＋m ＋1n 的最小值为( )A ．4B ．5C ．7D ．6C [由m ，n >0，m ＋2n ＝1，得m ＝1－2n ，所以1m ＋m ＋1n ＝1m ＋（1－2n ）＋1n ＝1m ＋2n －2，所以1m ＋2n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋2n (m ＋2n )＝5＋2n m ＋2m n ≥5＋2·2n m ·2m n ＝9，当且仅当m ＝n ＝13 时等号成立，所以1m ＋m ＋1n ＝1m ＋2n－2≥9－2＝7.故选C.]5．(2020·河北廊坊联考)已知a ，b ∈(0，＋∞)，且1＋2ab ＝9a ＋b，则a ＋b 的取值范围是( ) A ．[1，9] B ．[1，8] C ．[8，＋∞) D ．[9，＋∞)B [∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 2 ≥ab ，可得1ab ≥4（a ＋b ）2，当且仅当a ＝b 时取等号．∵1＋2ab ＝9a ＋b ，∴9a ＋b－1＝2ab ≥8（a ＋b ）2 ，化为(a ＋b )2－9(a ＋b )＋8≤0，解得1≤a ＋b ≤8，当且仅当a ＝b ＝12或a ＝b ＝4时取等号，∴a ＋b 的取值范围是[1，8].故选B.]6．(2020·广州期末)若实数x ，y 满足xy ＋6x ＝4⎝⎛⎭⎫0<x<23 ，则4x ＋1y 的最小值为( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32B [实数x ，y 满足xy ＋6x ＝4⎝⎛⎭⎫0<x<23 ， ∴x ＝4y ＋6 ∈⎝⎛⎭⎫0，23 ，y >0， 则4x ＋1y ＝y ＋6＋1y ≥2＋6＝8，当且仅当y ＝1，x ＝47 时取等号．∴4x ＋1y 的最小值为8.] 7.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A ．a ＋b 2 ≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C ．2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D ．a ＋b 2≤a2＋b22(a >0，b >0) D [由AC ＝a ，BC ＝b ，可得圆O 的半径r ＝a ＋b2 ，又OC ＝OB －BC ＝a ＋b 2 －b ＝a －b2 ，则FC 2＝OC 2＋OF 2＝（a －b ）24＋（a ＋b ）24＝a2＋b22，再根据题图知FO ≤FC ，即a ＋b2 ≤a2＋b22，当且仅当a ＝b 时取等号．故选D.]8．(2020·广东珠海高三期末)已知x >0，y >0，z >0，且9y ＋z ＋1x＝1，则x ＋y ＋z 的最小值为( )A ．8B ．9C ．12D ．16D [∵y >0，z >0，∴y ＋z >0，又9y ＋z ＋1x ＝1，x >0，∴x ＋y ＋z ＝[x ＋(y ＋z )](1x ＋9y ＋z )＝10＋9xy ＋z＋y ＋z x ≥10＋29x y ＋z ·y ＋z x ＝16，当且仅当9xy ＋z＝y ＋zx，即y ＋z ＝3x 时等号成立，∴x ＋y ＋z 的最小值为16.故选D.]二、多项选择题9．下列选项错误的是( )A ．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2 ≥ab 成立的条件是相同的B ．函数y ＝x ＋1x 的最小值是2C ．函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4D ．x >0且y >0是x y ＋yx≥2的充要条件ABCD [对于选项A ，不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ，不等式a ＋b2 ≥ab 成立的条件是a >0，b >0；对于选项B ，函数y ＝x ＋1x 的值域是(－∞，2]∪[2，＋∞)，没有最小值；对于选项C ，函数f (x )＝sin x ＋4sin x 没有最小值；对于选项D ，x >0且y >0是x y ＋yx≥2的充分不必要条件．]10．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则下列选项中正确的是( ) A ．ab 有最大值14B ． a ＋ b 有最大值 2C ．1a ＋1b有最小值4D ．a 2＋b 2有最小值22AC [因为a >0，b >0，且a ＋b ＝1，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2 2 ，所以ab ≤14 ，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以ab 有最大值14 ，所以选项A 正确； a ＋ b ≤2a ＋b 2 ＝ 2 ，当且仅当a ＝b ＝12取等号，所以 a ＋ b 的最小值是 2 ，所以B 错误；因为1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以1a ＋1b 有最小值4，所以C 正确；因为a 2＋b 2≥（a ＋b ）22＝12 ，当且仅当a ＝b ＝12 时取等号，所以a 2＋b 2的最小值不是22，所以D 错误．故选AC.]11．(2020·山东卷)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则( ) A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D ． a ＋ b ≤ 2ABD [对于A 项，因为a 2＋b 2≥2ab ，所以2(a 2＋b 2)≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝1，所以a 2＋b 2≥12 ，正确；对于B 项，易知0<a <1，0<b <1，所以－1<a －b <1，所以2a －b >2－1＝12 ，正确；对于C 项，令a ＝14 ，b ＝34 ，则log 214 ＋log 234 ＝－2＋log 234 <－2，错误；对于D 项，因为 2 ＝2（a ＋b ） ，所以[2（a ＋b ） ]2－( a ＋ b )2＝a ＋b －2ab ＝( a － b )2≥0，所以 a ＋ b≤ 2 ，正确，故选ABD 项．]12．(开放型)一个矩形的周长为l ，面积为S ，则如下四组数对中，可作为数对(S ，l )的是( ) A ．(1，4) B ．(6，8) C ．(7，12)D ．⎝⎛⎭⎫3，12 AC [设矩形的边长分别为x ，y ，则x ＋y ＝12l ，S ＝xy .对于A ，(1，4)，则x ＋y ＝2，xy ＝1，根据基本不等式得xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2 2，符合题意；对于B ，(6，8)，则x ＋y ＝4，xy ＝6，根据基本不等式得xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2 2，不符合题意；对于C ，(7，12)，则x ＋y ＝6，xy ＝7，根据基本不等式得xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2 2 ，符合题意；对于D ，⎝⎛⎭⎫3，12 ，则x ＋y ＝14 ，xy ＝3，根据基本不等式得xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，不符合题意．故选AC.] 三、填空题13．不等式a ＋1≥2 a (a >0)中等号成立的条件是________．解析： 因为a >0，根据基本不等式ab ≤a ＋b2 ，当且仅当a ＝b 时等号成立，故a ＋1≥2 a中等号成立的条件是当且仅当a ＝1.答案： a ＝114．函数y ＝x2x ＋1(x >－1)的最小值为________．解析： 因为y ＝x2－1＋1x ＋1 ＝x －1＋1x ＋1 ＝x ＋1＋1x ＋1 －2(x >－1)，所以y ≥2 1 －2＝0，当且仅当x ＝0时等号成立．答案： 015．(2020·河北“五个一名校联盟”模拟)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则每台机器为该公司创造的年平均利润的最大值是________万元．解析： 每台机器运转x 年的年平均利润为y x ＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，而x >0，故yx ≤18－225 ＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大值为8万元．答案： 816．已知正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，①则x 2＋y 2的最小值为________；②若1x ＋4y ≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析： 因为x ＋y ＝1，所以xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2 2 ＝14 ，所以x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ≥1－14 ×2＝12 ，所以x 2＋y 2的最小值为12.若a ≤1x ＋4y 恒成立，则a ≤⎝⎛⎭⎫1x ＋4y min ，因为1x ＋4y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋4y (x ＋y )＝5＋y x ＋4x y ≥5＋2y x ×4x y ＝9，所以1x ＋4y 的最小值为9，所以a ≤9，故实数a 的取值范围是(－∞，9]. 答案： 12(－∞，9]。

考点规范练33 基本不等式及其应用考点规范练A 册第24页基础巩固1.下列不等式一定成立的是( ) A.lg (x 2+14)>lg x (x>0) B.sin x+1sinx ≥2(x ≠k π,k ∈Z ) C.x 2+1≥2|x|(x ∈R ) D.1x +1>1(x ∈R ) 答案:C解析:因为x>0,所以x 2+14≥2·x ·12=x ,所以lg (x 2+14)≥lg x (x>0),故选项A 不正确; 当x ≠k π,k ∈Z 时,sin x 的正负不定,故选项B 不正确; 由基本不等式可知选项C 正确; 当x=0时,1x +1=1,故选项D 不正确.2.已知a>0,b>0,a ,b 的等比中项是1,且m=b+1a ,n=a+1b ,则m+n 的最小值是( ) A.3 B.4C.5D.6答案:B解析:由题意知ab=1,则m=b+1a =2b ,n=a+1b =2a ,故m+n=2(a+b )≥4√ab =4(当且仅当a=b=1时,等号成立).3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a<b ),其全程的平均时速为v ,则( ) A.a<v<√ab B.v=√ab C.√ab <v<a+b 2D.v=a+b 2答案:A解析:设甲、乙两地相距s ,则小王往返两地用时为s a +sb , 从而v=2ssa +s b=2aba+b .∵0<a<b ,∴√ab <a+b 2,2ab a+b >2ab 2b=a ,∴2a+b <√ab,即2aba+b<√ab,∴a<v<√ab.4.已知圆x2+y2+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-2by+2=0(a>0,b>0)对称,则1a +4b的最小值为()A.8B.9C.16D.18答案:B解析:由圆的对称性可得,直线ax-2by+2=0必过圆心(-2,1),所以a+b=1.所以1a +4b=(1a+4b)(a+b)=5+ba+4ab≥5+4=9,当且仅当ba=4ab,即2a=b=23时等号成立,故选B.5.若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则xy的最大值是()A.43B.53C.2D.54答案:C解析:由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy≥2×(2x)×(3y)+3xy(当且仅当2x=3y时等号成立), 则12xy+3xy≤30,即xy≤2,故xy的最大值为2.6.设x,y∈R,a>1,b>1,若a x=b y=3,a+b=2√3,则1x +1y的最大值为()A.2B.32C.1 D.12答案:C解析:由a x=b y=3,1x +1y=1log a3+1log b3=lga+lgblg3=lg(ab)lg3,又a>1,b>1,所以ab≤(a+b2)2=3,所以lg(ab)≤lg3,从而1x +1y≤lg3lg3=1,当且仅当a=b=√3时等号成立.7.已知x>1,则log x9+log27x的最小值是.答案:2√63解析:∵x>1,∴log x9+log27x=2lg3lgx +lgx3lg3≥2√23=2√63,当且仅当x=3√6时等号成立.∴log x9+log27x的最小值为2√63.8.(2019河北涞水波峰中学高三模拟一)已知x>0,y>0,且4x +1y=1,若x+y≥m2+m+3恒成立,则实数m的取值范围是.答案:[-3,2]解析:x+y=(x+y)(4x +1y)=5+xy+4yx≥5+2√xy×4yx=9,当且仅当x=6,y=3时等号成立,所以x+y的最小值为9,所以m2+m+3≤9,m2+m-6≤0,解得-3≤m≤2,即实数m的取值范围是[-3,2].9.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*).则当每台机器运转年时,年平均利润最大,最大值是万元.答案:58解析:每台机器运转x年的年平均利润为yx =18-(x+25x),而x>0,所以yx≤18-2√25=8,当且仅当x=5时,年平均利润最大,最大值为8万元.10.已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+18的最小值为.答案:14解析:∵a-3b+6=0,∴a-3b=-6.∵a,b∈R,∴2a>0,18>0.∴2a+18≥2a-3b2√2-6=14,当且仅当2a=18,即a=-3,b=1时取等号.11.某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:每次都提价p+q2%,若p>q>0,则提价多的方案是.答案:乙解析:设原价为a,则方案甲提价后为a(1+p%)(1+q%),方案乙提价后为a(1+p+q2%)2.由于(1+p%)(1+q%)<[(1+p%)+(1+q%)2]2=(1+p+q2%)2,因此提价多的是方案乙.12.设a,b均为正实数,求证:1a2+1b2+ab≥2√2.答案:证明因为a ,b 均为正实数,所以1a 2+1b 2≥2√1a 2·1b 2=2ab , 当且仅当1a =1b ,即a=b 时,等号成立, 又因为2ab +ab ≥2√2ab ·ab =2√2, 当且仅当2ab =ab 时,等号成立, 所以1a +1b +ab ≥2ab +ab ≥2√2,当且仅当{1a 2=1b 2,2ab=ab ,即a=b=√24时,等号成立.能力提升13.已知不等式2x 2-axy+y 2≥0对任意x ∈[1,2]及y ∈[1,3]恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.a ≤2√2B.a ≥2√2C.a ≤113D.a ≤92答案:A解析:因为2x 2-axy+y 2≥0,且y ≠0, 所以2(x y )2-a xy +1≥0.令t=xy ,则不等式变为2t 2-at+1≥0. 由x ∈[1,2],y ∈[1,3],可知t ∈[13,2], 即2t 2-at+1≥0在t ∈[13,2]时恒成立. 由2t 2-at+1≥0可得a ≤2t 2+1t,即a ≤2t+1t .又2t+1t ≥2√2t ·1t =2√2,当且仅当2t=1t ,即t=√22时等号成立,所以2t+1t 取得最小值2√2,所以有a ≤2√2,故选A . 14.已知不等式|y+4|-|y|≤2x +a2x 对任意实数x ,y 都成立,则实数a 的最小值为( ) A.1 B.2C.3D.4答案:D解析:令f (y )=|y+4|-|y|, 则f (y )≤|y+4-y|=4,即f (y )max =4.∵不等式|y+4|-|y|≤2x +a2x 对任意实数x ,y 都成立, ∴2x +a2x ≥f (y )max =4,∴a ≥-(2x )2+4×2x =-(2x -2)2+4恒成立; 令g (x )=-(2x )2+4×2x ,则a ≥g (x )max =4,∴实数a 的最小值为4. 15.已知x>0,a 为大于2x 的常数. (1)求函数y=x (a-2x )的最大值; (2)求y=1a -2x -x 的最小值.解:(1)∵x>0,a>2x ,∴y=x (a-2x )=12×2x (a-2x )≤12×[2x+(a -2x )2]2=a 28,当且仅当x=a4时取等号, 故函数y=x (a-2x )的最大值为a 28. (2)y=1a -2x -x=1a -2x +a -2x 2−a 2≥2√12−a 2=√2−a 2,当且仅当x=a -√22时取等号.故y=1a -2x -x 的最小值为√2−a2.16.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x 千件,需另投入成本为C (x )(单元:万元),当年产量不足80千件时,C (x )=13x 2+10x (单位:万元).当年产量不少于80千件时,C (x )=51x+10000x-1 450(单位:万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L (x )(单位:万元)关于年产量x (单位:千件)的函数解析式; (2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?解:(1)因为每件商品售价为0.05万元,则x 千件商品销售额为0.05×1000x 万元,依题意得,当0<x<80时,L (x )=(0.05×1000x )-13x 2-10x-250=-13x 2+40x-250; 当x ≥80时,L (x )=(0.05×1000x )-51x-10000x +1450-250=1200-(x +10000x),则L (x )={-13x 2+40x -250,0<x <80,1200-(x +10000x ),x ≥80.(2)当0<x<80时,L (x )=-13(x-60)2+950,此时,当x=60时,L (x )取得最大值L (60)=950.当x ≥80时,L (x )=1200-(x +10000x)≤1200-2√x ·10000x=1200-200=1000,当且仅当x=10000x时,即x=100时,L (x )取得最大值1000.因为950<1000,所以当年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.最大利润为1000万元.高考预测17.若a ,b 满足ab=a+b+3,求ab 的取值范围. 解:∵ab=a+b+3,∴a+b=ab-3, ∴(a+b )2=(ab-3)2. ∵(a+b )2≥4ab , ∴(ab-3)2≥4ab ,即(ab )2-10ab+9≥0,故ab ≤1或ab ≥9. 因此ab 的取值范围是(-∞,1]∪[9,+∞).快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

修51.设0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )A.12B ．a 2＋b 2C ．2abD ．a 2．已知x ＜54，则函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值是( ) A ．2 B ．3 C ．1D.12 3．设a 、b 是正实数，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A 、B 的大小关系是( )A ．A ≥B B ．A ≤BC ．A ＞BD ．A ＜B4．某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a, 第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( )A ．x ＝a ＋b 2B ．x ≤a ＋b 2C ．x ＞a ＋b 2D ．x ≥a ＋b 25．设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( ) A ．8 B ．4 C ．1 D.146．若0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b,2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b7．若0<x <1，则x (1－x )的最大值为________．8．已知a是正实数，x＝12a，y＝12a＋1，z＝1a＋a＋1，则x、y、z从大到小的顺序是__________．9. 今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确．有人说要用它称物体的质量，只需将物体放在左右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实质量，这种说法对吗？证明你的结论．10.某商场预计全年分批购入每台2 000元的电视机共3 600台．每批都购入x 台(x是自然数)且每批均需付运费400元．贮存购入的电视机全年所需付的保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比．若每批购入400台，则全年需用去运输和保管总费用43 600元．现在全年只有24 000元资金可以支付这笔费用，请问，能否恰当安排每批进货数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．3.4.1详解答案1. [答案] B[解析] ∵0＜a＜b，∴1＝a＋b＞2a，∴a＜1 2，又∵a2＋b2≥2ab，∴最大数一定不是a和2ab，∵1＝a＋b＞2ab，∴ab＜1 4，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab＞1－12＝12，即a2＋b2＞12..解法2：特值检验法：取a＝13，b＝23，则2ab＝49，a2＋b2＝59，∵59＞12＞49＞13，∴a2＋b2最大．2.[答案] C[解析] ∵x＜54，∴4x－5＜0，y＝4x－2＋14x－5＝4x－5＋14x－5＋3＝3－⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－4x＋15－4x≤3－2＝1，等号在5－4x＝15－4x，即x＝1时成立，故选C.3.[答案] C[解析] ∵a＞0，b＞0，∴A＞0，B＞0，A2－B2＝(a＋b＋2ab)－(a＋b)＝2ab＞0，∴A2＞B2，∵A>0，B>0，∴A＞B.[点评] 可取特值检验．4.[答案] B[解析] ∵这两年的平均增长率为x∴A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∴(1＋x )2＝(1＋a )(1＋b )，由题设a ＞0，b ＞0.∴1＋x ＝1＋a 1＋b ≤1＋a ＋1＋b 2＝1＋a ＋b2，∴x ≤a ＋b2，等号在1＋a ＝1＋b 即a ＝b 时成立．5.[答案] B[解析] 根据题意得3a ·3b ＝3，∴a ＋b ＝1，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥4.当a ＝b ＝12时“＝”成立． 6.[答案] D[解析] 解法1：∵0<a <1,0<b <1，∴a 2＋b 2>2ab ，a ＋b >2ab ，a >a 2，b >b 2，∴a ＋b >a 2＋b 2，故选D.解法2：取a ＝12，b ＝13，则a 2＋b 2＝1336，2ab ＝63，2ab ＝13，a ＋b ＝56，显然56最大．7.[答案]14[解析] ∵0<x <1，∴1－x >0， ∴x (1－x )≤[x ＋1－x2]2＝14，等号在x ＝1－x ，即x ＝12时成立， ∴所求最大值为14. 8.[答案] x >z >y [解析] ∵a >0，∴2a <a ＋a ＋1<2a ＋1∴12a >1a ＋a ＋1>12a ＋1，即x >z >y .9.[解析] 不对．设左右臂长分别为l 1，l 2，物体放在左、右托盘称得重量分别为a 、b ，真实重量为G ，则由杠杆平衡原理有：l 1·G ＝l 2·a ，①l 2·G ＝l 1·b ，②①×②得G 2＝ab ，∴G ＝ab ，由于l 1≠l 2，故a ≠b ，由均值不等式a ＋b 2＞ab 知说法不对，真实重量是两次称量结果的几何平均数.10.[解析] 设总费用为y 元(y ＞0)，且将题中正比例函数的比例系数设为k ，则y ＝3 600x ×400＋k (2 000x )，依条件，当x ＝400时，y ＝43 600，可得k ＝5%， 故有y ＝1440000x ＋100x ≥21440000x ·100x ＝24 000(元)． 当且仅当1440000x＝100x ，即x ＝120时取等号． 所以只需每批购入120台，可使资金够用．28380 6EDC 滜737672 9328 錨 A23106 5A42 婂28742 7046 灆 <34015 84DF 蓟40713 9F09 鼉22937 5999 妙30166 75D6 痖31783 7C27 簧。

专题利用导数证明不等式一、题型全归纳题型一作差法构造函数证明不等式【题型要点】(1)欲证函数不等式f(x)＞g(x)(x＞a)，只需证明f(x)－g(x)＞0(x＞a)，设h(x)＝f(x)－g(x)，即证h(x)＞0(x＞a)．若h(a)＝0，h(x)＞h(a)(x＞a)．接下来往往用导数证得函数h(x)是增函数即可．(2)欲证函数不等式f(x)＞g(x)(x∈I，I是区间)，只需证明f(x)－g(x)＞0(x∈I)．设h(x)＝f(x)－g(x)(x∈I)，即证h(x)＞0(x∈I)，也即证h(x)min＞0(x∈I)(若h(x)min不存在，则须求函数h(x)的下确界)，而这用导数往往容易解决．【例1】(2020·广州模拟)已知函数f(x)＝e x－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x＞0时，x2＜e x.【解析】(1)由f(x)＝e x－ax，得f′(x)＝e x－a.因为f′(0)＝1－a＝－1，所以a＝2，所以f(x)＝e x－2x，f′(x)＝e x－2.令f′(x)＝0，得x＝ln 2，当x＜ln 2时，f′(x)＜0，f(x)在(－∞，ln 2)上单调递减；当x＞ln 2时，f′(x)＞0，f(x)在(ln 2，＋∞)上单调递增．所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－2ln 2，f(x)无极大值．(2)证明：令g(x)＝e x－x2，则g′(x)＝e x－2x.由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＞0，故g(x)在R上单调递增．所以当x＞0时，g(x)＞g(0)＝1＞0，即x2＜e x.【例2】已知函数f(x)＝ax＋x ln x在x＝e－2(e为自然对数的底数)处取得极小值．(1)求实数a的值；(2)当x＞1时，求证：f(x)＞3(x－1)．【解析】(1)因为f(x)定义域为(0，＋∞)，f(x)＝ax＋x ln x，所以f′(x)＝a＋ln x＋1，因为函数f(x)在x＝e－2处取得极小值，所以f′(e－2)＝0，即a＋ln e－2＋1＝0，所以a ＝1，所以f ′(x )＝ln x ＋2.当f ′(x )＞0时，x ＞e －2；当f ′(x )＜0时，0＜x ＜e －2， 所以f (x )在(0，e －2)上单调递减，在(e －2，＋∞)上单调递增， 所以f (x )在x ＝e－2处取得极小值，符合题意，所以a ＝1.(2)证明：由(1)知a ＝1，所以f (x )＝x ＋x ln x .令g (x )＝f (x )－3(x －1)，即g (x )＝x ln x －2x ＋3(x ＞0)． g ′(x )＝ln x －1，由g ′(x )＝0，得x ＝e.由g ′(x )＞0，得x ＞e ；由g ′(x )＜0，得0＜x ＜e. 所以g (x )在(0，e)上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增， 所以g (x )在(1，＋∞)上的最小值为g (e)＝3－e ＞0.于是在(1，＋∞)上，都有g (x )≥g (e)＞0，所以f (x )＞3(x －1)．题型二 拆分法构造函数证明不等式【题型要点】(1)在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可以考虑转化为两个函数的最值问题．(2)在证明过程中，等价转化是关键，此处f (x )min >g (x )max 恒成立．从而f (x )>g (x )，但此处f (x )与g (x )取到最值的条件不是同一个“x 的值”．【例1】设函数f (x )＝ax 2－(x ＋1)ln x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为0. (1)求a 的值；(2)求证：当0＜x ≤2时，f (x )＞12x .【解】(1)f ′(x )＝2ax －ln x －1－1x ，由题意，可得f ′(1)＝2a －2＝0，所以a ＝1.(2)证明：由(1)得f (x )＝x 2－(x ＋1)ln x ，要证当0＜x ≤2时，f (x )＞12x ，只需证当0＜x ≤2时，x －ln x x －ln x ＞12，即x －ln x ＞ln x x ＋12.令g (x )＝x －ln x ，h (x )＝ln x x ＋12，令g ′(x )＝1－1x＝0，得x ＝1，易知g (x )在(0,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增，故当0＜x ≤2时，g (x )min ＝g (1)＝1.因为h ′(x )＝1－ln xx 2，当0＜x ≤2时，h ′(x )＞0，所以h (x )在(0,2]上单调递增，故当0＜x ≤2时，h (x )max ＝h (2)＝1＋ln 22＜1，即h (x )max ＜g (x )min .故当0＜x ≤2时，h (x )＜g (x )，即当0＜x ≤2时，f (x )＞12x . 【例2】已知函数f (x )＝eln x －ax (a ∈R )．(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝e 时，求证：xf (x )－e x ＋2e x ≤0. 【解析】(1)f ′(x )＝ex－a (x ＞0)，∈若a ≤0，则f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；∈若a ＞0，令f ′(x )＝0，得x ＝e a ，则当0＜x ＜e a 时，f ′(x )＞0；当x ＞ea时，f ′(x )＜0，故f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛a e ,0上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,a e 上单调递减． (2)证明：因为x ＞0，所以只需证f (x )≤e xx－2e ，当a ＝e 时，由(1)知，f (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以f (x )max ＝f (1)＝－e. 记g (x )＝e xx －2e(x ＞0)，则g ′(x )＝(x －1)e x x 2，当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减；当x ＞1时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝－e. 综上，当x ＞0时，f (x )≤g (x )，即f (x )≤e xx－2e ，即xf (x )－e x ＋2e x ≤0.题型三 换元法构造函数证明不等式【题型要点】换元法构造函数证明不等式的基本思路是直接消掉参数a ，再结合所证问题，巧妙引入变量c ＝x 1x 2，从而构造相应的函数．其解题要点为：【例1】已知函数f (x )＝ln x －12ax 2＋x ，a ∈R .(1)当a ＝0时，求函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线方程；(2)若a ＝－2，正实数x 1，x 2满足f (x 1)＋f (x 2)＋x 1x 2＝0，求证：x 1＋x 2≥5－12. 【解】(1)当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋x ，则f (1)＝1，所以切点(1,1)，又因为f ′(x )＝1x ＋1，所以切线斜率k ＝f ′(1)＝2，故切线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(2)证明：当a ＝－2时，f (x )＝ln x ＋x 2＋x (x ＞0)．由f (x 1)＋f (x 2)＋x 1x 2＝0，得ln x 1＋x 21＋x 1＋ln x 2＋x 22＋x 2＋x 1x 2＝0，从而(x 1＋x 2)2＋(x 1＋x 2)＝x 1x 2－ln(x 1x 2)，令t ＝x 1x 2(t ＞0)，令φ(t )＝t －ln t ，得φ′(t )＝1－1t ＝t －1t，易知φ(t )在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，所以φ(t )≥φ(1)＝1，所以(x 1＋x 2)2＋(x 1＋x 2)≥1，因为x 1＞0，x 2＞0，所以x 1＋x 2≥5－12成立. 题型四 两个经典不等式的应用【题型要点】逻辑推理是得到数学结论，构建数学体系的重要方式，是数学严谨性的基本保证.利用两个经典不等式解决其他问题，降低了思考问题的难度，优化了推理和运算过程. （1）对数形式：x ≥1＋ln x （x ＞0），当且仅当x ＝1时，等号成立.（2）指数形式：e x ≥x ＋1（x ∈R ），当且仅当x ＝0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链： e x ＞x ＋1＞x ＞1＋ln x （x ＞0，且x ≠1）. 【例1】设函数f (x )＝ln x －x ＋1.(1)讨论f (x )的单调性；(2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，1＜x －1ln x ＜x .【解析】(1)由题设知，f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x－1，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0，f (x )在(0,1)上单调递增；当x ＞1时，f ′(x )＜0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减．(2)证明：由(1)知f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝0.所以当x ≠1时，ln x ＜x －1. 故当x ∈(1，＋∞)时，ln x ＜x －1，x －1ln x ＞1.∈因此ln 1x ＜1x －1，即ln x ＞x －1x ，x －1ln x＜x .∈故当x ∈(1，＋∞)时恒有1＜x －1ln x＜x . 二、高效训练突破1.(2020·四省八校双教研联考)已知函数f (x )＝ax －ax ln x －1(a ∈R ，a ≠0)． (1)讨论函数f (x )的单调性； (2)当x >1时，求证：1x －1>1e x－1.【解析】：(1)f ′(x )＝a －a (ln x ＋1)＝－a ln x ，若a >0，则当x ∈(0，1)时，f ′(x )>0，当x ∈(1，＋∞)，f ′(x )<0，所以f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；若a <0，则当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(2)证明：要证1x －1>1e x －1，即证x x －1>e －x ，即证x －1x <e x ，又由第(1)问令a ＝1知f (x )＝x －x ln x －1在(1，＋∞)上单调递减，f (1)＝0， 所以当x >1时，x －x ln x －1<0，即x －1x <ln x ，则只需证当x >1时，ln x <e x 即可．令F (x )＝e x －ln x, x >1，则F ′(x )＝e x －1x 单调递增，所以F ′(x )>F ′(1)＝e －1>0，所以F (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以F (x )>F (1)，而F (1)＝e ，所以e x －ln x >e>0， 所以e x >ln x ，所以e x >ln x >x －1x ，所以原不等式得证．2.(2020·唐山市摸底考试)设f (x )＝2x ln x ＋1.(1)求f (x )的最小值；(2)证明：f (x )≤x 2－x ＋1x＋2ln x .【解】 (1)f ′(x )＝2(ln x ＋1)．所以当x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1e 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以当x ＝1e 时，f (x )取得最小值⎪⎭⎫⎝⎛e f 1＝1－2e .(2)证明：x 2－x ＋1x ＋2ln x －f (x )＝x (x －1)－x －1x －2(x －1)ln x ＝(x －1)⎪⎭⎫⎝⎛--x x x ln 21，令g (x )＝x －1x －2ln x ，则g ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝（x －1）2x 2≥0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又g (1)＝0，所以当0<x <1时，g (x )<0，当x >1时，g (x )>0，所以(x －1)⎪⎭⎫⎝⎛--x x x ln 21≥0，即f (x )≤x 2－x ＋1x ＋2ln x . 3.(2020·福州模拟)已知函数f (x )＝eln x －ax (a ∈R )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝e 时，证明：xf (x )－e x ＋2e x ≤0. 【解】(1)f ′(x )＝ex－a (x ＞0)．∈若a ≤0，则f ′(x )＞0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ∈若a ＞0，则当0＜x ＜e a 时，f ′(x )＞0，当x ＞ea 时，f ′(x )＜0，故f (x )在(0，e a )上单调递增，在(ea ，＋∞)上单调递减．(2)证明：法一：因为x ＞0，所以只需证f (x )≤e xx－2e ，当a ＝e 时，由(1)知，f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以f (x )max ＝f (1)＝－e.记g (x )＝e xx －2e(x ＞0)，则g ′(x )＝（x －1）e x x 2，所以当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，当x ＞1时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝－e. 综上，当x ＞0时，f (x )≤g (x )，即f (x )≤e xx －2e ，即xf (x )－e x ＋2e x ≤0.法二：由题意知，即证e x ln x －e x 2－e x ＋2e x ≤0，从而等价于ln x －x ＋2≤e xe x.设函数g (x )＝ln x －x ＋2，则g ′(x )＝1x －1.所以当x ∈(0，1)时，g ′(x )＞0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0，故g (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而g (x )在(0，＋∞)上的最大值为g (1)＝1. 设函数h (x )＝e xe x ，则h ′(x )＝e x （x －1）e x 2.所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，故h (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而h (x )在(0，＋∞)上的最小值为h (1)＝1. 综上，当x ＞0时，g (x )≤h (x )，即xf (x )－e x ＋2e x ≤0. 4.(2019·高考北京卷节选)已知函数f (x )＝14x 3－x 2＋x .(1)求曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程； (2)当x ∈[－2，4]时，求证：x －6≤f (x )≤x .【解析】：(1)由f (x )＝14x 3－x 2＋x 得f ′(x )＝34x 2－2x ＋1.令f ′(x )＝1，即34x 2－2x ＋1＝1，得x ＝0或x ＝83.又f (0)＝0，⎪⎭⎫ ⎝⎛38f ＝827，所以曲线y ＝f (x )的斜率为1的切线方程是y ＝x 与y －827＝x －83， 即y ＝x 与y ＝x －6427.(2)证明：令g (x )＝f (x )－x ，x ∈[－2，4]．由g (x )＝14x 3－x 2得g ′(x )＝34x 2－2x .令g ′(x )＝0得x ＝0或x ＝83.g ′(x )，g (x )的情况如下：故－6≤g (x )≤0，即x －6≤f (x )≤x .5.已知函数f (x )＝ln x －ax (x ＞0)，a 为常数，若函数f (x )有两个零点x 1，x 2(x 1≠x 2)．求证：x 1x 2＞e 2. 【证明】不妨设x 1＞x 2＞0，因为ln x 1－ax 1＝0，ln x 2－ax 2＝0，所以ln x 1＋ln x 2＝a (x 1＋x 2)，ln x 1－ln x 2＝a (x 1－x 2)，所以ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝a ，欲证x 1x 2＞e 2，即证ln x 1＋ln x 2＞2.因为ln x 1＋ln x 2＝a (x 1＋x 2)，所以即证a ＞2x 1＋x 2，所以原问题等价于证明ln x 1－ln x 2x 1－x 2＞2x 1＋x 2，即ln x 1x 2＞2(x 1－x 2)x 1＋x 2，令c ＝x 1x 2(c ＞1)，则不等式变为ln c ＞2(c －1)c ＋1.令h (c )＝ln c －2(c －1)c ＋1，c ＞1，所以h ′(c )＝1c －4(c ＋1)2＝(c －1)2c (c ＋1)2＞0，所以h (c )在(1，＋∞)上单调递增，所以h (c )＞h (1)＝ln 1－0＝0，即ln c －2(c －1)c ＋1＞0(c ＞1)，因此原不等式x 1x 2＞e 2得证．6.已知函数()()x a ax x x f 12ln 2+++=.（1）讨论()x f 的单调性；（2）当0<a 时，证明()243--≤ax f 【解析】（1）()x f 的定义域为（0，＋∞），()()()xax x a ax x x f 1211221++=+++=' 当0≥a ，则当x ∈（0，＋∞）时，()0>'x f ，故()x f 在（0，＋∞）上单调递增.当0<a ，则当x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 21,0时，f ′（x ）＞0；当x ∈⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,21a 时，f ′（x ）＜0. 故()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 21,0上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,21a 上单调递减. （2）证明：由（1）知，当a ＜0时，f （x ）在x ＝－12a取得最大值，最大值为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a f 21＝a a 41121ln --⎪⎭⎫⎝⎛-. 所以()243--≤a x f 等价于24341121ln --≤--⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a a ，即012121ln ≤++⎪⎭⎫ ⎝⎛-aa . 设g （x ）＝ln x －x ＋1，则g ′（x ）＝1x －1.当x ∈（0,1）时，g ′（x ）＞0；当x ∈（1，＋∞）时，g ′（x ）＜0.所以g （x ）在（0,1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.故当x ＝1时，g （x ）取得最大值，最大值为g （1）＝0.所以当x ＞0时，g （x ）≤0.从而当a ＜0时，012121ln ≤++⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a ，即()243--≤a x f . 7.已知函数f (x )＝1x －x ＋a ln x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，证明：f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜a －2.【解析】(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－1x 2－1＋ax ＝－x 2－ax ＋1x 2.(∈)若a ≤2，则f ′(x )≤0，当且仅当a ＝2，x ＝1时f ′(x )＝0，所以f (x )在(0，＋∞)单调递减． (∈)若a ＞2，令f ′(x )＝0得，x ＝a －a 2－42或x ＝a ＋a 2－42.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42∈⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞时，f ′(x )＜0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42时，f ′(x )＞0.所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a －a 2－42，⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a 2－42，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a 2－42，a ＋a 2－42上单调递增． (2)证明：由(1)知，f (x )存在两个极值点时，当且仅当a ＞2.由于f (x )的两个极值点x 1，x 2满足x 2－ax ＋1＝0，所以x 1x 2＝1，不妨设x 1＜x 2，则x 2＞1. 由于f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＝－1x 1x 2－1＋a ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝－2＋a ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝－2＋a －2ln x 21x 2－x 2，所以f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜a －2等价于1x 2－x 2＋2ln x 2＜0.设函数g (x )＝1x －x ＋2ln x ，由(1)知，g (x )在(0，＋∞)上单调递减，又g (1)＝0，从而当x ∈(1，＋∞)时g (x )＜0.所以1x 2－x 2＋2ln x 2＜0，即f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜a －2.8．已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝ln(x ＋a )＋b .(1)当b ＝0时，f (x )－g (x )＞0恒成立，求整数a 的最大值；(2)求证：ln 2＋(ln 3－ln 2)2＋(ln 4－ln 3)3＋…＋[ln(n ＋1)－ln n ]n ＜ee －1(n ∈N *)．【解析】(1)现证明e x ≥x ＋1，设F (x )＝e x －x －1，则F ′(x )＝e x －1，当x ∈(0，＋∞)时，F ′(x )＞0，当x ∈(－∞，0)时，F ′(x )＜0，所以F (x )在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以F (x )min ＝F (0)＝0，即F (x )≥0恒成立，即e x ≥x ＋1.同理可得ln(x ＋2)≤x ＋1，即e x ＞ln(x ＋2)，当a ≤2时，ln(x ＋a )≤ln(x ＋2)＜e x ，所以当a ≤2时，f (x )－g (x )＞0恒成立． 当a ≥3时，e 0＜ln a ，即e x －ln(x ＋a )＞0不恒成立．故整数a 的最大值为2. (2)证明：由(1)知e x ＞ln(x ＋2)，令x ＝－n ＋1n ，则e －n ＋1n ＞ln ⎝⎛⎭⎫－n ＋1n ＋2， 即e－n ＋1＞ln ⎝⎛⎭⎫－n ＋1n ＋2n＝[ln(n ＋1)－ln n ]n ，所以e 0＋e －1＋e －2 ＋…＋e －n ＋1＞ln 2＋(ln 3－ln 2)2＋(ln 4－ln 3)3＋…＋[ln(n ＋1)－ln n ]n ，又因为e 0＋e －1＋e －2＋…＋e －n ＋1＝1－1e n 1－1e ＜11－1e＝e e －1， 所以ln 2＋(ln 3－ln 2)2＋(ln 4－ln 3)3＋…＋[ln(n ＋1)－ln n ]n ＜e e －1.。